4) Geometría

Matemática: Guía Nº 4 “GEOMETRÍA”

ÁNGULOS :

Un ángulo es un sector o región de plano limitado por dos semirrectas que parten desde un mismo punto llamado vértice.

Según su amplitud los ángulos se clasifican en:

Ángulos Opuestos por el Vértice :

Obtuso Llano

Nulo Agudo Recto

Cóncavo ° = 0

α

°

〈

〈

°

90

0

α

°

= 90

α

°

〈

〈

360

180

α

°

= 180

α

°

〈

〈

180

90

α

Pleno

°

= 360

α

Convexos α β α = β

Son de igual amplitud Vértice

Ángulo Semirecta

Suplementarios α + β = 180º Complementarios α + β = 90º Consecutivos Adyacentes, α + β = 180º α β α α α β β β

Ángulos entre paralelas _α

β Correspondientes Conjugados Alternos α α α α β _β β β α = β Internos α = β Externos α = β α + β = 180º α + β = 180º Internos Externos

TRIÁNGULOS Según sus lados se clasifican en:

Según sus ángulos interiores se clasifican en:

En todo triángulo equilátero, además de ser iguales sus tres lados también son iguales sus tres ángulos interiores y por lo tanto igual a 60º cada uno.

En todo triángulo isósceles se cumple:

Equilátero _Isósceles Escaleno

Rectángulo

Un ángulo interior recto

Acutángulo

Todos sus ángulos son agudos Obtusángulo Un ángulo interior obtuso hipotenusa cateto cateto En el vértice B : α' + β + γ’ = 180º

α

β

γ

α’

A

B

C

γ’

α + β + γ = 180º

Suma de los Angulos Interiores de un Triángulo:

α’ = α y γ’ = γ (por ser Alternos

Internos entre paralelas) La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180º

En los triángulos rectángulos se aplica el Teorema de Pitágoras, que dice : “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

En los triángulos oblicuángulos, que son triángulos cualquiera (no rectángulos) se puede aplicar los teoremas del seno y coseno.

b

2 α

b/2 b/2 α 1) Tiene dos lados iguales y uno desigual.

2) Tiene dos ángulos interiores iguales y uno desigual.

3) La altura correspondiente a la base desigual, divide en dos partes iguales a dicha base. 4) Esta altura es también bisectriz del ángulo

desigual, o sea que divide en dos partes iguales a dicho ángulo.

2 α

a2 = b2 + c2

Se llaman catetos a los lados que forman el ángulo

recto, y la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo

recto.

La hipotenusa es siempre el lado de mayor longitud

cateto c cateto b _{a hipotenusa} c α α α α _ββββ γγγγ a b

Teorema del Seno

c

sen

b

sen

a

sen

α

β

γ

=

=

Teorema del Coseno

α

cos

.

.

.

2

2 2 2

c

b

c

b

a

=

+

−

β

cos

.

.

.

2

2 2 2

c

a

c

a

b

=

+

−

γ

cos

.

.

.

2

2 2 2

b

a

b

a

c

=

+

−

Para que estos Teoremas tengan validez y sean fáciles de recordar,

debe llamarse “α” al ángulo opuesto al lado “a”, “β” al ángulo

opuesto al lado “b” y “γ” al ángulo opuesto al lado “c”.

PERÍMETROS Y SUPERFICIES DE FIGURAS PLANAS

FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE

CUADRADO P = l + l + l + l P = 4 . l

Sup = l . l

Sup = l

2 RECTÁNGULO P = b +h +b +h P = 2.b + 2.h

Sup = b . h

TRIÁNGULO P = b + L + l

2

.h

b

Sup

=

TRIÁNGULO ISÓSCELES P = l + l + b

P = 2.l + b

2

.h

b

Sup

=

TRIÁNGULO RECTÁNGULO P = b + h + l

₂

.h

b

Sup

=

PARALELO- GRAMO P = b + l + b + l P = 2.b + 2.l

Sup = b . h

b h l b l h b L _l h l b h l l h b

FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE ROMBO P = l + l + l + l

P = 4 . l

2

.d

D

Sup

=

ROMBOIDE P = l + l +L +L

P = 2.l + 2.L

2

.d

D

Sup

=

TRAPECIO P = B + b + L + l Sup

(

B b

)

.h 2 + = TRAPECIO ISÓSCELES P = B + b + l + l P = B + b + 2.l

(

)

h b B Sup . 2 + = TRAPECIO RECTÁNGULO P = B + b + h + l _Sup

(

B b

)

_.h 2 + =

b

l

h

B b l B h l D l d l l L L d D b B h L l

FIGURA PERÍMETRO SUPERFICIE CÍRCULO P = ππππ . D P = 2 . ππππ . R Sup = π . π . π . π . R2 2 2 .       = D Sup π

4

.

D

2

Sup

=

π

POLÍGONO REGULAR de “n” lados

P = n . l

2

.

. Ap

l

n

Sup

=

2

. Ap

P

Sup

=

SUPERFICIE Y VOLUMEN DE CUERPOS

CUERPO SUPERFICIE

Lateral y total VOLUMEN

CUBO

Sup lat= 4 . a2

Sup tot = 6 . a2 Vol = a 3

Paralelepípedo

Sup lat.= 2.a.c + 2.b.c

St = 2ab + 2bc + 2ac Vol = a.b.c

D

R

l

Ap a a a a b c

CUERPO SUPERFICIE

Lateral y total VOLUMEN

PRISMA

RECTO V = Sup Base . h

CILINDRO Vol =ππππ. . . . R 2 . h CONO h R Vol . . 3 1 ₂ π = ESFERA Sup = 4.ππππ.R2 . 3 3 4 R Vol =

π

PIRÁMIDE Vol Sup_base .h

3 1 ) ( = 2π.R h h R St = 2π.R.h+2π.R2 R Sl = 2π.R.h St = 2π.R(h+R) h R h R g R g Slat = π.R.g St = π.R.g +π.R2 St = π.π.π.R.(g+R)π. 2π.R R h h

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS EN EL PLANO : RECTAS SECANTES RECTAS PARALELAS Paralelas Disjuntas Paralelas Coincidentes R1 R2 R1 ≡ ≡ ≡ R≡ 2 R1 R2 R1 R2 Rectas Oblicuas Rectas Perpendiculares

Trabajo Práctico Nº 4: “Cálculos Geométricos”

4.1) Calcular el valor exacto (usando números irracionales cuando corresponda) del perímetro y el área de las siguientes figuras planas.

2 m 6 m a)

2

.

8

cm

3

.

2

cm b)

2

.

3

m c) 3 cm

12

cm

27

cm d) e)

2

.

2

cm

3

.

2

cm

3

5

m

2

.

5

m

5

m f)

8

cm

3

cm

9

cm g)

18

m

50

m

8

m h)

4.2) Calcular las dimensiones (radio y altura) de un cilindro de 500 cm3, cuya altura es el doble del diámetro.

4.3) ¿Cuál es el radio (en cm) de una esfera cuya capacidad es de 6 800 cm3?

4.4) Se dispone de una pieza metálica de forma cilíndrica con 5 cm de radio y 12 cm de altura. Si dicha pieza se funde para formar una esfera: ¿Cuál será el radio de la esfera que podrá formarse con ese material, si no se pierde nada del mismo?

4.5) ¿Cuál es la superficie de una esfera de 12 cm de diámetro?

4.6) ¿Cuál es el volumen de un cilindro cuya altura es el triple del radio y cuya superficie lateral es de 120 cm2?

4.7) Calcular la superficie de un triángulo isósceles rectángulo cuyo perímetro es igual a 48 m.

4.8) Calcular el volumen de un cono cuya base circular tiene un área de 25 cm2 y cuya altura es cinco veces su diámetro.

4.9) Calcular el volumen de un cilindro cuyo radio es la mitad de la altura, si se sabe que su superficie lateral es de 55 cm2.

4.10) Calcular la generatriz de un cono de 630 cm3 si la razón entre el radio y la altura es 2 : 3.

4.11) ¿Cuál es el volumen de una esfera que tiene una superficie total de 45 cm2?

4.12) ¿Cuál es el volumen de un cubo cuya superficie total es de 54 cm2? 4.13) Se dispone de un prisma recto con un volumen de 125 cm3. Si la base

este prisma es un trapecio cuyas bases miden 8 y 12 cm con una altura de 4 cm: ¿Cuál es la altura del prisma?

4.14) Calcular la superficie de un triángulo isósceles cuya base desigual mide 8 m si su perímetro es de 18 m.

4.15) Calcular la superficie de un octógono regular cuyo perímetro es de 32 cm?

Resultados del Trabajo Práctico N° 4: "Cálculos Geométricos" 4.1) a) P = 4 10m S = 6 m2 b) P = 14 2cm S = 24 cm2 c) P =4 3

π

m ≅21,77m S = 12 π m2 ≈ 37,70 m2 d) P =

(

3 7 3+

)

cm S = 15 3 2 cm 2 e) P = 8 2cm S = 4 2cm2 f) P =

(

10 6 5+

)

m S = 30 m2 g) P =

(

10 4 13+

)

cm S = 36 cm2 h) P =

(

8 2 +2 10

)

m S = 16 m2 4.2) r = 3,41 cm h = 13,66 cm 4.3) r = 11,75 cm 4.4) r = 6,08 cm 4.5) r = 452,39 cm2 4.6) Vol = 151,39 cm3 4.7) Sup = 98,83 m2 4.8) Vol = 235,08 cm3 4.9) Vol = 57,53 cm3 4.10) g = 13,29 cm 4.11) Vol = 28,39 cm3 4.12) Vol = 27 cm3 4.13) h = 3,125 cm 4.14) Sup = 12 m2 4.15) Sup = 77,25 cm2