UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACUL
FACUL
TAD
TAD
DE ING
DE ING
ENI
ENI
ERÍ
ERÍ
A
A
CIV
CIV
IL
IL
SECCIÓN DE POSTGRADO
SECCIÓN DE POSTGRADO
Dr. ZE
Dr. ZE
NÓ
NÓ
N AGUI
N AGUI
LA
LA
R BA
R BA
RD
RD
AL
AL
ES
ES
CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES
CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES
SÍSM
SÍSM
ICAS Y MITI
ICAS Y MITI
GACIÓN DE
GACIÓN DE
DESASTRE
DESASTRE
S -
S -
CISM
CISM
ID
ID
PRESIÓN
PRESIÓN
L
L
TER
TER
L
L
DE
DE
TIERR
PRESI
PRESI
PRESI
PRESIÓ
Ó
ÓN DE TIERRA EN REPOSO
Ó
N DE TIERRA EN REPOSO
N DE TIERRA EN REPOSO
N DE TIERRA EN REPOSO
o
o
h
h
o
o
K
K
''
''
σ
σ
σ
σ
==
Peso especifico del suelo =
Peso especifico del suelo =
γγ
τ
τ
ff=
=
c +
c +
σ
σ
tan
tan
φ
φ
σ
σ ´´
hh= K
= K
ooσ
σ ´´
ooz
z
A
A
B
B
y yo
o
o
o
σ
σ
σ
σ
′′
==
h
h
h
h
σ
σ
σ
σ
′′
==
o oσ
σ
′′
PRESI
PRESI
PRESI
PRESIÓ
Ó
ÓN DE TIERRA EN REPOSO
Ó
N DE TIERRA EN REPOSO
N DE TIERRA EN REPOSO
N DE TIERRA EN REPOSO
o
o
h
h
o
o
K
K
''
''
σ
σ
σ
σ
==
Peso especifico del suelo =
Peso especifico del suelo =
γγ
τ
τ
ff=
=
c +
c +
σ
σ
tan
tan
φ
φ
σ
σ ´´
hh= K
= K
ooσ
σ ´´
ooz
z
A
A
B
B
y yo
o
o
o
σ
σ
σ
σ
′′
==
h
h
h
h
σ
σ
σ
σ
′′
==
o oσ
σ
′′
Como
Como
σ
σ
´´
oo= z, tenemos
= z, tenemos
σ
σ
´´
hh= K
= K
oo(( z)
z)
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por
Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la
la
relación empírica (Jaki,1944)
relación empírica (Jaki,1944)
K
K
oo=
= 1
1 –
– s
se
en
n
φφ
Donde
Donde
φφ
= ángulo de
= ángulo de fricción efectiva. Para suelo de
fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,
grano fino, normalmente consolidados,
Massarsch
Massarsch (1979) su
(1979) sugirió
girió la siguie
la siguiente ecua
nte ecuación pa
ción para
ra K
K
oo::
⎥⎥⎦⎦
⎤⎤
⎢⎢⎣⎣
⎡⎡
++
==
100
100
(%)
(%)
42
42
..
0
0
44
44
..
0
0
IP
IP
K
K
ooDonde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como
OCR =
presión de preconsolidación
presión de sobrecarga efectiva presente
La magnitud de K
oen la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores
mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.
Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por
(
)
K
(
)
OCR
PRESI
PRESIÓ
ÓN DE TIERRA EN REPOSO
N DE TIERRA EN REPOSO
PARA UN SUELO SECO
PARA UN SUELO SECO
H
Peso específico del suelo =
γ
K
oγ H
22
1
H
K
P
o=
oγ
3 HH
H
1H
2K
o(
γ
H
1+
γ
’H
2)
Peso específico saturado
del suelo =
γ
satPeso específico del suelo =
γ
γ
wH
2K
oγ
H
1Nivel de Agua
freática
(b)
F
E
J
K
A
B
I
G
z+
C
PRESI
PRESIÓ
ÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE
N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE
SUMERGIDO
=
=
H
H
11H
H
22K
K
ooγγ
H
H
11Distribuci
Distribuci
Distribuci
Distribuci ó
óón de la presi
ó
n de la presi
n de la presi ó
n de la presi
óón de tierra e
ó
n de tierra en reposo
n de tierra e
n de tierra e
n reposo para
n repos
n repos
o para un suelo parcialmente sumergid
o para un suelo parcialmente sumergid
para un s
un suelo parcialmente sumergido
uelo parcialmente sumergido
o
o
K
K
oo((
γ
γ
H
H
11+
+
γγ
’’H
H
22) +
) +
γγ
wwH
H
22(c)
Presión efectiva vertical =
Presión efectiva vertical =
σ
σ
oo′′
==
γ
γ
H
H
11++
γ
γ
′′
((
z
z
−−
H
H
11))
[ [
H
H
11((
z
z
H
H
11))
]]
K
K
K
K
oo oo oo h h′′
==
σ
σ
′′
==
γ
γ
++
γ
γ
′′
−−
σ
σ
))
((
z
z
H
H
11u
u
==
γ
γ
ww−−
u
u
h h h h==
σ
σ
′′
++
σ
σ
[ [
H
H
11((
z
z
H
H
11))
]]
((
z
z
H
H
11))
K
K
oo++
′′
−−
++
ww−−
==
γ
γ
γ
γ
γ
γ
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1((
))
2
2
1
1
2
2
1
1
H
H
K
K
H
H
H
H
K
K
H
H
K
K
P
P
oo==
ooγ
γ
++
ooγ
γ
++
ooγ
γ
′′
++
γ
γ
ww[ [
]]
22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 12
2
2
2
1
1
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
K
K
P
P
oo==
ooγ
γ
++
γ
γ
++
γ
γ
′′
++
γ
γ
wwo
o
Presión efectiva horizontal =
Presión efectiva horizontal =
Presión total horizontal =
Presión total horizontal =
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA
Peso especifico del suelo =
Peso especifico del suelo =
γγ
τ
τ
ff=
=
c +
c +
σ
σ
tan
tan
φ
φ
σ
σ ´´
hhz
z
A
A
B
B
A´
A´
B´
B´
Δ
Δ
L
L
σ
σ ´´
OOPresi
Presi
Presi
Presi
Presió
ón activa de tierra de Rankine
n activa de tierra de Rankine
Esfuerzo normal c A φ φ E s f u e r z o n o r m a l D´ D O C τ f = c + σ t a n φ σ′ O Koσ′ O σ′ a a b
ESTADO ACTIVO DE RANKINE
ESTADO ACTIVO DE RANKINE
OC
AO
CD
AC
CD
sen
+
=
=
φ
Pero
CD = radio del círculo de falla =
2
a oσ
σ
′
−
′
AO = c cot φ
y
2
a oOC
=
σ
′
+
σ
′
Por lo que
2
cot
2
a o a oc
sen
σ
σ
φ
σ
σ
φ
′
+
′
+
′
−
′
=
De la figura
2
2
cos
o asen
o ac
φ
+
σ
′
+
σ
′
φ
=
σ
′
−
σ
′
o
o
φ
φ
φ
φ
σ
σ
sen
c
sen
sen
o a+
−
+
−
′
=
′
1
cos
2
1
1
Peroσ′
o=
presión de sobrecarga efectiva vertical =
γ
z
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
+
−
2
45
tan
1
1
2φ
φ
φ
sen
sen
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
+
tan
45
2
1
cos
φ
φ
φ
sen
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
′
2
45
tan
2
2
45
tan
2φ
φ
γ
σ
az
c
Para suelos sin cohesión, c = 0 y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
′
=
′
2
45
tan
2φ
σ
σ
a o⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
′
′
=
2
45
tan
2
φ
σ
σ
o
a
a
K
La razón de σ′
arespecto a σ′
ose llama
coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,
K
a,o
a K c 2
−
γ c 2 tan ) 2 45 ( +φ z (c) a a c K zK −2 γ (d) 2 45+φ 2 45+φTEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES
DE TIERRA ACTIVA
DE TIERRA ACTIVA
Peso especifico del suelo =
γ
τ
f=
c +
σ
tan
φ
σ ´
hz
A
B
A´
B´
Δ
L
σ ´
OEstado pasivo de Rankine
Estado pasivo de Rankine
Presi
Presi
Presió
ón pasiva de tierra de Rankine
n pasiva de tierra de Rankine
Esfuerzo Normal τ f = c + σt a nφ E s f u e r z o N o r m a l σ′ o φ φ O C D D′ A σ′ p b Koσ′ o a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
′
=
′
2
45
tan
2
2
45
tan
2φ
φ
σ
σ
p oc
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
′
2
45
tan
2
2
45
tan
2φ
φ
γ
σ
pz
c
La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
′
=
′
2
45
tan
2φ
σ
σ
p o o⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
=
′
′
2
45
tan
2φ
σ
σ
p o pK
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA
z p K c 2 γ zK p (c) (d) 2 45−φ 2 45−φ
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES
TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES
DE TIERRA PASIVA
DE TIERRA PASIVA
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO
Muro de retenci
2
45
+
φ45
+
φ 2 z C´ A H A´ B LaΔ
LaRotaci
2 45
−
φ H AΔ
Lp A″
Lp C″ 2 45−
φ 2 45−
φRotaci
Variaci
Variació
ón de la magnitud de la presi
n de la magnitud de la presi ó
ón lateral de tierra
n lateral de tierra
con la inclinaci
con la inclinació
ón del muro
n del muro
Presión activa
σ′
a Presión en reposo Presión pasivaσ′
p P r e s i ó n d e t i e r r a Inclinación del muroΔ
La H Inclinación del muroΔ
LP HDIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCI
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓ
ÓN DE LA PRESI
N DE LA PRESIÓ
ÓN LATERAL
N LATERAL
DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI
DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓ
ÓN0
N0
RELLENO. SUELO SIN COHESI
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓ
ÓN CON
N CON
SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO
z
K
a
a
a
σ
γ
σ
=
′
=
(Nota: c = 0)H
K
a
a
γ
σ
=
2
2
1
H
K
P
a=
aγ
Caso Activo
La fuerza total:
Distribución de la presión contra un muro de retención
para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno
Cuña de falla H 2 45+φ γ φ c = 0 3 H H Kaγ H Pa σ a=σ′ a
Caso Pasivo
H
K
p
p
p
σ
γ
σ
=
′
=
2
2
1
H
K
P
p
=
p
γ
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCI
DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓ
ÓN DE LA PRESI
N DE LA PRESIÓ
ÓN LATERAL
N LATERAL
DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI
DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓ
ÓN0
N0
Cuña de falla H 2 45−φ γ φ c = 0 K pγ H 3 H P p H σ p=σ′ p
Distribución de la presión contra un muro de retención
para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno
RELLENO. SUELO SIN COHESI
RELLENO. SUELO SIN COHESIÓ
ÓN PARCIALMENTE
N PARCIALMENTE
SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA
SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA
Caso Activo o a aK
σ
σ
′
=
′
q
K
a a a=
σ
′
=
σ
y(
q
H
1)
o oσ
γ
σ
=
′
=
+
(
q
H
1)
K
a a aσ
γ
σ
=
′
=
+
yDonde
σ′
o yσ′
a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0q
o o
=
σ
′
=
σ
Donde
γ′
=γ
sat -γ
w. La Variación deσ′
a con la profundidad se muestra .La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,
2
H
u
=
γ
wEl diagrama de la presión lateral total
σ
a´,es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,(
)
2 2 2 1 2 12
1
2
1
H
K
H
H
K
H
k
qH
K
P
a=
a+
aγ
+
aγ
+
aγ
′
+
γ
w(
q
H
1H
2)
oγ
γ
σ
′
=
+
+
′
y(
q
H
1H
2)
K
a aγ
γ
σ
′
=
+
+
′
A la profundidad z = HH1 H2 H 45+ φ 2 Z Nivel del Agua Freática
Cuña de falla Sobrecarga = q
γ
satφ
Distribuci
Distribució
ón de la presi
n de la presi ó
ón activa de tierra de Rankine contra un muro de
n activa de tierra de Rankine contra un muro de
retenci
retenció
ón con relleno de un suelo sin cohesi
n con relleno de un suelo sin cohesió
ón parcialmente
n parcialmente
sumergido y soportando una sobrecarga
+
H1 H2(
q H 1 H 2)
K a +γ +γ ′ q K H K aγ 1+ a a σ ′=
2 H w γ uσ
a(
q H 1)
K a +γ K aγ H ′ 2+γ wH 2 qKaDistribuci
Distribució
ón de la presi
n de la presi ó
ón activa de tierra de Rankine contra un muro de
n activa de tierra de Rankine contra un muro de
retenci
retenció
ón con relleno de un suelo sin cohesi
n con relleno de un suelo sin cohesió
ón parcialmente
n parcialmente
sumergido y soportando una sobrecarga
Caso Pasivo o p p
K
σ
σ
′
=
′
(
)
2 2 2 1 2 12
1
2
1
H
K
H
H
K
H
K
qH
K
P
p=
p+
pγ
+
pγ
+
pγ
′
+
γ
wRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL
Caso Activo
a a a′
=
K
γ
z
−
2
c
K
σ
0
2
=
−
a o az
c
K
K
γ
a oK
c
z
γ
2
=
oPara la condición no drenada, esto es,
φ
= 0, Ka= tan
245° = 1, y c = c
u(cohesión no drenada)
tenemos
γ
u oc
z
=
2
Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad z
H1 H2 H 45 - φ 2 Z
Nivel del Agua Freática Cuña de falla Sobrecarga = q
γ
satφ
(a)γ
φ
Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención
con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido
+
H1 H2(
H 1 H 2)
K p γ +γ ′ q K H K aγ 1+ a p σ ′=
2 H w γ uσ
p(
q H 1)
K p +γ K pγ H ′ 2+γ wH 2 (b) (c) (d) qKa p qKDistribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención
con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido
H 45+ φ 2 Cuña de falla (a) Z
Distribuci
Distribuci ó
ón de la presi
n de la presió
ón activa de tierra de Rankine contra
n activa de tierra de Rankine contra
un muro de retenci
H K aγ a K c 2
−
(d) a a H c K K γ −2 H-
=
a K c 2z
o H - zo σ a (c) (b)Distribuci
Distribuci ó
ón de la presi
n de la presió
ón activa de tierra de Rankine contra
n activa de tierra de Rankine contra
un muro de retenci
La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total
cH
K
H
K
P
a a2
a2
1
2−
=
γ
Para la condiciónφ
= 0H
c
H
P
a2
u2
1
2−
=
γ
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
a a a aK
c
H
c
K
H
K
P
γ
γ
2
2
2
1
γ
γ
2 22
2
2
1
c
cH
K
H
K
a−
a+
=
Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(
γ √
Ka) y , H es la única considerada. En este casoPara la condición
φ
= 0,γ
γ
2 22
2
2
1
u u ac
H
c
H
P
=
−
+
Caso Pasivo
Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]
c
K
z
K
p p p′
=
γ
+
2
σ
En z = 0,c
K
p p=
2
σ
Y en z = H,c
K
H
K
p p p=
γ
+
2
σ
Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro
de retención con relleno de un suelo cohesivo
H 45 - φ 2 Cuña de falla Z σ p p K c 2 K pγ H
La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como
cH
K
H
K
P
p p2
p2
1
2+
=
γ
Para la condiciónφ
= 0, Kp = 1 yH
c
H
P
p2
u2
1
2+
=
γ
EJEMPLOCalcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante
Solución
Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemosz
K
K
a o a aσ
γ
σ
′
=
′
=
3
1
30
1
30
1
1
1
=
°
+
°
−
=
+
−
=
sen
sen
sen
sen
K
aφ
φ
5 m γ= 15.7 KN/m3 φ= 30° c = 0 (a) 5 m 26.2kN/m2 (b) 65.5 KN/m2 1.67 m 1.67 m 5 m 235.5 kN/m2 588.8 kN/m
El diagrama de la distribución de presión se muestra Fuerza activa
( )(
5
26
.
2
)
2
1
=
aP
m
kN
/
5
.
65
=
La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro.
Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que
z
K
K
p o p p pσ
σ
γ
σ
′
=
=
′
=
3
5
.
0
1
5
.
0
1
1
1
=
−
+
=
−
+
=
φ
φ
sen
sen
K
p En z = 0, σ′p= 0; en z = 5m,σ′p= 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora
( )(
)
kN
m
P
p5
235
.
5
588
.
8
/
2
1
=
=
EJEMPLO 2
Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?
Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces
( )
z
K
K
h
h
σ
oσ
o oγ
σ
′
=
=
′
=
φ
sen
K
o=
1
−
o5
.
0
30
1
−
°
=
=
sen
K
o Y en z = 0,σ′h = 0; en 5m,σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2 El diagrama de distribución de presión total se muestra( )( )
kN
m
P
o5
39
.
3
98
.
3
/
2
1
=
=
EJEMPLO 3Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ= 0) del relleno, determine los siguientes valores:
a. La profundidad máxima de la grieta de tensión b. Paantes de que ocurra la grieta de tensión c. P después de que ocurra la grieta de tensión
5 m
39.3 kN/m2
98.3 KN/m 1.67 m
Arcilla blanda saturada
γ = 15.7 kN/m3 φ = 0 Cu= 17 kN/m2 6 m 2.17m 3.83m 60.2 kN/m2 34 kN/m2
Solución Paraφ= 0, Ka= tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos u a
=
γ
z
−
2
c
σ
En z = 0,( )( )
2/
34
17
2
2
c
ukN
m
a=
−
=
−
=
−
σ
En z = 6m,(
)( ) ( )( )
2/
2
.
60
17
2
6
7
.
15
kN
m
a=
−
=
σ
La variación deσa con la profundidad se muestra
a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a
( )( )
m
c
z
o u2
.
17
7
.
15
17
2
2
=
=
=
γ
b. Antes de que ocurra la grieta de tensión
H
c
H
P
a2
u2
1
2−
=
γ
o( )( )
( )( )
kN
m
P
a15
.
7
6
2
17
6
78
.
6
/
2
1
2−
=
=
c. Después de que ocurre la grieta de tensión,
(
)( )
kN
m
P
a6
2
.
17
60
.
2
115
.
3
/
2
1
=
−
=
Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación EJEMPLO 4
Se muestra un muro de retención sin fricción.
a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión. b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?
Solución
a. Dadoφ
= 26°, tenemos 39 . 0 26 1 26 1 1 1=
°
+
°
−
=
+
−
=
sen sen sen sen K a φ φ De la ecuaciónK
c
K
′
2
=
=
′
σ
σ
σ
153.6 kN/m2 51.2kN/m2 (c) 4 – z = 2.96m 17.31kN/m2 (b) z=1.04m -6.09kN/m2 4m γ= 15kN/m3 φ= 26° c = 8kN/m2 (a) q = 10 kN/m2
En z = 0
(
)( ) ( )( )
2/
09
.
6
99
.
9
9
.
3
39
.
0
8
2
10
39
.
0
kN
m
a a=
=
−
=
−
=
−
′
σ
σ
En z = 4 m( )
0
.
39
[
10
+
( )( )
4
15
] ( )( )
−
2
8
0
.
39
=
27
.
3
−
9
.
99
=
=
′
a aσ
σ
2/
31
.
17
kN
m
=
De este diagrama vemos que
z
z
=
4
−
31
.
17
09
.
6
om
z
=
1
.
04
Después de que ocurre la grieta de tensión
( )( )
z
( )( )
kN
m
P
a2
.
96
17
.
31
25
.
62
/
2
1
31
.
17
4
2
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
=
Dado
φ
= 26°, tenemos56
.
2
5616
.
0
4384
.
1
26
1
26
1
1
1
=
=
°
−
°
+
=
−
+
=
sen
sen
sen
sen
K
pφ
φ
De la ecuación( )( )
( )
2/
2
.
51
6
.
25
6
.
25
8
56
.
2
2
10
56
.
2
kN
m
p p′
=
σ
=
+
=
+
=
σ
De nuevo, en z = 4m,σ
o= (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2y( )( )
( )
2/
8
.
204
8
56
.
2
2
70
56
.
2
kN
m
p p′
=
σ
=
+
=
σ
En z = 0,σ′
o= 10 Kn/m2yc
K
K
p o p p p′
=
σ
=
σ
′
+
2
σ
La distribución de
σ
p (=σ′
p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es( )( ) ( )(
)
kN
m
P
p4
153
.
6
204
.
8
307
.
2
512
/
2
1
4
2
.
51
+
=
+
=
=
EJEMPLO 5
Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante
Solución
dado c = 0, sabemos queσ′
a = Kaσ′
o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es( )
3
1
30
1
30
1
1+
°
=
°
−
=
=
sen
sen
K
K
a a 1.2m Arena γ1= 16.5kN/m3, φ 1= 30°, c1= 0Nivel agua freática 6m
(a)
Arena
γ2(peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3
φ2 = 35° C2= 0 M u r o s i n f r i c c i ó n
Para el estrato inferior, ( )
0
.
271
5736
.
1
4264
.
0
35
1
35
1
2+
°
=
=
°
−
=
=
sen
sen
K
K
a aEn z = 0, σ o= σ′ o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), σ o= σ′ o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2 ( )1
(
19
.
8
)
6
.
6
/
23
1
m
kN
K
a o a a⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
′
=
′
=
σ
σ
σ
De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior)
σ
o=σ′
o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y( )
(
)( )
2 20
.
271
19
.
8
5
.
37
kN
/
m
K
a o a a=
σ
′
σ
′
=
=
σ
En z = 6 m,( )( ) ( )(
)
2/
87
.
64
81
.
9
2
.
19
8
.
4
5
.
16
2
.
1
kN
m
o′
+
−
=
σ
y( )
(
)(
)
2 20
.
271
64
.
87
17
.
58
kN
/
m
K
a o a′
=
σ
′
=
=
σ
La variación de
σ′
a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(γ
w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2 (b) ( )+
5.37 6 17.58 z ( m ) 6.6 1.2 0 47.1 6 1.2 0 z ( m ) σ′a(kN/m2) u (kN/m2)1.2 6 1.8m 6.6 z ( m ) Pa 64.68 5.37 σa (kN/m2) 0
=
(d) 1 2 3La variación de ucon la profundidad se muestra, y la variación de
σ
( presión activa total) entonces( )( ) ( )( )
( )(
4
.
8
64
.
68
5
.
37
)
2
1
37
.
5
8
.
4
2
.
1
6
.
6
2
1
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
aP
m
kN
/
08
.
172
34
.
142
78
.
25
96
.
3
+
+
=
=
La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así entonces
(
)( ) (
)
m
z
3
1
8
8
.
4
34
.
142
4
.
2
78
.
25
3
2
.
1
8
.
4
96
.
3
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
MURO DE RETENCI
MURO DE RETENCIÓ
ÓN CON FRICCI
N CON FRICCIÓ
ÓN
N
3 H
(a) Caso activo (+δ) C B H A′ D A (b) 2 45+φ 2 45+φ +δ Pa
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
Caso
3 H (c) Caso activo (-δ) C B H A′ D A 2 45+φ 2 45+φ -δ
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.
(e) 3 H (d) Caso pasivo (+δ) C B H A′ D A 2 45− 2 45− +δ Pp A′ 3 H (f) Caso pasivo (-δ) C B H A 2 45−φ -δ 2 45− A′
Caso
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB
Caso Activo
θ H W 90+ θ- β 90 - θ+ α δ P a β β - α D A C φ F B α (a)Presi
Presió
ón activa de Coulomb: (a) cu
n activa de Coulomb: (a) cuñ
ña de falla de prueba; (b) pol
a de falla de prueba; (b) pol íígono de fuerzas
gono de fuerzas
90 + θ+δ - β +φ F β - φ W 90 - θ- δ Pa (b)
La ley de los senos, tenemos
(
+
θ
+
δ
−
β
+
φ
)
=
sen
(
β
−
φ
)
P
sen
W
a90
o(
)
(
)
W
sen
sen
P
aφ
β
δ
θ
φ
β
+
−
+
+
−
=
90
La ecuación precedente se puede escribir en la forma
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
+
+
−
−
−
−
=
φ
β
δ
θ
α
β
θ
φ
β
α
θ
β
θ
γ
90
cos
cos
cos
2
1
2 2sen
sen
sen
H
P
aDonde
γ
= peso especifico del relleno. Los valores deγ
, H,θ
,α
,φ
, yδ
son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crítico deβ
para Pa, máxima, tenemos0
=
β
d
dP
aDespués de resolver la Ec., cuando la relación de
β
se sustituye en la Ec., obtenemos la presión activa de tierra de Coulomb como2
2
1
H
K
P
a=
aγ
Donde Kaes el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2cos
cos
1
cos
cos
cos
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
+
+
+
−
=
α
θ
φ
δ
α
φ
φ
δ
θ
δ
θ
θ
φ
sen
sen
K
aCaso Pasivo
22
1
H
K
P
p=
pγ
Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2cos
cos
1
cos
cos
cos
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
−
−
+
=
θ
α
θ
δ
α
φ
δ
φ
θ
δ
θ
θ
φ
sen
sen
K
pθ H W 90 + θ+ β 90 - θ+ α β A C B α (a) Pp δ φ F F [180 - (90 - θ+δ) – (β+ φ)] Pp 90 - θ+δ β+ φ W (b)
Presión pasiva de coulomb: (a) Cuña de falla de prueba
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA
ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA
SOBRE MUROS DE RETENCI
SOBRE MUROS DE RETENCIÓ
ÓN
N
2
2
1
H
K
P
a=
aγ
Donde⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
+
−
=
2
45
tan
1
1
2φ
φ
φ
sen
sen
K
a H Wc B 3 H δ Pa(coulomb) A (a) HWc
B A (o) Wc 3 H Ws Pa(Rankine) C1 KaγHH Wc 3 H δ Pa (coulomb) A (o) α (b) H
Wc
B A Wc 3 H ′ Ws Pa (Rankine) C2 H′ α αAn
Aná
álisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retenci
lisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retenci ó
ón
n
de gravedad con relleno granular
de gravedad con relleno granular
α
El valor de Pa(Rankine) se da por la relación 2
2
1
H
K
P
a=
aγ
′
DondeH
′
=
BC
2 yφ
α
α
φ
α
α
α
2 2 2 2cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
−
+
−
−
=
)
2
45
(
tan
1
1
2φ
φ
φ
−
=
+
−
=
sen
sen
K
aDonde
α
= talud de superficie del terreno=
a
