PRESION LATERAL DE TIERRA.pdf

Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACUL

FACUL

TAD

TAD

DE ING

DE ING

ENI

ENI

ERÍ

ERÍ

A

A

CIV

CIV

IL

IL

SECCIÓN DE POSTGRADO

SECCIÓN DE POSTGRADO

Dr. ZE

Dr. ZE

N AGUI

N AGUI

LA

LA

R BA

R BA

RD

RD

AL

AL

ES

ES

CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES

CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONES

SÍSM

SÍSM

ICAS Y MITI

ICAS Y MITI

GACIÓN DE

GACIÓN DE

DESASTRE

DESASTRE

S -

S -

CISM

CISM

ID

ID

PRESIÓN

PRESIÓN

L

L

TER

TER

L

L

DE

DE

TIERR

(2)

PRESI

PRESI

PRESI

PRESIÓ

Ó

ÓN DE TIERRA EN REPOSO

Ó

N DE TIERRA EN REPOSO

N DE TIERRA EN REPOSO

N DE TIERRA EN REPOSO

o

o

h

h

o

o

''

''

σ 

σ 

σ 

σ 

==

Peso especifico del suelo =

Peso especifico del suelo =

γγ

τ 

τ 

ff

=

=

c +

c +

σ 

σ 

tan

tan

φ 

φ 

σ 

σ ´´

hh

= K

= K

oo

σ 

σ ´´

oo

z

z

 A

 A

B

B

y y

o

o

o

o

σ 

σ 

σ 

σ 

′′

==

h

h

h

h

σ 

σ 

σ 

σ 

′′

==

o o

σ 

σ 

′′

(3)

PRESI

PRESI

PRESI

PRESIÓ

Ó

ÓN DE TIERRA EN REPOSO

Ó

N DE TIERRA EN REPOSO

N DE TIERRA EN REPOSO

N DE TIERRA EN REPOSO

o

o

h

h

o

o

''

''

σ 

σ 

σ 

σ 

==

Peso especifico del suelo =

Peso especifico del suelo =

γγ

τ 

τ 

ff

=

=

c +

c +

σ 

σ 

tan

tan

φ 

φ 

σ 

σ ´´

hh

= K

= K

oo

σ 

σ ´´

oo

z

z

 A

 A

B

B

y y

o

o

o

o

σ 

σ 

σ 

σ 

′′

==

h

h

h

h

σ 

σ 

σ 

σ 

′′

==

o o

σ 

σ 

′′

(4)

Como

Como

σ

σ

´´

oo

= z, tenemos

= z, tenemos

σ

σ

´´

hh

= K

= K

oo

(( z)

z)

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la

la

relación empírica (Jaki,1944)

relación empírica (Jaki,1944)

K

K

oo

=

= 1

1 –

– s

se

en

n

φφ

Donde

Donde

φφ

= ángulo de

= ángulo de fricción efectiva. Para suelo de

fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,

grano fino, normalmente consolidados,

Massarsch

Massarsch (1979) su

(1979) sugirió

girió la siguie

la siguiente ecua

nte ecuación pa

ción para

ra K

K

oo

::

⎥⎥⎦⎦

⎤⎤

⎢⎢⎣⎣

⎡⎡

++

==

100

100

(%)

(%)

42

42

..

0

0

44

44

..

0

0

IP

IP

oo

(5)

Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como

OCR =

presión de preconsolidación

presión de sobrecarga efectiva presente

La magnitud de K

o

en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valores

mayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

(

)

(

)

OCR

(6)

PRESI

PRESIÓ

ÓN DE TIERRA EN REPOSO

N DE TIERRA EN REPOSO

PARA UN SUELO SECO

PARA UN SUELO SECO

 H 

Peso específico del suelo =

γ

K

o

γ H

2

2

1

 H 

P

o

=

o

γ 

3  H 

(7)

H

H

1

H

2

K

o

(

 γ

H

1

+

γ

’H

2

)

Peso específico saturado

del suelo =

γ

sat

Peso específico del suelo =

γ

γ

w

H

2

K

o

γ

H

1

Nivel de Agua

freática

(b)

F

E

J

K

 A

B

I

G

z

+

C

PRESI

PRESIÓ

ÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE

N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE

SUMERGIDO

(8)

=

=

H

H

11

H

H

22

K

K

oo

γγ

H

H

11

Distribuci

Distribuci

Distribuci

Distribuci ó

óón de la presi

ó

n de la presi

n de la presi ó

n de la presi

óón de tierra e

ó

n de tierra en reposo

n de tierra e

n de tierra e

n reposo para

n repos

n repos

o para un suelo parcialmente sumergid

o para un suelo parcialmente sumergid

para un s

un suelo parcialmente sumergido

uelo parcialmente sumergido

o

o

K

K

oo

((

 γ

 γ

H

H

11

+

+

γγ

’’H

H

22

) +

) +

γγ

ww

H

H

22

(c)

(9)

Presión efectiva vertical =

Presión efectiva vertical =

σ 

σ 

oo

′′

==

γ 

γ 

 H 

 H 

11

++

γ 

γ 

′′

((

 z

 z

−−

11

))

[ [

 H 

 H 

11

((

 z

 z

11

))

]]

oo oo oo h h

′′

==

σ 

σ 

′′

==

γ 

γ 

++

γ 

γ 

′′

−−

σ 

σ 

))

((

 z

 z

 H 

 H 

11

u

u

==

γ 

γ 

ww

−−

u

u

h h h h

==

σ 

σ 

′′

++

σ 

σ 

[ [

 H 

 H 

11

((

 z

 z

 H 

 H 

11

))

]]

((

 z

 z

11

))

oo

++

′′

−−

++

ww

−−

==

γ 

γ 

γ 

γ 

γ 

γ 

2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1

((

))

2

2

1

1

2

2

1

1

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

P

P

oo

==

oo

γ 

γ 

++

oo

γ 

γ 

++

oo

γ 

γ 

′′

++

γ 

γ 

ww

[ [

]]

22 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1

2

2

2

2

1

1

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

 H 

P

P

oo

==

oo

γ 

γ 

++

γ 

γ 

++

γ 

γ 

′′

++

γ 

γ 

ww

o

o

Presión efectiva horizontal =

Presión efectiva horizontal =

Presión total horizontal =

Presión total horizontal =

(10)

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA

Peso especifico del suelo =

Peso especifico del suelo =

γγ

τ 

τ 

ff

=

=

c +

c +

σ 

σ 

tan

tan

φ 

φ 

σ 

σ ´´

hh

z

z

 A

 A

B

B

 A´

 A´

Δ

Δ

L

L

σ 

σ ´´

OO

Presi

Presi

Presi

(11)

Presi

Presió

ón activa de tierra de Rankine

n activa de tierra de Rankine

Esfuerzo normal c  A φ  φ     E  s    f  u  e   r   z   o   n   o   r   m   a    l D´ D O C  τ  f  =  c + σ t  a  n φ σ′ O Koσ′ O σ′ a a b

(12)

ESTADO ACTIVO DE RANKINE

ESTADO ACTIVO DE RANKINE

OC 

 AO

CD

 AC 

CD

sen

+

=

=

φ 

Pero

CD = radio del círculo de falla =

2

a o

σ 

σ 

 AO = c cot φ 

y

2

a o

OC 

=

σ 

+

σ 

Por lo que

2

cot

2

a o a o

c

sen

σ 

σ 

φ 

σ 

σ 

φ 

+

+

=

De la figura

(13)

2

2

cos

o a

sen

o a

c

φ 

+

σ 

+

σ 

φ 

=

σ 

σ 

o

o

φ 

φ 

φ 

φ 

σ 

σ 

sen

c

sen

sen

o a

+

+

=

1

cos

2

1

1

Pero

σ′ 

o

=

presión de sobrecarga efectiva vertical =

γ

z

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

+

2

45

tan

1

1

2

φ 

φ 

φ 

sen

sen

y

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

+

tan

45

2

1

cos

φ 

φ 

φ 

sen

(14)

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

2

45

tan

2

2

45

tan

2

φ 

φ 

γ 

σ 

a

 z

c

Para suelos sin cohesión, c = 0 y

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

2

45

tan

2

φ 

σ 

σ 

a o

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

=

2

45

tan

2

φ 

σ 

σ 

o

a

a

La razón de σ′ 

a

respecto a σ′ 

o

se llama

 coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,

K

a

,o

(15)

a K  c 2

γ  c 2 tan ) 2 45 ( +φ  z (c) a a c K   zK  −2 γ  (d) 2 45+φ  2 45+φ 

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES

DE TIERRA ACTIVA

DE TIERRA ACTIVA

(16)

Peso especifico del suelo =

γ

τ 

f

=

c +

σ 

tan

φ 

σ ´

h

z

 A

B

 A´

Δ

L

σ ´

O

Estado pasivo de Rankine

Estado pasivo de Rankine

Presi

(17)

Presi

Presió

ón pasiva de tierra de Rankine

n pasiva de tierra de Rankine

Esfuerzo Normal τ f  = c + σt a nφ    E  s    f  u  e   r   z   o    N  o   r   m   a    l σ′ o φ  φ  O C D D′   A σ′  p b Koσ′ o a

(18)

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

=

2

45

tan

2

2

45

tan

2

φ 

φ 

σ 

σ 

 p o

c

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

=

2

45

tan

2

2

45

tan

2

φ 

φ 

γ 

σ 

 p

 z

c

La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

=

2

45

tan

2

φ 

σ 

σ 

 p o o

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  +

=

=

2

45

tan

2

φ 

σ 

σ 

 p o  p

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

(19)

z  p K  c 2 γ  zK p (c) (d) 2 45−φ  2 45−φ 

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES

DE TIERRA PASIVA

DE TIERRA PASIVA

(20)

EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Muro de retenci

(21)

2

45

+

φ 

45

+

φ 2 z C´  A H  A´ B La

Δ

La

Rotaci

(22)

2 45

φ  H  A

Δ

Lp  A

 ″

Lp C″ 2 45

φ  2 45

φ 

Rotaci

(23)

Variaci

Variació

ón de la magnitud de la presi

n de la magnitud de la presi ó

ón lateral de tierra

n lateral de tierra

con la inclinaci

con la inclinació

ón del muro

n del muro

Presión activa

σ′

a Presión en reposo Presión pasiva

σ′

p    P  r  e   s    i    ó  n    d  e    t    i  e  r   r   a Inclinación del muro

Δ

La H Inclinación del muro

Δ

LP H

(24)

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCI

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓ

ÓN DE LA PRESI

N DE LA PRESIÓ

ÓN LATERAL

N LATERAL

DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI

DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓ

ÓN0

N0

RELLENO. SUELO SIN COHESI

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓ

ÓN CON

N CON

SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO

SUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO

 z

a

a

a

σ 

γ 

σ 

=

=

(Nota: c = 0)

 H 

a

a

γ 

σ 

=

2

2

1

 H 

P

a

=

a

γ 

Caso Activo

La fuerza total:

(25)

Distribución de la presión contra un muro de retención

para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Cuña de falla H 2 45+φ  γ  φ  c = 0 3  H  H Kaγ H Pa σ a=σ′ a

(26)

Caso Pasivo

 H 

 p

 p

 p

σ 

γ 

σ 

=

=

2

2

1

 H 

P

 p

=

 p

γ 

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCI

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓ

ÓN DE LA PRESI

N DE LA PRESIÓ

ÓN LATERAL

N LATERAL

DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCI

DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓ

ÓN0

N0

(27)

Cuña de falla H 2 45−φ  γ  φ  c = 0 K pγ H 3  H  P p H σ  p=σ′  p

Distribución de la presión contra un muro de retención

para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

(28)

RELLENO. SUELO SIN COHESI

RELLENO. SUELO SIN COHESIÓ

ÓN PARCIALMENTE

N PARCIALMENTE

SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA

SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA

Caso Activo o a a

σ 

σ 

=

q

a a a

=

σ 

=

σ 

y

(

q

 H 

1

)

o o

σ 

γ 

σ 

=

=

+

(

q

 H 

1

)

a a a

σ 

γ 

σ 

=

=

+

y

Donde

σ′

o y

σ′

a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0

q

o o

=

σ 

=

σ 

(29)

Donde

γ′

=

 γ

sat -

 γ

w. La Variación de

σ′

a con la profundidad se muestra .

La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,

2

 H 

u

=

γ 

w

El diagrama de la presión lateral total

σ

a´,es la suma de los diagramas de presión mostrados. La Fuerza  Activa total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

(

)

2 2 2 1 2 1

2

1

2

1

 H 

 H 

 H 

 H 

qH 

P

a

=

a

+

a

γ 

+

a

γ 

+

a

γ 

+

γ 

w

(

q

 H 

1

2

)

o

γ 

γ 

σ 

=

+

+

y

(

q

 H 

1

2

)

a a

γ 

γ 

σ 

=

+

+

 A la profundidad z = H

(30)

H1 H2 H 45+ φ 2 Z Nivel del Agua Freática

Cuña de falla Sobrecarga = q

γ

sat

φ

Distribuci

Distribució

ón de la presi

n de la presi ó

ón activa de tierra de Rankine contra un muro de

n activa de tierra de Rankine contra un muro de

retenci

retenció

ón con relleno de un suelo sin cohesi

n con relleno de un suelo sin cohesió

ón parcialmente

n parcialmente

sumergido y soportando una sobrecarga

(31)

+

H1 H2

(

q  H 1 H 2

)

a +γ  +γ ′ q K   H  K aγ  1+ a a σ ′

=

2  H  w γ  u

σ

a

(

q  H 1

)

a +γ  K aγ  H ′ 2+γ wH 2 qKa

Distribuci

Distribució

ón de la presi

n de la presi ó

ón activa de tierra de Rankine contra un muro de

n activa de tierra de Rankine contra un muro de

retenci

retenció

ón con relleno de un suelo sin cohesi

n con relleno de un suelo sin cohesió

ón parcialmente

n parcialmente

sumergido y soportando una sobrecarga

(32)

Caso Pasivo o  p  p

σ 

σ 

=

(

)

2 2 2 1 2 1

2

1

2

1

 H 

 H 

 H 

 H 

qH 

P

 p

=

 p

+

 p

γ 

+

 p

γ 

+

 p

γ 

+

γ 

w

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

Caso Activo

a a a

=

γ 

 z

2

c

σ 

0

2

=

a o a

 z

c

γ 

a o

c

 z

γ 

2

=

o

Para la condición no drenada, esto es,

φ

= 0, Ka

= tan

2

45° = 1, y c = c

u

(cohesión no drenada)

tenemos

γ 

u o

c

 z

=

2

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta una Profundidad z

(33)

H1 H2 H 45 - φ 2 Z

Nivel del Agua Freática Cuña de falla Sobrecarga = q

γ

sat

φ

(a)

γ

φ

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención

con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido

(34)

+

H1 H2

(

 H 1 H 2

)

 p γ  +γ ′ q K   H  K aγ  1+ a  p σ ′

=

2  H  w γ  u

σ

 p

(

q  H 1

)

 p +γ  K  pγ  H ′ 2+γ wH 2 (b) (c) (d) qKa  p qK 

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención

con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido

(35)

H 45+ φ 2 Cuña de falla (a) Z

Distribuci

Distribuci ó

ón de la presi

n de la presió

ón activa de tierra de Rankine contra

n activa de tierra de Rankine contra

un muro de retenci

(36)

 H  K aγ  a K  c 2

(d) a a H  c K  K γ  −2 H

-

=

a K  c 2

z

o H - zo σ a (c) (b)

Distribuci

Distribuci ó

ón de la presi

n de la presió

ón activa de tierra de Rankine contra

n activa de tierra de Rankine contra

un muro de retenci

(37)

La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama de presión total

cH 

 H 

P

a a

2

a

2

1

2

=

γ 

Para la condición

φ

= 0

 H 

c

 H 

P

a

2

u

2

1

2

=

γ 

(

)

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

=

a a a a

c

 H 

c

 H 

P

γ 

γ 

2

2

2

1

γ 

γ 

2 2

2

2

2

1

c

cH 

 H 

a

a

+

=

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Como no existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(

γ √

Ka) y , H es la única considerada. En este caso

(38)

Para la condición

φ

= 0,

γ 

γ 

2 2

2

2

2

1

u u a

c

 H 

c

 H 

P

=

+

Caso Pasivo

Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva de Rankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]

c

 z

 p  p  p

=

γ 

+

2

σ 

En z = 0,

c

 p  p

=

2

σ 

Y en z = H,

c

 H 

 p  p  p

=

γ 

+

2

σ 

(39)

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un muro

de retención con relleno de un suelo cohesivo

H 45 - φ 2 Cuña de falla Z σ p  p K  c 2 K  pγ H 

(40)

La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como

cH 

 H 

P

 p  p

2

 p

2

1

2

+

=

γ 

Para la condición

φ

= 0, Kp = 1 y

 H 

c

 H 

P

 p

2

u

2

1

2

+

=

γ 

EJEMPLO

Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante

Solución

Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos

 z

a o a a

σ 

γ 

σ 

=

=

3

1

30

1

30

1

1

1

=

°

+

°

=

+

=

sen

sen

sen

sen

a

φ 

φ 

(41)

5 m γ= 15.7 KN/m3 φ= 30° c = 0 (a) 5 m 26.2kN/m2 (b) 65.5 KN/m2 1.67 m 1.67 m 5 m 235.5 kN/m2 588.8 kN/m

(42)

El diagrama de la distribución de presión se muestra Fuerza activa

( )(

5

26

.

2

)

2

1

=

a

P

m

kN 

 /

5

.

65

=

La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo del muro.

Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que

 z

 p o  p  p  p

σ 

σ 

γ 

σ 

=

=

=

3

5

.

0

1

5

.

0

1

1

1

=

+

=

+

=

φ 

φ 

sen

sen

 p En z = 0, σ′p= 0; en z = 5m,σ′p= 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.

La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora

( )(

)

kN 

m

P

 p

5

235

.

5

588

.

8

/

2

1

=

=

(43)

EJEMPLO 2

Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces

( )

 z

h

h

σ 

o

σ 

o o

γ 

σ 

=

=

=

φ 

sen

o

=

1

o

5

.

0

30

1

°

=

=

sen

o Y en z = 0,σ′h = 0; en 5m,σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2 El diagrama de distribución de presión total se muestra

( )( )

kN 

m

P

o

5

39

.

3

98

.

3

/

2

1

=

=

EJEMPLO 3

Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ= 0) del relleno, determine los siguientes valores:

a. La profundidad máxima de la grieta de tensión b. Paantes de que ocurra la grieta de tensión c. P después de que ocurra la grieta de tensión

(44)

5 m

39.3 kN/m2

98.3 KN/m 1.67 m

 Arcilla blanda saturada

γ = 15.7 kN/m3 φ = 0 Cu= 17 kN/m2 6 m 2.17m 3.83m 60.2 kN/m2 34 kN/m2

(45)

Solución Paraφ= 0, Ka= tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos u a

=

γ 

 z

2

c

σ 

En z = 0,

( )( )

2

/

34

17

2

2

c

u

kN 

m

a

=

=

=

σ 

En z = 6m,

(

)( ) ( )( )

2

/

2

.

60

17

2

6

7

.

15

kN 

m

a

=

=

σ 

La variación deσa con la profundidad se muestra

a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a

( )( )

m

c

 z

o u

2

.

17

7

.

15

17

2

2

=

=

=

γ 

b. Antes de que ocurra la grieta de tensión

 H 

c

 H 

P

a

2

u

2

1

2

=

γ 

o

( )( )

( )( )

kN 

m

P

a

15

.

7

6

2

17

6

78

.

6

/

2

1

2

=

=

(46)

c. Después de que ocurre la grieta de tensión,

(

)( )

kN 

m

P

a

6

2

.

17

60

.

2

115

.

3

/

2

1

=

=

Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación EJEMPLO 4

Se muestra un muro de retención sin fricción.

a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión. b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?

Solución

a. Dado

φ

= 26°, tenemos 39 . 0 26 1 26 1 1 1

=

°

+

°

=

+

=

sen sen sen sen K a φ  φ  De la ecuación

c

2

=

=

σ 

σ 

σ 

(47)

153.6 kN/m2 51.2kN/m2 (c) 4 – z = 2.96m 17.31kN/m2 (b) z=1.04m -6.09kN/m2 4m γ= 15kN/m3 φ= 26° c = 8kN/m2 (a) q = 10 kN/m2

(48)

En z = 0

(

)( ) ( )( )

2

/

09

.

6

99

.

9

9

.

3

39

.

0

8

2

10

39

.

0

kN 

m

a a

=

=

=

=

σ 

σ 

En z = 4 m

( )

0

.

39

[

10

+

( )( )

4

15

]   ( )( )

2

8

0

.

39

=

27

.

3

9

.

99

=

=

a a

σ 

σ 

2

/

31

.

17

kN 

m

=

De este diagrama vemos que

 z

 z

=

4

31

.

17

09

.

6

o

m

 z

=

1

.

04

Después de que ocurre la grieta de tensión

( )( )

 z

( )( )

kN 

m

P

a

2

.

96

17

.

31

25

.

62

/

2

1

31

.

17

4

2

1

=

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

=

=

(49)

Dado

φ

= 26°, tenemos

56

.

2

5616

.

0

4384

.

1

26

1

26

1

1

1

=

=

°

°

+

=

+

=

sen

sen

sen

sen

 p

φ 

φ 

De la ecuación

( )( )

( )

2

/

2

.

51

6

.

25

6

.

25

8

56

.

2

2

10

56

.

2

kN 

m

 p  p

=

σ 

=

+

=

+

=

σ 

De nuevo, en z = 4m,

 σ

o= (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2y

( )( )

( )

2

/

8

.

204

8

56

.

2

2

70

56

.

2

kN 

m

 p  p

=

σ 

=

+

=

σ 

En z = 0,

σ′

o= 10 Kn/m2y

c

 p o  p  p  p

=

σ 

=

σ 

+

2

σ 

La distribución de

σ

p (=

σ′

p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es

( )( ) ( )(

)

kN 

m

P

 p

4

153

.

6

204

.

8

307

.

2

512

/

2

1

4

2

.

51

+

=

+

=

=

(50)

EJEMPLO 5

Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante

Solución

dado c = 0, sabemos que

σ′

a = Ka

σ′

o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es

( )

3

1

30

1

30

1

1

+

°

=

°

=

=

sen

sen

a a 1.2m  Arena γ1= 16.5kN/m3, φ 1= 30°, c1= 0

Nivel agua freática 6m

(a)

 Arena

γ2(peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3

φ2 = 35° C2= 0    M  u   r   o   s    i  n    f  r    i  c  c    i    ó  n

(51)

Para el estrato inferior, ( )

0

.

271

5736

.

1

4264

.

0

35

1

35

1

2

+

°

=

=

°

=

=

sen

sen

a a

En z = 0, σ o= σ′ o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), σ o= σ′ o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2 ( )1

(

19

.

8

)

6

.

6

/

2

3

1

m

kN 

a o a a

=

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

=

=

=

σ 

σ 

σ 

De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior)

σ

o=

σ′

o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y

( )

(

)( )

2 2

0

.

271

19

.

8

5

.

37

kN 

/

m

a o a a

=

σ 

σ 

=

=

σ 

En z = 6 m,

( )( ) ( )(

)

2

/

87

.

64

81

.

9

2

.

19

8

.

4

5

.

16

2

.

1

kN 

m

o

+

=

σ 

y

( )

(

)(

)

2 2

0

.

271

64

.

87

17

.

58

kN 

/

m

a o a

=

σ 

=

=

σ 

(52)

La variación de

σ′

a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue En z = 0, u = 0 En z = 1.2m, u = 0 En z = 6m, u = (4.8)(

γ

w) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2 (b) ( )

+

5.37 6 17.58   z    (  m    ) 6.6 1.2 0 47.1 6 1.2 0   z    (  m    ) σ′a(kN/m2) u (kN/m2)

(53)

1.2 6 1.8m 6.6   z    (  m    ) Pa 64.68 5.37 σa (kN/m2) 0

=

(d) 1 2 3

La variación de ucon la profundidad se muestra, y la variación de

σ

( presión activa total) entonces

( )( ) ( )( )

( )(

4

.

8

64

.

68

5

.

37

)

2

1

37

.

5

8

.

4

2

.

1

6

.

6

2

1

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

+

+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

=

a

P

m

kN 

 /

08

.

172

34

.

142

78

.

25

96

.

3

+

+

=

=

La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Así entonces

(

)( ) (

)

m

 z

3

1

8

8

.

4

34

.

142

4

.

2

78

.

25

3

2

.

1

8

.

4

96

.

3

=

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

+

+

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛ 

+

=

(54)

MURO DE RETENCI

MURO DE RETENCIÓ

ÓN CON FRICCI

N CON FRICCIÓ

ÓN

N

3  H 

(a) Caso activo (+δ) C B H  A′  D  A (b) 2 45+φ  2 45+φ  +δ Pa

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

Caso

(55)

3  H  (c) Caso activo (-δ) C B H  A′  D  A 2 45+φ  2 45+φ  -δ

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

(56)

(e) 3  H  (d) Caso pasivo (+δ) C B H  A′  D  A 2 45− 2 45− +δ Pp  A′  3  H  (f) Caso pasivo (-δ) C B H  A 2 45−φ  -δ 2 45−  A′ 

Caso

(57)

TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB

TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB

Caso Activo

θ H W 90+ θ- β 90 - θ+ α δ P a β β - α D  A C φ F B α (a)

Presi

Presió

ón activa de Coulomb: (a) cu

n activa de Coulomb: (a) cuñ

ña de falla de prueba; (b) pol

a de falla de prueba; (b) pol íígono de fuerzas

gono de fuerzas

90 + θ+δ - β +φ F β - φ W 90 - θ- δ Pa (b)

(58)

La ley de los senos, tenemos

(

+

θ 

+

δ 

 β 

+

φ 

)

=

sen

(

 β 

φ 

)

P

sen

a

90

o

(

)

(

)

sen

sen

P

a

φ 

 β 

δ 

θ 

φ 

 β 

+

+

+

=

90

La ecuación precedente se puede escribir en la forma

( ) ( ) ( )

(

)

(

)

+

+

+

=

φ 

 β 

δ 

θ 

α 

 β 

θ 

φ 

 β 

α 

θ 

 β 

θ 

γ 

90

cos

cos

cos

2

1

2 2

sen

sen

sen

 H 

P

a

Donde

γ

= peso especifico del relleno. Los valores de

γ

, H,

θ

,

α

,

φ

, y

δ

son constantes, y es la unica Variable. Para determinar el valor crítico de

β

para Pa, máxima, tenemos

0

=

 β 

dP

a

(59)

Después de resolver la Ec., cuando la relación de

β

se sustituye en la Ec., obtenemos la presión activa de tierra de Coulomb como

2

2

1

 H 

P

a

=

a

γ 

Donde Kaes el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por 

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

cos

cos

1

cos

cos

cos

+

+

+

+

=

α 

θ 

φ 

δ 

α 

φ 

φ 

δ 

θ 

δ 

θ 

θ 

φ 

sen

sen

a

Caso Pasivo

2

2

1

 H 

P

 p

=

 p

γ 

Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o

(

)

(

)

( ) ( )

( ) ( )

2 2 2

cos

cos

1

cos

cos

cos

+

+

=

θ 

α 

θ 

δ 

α 

φ 

δ 

φ 

θ 

δ 

θ 

θ 

φ 

sen

sen

 p

(60)

θ H W 90 + θ+ β 90 - θ+ α β  A C B α (a) Pp δ φ F F [180 - (90 - θ+δ) – (β+ φ)] Pp 90 - θ+δ β+ φ W (b)

Presión pasiva de coulomb: (a) Cuña de falla de prueba

(61)

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVA

SOBRE MUROS DE RETENCI

SOBRE MUROS DE RETENCIÓ

ÓN

N

2

2

1

 H 

P

a

=

a

γ 

Donde

 ⎠

 ⎞

⎝ 

⎛  −

=

+

=

2

45

tan

1

1

2

φ 

φ 

φ 

sen

sen

a H Wc B 3  H  δ Pa(coulomb)  A (a) H

Wc

B  A (o) Wc 3  H  Ws Pa(Rankine) C1 KaγH

(62)

H Wc 3  H  δ Pa (coulomb)  A (o) α (b) H

Wc

B  A Wc 3  H  ′ Ws Pa (Rankine) C2 H′  α α

 An

 Aná

álisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retenci

lisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retenci ó

ón

n

de gravedad con relleno granular 

de gravedad con relleno granular 

α

(63)

El valor de Pa(Rankine) se da por la relación 2

2

1

 H 

P

a

=

a

γ 

Donde

 H 

=

 BC 

2 y

φ 

α 

α 

φ 

α 

α 

α 

2 2 2 2

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

+

=

)

2

45

(

tan

1

1

2

φ 

φ 

φ 

=

+

=

sen

sen

a

Donde

α

= talud de superficie del terreno

=

a

(64)

DIMENSIONAMIENTO DE

MUROS DE RETENCIÓN

(65)

REVISI

REVISIÓ

ÓN DE

N DE

VOLCAMIENTO

VOLCAMIENTO

(66)

=

O  R volteo

 M 

 M 

FS 

( ) v a volteo

 M 

 H 

COS 

P

 M 

 M 

 M 

 M 

 M 

 M 

FS 

+

+

+

+

+

=

)

3

/

(

6 5 4 3 2 1 ) (

α 

0

.

2

~

5

.

1

FS 

FACTOR DE SEGURIDAD

FACTOR DE SEGURIDAD

POR VOLTEO

POR VOLTEO

(67)

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