Instituto Politécnico Nacional
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Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaCampus Zacatenco Campus Zacatenco
Análisis Gráfico I
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Laboratorios de Física - Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, IPN Laboratorios de Física - Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica, IPN
Septiembre de 2017 Septiembre de 2017 Una parte importante de la física es ha
Una parte importante de la física es hacer relaciones entre cantidades observadas. Establecercer relaciones entre cantidades observadas. Establecer estas relaciones permite que podamos anticipar lo que ocurrirá cuando una cantidad varía de estas relaciones permite que podamos anticipar lo que ocurrirá cuando una cantidad varía de una forma determinada y una forma básica para establecer esta relación es representándolas una forma determinada y una forma básica para establecer esta relación es representándolas de forma gráfica.
de forma gráfica.
I. Introducción I. Introducción
Una herramienta útil para presentar Una herramienta útil para presentar resultados en la ingeniería, ciencia y resultados en la ingeniería, ciencia y tecnología son las gráficas,
tecnología son las gráficas,
Una gráfica no solo sirve para representar Una gráfica no solo sirve para representar fenómenos observados en diversas áreas fenómenos observados en diversas áreas de estudio; también pueden ser usadas para de estudio; también pueden ser usadas para describir una ley, apreciar variaciones de describir una ley, apreciar variaciones de un fenómeno o simplemente resolver un un fenómeno o simplemente resolver un problema
problema sin sin necesidad necesidad de de demasiadosdemasiados cálculos.
cálculos. i.
i. Un Un poco poco de de historiahistoria
La representación gráfica de datos La representación gráfica de datos tiene sus orígenes en el Egipto antiguo, tiene sus orígenes en el Egipto antiguo, donde se usaron los inicios de lo que hoy donde se usaron los inicios de lo que hoy conocemos como coordenadas.
conocemos como coordenadas.
Posteriormente, griegos y romanos Posteriormente, griegos y romanos tomaron este concepto y lo usaron para tomaron este concepto y lo usaron para elaborar mapas, como por ejemplo el elaborar mapas, como por ejemplo el “primer mapa mundial”, elaborado por “primer mapa mundial”, elaborado por Aniximander en el 550 a.C.
Aniximander en el 550 a.C.
Los primeros ejemplos de representación Los primeros ejemplos de representación gráfica estaban orientados a diagramas gráfica estaban orientados a diagramas geométricos, tablas de posición de las geométricos, tablas de posición de las estrellas o cuerpos celestes.
estrellas o cuerpos celestes.
Alrededor del 950 a.C, aparece lo que se Alrededor del 950 a.C, aparece lo que se considera la primera construcción gráfica considera la primera construcción gráfica de datos. Estaba estructurada en una de datos. Estaba estructurada en una cuadrícula y la acompañaba una cuadrícula y la acompañaba una descripción de los movimientos descripción de los movimientos planetarios a través
planetarios a través del zodiaco en funcióndel zodiaco en función del tiempo.
del tiempo.
Hasta mediados del siglo XIV, las Hasta mediados del siglo XIV, las representaciones gráficas de datos representaciones gráficas de datos correspondían a conocimientos que el correspondían a conocimientos que el humano tenía del mundo, sin bases en humano tenía del mundo, sin bases en explicaciones científicas o teóricas, sino explicaciones científicas o teóricas, sino más bien en normas sistemáticas o más bien en normas sistemáticas o patrones
patrones ya ya establecidos. establecidos. Pero Pero másmás adelante en el siglo, Nicole de Oresme usa adelante en el siglo, Nicole de Oresme usa un nuevo aspecto de la geometría al un nuevo aspecto de la geometría al representar leyes físicas mediante un representar leyes físicas mediante un gráfico que tenía una variable dependiente gráfico que tenía una variable dependiente a la que llamó
a la que llamó latitud latitud , , contra una variablecontra una variable independiente, que llamó
siglo fueron creados técnicas e instrumentos para precisar la observación y medición de cantidades físicas.
Con las bases cimentadas en los trabajos de Oresme, René Descartes, padre de la geometría analítica, llega a la conclusión de que todo tiene un punto de partida, fue así como nació el sistema de referencia cartesiano para poder representar geometría plana usando sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en
un punto denominado como origen.
Galileo conservó algunas de las ideas de Oresme y Descartes e hizo una valiosísima unión entre el álgebra, que comenzó a desarrollar sus aplicaciones hasta finales del siglo XVII, y los datos gráficos.
Al estudiar el movimiento “naturalmente acelerado”, Galileo hace una representación abstracta y geométrica que ocupa velocidad y tiempo, uniendo así la física, las matemáticas y un útil método para representar resultados.
ii. Teoría
La elaboración y uso de gráficas es básico y necesario para la labor del ingeniero. Para ello, es necesario elaborar primero una tabla en la que vamos a verter los datos obtenidos con su respectiva incertidumbre basándonos en la teoría de errores.
En muchas situaciones se desea investigar la variación o dependencia de un dado atributo de un sistema (que designamos como la variable y ) como función de otra variable del mismo, que llamaremos
x . Nuestro objetivo es encontrar, si la hubiese, la relación que liga la variable
x con y . Es usual denominar a las variables que controlamos o que determinan el estado del sistema
como independientes. Las variables que están determinadas por otras, son las variables dependientes.
Decimos que la dependencia de y con x es lineal, si los datos observados se pueden describir adecuadamente con una relación:
= +
(3.1)
La Fig. 3.1 muestra un ejemplo de este tipo. El parámetro m es la pendiente de la recta y b es la ordenada del origen u ordenada de la intersección de la recta con el eje vertical y . Una relación lineal entre dos variables es fácil de identificar a simple vista. Sin embargo, no es tan fácil diferenciar si las variables presentan una relación potencial, exponencial o de otro tipo.
Las variables y y x presentan una dependencia potencial si:
=
(3.2)
donde m y b son constantes distintas de cero. Esta forma potencial es muy común en las ciencias naturales, economía y muchas otras aplicaciones.
Después de determinar qué tipo de relación existe entre nuestras variables y analizar nuestro problema, debemos elegir un papel acorde a nuestras necesidades, como pueden ser el papel milimétrico, el papel semilogarítimico o el papel
logarítmico.
El siguiente paso será elegir una escala adecuada a nuestro problema y papel, debe escogerse de tal manera que todos los puntos estén dentro del papel, posteriormente se trazan los puntos experimentales de acuerdo a la escala establecida.
Ahora se tiene que trazar una curva continua a través de los puntos obtenidos. Es conveniente recordar que el rectángulo de incertidumbre, dibujado a escala, corresponde a una zona de confianza, en el sentido de que se ignora dónde está el punto “verdadero”, pero se puede afirmar con seguridad que está contenido en el rectángulo y por lo tanto, la curva que mejor se ajuste deberá pasar por los rectángulos, aunque no necesariamente por sus centros.
Fig. 3.3 Representación de tres posibles curvas adaptadas a los puntos de la gráfica.
La curva que mejor se adapte a los rectángulos, será la usada para graficar. ll. Experimentación
Para realizar la práctica usamos 8 diferentes cilindros de aluminio, un calibrador vernier, una hoja de papel milimetrada, un juego de 9 discos de madera, un tramo de hilo cáñamo y un flexómetro.
Fig. 3.4 Calibrador Vernier
Fig. 3.5 Probeta de 100 cm cúbicos
Fig. 3.6 Cilindro de aluminio
Fig. 3.7 Flexómetro
Fig. 3.8 Disco de madera
Fig. 3.9 Papel milimetrado
Experimento 1
Con ayuda de la probeta, se midieron los volúmenes de los cilindros y con el vernier su longitud. A continuación los datos:
Cil. Volumen experimental (± .5 ml) Diámetro (±.05 cm) Longitud (±.05 cm) 1 4
1.75 cm 2 cm 2 6
1.75 cm 3.25 cm 3 8
1.80 cm 3.7 cm 4 10
1.70 cm 5.05 cm 5 12
1.75 cm 6.1 cm 6 14
1.75 cm 7 cm 7 16
1.70 cm 8 cm 8 18
1.80 cm 9.05 cm GraficandoPara ajustar la recta, se deben de agregar sus incertidumbres a cada lado de los puntos experimentales y después trazar una recta que pase por todos esos puntos. Entonces, aplicamos el modelo v=kl para
trazar la recta. Donde v es el volumen, l la longitud y k es la pendiente, para obtenerla, usamos el modelo
=
−
−
Entonces se toman dos puntos de la gráfica. En este caso usaremos (2,4) y (9,18) para obtener la pendiente que en este caso es el radio de crecimiento del volumen. Haciendo los cálculos tenemos que k=2
Por lo tanto, la ecuación de la recta es v=2l Podemos usar esta ecuación para intrapolar el volumen de un cilindro de 6.5 cm de longitud, que tendría un volumen de 13 cm3
También podemos extrapolar para averiguar que un cilindro de 10 cm de longitud, tendría 20 cm3 de volumen. Experimento 2
Se midió el diámetro de cada disco y se calculó su perímetro mediante la ecuación (Modelo teórico)
= D
Estos fueron los resultados obtenidos:
Disco Diámetro (flexómetro) Perímetro teórico 1 3.1 cm 9.73 cm 2 4.1 cm 12.88 cm 3 5.1 cm 16.02 cm 4 6.2 cm 19.47 cm 5 7.2 cm 22.61 cm 6 8.1 cm 25.44 cm 7 9.1 cm 28.58 cm 8 10.1 cm 31.73 cm 9 11 cm 34.55 cm 2, 4 3.25, 6 3.7, 8 5.05, 10 6.1, 12 7, 14 8, 16 9.05, 18 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10
Después se midió el perímetro de los discos usando el hilo cáñamo y posteriormente midiendo el hilo cáñamo con un flexómetro. Se obtuvieron los siguientes resultados: Disco Diámetro (Hilo cáñamo) Perímetro experimental (± .05 cm) 1 3.0 cm 9.8 cm 2 4.0 cm 13.3 cm 3 5.3 cm 17.0cm 4 6.2 cm 19.8 cm 5 7.1 cm 23.0 cm 6 8.3 cm 25.8 cm 7 9.0 cm 28.9 cm 8 10.0 cm 31.8 cm 9 10.9 cm 35.55 cm
Comparando ambas tablas y gráficas, podemos notar una diferencia muy marcada; nótese que en la primera tabla, la línea se asemeja mucho más a una recta. Esto se debe a que solo estamos haciendo cálculos con una variable (el diámetro, que fue medido con el flexómetro), mientras que el perímetro es un cálculo que deriva de esta variable. Por eso tenemos resultados más “cerrados” y la gráfica es más recta.
En el segundo caso, hay dos mediciones independientes por lo que la recta se deforma y en algunos casos, ni siquiera aplicando la incertidumbre se acerca al resultado teórico. Además, esta gráfica es más propensa a errores, ya que hubo dos mediciones y ambas con instrumentos poco precisos. 3.1, 9.7395552 4.1, 12.881347 2 5.1, 16.0231392 6.2, 19.479110 4 7.2, 22.620902 4 8.1, 25.448515 2 9.1, 28.590307 2 10.1, 31.732099 2 11, 34.559712 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10 12
Perímetro contra diámetro
teórico
3, 9.8 4, 13.3 5.3, 17 6.2, 19.8 7.1, 23 8.3, 25.8 9, 28.9 10, 31.8 10.9, 35.55 0 5 10 15 20 25 30 35 40 0 2 4 6 8 10 12Perímetro contra
diámetro experimental
III Conclusiones
¹ Pudimos comprobar una vez más la teoría de error sin embargo ahora de forma gráfica lo cual también nos hace ver que gracias a ello se facilita el ver bastantes datos de una forma fácil de comprender que viendo el cálculo de cada punto que nos interesaría ver, de esta forma vemos un panorama general y no solo de una, sino de
varias medidas.
² En la práctica pudimos observar la relación entre las variables que forman la gráfica y la importancia y facilidad de poder representar datos experimentales en gráficas, para facilitar el entendimiento de lo que queremos mostrar con los datos obtenidos de una forma visual (graficas) para hacer la explicación del comportamiento de lo que andamos analizando.
³ En esta práctica se pudo ver la importancia de graficar nuestros valores ya que nos da una nueva forma de comparación de los datos que se obtuvieron tanto de forma práctica como de forma teórica y así tabularlos y graficarlos y poder observar qué tan cerca estamos de nuestro valor esperado y ver la forma de lograr un ajuste a nuestros puntos experimentales.
⁴ Dada la practica Análisis Grafico I, se
concluye que existe un método muy efectivo de interpretación para nuestra medición, todo esto mediante una gráfica que generaremos a partir de nuestros datos , las gráficas son una manera muy eficaz de mostrar los resultados de nuestros experimentos como es el caso de nuestras mediciones, agrupando en distintas variables semejantes a lo que estamos midiendo , nos da la factibilidad de comprender aquellos datos que no podemos percibir en nuestra
experimentación a simple vista entre los cálculos, siendo así una manera completa para demostrar nuestros resultados.
⁵ A lo largo de la práctica realizada
pudimos comprobar cuán importantes son las gráficas y las tablas a la hora de realizar medidas y obtener tanto su incertidumbre como su error, ya que nos da un da un resultado gráfico y aún más aproximado para saber qué tan lejos estamos de nuestro
valor esperado.
⁶ Haciendo esta práctica nos percatamos
aún más que los errores están en todas las mediciones, y que las mediciones indirectas no están faltas de error. También pudimos observar que graficar trae muchas ventajas de análisis de datos, como facilidad u ahorro de cálculos y que graficar es algo intrínseco de la ciencia y la tecnología, una útil herramienta del ingeniero.
Bibliografía
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[2] Sepúlveda Soto, A., Los conceptos de la física – evolución histórica – (Editorial Universidad de Antioquía , Colombia, 2003).
[3] Christopher Deacon, "The importance of graphs in undergraduate physics,"Phys. Teach. 37- 270 (1999).
[4]S.Gil 2012 recuperado de
https://www.fisicarecreativa.com/exp_fisi ca/cap2_Analisis_grafico_v1.pdf
[5]Villafañe Gallego, J Fundamentos metodológicos de la teoría de la imagen Tesis Doctoral. (Editorial de Universidad Complutense de Madrid, 1981)