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(1)

FUNDAMENTOS DE

INGENIERÍA ELÉCTRICA

PROBLEMAS RESUELTOS

Carmen García López

DEPARTAMENTO DE

(2)
(3)

1

PROBLEMAS RESUELTOS

1.1. La carga total que entra por el terminal de un elemento, viene dada por

q(t)=4t2-7t mC. Calcular la intensidad de corriente eléctrica que circula

en los instantes: t1=0s y t2=2s.

La intensidad que circula por un elemento es debida a la variación de carga, y se obtiene mediante la expresión

i t dq t dt ( )= ( ) Si q t( )=4t2 −7tmC, entonces i t dq t dt t ( )= ( )= −8 7 mA Para t1 =0s, i t( )1 = −7mA Para t2 =2s, i t( )2 =9mA

1.2. Por un elemento circula una intensidad de 6mA y está: a) absorbiendo

una potencia eléctrica de 18mW, y b) suministrando al circuito una potencia de 12mW. Determinar la tensión en cada uno de los casos anteriores. ¿Qué energía eléctrica suministra el elemento en el caso b) entre los instantes, 2s y 7s.

Criterio de signos: v -+ i p v i p p = ⋅  ><

Potencia absorbida, positiva Potencia suministrada, negativa

( )

( )

0 0

(4)

2 a) p=18 mW p v i v p i = ⋅ ⇒ = = ⋅ ⋅ = − − 18 10 6 10 3 3 3 V b) p= −12 mW p v i v p i = ⋅ ⇒ = = − ⋅ ⋅ = − − − 12 10 6 10 2 3 3 V

La energía suministrada en un intervalo de tiempo es

w p t dt t t =

( ) 1 2 Para t1 =2s y t2 =7s, w=

p t dt( ) = −

( )dt= − ⋅t] = − 2 7 2 7 2 7 12 12 60J

1.3. En la figura 1.1, calcular v, si i = -2mA y el elemento está: a) Absorbiendo una potencia de 18mW.

b) Suministrando una potencia de 20mW.

i

v

Figura 1.1

a) El elemento absorbe potencia, por tanto p = 18mW

p v i v p i = ⋅ ⇒ = = − ⋅18 10⋅ −− = − 2 10 9 3 3 V

(5)

3 p v i v p i = ⋅ ⇒ = = − ⋅− ⋅20 10−− = 2 10 10 3 3 V

1.4. Si la intensidad de corriente eléctrica que entra por el terminal positivo de un elemento es: i(t)=4sen2t A, para t≥≥≥≥0, y i(t)=0, para t<0. Calcular la potencia eléctrica suministrada al elemento para t≥≥≥≥0 y la carga que circula por el elemento entre los instantes t=0s y t=ππππ/4s, cuando: a) v=2i, b) v=5(di/dt), estando v en voltios e i en amperios.

i t t t t ( )= sen ≥ <    4 2 0 0 0 A a) v=2i v t t t t ( )= sen ≥ <    8 2 0 0 0 V

p t( )= =vi ( sen4 2t)( sen8 2t)=32(sen2t)2 W

]

qT =

4 2tdt= −2 2t 04 = −2 0 1− =2 0 4 sen cos ( ) π π C b) v di dt =5 v t t t t ( )= cos ≥ <    40 2 0 0 0 V

p t( )= =vi ( sen4 2t)(40cos2t)=160sen2tcos2t=80sen4 W t

]

qT =

4 2tdt= −2 2t 0 = −2 0 1− =2 4 0 4 sen cos ( ) π π C

(6)

4

1.5. Si la tensión a través de un elemento es v(t) = 6e-3t V y la intensidad de

corriente eléctrica es: i(t) = 2(dv/dt) A. Determinar la potencia eléctrica suministrada en función del tiempo y la energía eléctrica transferida al elemento entre los instantes t=0s y t=4s.

La tensión en el elemento es,

v t( )=6e−3tV y la intensidad, i t dv t dt e t ( )=2 ( ) = −36 −3 A

La potencia eléctrica instantánea se obtiene a partir de la expresión p t( )=v t i t( ) ( )⋅

por tanto,

p t( )= −216e−6tW

Y la energía eléctrica transferida se obtiene a partir de la potencia,

]

wT p t dt dt t t t =

( ) = −

e− = e− = (e− − ≈ −) 0 3 0 4 3 0 4 12 216 72 72 1 72J

Este valor de energía negativo indica que es una energía suministrada por el elemento al resto del circuito.

1.6. Realizar un balance de potencias en el circuito de la figura 1.2 y comprobar si verifica que la potencia total suministrada es igual a la potencia total absorbida, teniendo en cuenta que los valores de las corrientes y voltajes en los diferentes elementos son:

(7)

5 ib = 20 A vb = -100 V ic = 6 A vc = 60 V id = 50 A vd = 800 V ie = -20 A ve = 800 V if = 14 A vf = -700 V ig = 16 A vg = 640 V d a b c e f g + -+ -+ -+ -+ -+ -+ -Figura 1.2 i(A) v(V) p(W) a -10 160 1600 b 20 -100 2000 c 6 60 360 d 50 800 -40000 e -20 800 16000 f 14 -700 9800 g 16 640 10240

Si un elemento absorbe potencia, p>0; si el elemento suministra potencia, p<0. En un circuito eléctrico debe cumplirse que la potencia total absorbida debe ser igual a la potencia total suministrada en valor absoluto.

pabsorbida = pa+ pb+ pc+ pe+ pf + pg=

(8)

6

psuminist. = pd = -40000W

Por tanto, pabsorbida = psuminist.

1.7. Un fabricante de pilas secas de 1.5V dice que la pila suministra 9mA durante 25 horas seguidas. Durante este período de tiempo la tensión caerá de 1.5V a 1V, de forma lineal respecto al tiempo. Determinar a) la energía eléctrica que suministra la pila durante este período de tiempo b) el precio del KWh, si la pila cuesta 95 pesetas. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1996)

Dado que la tensión cae de forma lineal respecto al tiempo, podemos realizar una representación gráfica y tendríamos,

v(t) (Voltios)

t (horas) 1.5

1

0 25

A partir de esta gráfica podemos obtener la expresión de la tensión en función del tiempo,

v t( )= −0 02. t+1 5V . donde t viene expresado en horas

(9)

7

a) Energía eléctrica suministrada por la pila durante 25 horas

w v t i t dt t dt t t t = ⋅ ⋅ = − + ⋅ ⋅ ⋅ = = − +      ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅

− − − ( ) ( ) ( . . ) ( ) . . . . 0 3 0 25 2 0 25 3 4 0 02 15 9 10 0 02 2 15 9 10 0 28W h 2 8 10 KW h b) Precio del KW⋅h

Si la pila cuesta 95 ptas, el precio del KW⋅h es,

p=

⋅ − =

95

(10)

8

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.8. La intensidad de corriente eléctrica i, que circula por un conductor, depende del tiempo y viene dada por la expresión: i(t)= t3-2t2+3, donde t se expresa en segundos. ¿Qué cantidad de carga eléctrica pasa a través de la sección del conductor, durante el intervalo de tiempo, 1≤t≤5 ?. Sabiendo que la carga del electrón es -1.6⋅10-19C, determinar el número de electrones que han circulado por el conductor en el intervalo de tiempo mencionado.

1.9. Si la función q(t) (figura 1.3) representa la carga en culombios que entra en el terminal positivo de un elemento en el tiempo t segundos, calcular: a) la carga que entra el instante t=8s, b) la variación de la carga que entra entre los 4s y 9s, y c) la intensidad de corriente eléctrica en los instantes 1s, 5s y 8s.

q(t) 8 6 2 0 4 6 7 9 12 t Figura 1.3

1.10. Cuando se ha descargado la batería de un coche, es posible volverlo a arrancar con ayuda de otro, conectando los terminales positivos de sus baterías entre sí, al igual que los negativos. La conexión realizada se muestra en la figura 1.4 y suponer que se mide la de la corriente i en la figura y es de -25A. Determinar: a) ¿Cuál de los dos coches tiene la batería descargada? b) Si se mantiene la conexión durante 45s, ¿cuánta energía eléctrica se transfiere a la batería descargada?

A B

i

(11)

9

1.11. En el problema 1.8., si la tensión a través del elemento es 6V. Calcular la potencia suministrada al elemento cuando t=1s, t=5s, t=8s y t=10s.

1.12. La tensión y la intensidad de corriente entre los terminales de una batería recargable durante el proceso de carga varía respecto al tiempo según las gráficas de la figura 1.5. Determinar la carga total y la energía eléctrica que se han suministrado a la batería. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Febrero de 1995)

Figura 1.5

1.13. La corriente y la tensión en los terminales de un elemento de un circuito eléctrico son las que se muestran en la figura 1.6. a) Dibujar la gráfica de la potencia eléctrica frente al tiempo, para 0≤t≤10s. b) Calcular la energía suministrada al elemento del circuito entre los instantes t=1s, t=6s y t=10s.

20 -20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 i(A) t(s) 5 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 v(V) t(s) Figura 1.6

(12)

10

1.14. Si una corriente i=0.4A entra en el terminal positivo de una batería, cuya tensión entre bornes es de v=12V, entonces la batería está en proceso de carga. Calcular: a) la energía suministrada a la batería y, b) la carga eléctrica entregada a la batería al cabo de 2 horas. ¿Cuál debería ser la corriente que circulase por la batería para suministrarle la misma carga que en b), pero en 30 minutos.

1.15. La corriente eléctrica que entra por el terminal positivo de un elemento es: i(t)=2sen6t A, para t>0. Si tensión es v=4(di/dt), demostrar que la energía suministrada al elemento es siempre positiva.

(13)

25

FUNDAMENTALES

PROBLEMAS RESUELTOS

3.1. Encontrar la corriente i y la tensión vab en el circuito de la figura 3.1.

6V -+ 2Ω 4Ω 6Ω 8Ω a b 1A ↓ 3A ↑ ← 2A →i → 7A Figura 3.1

Para determinar la corriente i en el circuito, numeramos los distintos nudos y asignamos una corriente a cada rama con un sentido arbitrario.

6V -+ 2Ω 4Ω 6Ω 8Ω a b 1A ↓ 3A ↑ ← 2A →i → 7A [1] [2] [3]i2i1i3

La corriente i la obtenemos aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo 2,

(14)

26

El criterio de signos utilizado es el siguiente: Corriente que entra en el nudo, negativa Corriente que sale del nudo, positiva

Este criterio es el que se empleará en adelante al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff.

Para obtener la corriente i2, se aplica de nuevo la ley de corrientes de

Kirchhoff en el nudo 1, y tenemos

2− + =i1 i2 0 (2)

Por la ley de Ohm, la corriente i1 es

i1 6

2 3

= = A

Sustituyendo este valor en la ecuación (2), obtenemos el valor de i2

i2 = − + = − + =2 i1 2 3 1A

Y sustituyendo este valor en la ecuación (1) obtenemos la corriente i buscada

i= + + = + + =1 i2 3 1 1 3 5A

La tensión entre los puntos a y b es la suma

v v v v v i i i ab = a + + + b = = + + − 1 12 23 3 2 3 6 4 6 8 (3)

La corriente i3, la obtenemos al aplicar la ley de corrientes de Kirchhoff

en el nudo 3. − − + = ⇒ ⇒ = − = − = i i i i 3 3 7 0 7 7 5 2A

(15)

27

Sustituyendo en la ecuación (3), la tensión entre los puntos a y b es

vab = + i + −i i = = + ⋅ + ⋅ − ⋅ = 6 4 6 8 6 4 1 6 5 8 2 24 2 3 V

3.2. Calcular la corriente i y la tensión v en el circuito de la figura 3.2.

2Ω + -+ -2A 3Ω 2Ω 3Ω 8V + -v 6V ←i Figura 3.2

En el circuito de la figura vamos a definir las intensidades de cada rama y las tensiones en los extremos de cada elemento, así como sus nudos,

2Ω + -+ -2A 3Ω 2Ω 3Ω 8V + -v 6V ←i [1] [2] [3] ↑↑↑↑ i1 ↓↓↓↓ i2 ↓↓↓↓ i3 ↓↓↓↓ i4 v4 + -v1 + -v3 + -v2 + -a b c d e f g h

Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) a cada nudo, siguiendo el criterio de signos mencionado anteriormente, obtenemos el sistema de ecuaciones

(16)

28 Nudo 1 Nudo 2 Nudo 3 − + + + = − + + − = − − − = i i i i i i i i i i 1 2 3 4 1 2 3 4 2 0 2 0 0 (1) (2) (3)

Aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK) a la trayectoria cerrada abcda,

− + =6 v1 0 ⇒ v1=6V

Al aplicar la ley de tensiones de Kirchhoff, recorremos la trayectoria cerrada en sentido horario, y dar un signo a cada tensión se utiliza el siguiente criterio:

• Si tenemos una fuente de tensión, el signo es el que primero encontremos al recorrer la fuente en el sentido indicado

• La tensión en una resistencia es positiva

Si tenemos una tensión indicada (caso de v1 en el ejemplo

anterior), el signo es el que encontremos en primer lugar. Aplicamos la LVK a la trayectoria dcefd, y obtenemos el valor de v3,

− + + = ⇒ = − = − = − v v v v 1 3 3 1 8 0 8 6 8 2V

que es también la tensión v2.

La ley de Ohm nos permite calcular las corriente,

i1 v 2 2 2 2 1 = = − = − A i2 v 1 3 6 3 2 = = = A i3 8 2 4 = = A

(17)

29

Sustituyendo estos valores en la ecuación (1) obtenemos el valor de la intensidad i buscada,

i = + + = − + + =i1 i2 2 1 2 2 3A

De la ecuación (2), obtenemos el valor de i4,

i4 = − + = − − + = −i1 i3 2 1 4 2 3A

y la tensión v4 es

v4 = ⋅ = ⋅ − = −3 i4 3 ( 3) 9V

Y al aplicar la LVK a la trayectoria feghf, obtenemos el valor de la tensión v buscada − + + = ⇒ = − = − − = 8 0 8 8 9 17 4 4 v v v v ( ) V

3.3. Calcular i1, i2 y la tensión vab en el circuito de la figura 3.3.

+ -5Ω 20Ω 10Ω 8Ω 6V 20V + -24V + -bi1 ↓ 2A 4A ↓ i2 ← 1A a Figura 3.3

Numeramos los distintos nudos del circuito de la figura y nombramos las intensidades en las distintas ramas,

(18)

30 + -5Ω 20Ω 10Ω 8Ω 6V 20V + -24V + -bi1 ↓ 2A 4A ↓ i2 ← 1A a [1] [2] [3] i3 i4 i5

La corriente i1, la obtenemos aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff

(LCK) en el nudo 1, 1 2 0 1 2 3 1 1 3 − + − = ⇒ = − + i i i i

La corriente i3, la podemos obtener aplicando la ley de Ohm en la

resistencia de 5Ω,

i3

20

5 4

= = A

Así, la intensidad i1, pedida es

i1 = − + = − + = −1 i3 2 1 4 2 1A

La corriente i2, la obtenemos al aplicar la LCK en el nudo 3,

− + + = ⇒ = − i i i i i i 4 5 2 2 4 5 0 (1)

La corriente i5 se obtiene al aplicar la ley de Ohm en la resistencia de 8

,

i5 24

8 3

= = A,

(19)

31 i i i i 1 4 4 1 4 0 4 1 4 5 − + = ⇒ = − + = + = A

y sustituyendo estos valores en la ecuación (1), tenemos el valor de i2

i2 = − = − =i4 i5 5 3 2A

Por último, para calcular la tensión entre los puntos a y b, se suman las tensiones entre los puntos a-1, 1-2, 2-3 y 3-b,

v v v v v i i ab = a + + + b = = − − ⋅ + ⋅ + = = − + + + = 1 12 23 3 1 4 6 20 10 24 6 20 50 24 88V

3.4. Tres resistencias de valores 20ΩΩΩΩ, 30ΩΩΩΩ y RΩΩΩΩ están conectadas en paralelo para formar una resistencia equivalente de 4ΩΩΩΩ. Encontrar el valor de R y la corriente que transporta, si una fuente de corriente de

6A está conectada a la combinación. (Ejercicio propuesto en la

convocatoria de Junio de 1998)

Las tres resistencias en paralelo, equivalen a una resistencia de valor Rp=4Ω, siendo Rp R R R R p = + + 1 1 1 1 1 2 (1) y R1=20Ω y R2=30Ω R1 R2 R Rp

(20)

32 R Rp R R = − − = − − = 1 1 1 1 1 1 4 1 20 1 30 6 1 2 Ω

Si a continuación se conecta una fuente de 6A, el circuito es un divisor de corriente, y la intensidad i que circula por la resistencia R es

R1 R2 R 6A ↓i i R R R R = + + ⋅ = + + ⋅ = 1 1 1 1 6 1 6 1 20 1 30 1 6 6 4 1 2 A

3.5. Un divisor de corriente consiste en la conexión en paralelo de

resistencias de 10KΩΩΩΩ, 20KΩΩΩΩ, 30KΩΩΩΩ, y de 60KΩΩΩΩ. Calcular la resistencia equivalente del divisor, y si la corriente total que entra en este divisor es de 120mA, calcular la corriente en la resistencia de 60KΩΩΩΩ. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio de 1998)

Resistencia equivalente. 10KΩ 20KΩ 30KΩ 60KΩ Rp Rp = + + + = 1 1 10 1 20 1 30 1 60 5KΩ

(21)

33 Corriente en la resistencia de 60KΩ. 10KΩ 20KΩ 30KΩ 60KΩ → 120mA ↓ i i = + + + ⋅ = 1 60 1 10 1 20 1 30 1 60 120 10mA

3.6. Se va a construir un divisor de tensión con una fuente de 60V y cierto

número de resistencias de 10KΩΩΩΩ. Calcular el número mínimo de resistencias requerido si la tensión de salida es de 30V.

En un circuito divisor de tensión de N resistencias, la tensión en la resistencia i-esima se calcula mediante la expresión,

v R R v i i k k N = ⋅ =

1 + -v R1 R2 Ri RN + vi

-Si todas las resistencias son iguales, la tensión en cualquiera de ellas es,

vR = Nv

(22)

34

donde N es el número total de resistencias.

En el problema, la tensión de la fuente es de 60V, y queremos una tensión en cualquiera de las resistencias de 30V, así sustituyendo en la ecuación (1), v v N N N R = ⇒ = = 30 60 2 resistencias

3.7. Calcular i1 e i2 en el circuito de la figura 3.4.

+ -3Ω 10Ω 8Ω 24Ω 15Ω 24 24V →i1 i2 Figura 3.4

Antes de calcular las intensidades, simplificaremos el circuito buscando resistencias equivalentes a asociaciones en serie y paralelo.

Las resistencias de 10

y 15

están en paralelo, al igual que las resistencias de 24

y 8

, así, la primera simplificación que hacemos en el circuito es, + -3Ω 6Ω 6Ω 24Ω 24V →i1

A continuación nos encontramos la resistencia de 6

en serie con la de 24

, y éstas en paralelo con la de 6

.

(23)

35 + -3Ω 5Ω 24V →i1 Así la intensidad i1 es i1 24 3 5 3 = + = A

Para calcular la corriente i2, deshacemos las asociaciones realizadas, y el

circuito queda como,

+ -3Ω 10Ω 15Ω 30 24V →i1 i2

El circuito es un divisor de corriente, y la intensidad i2 es,

i2 i1 1 15 1 10 1 15 1 30 1 = + + ⋅ = A

3.8. Calcular i, i1 y v en el circuito de la figura 3.5.

+ -2Ω 16Ω 12Ω 4Ω 3Ω 6Ω 4Ω 8Ω 30V →i1i v +

(24)

-36

Figura 3.5

Calculamos en primer lugar la intensidad i1, y para ello se reduce el

circuito asociando las resistencias. Las resistencias de 8Ω y 4Ω están en serie, y las de 3Ω y 6Ω están en paralelo.

+ -2Ω 16Ω 12Ω 4Ω 2Ω 12Ω 30V →i1

A continuación asociamos las resistencias de 4Ω y 2Ω en serie, y éstas en paralelo con la de 12Ω. + -2Ω 16Ω 12Ω 4Ω 30V →i1

Las resistencias de 12Ω y 4Ω están en serie y éstas en paralelo con la resistencia de 16Ω. La resistencia equivalente, de 8Ω está en serie con la de 2Ω.

(25)

37 + -2Ω 16Ω 16Ω 30V →i1 + -10Ω 30V →i1 La corriente i1 es, i1 30 10 3 = = A

Para obtener la corriente i, calculamos previamente la corriente i2,

+ -2Ω 16Ω 16Ω 30V →i1i2 i2 i1 16 16 16 1 2 3 1 5 = + ⋅ = ⋅ = . A

A continuación calculamos la corriente i3,

+ -2Ω 16Ω 12Ω 4Ω 2Ω 12Ω 30V →i1i2i3

(26)

38 i3 12 i2 12 4 2 12 18 1 5 1 = + + ⋅ = ⋅ . = A

Por último la corriente i es,

+ -2Ω 16Ω 12Ω 4Ω 3Ω 6Ω 4Ω 8Ω 30V →i1i v + -↓ i3i4i2 i = + ⋅ = ⋅ =3 i 3 6 1 3 1 1 3 3 A

Para calcular la tensión v, calculamos la corriente i4,

i4 = − =i2 i3 1 5. − =1 0 5. A

v = ⋅ = ⋅8 i4 8 0 5. =4V

3.9. Calcular la tensión v en el circuito de la figura 3.6 aplicando el divisor de tensión. (Ejercicio propuesto en el examen parcial de Febrero de 1997). + -14V 2Ω 3Ω 8Ω 1Ω + v -Figura 3.6

(27)

39 + -14V 2Ω 3Ω 8Ω 1Ω + v -a b c d

Para calcular la tensión vab, debemos hallar la resistencia equivalente

vista hacia la derecha entre los puntos a y b,

+ -14V 2Ω 8Ω 4Ω a b + -14V 2Ω a b 8/3Ω

El circuito que nos queda es un divisor de tensión, y la tensión vab en la

resistencia de 8/3

es, vab = + ⋅ = 8 3 8 3 2 14 8V

Esta tensión se reparte entre las resistencias de 1

, y 3

, de forma que la tensión v buscada entre los puntos c y d es,

v = + ⋅ =1 1 3 8 2V + -14V 2Ω 3Ω 8Ω 1Ω + v -a b c d + 8V

-3.10. Se tiene un conductor de 5m de longitud y 2mm de diámetro, constituido por un alma y una envoltura. Sabiendo que el alma es de

(28)

40

cobre y su diámetro es de 1.5mm y la envoltura de plata, de espesor

0.25mm determinar la resistencia eléctrica del cable. Datos:

ρρρρ(Cu)=1.7⋅⋅⋅⋅10-8ΩΩ⋅⋅⋅⋅ΩΩm; ρρρρ(Ag)=1.59⋅⋅⋅⋅10-8ΩΩ⋅⋅⋅⋅ΩΩm. (Ejercicio propuesto en 1ªVuelta

de Septiembre de 1997).

Cuando se establezca una diferencia de potencial v en los extremos del conductor, circulará una intensidad i, cuya relación es

R v

i eq =

donde Req es la resistencia equivalente del conductor.

La intensidad que circula por el alma de cobre, es diferente de la que circula por la envoltura de plata, pero la tensión en sus extremos es la misma, por tanto, la envoltura y el alma se encuentran conectadas en paralelo, y su resistencia equivalente es

R R R R R eq Cu Ag Cu Ag = +

La resistencia de cada uno de los materiales que forman el conductor es,

RCu Cu Al Cu = ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − − ρ 1 7 10 π 5 0 75 10 4 8 10 8 3 2 2 . ( . ) . Ω

(

) (

)

(

)

R l A Ag Ag Ag = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − − − −

ρ

π

159 10 5 1 10 0 75 10 5 8 10 8 3 2 3 2 2 . . . Ω y la resistencia equivalente,

(

)

R R R R R eq Cu Ag Cu Ag = + = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ − − − 4 8 5 8 10 4 8 5 8 10 2 6 10 4 2 2 . . . . . Ω

(29)

41

3.11. Calcular la intensidad iA en el circuito de la figura 3.7. (Ejercicio

propuesto en el examen parcial de Febrero de 1997).

6Ω 6Ω 6Ω 6 6Ω 6Ω 6Ω 6Ω 6Ω 12V 12V 12V iA Figura 3.7

La única simplificación que se puede realizar en el circuito es la asociación en serie de las resistencias de 6Ω, tal como se muestra a continuación, y consideramos los siguientes puntos en el circuito,

12Ω 12Ω a b d 12Ω 6Ω 12Ω c 12V 12V 12V iA e

La tensión del punto a con respecto al punto e es la misma que la tensión del punto b con respecto del punto e, por tanto entre los puntos a y b no

(30)

42

habrá circulación de corriente, y lo mismo ocurrirá entre los puntos b y c por simetría del circuito. Al aplicar la LCK en el nudo b, tenemos,

− − + =0 0 i1 0⇒i1 =0

Así, si aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff en el nudo e, − − − + =i1 i2 i3 iA 0

Como i1 = 0, tenemos que i2 + i3 = iA

Por simetría en el circuito, la intensidad por la rama a-e, debe valer iA/2,

al igual que la intensidad en la rama c-e. Y como en el nudo a (y por simetría el nudo c), sólo entre la corriente iA/2, esa es la corriente que

circula por la rama a-d (y por la rama c-d).

12Ω 12Ω a b d 12Ω 6Ω 12Ω c 12V 12V 12V iA e i=0 i=0

iA/2 iA/2 iA/2 iA/2

→ ←

i1

i2i3

A continuación, aplicamos la ley de tensión de Kirchhoff a la trayectoria cerrada aeda, y tenemos la ecuación

− +12 6 +12 =

2 0

iA iA

Por tanto, iA =1A

3.12. Una batería tiene una fem de 15V. La tensión en sus bornes es de

11.6V cuando se liberan 20W de potencia en una resistencia de carga,

de valor R. Determinar el valor de la resistencia de carga y de la resistencia interna de la batería.

(31)

43

Al conectar la batería a una resistencia de carga R, tenemos la conexión de la figura, 15V r Ri a b

La tensión entre los puntos a y b es, vab=11.6V, y la potencia disipada en

la resistencia de carga R, es PR=20W.

El valor de la resistencia de carga lo podemos obtener a partir de la potencia disipada, P R i R P i R R = ⋅ ⇒ = 2 2 ( )1

La potencia disipada en la resistencia también la podemos expresar como la tensión en sus extremos, vab, multiplicada por la intensidad que circula

por ella, y de aquí obtenemos el valor de i.

P v i i P v R ab R ab = ⋅ ⇒ = = 20 = 11 6. 1 72. A

Sustituyendo en la ecuación (1), obtenemos el valor de R

R P i R = 2 = 2 = 20 1 72. 6 76. Ω

El valor de la resistencia interna de la batería, r, la obtenemos a partir de la expresión,

vab = − ⋅ε i r donde

ε

es la fuerza electromotriz de la batería.

(32)

44 r v i ab = −ε =151 72−11 6. =1 97 . . Ω

3.13. Dado el circuito de la figura 3.8 y sabiendo que Ri1 es mayor que Ri2,

calcular el valor de R para el cual se anula la diferencia de potencial en los bornes de uno de los generadores. Indicar de cuál de ellos se trata.

ε, Ri1 ε, Ri2

R

Figura 3.8

La tensión en los extremos de cada una de las baterías es,

v R i v R i b i b i 1 1 2 2 = − ⋅ = − ⋅ ε ε donde i es i R Ri Ri = + +21 2 ε

Así, si igualamos a cero la tensión en bornes de cada generador obtenemos,

(33)

45 v R R R R R R R R R R R v R R R R R R R R R R R b i i i i i i i i b i i i i i i i i 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 0 2 1 2 0 2 2 = − ⋅ + + = ⇒ + + = ⇒ = − = − ⋅ + + = ⇒ + + = ⇒ = − ε ε ε ε ( ) ( )

La resistencia interna del generador 1 es mayor que la resistencia interna del generador 2, así que la solución (2) nos daría un valor de resistencia R negativo. Desechamos esta solución, y el valor de R que hace que se anule la tensión en los extremos del generador 1 es,

R= Ri1Ri2

3.14. Demostrar que la potencia suministrada por un generador a un circuito es máxima cuando por él circula una intensidad igual a la mitad de la correspondiente al cortocircuito. Rg ε Ri

El teorema de máxima transferencia de potencia establece que la potencia suministrada por un generador es máxima cuando se conecta una resistencia de carga cuyo valor sea igual a la resistencia interna del generador. En estas circunstancias, la intensidad que circula es

i R R

g

= +ε

donde

ε

es la fem del generador, Rg su resistencia interna y R la

resistencia de carga. En condiciones de máxima transferencia de potencia, la intensidad es

i R R R

g g

(34)

46

Rg

ε

icc

Por otro lado, al cortocircuitar los terminales del generador, la intensidad que circula es,

i R

cc g

= ε

Comparando con la ecuación (1), vemos que

i = ⋅1 icc 2

Se cumple que el generador suministra una potencia máxima cuando por él circula una intensidad que es la mitad del cortocircuito.

3.15. Cuando se cortocircuita una fuente de intensidad, a través del cortocircuito circulan 20A. Si se conecta una resistencia de 10ΩΩΩΩ, circulan por ella 13A. Calcular la resistencia interna de la fuente. (Ejercicio propuesto en 1ª Vuelta de Septiembre de 1996).

Una fuente real de corriente se representa mediante una fuente ideal de corriente y una resistencia en paralelo.

(35)

47

Al cortocircuitar los terminales de la fuente, la intensidad que pasa por el cortocircuito es la intensidad de la fuente ideal.

Ig Rp

icc=20A

Así la intensidad de la fuente es de 20A.

A continuación se conecta una resistencia de 10Ω en sus terminales, y la intensidad que circula por esta resistencia es de 13A.

20A Rp 10Ω

13A

El circuito que tenemos es un divisor de corriente, y la resistencia Rp la obtenemos a partir de la expresión,

13 10 20 18 6 = + ⋅ ⇒ = R R R p p p . Ω

3.16. Las mediciones de laboratorio de una fuente de tensión dan una tensión entre terminales de 75V sin carga conectada a la fuente, y 60V cuando está cargada con una resistencia de 20ΩΩΩΩ. Determinar la resistencia interna de la fuente. (Ejercicio propuesto en 2ª Vuelta de Septiembre de 1997).

(36)

48

Una fuente real de tensión se representa mediante una fuente ideal de fem ε, y una resistencia en serie.

+

-Rs

ε

Las medidas hechas en laboratorio, nos dan 75V entre los terminales de la fuente sin ningún elemento conectado, y 60V cuando se conecta una resistencia de 20Ω. + -Rs ε + 75V -+ -Rs 20Ω ε=75V + 60V

-De la primera conexión, obtenemos el valor de la fem de la pila que es de 75V. El segundo circuito es un divisor de tensión, y la resistencia Rs la

podemos calcular mediante la expresión,

60 20 20 75 50 = + ⋅ ⇒ = R R s s

(37)

49

PROBLEMAS PROPUESTOS

3.17. En el circuito de la figura 3.9, determinar la corriente i, y la tensión entre los puntos a y b. 2Ω 3Ω 5Ω 6Ω 4Ω 12V 3A + 6V -12V + -b a 1A ↓ 1A ↓ i Figura 3.9

3.18. Determinar i, vab, vac, y vbc en el circuito de la figura 3.10.

2Ω 4Ω 3Ω 6Ω 8Ω ← 2A ↓5A → i →7A ↓2A + 6V -a b c Figura 3.10

3.19. Calcular i y v en el circuito de la figura 3.11.

2Ω 1Ω 3Ω 2Ω 3Ω 2V 6V ← i + v -Figura 3.11

(38)

50

3.20. Determinar la diferencia de tensión vab y la potencia en la fuente de 5V en el

circuito de la figura 3.12. 60Ω 40Ω 20Ω 30Ω 10V 5V a b Figura 3.12

3.21. Analizar el circuito de la figura 3.13, basándose en las leyes de Kirchhoff.

8Ω 3Ω 15Ω 10Ω 24Ω 24Ω 24V Figura 3.13

3.22. El circuito de la figura 3.14 se denomina puente de Wheatstone. Se utiliza para medir resistencias por el método de comparación cuando el circuito está equilibrado. Esta situación se verifica cuando la corriente eléctrica que circula por el amperímetro es nula. Determinar la relación que se cumple entre las resistencias, cuando el circuito está equilibrado.

(39)

51 Rx Ra R1 R4 R3 Ri Vcc A Figura 3.14

3.23. Encontrar la resistencia equivalente, vista desde la fuente, del circuito de la figura 3.15 y usar el resultado para encontrar i, i1 y v.

3Ω 80V 8Ω 22Ω 34Ω → i i1↓ +v -Figura 3.15

3.24. Determinar la resistencia equivalente vista desde la fuente y la intensidad i en el circuito de la figura 3.16. 4Ω 22Ω 8Ω 4Ω 4Ω 90Ω 1Ω ↓ i 20V Figura 3.16

3.25. Analizar el circuito de la figura 3.17 utilizando el concepto de divisor de tensión.

(40)

52 12Ω 4Ω 2Ω 16Ω 6Ω 8Ω 30V Figura 3.17

3.26. Realizar el análisis del circuito de la figura 3.18, mediante el concepto de divisor de intensidad. 4Ω 6Ω 3Ω 3Ω 4Ω 2Ω → 15A Figura 3.18

3.27. Por un medidor D’Arsonval puede circular una corriente máxima de 1mA y su resistencia interna es de 4.9

. Si se coloca una resistencia Rp de 0.1

en

paralelo con el medidor, como se indica en la figura 3.19, determinar la intensidad máxima que se puede medir con dicho montaje. ¿Qué tensión existen entre los extremos del medidor?

Rp Rg i ip igm G Figura 3.19

3.28. En el circuito de la figura 3.20, las resistencias de cada una de las 12 resistencias son iguales y de valor R

. Determinar la resistencia equivalente del circuito si la corriente entra por a y sale por b.

(41)

53 R R R R R R R R R R R R b a Figura 3.20

3.29. Un montaje de tres resistencias en triángulo (R1, R2, R3) se puede reemplazar

por otro montaje en estrella de otras tres resistencias (Ra, Rb, Rc), ambos

montajes se muestran en la figura 3.21. Determinar la relación que deben cumplirse entre los valores de las tres últimas resistencias con los de las primeras. R3 R1 R2 Ra Rb Rc Figura 3.21

3.30. Verificar el teorema de Telleguen en el circuito de la figura 3.22.

25Ω 15Ω

40Ω

20V 10V

(42)

54

3.31. Una batería de fem

Σ

, y resistencia interna r, se conecta a una resistencia R. Demostrar que

a) La potencia P suministrada por la batería viene dada por

Σ

2/(R+r). b) La potencia PR disipada en la resistencia externa es

Σ

2R/(R+r)2.

(43)

55

PROBLEMAS RESUELTOS

4.1. Determinar v1 y la potencia eléctrica transformada en la resistencia de 8ΩΩΩΩ del circuito de la figura 4.1.

+ - + -10Ω 6 8Ω 20V 6V 3v1 - v1 +i Figura 4.1

Los circuitos con fuentes dependientes se analizan de la misma forma que aquellos que no las tienen, es decir, aplicando las leyes de Kirchhoff. La única diferencia está en que habrá que buscar una ecuación más que relacione la magnitud de la que depende la fuente dependiente con las magnitudes que aparecen en las ecuaciones del circuito.

Aplicando la Ley de Tensiones de Kirchhoff al circuito, tenemos − +20 10i−3v1+ + +6i 6 8i =0

donde i es la corriente en el circuito.

Además, la magnitud de la que depende la fuente, está relacionada con la corriente i por la Ley de Ohm en la resistencia de 6Ω mediante la relación

(44)

56

Uniendo las dos ecuaciones obtenemos una corriente

i = 13A

y por tanto la tensión v1 es

v1 = −2V

Por último la potencia disipada en la resistencia de 8Ω es

p=Ri2 = ⋅  =

2

8 1

3 0 9. W

4.2. Calcular i en el circuito de la figura 4.2. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)

+ -1Ω 6Ω 6V i 3v1 - v1 + → Figura 4.2

Aplicando la Ley de Tensiones de Kirchhoff al circuito tenemos − + +6 i 3v1+6i = 0

y la tensión v1 de la que depende la fuente dependiente, está relacionada

con la corriente i por la Ley de Ohm en la resistencia de 1Ω mediante la relación

v1 = −i

(45)

57

i =1 5. A

4.3. Calcular la corriente i1 en el circuito de la figura 4.3.

+ -3V 2Ω 6Ω 12Ω 4Ω i1 4v1 v1 -+ → a b ia iaix ← ↓ Figura 4.3

Este tipo de circuito se caracteriza porque la corriente eléctrica que circula por la rama ab es nula. Esto permite analizar los circuitos situados a ambos lados de la rama de forma independiente. Para verificar lo anterior, aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff en el punto a, y tenemos:

ia = +ia ix Y por tanto,

ix =0

Analizando la malla de la izquierda del circuito, tenemos que la tensión v1 es de –3V. + -3V v1 2Ω 4v -+

Una vez conocido el valor de la tensión v1, podemos analizar la parte

(46)

58 6Ω 12Ω 4Ω i1 4v1i → 2Ω 6Ω i → 3Ω 4v1=-12V La corriente i, es i = −+ = −12 6 3 4 3A

y la corriente i1 la podemos calcular aplicando un divisor de corriente,

i1 12 12 4 4 3 1 = + −       = − A

4.4. Mediante el análisis de nudos en el circuito de la figura 4.4, determinar: a) i1; b) vab; c) la potencia eléctrica suministrada por la fuente de

corriente; d) la energía absorbida o suministrada al circuito por la fuente controlada al cabo de 10 minutos. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1996) 2i1 4Ω 10 4Ω 8Ω 4Ω 9A i1a b Figura 4.4

Para aplicar el método de análisis de nudos, en primer lugar debemos identificar éstos y numerarlos. El circuito tiene 4 nudos,

(47)

59 2i1 4Ω 10 4Ω 8Ω 4Ω 9A i1a b Nudo 0 Nudo 1 Nudo 2 Nudo 3

Elegiremos como nudo de referencia el nudo 0. El nudo 3 está unido al nudo 0 mediante una fuente de tensión. Como la tensión del nudo de referencia se toma 0V, la tensión en el nudo 3 es la tensión de la fuente, en este caso 2i1. 2i1 4Ω 10 4Ω 8Ω 4Ω 9A i1a b Nudo 0 ≡ Ref. v1 v2 v3=2i1

Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nudos 1 y 2, con el criterio de signos siguiente:

Corriente que entra en el nudo, negativa Corriente que sale del nudo, positiva

Nudo 1 Nudo 2 v i v v v v v v v 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 4 4 10 0 10 8 4 9 0 − + + − = − + + + =

Ahora debemos buscar una relación entre la magnitud de la que depende la fuente, i1, y las tensiones de nudos,

i1 v

2

8 1

(48)

60

Sustituyendo esta expresión en la ecuación del nudo 1, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones,

16 0 4 19 360 1 2 1 2 v v v v − = − + = −   

Así, las tensiones de nudos son, v v 1 2 1 2 19 2 = − = − . . V V

a) Según la ecuación (1), la corriente i1 es

i1 v2 8 19 2 8 2 4 = − = − − . = . A b) Tensión vab vab = − = −v1 v2 1 2. − −( 19 2. )=18V

c) Potencia suministrada por la fuente de corriente p= ⋅ = −v i2 19 2 9. ⋅ = −172 8. W

Potencia negativa indica que es una potencia suministrada.

d) Energía absorbida o suministrada por la fuente dependiente al cabo de 10 minutos,

La tensión en esta fuente es 2i1, y el valor de i1 calculado en el apartado

a), es de 2.4 A, así que la tensión es 4.8V. Para calcular la potencia en la fuente, debemos conocer también qué corriente circula por ella, que es la misma que la corriente que circula por la resistencia de 4Ω, y ésta es,

i = −v1 2i1 = − − = − 4 1 2 4 8 4 1 5 . . . A

(49)

61

p= ⋅ =v i 4 8. ⋅ −( 1 5. ) = −7 2. W

y la energía suministrada al cabo de 10 minutos es w = ⋅ = −p t 7 2 10 60. ⋅ ⋅ = −4320J

4.5. En el circuito de la figura 4.5, calcular la tensión en los extremos de la fuente de 9A, y la potencia disipada en la resistencia R2 = 2ΩΩΩΩ. (Ejercicio

propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)

+ -2V 1Ω 2Ω 1Ω R2=2iy 3iy 2vx 9A vx + -Figura 4.5

Numeramos los nudos y elegimos uno como nudo de referencia (nudo 0) y a continuación asignamos una tensión al resto de los nudos.

+ -2V 1Ω 2Ω 1Ω 2Ω iy 3iy 2vx 9A vx + -v1 v4 v3 v2 v0 ≡ Ref. Supernudo 2-3

El nudo 1 está unido al nudo de referencia por una fuente de tensión, así que la tensión en este nudo está forzada por el valor de la fuente, en este caso v1 = 2V. Entre los nudos 2 y 3 existe otra fuente de tensión, y

(50)

62

formaremos un supernudo. A continuación, aplicamos la ley de corrientes de kirchhoff al nudo 4 y al supernudo 2-3.

Nudo 1 Supernudo 2 3 v v v v v v v v vx v 4 1 4 3 2 1 3 4 2 2 9 1 0 1 1 2 2 0 − + + − = − − + − − + =

La ecuación del supernudo es

v2− =v3 3iy

Por último, debemos plantear las ecuaciones que relacionen las magnitudes vx e iy de las que dependen las fuentes controladas, con las

tensiones de nudos, v v v v i x y 1 4 2 2 − = = −

Con estas ecuaciones obtenemos los siguientes resultados, v v v v v i x y 1 2 3 4 2 2 5 2 4 1 = = = = − = = − V V V V V A

La tensión en la fuente de corriente de 9A, es la diferencia de tensión entre el nudo 4 y el nudo de referencia. Como la tensión en el nudo de referencia se toma como cero, la tensión pedida es,

v9A = v4 = −2V

Y la potencia disipada en R2 es,

pR2 R i2 y

2 2

2 1 2

(51)

63

4.6. Calcular la matriz de admitancias y la potencia absorbida por la resistencia de 4ΩΩΩΩ en el circuito de la figura 4.6. (Ejercicio propuesto en convocatoria de Septiembre de 1996) + -2Ω 1Ω 4Ω 2Ω 2A 4V 3v1 v1 + -Figura 4.6

La matriz de admitancias de un circuito es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones resultante de aplicar el método de nudos. Así, realizaremos un análisis por nudos, comenzando por numerar cada nudo y asignarle una tensión.

+ -2Ω 1Ω 4Ω 2Ω 2A 4V 3v1 v1 + -Ref. v1 v2 v3

Como entre el nudo 2 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión, el valor de ésta es la tensión v2 en el nudo. Aplicamos ahora la

(52)

64 Nudo 1 Nudo 3 − + − + − = − + − + + − = 2 4 2 4 0 3 4 1 2 2 0 1 1 3 1 3 3 3 1 v v v v v v v v

Obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones,

3 16 7 4 8 1 3 1 3 v v v v − = − + =   

que en forma matricial es,

3 1 7 4 16 8 1 3 − −            =      v v donde G = − −       3 1 7 4

es la matriz de conductancias del circuito. Ésta no es simétrica debido a la presencia en el circuito de fuentes independientes de tensión (4V) y de fuentes dependientes (3v1).

4.7. Mediante análisis de nudos obtener en el circuito de la figura 4.7, la tensión v2 y la potencia disipada en la conductancia de 0.03s. (Ejercicio

(53)

65 + -+ --30V 10V 0.45A 0.06s 0.03s 0.04s 2vx + vx -+ v2 -Figura 4.7

Asignamos tensiones a cada nudo en el circuito,

+ -+ --30V 10V 0.45A 0.06s 0.03s 0.04s 2vx + vx -+ v2 -Ref. v1 v2 v3 v4

Entre el nudo 1 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión de valor –30V; entre el nudo 4 y el de referencia hay otra fuente de tensión de 10V, y entre el nudo 3 y el de referencia hay otra fuente, en este caso, una fuente dependiente de valor 2vxV. Así, tenemos las siguientes

tensiones de nudos, v v v vx 1 4 3 30 10 2 = − = = − V V V

Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff al nudo 2, y tenemos, (v2+30)⋅0 06. +0 45. +(v2+2vx)⋅0 03. =0 ( )1

Debemos ahora relacionar la tensión vx de la que depende la fuente

(54)

66

vx = − = − −v1 v2 30 v2

Sustituyendo este valor en la ecuación (1),

( ) . . ( ( )) . . . v v v v v 2 2 2 2 2 30 0 06 0 45 2 30 0 03 0 0 03 0 45 15 + ⋅ + + + ⋅ − − ⋅ = ⋅ = − = − V

La potencia disipada en la conductancia de 0.03s, es

p= 0 03. ⋅(v2v3)2

y como,

v3 = −2vx = − ⋅ − −2 ( 30 v2)= − ⋅ − − −2 ( 30 ( 15))=30V

p= 0 03. ⋅ − −( 15 30)2 =60 75. W

4.8. Mediante análisis de nudos, obtener la potencia suministrada por la fuente de 10A en el circuito de la figura 4.8. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Febrero 1998)

+ -10V 20A 10A 2s 4s 3s 1s Figura 4.8

Para aplicar el método de nudos, asignamos una tensión a cada nudo del circuito,

(55)

67 + -10V 20A 10A 2s 4s 3s 1s Ref. v1 v2 v3

La potencia en la fuente de 10A es,

p = − ⋅10 v1 ( ) 1

Entre el nudo 3 y el nudo de referencia existe una fuente de tensión de 10V, así que

v3 =10V

Aplicamos la ley de corrientes de Kirchhoff a los nudos 1 y 2, Nudo 1 Nudo 2 − + − ⋅ + − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = 10 2 10 1 0 2 0 4 10 3 0 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v v v v

Y resulta el siguiente sistema de ecuaciones,

3 2 20 2 9 30 1 2 1 2 v v v v − = − + =   

De este sistema, sólo interesa el valor de v1 para sustituirlo en la ecuación

(1), y tenemos,

v1 =10 43. V

(56)

68

p= − ⋅ = − ⋅10 v1 10 10 43. = −104 3. W

El signo negativo indica que es una potencia suministrada por la fuente al circuito.

4.9. Obtener la matriz de resistencias en el circuito de la figura 4.9. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial Marzo 1997)

+ - -+ vg1 vg2 R1 R2 R3 Figura 4.9

La matriz de resistencias de un circuito es la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones que resulta de aplicar el método de mallas al circuito.

Lo primero que debemos hacer es definir una corriente para cada malla del circuito. + - + -vg1 vg2 R1 R2 R3 i1 i2

(57)

69

Una vez definidas las corrientes de mallas, se aplica la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla, recorriéndola en sentido horario.

Malla 1 Malla 2 − + ⋅ + ⋅ − = ⋅ − + ⋅ + = v R i R i i R i i R i v g g 1 1 1 3 1 2 3 2 1 2 2 2 0 0 ( ) ( )

De estas ecuaciones resulta el siguiente sistema,

( ) ( ) R R i R i v R i R R i v g g 1 3 1 3 2 1 3 1 2 3 2 2 + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + + ⋅ =

que expresado en forma matricial es,

R R R R R R i i v v g g 1 3 3 3 2 3 1 2 1 2 + − − +            =      donde, R R R R R R R =+ −+    1 3 3 3 2 3

es la matriz de resistencias pedida. Se trata de una matriz simétrica debido a que en el circuito sólo existen fuentes independientes de tensión (vg1 y vg2).

4.10. En el circuito de la figura 4.10, calcular la potencia disipada en la resistencia de 4ΩΩΩΩ. (Ejercicio propuesto en Examen Parcial, Marzo 1996)

(58)

70 + -16Ω 8Ω 4Ω 6Ω + -24V 10A 30V Figura 4.10

Calcularemos la potencia disipada en la resistencia de 4Ω, mediante la expresión

p= 4i2 (1)

donde i es la corriente que circula por dicha resistencia.

Para calcular la corriente i, aplicaremos el método de análisis de mallas, para ello definimos las corrientes de mallas.

+ -16Ω 8Ω 4Ω 6Ω + -24V 10A 30V i1 i2 i3 i Según la figura, i = −i1 i3 (2)

(59)

71

En la malla 3 hay una fuente de corriente en la periferia del circuito, por tanto la corriente en esa rama está fijada por el valor de la fuente, es decir,

i3 = −10A

Aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff en las mallas 1 y 2, recorriéndolas en sentido horario,

Malla 1 Malla 2 − + + − + + = − + + + = 30 16 8 4 10 0 8 24 6 10 0 1 1 2 1 2 1 2 i i i i i i i ( ) ( ) ( ) ( )

De estas ecuaciones resulta el siguiente sistema,

14 4 5 4 7 42 1 2 1 2 i i i i − = − − + = −    El valor de i1 es i1 5 4 42 7 14 4 4 7 2 48 = − − − − − = − . A

Sustituyendo este valor en la ecuación (2),

i = − = −i1 i3 2 48. − −( 10)=7 52. A

Con este valor de i, la potencia en la resistencia de 4Ω, según la ecuación (1) es,

p= 4i2 = ⋅4 7 52. 2 = 226 2. W

4.11. Mediante análisis de mallas determinar en el circuito eléctrico de la figura 4.11. la potencia suministrada o absorbida por la fuente de 5A. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1997)

(60)

72 + -2Ω 5Ω 6Ω 3Ω 3v1 10V 5A + v1 -Figura 4.11

La potencia absorbida o suministrada por la fuente de 5A, la calculamos mediante la expresión,

p= ⋅v i (1) donde

i es la corriente de la fuente, es decir, 5A v es la tensión en sus extremos

Para calcular la tensión v, utilizando el método de mallas, definimos las corrientes de mallas. + -2Ω 5Ω 6Ω 3Ω 3v1 10V 5A + v1 -i2 i1 i3 + v

-Con las corrientes definidas, la tensión v en los extremos de la fuente es v = −5(i2− −i1) 6i2 (2)

(61)

73

v= −3v1+3i3 (3)

si recorremos la malla 3. Para calcular esta tensión, calculamos las corrientes de malla, aplicando el método de mallas.

La rama común a las mallas 2 y 3 tiene una fuente de corriente, por tanto definimos la supermalla 2-3, y aplicamos la ley de tensiones de Kirchhoff a la malla 1 y a la supermalla, Malla 1 Supermalla 2 - 3 2 10 5 3 0 4 3 5 6 3 0 5 1 1 2 1 1 2 1 2 3 i i i v v i i i i − + − + = − + − + + = ( ) ( ) ( ) ( )

Como la corriente en la rama común a las mallas 2 y 3 es de 5A (valor de la fuente de corriente), tenemos

i2− =i3 5 (6)

En el circuito tenemos una fuente dependiente de la tensión v1, siendo v1 la tensión que hay en los extremos de la resistencia de 2Ω, que en función de las corrientes de malla es,

v1 = −2i1

Sustituyendo este valor de v1 en las ecuaciones (4) y (5), nos queda junto a la ecuación (6) el siguiente sistema,

i i i i i i i 1 2 1 2 3 2 3 5 10 11 3 0 5 − = + + = − =     

Y obtenemos los siguientes resultados, i i i v 1 2 3 1 11 31 0 26 4 74 22 62 = = = − = − . . . . A A A V

(62)

74

Así, sustituyendo en la ecuación (2), calculamos el valor de v v= −5(i2 − −i1) 6i2 = −5 0 26( . −11 31. )− ⋅6 0 26. =53 69. V

Y la potencia en la fuente de 5A, sustituyendo en la ecuación (1) es, p= ⋅ =v i 53 69 5. ⋅ =268 45. W

Al ser la potencia positiva, indica que es una potencia absorbida por la fuente.

4.12. Mediante transformaciones sucesivas de fuentes y reducciones de resistencias sustituir el circuito a la izquierda de los terminales a y b de la figura 4.12, por una sola fuente independiente de tensión en serie con una sola resistencia. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Junio 1997) 0.2A 200Ω 200Ω 25Ω 500Ω a b Figura 4.12

En primer lugar asociamos las dos resistencias de 200Ω en paralelo, y obtenemos el siguiente circuito equivalente,

0.2A 100Ω 25Ω 500Ω a b [1] [2]

Una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp, se transforma en una fuente real de tensión equivalente, de parámetros vg, Rs, que cumplen las siguientes condiciones:

(63)

75 v R i R R g p g s p = ⋅ =

La fuente real de corriente a la izquierda de los puntos [1] y [2], se transforma en una fuente real de tensión, cuya f.e.m. es 20V.

20V 100Ω 25Ω 500Ω a b [3] [4] +

-La fuente real de tensión a la izquierda de los puntos [3] y [4] se transforma en una fuente real de corriente de 0.16A y 125Ω.

20V 125Ω 500Ω a b [3] [4] +- 0.16A 125Ω 500Ω a b [3] [4]

Asociando las dos resistencias en paralelo, tenemos una fuente real de corriente que transformamos en una fuente real de tensión de 16V y 100Ω. 0.16A 100Ω a b 16V 100Ω a b +

(64)

-76

4.13. Mediante transformaciones sucesivas de fuentes y reducciones de resistencias sustituir el circuito a la izquierda de los terminales a y b de la figura 4.13, por una sola fuente independiente de tensión en serie con una sola resistencia. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Septiembre 1997) 2A 60Ω 8Ω 24V 40Ω a b Figura 4.13

Una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp, se transforma en una fuente real de tensión equivalente, de parámetros vg, Rs, que cumplen las siguientes condiciones: v R i R R g p g s p = ⋅ =

Igualmente, una fuente real de tensión de parámetros vg, Rs,, se transforma en una fuente real de corriente de parámetros ig, Rp,, que cumplen las siguientes condiciones:

i v R R R g g s p s = =

Así, la fuente real de tensión de 24V y 8Ω, se transforma en una fuente real de corriente de 3A y 8Ω.

(65)

77 2A 60Ω 8Ω 3A 40Ω a b

En este circuito podemos agrupar en paralelo las resistencias de 60Ω, 8Ω y 40Ω, y sumar el valor de las fuentes de corriente, y obtenemos el siguiente circuito simplificado:

5A 6Ω

a

b

Por último, este circuito lo transformamos en una fuente real de tensión de parámetros 30V y 6Ω.

30V

6Ω a

(66)
(67)

79

PROBLEMAS PROPUESTOS

4.14. En el circuito mostrado en la figura 4.14. el dispositivo X es desconocido. Puede ser una pila o una resistencia. Determinar qué es dicho dispositivo y cuánto vale. Verificar el principio de conservación de la energía en el circuito.

X 2Ω 10Ω 20Ω 14V b a Vab = 10V Figura 4.14

4.15. Calcular v1 e i1 en el circuito de la figura 4.15.

8Ω i1 3v1 4 + v1 -10i1 + -12V +- 8V Figura 4.15

4.16. Encontrar i1 en el circuito de la figura 4.16.

4A 6Ω 3i1 4Ω

i1

8A

Figura 4.16

4.17. Determinar i en el circuito de la figura 4.17. ¿Qué valor debe tener la resistencia de 6

para que la intensidad i valga 3A?

(68)

80 + - + -5V 25V 6Ω 10Ω i1 i 5i1 ← → Figura 4.17

4.18. Calcular i1 y v en el circuito de la figura 4.18.

+ -3i1 4Ω 4Ω 9V 3V+ -+ v - i1 Figura 4.18

4.19. Determinar i en el circuito de la figura 4.19.

+ -25V 4Ω 10Ω 6Ω 3i i Figura 4.19

4.20. Mediante el análisis de nudos, determinar la tensión en cada nudo del circuito de la figura 4.20.

(69)

81 4Ω 2Ω 4Ω 5A 3A 6A Figura 4.20

4.21. Escribir el sistema de ecuaciones resultante del análisis de nudos del circuito de la figura 4.21. ¿Es simétrica la matriz de los coeficientes? Razona la respuesta. + -vg G1 G3 G2 G5 G4 v1 v2 v3 β(v1- v3) Figura 4.21

4.22. Determinar la diferencia de tensión entre los terminales de la resistencia de 6

del circuito de la figura 4.22.

+ -+ -7A 3Ω 4Ω 4Ω 8Ω 30V 24V Figura 4.22

(70)

82

4.23. Mediante el análisis de mallas determinar las intensidades que circulan por las mallas del circuito de la figura 4.23.

+ -+ -16V 9V 2Ω 6Ω 3Ω 6i1 i1Figura 4.23

4.24. Mediante el análisis de mallas, determinar la intensidad que circula por la resistencia de 3

del circuito de la figura 4.24.

11A 4Ω 4A 3Ω 5Ω iFigura 4.24

4.25. Utilizando el análisis de mallas, determinar la potencia absorbida por la resistencia de 4K

en el circuito de la figura 4.25.

+ -11A 4kΩ 5kΩ 2v1 24V v1 + -Figura 4.25

(71)

83 + -11mA 5mA 3mA 25V 4kΩ 4kΩ 3kΩ 2kΩ Figura 4.26

4.27. Determinar la potencia entregada por la fuente de 10V en el circuito de la figura 4.27. + -3Ω 4Ω 6Ω 2Ω 12i1 2v1 i1 + v1 -10V 3A → Figura 4.27

4.28. Determinar el valor de v2 en función de R e Ig en el circuito de la figura 4.28.

Ig R 100Ω i1 50i1 3 10-4v2 1KΩ + v2 -→ Figura 4.28

4.29. Calcular la potencia máxima que puede recibir la resistencia R del circuito de la figura 4.29

(72)

84 + -12V 3Ω 6Ω 2Ω 2A R Figura 4.29

4.30. Usando la técnica de análisis de transformación de fuentes, determinar la intensidad que circula por la resistencia de 6

en el circuito de la figura 4.30

+ -4Ω 8V 1A 12 6Ω Figura 4.30

4.31. Mediante transformación de fuentes determinar la tensión entre los terminales de la resistencia de 4

en el circuito de la figura 4.31.

+ -32V 3Ω 4Ω 6Ω 6Ω 1Ω 2Ω 4A Figura 4.31

4.32. Encontrar la condición para la cual la corriente que circula por una resistencia es la misma para la conexión en serie y en paralelo de n pilas reales idénticas.

4.33 Dado un circuito elemental formado por un generador de corriente real (ig, Rg) y una resistencia R, determinar los valores de R para que circule por ella una

(73)

85

intensidad: a) máxima y b) mínima. Qué valor debe tener R para que el generador le suministre una potencia máxima.

4.34. Determinar la fuente real de tensión equivalente a una asociación de n fuentes reales de tensión idénticas conectadas en serie de forma a) todas ellas directamente y b) una cuarta parte del total conectadas inversamente.

4.35. Resolver el problema anterior suponiendo que las fuentes son reales de corriente.

4.36. Determinar la fuente real de tensión equivalente a una asociación de n fuentes reales de tensión conectadas en paralelo con la misma polaridad, cuando todas son a) iguales y b) diferentes.

(74)

85

PROBLEMAS RESUELTOS

5.1. Calcular, aplicando el principio de superposición, la potencia disipada

por la resistencia de 4ΩΩΩΩ en el circuito de la figura 5.1. (Ejercicio propuesto en la convocatoria de Septiembre 1996)

-+ 6Ω 3Ω 2Ω 4Ω 6Ω 12V 2A 3A Figura 5.1

Para calcular la potencia disipada en la resistencia de 4Ω, determinaremos la tensión en sus extremos, v, y a partir de esta tensión calcularemos la potencia como

p= vR

2

(1)

No podemos determinar directamente la potencia aplicando el principio de superposición porque ésta es una magnitud no lineal, y el principio de superposición sólo se aplica para determinar magnitudes lineales en circuitos (tensiones o corrientes).

La tensión v en los extremos de la resistencia de 4Ω es la suma de la tensión v1 debida exclusivamente a la fuente de corriente de 12V, más la

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