CAPÍTULO IV
DERIVACIÓN
4.1 LA DERIVADA COMO PENDIENTE DE UNA CURVA
La pendiente de una curva en un punto dado, es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
y Δx Q(x2,y2) Q1 Δy Q2 P(x1,y1) x La pendiente de la recta secante PQ viene dada por:
2 1 2 1 tan x y y y x x
Si el punto Q tiende hacia el punto P, la secante se hace cada vez más parecida a la tangente por tanto;
sec tan
lim m
m
P Q
Pero, cuando QP se tiene que Δx0 por tanto
tan 0 0 ( ) ( ) lim lim ' '( ) x x y f x x f x dy m y f x x x dx
Expresión que representa la derivada de la función f(x) y es la pendiente de la recta tangente a la curva en x, f(x) conocida también como la pendiente de la curva.
Ejemplo 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) = x 3 + 2 en el punto (1,3) Solución: 3 3 tan 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( 2) lim lim x x f x x f x x x x m x x 3 2 2 3 3 0 3 3 2 2 lim x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 0 0 (3 3 ) lim lim (3 3 ) 3 x x x x x x x x x x x x x
Por tanto la pendiente viene dada por; m tan = 3x² En el punto (1,3) será:
m tan = 3(1)² = 3
Ejemplo 2. Hallar la derivada de y x2
2
2
1
2
2
1
lim
2
2
2
2
lim
2
2
2
2
2
2
lim
0 0 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
dy
x x xEjemplo 3. Hallar dy/dx si:
x x y 2 2 2 0 ( ) lim x dy x x x x x x dx x 2 2 2 0 2 ( ) lim x x x x x x x x x x x x x x x x
2 0 2 lim x x x x x x x x x x x 0 1 (2 ) lim x x x x x x x x 0 1 1 lim 2 2 2 x x x x x x x x Ejemplo 4 Hallar x dx d sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx d x x x x cos ) 1 ( cos ) 0 ( sin sin cos ) 1 (cos sin lim sin cos ) 1 (cos sin lim sin sin cos cos sin lim sin ) sin( lim sin 0 0 0 0 x x dx d cos sin
4.2 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
Existen variaciones respecto al tiempo que expresan el cambio de una variable respecto a otra; tal es el caso del volumen de agua en un recipiente que recibe este líquido de un grifo, el volumen de una pelota que esta siendo inflada, la variación del espacio respecto al tiempo (velocidad), la variación de la velocidad respecto al tiempo, etc. Estas expresiones se conocen como razones de cambio.
Sea V = f(t) una función que varía con el tiempo, la razón de cambio de V (Volumen) respecto a t (tiempo) será:
( ) ( )
V f t t f t
t t
La razón de cambio instantánea de V respecto a t (por unidad de tiempo) será:
0 0
(
)
( )
lim
lim
t tdV
V
f t
t
f t
dt
t
t
Expresión que representa la derivada de la función (Volumen)V respecto al tiempo (t) y es la definición del Caudal
Ejemplo. Un proyectil es lanzado con una cierta velocidad inicial en m/seg y un ángulo de inclinación α de tal manera que la expresión que representa su recorrido es: [9]
y = - 0,005 x² + x
Encontrar la razón de cambio dy/dx cuando x = 20 ; x = 100 y x = 120 y 50 x 20 100 120 0 0 ( ) ( ) lim lim x x dy y f x x f x dx x x 2 2 0 0, 005( ) ( ) ( 0, 005 ) lim x dy x x x x x x dx x 2 2 2 0 0, 005 0, 01 0, 005 0, 005 lim x dy x x x x x x x x dx x 0 0 ( 0, 01 0, 005 1) lim lim ( 0, 01 0, 005 1) x x dy x x x x x dx x
[9] LARSON HOSTETLER, Cálculo y Geometría Analítica. Mc. Graw Hill 1987 Pag.111
dx
0, 01 1
dy
x
dx
Ecuación que representa la razón de cambio instantáneo de y respecto a x Si x = 20 se tiene:
0, 01(20) 1 0,8
dy m
dx seg
Este valor representa el desplazamiento de y por unidad de desplazamiento de x Si x = 100
0, 01(100) 1 0
dy m
dx seg
Lo que significa que cuando x = 100 no existe desplazamiento en el sentido de y
Si x = 120
0, 01(120) 1 0, 2
dy m
dx seg
El signo negativo expresa que la variación de y ha cambiado de sentido (hacia abajo) por unidad de desplazamiento en el sentido x.
4.3 ALGUNAS REGLAS DE DERIVACIÓN
Las siguientes constituyen reglas elementales de derivación
1) d c 0 dx 2) 1 n n d x n x dx 3) d c f x( ) c f x'( ) dx 4) d ( ( )f x g x( ) f x'( ) g x'( ) dx
Ejemplo 1. Demostrar que
d
x
nn x
n 1dx
Solución: 0 0 ( ) ( ) ( ) lim lim n n n x x dy f x x f x x x x x dx x x 1 2 2 0
(
1)
...
2
lim
n n n n n xn n
x
nx
x
x
x
x
x
1 2 1 1 0 ( 1) ... 2 lim n n n n x n n x nx x x x n x x Hallar la pendiente de la curva, la razón de cambio instantánea o la derivada de cada una de las siguientes funciones:
Ejemplo 2 2 5 3 1 1 4 3 2 3 4 100 2 1 ' 20 2 y x x x y x x x Ejemplo 3 x -x 10 + x 4 15 = y x 45 45 -x 3 30 + x 4 15 = y 1 + x 45 -) ) (3x ( + ) (x 3 = y 1/4 1/4 1/45 3 5 4 5 45 44 3 7 45 44 3 7 2 Ejemplo 5
4 3 3 3 4 x x x y
4 3 12 25 4 3 2 3 4 3 3 4 4 3 3 3 4x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
4 1 12 37 4 3 12 25 x x dx dy4.4 DERIVADAS DE ÓRDEN SUPERIOR
Se denominan así a las derivadas que se obtienen al derivar una función por segunda, tercera, ... enésima vez
' '( ) ( )
dy d
y f x f x
dx dx Primera derivada
Derivadas de orden superior son:
2 2 2 '' ''( ) 2 ( ) d y d y f x f x dx dx Segunda derivada 3 3 3 ''' '''( ) 3 ( ) d y d y f x f x dx dx Tercera derivada 4 4 4 ( ) 4 ( ) IV IV d y d y f x f x dx dx Cuarta Derivada ... ( ) ( ) n n n n n n d y d y f x f x dx dx Enésima derivada 4.5 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Si s = s(t) es la ecuación de la posición de un objeto en que se mueve a lo largo de una recta, la velocidad del objeto en el instante t es la razón de cambio de s respecto al tiempo y la aceleración es la razón de cambio de la velocidad respecto al tiempo, por tanto:
velocidad = v = s'(t) aceleración = a = v'(t) = s''(t) 4.6 DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD
La derivada de una función en el punto c puede escribirse como sigue: ( ) ( ) '( ) lim x c f x f c f c x c
Supuesto que el último límite exista, para lo cual se exige que los limites laterales existan y sean iguales. Si los límites laterales fuesen distintos, significaría que la función presenta en x =c un punto anguloso, que no
permite definir la derivada en x = c.
Si la función presenta un salto en la gráfica para x = c tampoco será posible encontrar límites laterales iguales, siendo otro caso de inexistencia de la derivada.
La existencia de tangentes verticales de la función también es otro indicador de la inexistencia de la derivada.
Por tanto toda función diferenciable (derivable), será siempre una función continua, pero no toda función continua es diferenciable ya que su gráfica puede presentar, puntos angulosos o tangentes verticales en los cuales no se puede derivar la función.
4.7 DERIVADA DE UN PRODUCTO
La derivada de un producto es igual a: La derivada de la primera función por la segunda sin derivar mas la primera función por la derivada de la segunda, es decir si: ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) (x g x f x g x f x g x f dx d Demostración x x g x x g x x f x f x x f x g x x g x x f x g x x f x g x f x x g x x f x x g x f x x g x x f x g x f dx d x x x )] ( ) ( )[ ( )] ( ) ( )[ ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( 0 0 0
donde
de
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
f
x
x
f
x
g
x
)]
(
)
(
[
)
(
)]
(
)
(
[
)
(
lim
0 lqqd x g x f x g x f x g x f dx d ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( 4.8 DERIVADA DE UN COCIENTE
La derivada de un cociente es igual a: La derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador por la derivada del denominador, todo sobre el denominador al cuadrado.
2 )) ( ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( x g x g x f x g x f x g x f dx d Demostración 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) x f x x f x d f x g x x g x dx g x x 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )] lim ( ) ( ) x x g x f x x f x g x f x g x f x g x x x g x g x x g x f x x f x f x x g x x g x x g x g x x
lqqd
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
d
donde
de
x
x
g
x
g
x
x
g
x
x
g
x
x
f
x
x
g
x
g
x
x 2 0))
(
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)[
(
)
(
)
(
x)
g(x)[f(x
lim
4.9 REGLA DE LA CADENASi y = f(u) es una función diferenciable de u y u = g(x) es una función diferenciable de x, y = f ( g(x) ) es una función diferenciable de x;
dy dy du dxdu dx
Ejemplo 1. Derivar
8 2 4 y x x Sea 8 7 2 ' 8 4 ' 8 1 y u y u u x x u x 7 2 7 8 (8 1) 8(4 ) (8 1) dy dy du u x x x x dxdu dx Ejemplo 2. Derivar la siguiente expresión:
Ejemplo 3. Derivar ] ) (x 2 5 + 2x -[12x ) x + x -x (4 3 1 = y x + x -x 4 = y 2 3 5 3 3 2 -3 3 5 2 2 2 3 x x 3 ) 3 + x ( 2 1 ) x 2 -x (3 -3 -x ) x 8 -x )(15 x 2 -x 2(3 = y 3 -x ) x 2 -x 3 ( = y 3 2 2 1 -3 2 4 5 3 3 4 4 5 3 2 4 5
Ejemplo 4. Derivar
3 4 2 5 7 y xx x x
3 5 1 3 5 4 6 2 2 2 3 3 11 11 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 ' 4 7 35 2 2 1 7 3 3 ' 4 28 35 35 2 2 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x 3 11 2 2 2 5 63 ' 6 2 2 y x x x Ejemplo 5. Derivar 3 2 2 ( ) x f x x x x
1 3 2 2 2 2 3 2 1 ( 2) ( ) 2(3 2 1) 2 ( ) x x x x x x x f x x x x Ejemplo 6. Derivar 2 ( 3) 2 1 x x y x 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 ( 3) ( 2) 1 ( 3) 2 ( 1) 2 2 1 x x x x x x x x y x Ejemplo 7. Hallar la derivada de:5 8 2(3 5) ( 2) 3 x x y x x
2 3 ) 2 8 ( 1 } 2 / 1 ) 3 ( 2 / 1 ) 2 8 ( 3 7 8 ){ 5 5 3 ( 2 3 ) 2 8 )}( 4 15 ( 2 ) 5 5 3 ( 2 / 1 ) 2 ( 2 / 1 { ' x x x x x x x x x x x x x x yEjemplo 8. Derivar 3 6 7 7 5 x x y x x
2 6 1 3 6 7 3 5 8 7 6 7 7 2 1 ( ) (6 7 ) 5 1 ( 5 ) (1 5) 3 7 2 ' 2 7 5 x x x x x x x x x x x y x x Ejemplo 9. Derivar 2 1 8 2 2 3 4 2 1 7 2 8 2 3 4 ( ) ( 2 8 )( )( 2 ) 1 '( ) (2 8 ) (4 8)( )( 2 ) 8 f x x x x x x x f x x x x x x x x 1 1 8 2 32
3 4( 2
8 )( 2
( )
)( 2
)
3
x
x
x
x
x
x
1 1 8 2 32
3 4( 2
8 )( 2
( )
)( 2
)
3
x
x
x
x
x
x
Ejemplo 10 Hallar la enésima derivada deb ax x f 1 ) ( 4 3 3 2 2 ( ) 6 ) ( ' ' ' ; ) ( 2 ) ( ' ' ; ) ( ) ( ' b ax a x f b ax a x f b ax a x f
Podemos observar que las derivadas sucesivas responden a una ley de formación que resume la enésima derivada de la siguiente manera:
1 ) ( ! ) 1 ( ) ( n n n n b ax a n x f
Ejemplo 11 Encontrar la derivada quinta de
x x x f 1 1 ) ( 2 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) ( ' x x x x x x x x f 5 4 3 ) 1 ( 48 ) ( ; ) 1 ( 12 ) ( ' ' ' ; ) 1 ( 4 ) ( ' ' x x f x x f x x f IV
6 ) 1 ( 288 ) ( x x fV
NOTA. Resuelva los 10 primeros problemas de la práctica No 3, páginas 248 y 249
4.10 DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO
Sea y = │u│, donde u es una función diferenciable de x, entonces
d u du
u
dx u dx
donde u(x) 0
Ejemplo 1. Demostrar la fórmula de derivación del valor absoluto.
y = │u│ Sea │u│ = u ² 2 -1 2 1 du = (u ) 2u = 2 dx 2 u u du u du = = dx dx u Ejemplo 2. Derivar y = │ 7 - x 3 │ Entonces 2 2 u 1 2 d d d = u = (u ) = dx dx dx ) x (-x -x -= y 2 3 3 3 7 7
f'(x) = ( 1 ) ( - 3 x2 ) = - 3x2 para 7 - x 3 > 0 f'(x) = ( - 1 ) ( - 3 x2 ) = 3x2 para 7 - x 3 < 0 Ejemplo 3 Derivar y = │ x 4 - x │ Entonces f '(x) = ( 1 ) ( 4 x 3 - 1 ) = 4 x3 - 1 para x 4 - x > 0 f '(x) = ( - 1 ) ( 4 x 3 - 1 ) = - 4 x3 + 1 para x 4 - x < 0 4.11 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Cuando una de las dos variables se da explícitamente en función de la otra se trata de una función explícita como las funciones que tratamos hasta ahora, por ejemplo
y = 5x² + x + 10 t = 3 t - 5 t²
Cuando una ecuación no tiene una de las variables despejada se dice que esta dada en forma implícita, por ejemplo.
x² + y² = 25 2 x² - 3 x y + y² =10
Para derivar este tipo de ecuaciones se procede a derivar en forma separada cada uno de los miembros de la ecuación respetando la regla de la cadena y considerando que una de las variables es función de la otra.
Ejemplo 1. Si 2 x ² - x y + 3 y 3 = 20 Hallar a) dy/dx b) dx/dy a)
1)
-x
4
(
x
-x
x
-x
=
y
3 4 4
x
-y
9
4x
-y
=
dx
dy
0
=
x)
-y
(9
dx
dy
+
y
-4x
0
=
dx
dy
y
9
+
)
dx
dy
x
+
y
(1
-4x
2 2 2b)
Ejemplo 2. Si
x ² y + 2 y ² x - x 3 = 0 Hallar a) dy/dx b) dx/dy
a)
b)
Ejemplo 3. Dada la ecuación
x 4 - y 5 = 10 √ x y Hallar dy/dx
y
-4x
y
9
-x
=
dy
dx
0
=
y
9
+
x
-y)
-(4x
dy
dx
0
=
y
9
+
1)
x
+
y
dy
dx
(
-dy
dx
4x
2 2 24xy
+
x
2xy
-y
2
-x
3
=
dx
dy
2xy
-y
2
-x
3
=
4xy)
+
x
(
dx
dy
0
=
x
3
-1
y
2
+
x
dx
dy
4y
+
dx
dy
x
+
2xy
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx dx 2x y + 1 + 4xy + 2x y - 3 x = 0 dy dy dy 2 2 2 dx (2xy + 2y - 3x ) = -x - 4xy dy 2 2 2 dx - - 4xyx = dy 2xy + 2y - 3x) dx dy x + (y ) (xy 2 1 10 = dx dy y 5 -x 4 2 1 -4 3 xy ) dx dy x + (y 5 = dx dy y 5 -x 4 3 4
5x
+
xy
y
5
5y
-x
4
xy
=
dx
dy
5x)
+
xy
y
(5
dx
dy
=
5y
-x
4
xy
dx
dy
5x
+
5y
=
dx
dy
xy
y
5
-x
4
xy
4 3 4 3 4 3 Ejemplo 4 Hallar dy/dx si 3 2 3 2tan
cos
sin
x
y
x
y
x
2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 sec tan 3 1 ) sin ( cos 2 sin cos cos x dx dy y y x y x dx dy y y x y x
3 2 2
2 2 23tan 2 3 1 cos cos 3 sec 2 sin cos sin 2 x y y y x y x x y x y dx dy
3 2 2
2 3 2 2 2 sec 2 sin cos sin 2 tan 3 1 cos cos 3 y x y y y x y x y x x dx dy Ejemplo 5Probar que las gráficas de las ecuaciones
x y y x 4 6 2 2 2 2 son ortogonales. Representar las gráficas de las ecuaciones y hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal en cada uno de los puntos de intersección.
El punto de intersección de las curvas puede hallarse resolviendo ambas ecuaciones como un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
0 3 2 4 2 6 4 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x y x y y x
Para x = 1 se tiene y = ±2. (1,2) ;(1,-2) constituyen las intersecciones de las gráficas, el punto x = -3 no tiene soluciones reales en las ecuaciones, por tanto, es descartado.
Hallando las derivadas de cada una de las ecuaciones, obtenemos las ecuaciones que nos permiten hallar las pendientes de las curvas.
y dx dy dx dy y x y y x dx dy dx dy y x y x 2 4 2 4 2 0 2 4 6 2 2 2 2 En el punto (1,2) se tiene: 1 2 2 ; 1 2 1 2 dx dy dx dy En el punto (1,-2) se tiene: 1 2 2 ; 1 2 ) 1 ( 2 dx dy dx dy
En ambos puntos de corte de las gráficas se tiene que se satisface la condición de perpendicularidad ente las pendientes, esto es,
2 1
1
m
m probando de esta manera que las curvas son ortogonales.
Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la elipse 2x2 y2 6 en el punto (1,2) serán: Recta tangente 0 3 1 2 1 1 2 1 1 y x x y x y m x x y y 3 ; 1 0 ) 3 )( 1 ( x x x x
Recta normal 0 1 1 2 1 1 2 1 1 y x x y x y m x x y y
Estas ecuaciones son a la vez la recta normal y la recta tangente a la parábola
x
y2 4 en (1,2)
Las ecuaciones de la recta tangente y normal a la elipse 2x2 y2 6 en el punto (1,-2) serán: Recta tangente 0 1 1 2 1 1 2 1 1 y x x y x y m x x y y Recta normal 0 3 1 2 1 1 2 1 1 y x x y x y m x x y y
Estas ecuaciones son a la vez la recta normal y la recta tangente a la parábola
x y2 4 (1,-2) 0 3 y x 0 3 y x 0 1 y x 0 1 y x x y2 4 6 2x2 y2
4.12 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Función exponencial es aquella en la cual la variable aparece en el exponente, en su presentación más elemental tiene la forma, ax de la cual se deriva la forma ex. Cuando se tienen que derivar funciones en las cuales la variable aparece en el exponente se debe logaritmizar ambos miembros de la ecuación y proceder a derivar implícitamente, luego despejar la derivada buscada.
Ejemplo 1 Hallar dy/dx si y = xx Logaritmizando tenemos: ln y = x ln x Derivando implícitamente: x x x dx dy x x x dx dy y ) 1 (ln 1 ln 1 1
Ejemplo 2 Hallar dy/dx si
ln ln x x x y x y x x x x x x x x x x x x dx dy x x x x x dx dy y ) )}( 1 (ln {ln ) 1 (ln 1 ln 1 Ejemplo 3 Hallar dy/dx si
ln ln x x x x x y x x y x x
1 1 ln 1 xln x dy x x x x y dx x
1 ln 1 xln x xx dy x x x x x dx 2 1 ln ln 1 x xx dy x x x x x x dx Ejemplo 4 Derivar
x 2 y x lny2lnxx 2 lnx x
1 1 2ln 2 2 ln 1 dy x x x y dx x
2
2 2 ln 1 x 2ln 2 x dy x x x x dx Ejemplo 5 Derivar 5 3 2 sin 5 5 3 2 {tan (cos )}ln sin 5 ln{tan (cos )}
x y x y x x
1
1 1 5 3 2cos ln tan cos .. 2
2
4 3 2 2 3 2 2 2 2
5 tan (cos ) sec (cos )3 cos ( sin )2 ... sin 5 5 3 2 (cos ) sin 5 tan dy x x y dx x x x x x x x x
5 3 2ln tan cos cos
... 1
2
2(sin 5)
4 3 2 2 3 2 2 2 2
5 tan cos sec cos 3 cos sin 2
... sin 5 5 3 2 (cos ) sin 5 5 3 2 tan cos tan x x dy x dx x x x x x x x x x
Ejemplo 6 ) 2 ( sec 2 3 4 3 4
arctan
8
cos
xx
x
x
x
y
4 3 4 3 2 arctan 8 cos ln ) 2 ( sec ln x x x x x y
) 2 ( sec 2 3 4 2 2 2 3 4 2 2 3 3 3 2 3 4 3 4 2 3 4 3 3 3 3 3 4 arctan 8 cos arctan 2 1 1 ) 8 (cos ... ... ) )(arctan 8 3 ) sin ( cos 4 ( arctan 8 cos 1 ) 2 ( sec arctan 8 cos ln ) 2 tan( ) 2 sec( ) 2 ( sec 4 ' x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y Problemas de aplicaciónEjemplo 7 Hallar la ecuación de la recta normal a y2x24x2 que sea perpendicular a 2xy50
Igualando las ecuaciones de las pendientes obtenemos:
2 1 4 4 2 2 4 4x x
La pendiente de la recta tangente a la curva será:
4 4 ' x y
Que es igual a la pendiente de la recta
2 5 2 0 5 2 m x y y x 2 7 , 2 1 2 4 2 2 x x y
Reemplazando en la ecuación de la parábola: 2 7 2 2 2 1 2 2 1 4 2 1 2 2 y
La ecuación de la recta buscada será la que pasa por el punto 2 7 , 2 1 y
tiene, por la relación de perpendicularidad, la pendiente
2 1 1 1 m m 4 1 2 7 2 2 1 2 1 2 7 ; 1 1 1 x y x y m x x y y 0 15 8 4x y
NOTA. Resuelva los ejercicios 11 al 25 de la práctica No 3, páginas 249 y 250
4.13 LA DERIVADA CALCULADA CON DERIVE
Derive nos ofrece la posibilidad de calcular diferentes tipos de derivadas con bastante facilidad, el formato es: dif(u,x). Si se desea hallar
) cos( 3 8 ( x5 x4 x dx d ) se debe introducir en la barra de entrada de expresiones
dif(8x^5-3x^4+cos(x),x)
Al presionar el ícono, Introducir y simplificar la ventana de álgebra mostrará:
))
cos(
3
8
(
x
5x
4x
dx
d
40 x4-12 x3- sinx 4.13.1 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORDerive permite el cálculo de derivadas de orden superior, el formato utilizado es el siguiente: dif(u,x,n) donde n es el orden de la derivada que se desea. Para obtener la cuarta derivada de: (8x53x4cos(x))
Introduzca en la barra de entrada de expresiones dif(8x^5-3x^4+cos(x),x,4)
)) cos( 3 8 ( 5 4 4 x x x dx d cos(x) + 960 x –72 4.13.2 DERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO
Para hallar este tipo de derivadas utililice dif(abs(u),x), por ejemplo si deseamos derivar
y
x
2
x
introduzca en la barra de entrada de expresiones; dif(abs(x^2-x),x) luego haga click en y la ventana de álgebra mostrará) ( 2 x x abs dx d (2 x – 1) sign(x(x – 1)) 4.13.3 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
El formato es imp_dif(u, x, y, n) derivada implícita de grado n de y respecto de x. n debe ser un entero positivo,. En muchos casos el resultado depende de x y de y, más que de x o de y por separado. Esto es aceptable para algunas aplicaciones pero, si no es así, se puede intentar usar la ecuación original u=0 para eliminar y ó x de la derivada. También se puede sustituir un valor particular de x o de y en u, para luego despejar para las otras variables (exacta o numéricamente).
Ejemplo.- Hallar a) dy/dx , b) dx/dy si x2 y3 + x y2 =10 a) IMP_DIF(x2 y3 + x y2 – 10, x, y) ) 2 3 ( ) 1 2 ( xy x xy y b) IMP_DIF(x2 y3 + x y2 – 10, y, x) ) 1 2 ( ) 2 3 ( xy y xy x
Las derivadas de segundo orden de funciones implícitas se hallan del siguiente modo: IMP_DIF(x2 y3 + x y2 – 10, x, y,2) 3 2 2 2 3 3 ) 2 3 ( ) 3 15 26 15 ( 2 xy x xy y x y x y
4.14 DERIVADAS DIVERSAS CON DERIVE
#1 (3sin(x)2cos(x))
dx d
#2 6 sin (x) cos (x)2 – 3 sin (x)3 #3 (2 cos( 2)) x x dx d #4 2 cos (x2) – 4 x2 sin (x2) #5 sin(x)3 dx d #6 3 sin (x2) cos (x) #7 2 2 2 2 ) cos( ) sin( 6 x x x dx d #8 x x x x x x x x 2 3 3 2 2 2 2 2 2 ) sin( 12 ) cos( ) sin( 12 ) cos( ) sin( 24 #9 xx dx d #10 xx (ln (x) + 1) #11 xxx dx d #12
x
xxx
x1(
x
ln(
x
)
2
x
ln(
x
)
1
)
#13 3 ) tan( ) ln( 2 x x x x dx d #14 )) 1 ( ln( ) cos( ) sin( ) 1 ( ) cos( ) sin( ) 2 1 ( )) 1 ( ln( ) 1 ( ( ))) 1 ( ln( ) ln(cot( 3 ))) 1 ( ln( ) (cot( 2 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xDERIVADA DEL VALOR ABSOLUTO
#15 x5
dx d
#16 SIGN ( x – 5 ) #17 x x dx d 2 #18 (2 x – 1) SIGN ( x ( x – 1 )) DERIVADA DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITAS #19 IMP_DIF ( x2 y3 , x ) #20 x y 3 2
SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO CON #21 IMP_DIF ( x2 y3 , y , x ) #22
x
y
3
2
#23 IMP_DIF ( x2 y3 – x y2 , x ) #24 ) 2 3 ( ) 2 1 ( xy x xy y #25 IMP_DIF ( x2 y3 – x y2 , x , y) #26 ) 2 3 ( ) 2 1 ( xy x xy y #27 IMP_DIF ( x2 y3 – x y2 , y , x) #28 ) 2 1 ( ) 2 3 ( xy y xy x LAS DERIVADAS DE LAS FUNCIONES IMPLÍCITA DE ORDEN SUPERIOR SE PUEDEN HALLAR DE LA SIGUIENTE MANERA #29 IMP_DIF ( x2 y3 , y , x , 2 ) #30 2
9
10
x
y
#31 IMP_DIF ( x2 y3 – x y2 , x , y , 2) #32 2 3 2 2 3 3 ) 2 3 ( 3 15 26 15 ( 2 xy x xy y x y x y #33 IMP_DIF ( x2 y3 – x , x , y , 2) #34 4 5 3 6 2 9 ) 1 2 5 ( 2 y x xy y x FÓRMULAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Sean u, v funciones de x ; c una constante 0 ) (c dx d ' cu cu dx d x x e e dx d x x d e e dx ln 1u' u u dx d a u u u dx d a ln ' log
'
'
)
(
u
v
u
v
dx
d
'
'
v
uv
u
uv
dx
d
dx
du
du
dy
y
dx
d
dx du u u u dx d u nu 1u' dx d n n 2 ' ' v uv v u v u dx d '
cos
sin
u
u
u
dx
d
cos
u
sin
u
u
'
dx
d
' sec tanu 2u u dx d secu secutanu u'
dx d ' cot csc cscu u u u dx d ' csc cotu 2u u dx d ' cosh sinhu u u dx d ' sinh coshu u u dx d ' sec tanhu h2u u dx d ' csc cothu h2u u dx d
