Algebra Lineal II

FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

NOTAS DE CLASE

ÁLGEBRA LINEAL II

Profesor: Víctor G. Osorio Vidal

ÍNDICE GENERAL

Prólogo

1. Matriz asociada a una transformación lineal 1

Coordenadas o componentes de un vector ……… 1

Matriz asociada a una transformación lineal ………... 2

Matriz cambio de base ………. 14

Fórmulas de transformación de coordenadas ……… 17

Matrices semejantes ……….. 21

Ejercicios ……….. 23

2. Espacios cociente 28 Espacios cocientes ……… 28

Propiedad universal del cociente ………. 36

Subespacios invariantes ……… 43

Ejercicios ……….. 46

3. Valores y vectores propios 52 Valores y vectores propios de una transformación lineal ……… 52

Espectro y espacio propio de una transformación lineal ………. 53

Valores y vectores propios de una matriz ………... 56

Polinomio característico ……… 63 Ejercicios ………. 68 4. Diagonalización 71 Diagonalización ………. 71 Descomposición espectral ……… 80 Ejercicios ……… 84

Triangulación de transformaciones lineales y matrices ………... 86

Teorema de Cayley-Hamilton ……….. 88

Ejercicios ……….. 91

5. El complejificado de un espacio vectorial real ( V )_C 93 El complejificado de un espacio vectorial ……… 93

El complejificado de un operador lineal ……… 94

Transformaciones en espacios reales con valores propios complejos ……. 98

---6. Transformaciones lineales con valores propios repetidos 111

Transformaciones lineales con un solo valor propio ………...……. 111

Transformaciones lineales nilpotentes ………... 112

Formas canónicas de transformaciones nilpotentes ………...…...…. 116

Ejercicios ……… 125

7. El teorema de la descomposición primaria 129 Teorema de la descomposición primaria ……… 132

8. La forma canónica de Jordan 136 La forma canónica de Jordan ……… 136

Forma canónica de Jordan real ………. 140

9. Operadores lineales en espacios con producto interno 144 Operador adjunto ………... 146

Operadores autoadjuntos ………... 148

Criterio para determinar si un operador es autoadjunto ………. 148

10. Formas bilineales y cuadráticas 153 Propiedades de las formas bilineales ………. 153

Matriz asociada a una forma bilineal ……….. 155

Matriz asociada y cambio de base ……….. 156

Formas bilineales simétricas y antisimétricas ……… 157

Criterio para determinar si una forma bilineal es simétrica o antisimétrica a partir de su representación matricial ……….. 157

Formas cuadráticas ……… 158

Propiedades de las formas cuadráticas ……….. 159

Forma polar asociada a una forma cuadrática ………... 160

Matriz asociada a una forma cuadrática ……… 162

Clasificación de formas cuadráticas reales ……… 164

Prólogo

El Álgebra Lineal es un curso básico en la formación de los estudiantes de ciencias, ingenierías, economía y ciencias administrativas.

El material que pongo a disposición de los estudiantes que cursan la asignatura de Álgebra Lineal corresponde a las Notas de Clase entregadas a mis alumnos de la Facultad de Ciencias Matemáticas y Facultad de Educación (Especialidad de Matemática y Física) de la Universidad Nacional de San Marcos a través de Chamilo que es una solución de software libre, licenciada bajo la GNU/GPLv3, de gestión del E-learningo aprendizaje electrónico, desarrollada con el objetivo de mejorar el acceso a la educación y el conocimiento globalmente. La dirección es http://campus.chamilo.org/.

Para finalizar agradeceré a mis colegas y alumnos por las sugerencias y críticas que tengan a bien hacer llegar a la siguiente dirección [email protected].

---MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Coordenadas o componentes de un vector

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y consideremos una base ordenada } , , , {v₁ v₂  v_n 

B . Luego, todo vector vV se puede expresar de una única forma como combinación lineal de los elementos deB. Es decir existen a_iK, i1,2,,n

tal que:



      n i i i n nv av a v a v a v 1 2 2 1 1  (1)

de tal forma que el vector vV se puede caracterizar únicamente por los escalares

K

a_i , i1,2,,n correspondientes a la combinación lineal (1); esto es, por la n-upla de elementos de K que expresamos como un vector columna y denotamos por:

             n a a a v  2 1 ] [ _B (2)

DEFINICIÓN.- La relación (2) se denomina vector de coordenadas de v relativo a la baseB, a los escalares a se les llaman coordenadas o componentes del vector_i vV

respecto a la baseB. Nótese que la transformación lineal v[v]_B determinada por la base ordenada B es un isomorfismo de V en Kn1; es decir a todo vector vV se le puede asociar de forma única un vector columna cuyas componentes o coordenadas son los escalares a_iK, i1,2,,n correspondientes a la combinación (1) con respecto a la baseB.

Nota.- En lo que se sigue de esta sección supondremos que el K-espacio vectorial es de dimensión finita y la base consideradaB es ordenada.

Ejemplo.-Sea B{(1, 0,0), (1,1,0),(1,1,1)}una base ordenada del espacio vectorial

3

R sobre R. Hallar el vector coordenado de v(2,3, 1) relativo a la baseB .

Solución ) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 ( ) 1 , 3 , 2 (  a₁ a₂ a₃ ) 1 , 1 , 1 ( 1 ) 0 , 1 , 1 ( 4 ) 0 , 0 , 1 ( 1 ) 1 , 3 , 2 (    



             1 4 1 ] [v _B

Observación.- Si B es la base canónica de (Kn,,K,) _{y ( , , , )}

2 1 x xn x v   cualquier vector de K .n              n x x x v  2 1 ] [ _B y denotaremos [v]_B [v]

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensiones finitas, con bases ordenadas } , , , {v₁ v₂  v_n  B y B'{w₁,w₂,,w_m}, respectivamente. Si T:V W es una transformación lineal, entonces por el teorema fundamental de las transformaciones lineales, T está unívocamente determinado por los valores que toma T en los vectores de B . Es decir, como T :V W, entonces T(v_j)W, donde:

K a w a v T _ij m i i ij j 



  , ) ( 1 (3) para j1,,n; escribiendo en forma explícita:

m mw a w a w a v T( ₁) _{11 1} _{21 2} ₁ m m w a w a w a v T( ₂) _{12 1} _{22 2} ₂      m mn n n n a w a w a w v T( ) _{1 1} _{2 2} 

entonces construimos una matriz que tenga como columnas los vectores de coordenadas de T(v₁),T(v₂),,T(v_n) la cual denotaremos por:

             mn m m n n a a a a a a a a a A        2 1 2 22 21 1 12 11 (4)

Definición.- La matriz A obtenida en la relación (2) es llamada matriz asociada a la

transformación lineal T respecto a las bases B y B de V y W respectivamente y la' denotaremos como:

---'

] [T B_B

A (5)

Nota.- La matriz A[T]B_B' definida en la relación (5) también es frecuente denotar como

 

' ] [ ] [T B_B' T _BB' BTB A  _, 

Ejemplo.- Sea T:R3 R4 tal que T(x₁,x₂,x₃)(x₁,x₂,0,x₃). Hallar la matriz asociada a la transformación lineal T.

a) Respecto a la bases canónicas de R y3 R respectivamente.4

b) SiB{(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} es la base para R y3 )} 1 , 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 0 , 1 {( ' B es la base para R4 Solución

a) Respecto a las bases canónicas )} 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 {( de 3 R )} 1 , 0 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 0 , 1 , 0 ( ), 0 , 0 , 0 , 1 {( de R4 ) 1 , 0 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 1 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 0 ( 0 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 1 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 (      T ) 1 , 0 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 1 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 0 ( 1 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 0 ( ) 0 , 1 , 0 (      T ) 1 , 0 , 0 , 0 ( 1 ) 0 , 1 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 0 ( 0 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 0 ) 1 , 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 (      T luego 3 4 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [               T

b) Respecto a las bases

)} 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 1 {(  B de R3 )} 1 , 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 0 , 1 {( ' B de R4 ) 1 , 1 , 1 , 1 ( 0 ) 0 , 1 , 1 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 1 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 (      T ) 1 , 1 , 1 , 1 ( 0 ) 0 , 1 , 1 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 1 ( 1 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 1 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 (      T ) 1 , 1 , 1 , 1 ( 1 ) 0 , 1 , 1 , 1 ( 1 ) 0 , 0 , 1 , 1 ( 1 ) 0 , 0 , 0 , 1 ( 0 ) 1 , 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 (      T luego 3 4 ' 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 ] [                B B T

Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales (R, , R,.), (R2, , R,.) y la transformación lineal T:RR2 definida como

) 2 , ( ) (x x x T 

Hallar la matriz asociada a T respecto a las basesB{1},B'{(1,0), (1,1)}

Solución ) 1 , 1 ( 2 ) 0 , 1 ( 1 ) 2 , 1 ( ) 1 (    T  1 2 ' 2 1 ] [         B B T

Ejemplo.- Sea V un espacio vectorial sobre K de dimensión n y F:V V una transformación lineal definida como

v v F( )2

Hallar la matriz asociada de F respecto a ala base: BB'{v₁,v₂,,v_n}

Solución n v v v v F( ₁)2 ₁0 ₂0 n v v v v F( ₂)0 ₁2 ₂0      n n v v v v F( )0 ₁0 ₂2  n n F               2 0 0 0 2 0 0 0 2 ] [        B B

Ejemplo.- Dados los espacios vectoriales

} / ) , , {( 3 1 x y z R x y W    y W₂ {(a_ij)₂₂R22/a_ij a_ji}

se define la transformación lineal G:W₁W₂ como _

      0 ) , , ( x x z z y x G

Hallar la matriz asociada de G respecto a las bases:

)} 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 1 {(  B de W y₁                          0 1 1 0 , 1 0 0 0 , 0 0 0 1 ' B de W .₂

---                            0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 ) 0 , 1 , 1 ( G                             0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 ) 1 , 0 , 0 ( G  2 3 ' 0 1 0 0 1 0 ] [             B B G

Proposición.- Sean T:V W una transformación lineal, B{v₁,v₂,,v_n} y } , , , { ' w₁ w₂  w_m

B bases ordenadas de V y W respectivamente.

Si A[T]B_B' es la matriz asociada a la transformación lineal T respecto a las basesB y

' B , vV y               n c c c v C  2 1 ]

[ _B las coordenadas de v respecto a la base B, entonces

AC v

T( )] _' 

[ _B son las coordenadas de T(v) en la base de B .'

Prueba Si _{[ ]}B'

B T

A es la matriz asociada a la transformación lineal T, entonces:



  m i i ij j a w v T 1 ) ( , j1,,n (1) como               n c c c v C  2 1 ]

[ _B son las coordenadas de v respecto a la base de B, entonces:



  n j j jv c v 1 (2) ahora _      



 n j j jv c T v T 1 ) (



  n j j jT v c 1 ) (

 

         n j m i i ij j a w c 1 1 de (1)

i m i n j j ijc w a

 

        1 1 (3) Escribiendo explícitamente la relación (3) se tiene

n n j j nj n j j j n j j jc w a c w a c w a v T







       1 2 1 2 1 1 1 ) (  (4) Luego de (4)





                    







   n j j mj n j j j n j j j c a c a c a v T 1 1 2 1 1 ' ) (  B                       n mn n n n n n n c a c a c a c a c a c a c a c a c a           2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11                          n mn n m n n c c c a a a a a a a a a         2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 AC 

Finalmente, tomando extremos se obtiene [T(v)]_B'  AC.

Ejemplo.- SeaT :R2 R3 una transformación lineal definida como ) , , 2 ( ) , (x y x x y x y T    .

Considererando: B{(1,1),(1,2)}una base de R y2

)} 0 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 {( '  B una base de R3 i) Hallar [T]B_B'.

ii) Si v(2,3), hallar las coordenadas de T(v).

Solución i) T(1,1)(2,2,0)0(1,1,1)0(1,0,1)2(1,1,0) ) 0 , 1 , 1 ( 3 ) 1 , 0 , 1 ( 1 ) 1 , 1 , 1 ( 0 ) 1 , 3 , 2 ( ) 2 , 1 (       T

---

3 2 ' 3 2 1 0 0 0 ] [              B B T ii) v(2,3)7(1,1)5(1,2) luego _        5 7 ] [v _B







                               1 5 0 5 7 3 2 1 0 0 0 ) (v _B' T

Ejemplo.- SeaT :R3 R2 una transformación lineal, consideremos las bases: )} 0 , 1 , 0 ( ), 1 , 0 , 0 ( ), 1 , 1 , 1 {(   B de R3 )} 1 , 1 ( ), 1 , 1 {( '  B de R2 Sabiendo que

 

_       2 / 3 2 / 1 2 2 / 3 2 / 1 1 ' B B T i) Hallar T(3,0,2) ii) HallarT(x,y,z) Solución i) v(3,0,2)3(1,1,1)1(0,0,1)3(0,1,0) luego             3 1 3 ] [v_B

hallando las coordenadas de T(3,0,2) tenemos:





_                         10 7 3 1 3 2 / 3 2 / 1 2 2 / 3 2 / 1 1 ) (v _B' T



T(3,0,2)7(1,1)10(1,1) ) 3 , 17 (  

             y x x z x v]_B [

Hallando las coordenadas de T(x,y,z):





                   y x x z x z y x T 2 / 3 2 / 1 2 2 / 3 2 / 1 1 ) , , ( _B'                z y x z y x 2 1 2 3 3 2 1 2 3 2 ) 1 , 1 ( ) 2 1 2 3 x 3 ( ) 1 , 1 ( ) 2 1 2 3 2 ( ) , , (x y z  x y z   y z  T  T(x,y,z)(5x3yz,x)

Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B{v₁, v₂,,v_n} y B{w₁, w₂,,w_m}, respectivamente. Si

W V S

T, :  son dos transformaciones lineales y a,bK, entonces





 

 

B B B B B B      bS aT bS aT Prueba

Sean

 

T B_B 

 

a_ij y

 

S B_B 

 

b_ij las matrices asociadas de T y S con respecto a las bases ordenadas B{v₁,v₂,,v_n} de V y B{w₁, w₂,, w_m} de W. Se tiene n j v bS v aT v bS aT )( _j) ( _j) ( _j); 1, , (      n j w b b w a a m i i ij m i i ij ; 1, , 1 1    





  n j w bb w aa m i i ij m i i ij) ( ) ; 1, , ( 1 1    





  n j w bb aa m i i ij ij ) ; 1, , ( 1    



 De este modo,



aTbS







aaij bbij



 B B ; i1,,m, j1,,n

---  --- 

aaij  bbij  ; i1,,m, j1,,n

   

aij bbij a   ; i1,,m, j1,,n

 

 

B B B B   _ aT b S

Ejercicio.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B{v₁, v₂,, v_n} y B{w₁, w₂,, w_m}, respectivamente. La transformación lineal T :VW es nula si y solo si

 

T B_B 0.

Prueba

) Asumiendo que la transformación lineal T :VW es nula.

SeanB{v₁,v₂,,v_n} y B{w₁, w₂,, w_m} las bases ordenadas de V y

W respectivamente, entonces n j w a v T m i i ij j) ; 1, , ( 1     



  n j w a w a w a w w w 0 0 _{m j j mj m} ; 1, , 0 ₁ ₂   _{1 1} _{2 2}   n j m i a_ij 0; 1,, ,  1,, 

por ser B{w₁, w₂,, w_m} una base para W, luego

 

0 0 0 0 0                   B B T

) Ahora asumiendo que

 

T B_B 0.

Sea vV, por ser B{v₁,v₂,,v_n} base de V, se tiene que

             n c c c v  2 1 ]

[ _B , luego por una proposición demostrada anteriormente se tiene que

 

                                                      0 0 0 )] ( [ 0 0 0 0 0 0 0 )] ( [ ] [ 2 1         B B B B B T v c c c v T v T n Entonces, T(v)0w₁0w₂ 0w_m 0, vV. En consecuencia la transformación lineal T es nula.

Teorema.- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Para cada par de basesB{v₁,v₂,,v_n} de V y B'{w₁,w₂,,w_m} de W se tiene que: n m K W V L( , )  Prueba Definimos: ' ] [ ) ( ) , ( : B B T T T K W V L m n      

Afirmación 1. - es una transformación lineal. En efecto: Sean T, SL(V,W) y a,bK tal que:

A a T T)[ ] [ _ij]_m_n  ( B_B'  B b S S)[ ] [ _ij]_m_n  ( B_B'  Se tiene ' ] [ ) (aTbS  aT bS B_B  Por definición de. ' ' _{[ ]} ] [T B_B b S B_B a 

 Por la proposición anterior. ) ( ) (T b S a    Sustitución

Con lo cual se verifica la afirmación 1.

Afirmación 2.- es un isomorfismo. En efecto: i)  es inyectiva } 0 ) ( / ) , ( { ) (  TLV W T  Nu  } 0 ] [ / ) , ( {  '  B B T W V L T } 0 / ) , ( {  

 T LV W T Por el ejercicio anterior. luego Nu(){0}   es inyectiva ii)  es sobre n m K n m W V L( , )  dim 

dim , por la parte (i)  es inyectiva se tiene que  es sobre.

Luego de (i) y (ii) es un isomorfismo.

---Proposición .-Dados V, W, U espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo K y sean T :V W y S:W U transformaciones lineales. Si B , B y B son las bases ordenadas de los espacios vectoriales V, W y U respectivamente, entonces:

B B B B B B     _ ] [ ] [ ] [ST S T Prueba Consideremos: B{v₁,v₂,,v_n}, B{w₁,w₂,,w_m} y B{u₁,u₂,,u_r} las bases ordenadas para V, W y U respectivamente.

B B    (a ) [T] A _{ij m n} tal que



  m i i ij j a w v T 1 ) ( , j1,2,,n B B     (b ) [S] B _{kl r m} tal que



  r k k kl l b u w S 1 ) ( , l1,2,,m



( )



) )( (ST v_j S T v_j ; para cualquier j, 1 jn       



 m i i ijw a S 1



  m i i ijS w a 1 ) (

 

         m i r k k ki ij b u a 1 1 k r k m i ij kia u b

 

         1 1 luego: k r k j k m i ij ki j u c a b v T S

 

         1 1 ) )( (     k r k j k u c



  1 n j  1 entonces: [ST]B_B [c_kj]_rn

pero c_kj es el (k,j) término del producto de las matrices BA. En consecuencia, finalmente tenemos que:

B B B B B B     _ ] [ ] [ ] [ST S T

Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales ) , ( ) , , ( : 3 2 x z y x z y x R R T     y x y x R R S   2 ) , ( : 2  y consideremos las bases:

)} 0 , 0 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 {(  B de 3 R , )} 1 , 2 ( ), 3 , 1 {(   B de R y2 } 1 {   B de R. Hallar: i) [ST]B_B ii) (ST)(x,y,z) iii) (ST)(2,1,4) Solución i) (2,1) 5 6 ) 3 , 1 ( 5 2 ) 0 , 2 ( ) 1 , 1 , 1 (    T ) 1 , 2 ( 5 7 ) 3 , 1 ( 5 4 ) 1 , 2 ( ) 0 , 1 , 1 (     T ) 1 , 2 ( 5 4 ) 3 , 1 ( 5 3 ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 (     T 3 2 5 / 4 5 / 7 5 / 6 5 / 3 5 / 4 5 / 2 ] [            B B T ) 1 ( 5 5 ) 3 , 1 (   S ) 1 ( 5 5 ) 1 , 2 (   S



5 5



₁₂ ] [S BB  _







_          5 / 4 5 / 7 5 / 6 5 / 3 5 / 4 5 / 2 5 5 ] [ST B_B



4 3 1



 ii) (ST)(x,y,z) Hallemos[(x,y,z)]_B ) 0 , 0 , 1 ( ) 0 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 1 ( ) , , (x y z a b c

---) 0 , 0 , 1 )( ( ) 0 , 1 , 1 )( ( ) 1 , 1 , 1 ( ) , , (x y z  z  yz  xy              y x z y z z y x, , )]_B [( B B B B [ ] [( , , )] )] , , )( [(ST x y z _  ST  x y z





             y x z y z 1 3 4 ) ( ) ( 3 4z yz  xy  z y x   2 z y x z y x T S )( , , ) 2  (  iii) (ST)(2,1,4)4

Ejemplo.- Sean las transformaciones lineales:

) 0 , , 2 ( ) , ( } 2 / ) , , {( : 2 3 y y y x y x R z y x W R T      y          x z y x z y x R W F  ) , , ( : 22 y las bases: )} 0 , 1 ( ), 1 , 1 {(  B de R2 )} 1 , 0 , 0 ( ), 0 , 1 , 2 {(   B de W                                 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 , 0 0 0 1 B de R22. Hallar: i) [T]B_B y[F]B_B ii) [FT]B_B Solución i) T(1,1)(2,1,0)1(2,1,0)0(0,0,1) ) 1 , 0 , 0 ( 0 ) 0 , 1 , 2 ( 0 ) 0 , 0 , 0 ( ) 0 , 1 (    T

        0 0 0 1 ] [T B_B                                     1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 2 2 0 1 2 ) 0 , 1 , 2 ( F                                    1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 ) 1 , 0 , 0 ( F                 0 2 1 0 0 1 0 2 ] [F B_B ii) [FT]_BB [F]B_B[T]B_B                     0 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2               0 2 0 0 0 1 0 2

Corolario.- Sean V, W espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y B respectivamente yT :V W una transformación lineal. T es un isomorfismo si y solo si [T]B_B es inversible.

Prueba.- Ejercicio.

Matriz cambio de base

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, consideramos B{v₁,v₂,,v_n} y } ' , , ' , ' {v₁ v₂  v_n  

B dos bases ordenadas para V. i) Para hallar la matriz cambio de base de B a B.

---V V

I:  tal que I(v_j)v_j, j1,2,,n,

luego expresando v como una combinación lineal de los elementos de_j Bse tiene



    n i i ij j j v p v v I 1 ) ( , j1,2,,n (1)

escribiendo (1) explícitamente se obtiene:

n nv p v p v p v v I( ₁) ₁  _{11 1} ₂₁ ₂ ₁  n n v p v p v p v v I( ₂) ₂  _{12 1} ₂₂ ₂ ₂        n nn n n n n v p v p v p v v I( )  _{1 1} ₂ ₂  

la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B que denotamos por:                nn n n n n p p p p p p p p p I P        2 1 2 22 21 1 12 11 ] [ B_B

es llamada matriz cambio de base de B a B. ii) Para hallar la matriz cambio de base de B a B

Se considera el endomorfismo identidad

V V

I:  tal que I(v_j)v_j,j1,2,,n

luego expresando v_j como una combinación lineal de los elementos de B se tiene



     n i i ij j j v q v v I 1 ) ( , j1,2,,n (2)

y escribiendo (2) explícitamente se tiene:

n nv q v q v q v v I( ₁) ₁  _{11 1} _{21 2}  ₁ n n v q v q v q v v I( ₂) ₂  _{12 1} _{22 2}  ₂       n nn n n n n v q v q v q v v I( )   _{1 1} _{2 2}

la matriz asociada al endomorfismo I respecto a las bases B y B que denotamos por:                nn n n n n q q q q q q q q q I Q        2 1 2 22 21 1 12 11 ] [ B_B

es llamada matriz cambio de base deB a B.

Observación.-También es usual denotar la matriz P cambio de base deB a B por

' B B

M o BMB' y la matriz Q cambio de base deB a B por M_B'B o B M' B. Ejercicio.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita n e I:VV el endomorfismo identidad, entonces[I]B_B I_n donde I es la matriz identidad de orden n_n

yB una base cualesquiera de V.

Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita,B{v₁,v₂,,v_n} y } ' , , ' , ' {v₁ v₂  v_n  

B dos bases ordenadas para V. Entonces las matrices de cambio de bases P de B a B y Q de B a B son inversas entre sí.

Prueba En efecto, B B B B ' '_{[ ]} ] [I I PQ Por definición de P y Q. ' ' ] [II B_B

 Por propiedad demostrada.

' ' ] [I B_B  Pues II I. n I

 Por el ejercicio anterior. Análogamente se demuestra que QP I_n.

Luego, PQI_n y QPI_n lo que demuestra que P y Q son inversas entre si. Ejemplo.- SeanB{(1,1),(1,0)} yB{(1,0),(2,1)} dos bases de R .2

Hallar la matriz cambio de base: i) P de la base B a la base B. ii) Q la baseB a la baseB.

---Solución i) (1,1)1(1,0)1(2,1) ) 1 , 2 ( 0 ) 0 , 1 ( 1 ) 0 , 1 (            0 1 1 1 P ii) (1,0)0(1,1)1(1,0) ) 0 , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( 1 ) 1 , 2 (           1 1 1 0 Q iii) _                      1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 PQ

Proposición.- (Fórmulas de transformación de coordenadas)

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita con bases ordenadas

} , , , {v₁ v₂  v_n 

B yB{v'₁,v'₂,,v'_n}. Si P es la matriz cambio de base de B a B y Q la matriz cambio de base deB aB, entonces para todo vV se tiene que

B B [ ]  ] [v v P y Q[v]_B [v]_B Prueba Sean:              n a a a v  2 1 ] [ _B y               n a a a v ' ' ' ] [ 2 1  B

las coordenadas del vector vV con respecto a las bases B y B. Probaremos que P[v]_B [v]_B Entonces



  n j j jv a v 1

 

        _  n j n i i ij j p v a 1 1

i n i n j ij jp v a _       

 

1 1 (1) Por otro lado tenemos que:



    n i i iv a v 1 (2)

De (1) y (2) por la unicidad de la combinación lineal, ya que B es una base tenemos

n i a p a n j j ij i , 1,2, , 1     



 (3) es decir, explícitamente: n na p a p a p a₁  _{11 1} _{12 2}  ₁ n na p a p a p a₂  _{21 1} _{22 2}  ₂      n nn n n n p a p a p a a  _{1 1} _{2 2}                                          n nn n n n n n a a a p p p p p p p p p a a a          2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1



[v]_B P[v]_B (4)

Ahora como P y Q son inversas entre sí, tenemos que:



_B



B [ ] ] [v Q Pv Q   B ] )[ (QP v  B ] [v  pues QP I



Q[v]_B [v]_B (5)

Las expresiones (4) y (5) se denominan fórmulas de transformación de coordenadas.

Proposición.- Sean V y W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con bases ordenadas B y C respectivamente. Si T :VW es una transformación lineal inversible y siendo T1 dicha inversa, entonces

 

1 1 ) ] ([   _ C B B C T T Prueba

---Sea ndimV dimW, considerando las basesB y C en V y W respectivamente, se tiene

 

T T T I In

T]_BC  B_C [  ]_CC [ ]_CC 

[ 1  1

Donde I es la matriz identidad de orden n._n

Análogamente,

 

T T  T T  I In   B B B B C B B C[ ] [ 1 ] [ ] 1 _ Por consiguiente,

 

1 1 ) ] ([   _ C B B C T T

Proposición .- Sean V, W dos K-espacios vectoriales de dimensión finita con basesB y C respectivamente, entonces la transformación lineal T:VW es un isomorfismo si y solo si [T]C_B posee inversa.

Prueba )

 Asumiendo que T es un isomorfismo.

W V

T :  posee inversa T1:WV , luego por la proposición anterior

B C C B) [ ] ] ([T 1  T1 . )

 Ahora asumiendo que [T]C_B posee inversa.

Se tiene que ran(T)dimW, luego solo resta probar que T es una transformación lineal inyectiva.

Si T(v), entonces 0 )] ( [ ) ] ([ ] [v _B  T C_B 1 T v _C 

Como todas las coordenadas de v son iguales a cero, se tiene que v , luego }

{ ) (T  

Nu y en consecuencia T es inyectiva.

Ejemplo.- SeaP₁[R] es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que uno sobre el campo de los reales R y la transformación lineal T :R2P₁[R] definida como T(a,b)a(ab)x, demuestre que T es un isomorfismo y calcule la inversa de T.

Considerando las bases canónicas de B y C en _{R y}2 ] [ 1 R P respectivamente se tiene que x T(1, 0)11 x T(0,1)01 Luego, _        1 1 0 1 ] [T _BC La matriz [T]_BC es inversible y _         1 1 0 1 ) ] ([T C_B 1 ; en consecuencia T es un isomorfismo.

Para calcular la inversa de T

                           b a a b a bx a T bx a T _C 1 1 0 1 ] [ ] [ )] ( [ 1 1 B C ) 1 , 0 )( ( ) 0 , 1 ( ) ( 1 b a a bx a T     ) , ( ) ( 1 b a a bx a T     

Proposición.- Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, B y C dos bases ordenadas para V y T:VV un endomorfismo, entonces

P T Q T]B_B [ ]C_C

[ 

donde P es la matriz cambio de base de B a C y Q la matriz cambio de base de C a B. Prueba Como P[ I]_BC y Q[ I]B_C se tiene B B B B C B B C C B B C C B B B B C C C [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ] [T P I T I I T I I T I T T Q       

Tomando extremos se obtiene,

P T Q T]B_B [ ]C_C

[ 

con lo cual queda demostrada la proposición.

---Matrices semejantes

Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y T :VV un endomorfismo. Se consideran B y B dos bases ordenadas de V. Si se denotan por A

 

T B_B,

 

B

B  

 T

B , P la matriz cambio de base de B a B y P la matriz cambio de base1

de B a B por la proposición anterior se tiene que A P1BP_{. Las matrices}

n n

K B

A,   que representan al mismo endomorfismo respecto a las bases B y B son llamadas semejantes.

Estoes, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz P no singular tal que AP1BP.

La proposición anterior se extiende para el caso de una transformación lineal

W V

T:  donde V y W son K-espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente. Si B y B son bases para V; C y C bases para W con matrices asociadas A[T]_BC , B[T]C_B y matrices cambio de base P deB a B y Q de

C y C se cumple que AQ1BP.

Es decir, dada la transformación lineal T :VW donde V y W son dos K-espacios vectoriales de dimensiones n y m respectivamente, diremos que las matrices

n n

K B

A,   representan a la misma transformación lineal T existen matrices

n n

K

P  y QKmm no singulares tales que AQ1BP. El siguiente gráfico, ilustra la situación antes descrita.

P C , V Q P B B ] [T C C ] [T C , V B , V V, B Q B , V Q-1 P B A C , W B , V W,C

Ejemplo.- Sea 3 2

:R R

T  tal queT(x,y,z)(x y, 2zx).

i) Si B es la base canónica de R y3 C es la base canónica de R . Hallar la2

matriz de T respecto a las bases B y C.

ii) Calcular las matrices de cambio de base de las bases dadas en (i) a las bases: )} 0 , 0 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1 {(    B de R y3 C{(0,1),(1,0)} de R2

iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas en (ii). Solución i) Hallemos[T]C_B ) 1 , 0 ( 1 ) 0 , 1 ( 1 ) 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 1 (     T ) 1 , 0 ( 0 ) 0 , 1 ( 1 ) 0 , 1 ( ) 0 , 1 , 0 (    T ) 1 , 0 ( 2 ) 0 , 1 ( 0 ) 2 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 (    T



_         2 0 1 0 1 1 ] [T C_B A ii)

Calcularemos las matrices de cambio de base de las bases dadas De B{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} a B{(1,0,1),(1,1,1),(1,0,0)} ) 0 , 0 , 1 ( 1 ) 1 , 1 , 1 ( 0 ) 1 , 0 , 1 ( 0 ) 0 , 0 , 1 (     ) 0 , 0 , 1 ( 2 ) 1 , 1 , 1 ( 1 ) 1 , 0 , 1 ( 1 ) 0 , 1 , 0 (     ) 0 , 0 , 1 ( 1 ) 1 , 1 , 1 ( 0 ) 1 , 0 , 1 ( 1 ) 1 , 0 , 0 (                  1 2 1 0 1 0 1 1 0 P ,              0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 P Q B , 3 R P-1 P B A C , 2 R B , 3 R _R2, C

---De C {(1,0),(0,1)} a C{(0,1),(1,0)} ) 0 , 1 ( 1 ) 1 , 0 ( 0 ) 0 , 1 (   ) 0 , 1 ( 0 ) 1 , 0 ( 1 ) 1 , 0 (          0 1 1 0 Q

iii) Calcular la matriz de T respecto a las bases dadas (ii).

1  QAP B                          0 1 1 0 1 0 1 1 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0         1 2 1 1 1 3 Ejercicios

1. Una transformación lineal_{T :R}3 _R2 _{está definida por}

) , 2 ( ) , , (x y z x z y z T   

a) Hallar la matriz asociada A de T, respecto a las bases: } ) 0 , 0 , 3 ( ), 0 , 2 , 2 ( ), 1 , 1 , 1 ( { en R y3 {(2,0),(0, 2} en R2

b) Mediante A, determinar la imagen de (2, 2, 2)R3.

c) Determinar la matriz B de T, respecto a las bases canónicas en ambos espacios.

d) Obtener la matriz C de T, respecto a la base canónica de R y la base dada3

para _{R en la parte a).}2

2. Hallar la matriz de la transformación lineal S:R3 R4, donde S está definida como: ) , , , 3 ( ) , , (x y z x y x y y z x y z S      

en las bases que se indican a continuación a) En las bases canónicas.

b) {(3,2, 4),(5,1,4),(1,4, 3)} base de _{R y}3 )} 1 , 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 5 , 4 , 0 ( ), 1 , 1 , 0 , 3 ( ), 4 , 2 , 0 , 0 {(     base de R .4

3. Sea la transformación lineal 2 3 :R R f  definida por ) 2 , , ( ) , (x y x y x y x y f    

a) Determinar el Nu(f), Im(f), una base para cada uno y sus respectivas dimensiones.

b) Hallar la matriz asociada de f respecto a las bases: } ) 0 , 2 ( ), 2 , 1 ( { en _{R y}2 _{{(1,0, 0),(0,2,0),(0,0,3)} en R}3

4. La matriz asociada de la transformación lineal 3 3

:R R f  respecto de la base canónica es                2 4 2 3 3 3 1 1 1 A

Determinar el Nu(f), Im(f) y sus dimensiones.

5. Sea T el operador lineal sobre C definido por2 T(z₁, z₂)(z₁, 0). Sea B la base ordenada canónica de _{C y sea}2 _B_{{(1,i), (}_i,2)}.

a) ¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de basesB y B ?. b) ¿Cuál es la matriz asociada de T respecto al par de basesB y B ?. c) ¿Cuál es la matriz asociada de T en la baseB{(1,i),(i, 2)}?.

6. Si V {ax2bxc /a,b,cR} y T :V R2 es una transformación lineal definida por T(ax2 bxc)(b2c,3c2a), determine la matriz asociada a T respecto a las bases {1,1 ,1 2}

1  x xx

B de V y {(3, 2),(2,3)}

2 

B de R .2

7. Dada la transformación lineal f :R22 R3 definida por ) , , (a b c a b d b c d d c b a f _                 

a) Obtener la matriz de f respecto de las bases:

                              1 1 1 0 , 1 0 0 0 , 0 1 0 1 , 1 1 1 1 y {(0, 2,1),(2,0,1),(0,1,1)}

c) Utilizando la matriz hallada, obtener la imagen de _

     2 2 3 1 .

8. Determinar la transformación lineal f :R3 R2, tal que respecto de las bases } ) 0 , 1 , 1 ( ), 1 , 0 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 (

---       1 1 0 0 0 1 .

9. Hallar la matriz de la transformación lineal g respecto de las basesf

} ) 1 , 0 ( ), 1 , 1 (

{  en el dominio, {(2, 0),(2, 2)} en el codominio donde ) , , ( ) , ( / :R2 R3 f x y x x y y f    g:R3 R2/ g(x, y, z)(x y, z).

10. Sea la transformación lineal f_ :R2  R2 representada por la matriz

           cos cos sen sen

respecto de la base canónica.

Demostrar que si  y  son números reales cualesquiera, entonces

    f  f 

f  y f_1  f_.

11. El endomorfismo T :R3 R3 está definido por ) , , ( ) , , (x y z x x y x y z T    

En caso de ser posible, halle la matriz asociada a T1 con respecto a la base } ) 1 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 0 , 1 ( {  B .

12. Sea f :R3 R2 definida por f(x, y, z)(x yz, xy)

a) Hallar la matriz de f respecto a las bases canónicas de _{R y}3 _R2

respectivamente.

b) Obtener las matrices de cambio de base, de las bases anteriores a las bases } ) 1 , 1 , 1 ( ), 2 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 0 ( {     , {(1,3),(0, 2)}. c) Calcular la matriz B de f, respecto al nuevo par de bases.

13. Hallar las matrices de cambio de base en cada uno de los siguientes casos: a) {(2,3),(3,2)} y {(1, 4),(4, 2)} bases de R .2

b) {x, x1, x22x1} y {1, x22x1, x2} bases del espacio vectorial } , , / {a bx cx2 a b c K V    

c) Dado el espacioU {(x, y, z,w)R4/ xyzw0} y dos bases )} 1 , 1 , 1 , 1 ( ), 1 , 1 , 1 , 1 ( ), 3 , 1 , 1 , 1 {(       B y )} 1 , 0 , 0 , 1 ( ), 0 , 0 , 1 , 1 ( ), 0 , 1 , 0 , 1 {(      B

14. Dados el espacio vectorial R con las bases2 B{(1,1),(3, 2)} y } ) 1 , 2 ( ), 0 , 1 ( {   

B , el espacio vectorial R 3 con las bases )} 2 , 4 , 1 ( ), 1 , 4 , 2 ( ), 3 , 2 , 2 {(    C y C{(1,1,0), (1, 2,1), (2,1, 2)}.

Sea 2 3

:R R

T  una transformación lineal que tenga en las bases B y C la

matriz asociada           3 1 1 2 2 1 , se pide

a) Hallar la matriz P cambio de base de B a B. Análogamente, hallar la matriz Q cambio de base de C a C.

b) Hallar 1

P y Q1 para las matrices correspondientes a la parte a).

c) Hallar la matriz asociada de la transformación lineal T, respecto a las bases B y C.

15. En el espacio vectorial _{R fijando}2 _{R, se considera la base}

)} cos , ( ), , (cos {  sen sen   C .

a) Hallar la matriz cambio de base de C a la base canónica de R .2

b) Determine las coordenadas del vector v(a,b) con respecto a la base C.

16. Sean B{v₁,v₂, v₃} y C {u₁,u₂,u₃} bases ordenadas de un R-espacio vectorial V relacionados de la siguiente forma

            3 2 3 3 2 1 1 3 1 1 3 2 3 v v u v v v u v v u

a) Hallar la matriz cambio de base de B a C.

b) Si            3 1 2 ] [v_B , halle [v]_C. c) Si            2 3 1 ] [v _C , halle [v]_B.

17. Considere el siguiente subespacio de M₂(R);

                 M₂(R); x y z 0 t z y x W

---y sean                          1 0 0 0 , 0 1 0 1 , 0 0 1 1 B ,                           1 0 0 0 , 0 1 1 0 , 0 1 0 1 C dos bases de W.

a) Halle las matrices cambio de base deB a C y de C a B.

b) Encuentre una base D de W, tal que la matriz

           0 2 1 1 0 3 1 0 0 P sea la

matriz cambio de base de D a B.

18. Sea el endomorfismo TL(R3), cuya matriz asociada respecto a la base } , , {v₁ v₂ v₃  B es              1 3 4 0 1 2 1 2 3 Se pide: a) Probar que { , ( ), 2( ₃)} 3 3 T v T v v   B es también base de _{R .}3

b) Hallar la matriz asociada de T con respecto a la base } ) ( ), ( , {v₃ T v₃ T2 v₃   B .

19. Sean P_2[x] y P_3[x] los espacios vectoriales de los polinomios de grado menor igual a dos y menor o igual a tres, respectivamente, y sea T :P_2[x]P_3[x] la transformación lineal definida por T( p(x)) = x p(x).

a) Determinar la matriz asociada a T con respecto a las bases canónicas de ]

[

2 x

P_ y P_3[x], respectivamente.

b) Obtener la matriz asociada de T con respecto a las bases : } 4 4 5 , 2 3 1 , 1 { x2  x x2  x x2  B de P_2[x] y } , , , 1 { x x2 x3  B' de P_3[x].

c) Haciendo uso de las matrices obtenidas en a) y b) calcular la imagen del vector ₁_3x_x2_.

ESPACIOS COCIENTES

Para abordar el estudio de espacio cociente, primero recordemos el concepto de relación de equivalencia.

Dado un conjunto cualesquiera M diremos que R es una relación de equivalencia sobre M si satisface las siguientes propiedades:

1. xM:(x, x)R (reflexividad)

2. x, yM:(x, y)R(y, x)R (simetría)

3. x, y, zM:[(x, y)R  (y, z)R](x, z)R (transitiva)

Cuando una relaciónR es de equivalencia sobre M, en lugar de escribir (x, y)R se escribe x ~ y. Luego, usando la última notación si R es una relación de equivalencia sobre M escribiremos:

1’. xM:x~ x

2’. x, yM:x~ y  y ~x

3’. x, y, zM:[x~ y  y~ z]x~ z

Dada una relación de equivalencia sobre M, definida por x ~ y, la clase de

equivalencia xM denotada por K es el conjunto_x K_x {yM/ x~ y}, el elemento x es el representante de la clase de equivalencia.

El conjunto M, se puede expresar como unión de una familia de subconjuntos disjuntos donde cada uno de ellos es una clase de equivalencia para algún elemento de M. Es decir si

 

K_{x xM} es una familia de clases de equivalencia, entonces



M x x K M   .

Cada clase de equivalencia K_x  pues xK_x ya que por la condición 1’) x ~ x. Si K_x K_y , entonces K_x K_y. En efecto,

sea zK_x K_y  zK_x  zK_y por definición de intersección.

y z x

z ~  ~

 por definición de clase de equivalencia.

y z z x~  ~  por 2’) y x ~  por 3’) y x K K  

El conjunto formado por todas las clases de equivalencia denotamos por M/~ , esto es }

/ { ~

/ K x M

M  _x  es llamado conjunto cociente; la aplicación  :M M/~ tal que (x)K es llamada proyección natural y es suryectiva de M sobre M/~.

---Para la definición de espacio vectorial cociente, consideramos un K-espacio vectorial V y un subespacio propio W. Se define sobre V una relación de la siguiente manera. Diremos que u,vV son congruentes módulo W si y solo si uvW y escribimos

W v

u  mod .

Proposición.- La relación "" definida anteriormente es de equivalencia sobre V, es decir verifica las siguientes condiciones:

1. u umodW,uV (reflexiva) 2. u vmodWv umodW (simétrica)

3. (u vmodWv wmodW)u wmodW (transitiva) Prueba

1. u umodW , pues uuW por ser W subespacio. 2. u vmodWuvW por definición de ""

W v

u 



 ( ) por ser W subespacio

W u v   W u v mod 

3. (u vmodWvwmodW)(uvW vwW) por definición de""

W w u w v v u      ( ) ( ) W w u mod 

Luego, la relación ""es de equivalencia. La relación de equivalencia "" induce sobre

V una partición donde denotaremos cada clase de equivalencia del elemento v por

} mod /

{ ]

[v  uV uv W . Al elemento vV se le llama representante de la clase de equivalencia. Proposición.- Se verifica ] [ ] [ modW u v v u    Prueba )  Demostrando que [u][v] Sea w[u] wumodW W u w   (1)

Por otra parte como

W v u W v u  mod    (2) De (1) y (2)

W v w v u u w )(  )   ( W v w mod  por definición de"" ] [v w 

Luego [u][v] y análogamente de demuestra que [v][u]. Por consiguiente, queda demostrado que [u][v].

)

 Ejercicio.

Con la finalidad de contar con una notación apropiada para operar clases de equivalencia definimos el conjunto vW {vw/wW}.

Proposición.- Sea V un K –espacio vectorial y W un subespacio propio de V. Se verifica que W v v]  [ Prueba i) Probaremos que [v]vW Sea u[v]u vmodW w v u W v u    

 para algún valor de W

W w w v u    , W v u   W v v    [ ] ii) Falta probar que vW [v]

Sea uvW uvw para algún wW.

W w w v u    , ] [ modW u v v u    ] [v W v  

Finalmente, de i) y ii) se demuestra la afirmación de la proposición.

Recapitulando, se tiene V un K-espacio vectorial y W un subespacio propio de V; sobre

V se definió una relación de equivalencia "" que a su vez induce sobre el espacio vectorial V una partición formada por las clases de equivalencia. El conjunto formado por todas las clases de equivalencia se denota por

} /

{v W v V W

---Para dotarle al conjunto

W

V _{de una estructura de espacio vectorial sobre K es}

necesario definir las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Dados

W u W

v ,  y aK; definimos

Adición : (vW)(uW)(vu)W

Multiplicación por escalares: a(vW)avW

Ahora es necesario probar la buena definición de las operaciones; es decir, como se están trabajando con clases de equivalencia se requiere demostrar que las operaciones no dependen de los representantes de las clases de equivalencia.

Prueba de la buena definición de las operaciones Para la adición Sea v₁W v₂W v₁ v₂modW v₁v₂W (1) W u u W u u W u W u₁  ₂   ₁  ₂mod  ₁ ₂ (2) De (1) y (2) W u v u v W u u v v  )(  ) (  )(  ) ( _{1 2 1 2 1 1 2 2} W u v W u v W u v u v          ( _{1 1}) ( _{2 2})mod ( _{1 1}) ( _{2 2}) ) ( ) ( ) ( ) (v₁W  u₁W  v₂W  u₂W 

Para la multiplicación por escalares Sea aK W u v W u W v     mod W u v   W u v a    ( ) W au av   W au W av    ) ( ) (v W a u W a    

Definimos el cero de V /W por  W W y se cumple

W v W v W W W v )(  )(  )(  )  (   El conjunto W

V _{con las operaciones anteriormente definidas es un espacio vectorial}