CAPÍTULO VIII ALGEBRA DE LAS FUNCIONES

C

APÍTULO

VIII

ALGEBRA DE LAS FUNCIONES

8.1 Concepto y definición de una función matemática .

Como ya se mencionó en el primer capítulo (la teoría de conjuntos), una función

f

es una relación entre los elementos de un conjunto

A

, con los elementos de otro conjunto

B

; pero no es cualquier relación sino una que satisface la condición especial de que cada elemento del conjunto

A

(llamado el dominio de la función ) esté relacionado con exactamente un solo elemento del conjunto

B

(llamado el codominio o rango de la función).

Sin embargo es posible que un elemento del conjunto

B

(el rango) esté relacionado con uno o varios elementos del conjunto

A

(el dominio) y aún así se tendrá una relación de función entre ambos conjuntos, como se ilustra en la siguiente figura:

a b c 1 2 3 4 A B d

f

f es una función definida del conjunto

A

al conjunto

B

y se denota por f :

A



B

Entre éstos mismos conjuntos, una relación tal como . . .

a b c 1 2 3 4 A B d

f

definida del conjunto A al conjunto B no sería una función , puesto que uno de los elementos del dominio (el elemento

c

del conjunto

A

), se relaciona con dos elementos distintos del rango (los elementos 3 y 4 del conjunto

B

)

Si representamos la relación entre dos conjuntos por parejas ordenadas, entonces la condición que define a una relación como función es que no puede haber dos o mas parejas ordenadas con el mismo primer elemento y diferente segundo elemento .

{

(a, 1) , (b, 2) , (c, 3) , (c, 4)

}

.

es sólo una relación entre los conjuntos (R :

A



B

) : pero no es una función de

A

a

B

. Sin embargo, nótese que si ésta relación se definiese del conjunto

B

al conjunto

A

, esto es : R :

B



A

, entonces si representaría una función, puesto que el conjunto de parejas ordenadas :

{

(1, a) , (2, b) , (3, c) , (4, c)

}

cumple la condición de que cada elemento del dominio (conjunto

B

) , esté relacionado con un solo elemento del rango (conjunto

A

)

De manera general, se puede establecer que el conjunto de parejas ordenadas :

{



x

1



y

1



,



x

2



y

2



,



x

3



y

3



, . . .



x

n



y

n



}

obtenidas del producto cartesiano entre dos conjuntos

X

e

Y

, constituyen una función cuando para cualquier par de ellas



x

_i



y

_i



,



x

_k



y

_k



se cumple que . . .

si

x

_i

=

x

_k entonces

y

_i

=

y

_k

Ahora bien, para establecer funciones matemáticas, es de especial interés que ambos conjuntos

A

y

B

para el dominio y el rango, sean conjuntos numéricos.

Así por ejemplo considerando el producto cartesiano

 



del conjunto de números enteros por si mismo, el cual está formado por todas las parejas ordenadas

(

n m



)

, donde

n

y

m

son números enteros. Geométricamente es el conjunto infinito de puntos del plano cartesiano ilustrado en la siguiente figura . . .

  1 1 3 4 2 5. . . 2 3 4 5 . . . -1 -2 -3 -4 -5 -1 -2 -3 -4 -5 . . . . . .

Se podría definir entonces una función por cierto grupo de parejas ordenadas en el cual no exista un par de parejas con el mismo primer elemento (abscisa) y distinto segundo elemento (ordenada).

Por ejemplo, en la figura anterior, una posible función sería el grupo de parejas:

{

(5, 3) , (3, 4) , 2, 1) , (1, 3) , (2, 5) , (3, 3) , (4, 4) , (5, 2)

}

que en la figura se unen con una línea quebrada

Continuando con ésta idea, si en vez del conjunto discreto e infinito

 



de puntos del plano, se considera el producto cartesiano del conjunto de números reales por si mismo

 



, entonces por ser denso este conjunto, se tendrá un conjunto de puntos en el plano infinito y continuo (sin espacios vacíos) . En este espacio infinito y continuo de parejas ordenadas

(

x y



)

donde

x

e

y

son números reales, una función f :

R



R

quedará definida exactamente igual que antes, es decir, por cierto subconjunto de parejas ordenadas de este espacio, tal que no exista en él un par de parejas con el mismo valor

x

y distinto valor

y

.

Al representar gráficamente el subconjunto infinito de parejas ordenadas que constituyen una función, se podría obtener una sucesión continua de puntos que forman una curva plana y a su vez, cada punto de la curva representa una pareja ordenada de tal subconjunto.





0

¿ Y cómo escoger del conjunto infinito de parejas ordenadas en el plano cartesiano, un subconjunto que represente una función ? .

Pues bien, para realizar ésta tarea debemos establecer una "regla" o "procedimiento" que asigne a cada valor real

x

sobre la recta numérica horizontal ( llamada eje X ) un solo valor real

y

sobre la recta numérica vertical ( llamada eje Y ).

Tal procedimiento se denota por un símbolo, que es el nombre de la función, y se usa la notación :

y

=

f x

( )

Que se lee : " y es función de x " o también " y es igual a f de x " . para indicar que una variable

y

es una función de la variable

x

.

La letra entre paréntesis (

x

) se llama variable independiente. Es la variable a la que se puede asignar



La letra (

y

) a la izquierda de la igualdad en

y

=

f x

( )

se llama variable dependiente o función . Es



la variable cuyos valores quedan determinados por los valores asignados antes a la variable independiente.

El símbolo (

f

) que antecede a la variable independiente, es el nombre de la función y representa el



conjunto de operaciones matemáticas que se deben realizar con el valor de

x

para calcular el valor de

y

de la función , es decir, representa la regla o procedimiento por medio del cual se obtendrá el valor

y

a partir del valor

x

.Este símbolo puede ser cualquier letra o grupo de letras .

No se debe confundir ésta notación con una multiplicación de

f

por

x

. El símbolo

f x

( )

es



solamente eso, un símbolo que representa una función de

x

.

El conjunto de valores numéricos reales de la variable independiente

x

se le llama dominio de la función. El conjunto de valores numéricos

y

para la función es el rango o codominio.

Ejemplos :

a) El perímetro

P

de una circunferencia es una función de su radio

r

escribimos

P

=

f r

( )

donde

f

representa la operación de multiplicar el valor

r

para el radio de la circunferencia por la cantidad constante 2





. Aquí

r

es la variable independiente y

P

es la función

P =

2



r

r

h

r

b) El volumen

V

de un cono recto circular es una función de su

altura

h

y del radio

r

de su base, así que escribimos:

V

=

f r h

(



)

para indicar que en este caso

V

es una función de dos variables independientes

r

y

h

.

De la geometría elemental, sabemos también que:

V

1

3





r

2





h

=

así que el símbolo

f

aquí significa el siguiente conjunto de operaciones: elevar al cuadrado el valor del radio

r



multiplicar por el valor de la altura

h



multiplicar el resultado anterior por la constante 1

3







c)

z

=

x

2



3

x

La dependencia funcional entre éstas variables se puede representar como :

z

=

g x

( )

donde el símbolo

g

significa : elevar el valor de la variable

x

al cuadrado y sumarle el valor de su raíz cúbica

d)

y

=

2x



x

2



sen ln x



(

( )

)

La dependencia funcional entre éstas variables se puede representar como :

y

=

F x

( )

donde el símbolo

F

significa : elevar el número 2 a la potencia que es el valor de la variable

x

, restar el cuadrado de

x

y sumarle el valor que resulte de calcular el seno del logaritmo natural del valor

x

.

Este último ejemplo muestra que el símbolo funcional puede representar un complejo conjunto de operaciones a realizar con el valor conocido de la variable independiente.

x

y

f(x)

Se puede "visualizar" una función matemática como una caja que contiene un cierto "mecanismo interior" en la cual "se vacía" un número particular para

x

en la entrada.

Cuando el valor

x

se hace pasar a través del mecanismo

f

, se obtiene en la salida un único valor

y

=

f x

( )

de la función . El mecanismo f (x) consiste en todas las operaciones matemáticas que se deben realizar con lo que se "vacie" en la entrada, que puede ser desde un simple valor numérico hasta una complicada expresión algebraica o incluso otra función

Ejemplo 1. Si

f x

( )

=

x

2



4



x



7 calcular los valores funcionales :

a)

f

( )

3 b)

f

(



2

)

c)

f

(

3



u

)

d)

f s

(



1

)

e)

f x



2



3



x



Solución : Estos valores funcionales o cualesquier otro, se obtienen substituyendo cada uno de los valores numéricos de la variable independiente

x

en la definición de la función y realizando las operaciones simbolizadas por

f

, es decir: " haciendo pasar a través del mecanismo

f

el valor numérico

x

" como sigue. . .

para

x

=

3 :

f

( )

3 =

( )

3 2



4 3



( )



7 = 4

para

x

=

3



u

:

f

(

3



u

)

=

(

3



u

)

2



4 3



(



u

)



7 =



9



u

2



12



u



7



para

x

=

s



1:

f s

(



1

)

=

(

s



1

)

2



4



(

s



1

)



7 =



s

2



6



s



12



para

x

=

x

2



3



x

:

f x



2



3



x



=

x

4



6



x

3



5



x

2



12



x



7

Nótese como la variable independiente puede ser substituida por una cantidad numérica o por cualquier expresión algebraica.

Problema para practicar 1: Si A = { 0, 1, 2, 3 } , B = { 2, 1, 0, 1, 2 } ¿qué conjunto

de pares ordenados representan funciones de A a B ? a ) { (0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 2) }

b ) { (0, 1), (2, 2), (1, 2), (3, 0), ( 1, 1) } c ) { (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0) }

d ) { (0, 2), (3, 0), (1, 1) }

Problema para practicar 2: Evaluar la función

f x

( )

=

x



8



2 en cada valor especificado de

la variable independiente y simplificar:

a )

f

(



8

)

b )

f

( )

1 c )

f x

(



8

)

d )

f x

( )



f

( )

8

x



8 Toda función se puede expresar como una ecuación en dos variables ; pero no toda ecuación en dos variables, implica necesariamente que una de ellas es función de la otra .

La condición fundamental que distingue a una función de una ecuación cualquiera, es que en el conjunto de parejas ordenadas

(

x y



)

que constituyen una función, no debe haber un par de ellas con el mismo valor

x

y distinto valor

y

o dicho de otra forma . . .

" Una relación entre dos variables

x

e

y

, es una función, siempre que a cada valor

x

=

a

de la variable independiente, corresponda exactamente un sólo valor

y

=

f a

( )

de la variable dependiente "

1

 1

Y

Al representar gráficamente en el plano cartesiano el conjunto de parejas ordenadas de una función, la condición anterior significa que se obtiene una curva plana tal que toda recta vertical de la forma

x

=

a

la intersecta en un solo punto.

Esta condición fundamental nos permite distinguir rápidamente cuando una curva dada en el plano cartesiano representa o no a la variable

y

como una verdadera relación funcional de la variable

x

.

y

=

f x

( )

Gráfica de un función .

El método más simple, aunque no el más eficaz, para obtener la gráfica de una función

y

=

f x

( )

es la graficación por puntos , que consiste en. . .

asignar arbitrariamente n valores numéricos

x

1,

x

2,

x

3, . . .,

x

n a la variable independiente

x

 8.2

Parábola cúbica horizontal:

y

=

A



3

x

Semicírculo

y

=

R

2



x

2

Parábola vertical :

y

=

A x



2

pues cualquier recta vertical corta a éstas curvas en dos puntos distintos, lo que significa que a un cierto valor de

x

se le asocian dos valores distintos de

y

.

En cambio, las siguientes gráficas si representan a la variable

y

como función de la variable

x

porque cualquier recta vertical las corta en un solo punto .:

Parábola horizontal con vértice en el origen de coordenadas:

y

2

=

A x



Elipse de semiejes a y b con centro en el origen de coordenadas:

x

2

a

2

y

2

b

2



=

1 Circunferencia de radio R con centro en el origen:

x

2



y

2

=

R

2

Solo así se garantiza que a cada valor

x

corresponda un solo valor

y

.

Por ejemplo, las siguientes gráficas no representan una función de

x

sino sólo una ecuación entre

x

y

y

. PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

La gráfica de una función

y

=

f x

( )

es tal que toda recta vertical la corta en un solo punto.

calcular los correspondientes valores:

y

1

=

f x

 

1 ,

y

2

=

f x

 

2 , . . .,

y

n

=

f x

 

n de la función.



representar los puntos



x

1



y

1



,



x

2



y

2



, . . .,



x

n



y

n



, en el plano cartesiano.



conectar en orden los puntos graficados con una curva uniforme, suave y continua.



A este método se le llama también tabulación .

Su mayor inconveniente es que si no graficamos suficientes puntos, podemos obtener una idea equivocada de la forma que tiene la gráfica de la función.

Otro inconveniente es que no proporciona información detallada de la variación de la función, por ejemplo cuando ésta crece o disminuye rápidamente al cambiar

x

o bien si la función tiene puntos de

discontinuidad .

Ejemplo 2. Graficar la función

f x

( )

=

x

2



3

4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Solución : Asignemos a la variable

x

valores numéricos

arbitrarios escogidos a nuestra conveniencia y calculemos los correspondientes valores de la función.

Por ejemplo los que se indican en la siguiente tabla:

x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4



f x

( )

13 6 1 -2 -3 -2 1 6 13



localizando estos puntos en el plano cartesiano . . . 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8

al unir éstos puntos en orden con una línea continua y suave, se obtiene la siguiente curva . . .

Intuitivamente estamos "adivinando" los demás puntos de la curva aunque no los hayamos calculado.

Se está suponiendo que tal curva es continua y que

f x

( )

tiene un valor bien definido para todo número real de su variable independiente

x

.

Sin embargo, si para ésta función hubiésemos calculado solo los cuatro siguientes puntos . . .

entonces no podríamos determinar con exactitud la forma de la curva que representa a la función, puesto que entre otras, estarían las siguientes posibilidades . . .

3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4

que son muy diferentes a la función inicial. ( la última por cierto no es una función, ¿por qué ? ) Enseguida desarrollaremos algunas técnicas que permiten graficar una función de manera más eficaz.

8.3 Intersecciones con los ejes.

Cuando la gráfica de una función o de una ecuación cualquiera cruza por alguno de los ejes de coordenadas, se dice que tiene una intersección .

Frecuentemente, las intersecciones sirven para dar una idea rápida y general sobre la forma de la curva que representa a tal función o ecuación .

Una gráfica puede tener varias intersecciones con los ejes, una sola, o ninguna. A las intersecciones se les llama también raíces .

INTERSECCIONES :

con el eje X . Son las raíces de la ecuación

f x

( )

=

0 .Hágase

y

=

0 en la ecuación dada ( o 

f x

( )

=

0 si se nos da una función ) y resuelva para

x

la ecuación resultante. Se obtendrán así puntos de la forma :



x

1



0



,



x

2



0



, . . . ,



x

n



0



.

con el eje Y . Son las raíces de la ecuación

y

=

f

( )

0 . Hágase

x

=

0 en la ecuación dada o en 

la función

y

=

f x

( )

y resuelva para

y

la ecuación resultante. Se obtendrán así puntos sobre el eje Y de la forma :



0



y

1



,



0



y

2



, . . .



0



y

m



. Diremos que

y

1 ,

y

2 , . . .

y

m

Ejemplo 3. Encuentre las intersecciones con los ejes de la gráfica de

f x

( )

=

3



x

3



3



x

2



6



x

Solución :

Para hallar las intersecciones con el eje X , hagamos

f x

( )

=

0 en la expresión dada y resolvamos la ecuación en

x

. . . 0

=

3



x

3



3



x

2



6



x

2 1 0 1 2 3 7 5 3 1 1 3

que se puede resolver por factorización :

0

=

3



x





x

2



x



2



0

=

3



x



(

x



2

)



(

x



1

)

de modo que las raíces buscadas son:

x

=

0 ,

x

=

2 y

x

=



1

por lo tanto, la curva

y

=

f x

( )

corta al eje X en los puntos:

(



1



0

)

,

(

0 0



)

y

(

2 0



)

Para determinar las intersecciones con el eje Y , hagamos

x

=

0 en

y

=

f x

( )

y resolvamos la ecuación que queda:

f

( )

0

=

3 0



( )

3



3 0



( )

2



6 0



( )

= 0

así que el único punto de intersección con el eje vertical es

(

0 0



)

Problema para practicar 3: Encuentre en forma algebraica las raíces de la función indicada

a)

f x

( )

=

9



x

2



25



x

2 b)

f x

( )

x

2 9



x





14 4



x

=

8.4 Simetría .

Las gráficas de las funciones o de las ecuaciones, pueden tener simetría respecto a uno de los ejes de coordenadas o respecto a ambos ejes de coordenadas (en este último caso se dice que tienen simetría respecto al origen ) .

Simetría respecto al eje

X

significa que si el plano cartesiano se doblara a lo largo de ese eje , la parte de la gráfica arriba del eje

X

coincidiría exactamente con la parte debajo de él .

Simetría respecto al eje

Y

significa que si el plano cartesiano se doblara a lo largo del eje

Y

, la parte de la gráfica a la derecha del eje

Y

coincidiría exactamente con la parte a la izquierda de tal eje .

Simetría respecto al origen significa que si el plano cartesiano se doblara a lo largo del eje X hacia arriba y luego a lo largo del eje Y hacia la derecha , las partes de la gráfica coincidirían exactamente en el primer cuadrante en una sola curva.

X

Y

O

( x , y)

( x , -y)

X

Y

O

( x , y)

( -x , y)

X

Y

O

( x , y)

( -x , -y)

simetría respecto al eje X simetría respecto al eje Y simetría respecto al origen

La simetría facilita obtener la graficar una función o de una ecuación, puesto que si existe simetría, solo se requiere calcular la mitad de los puntos de su gráfica .

Como ya se indicó antes, hay tres tipos de simetría:

Simetría de una gráfica respecto al eje X . El eje X divide al plano cartesiano en dos semiplanos



iguales. Si una curva es simétrica respecto al eje X entonces todo punto

(

x y



)

de la curva en el semiplano superior tiene una "imagen"

(

x





y

)

en el semiplano inferior , como si el eje X fuese un "espejo horizontal" en el que se refleja tal curva.

Simetría de una gráfica respecto al eje Y . El eje Y divide al plano cartesiano en dos semiplanos



iguales. Si una curva es simétrica respecto al eje Y entonces todo punto

(

x y



)

de la curva en el semiplano derecho, tiene una "imagen"

(



x



y

)

en el semiplano izquierdo, como si el eje Y fuese un "espejo vertical" en el que se refleja tal curva

Simetría de una gráfica respecto al origen . En este caso ambos ejes, el eje X y el eje Y actúan



como "espejos" de modo que todo punto

(

x y



)

sobre la curva tiene una "imagen"

(

x





y

)

respecto al eje X , la cual a su vez tiene una "imagen"

(



x





y

)

respecto al eje Y que también se encuentra sobre tal curva.

Ejemplo 4. Determinar la simetría de la curva correspondiente a la ecuación :

x

=

4



y

2

Solución :

Calculando algunos puntos para la ecuación

x

=

4



y

2 se obtiene . . .

notamos que hay pares de puntos que son imágenes uno del otro, respecto al eje X , por ejemplo el par

(



12





4

)

y

(



12



4

)

o el par

(

3





1

)

y

(

3 1



)

, o en general, que si se reemplaza la variable

y

por



y

en la ecuación inicial queda . . .

10 8 6 4 2 0 2 4 6 4 2 2 4

x

=

4



(



y

)

2 = 4



y

2

la misma ecuación inicial.

Se deduce que si un punto

(

x y



)

está sobre la curva, también lo está el punto

(

x





y

)

. Todo esto indica que la ecuación representa una curva que tiene simetría respecto al eje X en el plano cartesiano .

De este modo se tiene la siguiente . . .

PRUEBA DE SIMETRIA

La gráfica de una ecuación ( o función ) es simétrica . . .

respecto al eje X si al reemplazar

y

por



y

en la ecuación se obtiene la misma 

ecuación inicial.

respecto al eje Y si al reemplazar

x

por



x

en la ecuación se obtiene la misma 

ecuación inicial.

respecto al origen si al reemplazar

x

por



x

y

y

por



y

en la ecuación se 

obtiene la misma ecuación inicial.

Ejemplo 5. Trazar la gráfica de la ecuación

y

=

x

3



4



x

.

Solución :

Al reemplazar

y

por



y

es obvio que no se obtiene la misma ecuación, así que la gráfica de ésta ecuación no es simétrica respecto al eje X .

Cuando se reemplaza la variable

x

por



x

la ecuación queda :

y

=

(



x

)

3



4



(



x

)

=



x

3



4



x

que no es la ecuación inicial, de modo la gráfica tampoco es simétrica respecto al eje Y ; pero cuando se reemplazan simultáneamente

x

e

y

por



x

y

y



resulta .



y

=

(



x

)

3



4



(



x

)

o

y

=

x

3



4



x

3 1 1 3 5 3 1 1 3 5

No todas las gráficas de funciones o de las ecuaciones tienen simetría, ésta es una característica especial que incluso puede perderse por una simple translación horizontal o vertical de la gráfica, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6. Trazar la gráfica de las funciones

f x

( )

=

x

y

g x

( )

=

x



2

Solución :

El valor absoluto

x

de un número real

x

es siempre una cantidad positiva ,así que

6 4 2 0 2 4 6

2 2 4 6

substituyendo la variable

x

por



x

se tiene que . . .

f x

( )

=

x

y

f

(



x

)

=



x

=

x

esto es,

f

(



x

)

=

f x

( )

lo cual significa que la gráfica de ésta función es simétrica respecto al eje Y porque todo punto

x f x



( )

(

)

tiene una imagen

(



x



f x

( )

)

simétrica respecto al eje Y , tal como se puede apreciar en la primer figura de la derecha .

Sin embargo, al graficar la función

f x

( )

=

x



2 , se obtiene una gráfica idéntica a la anterior, excepto que está desplazada hacia la derecha en 2 unidades y ha perdido la simetría que tenía inicialmente .

Inversamente, si notamos que cierta gráfica presenta simetría respecto a alguna recta horizontal o vertical, es posible transladar dicha gráfica de manera que sea simétrica respecto al eje X , al eje Y o al origen.

4 2 0 2 4 6 8

2 2 4 6

Ejemplo 7. Trazar la gráfica de a)

y

=

x

3 , b) 9



x

2



y

2

=

36

Solución : Haciendo las pruebas de simetría correspondientes se obtiene que . . . a ) Simetría respecto al eje X .

Reemplace

y

por



y

y



=

x

3

y

=



x

3

Simetría respecto al eje Y . Reemplace

x

por



x

y

=

(



x

)

3

y

=



x

3

Simetría respecto al origen . Cambie

y

por



y

y

x

por



x

y



=

(



x

)

3

y



=



x

3

y

=

x

3 3 1 1 3 5 3 1 1 3 5

por lo tanto, sólo la simetría respecto al origen genera la misma ecuación inicial.

su gráfica es simétrica respecto al origen. Ésta ecuación representa además una función, y su gráfica se llama parábola cúbica

b ) Simetría respecto al eje X . Reemplace

y

por



y

9



x

2



(



y

)

2

=

36 9



x

2



y

2

=

36

Simetría respecto al eje Y . Reemplace

x

por



x

9



(



x

)

2



y

2

=

36 9



x

2



y

2

=

36

Simetría respecto al origen . Cambie

y

por



y

y

x

por



x

9



(



x

)

2



(



y

)

2

=

36 9



x

2



y

2

=

36 3 1 1 3 7 5 3 1 1 3 5 7

y en este caso, las tres pruebas de simetría generan la misma ecuación inicial, por lo tanto, la gráfica de ésta ecuación es simétrica respecto al origen, al eje X y al eje Y .

Para trazar esta curva solo se necesita tabular su forma en el primer cuadrante, sus otras partes son completamente simétricas a ésta.

Esta curva representa una elipse con centro en el origen, un semieje horizontal 2 y un semieje vertical de 6 unidades. ¿Por qué esta gráfica no representa una función? .

Las funciones cuyas gráficas presentan simetría respecto al eje Y se llamanfunciones pares, y las que tienen simetría respecto al origen se llaman funciones impares .

PARIDAD DE FUNCIONES .

La función

y

=

f x

( )

es par si al substituir

x

por



x

se obtiene la misma relación funcional, 

es decir si las expresiones

y

=

f x

( )

,

y

=

f

(



x

)

son iguales.

f x

( )

=

f

(



x

)

La función

y

=

f x

( )

es impar si al substituir

x

por



x

e

y

por



y

se obtiene la misma 

relación funcional , es decir si

y

=

f x

( )

,



y

=

f

(



x

)

son iguales, esto es :

f x

( )

=



f

(



x

)

Ejemplos .

G x

( )

1

x

2

=

Esta es una función par porque:

G

(



x

)

1

x



(

)

2

=

= 1

x

2 =

G x

( )

Por lo tanto tiene simetría respecto al eje Y .

Nótese que la función no está definida en

x

=

0 pues tiende al infinito + en ese punto.

H x

( )

1

x

3

=

Es una función impar porque:

H

(



x

)

1

x



(

)

3

=

= 1

x

3



=



H x

( )

y por lo tanto tiene simetría respecto al origen.

Nótese que

H x

( )

no está definida en x = 0 pues tiende al infinito positivo (+ ) cuando la variable

x

toma valores muy cercanos al cero por la derecha (

x



0) y tiende al infinito negativo (cuando

x

toma valores casi cero pero negativos

f x

( )

1

x

2



1

=

Es una función par porque:

f

(



x

)

1

x



(

)

2



1

=

= 1

x

2



1 =

f x

( )

así que tiene simetría respecto al eje Y .

Esta función tiende al valor 0 cuando la variable

x

toma valores positivos muy grandes o valores negativos muy grandes .

h x

( )

=

3



x

2



x



x

3 función que no es par ni impar .

( no tiene paridad ) porque :

h

(



x

)

=

3



(



x

)

2



2



(



x

)



(



x

)

3 = 3



x

2



2



x



x

3

de modo que

h

(



x

)



h x

( )

y

h

(



x

)





h x

( )

Por otra parte, si ésta misma función se translada una distancia de 1 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo, se convierte en una función impar, pues adquiere simetría respecto al origen.

Ésta función trasladada se representa con la línea de puntos en la gráfica de la derecha 15 9 3 3 9 15

No se concluya de éste último ejemplo que toda función matemática sin paridad se puede hacer par o impar mediante una simple translación. Existen otras funciones que no tienen paridad aunque se trasladen, giren o se deformen

Problema para practicar 4: Determine si la función es par, impar o no tiene paridad.

Luego describa la simetría

8.5 Dominio y rango .

Aunque en principio es posible asignar cualquier valor numérico a la variable independiente de una función, puede ser que ciertos valores particulares

x

no generen un número real

f x

( )

.

Estos valores de la variable independiente deben ser excluidos del dominio natural de la función, es decir , no son parte del dominio de la función.

Si no se indica el dominio de una función

y

=

f x

( )

, entonces su dominio es el conjunto de números reales

x

que al ser substituidos en la expresión

f x

( )

, generan valores reales para la variable

dependiente

y

.

El rango de la función es el conjunto de todos los valores de la función que corresponden a todos los posibles valores del dominio.

En este sentido es posible interpretar a una función

y

=

f x

( )

, como un procedimiento que "transforma" los valores del dominio en los valores del rango .

Rango Dominio

f

x

_f(x)

El símbolo

f x

( )

representa al número real en el rango de la función

f

correspondiente al valor

x

del dominio.

El par ordenado

(

x f x



( )

)

pertenece a la función

f

.

Para las funciones algebraicas, dos condiciones importantes determinan o limitan su dominio :

I Las raíces pares de números negativos no son números reales . II La división por cero no está definida .

3 2 1 0 1 2 3

1 1 2 3

Consideremos por ejemplo la función

f x

( )

=

x



2

Debido a que sólo los números positivos tienen raíces cuadradas que son números reales, el dominio de ésta función está

determinado por la condición de que el radicando sea un número positivo :

x



2



0

La solución de ésta desigualdad es . . .

x



2



( )

2



0



( )

2 (sumando



2 en ambos miembros)

x



0





2 ( simplificando )

x





2

de modo que el dominio de ésta función no es cualquier número real sino solamente el conjunto de números que quedan a la derecha del



2 sobre la recta numérica real X y que forman un intervalo infinito denotado por [2 ,  ) .

Como en la definición de la función se considera solo la raíz cuadrada positiva, se deduce que su rango es el conjunto de números reales positivos ( los que quedan arriba del 0 sobre el eje Y ) es decir es el intervalo [ 0 ,  ) 5 3 1 1 3 2 1 1 2

Por contraejemplo la función

g x

( )

=

3

x



2

no tiene ninguna restricción sobre los valores para su variable independiente

x

puesto que la raíz considerada no es par.

( la raíz cúbica de cualquier número real es un número real )

Tanto el dominio como el rango de ésta función, consisten en el intervalo ( , ) , es decir, todos los números reales. El polinomio :

f x

( )

=

2



x

2



11



x



12 que se factoriza como :

f x

( )

=

(

2



x



3

)



(

x



4

)

es una función en la cual no se imponen restricciones en los posibles valores que se puedan asignar a su variable independiente

x

pues no implica divisiones por cero ni raíces pares de números negativos. Por ello, su dominio es todo el conjunto de números reales, esto es, el intervalo desde el infinito negativo hasta el infinito positivo (  ,  ).

El rango de ésta función ( o de cualquier otra función ) es la "proyección" de su gráfica sobre el eje vertical Y

En este caso va desde el vértice de la parábola hasta el infinito positivo: [ 25/8 ,  2 0 2 4 6 5 5 10 15 20

Por contraejemplo, la función recíproca :

F x

( )

1

2



x

2



11



x



12





=

= 1

2



x



3

(

)



(

x



4

)

es una función racional que implicaría una división por cero si a la variable

x

se le asignan los valores

x

=

4 o

x

3

2

=

.

Por lo tanto, esos valores deben ser excluidos del dominio de esta función.

Se dice entonces que el dominio de ésta función es todo el conjunto de números reales, con excepción de los números 3

2

y 4 , lo cual se expresa como:

x

3

2



,

x



4

o equivalentemente, la unión de los intervalos abiertos:





3 2













3 2



4













4







1 0 1 2 3 4 5 6 3 2 1 1 2 3

Algunas veces, las dos condiciones básicas se combinan para limitar el dominio de una función , por ejemplo si en la función anterior consideramos la raíz cuadrada del denominador, se obtiene la siguiente función irracional:

G x

( )

1

2



x

2



11



x



12

=

= 1

2



x



3

(

)



(

x



4

)

Para que ésta función esté definida, los valores que asignemos a su variable independiente

x

deben satisfacer las dos condiciones básicas:

el número 2



x

2



11



x



12 debe ser positivo, de lo contrario, su raíz cuadrada no será un



número real, esto es :



2



x

2



11



x



12





0

el denominador no puede valer cero, la división por cero no está definida: 2



x

2



11



x



12



0 

lo cual implica que



2



x

2



11



x



12





0

la solución de esta inecuación

(

2



x



3

)



(

x



4

)



0 , conduce a

x

3

2



y

x



4 . y la solución de la desigualdad



2



x

2



11



x



12





0 se realiza por factorización:

2



x



3

(

)



(

x



4

)



0 ( factorizando )

x

3

2

=

,

x

=

4 ( extrayendo las raíces de los factores )

Se localizan ahora las raíces sobre la recta numérica real, la cual va a quedar dividida en los intervalos :





3 2











, 3 2



4









,



4







Se calcula el signo que tienen los factores

(

2



x



3

)

y

(

x



4

)

en cada uno de estos intervalos:

También es posible obtener el signo de cada factor, asignando a la variable

x

un valor numérico arbitrario y calculando el valor de los factores, como se muestra en la siguiente tabla

(Se usa la propiedad de que el signo de un factor lineal permanece sin cambio en cada uno de los dos intervalos determinados por su raíz )

1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 1 1 2 3 4

De éste modo, los intervalos donde es verdadera la desigualdad son





3

2











y



4







. No se incluyen

los extremos de estos intervalos debido a la condición anterior que excluye los números 3

2 y 4 .

Se dice entonces que la función

G x

( )

está definida solo en





3

2











y



4







, o bien que éstos intervalos

constituyen su dominio natural de definición .

Como se aprecia en la figura de la derecha, la gráfica no existe en el intervalo 3

2



4









En otras palabras , la variable independiente

x

de ésta función no puede tomar valores en el intervalo cerrado

[

3

2 , 4

]

porque en éste subconjunto de números reales los valores correspondientes de la

función

G x

( )

no son números reales .

Más adelante encontraremos otras condiciones que determinan el dominio de las funciones matemáticas.

Ejemplo 8. Encuentre los dominios de las funciones : a)

f x

( )

4

x



2

=

b)

g x

( )

=

16



x

2 c)

h x

( )

x



2

x



3

=

d)

p x

( )

=

2



5



x



x

2 Solución : Dominio de

f x

( )

La fracción 4

x



2

representa un número real para cualquier valor real que se asigne a la variable

x

con excepción del número 2 , puesto que con tal valor se genera una

división por cero, la cual no está definida.

Así que

f

( )

2 no existe y el dominio de ésta función es todo el conjunto de números reales excepto el 2 . Este dominio se indica por

x



2 o también por (- , 2 )



( 2 ,  ) . Dominio de

g x

( )

:

Para que

g x

( )

represente un número real, es necesario que el radicando de la raíz cuadrada sea un número positivo ( las raíces cuadradas de números negativos no son

números reales), esto es . . . 16



x

2



0 .

factorizando la desigualdad

(

4



x

)



(

4



x

)



0 y aplicando el método analizado en la sección anterior se encuentra que su solución es . . .



4



x



4 o [ 4 , 4 ] Dominio de

h x

( )

:

El radicando de ésta raíz par debe ser un número positivo, de lo contrario la función

h x

( )

no representa un número real. Es decir, los valores asignados a

x

deben cumplir la restricción :

x



2

x



3 0



Los factores de ésta desigualdad son

(

x



2

)

,

(

x



3

)

y sus raíces son

x

=

2 ,

x

=



3, así que resolviéndola por el método analizado en la sección anterior se llega a dos intervalos solución . . .

x





3 y 2



x

o (- , 3 )



[2 ,  )

en otras palabras, la función

h x

( )

no existe en el intervalo



3



x



2 o [3 , 2 ) Dominio de

p x

( )

:

El dominio de ésta función es el conjunto R de números reales, puesto que su definición no implica alguna restricción sobre los posibles valores que se puedan asignar a su variable independiente, de modo que

p x

( )

representa un número real cuando la variable

x

se substituye por cualquier número real.

Este dominio se indica por el intervalo infinito













En general, todos los polinomios, como la función correspondiente a éste último ejemplo tienen como dominio a todo el conjunto R .

Problema para practicar 5: Determine el dominio de las siguientes funciones.

a)

f y

( )

3



y

y



5

=

b)

f x

( )

=

4

x

2



3



x

c)

f x

( )

x



5

x

2



9

8.6 Crecimiento y decrecimiento .

Otra característica que puede ayudar a determinar la gráfica

y

=

f x

( )

de una función, es su

comportamiento a medida que su variable independiente

x

aumenta, esto es a medida que recorremos el eje de números reales X de izquierda a derecha .

Se dice entonces que una función

f x

( )

es creciente si al aumentar

x

también aumenta tal función . Si al aumentar

x

la función disminuye, entonces se dice que tal función es decreciente .

X

Y

O

a

b

c

d

e

Así por ejemplo, en la gráfica de la función mostrada en la figura de derecha, al recorrer el eje X de izquierda a derecha, se observa que :

en el intervalo (a , b) la gráfica se "eleva" o



"sube" ( la función es creciente ) . en el intervalo (b , c) .la gráfica "baja" o



"desciende" ( la función es decreciente) en el intervalo (c , d) la gráfica permanece



horizontal ( la función se mantiene constante ) . en el intervalo (d , e) nuevamente la función "se



eleva" o "sube" ( la función es creciente ) .

Aunque existen funciones matemáticas que son siempre crecientes o siempre decrecientes, por lo general, una función tiene intervalos de crecimiento y de decrecimiento combinados, o intervalos donde es constante.

FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES

Una función

f x

( )

es creciente en un intervalo si para dos números

x

1 y

x

2 en ese intervalo se cumple que cuando

x

1



x

2 entonces

f x

 

1



f x



2

Una función

f x

( )

es decreciente en un intervalo si para dos números

x

1 y

x

2 en ese intervalo se cumple que cuando

x

1



x

2 entonces

f x

 

1



f x



2

Una función

f x

( )

es constante en un intervalo si para cualesquiera dos números reales

x

1 ,

x

2 en ese intervalo

f x

 

1

=

f x

 

2

Los puntos donde una función cambia su comportamiento creciente, decreciente o constante, sirven para calcular sus valores máximos y mínimos relativos; sin embargo para determinar de manera precisa los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cualquiera, es necesario el cálculo diferencial.

Ejemplo 9. Determinar el comportamiento creciente o decreciente de las siguientes funciones : a)

f x

( )

=

x

2



1 b)

g x

( )

=

3



x

3



9



x

c)

h x

( )

1

x

2



1

=

d)

p x

( )

=

3x

2 1 0 1 2 3 2 1 1 2 3 Solución : a)

f x

( )

=

x

2



1

Como se puede apreciar, la gráfica de esta función es simétrica respecto al eje Y . Se dice que es una función par , que además es

decreciente en el intervalo (  , 0 ] creciente en el intervalo [ 0 ,  )

b)

g x

( )

=

3



x

3



9



x

Esta es una función impar puesto que :

g

(



x

)

=

3



(



x

)

3



9



(



x

)

=



3



x

3



9



x

=





3



x

3



9



x



=



g x

( )

La gráfica de la función es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Se factoriza como:

g x

( )

= 3



x





x



3







x



3



y por lo tanto, sus interceptos con el eje X (sus raíces reales ) son :

x

=



3 , 0 y 3 Además es una función:

creciente desde





hasta

x

=



1

decreciente desde

x

=



1 hasta

x

=

1

creciente desde

x

=

1 hasta



c)

h x

( )

1

x

2



1

=

Esta es una función par puesto que :

h

(



x

)

1

x



(

)

2



1

=

= 1

x

2



1 =

h x

( )

por lo tanto, su gráfica es simétrica respecto al eje Y .

Tiende al valor 0 para valores muy grandes de

x

(positivos o negativos ) y su máximo valor es 1 cuando la variable

x

vale cero, es decir

h

( )

0

=

1.

No hay restricciones para los valores de

x

, así que su dominio es todo el conjunto de números reales y como los valores de la función son siempre positivos, su rango es el intervalo (0 , 1]

Esta es una función:

creciente en el intervalo ( , 0 ) decreciente en el intervalo ( 0 ,  ). 3 2 1 0 1 2 3 8 6 4 2 2 4 6 8 5 3 1 1 3 5 0.1 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

3 1 1 3 1 1 3 5 7 d)

p x

( )

=

3x

Esta función no tiene paridad porque

p

(



x

)

=

3x = 1

3x

p x

( )



por lo cual su gráfica no tiene simetría.

Su dominio es todo el conjunto de números reales pero su rango está limitado a valores positivos (0 ,  )

Es una función que siempre es creciente

Problema para practicar 6: Determine la simetría de la función y sus intervalos de crecimiento

a)

y

=

100



4



x

2 b)

h x

( )

=

x

3



5 c)

g s

( )

4

s

2 3



=

8.7 Funciones elementales .

Para adquirir habilidad en el trazo de funciones, es conveniente que conocer muy bien las características de las funciones básicas. Algunas de ellas ya las hemos analizado en capítulos anteriores:

3 2 1 0 1 2 3 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 a) función lineal .

f x

( )

=

a x





b

Representa una línea recta que tiene una pendiente de valor

a

. La función lineal tiene las siguientes características:

Su dominio es todo el conjunto de números reales



Su rango es también todo el conjunto de números reales .



Es creciente si su pendiente es positiva

a



0 y es decreciente si



tal pendiente es negativa

a



0

Su gráfica corta al eje X en el punto



b

a



0









y al eje Y en el 

punto

(

0



b

)

Dos casos especiales de funciones lineales son :

c

función constante :

f x

( )

=

c

función identidad :

f x

( )

=

x

La función constante tiene como rango un solo número :

c

.

La función identidad tiene una pendiente de valor 1 e intercepta a los ejes en ( 0 , 0 ) , en su gráfica todo punto tiene el mismo valor de abscisa

x

que de ordenada

y

.

b) función cuadrática .

f x

( )

=

a x



2

Representa una parábola vertical que intercepta a los ejes en el punto

(

0 0



)

y se "abre hacia arriba" si el coeficiente

a

es positivo .

La función cuadrática con

a



0 tiene las siguientes características:

Su dominio es todo el conjunto de números reales



Su rango es el conjunto de números reales positivos..



Es una función par .



Su gráfica es simétrica respecto al eje Y .



La función es decreciente en el intervalo









0



y es



creciente en el intervalo



0







Tiene un valor mínimo en el vértice de la parábola



Si el coeficiente

a

es negativo, la parábola se "abre hacia abajo" , sigue siendo una función par con una gráfica simétrica respecto al eje Y ; pero ahora tiene un valor máximo en su vértice , es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha

c) función cúbica .

f x

( )

=

a x



3

Representa una parábola cúbica que intercepta a los ejes en el punto

(

0 0



)

y se "extiende de abajo a la izquierda hacia arriba a la derecha" si el coeficiente

a

es positivo.

La función cúbica tiene las siguientes características: Su dominio es todo el conjunto de números reales



Su rango es también todo el conjunto de números reales.



Es una función impar.



Su gráfica es simétrica respecto al origen .



Es siempre creciente cuando

a



0 

Si el coeficiente

a

es negativo, la parábola se "extiende desde arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha" . Sigue siendo una función impar con una gráfica simétrica respecto al origen; pero ahora es siempre decreciente, como se ilustra en la figura de la derecha.

d) función raíz cuadrada .

f x

( )

=

x

Representa la mitad de una parábola horizontal que inicia en

(

0 0



)

. La función raíz cuadrada tiene las siguientes características:

Su dominio es el conjunto de números reales positivos (

x



0) ,



debido a que no son números reales las raíces cuadradas de números negativos.

Su rango es el conjunto de números reales no negativos, debido



a que se considera solo el signo positivo de la raíz cuadrada, con el signo negativo de la raíz, se obtiene otra función raíz cuadrada

No tiene paridad.



Su gráfica es creciente en todo su dominio



0









e) función recíproco .

f x

( )

1

x

=

Representa una hipérbola equilátera . La función recíproco tiene las siguientes características:

Su dominio es todo el conjunto de números reales excepto el



valor

x

=

0 , dado que la división por cero no existe , es decir es el par de intervalos









0







0







Su rango es también el conjunto de números reales excepto el



cero









0







0







. Cuando

x

tiene un valor muy pequeño, la función tiene un valor muy grande y cuando

x

toma un valor infinitamente grande, la función tiende al cero.

Es una función impar



Su gráfica es simétrica respecto al origen .



Su gráfica es siempre decreciente en todo su dominio.



La gráfica no tiene intersecciones con los ejes de coordenadas.

f) función valor absoluto .

f x

( )

=

x

tiene las siguientes características:

Su dominio es todo el conjunto de números reales.



Su rango es el conjunto de números reales no negativos



[ 0 ,  ) dado que el valor absoluto de un número real

x

es siempre una cantidad positiva Es una función par



Su gráfica es simétrica respecto al eje Y .



Es decreciente para

x



0 y creciente para

x



0 

Su gráfica tiene una sola intersección con los ejes de

 coordenadas en el punto ( 0 , 0 ) 4 2 0 2 4 1 1 2 3 4

g) función mayor entero ( o función suelo ).

f x

( )

=

x

Esta es una función escalonada que asigna el número entero mayor que es igual o menor al valor que toma la variable

x

. Así por ejemplo . . .

2.3 =

entero_mayor



2.3 = 2



1 2 =

entero_mayor

1



2



=



1 1 10 =

entero_mayor

1 10



= 0 etc. 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 1 2 3

La función mayor entero tiene las siguientes características: Su dominio es el conjunto de números reales.



Su rango es el conjunto de números enteros



La función es constante entre cada par de números enteros



consecutivos

Su gráfica salta verticalmente una unidad en cada valor



entero de la variable

x

Tiene una intersección con el eje Y en ( 0, 0 ) y coincide



con el eje X en el intervalo [0 , 1)

Es recomendable adquirir cierta familiaridad con éstas funciones básicas, que además de ser las más usadas en álgebra, son de especial importancia para analizar funciones más complicadas, como son por ejemplo las que se obtienen de éstas mismas funciones elementales pero trasladándolas, reflejándolas o cambiando su escala respecto a los ejes X o Y .

Ejemplo 10. Encontrar la función lineal

f x

( )

par la cual se sabe que

f

( )

3

=

9 y

f

(



1

)

=



11