La distribución hipergeométrica es el modelo que se aplica en experimentos del siguiente tipo:
En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?
Son experimentos donde, al igual que en la distribución Binomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados: o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribución Binomial en que los distintos ensayos son dependientes entre sí:
Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).
La distribución hipergeométrica sigue el siguiente modelo:
Donde:
Vamos a tratar de explicarlo:
N: es el número total de bolas en la urna N1: es el número total de bolas blancas N2: es el número total de bolas negras
k: es el número de bolas blancas cuya probabilidad se está calculando n: es el número de ensayos que se realiza
Veamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?
Entonces:
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4 Si aplicamos el modelo:
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.
Pero este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas, sino que también se aplica con experimentos similares:
Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.
Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:
a) Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados. b) Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
c) Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás. d) El número de repeticiones del experimento (n) es constante.
Ejemplo:
En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?
Solución: Luego;
donde:
p(x,n) = probabilidad de obtener x objetos defectuosos de entre n seleccionados
muestras de n objetos en donde hay x que son defectuosos y n-x buenos
todas las muestras posibles de seleccionar de n objetos tomadas de entre N objetos en total = espacio muestral
Considerando que en la urna hay un total de 10 objetos, 3 de los cuales son defectuosos, si de seleccionan 4 objetos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 2 sean defectuosos?
Solución:
N = 10 objetos en total a = 3 objetos defectuosos
n = 4 objetos seleccionados en muestra
x = 2 objetos defectuosos deseados en la muestra
donde:
Probabilidad asociada a cada muestra de 4 objetos que se seleccionaron, con lo que se demuestra que las probabilidades no son constantes
formas o maneras de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados = muestras de 4 objetos entre los que 2 son defectuosos
Como se observa en el desarrollo de la solución del problema, la pretensión es demostrar que las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.
Luego la probabilidad de obtener 2 objetos defectuosos entre los 4 seleccionados al azar sería:
Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas a = 6 tabletas de narcótico n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total a = 7 proyectiles que explotan n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total a = 3 proyectiles que no explotan n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =
3. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?
Solución:
a) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
b) N = 9 total de estudiantes a = 4 estudiantes menores de edad n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
4. Una compañía manufacturera utiliza un esquema para la aceptación de los artículos producidos antes de ser embarcados. El plan es de dos etapas. Se preparan cajas de 25 para embarque y se selecciona una muestra de 3 para verificar si tienen algún artículo defectuoso. Si se encuentra uno, la caja entera se regresa para verificarla al 100%. Si no se encuentra ningún artículo defectuoso, la caja se embarca. a)¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que tiene tres artículos defectuosos?, b)¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo un artículo defectuoso se regresa para
verificación?
En una empresa industrial diariamente se producen 90 unidades de unidad metalmecánica, de las cuales generalmente 5 salen defectuosas. Se examina en un dia cualquiera una muestra de 5 unidades. Hallar la probabilidad de unidades defectuosas.
para que resolviendo permite definir la tabla de distribución de probabilidad:
Si representamos gráficamente la tabla resultante, tenemos: Calculamos el valor de sus principales medidas características: Media: =
Que simplificadamente:
Varianza: ó tambien.
y que aún de forma mas simplificada:
Sesgo: Hacia la derecha ó positivo como se vé graficamente. Además, aqui: pues
y pues
En una jaula hay 30 pericos rusos y 20 pericos chinos si extraemos 10 pericos al azar calcular posibilidad de que 3 de ellos hablen chino ( característica deseada).
N = 50 n = 10 C = 20 X = 3
De los 20 hombres y 18 mujeres del salón el 50% réprobo el examen de estadística, si tomamos 10 alumnos al azar probabilidad. A) 4 alumnos reprobados B) 3 mujeres reprobadas A) N = 38 n = 10 c = 19 x = 4 B) N = 38 n = 10 C = 9 x = 3
En un vagón de ferrocarril que acarrea a 60 reses el 20% de ellas están enfermas de vaca loca, si extraemos con propósito de inspección sanitaria una muestra del 10% de las reses ¿ calcula la probabilidad de que hayan 2 vacas con dicha enfermedad ?
N = 60 n = 6 c = 12 x = 2
De 60 aspirantes de la UABC 40 son de Baja California, si seleccionamos 20 aspirantes al azar ¿calcular la probabilidad de que 10 sean de Baja California ?
N = 60 n = 20 c = 12 x = 10
