AlGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA ANALITICA – (0250) RECUPERACIÓN PARCIAL I SEMESTRE 3-2016 29-03-2016 CICLO BÁSICO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA U.C.V. F.I.U.C.V.
Nombre y Apellido: _______________________________________________ C.I:______________
1) (5 puntos) Coloque en el paréntesis la letra V o F según sea la proposición verdadera o falsa respectivamente. Justifique su respuesta.
a)
( ) Toda matriz diagonal es simétrica.b)
( ) Si A y B son matrices cuadradas, entonces siempre se verifica que det(A B)+ = det(A) det(B)+ .c)
( ) El producto de una matriz fila por una matriz columna se conoce como producto interno o escalar.d)
( ) Sean A, B y C matrices cuadradas. Si A.B= A.C entonces siempre se puede afirmar que B = C.e)
( ) Sean A y B matrices tal que A.B es posible. Se verifica siempre que (A.B)t = A .Bt t.f)
( ) La diagonal principal de toda matriz antisimétrica es nula.g)
( ) Toda matriz simétrica es invertible.h)
( ) Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada tal que su matriz traspuesta y su matriz inversa coinciden. De acuerdo a lo anterior la matriz identidad es una matriz ortogonal.i)
( ) Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz es nula.j)
( ) Un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado posee infinitas soluciones.2) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial
4 1 .X 1 2 0 1 0 1 2 1 1 0 2 1 0 1 1 0 3 0 .
3) AL y Asociados fabrica 3 tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar un Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 horas para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? Se desea que:
a) (1 punto) Plantee el sistema de ecuaciones lineales para el problema propuesto. b) (3 puntos) Encuentre (si existe) la solución del sistema.
4) (4 puntos) Utilice únicamente propiedades de los determinantes para demostrar que
5) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
0
2
2
)
2
1
(
1
mz
my
mx
z
m
y
mx
mz
my
x
a) (2 puntos) Encuentre todos los valores reales de m para los cuales el sistema dado es: compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible.
b) (3 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones para todos aquellos valores reales de m en los que es compatible.
Importante: Apague su celular. Sea ordenado al trabajar. Simplifique los resultados para mayor claridad y precisión. No use Calculadora. Justifique todas sus respuestas.
Solución
1) (5 puntos) Coloque en el paréntesis la letra V o F según sea la proposición verdadera o falsa respectivamente. Justifique su respuesta.
a) (V) Toda matriz diagonal es simétrica.
b) (F) Si A y B son matrices cuadradas, entonces siempre se verifica que
det(A B)+ = det(A) det(B)+ .
c) (V) El producto de una matriz fila por una matriz columna se conoce como producto interno o escalar.
d) (F ) Sean A, B y C matrices cuadradas. Si A.B= A.C entonces siempre se puede afirmar que B = C.
e) (F) Sean A y B matrices tal que A.B es posible. Se verifica siempre que (A.B)t = A .Bt t. f) (V) La diagonal principal de toda matriz antisimétrica es nula.
g) (F) Toda matriz simétrica es invertible.
h) (V) Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada tal que su matriz traspuesta y su matriz inversa coinciden. De acuerdo a lo anterior la matriz identidad es una matriz ortogonal.
i) (F) Si el determinante de una matriz es cero, entonces la matriz es nula.
j) (V) Un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado posee infinitas soluciones.
2)
Resuelva la ecuación matricial
4 1 1 2 0 1 0 1 2 1 .X 1 0 2 1 0 1 1 0 3 0
.
1 4 1 1 2 0 1 0 1 2 1 4 1 1 1 2 0 .X .X 1 0 2 1 0 1 1 0 3 0 1 0 3 1 3 1 4 1 1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 3 1 3 1 X X X 1 0 3 1 3 1 1 4 3 1 3 1 13 3 10 4 3) AL y Asociados fabrica 3 tipos de computadora personal: Ciclón, Cíclope y Cicloide. Para armar un Ciclón se necesitan 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 más para instalar sus programas. El tiempo requerido para la Cíclope es 12 horas en su ensamblado, 2.5 horas para probarla y 2 horas para instalarla. La Cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas de prueba y 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320 horas para instalar, ¿cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes? Se desea que:
a) (1 punto) Plantee el sistema de ecuaciones lineales para el problema propuesto. b) (3 puntos) Encuentre (si existe) la solución del sistema.
a
) Plantee el sistema de ecuaciones lineales para el problema propuesto.
Definición de las variables:
Sean
x
: Número de Ciclón producidas en un mes
y
: Número de Cíclope producidas en un mes
z
: Número de Cicloide producidas en un mes
Entonces el sistema queda representado por
320
5
1
2
2
340
5
1
5
2
2
1560
6
12
10
z
y
x
z
y
x
z
y
x
.
.
.
; Con
0
0
0
y
z
x
;
;
b)
Encuentre (si existe) la solución del sistema. Solución:
x =
60
,
y =
40 y
z =
80.
4) (4 puntos) Utilice únicamente propiedades de los determinantes para demostrar que
5) Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
0
2
2
)
2
1
(
1
mz
my
mx
z
m
y
mx
mz
my
x
(2 puntos) Encuentre todos los valores reales de m para los cuales el sistema dado es: compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible.
Sistema compatible determinado (solución única):
Infinitas soluciones. Al reducir se obtiene Sistema inconsistente. Al reducir se obtiene Sistema inconsistente
Sistema compatible determinado (solución única): Sistema compatible indeterminado (soluciones infinitas): Sistema incompatible (no posee solución):
(3 puntos) Resuelva el sistema de ecuaciones para todos aquellos valores reales de m en los que es compatible.
Para
Para la solución única.
Partiendo de
Por tanto la solución única queda de la forma
