Álgebra Lineal - UNGS
Práctica 5
Autovalores y autovectores - Diagonalización
1. Autovalores y autovectores
1.1. Cálculo de autovalores y autovectores
Ejercicio 1 Para cada una de las siguientes matrices A a) A = 1 2 2 1 b) A = 1 −2 2 1 c) A = 1 2 0 1 d) A = 1 2 0 2 1 0 0 0 3 e) A = 0 1 2 −1 0 −1 −2 1 0 f ) A = 1 2 −1 0 2 1 0 0 −3 g) A = 3 0 1 5 −2 1 1 0 3 h) A = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 i) A = 10 −9 0 0 4 −2 0 0 0 0 −2 −7 0 0 1 2
1. Hallar el polinomio característico χA(λ).
2. Hallar todos los autovalores de A. Para cada autovalor real, hallar el autoespacio asociado. En cada caso veri car que si λ 6= µ son autovalores distintos de la misma matriz A, los autoespacios Sλ:= Nu(T −λI)
y Sµ:= Nu(T − µI) cumplen que Sλ∩ Sµ= {0}.
3. Para la matriz del ítem a) considerar la transformación lineal f : R2 → R2 dada por f (x, y) =
A
x y
.Dibujar en el plano los vectores f (−1, 1) , f (1, 1) y f (0, 2) . ¾Qué se observa?. 4. Analizar en cuál de los casos la matriz A es diagonalizable.
Ejercicio 2 Hallar los autovalores y autovectores de las siguientes transformaciones lineales. 1. f (x, y, z) = (y + 2z, −x − z, y − 2x)
2. f : R2→ R2 tal que f (1, 1) = (2, 2) y f (0, 1) = (−1, 1) .
3. f : R3→ R3 tal que f (1, 1, 1) = (0, 2, 2) , f (0, 1, 1) = (0, 0, 1) y f (0, 0, 1) = (0, 0, 0) .
4. f : R3→ R3 tal que f (0, 1, 1) = (2, 2, 0) , f (1, 1, 0) = (0, 2, 2) y f (1, 1, 1) = (−2, −2, −2) .
5. f : R2[X] → R2[X] tal que f x2+ x = 2 − x, f (2 − x) = −x2− xy f x2+ x + 1 = 2x2+ 2x + 2.
Ejercicio 3 Dadas las matrices A = 3 2 k 3 0 0 −1 3 2 y B = 4 0 3 1 3 k 3 1 2
1. Hallar todos los k ∈ R para los cuales λ = 1 es autovalor de A. Para esos valores de k hallar el autoespacio Sλ=1asociado.
2. Hallar todos los k ∈ R para los cuales λ = 2 es autovalor de B. Para esos valores de k hallar todos los autovalores de B y decidir si es diagonalizable.
Ejercicio 4 Dada A = 1 3 7 11 0 −1 3 8 0 0 −2 4 0 0 0 2
1. Hallar los autovalores de A y los autovectores asociados. 2. Hallar los autovalores de A2 y los autovectores asociados.
3. Hallar los autovalores de A3 y los autovectores asociados.
4. Hallar los autovalores de A8 y los autovectores asociados.
5. Hallar los autovalores de A9 y los autovectores asociados.
Ejercicio 5 Dada A = 2 0 0 0 52 52 0 12 12
1. Hallar los autovalores de A y los autovectores asociados.
2. Probar que A es diagonalizable y hallar la matriz inversible P tal que A = P−1DP.Llamaremos B a
esa base de autovectores.
3. Dado el vector v = (1, 2, 0) , dar sus coordenadas en la base B.
4. Calcular A6 1 2 0 utilizando la diagonalización de A.
Ejercicio 6 Dada la matriz
A = 2a + 4 1 − a −a2− a 0 4 − a 0 0 0 4 − a2 Hallar todos los a ∈ R para los cuales A no sea diagonalizable. Justi car.
1.2. Propiedades generales (para demostrar)
Ejercicio 7 Sea f : V → V una transformación lineal. Sean λ 6= µ dos de sus autovalores. y sean Sλ y Sµ
los autoespacios respectivos asociados. Demostrar que Sλ∩ Sµ= {0}.
Ejercicio 8 Sea f : V → V una transformación lineal. Sean B, B0 dos bases distintas de V, y sean M BB(f )
y MB0B0(f )las respectivas matrices asociadas .
1. Demostrar que det(MBB(f )) = det(MB0B0(f )).
2. Dadas dos matrices cualesquiera C y D, probar que tr(CD) = Tr(DC). 3. Demostrar que tr(MBB(f )) = Tr(MB0B0(f )).
4. Demostrar que χMBB(f )(x) = det(MBB(f ) − xI) = det(MB0B0(f ) − xI) = χMB0B0(f )(x) .
A partir del ejercicio anterior podemos concluir que tanto el determinante, como la traza y el polinomio característico son independientes de la base elegida para representar la transformación lineal. Esto nos permite de nir tales conceptos para una transformación lineal f : V → V y un base B de V
1. det(f) := det(MBB(T )).
3. χf(x) := χMBB(f )(x) = det(MBB(f ) − xI)
Ejercicio 9 Sea f : Rn → Rn una transformación lineal y sea σ
f = {λ1, . . . , λm} el conjunto de sus
autovalores (complejos, repetidos). 1. Demostrar que det(f) = λ1· · · λm.
2. Demostrar que f es inversible si y sólo si 0 /∈ σf.
3. Si A ∈ Rn×n es una matriz triangular entonces σ
f = {a11, . . . , ann}.
Ejercicio 10 Sea f : V → V una transformación lineal para la cual existe una base B = {v1, . . . , vm} de V,
tal que, para cada 1 ≤ j ≤ m, veri ca f(vj) = djvj con dj ∈ R.
1. Veri car que MBB(f )es diagonal.
2. Hallar χf(x) , det(f ), Tr(f ).
3. Sea B0 otra base cualquiera de V. Demostrar que existen P ∈ Rn×n (o Cn×n) inversible y D ∈ Rn×n
(o Cn×n) matriz diagonal, tales que M
B0B0(f ) = P−1DP y exhibirlas.
NOTA: una transformación que veri que las condiciones del ejercicio anterior será llamada diagonalizable. Ejercicio 11 Sea A = a b c d ∈ R2×2,probar que 1. Si (a − d)2+ 4bc > 0entonces A es diagonalizable. 2. Si (a − d)2+ 4bc < 0entonces A no es diagonalizable.
3. ¾Qué se puede decir en el caso que (a − d)2
+ 4bc = 0?. 4. χA(x) = x2− Tr (A) x + det (A) .
Ejercicio 12 Si A ∈ Rn×n es tal que la suma de cada una de sus las es igual al mismo número λ
0,entonces
este número λ0 es un autovalor de A. Calcular un autovector asociado a λ0.
Ejercicio 13 Sea A ∈ Rn×n diagonalizable. Probar que
1. Si λ es autovalor de A, entonces λm es autovalor de Am.
2. Si v es autovector de autovalor λ de A, entonces v también es autovector de autovalor λm de Am.
3. Si P (x) ∈ R [X] cualquiera, entonces P (A) es diagonalizable y la base de autovectores es la misma que la de A.
1.3. Teorema de Hamilton
Ejercicio 14 Sea A ∈ Rn×n diagonalizable, entonces χ
A(A) = 0. Esto es el teorema de Hamilton para el
caso en que la matriz sea diagonizable (vale en general pero en este caso es fácil probarlo).
Ejercicio 15 Sea A ∈ Rn×n entonces Am para toda m ≥ n, se puede escribir como una combinación lineal
de {In, A, . . . , An−1}.
Ejercicio 16 Dada la matriz A = 3 −1 1 0 3 2 0 0 3
1. Veri car que λ = 3 es el único autovalor (triple) y que el autoespacio asociado tiene dimensión 1. 2. Hallar χA(λ) y veri car que χA(A) = 0.
3. Obtener la expresión para A7− 2A5+ 4A − I como combinación de {A2, A, I}.
Ejercicio 17 Dada A ∈ Rn×n con polinomio característico χ
A(λ) = λn+ an−1λn−1+ . . . + a1λ + a0.Si A es inversible entonces A−1 = −1 a0 An−1+ an−1An−2+ . . . + a2A + a1In
2. Ejercicios variados
Ejercicio 18 Dada la matriz A =3 1 1 3
1. Veri car que A es diagonalizable. Hallar una base de autovectores y la matriz P tal que A = P−1DP.
2. Calcular A3, A5, A20, A135.
3. Veri car que A es inversible y calcular A−1, A−3, A−34.
4. Demostrar que existe el límite: l´ımk→−∞Ak y hallarlo.
Ejercicio 19 Dada la matriz A =
1 4 4 1
1. Veri car que A es diagonalizable y diagonalizarla. Veri car que es inversible. 2. Calcular A3, A25, A−5.
3. Considerar la matriz B = A − 2I. Veri car que es diagonalizable y diagonalizarla. 4. Hallar los autovalores de la matriz 2A2+ 3A − I y comparar con los de A.
5. Veri car que la matriz A2= 2A + 15I. Comparar con el polinomio característico.
Ejercicio 20 Sea A = a 1 0 b a 0 0 0 1
1. Hallar todos los b ∈ R para los cuales λ = 3 es autovalor de A.
2. Para cada uno de estos b hallados en el ítem anterior, hallar todos los a ∈ R para los que A no es diagonalizable. Ejercicio 21 Sea A = a 1 1 0 1 1 0 1 1
,hallar todos los a ∈ R para los que A no es diagonalizable.
Ejercicio 22 Sea A = a b c −12 6 16 0 0 2
. Se sabe que u = (1, 2, 0) , v = (2, 6, 0) y w = (−2, −2, −1) son autovectores de A.
1. Calcular los autovalores de A.
2. Decidir si A es o no es diagonalizable. 3. Calcular a, b y c.
Ejercicio 23 Sea A ∈ R3×3 tal que −1, 1 y 2 son autovalores de A.
1. ¾Es A inversible?, ¾es diagonalizable?.
2. Probar que B = A2+ 3A − I es diagonalizable.
Ejercicio 24 Sea A ∈ R3×3 tal que 0, 1 y 5 son autovalores de A.
2. Calcular los autovalores de B = (3A − 4I)3 y de C = 5At+ 4I.
3. Probar que H = A + I es inversible. Calcular los autovalores de H−1.¾Es H diagonalizable?.
4. Hallar todos los α ∈ R para los cuales G = αA + 3I no es inversible. Ejercicio 25 Sea A ∈ R3×3 tal que λ = 1
2 es raíz triple de χA(λ) .Sean B = 2A + 3I y H = (A − I) 3.
1. ¾Es A inversible?.
2. Calcular det (B) , Tr (B) , det (H) y Tr (H) .
Ejercicio 26 Sea A ∈ R3×3 tal que dim (Nu (A)) = 1, dim (Im (A + 2I)) = 2 y Tr (A) = 0.
1. Calcular todos los autovalores de A. 2. ¾Es A inversible?, ¾es diagonalizable?.
Ejercicio 27 Sea A = −1 4 0 −2 −3 4 0 0 0 0 1 0 −3 1 0 3 1. Calcular det (A) y la Tr (A) .