Metodos Numericos ejercicios resueltos

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PROF. Ph.D. EDWIN M. PINO VARGAS PROF. Ph.D. EDWIN M. PINO VARGAS I SEMESTRE 2015

I SEMESTRE 2015

1

erer

_{EXAMEN PARCIAL DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA GEOLOGICA}

1)

1) Un ingeniero planifica la exUn ingeniero planifica la extracción de material en tres catracción de material en tres canteras para una conteras para una construcciónnstrucción específica. La composición de cada cantera y los

específica. La composición de cada cantera y los requerimientos (mrequerimientos (m33_{) de la obra en las}_{) de la obra en las}

próximas tres semanas es la

próximas tres semanas es la siguiente:siguiente:

A

Arreennaa GGrraavva a FFiinnaa GGrraavva a GGrruueessaa SSeemmaanna a 11 SSeemmaanna a 22 SSeemmaanna a 33 C

Caanntteerraa11 2255 4400 3355 AArreennaa 33880000 49490000 22990000 C

Caanntteerraa22 5555 3300 1155 GGrraavvaa FFiinnaa 44660000 66000000 33660000 C

Caanntteerra a 33 3300 2255 4455 GGrraavva a GGrruueessaa 44550000 55880000 33550000 CANTERAS

CANTERAS PORCENTAJES DEPORCENTAJES DE MATERIALESMATERIALES REQUEREQUERIMIRIMI ENTENTOS OS (m(m 3 3 ))

El ingeniero debe determinar la cantidad de metros cúbicos de material que debe El ingeniero debe determinar la cantidad de metros cúbicos de material que debe extraer de cada cantera semanalmente, usar métodos matriciales

extraer de cada cantera semanalmente, usar métodos matriciales (6 puntos).(6 puntos). 2)

2) El desplazamiento de una estrucEl desplazamiento de una estructura está definido por la sigutura está definido por la siguiente ecuación para uniente ecuación para unaa vibración

vibración amortiguada amortiguada . . Donde Donde k=0,5 k=0,5 y y w=3. w=3. Se Se pide:pide: a)

a) Graficar la Graficar la función y función y determinar en determinar en forma aproximada forma aproximada el tiempo el tiempo transcurrido ptranscurrido paraara que el desplazamiento disminuya a 6. Para graficar hágalo en un rango de 0 a que el desplazamiento disminuya a 6. Para graficar hágalo en un rango de 0 a 0,40 para

0,40 para ““tt”” con tamaño de paso de t de 0,05. con tamaño de paso de t de 0,05. (3 puntos).(3 puntos). b)

b) Utilice el Utilice el método de método de Newton RaphNewton Raphson para son para determinar el determinar el tiempo transcutiempo transcurrido pararrido para que el desplazamiento disminuya a 6.

que el desplazamiento disminuya a 6. (3 puntos).(3 puntos). ………. Algoritmo de Newton

………. Algoritmo de Newton Raphson.Raphson.

3)

3) Calcular el tiempo de enfriamiento de una boCalcular el tiempo de enfriamiento de una bola que está a 800°K y se deja enla que está a 800°K y se deja enfriar en elfriar en el aire hasta una temperatura de 600°K. Suponiendo que el calor se pierde solamente aire hasta una temperatura de 600°K. Suponiendo que el calor se pierde solamente debido a la radiación, la ecuación diferencial de la temperatura de la bola está dada: debido a la radiación, la ecuación diferencial de la temperatura de la bola está dada:

 

44 88



12 12 10 10 81 81 10 10 2067 2067 ,, 2 2         T T dt dt dT dT ……

…… Usar: un paso h=60 Usar: un paso h=60 segundossegundos

Se pide: Se pide: a)

a) Calculo del Calculo del tiempo de tiempo de enfriamiento usandenfriamiento usando RK-1.o RK-1. (4 puntos).(4 puntos). b)

b) Graficar la curvGraficar la curva de ena de enfriamiento según dfriamiento según datos dados.atos dados. (1 puntos).(1 puntos). c)

c) Escriba un programEscriba un programa en MATLAB a en MATLAB para la solución para la solución del problema.del problema. (3 puntos).(3 puntos).

SIN DOCUMENTOS DE CONSULTA SIN DOCUMENTOS DE CONSULTA

(2)

SOLUCION PROBLEMA 1

Arena Grava Fina Grava Gruesa

Cantera1 25 40 35

Cantera2 55 30 15

Cantera3 30 25 45

Semana 1 Semana 2 Semana 3

Arena 3800 4900 2900 Grava Fina 4600 6000 3600 Grava Gruesa 4500 5800 3500 CANTERAS PORCENTAJES DE MATERIALES REQUERIMIENTOS (m 3 )

Sea Xi la cantidad de material extraído de la cantera i, con i =1, 2 y 3. El sistema de ecuaciones a resolver es:

0,25 X

1

+ 0,55 X

2

+ 0,30 X

3

= b

1

0,40 X

1

+ 0,30 X

2

+ 0,25 X

3

= b

2

0,35 X

1

+ 0,15 X

2

+ 0,45 X

3

= b

3 SEMANA 1 X1 X2 X3 bi 0.25 0.55 0.30 3800 0.40 0.30 0.25 4600 0.35 0.15 0.45 4500 -2.438 5.063 -1.188 8681.25 X1 2.313 -0.188 -1.438 1456.25 X2 1.125 -3.875 3.625 2762.50 X3 SEMANA 2 X1 X2 X3 bi 0.25 0.55 0.30 4900 0.40 0.30 0.25 6000 0.35 0.15 0.45 5800 -2.438 5.063 -1.188 11543.75 X1 2.313 -0.188 -1.438 1868.75 X2 1.125 -3.875 3.625 3287.50 X3 SEMANA 3 X1 X2 X3 bi 0.25 0.55 0.30 2900 0.40 0.30 0.25 3600 0.35 0.15 0.45 3500 -2.438 5.063 -1.188 7000.00 X1 2.313 -0.188 -1.438 1000.00 X2 1.125 -3.875 3.625 2000.00 X3

(3)

a) Graficando la función t f(t) 0.00 2.00000 0.05 1.71487 0.10 1.26995 0.15 0.68307 0.20 -0.02564 0.25 -0.83429 0.30 -1.71980 0.35 -2.65848 0.40 -3.62661

b) Aplicando Newton Raphson

Reemplazando k=0,5 y w=3 en la función:

Derivando la función:

Estableciendo el Algoritmo de Newton Raphson:

Iteración t f(t) f´(t) 1 0.50000 -5.55928 -18.86476 2 0.20531 -0.10716 -15.45888 3 0.19838 -0.00095 -15.18383 4 0.19831 0.00000 -15.18131 5 0.19831 0.00000 -15.18131 El valor final de t=0,1983.

(4)

SOLUCION PROBLEMA 3



4 8



12 10 81 10 2067 , 2       T dt dT K t T ₍ ₀₎₈₀₀ h=60

a) Calculo del tiempo de enfriamiento usando RK-1 Solución RK1 Tiempo T K1 K2 K3 K4 0 800.00000 -53.15940 -46.30337 -40.88041 -43.22836 60 756.68177 -42.33333 -37.67658 -33.85669 -35.23848 120 721.18200 -34.74330 -31.41511 -28.61055 -29.48138 180 691.40419 -29.18431 -26.70976 -24.58101 -25.15994 240 665.95948 -24.97023 -23.07152 -21.41128 -21.81296 300 643.88809 -21.68565 -20.19099 -18.86670 -19.15529 360 624.50347 -19.06636 -17.86454 -16.78806 -17.00152 420 607.30012 -16.93731 -15.95356 -15.06434 -15.22615 480 591.89665 -15.17847 -14.36089 -13.61613 -13.74138 540 577.99925 -13.70514 -13.01671 -12.38540 -12.48412 600 565.37744 -12.45601 -11.86968 -11.32890 -11.40795

El tiempo para que la bola llegue a los 600 °K debe estar entre 420 y 480 segundos, podemos estimar que es 450 °K aproximadamente.

(5)

%PLACA CALENTADA METODO RUNGE-KUTTA clear, clc format short dt=60; Tf=600; T(1)=800; a=-2.2067E-12; for i=1:Tf K1(i)=dt*a*(((T(i))^4)-81E8); K2(i)=dt*a*(((0.5*K1(i)+T(i))^4)-81E8); K3(i)=dt*a*(((0.5*K2(i)+T(i))^4)-81E8); K4(i)=dt*a*(((K3(i)+T(i))^4)-81E8); T(i+1)=T(i)+(1/6)*(K1(i)+2*K2(i)+2*K3(i)+K4(i)); y(i)=T(i); end w=1:Tf; plot(w,y) grid

xlabel('TIEMPO TRANSCURRIDO (seg)') ylabel('TEMPERATURAS(°K)' )

title('CURVA DE TEMPERATURAS RUNGE-KUTTA' ) h = legend('temperaturas calculadas',1);