Probabilidades. RESUMEN en forma de tabla: H: Suceso ser Hombre" ; M : Suceso ser Mujer C: Suceso llevar Casco" ; C : Suceso NO llevar Casco"

(1)

T

E

M

MA

M

A

A:

:

P

PR

R

RO

O

OB

B

BA

A

AB

B

I

IL

I

L

LI

I

ID

D

DA

A

D

E

S

– Presentamos a continuación una relación de ACTIVIDADES PROPUESTAS y problemas resueltos de las PAU y SELECTIVIDAD del Principado de Asturias, desde el año 1994, con algún ejercicio de ampliación y algún apartado, señalado con asterisco (*), que complemente los apartados propuestos en las pruebas oficiales y que permitan alcanzar los objetivos mínimos del tema.

003.- Actividad propuesta

Tras un estudio estadístico en Burgos, se observa que el 70% de los motoristas son varones y de éstos el 60% lleva habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que habitualmente conducen con casco es del 40%. Se pide calcular la probabilidad:

(a) De que si miro 3 motoristas, los tres no lleven casco. (b) De que si miro 3 motoristas, al menos uno lleve casco. (c) De que si miro 3 motoristas, dos lleven casco y uno no.

(d) De que si miro dos motoristas y compruebo que el primero lleva casco el segundo también lo lleve.

RESUMEN en forma de tabla:

H: Suceso “ser Hombre" ; M : Suceso “ser Mujer” C: Suceso “llevar Casco" ; C : Suceso “NO llevar Casco"

P (C/H) P (H ∩ C) = P(H) · P(C/H) P (H) P (C/H) P (H ∩C) = P(H) · P(C/H) P (C/M) P (M ∩ C) = P(M) · P(C/M) P (M) P (C/M) P (M ∩C) = P(M) · P(C/M)

NOTA: La población estudiada tiene un tamaño indeterminado por lo que la consideramos como un conjunto con un número infinito de elementos:

P (C/H) = = 0.60 P (H ∩ C) = P(H) · P(C/H) = 0.7 · 0.6 = 0.42 Motoristas P (H) = 0.70 P (C/H) = 1 – 0.6 = 0.4 P (H ∩C) = P(H) · P(C/H) = 0.7 · 0.4 = 0.28 P (C/M) = = 0.40 P (M ∩ C) = P(M) · P(C/M) = 0.3 · 0.4 = 0.12 Motoristas P (M) = 0.30 _{P (}_C_{/M) =} 1 – 0.4 = 0.60 P (M ∩C) = P(M) · P(C/M) = 0.3 · 0.6 = 0.18 RESOLUCIÓN

(a) De que si miro 3 motoristas, los tres no lleven casco

P (3 motoristas sin casco) = P (1º C ∩ 2º C ∩ 3º C) = (*) Por lo tanto, calculamos previamente: P (C) =

(2)

Aplicamos el Teorema de la Probabilidad Total

P (H ∩C) + P(M ∩C)= = 0.28 + 0.18 = 0.46 P (1º C ∩ 2º C ∩ 3º C) = Intersección de sucesos independientes

P (1º C) · P(2º C) · P(3º C) = = 0.46 · 0.46 · 0.46 =

= 0.097

(b) De que si miro 3 motoristas, al menos uno lleve casco

0 lleven casco 1 casco 2 casco 3 casco Al menos 1 lleve casco

P (0 lleven casco) = = P(3 motoristas sin casco)

Calculado en el apartado (a) la P (0 lleven casco) = 0.097

P(Al menos 1 lleve casco) = 1 – P(0 lleven casco) = = 1 – 0.097 =

= 0.903

(c) De que si miro 3 motoristas, dos lleven casco y uno no.

P (2 casco y 1 no casco) =

P [(C ∩ C ∩ C) ∪ (C ∩ C ∩ C) ∪ (C ∩ C ∩ C)] =

Intersección de sucesos independientes y unión de sucesos incompatibles 0.54 · 0.54 · 0.46 + 0.54 · 0.46 · 0.54 + 0.46 · 0.54 · 0.54 =

= 0.402

(d) De que si miro dos motoristas y compruebo que el primero lleva casco el segundo también lo lleve. P (2º C / 1º C) = Sucesos independientes = P(2º C) = = 0.54 004.– Actividad propuesta

En cierta urbanización hay 92 personas con coche y 120 personas sin coche. Si de las que tienen coche, el 25% son mujeres y de las que no lo tienen el 40 % son hombres.

(a) Calcular la probabilidad de que, observada una persona al azar, ésta tenga coche. (b) Si observamos una persona, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

(c) Si elegimos una persona con coche, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre? (d) Si escogemos una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que tenga coche?

(e) Si escogemos dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea mujer y la segunda también?

(f) Si escogemos dos personas con coche, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo?

(g) La probabilidad de que si miro 4 personas, las 4 sean mujeres.

(h) Si miro sucesivamente 4 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1 sea un hombre?

(i) ¿Qué porcentaje de personas son hombres?

(j) Si miro la primera persona y veo que tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente también lo tenga?

(3)

C: Suceso “llevar Coche" ; C : Suceso “NO llevar Coche”

M: Suceso “ser Mujer" ; H : Suceso “ser Hombre"

P (M/C) = P (C ∩ M) = P(C) · P(M/C) P (C) = P (H/C) = P (C ∩ H) = P(C) · P(H/C) P (M/C) = P (C ∩ M) = P(C) · P(M/C) P (C) = P (H/C) = P (C ∩ H) = P(C) · P(H/C)

(✺) NOTA MUY IMPORTANTE: La muestra estudiada tiene un tamaño determinado por lo que la consideramos como un conjunto con un número finito de elementos: individuos esperados de un total de 212

P (M/C) = 0.25 P (C ∩ M) = P(C) · P(M/C) 0.43 · 0.25 = 0.1075 23✺ P (C) = = 212 92 = 0.43 _{P (H/C) =} = 0.75 P (C ∩ H) = P(C) · P(H/C) 0.43 · 0.75 = 0.3255 69✺ P (M/C) = 0.6 P (C ∩ M) = P(C) · P(M/C) 0.57 · 0.6 = 0.34 72✺ P (C) = = 212 120 = 0.566 _{P (H/} C) = = 0.40 P (C ∩ H) = P(C) · P(H/C) 0.57 · 0.4 = 0.226 48✺ RESOLUCIÓN

(a) Calcular la probabilidad de que, observada una persona al azar, ésta tenga coche.

P (C) =

Aplicamos regla de Laplace =

212 92 ₌ = 0.43

(b) Si observamos una persona, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

P (M) =

P (M ∩ C) + P(M ∩ C) = = 0.1085 + 0.34 =

= 0.4485

(c) Si elegimos una persona con coche, ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre?

P (H/C) = Observamos el cuadro

= 0.75

(d) Si escogemos una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que tenga coche?

P (C/M ) =

Aplicamos el Teorema de Bayes

P (C/M ) = ) M ( P ) C / M ( P ) C ( P ⋅ = 4485 0 25 0 43 0 . . . ⋅ = = 0.239

(e) Si escogemos dos personas, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea mujer y la segunda también?

P (1ª M y 2ª M) = = P (1ª M ∩ 2ª M/1ª M) = Intersección de sucesos dependientes

(4)

= 211 94 212 95 ⋅ = = 0.20

(f) Si escogemos dos personas con coche, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distinto sexo?

MÉTODO 1:

P[(1º H/C ∩ 2º M/C) ∪ (1º M/C ∩ 2ºH/C)] =

↑ Intersección de sucesos dependientes y unión de sucesos incompatibles 92 69 · 91 23 + 92 23 · 91 69 = = 69/182 = 0.379

MÉTODO 2: (ERRÓNEO, ya que la población estudiada tiene un tamaño determinado.) P[(1º H/C ∩ 2º M/C) ∪ (1º M/C ∩ 2º H/C)] =

= 0.75 · 0.25 + 0.25 · 0.75 = = 0.375

(g) La probabilidad de que si miro 4 personas, las 4 sean mujeres.

P (1º M ∩ 2º M ∩ 3º M ∩ 4º M) =

↑ Intersección de sucesos dependientes

Número de mujeres: 0.4481 · 212 = 95 mujeres = 209 92 210 93 211 94 212 95 ⋅ ⋅ ⋅ = = 0.0389

(h) Si miro sucesivamente 4 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1 sea un hombre?

0 hombres 1 hombre 2 hombres 3 hombres 4 hombres Al menos 1 es hombre

P(0 hombres) = P (4 mujeres) = = 0.0389 (Apartado g)

P(al menos 1 hombre) = 1 – P(0 hombres) = = 1 – 0.0389 =

= 0.9611

(i) ¿Qué porcentaje de personas son hombres?

212 – 95 = 117 hombres 212

117 = = 55.19%

(j) Si miro la primera persona y veo que tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente también lo tenga?

P(2º C/1º C) = Aplicamos regla de Laplace

= 91/211 005.– Actividad propuesta

En cierta floristería recibieron 149 rosas y 345 gladiolos, cuyos colores son blanco y amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco.

(a) Calcular la probabilidad de que observada una flor ésta sea un gladiolo.

(b) Si un cliente ha adquirido una flor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea amarilla? (c) Si elige una rosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco?

(5)

(d) Si elige una flor al azar y observa que es amarilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea un gladiolo?

(e) Si cogemos dos gladiolos, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distintos color? (f) La probabilidad de que si miro 4 flores, las 4 sean blancas.

(g) Si miro 4 flores, al menos 1 sea amarilla.

(h) La probabilidad de que si miro 3 flores, dos sean gladiolos y 1 rosa. (i) ¿Qué proporción de flores son de color blanco?

(j) Si miro la primera y veo que es un gladiolo, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente también lo sea?

R: Suceso “ser una Rosa" ; G : Suceso “ser un Gladiolo” B: Suceso “tener flores Blancas" ; A : Suceso “tener flores Amarillas"

P (B/R) = 0.70 P (R ∩ B) = P(R) · P(B/R) 0.3 · 0.7 = 0.21 (✺)104 P (R) = 0.3 P (A/R) = 0.30 P (R ∩ A) = P(R) · P(A/R) 0.3 · 0.3 = 0.09 (✺)45 P (B/G) = 0.40 P (G ∩ B) = P(G) · P(B/G) 0.7 · 0.4 = 0.28 (✺)138 P (G) = 0.7 P (A/G) = 0.60 P (G ∩ A) = P(G) · P(A/G) 0.2 · 0.6 = 0.42 (✺)207

NOTA IMPORTANTE: La muestra estudiada tiene un tamaño determinado por lo que la consideramos como un conjunto con un número finito de elementos:

(✺) Individuos esperados de un total de 494

RESOLUCIÓN

(a) Calcular la probabilidad de que observada una flor sea un gladiolo.

P (G) = Observamos el cuadro

= 0.7

(b) Si un cliente ha adquirido una flor al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea amarilla?

P (A) =

P(R ∩ A) + P(G ∩ A) = = 0.09 + 0.42 =

= 0.51

(c) Si elige una rosa, ¿cuál es la probabilidad de que sea de color blanco?

P (B/R) =

Observamos el cuadro → = 0.70

(d) Si elige una flor al azar y observa que es amarilla, ¿cuál es la probabilidad de que sea un gladiolo?

P (G/A) =

Aplicamos el Teorema de Bayes ↓

P (G/A) = ) A ( P ) G / A ( P ) G ( P ⋅ = 51 0 6 0 7 0 . . . ⋅ = = 0.82

(e) Si cogemos dos gladiolos, ¿cuál es la probabilidad de que sean de distintos color?

Ejemplares esperados de G ∩ B : 345 · 0.4 = 138

(6)

345 · 0.6 = 207

P (2 gladiolos de distinto color) = P [(1º B ∩ 2º A) ∪ (1º A ∩ 2º B)] =

↑ Intersección de sucesos dependientes y unión de sucesos incompatibles P [(1º B) · P(2º A/1º B)] + P[(1º A) · P(2º B/1º A)] =

Aplicamos regla de Laplace 345 138 · 344 207 + 345 207 · 344 138 = 430 207

(f) La probabilidad de que si miro 4 flores, las 4 sean blancas.

P (B) =

= P (R ∩ B) + P(G ∩ B)

= 0.21 + 0.28 = 0.49

Flores blancas: (149 + 345) · 0.49 = 242 P (4 blancas) =

P (B ∩ B ∩ B ∩ B) = Intersección de sucesos dependientes

Aplicamos regla de Laplace

494 242 · 493 241 · 492 240 · 491 239 = = 0.057

(g) Si miro 4 flores, al menos 1 sea amarilla.

0 amarillas 1 amarilla 2 amarillas 3 amarillas 4 amarillas Al menos 1 amarilla

P (0 amarillas) =

P (4 blancas) = 0.057 ← (Apartado f) P(Al menos 1 amarilla) = 1 – P(0 amarillas) =

= 1 – 0.057 = = 0.943

(h) La probabilidad de que si miro 3 flores, dos sean gladiolos y 1 rosa

P (2 gladiolos y 1 rosa) =

P [(G ∩ G ∩ R) ∪ (G ∩ R ∩ G) ∪ (R ∩ G ∩ G)]=

Intersección de sucesos dependientes y unión de sucesos incompatibles Aplicamos regla de Laplace

494 345 · 493 344 · 492 149 + 494 345 · 493 149 · 492 344 + 494 149 · 493 345 · 492 344 = = 0.44

(i) ¿Qué proporción de flores son de color blanco?

Flores blancas = 242 (Apartado f) Aplicamos regla de Laplace

494 242

= = 121/247

(j) Si miro la primera y veo que es un gladiolo, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente también lo sea?

P(2º G /1º G) = Aplicamos regla de Laplace

(7)

010 – PAU – Universidad de Oviedo – Ordinaria – Junio 1995

En una máquina se han fabricado 100 piezas, de las cuales 15 presentan algún defecto. (a) Calcular la proporción de piezas que no son defectuosas.

(b) Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defectuosas. (c) Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda no lo sea?

(d)* Si sacamos 4 piezas, ¿cuál la probabilidad de que al menos una sea defectuosa? (e)* Calcula la probabilidad de que salga una defectuosa y otra no defectuosa.

RESOLUCIÓN:

D: Suceso “ser defectuoso" ; D : Suceso “no ser defectuoso”

NOTAS: Se trata de un conjunto finito, con un número determinado de elementos. Además, si el enunciado presenta cierta ambigüedad, siempre que hagamos una extracción y no digan nada en contra supondremos que son

"sin reemplazamiento".

(a) Calcular la proporción de piezas que no son defectuosas

Defectuosas: 15 No defectuosas: 85 Proporción de NO defectuosas:

100 85

= 20 17

(b) Calcular la probabilidad de que si examinamos dos piezas, ambas resulten defectuosas.

P (1ª D ∩ 2ª D ) =

Intersección de sucesos dependientes P ( 1ª D) · P (2ª D )

Aplicamos regla de Laplace = ⋅ 99 14 100 15 330 7 P (1ª D ∩ 2ª D) = = 7/330

(c) Si probamos dos piezas y la primera es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda no lo sea?

P (2ª D/1ª D) =

99 85

P (2ª D/1ª D) = 85/99 = 0.96

(d)* Si sacamos 4 piezas, ¿cuál la probabilidad de que al menos una sea defectuosa?

Numero de caras que pueden ser obtenidas al lanzar 4 monedas: 0 def 1 Def 2 Def 3 Def 4 Def

Al menos 1 Defectuosa P (0 Defectuosa) =

P (1º D ∩ 2º D ∩ 3º D ∩ 4º D) = Intersección de sucesos dependientes P (1ºD ) · P(2º D) · P(3º D) · P(4º D) =

Defectuosas: 15 No defectuosas: 85 100 85 · 99 84 · 98 83 · 97 83 =

(8)

P(0 Defectuosa) = 0.5164 P(al menos 1) = 1 – 0.5164 =

P(al menos 1) = 0.4836

(e) Calcula la probabilidad de que salga una defectuosa y otra no defectuosa.

P (1º D ∩ 2º D) U (1º D ∩ 2º D) = P (1º D) · P(2º D) + P(1º D) · P( 2º D) = Defectuosas: 15 No defectuosas: 85 100 15 · 99 85 + 100 85 · 99 15 = = 66 17

013.– PAU – Universidad de Oviedo – Extraordinaria – Septiembre 1996

En una pandilla de 20 amigos, 15 pasaron las vacaciones de Semana Santa en la nieve y los demás estuvieron en la playa. En ambos casos, el tiempo de vacaciones fueron 5 ó 7 días; concretamente, el 40% de los que fueron a la nieve disfrutó de 7 días mientras que el 20% de los que estuvieron en la playa disfrutó de 5.

(a) Calcular la proporción de amigos que estuvieron en la playa.

(b) Si preguntamos a dos amigos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hayan elegido ir a la nieve?

(c) Calcular la probabilidad de que un miembro de la pandilla haya disfrutado de 7 días de vacaciones.

(d) Si nos encontramos con uno de esos amigos y nos manifiesta que ha estado 7 días de vacaciones, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en la playa?

N: Suceso “ir a la Nieve” ; Y: Suceso “ir a la Playa” 5: Suceso “ir 5 días” ; 7: Suceso “ir 7 días”

P (5/N) = = 0.60 P (N

∩

5) = P(N) · P(5 / N) = = 0.75 · 0.60 = 0.45 9 P(N) = 20 15 _{= 0.75} P (7/N) = = 0.40 P (N

∩

7) = P(N) · P(7 / N) = = 0.75 · 0.4 = 0.30 6 P (5/Y) = = 0.20 P (Y

∩

5) = P(Y) · P(5 / Y) = = 0.25· 0.2 = 0.05 1 P(Y) = 20 5 _{= 0.25} P (7/Y) = = 0.80 P (Y

∩

7) = P(Y) · P(7 / Y) = = 0.25 · 0.80 = 0.20 4

NOTA IMPORTANTE: la muestra estudiada tiene un tamaño determinado por lo que la consideramos como un conjunto con un número finito de elementos:

(✺) Individuos esperados de un total de 20 RESOLUCIÓN

(a) Calcular la proporción de amigos que estuvieron en la playa.

P(Y) = = 20 5 _{= 0.25 =} 4 1

Proporción amigos en la playa → 1/4

(b) Si preguntamos a dos amigos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos hayan elegido ir a la nieve?

P(ambos ir a la nieve)= P(1º N

∩

2º N)

(9)

P(1º N) · P(2º N/1º N) = = 20 15 · 19 14 = 0.5526 P(ambos ir a la nieve)= 0. 5526

(c) Calcular la probabilidad de que un miembro de la pandilla haya disfrutado de 7 días de vacaciones.

P(7 días vacaciones) =

P(N

∩

7) + P(Y

∩

7/Y) = = 0.20 + 0.30 = 0.5 P(7 días vacaciones) = 0.5

(d) Si nos encontramos con uno de esos amigos y nos manifiesta que ha estado 7 días de vacaciones, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en la playa?

P (Y/7) =

Aplicamos el Teorema de Bayes

P (Y / 7) = P(7) ) P(Y)·P(7/Y = = 5 0 100 80 20 5 . ⋅ = 0.4 P (Y/7) = 0.4