FRACCIONES PARCIALES Introducción a las fracciones parciales
Sabemos que por adición algebraica, la siguiente operación de suma de fracciones da el resultado indicado.
2 5 4 2 2 6 3 1 ) 1 )( 2 ( ) 2 ( 3 ) 1 ( 1 1 3 2 1 2 2 − − − = − − + − + + = + − − + + = + + − x x x x x x x x x x x x x x
El proceso inverso de moverse desde
2 5 4 2 − − − x x x hacia 1 3 2 1 + + − x x es
conocido como solución en fracciones parciales.
Para resolver una expresión algebraica en fracciones parciales debe tenerse en cuenta lo siguiente.
(i) el denominador debe poder factorizarse. En el ejemplo anterior,
2
2 −
− x
x se puede factorizar como )
1 )( 2
(x− x+ , y
(ii) el numerador debe ser de al menos un grado menor que el denominador. En el ejemplo anterior, (4x−5) es de grado 1, ya que la mayor potencia de x es x1 y (x2 − x−2)es de grado 2.
Cuando el grado del numerador es igual o mayor al grado del denominador, el numerador debe ser dividido hasta que se obtenga un numerador de menor grado que el denominador.
Existen básicamente tres tipos de fracciones parciales (ver tabla 1), donde f(x) se asume que es de menor grado que el respectivo denominador y donde A, B y C son constantes a ser determinadas. La última expresión ax2 +bx+ces una expresión cuadrática que no debe
factorizarse obteniendo
indeterminaciones o números complejos.
Tabla 1
Tipo El denominador contiene Expresión Forma de las fracciones parciales 1 Factores lineales ) )( )( ( ) ( c x b x a x x f + − + ( ) ( ) (x c) C b x B a x A + + + + +
2 Factores lineales repetidos 3
) ( ) ( a x x f + ( ) ( )2 (x a)3 C a x B a x A + + + + + 3 Factores cuadráticos ) )( ( ) ( 2 d x c bx ax x f + + + ( 2 ) (x d) C c bx ax B Ax + + + + +
Problemas con factores lineales
Ejercicio 1. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
3 2 3 11 2 + − − x x x
El denominador se puede factorizar como (x−1)(x+3)y el numerador es de un grado menos que el denominador, por lo tanto la expresión puede resolverse en fracciones parciales. ) 3 ( ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 3 11 + + − = + − − x B x A x x x
Por adición algebraica, tenemos.
) 3 )( 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 3 )( 1 ( 3 11 + − − + + = + − − x x x B x A x x x
Debido a que los denominadores son exactamente igual en ambos lados de la igualdad, por lo tanto, sus numeradores también lo son. ) 1 ( ) 3 ( 3 11− x= A x+ +B x−
Para determinar los valores de A y B, se eligen valores de x de tal manera que los términos en A ó en B se vuelvan cero. Si x = 1, entonces 2 4 8 4 8 ) 0 ( ) 4 ( 3 11 ) 1 ( ) 3 1 ( ) 1 ( 3 11 = = = + = − − + + = − A A A B A x B A Si x = -3, entonces 5 5 4 20 ) 4 ( 20 ) 1 3 ( ) 3 3 ( ) 3 ( 3 11 − = − = − = − = − − + + − = − − B B B B A Asi, ) 3 ( 5 ) 1 ( 2 ) 3 )( 1 ( 3 11 ) 3 ( 5 ) 1 ( 2 ) 3 )( 1 ( 3 11 ) 3 ( ) 1 ( ) 3 )( 1 ( 3 11 + − − = + − − + − + − = + − − + + − = + − − x x x x x x x x x x x B x A x x x
Ejemplo 2. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
2 3 1 2 2 + − + x x x
El denominador es del mismo grado que el numerador, por lo tanto hay que efectuar la división. 1 3 1 2 3 2 3 1 0 2 2 2 − − + − + − + + x x x x x x x Por lo tanto, ) 2 )( 1 ( 1 3 1 2 3 1 3 1 2 3 1 2 2 2 − − − + = + − − + = + − + x x x x x x x x x
Tomemos la parte correspondiente a ) 2 )( 1 ( 1 3 − − − x x x y resolvámosla en fracciones parciales. ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 1 3 − + − = − − − x B x A x x x
Por suma algebraica tenemos,
) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 )( 1 ( 1 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 1 3 − − − + − = − − − − + − = − − − x x x B x A x x x x B x A x x x
Igualando los numeradores tenemos, ) 1 ( ) 2 ( 1 3x− = A x− +B x− Si x = 1, tenemos, 2 2 ) 1 1 ( ) 2 1 ( 1 ) 1 ( 3 − = − = − + − = − A A B A Si x = 2, tenemos, 5 5 ) 1 2 ( ) 2 2 ( 1 ) 2 ( 3 = = − + − = − B B B A Por lo tanto, ) 2 ( 5 ) 1 ( 2 ) 2 )( 1 ( 1 3 ) 2 ( ) 1 ( ) 2 )( 1 ( 1 3 − + − − = − − − − + − = − − − x x x x x x B x A x x x
La expresión completa queda de la siguiente manera.
)
2
(
5
)
1
(
2
1
2
3
1
2 2−
+
−
−
=
+
−
+
x
x
x
x
x
Problemas con factores lineales repetidos
Ejemplo 3. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
2 ) 2 ( 3 2 − + x x
El denominador contiene el factor lineal repetido ( −x 2)2. 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 3 2 − + − = − + x B x A x x Común denominador ( −2)2 x . 2 2 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 3 2 − + − = − + x B x A x x
Igualando los numeradores. B x A x+3= ( −2)+ 2 Si x = 2, entonces B B A = + − = + 7 ) 2 2 ( 3 ) 2 ( 2
Por comparación de término vamos hallar el valor de A.
Ya que una identidad es verdadera para todos los valores no conocidos, los
coeficientes de los términos similares pueden ser igualados.
B A Ax x B x A x + − = + + − = + 2 3 2 ) 2 ( 3 2 Términos con x: A = 2 Términos sin x: B A + − = 2 3
Pero sabemos que B = 7, por lo tanto,
2 2 7 3 7 2 3 = = − − + − = A A A Por lo tanto, 2 2 ) 2 ( 7 ) 2 ( 2 ) 2 ( 3 2 − + − = − + x x x x
Ejemplo 4. Resolver en fracciones parciales la siguiente expresión.
2 2 ) 1 )( 3 ( 19 2 5 − + − − x x x x
El denominador es una combinación de un factor lineal y de un factor lineal repetido. 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 3 ( ) 1 )( 3 ( 19 2 5 − + − + + = − + − − x C x B x A x x x x Común denominador (x+3)(x−1)2 2 2 2 2 ) 1 )( 3 ( ) 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 ( ) 1 )( 3 ( 19 2 5 − + + + − + + − = − + − − x x x C x x B x A x x x x
Igualando los numeradores tenemos,
) 3 ( ) 1 )( 3 ( ) 1 ( 19 2 5 2 2 + + − + + − = − − x C x x B x A x x Si x = -3, tenemos, 2 16 32 ) 3 3 ( ) 1 3 )( 3 3 ( ) 1 3 ( 19 ) 3 ( 2 ) 3 ( 5 2 2 = = + − + − − + − + − − = − − − − A A C B A Si x = 1, tenemos, 4 4 16 ) 3 1 ( ) 1 1 )( 3 1 ( ) 1 1 ( 19 ) 1 ( 2 ) 1 ( 5 2 2 − = = − + + − + + − = − − C C C B A
Encontremos el valor de B, por comparación de términos. C Cx B Bx Bx A Ax Ax x x x C x x B x x A x x 3 3 2 2 19 2 5 ) 3 ( ) 3 2 ( ) 1 2 ( 19 2 5 2 2 2 2 2 2 + + − + + + − = − − + + − + + + − = − − Términos con x2: B A + = 5
Pero sabemos que A = 2, por lo tanto,
3 2 5 = + = B B Términos con x: C B A+ + − = −2 2 2
Sabemos que A = 2 y C = -4, por lo tanto, 3 2 8 2 4 2 4 2 ) 4 ( 2 ) 2 ( 2 2 = = + − − + − = − − + + − = − B B B
La expresión completa, en fracciones parciales queda de la siguiente manera.
2 2 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 3 ) 3 ( 2 ) 1 )( 3 ( 19 2 5 − − − + + = − + − − x x x x x x x
Ejemplo 5. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
3 2
)
3
(
15
16
3
+
+
+
x
x
x
3 2 3 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 15 16 3 + + + + + = + + + x C x B x A x x xComún denominador ( +x 3)3, entonces,
3 2 3 2 ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 15 16 3 + + + + + = + + + x C x B x A x x x
Igualando los numeradores, nos queda,
C x B x A x x +16 +15= ( +3) + ( +3)+ 3 2 2 Si, x = -3, tenemos, 6 ) 0 ( ) 0 ( 6 ) 3 3 ( ) 3 3 ( 15 ) 3 ( 16 ) 3 ( 3 2 2 2 2 − = + + = − + + − + + − = + − + − C C B A C B A
Por comparación de términos encontremos el valor de A y B. C B Bx A Ax Ax x x C B Bx x x A x x C x B x A x x + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + = + + 3 9 6 15 16 3 3 ) 9 6 ( 15 16 3 ) 3 ( ) 3 ( 15 16 3 2 2 2 2 2 2 Términos con x2: A = 3 Términos con x: B A + =6 16
Sabemos que A = 3, entonces,
B B B = − = − + = 2 18 16 ) 3 ( 6 16
Para verificar, revisemos los términos sin x: C B A+ + =9 3 15 Sabemos que A = 3, B = -2 y C = -6, entonces, 15 15 6 6 27 15 ) 6 ( ) 2 ( 3 ) 3 ( 9 15 = − − = − + − + =
La expresión completa en fracciones parciales queda de la siguiente manera.
3 2 3 2 ) 3 ( 6 ) 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 ( 15 16 3 + − + − + = + + + x x x x x x
Problemas con factores cuadráticos
Ejemplo 6. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
) 1 )( 2 ( 13 5 7 2 2 + + + + x x x x
El denominador es una combinación del factor cuadrático (x2 +2)y el factor lineal ( +x 1). ) 1 ( ) 2 ( ) 1 )( 2 ( 13 5 7 2 2 2 + + + + = + + + + x C x B Ax x x x x Común denominador ( 2 +2)( +1) x x ) 1 )( 2 ( ) 2 ( ) 1 )( ( ) 1 )( 2 ( 13 5 7 2 2 2 2 + + + + + + = + + + + x x x C x B Ax x x x x
Igualando los numeradores, obtenemos,
) 2 ( ) 1 )( ( 13 5 7x2 + x+ = Ax+B x+ +C x2 + Si x = -1, tenemos, 5 3 15 3 15 ) 3 ( ) 0 )( ( 15 ) 2 1 ( ) 1 1 ]( ) 1 ( [ 13 ) 1 ( 5 ) 1 ( 7 2 2 = = = + + − = + − + + − + − = + − + − C C C B A C B A
Por comparación de términos hallemos el valor de B y C. C Cx B Bx Ax Ax x x x C x B Ax x x 2 13 5 7 ) 2 ( ) 1 )( ( 13 5 7 2 2 2 2 2 + + + + + = + + + + + + = + + Términos con x2: C A + = 7
Sabemos que C = 5, por lo tanto,
2 5 7 = + = A A Términos con x: B A + = 5
Sabemos que A = 2, por o tanto,
3 2 5 = + = B B
Para comprobar estos valores, revisemos los términos sin x:
C B 2 13= +
Sabemos que B = 3 y C = 5, por lo tanto, 13 13 10 3 13 ) 5 ( 2 ) 3 ( 13 = + = + =
La expresión completa en fracciones parciales queda de la siguiente manera.
) 1 ( 5 ) 2 ( 3 2 ) 1 )( 2 ( 13 5 7 2 2 2 + + + + = + + + + x x x x x x x
Ejemplo 7. Resolver la siguiente expresión en fracciones parciales.
) 3 ( 2 4 6 3 2 2 3 2 + − + + x x x x x
Los términos como x2 pueden ser expresados como (x + 0)2, por lo que aquí estamos ante un factor lineal repetido.
) 3 ( ) 3 ( 2 4 6 3 2 2 2 2 3 2 + + + + = + − + + x D Cx x B x A x x x x x Común denominador x2(x2+3), entonces, ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( 2 4 6 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 + + + + + + = + − + + x x x D Cx x B x Ax x x x x x
Igualando los numeradores, tenemos,
)
(
)
3
(
)
3
(
2
4
6
3
2 2 2 3 2D
Cx
x
x
B
x
Ax
x
x
x
+
+
+
+
+
=
−
+
+
Resolvamos los productos indicados.
2 3 2 3 3 2 3 3 2 4 6 3 Dx Cx B Bx Ax Ax x x x + + + + + = − + + Si x = 0, tenemos, 1 3 3 ) 0 ( ) 0 ( 3 ) 0 ( ) 0 ( 3 ) 0 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( 4 ) 0 ( 6 3 2 3 2 3 3 2 = = + + + + + = − + + B B D C B B A A
Por comparación de términos hallemos a A, C y D. Términos con x3: 1] Ecuación [ 2=A +C − Términos con x2: D B + = 4
Sabemos que B = 1, por lo tanto,
3 ) 1 ( 4= +D⇒D= Términos con x: 2 3 6 = = A A
Para comprobar, igualemos los términos independientes (términos sin x).
B
3 3 =
Sabemos que B =1, por lo tanto,
3 3 ) 1 ( 3 3 = =
Usemos la [Ecuación 1] para hallar el valor de C.
C A +
= −2
Sabemos que A = 2, por lo tanto,
4 2 2 2 2 − = = − − + = − C C C
La expresión completa en factores parciales queda expresada de la siguiente manera. ) 3 ( 4 3 1 2 ) 3 ( 2 4 6 3 2 2 2 2 3 2 + − + + = + − + + x x x x x x x x x BIBLIOGRAFÍA
BIRD, John. ENGINEERING
MATHEMATICS. Newnes. Fourth Edition. 2003. Pág: 51 - 56.
__________
Notas preparadas por Juan Felipe Muñoz Fernández (http://www.juanfelipe.net).
EJERCICIOS DE FRACCIONES PARCIALES PROPUESTOS (Las respuestas se indican entre corchetes)
1. − + − ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 9 12 2 x x-x 2. − − − − − + ( 3) 2 ) 1 ( 5 3 2 ) 4 ( 4 2 x x x x x 3. − − + − − − − + ) 1 ( 4 ) 2 ( 2 3 ) 1 )( 2 ( 6 3 2 x x x x x x x x 4. − + + − − − − + − + 2 1 2 ) 1 ( 3 ) 4 ( 7 ) 1 2 )( 1 )( 4 ( ) 1 8 2 ( 3 2 x x x x x x x x 5. − + + + − + + + ) 2 6 ) 3 ( 2 1 6 8 9 2 2 x x x x x x 6. − − − − + + − − ) 1 ( 3 ) 3 ( 2 1 3 2 14 2 2 x x x x x x 7. + − + − − + − − + − ) 2 ( 5 ) 2 ( 1 2 3 ) 2 )( 2 ( 20 16 2 3 3 2 x x x x x x x x 8.
