MT227 Sistemas Lineales. Función de transferencia. Elizabeth Villota

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MT227

Sistemas Lineales. Función de transferencia

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Sistemas Lineales

Sistema no lineal, forma espacio de estados:

Sea la salida correspondiente a la condición inicial y

entrada escrita como

Un sistema es lineal si:

Sistema lineal, forma espacio de estados: Sistema lineal, forma espacio de estados:

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Invariancia en el tiempo

Concepto importante usado para describir aquellos sistemas cuyas propiedades no cambian en el tiempo.

p p p

ENTRADA SALIDA

-A UNA MISMA ENTRADA APLICADA EN UN TIEMPO POSTERIOR, MISMA SALIDA

PERO DESFASADA

-Un sistema lineal e invariante en el tiempo se denomina SLIT (sistema lineal invariante en el tiempo LSI por sus siglas en inglés)

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Sistema lineal invariante en el tiempo

RELACION ENTRADA-SALIDA

Para una entrada arbitraria ésta se divide en pequeños escalones y los Para una entrada arbitraria ésta se divide en pequeños escalones y los efectos de cada escalón contribuyen a la salida del sistema

ENTRADA SALIDA

(integral de convolución)

: respuesta al escalón unitario : respuesta al impulso unitario

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S l ió d l

ió

i d t d

li

l

Solución de la ecuación espacio de estados lineal

Sistema lineal: Respuesta a las condiciones iniciales (entrada cero) + Respuesta a la entrada entrada (condiciones iniciales cero) = Respuesta total

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S l ió d l

ió

i d t d

li

l

Solución de la ecuación espacio de estados lineal

Respuesta a las condiciones iniciales: Respuesta a las condiciones iniciales:

(entrada cero)

Resolviendo la EDO:

- : matriz de transición

Respuesta a la entrada:

( di i i i i l )

(condiciones iniciales cero)

Usando la integral de convolución: Usando la integral de convolución:

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Solución de la ecuación espacio de estados lineal

Sistema lineal:

Resolviendo la EDO:

Si R λ(A) 0 l t d l ti

Si Re λ(A) < 0 la respuesta decrece en el tiempo

(CONDICIÓN DE ESTABILIDAD!)

Salida: Salida:

Respuesta Respuesta a las

di i i i i l Respuesta a la entrada

= ₊

total condiciones iniciales

(entrada cero) (condiciones iniciales cero)

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SLIT 2do orden

(

t

ti

d )

SLIT 2do orden

(masa-resorte-amortiguador)

Representación espacio de estados:

o

Ecuación de movimiento: _Solución: dividiendo por la masa:

Solución: y Autovalores: λ(A) : factor de amortiguamiento ω_o Como Re λ(A) < 0 luego sistema o : factor de amortiguamiento : frecuencia natural luego sistema estable! plano-s

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Plano s

Plano-s.

Relación entre Re λ(A), estabilidad y respuesta en el tiempo

x SISTEMA INESTABLE x SISTEMA ASINTÓTICAMENTE ESTABLE SISTEMA CRÍTICAMENTE ESTABLE

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Respuesta transitoria y en estado estacionario

Respuesta total Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario = + O l li l R fl j t i t

Ocurre luego que se aplica la entrada y refleja la diferencia entre la condiciòn inicial y la solución en estado

Refleja comportamiento a largo plazo bajo ciertas entradas

solución en estado estacionario.

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Respuesta en estado estacionario Solución

Respuesta en estado estacionario. Solución

ENTRADA: Escalón unitario

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Respuesta en estado estacionario

SLIT 1 d

Respuesta en estado estacionario.

SLIT 1er orden

ENTRADA: Escalón magnitudg uo

    b u o o u [ ]                 mt o  t b o e b u e b u t y  1 1 1 ) ( o u

Constante de tiempo, parámetro que

:



Respuesta Respuesta en estado

caracteriza la respuesta de sistemas SLIT de 1er orden.

Valor en el que la respuesta alcanza el

63 2% de su valor final Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario 63.2% de su valor final.





b m b u e b u b m t y(  )  o 1 1  63.2% o   

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Respuesta en estado estacionario

SLIT 1 d

Respuesta en estado estacionario.

SLIT 1er orden

ENTRADA: Escalón magnitudg uo

    b u o o u [ ]                 mt o  t b o e b u e b u t y  1 1 1 ) ( o u

Constante de tiempo, parámetro que

:



Respuesta Respuesta en estado

caracteriza la respuesta de sistemas SLIT de 1er orden.

Valor en el que la respuesta alcanza el

63 2% de su valor final Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario 63.2% de su valor final.





b m b u e b u b m t y(  )  o 1 1  63.2% o  

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Respuesta en estado estacionario

SLIT 2d d

Respuesta en estado estacionario.

SLIT 2do orden

)) sin( 1 ( ) (       t e k t y t o o )) sin( 1 1 ( ) ( 2        k t t y _o _d Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario

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Respuesta en estado estacionario

SLIT ≥2do orden

Respuesta en estado estacionario

.

SLIT ≥2do orden

Valor en estado estacionario.

Valor final de la salida.

:

ss

y

Sobreimpulso. Porcentaje(%)

que el valor pico excede al alor final

:

p

M

valor final.

Tiempo de subida. Tiempo

requerido para que la señal

:

r

T

q p q

pase del 10% a 90% del valor final.

Tiempo de establecimiento :

T Tiempo de establecimiento.

Cantidad de tiempo requerido para una señal permanecer dentro de un 2% de su valor

:

s

T

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Respuesta en estado estacionario Solución

Respuesta en estado estacionario. Solución

ENTRADA: Función senoidal

Función de transferencia

Respuesta transitoria Respuesta en estado estacionario

Fó l d E l Fórmula de Euler:

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Función de Transferencia (FT)

RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

s

Forma espacio de estados

s s Función de transferencia = 0 λ(A)={s / det(sI-A) = 0} λ(A) l i t ) ( ) ( s d s n  ceros: { s / n(s) = 0} l 0 polos={ s / d(s) = 0}

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Función de transferencia sistemas varios

Función de transferencia – sistemas varios

ss s

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Matriz de transferencia

á d

t d

lid

Matriz de transferencia

– más de una entrada o salida

PÉNDULO INVERTIDO EN EL CARRITO

Ecuación de movimiento no lineal Ecuación de movimiento no lineal

Ecuación de movimiento lineal

Usando transformada de Laplace Funciones de transferencia

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Interpretación función de transferencia

RELACIÓN ENTRADA-SALIDA DE UN SISTEMA LINEAL EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

: magnitud y : fase del número complejo .

Cuando se dice que y son la ganancia y fase a una frecuencia de forzamiento dada.

(21)

Interpretación función de transferencia

(22)

Función de transferencia:

l

i

Función de transferencia:

polos, ceros y ganancia

Ganancia en la frecuencia cero ( ) : Ganancia en la frecuencia cero ( ) :

En un sistema lineal con función de transferencia racional:

) ( ) ( ) ( s d s n s G  ) (

Ceros: { s / n(s) = 0} Si s el sistema se denomina de fase mínima, de lo

contrario se denomina de fase no mínima.

P l { / d( ) 0} Si di l i t t bl t i



E i li l i i d d

Polos: { s / d(s) = 0} Si s se dice que el sistema es estable, caso contrario

es inestable.

En un sistema lineal con representation espacio de estados:

        0 D C B sI A s/

Ceros (ceros de transmisión) :

