Tarea 1. Vectores, Matrices y Determinantes

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(1)

ALGEBRA LINEAL ALGEBRA LINEAL CÓDIGO: 100408A_474 CÓDIGO: 100408A_474

UNIDAD 1 TAREA 1- VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

UNIDAD 1 TAREA 1- VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

Presentado al tutor (a): Presentado al tutor (a): VIVIAN YANETH ALVAREZ VIVIAN YANETH ALVAREZ

Entregado por el estudiante: Entregado por el estudiante: LORENA PAOLA LLANOS LORENA PAOLA LLANOS MAIRA ALEJANDRA NUNEZ MAIRA ALEJANDRA NUNEZ YUSELLIS MARIA BANQUET YUSELLIS MARIA BANQUET

ALFONSO JUNIOR PEREZ ALFONSO JUNIOR PEREZ JUAN CARLOS VALENCIA JUAN CARLOS VALENCIA

Grupo: 204 Grupo: 204

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

Octubre 17 2018 Octubre 17 2018 BARRANQUILLA BARRANQUILLA

(2)

INTRODUCCIÓN INTRODUCCIÓN

Durante el desarrollo del presente trabajo desarrollaremos los conceptos elementales Durante el desarrollo del presente trabajo desarrollaremos los conceptos elementales sobre:

sobre:

• VectoresVectores: Noción de distancia, definición algebraica de vector, operaciones con: Noción de distancia, definición algebraica de vector, operaciones con

vectores, vectores base y producto vectorial. vectores, vectores base y producto vectorial.

• MatricesMatrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices,: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices,

operaciones sobre matrices y matrices elementales. operaciones sobre matrices y matrices elementales.

• Determinantes: Propiedades de los determinantes, inversas, área de unDeterminantes: Propiedades de los determinantes, inversas, área de un

 paralelogramo, volumen de un paralelogramo.  paralelogramo, volumen de un paralelogramo.

Aplicando los conocimientos adquiridos en la solución de problemas básicos. Aplicando los conocimientos adquiridos en la solución de problemas básicos. También veremos la importancia del Algebra Lineal.

(3)

OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

• Comprender los conceptos matemáticos elementales sobre vectores, matrices y

determinantes mediante el estudio de fuentes documentales y los aplica en la solución de  problemas básicos.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

• Vectores en R2 Y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector, algunas

operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial.

• Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices,

operaciones sobre matrices, matrices elementales.

• Determinantes: Algunas propiedades de los determinantes, inversas, área de un

(4)

Ejercicio 1: mapas conceptuales.

Luego de haber realizado lectura de los contenidos indicados, presentar un mapa conceptual que ilustre uno de los siguientes contenidos de la unidad 1, utilizando para su construcción la herramienta Cmaptools. En el foro informar sobre el tema elegido, para que no coincida con la elección de otro compañero:

a. Vectores en R2 y R3: Noción de distancia, definición algebraica de vector. Elaborado por: MAIRA ALEJANDRA NUNEZ.

 b. Vectores en R2 y R3: algunas operaciones con vectores, vectores base, producto vectorial. Elaborado por: JUAN CARLOS VALENCIA.

(5)
(6)

c. Matrices: Operaciones con matrices, suma de matrices, multiplicación de matrices. Elaborado por: ALFONSO JUNIOR PEREZ

(7)

d. Matrices: operaciones sobre matrices, matrices elementales. Elaborado por: YUSELLIS MARIA BANQUET.

(8)

e. Determinantes: Determinantes 3x3, algunas propiedades de los determinantes, inversas. Elaborado por: LORENA PAOLA LLANOS

Ejercicio 2: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 2

Desarrolla los siguientes ítems luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a vectores y operaciones con vectores en R2 y R3. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

(9)

a. Hallar módulo, dirección, y sentido del siguiente vector:

Fig 1. Representación gráfica de un vector.

• Modulo:

| |= 12

9

| |=√ 14481

| |=√ 225

| |=

• Dirección:

tan= 912

tan=0.75

= 

−

0.75

=.°

Sentido: NorEste

 b. Dados los siguientes vectores en forma polar

||=2 ; =120°

=2∗ 120°

=2∗ 120° 

=2∗ 225°

=2∗0.5

=2∗0.7071

(10)

||=3 ; =60°

=3∗ 60° 

=3∗ 60°

=3∗0.5

=3∗0.866

=1.5

=2.598

=.,.

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

 

 =1.5,2.598 1,1.732

 =1.51,2.5981.732

 =.,.

||= 2.5

0.866

||=√ 6.250.7499

||=√ 6.999

||=.

tan=0.866

2.5

tan=0.3464

= 

−

0.3464

=.°

5̅2 

5 2 =51.5 ,2.598 21 ,1.732

5 2 =7.5 ,12.99 2 ,3.464

5 2 =7.52 ,12.993.464

  =. ,.

(11)

|5̅2 |= 9.5

9.526

|5̅2 |=√ 90.2590.7446

|5̅2 |=√ 180.9946

| |=.

tan=9.526

9.5

tan=1.0027

= 

−

1.0027

=.°

c. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:



= 2i + 9j y



= -6i–  4j

 = ∗̅

||∗|̅|

||= 2

9

|̅|= 6

4

||=√ 481

|̅|=√ 3616

||=√ 85

|̅|=√ 52

||=9.219

|̅|=7.211

∗=2 ,9∗6∗4

∗=2∗69∗4

∗=1236

∗=48

 = 48

9.219∗7.211

 = 48

66.47

 =0.722

=

−

0.722

(12)

=.°

d. Encuentre la distancia entre los puntos:

• (3,-4, 7) ; (3,-4,9)

||= 











||= 33

44

97

||= 0

0

2

||=√ 4

||=

e. Encuentre el producto cruz u x v y el producto escalar.

• u = -7i + 9j- 8k; v = 9i + 3j -8k Producto Cruz

     

7 9 8

9 3 8=9 8

3 87 8

9 87 9

9 3

     

7 9 8

9 3 8=72245672 2181

     

7 9 8

9 3 8=48128 102

  =

Producto Escalar

∙ =7,98∗ 9,3,8

∙ =7∗9 9∗38∗8

∙ =632764

 ∙ =

Ejercicio 3: Resolución de problemas básicos sobre vectores en R2 y R3

Descripción del ejercicio 3

(13)

Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.26 m E, y 5.94 m en una dirección de 64° NE. Elija el eje x apuntando al este y el eje y apuntando hacia el norte, y halle

(a) Las componentes de cada desplazamiento

   ̅=4.13,=225°

 

=4.13∗ 225°  

=4.13∗ 225°

 

=4.13∗0.7071  

=4.13∗0.7071    ̅=2.9203,2.9203

 

=2.9203

 

=2.9203

   ̅=2.92032.9203

=5.26,=0°

=5.26∗ 0° 

=5.26∗ 0°

=5.26∗1

=5.26∗0

=5.26,0

=5.26

=0

=5.260

m

  ̅=5.94,=26°

=5.94∗ 26° 

=5.94∗ 26°

=5.94∗0.8987 

=5.94∗0.4383   ̅=5.3382,2.6035

=5.3382

=2.6035

  ̅=5.3382 2.6035

(b) Las componentes del desplazamiento resultante

   ̅= 2.9203  2.9203

)m

= 5.2600

+

0

)m

  ̅= 5.3382

+

2.6035

)m

= 7.6779  0.3168

)m (c) La magnitud y dirección del desplazamiento resultante, y

||= 



||=√ 58.95010.1003

(14)

= 

= 0.0412

=0.3168

7.6779

= 

−

0.0412 = 2.3592°

(d) El desplazamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque.

El desplazamiento requerido es de 7.6844m en dirección 90-2.3592°= 87.64° NorOeste

Ejercicio 4: Resolución de problemas básicos sobre matrices y determinantes.

Desarrolla los siguientes ejercicios luego de leer detenidamente los conceptos de la unidad 1, referentes a matrices, operaciones con matrices y determinantes. Presentar la solución con editor de ecuaciones.

Descripción del ejercicio 4

a. Exprese la matriz A como una matriz triangular superior haciendo uso únicamente de operaciones elementales:

A=

(2 1 4

1 3 5

(15)

Multiplicamos la fila1 por ½ y se resta a

la fila2

2 = 2 1/2∗1

2 1 4

0 5/2 3

5 2 7

Multiplicamos la

fila1 por 5/2 y se resta a

la fila3

3= 35/2∗1

2 1 4

0 5/2 3

0 9/2 3

Multiplicamos la

fila2 por 9/5 y se suma a

la fila3

3 = 39/5∗2

2 1 4

0 5/2 3

0 0 12/5

Compruebe sus respuestas en Geogebra.

 b. Calcule el determinante de las siguientes matrices a través de ley de Sarrus

A= B= C=

 =2 10

0 10

0 0 0 0

0 5 7 0

4 1

0 6

calcular un determinante deLa ley de Sarrus sirve para 3×3 pero no se puede aplicar para determinantes de 4×4.

Para calcular el determinante 4x4 utilizamos Laplace por la cuarta fila

61

+

[

2 10

0 5

0 10

2 10

0 5

(-2*-5*0)+(0*-10*7)+(0*- 10*4)- (7*-5*0)+(4*-10*-2)+(0*-10*0) =(0+0+0)-(0+80+0) =0-80 =-80

61

80

6*-80= -480

=1 0 3

0 1 4

2 1 0

det A)= -480

(16)

=

1 0 3

0 1 4

2 1 0

1 0 3

0 1 4

(1*1*0)+(0*1*3)+(2*0*4) -(3*1*2)+(4*1*1)+(0*0*0) (0+0+0)-(6+4+0)= 010= -10

= 7 9 5

8 8 10

9 3 1

=

7 9 5

9 3 1

8 8 10

7 9 5

9 3 1

(7*3*10)+(9*-8*-5)+(- 8*9*1)- (-5*3*-8)+(1*-8*7)+(10*9*9) (210+360- 72)-(120-56+810)= 498874= -376

Y realice las siguientes operaciones si es posible: a. B*C

∗=1 0 3

0 1 4

2 1 0

 *

 7 9 5

9 3 1

8 8 10

Multiplicación Matrices 3x3

∗=11∗1112∗2113∗31 11∗1212∗2213∗32 11∗1312∗2313∗33

21∗1122∗2123∗31 21∗1222∗2223∗32 21∗1322∗2323∗33

31∗1132∗2133∗31 31∗1232∗2233∗32 31∗1332∗2333∗33

∗=7024 9024 5030

0932 0332 0140

1490 1830 1010

∗=17 15 25

23 29 41

23 21 9

det B)=-10 det C)=-376

(17)

 b. DET(C)*DET(A)*B

∗ ∗=376∗480∗1 0 3

0 1 4

2 1 0

∗ ∗= 180480∗1 0 3

0 1 4

2 1 0

∗ ∗= 180480 0 541440

360960 180480 0 

0 180480 721920

c. 3 * A

3∗=3∗2 10

0 10

0 0 0 0

0 5 7 0

4 1

0 6

3∗=3∗2 3∗10

3∗0 3∗10

3∗0 3∗0 3∗0 3∗0

3∗0 3∗5 3∗7 3∗0

3∗4 3∗1

3∗0 3∗6

3∗=6 30

0 30

0 0 0 0

0 15 21 0

12 3

0 18

(18)

Ejercicio 5: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 5

Tomando como referencia los temas e ítems del ejercicio 4, resuelve el siguiente problema: Un hipermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene 40 g de queso manchego, 160 g de roquefort y 80 g de camembert; la bandeja B contiene 120 g de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C, contiene 150 g de queso manchego, 80 g de roquefort y 80 g de camembert. Si se quiere sacar a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 de B y 100 de C, obtén matricialmente la cantidad que necesitarán, en kilogramos de cada una de las tres clases de quesos.

Tipo A Tipo B Tipo C Cantidad de bandejas

Manchego 40 120 150 A= 50

(19)

Camembert 80 120 80 C= 100

=40 120 150

160 120 80

80 120 80 =

5080100

∗ ∗ 11000=40∗50120∗80150∗100

160∗50120∗8080∗100

80∗50120∗8080∗100∗

11000

∗∗



=2000960015000

800096008000

400096008000∗



kg

∗∗



=26600

25600

21600∗



kg

∗∗ 11000=26.625.621.6

Queso Cant. Requerida Manchego 26.6kg Roquefort 25.6kg Camembert 21.6kg

(20)

Ejercicio 6: Resolución de problemas básicos sobre matrices Descripción del ejercicio 6

Tres personas, A, B, C, quieren comprar las siguientes cantidades de fruta: A: 2 kg de peras, 1 kg de manzanas y 6 kg de naranjas.

B: 2 kg de peras, 2 kg de manzanas y 4 kg de naranjas. C: 1 kg de peras, 2 kg de manzanas y 3 kg de naranjas. En el pueblo en el que viven hay dos fruterías F1 y F2.

En F1, las peras cuestan 1.5 euros/ kg, las manzanas 1 euro/ kg, y las naranjas 2 euros/kg. En F2, las peras cuestan 1.8 euros/kg, las manzanas 0,8 euros/kg, y las naranjas 2 euros / kg.

Pera Manzana Naranja F1 F2

A 2 1 6 1,5 1,8

(21)

C 1 2 3 2 2

• Hallar la inversa de la matriz donde se representó la cantidad de fruta (peras, manzanas y

naranjas) que quiere comprar cada persona (A, B, C)

o Por Gauss Jordán

=2 1 6

2 2 4

1 2 3

(2 1 6

2 2 4

1 2 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1)

Multiplicamos la fila1 por 1/2

1= 1∗1/2

(1 1/2 3

2 2 4

1 2 3

1/2 0 0

0 1 0

0 0 1)

Multiplicamos la fila1 por 2 y se resta fila2

2= 221

(1 1/2 3

0 1 2

1 2 3 

1/2 0 0

 1 1 0

0 0 1)

Restamos la fila1 a fila3

3=31

(1 1/2 3

0 1 2

0 3/2 0 

1/2 0 0

1 1 0

1/2 0 1)

Multiplicamos la fila2 por ½ y lo restamos en fila1

1= 11/22

(1 0 4

0 1 2

0 3/2 0 

1/2 0 1)

1 1 0

1 1/2 0

Multiplicamos la fila2 por 3/2 y lo restamos en fila3

3=33/22

(1 0 4

0 1  2

0 0 3 

1 1/2 0

1 1 0

1 3/2 1)

Multiplicamos la fila3 por 1/3

3=3∗1/3

(1 0 4

0 1  2

0 0 1 

1 1/2 0

1 1 0

1/3 1/2 1/3)

Multiplicamos la fila3 por 4 y restamos a la fila1

1=143

(1 0 0

0 1  2

0 0 1 

1/3 3/2 4/3

1 1 0

1/3 1/2 1/3 )

(22)

Multiplicamos la fila3 por 2 y sumamos a la fila2

2=223

(1 0 0

0 1 0

0 0 1

1/3 3/2 4/3

1/3 0 2/3

1/3 1/2 1/3 )

o Luego por determinantes utilizando la fórmula

 

−

=



∗

=2 1 6

2 2 4

1 2 3

=

[

2 1 6

2 2 4

1 2 3

2 1 6

2 2 4

(2*2*3)+(2*2*6)+(1*1*4) -(6*2*1)+(4*2*2)+(3*1*2) (12+24+4)-(12+16+6)= 40-34= 6

=2 1 6

2 2 4

1 2 3

2∗34∗2 2∗34∗1 2∗22∗1

1∗36∗2 2∗36∗1 2∗21∗1

1∗46∗2 2∗46∗2 2∗22∗1 

 68 64 42

312 66 41

412 812 42 

2 2 2

8 4 2  

9 0 3

2 9 8

2 0 4

2 3 2  → =

2 9 8

2 0 4

2 3 2 

−

= 1∗

−

=16∗2 9 8

2 0 4

2 3 2 

det F)=6

(23)

−

=2∗1/6 9∗1/6 8∗1/6

2∗1/6 0∗1/6 4∗1/6

2∗1/6 3∗1/6 2∗1/6  → 

−

=0.33 1.5 1.33

0.33 0 0.67

0.33 0.5 0.33 

• Compruebe todas las respuestas en Geogebra

Descripción del ejercicio 7

El grupo debe preparar una presentación en PREZI, en el cual deben definir lo siguiente: a) Usos del álgebra lineal en la vida cotidiana

 b) Cómo influye el álgebra lineal en el programa de estudio escogido (aplicación) c) Cada integrante del grupo aporta en el foro un uso del álgebra lineal en la vida diaria y la influencia de esta ciencia en el programa de estudio escogido, no deben repetir información que su compañero ya haya aportado en el foro.

(24)

CONCLUSIONES

Algebra lineal brinda formas de pensar que se pueden aplicar en nuestras actividades, al aplicar los conceptos en nuestros problemas, nos obliga a buscar relaciones para llegar a una solución.

El Algebra Lineal nos permite desarrollar capacidades mentales que podemos llevar a otras situaciones, estos conocimientos debemos tenerlos siempre presente en nuestra formación profesional.

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Este Objeto Virtual de Aprendizaje, titulado Vectores en R2, tiene como objetivo, orientar al estudiante en la conceptualización de los temas de vectores, identificando sus  principales características. El OVA,igualmente, servirá como documento de consulta para realizar una de las actividades propuestas en la Guía de actividades de la Tarea 1- Vectores, matrices y determinantes.

Alvarez Altamiranda, V. (2018). Vectores en R2. [Página Web]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/19256

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