TEORÍA DEL FLUJO POTENCIAL Y CAPA LÍMITE PARA LA CARACTERIZACIÓN DEL MOVIMIENTO FLUIDO CON APLICACIÓN EN ESTENOSIS ARTERIAL

Universidad Politécnica de Madrid

Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales

TRABAJO DE FIN DE GRADO

TEORÍA DEL FLUJO POTENCIAL Y CAPA

LÍMITE PARA LA CARACTERIZACIÓN DEL

MOVIMIENTO FLUIDO CON APLICACIÓN

EN ESTENOSIS ARTERIAL

Marta Herrero Hernanz

Junio 2016

Agradecimientos

A mis padres y a mis hermanos, por brindarme todo su interés y conanza. A Leo, por estar ahí en los momentos más necesarios.

A mis amigas, futuras médicos, por su disposición y ayuda otorgadas. A Javier y a Jaime, por su incondicional apoyo, dedicación y ayuda.

Resumen

El presente proyecto tiene como objetivo el estudio y caracterización del movimiento uido en determinadas situaciones en las que los efectos viscosos del uido sean despreciables en la mayor parte del dominio y estén reducidos a una región estrecha del mismo. Además el número de Reynolds caracteriza el régimen del movimiento, pudiendo ser laminar o turbulento en función del valor que tome. Este número adimensional será de vital importancia a lo largo del proyecto, además de otros parámetros uidodinámicos como el esfuerzo cortante o el coeciente de fricción.

Las principales ecuaciones que rigen la Mecánica de Fluidos son las ecuaciones de con-servación de masa, de cantidad de movimiento y de energía. Su resolución directa es compleja, por lo que frecuentemente para acelerar el proceso del cálculo se realizan simplicaciones del modelo. Para el caso de este proyecto, se abordarán ujos con densidad constante, estacio-narios y con fuerzas másicas despreciables. La primera simplicación que aparece es que los problemas mecánico y térmico están desacoplados, por lo que solo es necesario resolver el problema mecánico donde el campo de velocidades y de presiones está dado por las famosas ecuaciones de Navier Stokes:

∇·~v = 0

ρ(~v·∇)~v = −∇p + µ4~v

El tipo de movimiento que se pretende estudiar puede observarse grácamente en la gura 1. Existe una primera región cerca del cuerpo donde los esfuerzos viscosos son predo-minantes, conocida como capa límite, mientras que fuera de ésta los esfuerzos viscosos son despreciables. Esta distinción es la división natural del proyecto, pues en la zona de la capa límite se aplicará la teoría de la capa límite laminar mientras que en la zona exterior a ésta se aplicará teoría del ujo potencial, un caso particular de movimientos ideales. Además el estudio de la capa límite es de gran interés, pues es la responsable de la resistencia a la fricción que ofrecen todos los cuerpos inmersos en un uido. El desprendimiento de la capa límite es un fenómeno asociado a la misma que ocurre si ésta está sometida a gradientes de presión adversos, y que origina vórtices que conllevan disipación de energía.

La teoría del ujo potencial, el despreciar los efectos viscosos, requerirá que los números de Reynolds sean altos. Por otro lado, la teoría de la capa límite laminar ha de aplicarse a ujos con números de Reynolds que se incluyan en el régimen laminar. Por lo que el principal objetivo del proyecto es crear un modelo matemático que permita el acoplamiento de ambas

regiones para poder así conocer el campo uido completo alrededor de un cuerpo. El número de Reynolds del uido ha de ser lo sucientemente alto como para poder despreciar los efectos viscosos, si bien que no sobrepase el rango de régimen laminar.

Las ecuaciones de Navier Stokes se adaptan a cada una de las zonas, por lo que es necesario el tratamiento matemático previo de las mismas. La simplicación de las ecuaciones según la teoría del ujo potencial permitirá obtener unas ecuaciones en términos de la función de corriente y de la función potencial, y a partir de éstas se obtienen los campos de presiones y velocidades en la zona exterior a la capa límite. En cambio, la teoría de la capa límite laminar está regida por unas ecuaciones cuyas incógnitas son las velocidades del uido horizontal y vertical. El acoplamiento entre ambas soluciones es posible gracias a que la presión se conserva en dirección perpendicular a la supercie del cuerpo.

Para poder llevar a cabo la resolución y acoplamiento de las teorías se procede a la resolución numérica de las ecuaciones ya que la resolución analítica no es posible. Además se adimensionalizan todas las variables para mayor comodidad en su tratamiento. Primeramente se resolverá la parte de ujo potencial, para lo cual se ha utilizado el programa FreeFem++, que resuelve las ecuaciones de la teoría del ujo potencial mediante elementos nitos. En este caso el mallado lo crea el propio programa, siendo solo necesaria la denición de la geometría y de las condiciones de contorno sobre las funciones de corriente. La resolución da como resultado los campos de presiones y velocidades, y como se ha dicho, será a través de la presión el acoplamiento de las teorías.

En cuanto a la teoría de la capa límite laminar, las ecuaciones requieren un mayor tratamiento previo a su resolución. Será necesario discretizar las ecuaciones adimensiona-lizadas, lo cual se realizará por diferencias nitas, además de denir el mallado. Mediante el renamiento del mismo se controla la precisión del método y, consecuentemente, el error cometido. Las condiciones de contorno en la zona de la capa límite serán la condición de no deslizamiento en la supercie del cuerpo y la velocidad y presiones en la zona exterior a la capa límite. La resolución de estas ecuaciones se realiza en Matlab.

Una vez planteado el modelo matemático y programados los métodos numéricos para su resolución se procede a su vericación. Para ello se resuelve el ujo alrededor de una placa plana y alrededor de un cilindro. Se han elegido estas geometrías porque se dispone de la solución analítica de las ecuaciones de la capa límite laminar con condiciones de contorno de ujo potencial en la bibliografía consultada [12].

los perles de velocidades en todos los puntos de la placa plana. Para vericar la correcta resolución de este caso, como se ha dicho, se comparará con la solución pseudoanalítica. La comparación de los perles de velocidades y del coeciente de fricción medio permiten concluir que se ha resuelto con exactitud y exitosamente este caso. Es de esperar que no haya desprendimiento de la capa límite al no existir gradientes de presión adversos.

Análogamente se resuelve el caso de ujo alrededor de un cilindro, con la misma di-námica, variando la condiciones de contorno, adaptándolas a la geometría de este problema. En este caso la solución de la teoría del ujo potencial no es trivial, pues las presiones va-rían a lo largo de la supercie del cilindro y existen gradientes adversos, por lo que se prevé que la capa límite se desprenda. Tras la obtención del campo de velocidades es posible la comparación con los perles de velocidades teóricos así como el punto de desprendimiento. Éste último tiene un error del 3,05 % con respecto al esperado, obteniéndose un ángulo de

desprendimiento de 105◦ _{medido desde el punto de remanso.}

Además se ha probado un método de control de la capa límite: la succión homogénea a lo largo del cuerpo. Este método modica la capa límite de forma articial, y consiste en la absorción de partículas uidas a través de una de las paredes del cuerpo sobre el que se forma la capa límite. De esta manera se reduce el espesor de la capa límite, por lo que se retrasa su crecimiento y posible desprendimiento como se muestra en la gura 2.

Figura 2: Succión de la capa límite [12]

Se ha probado tanto en la placa plana como en el cilindro. Para el primero de ellos se dispone de solución analítica con la que comparar, mientras que en el cilindro se ha realizado una comparación cualitativa con el caso de succión nula. A modo de ejemplo se presentan los resultados obtenidos para el caso de una placa plana en la gura 3, donde pueden verse los perles de velocidades en distintos puntos para una placa de longitud unidad. Como puede apreciarse la velocidad es nula en la supercie de la placa, y la capa límite crece conforme se avanza en longitud en la placa. Comparando los perles obtenidos con y sin succión puede apreciarse un claro retraso en el crecimiento de la capa límite debido a la succión.

Tras resolver las geometrías de placa plana y cilindro y vericar la validez del método, se ha procedido al desarrollo de la aplicación nal del mismo. En los últimos años, la impor-tancia de la ingeniería en la medicina ha ido creciendo hasta ser, a día de hoy, dos ciencias

0 0.5 1 u 0 1 2 3 4 5 6 Altura 0 0.5 1 u 0 0.5 1 u 0 0.5 1 u Con succión

Figura 3: Perles de velocidades en distintos puntos de la placa plana

estrechamente relacionadas. Es por ello que se ha elegido una aplicación médica: la estenosis arterial. Se trata de una enfermedad que afecta a los vasos sanguíneos de tal manera que cier-tas arterias se estrechan como se aprecia en la gura 4. El objetivo de esta parte es conocer el ujo alrededor de la estenosis, para lo cual el método desarrollado ha de modicarse en ciertos aspectos. Esto se debe a que en el caso del ujo sanguíneo los efectos viscosos no son despreciables, por lo que la teoría del ujo potencial no es la más adecuada para imponer en la zona exterior a la capa límite. Por otro lado, el estrechamiento provoca la aceleración del ujo y localmente los efectos de inercia predominan sobre los viscosos, por ello cabe hablar de la capa límite en el estrechamiento del vaso y no antes de la estenosis, donde el perl de velocidades el de tipo Poiseuille como se puede ver en la gura 4.

Figura 4: Geometría real y aproximada de la estenosis arterial

Para vericar la validez de lo que se realiza en esta parte del proyecto, se dispone de datos experimentales sobre el esfuerzo cortante máximo a lo largo de la estenosis, con los que se comparará. Se resuelven cinco casos distintos, siendo todos ellos variaciones semejantes sobre una misma geometría. Además se realiza una corrección sobre el perl de velocidades en la garganta de la estenosis, para lo cual se explica el concepto de espesor de desplazamiento. La tensión máxima sobre la estenosis se muestra para tres de los casos en la gura 5.

102 103 Re 100 101 102 τ en dinas/cm 2 Upstream of throat M3 Upstream of throat M4 Upstream of throat M5 Experimental

Figura 5: Resultados obtenidos: esfuerzo cortante máximo en la estenosis

Por último, para relacionar el método utilizado en este apartado con el desarrollado en el proyecto se resuelven estos casos para el número de Reynolds que permite seguir en el régimen laminar para el caso del ujo sanguíneo. Para este caso la aplicación de la teoría de ujo potencial sí es correcta, y la comparación de los resultados obtenidos con ésta y con la teoría de Poiseuille se realiza a través de los puntos de desprendimiento. Éstos estarán más adelantados para la resolución con condiciones de contorno de ujo potencial, pues se desprecian los efectos viscosos en el exterior de la capa límite y por ello la adherencia de la misma a la pared del vaso es menor, y se desprende antes.

Finalmente, se presentan una serie de conclusiones generales que justican la validez del método desarrollado. Una de las principales ventajas del método desarrollado es el escaso tiempo de cálculo de los programas de ordenador junto con la exactitud del método, aceptable para las aplicaciones que se han tratado. La conciliación entre las teorías de capa límite laminar y ujo potencial dan lugar a una herramienta de cálculo de gran aplicación, si bien es necesario conocer sus limitaciones.

Palabras clave: Reynolds, función de corriente, capa límite laminar, ujo potencial, esfuerzo cortante estenosis.

Códigos UNESCO 220403 - ujo de uidos 220504 - mecánica de uidos 250121 - simulación numérica 120600 - análisis numérico 330809 - ingeniería sanitaria 320702 - arteriosclerosis

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Antecedentes y motivación . . . 1

1.2. Conceptos básicos . . . 1

1.2.1. Descripción cuantitativa del movimiento de un uido alrededor de un cuerpo . . . 2

1.2.2. Descripción cualitativa del movimiento de un uido alrededor de un cuerpo . . . 4

1.3. Objetivos . . . 5

1.4. Metodología . . . 6

1.5. Estructura del proyecto . . . 8

2. Teoría del ujo potencial 9 2.1. Introducción . . . 9

2.2. Condiciones de contorno . . . 12

2.3. Paradoja de D'Alambert . . . 13

3. Teoría de la capa límite laminar 15 3.1. Simplicación de las ecuaciones por análisis dimensional . . . 15

3.2. Condiciones de contorno . . . 16

3.3. Desprendimiento de la capa límite . . . 17

3.5. Coeciente de fricción . . . 19

3.6. Solución analítica . . . 20

3.6.1. Caso: placa plana . . . 21

3.6.2. Solución pseudoanalítica . . . 22

4. Modelo matemático 27 4.1. Introducción a los métodos numéricos . . . 27

4.2. Adimensionalización de las variables . . . 27

4.3. Datos del problema . . . 28

4.4. Campo de velocidades según la teoría del ujo potencial. . . 29

4.4.1. Mallado . . . 30

4.4.2. Discretización y datos . . . 30

4.4.3. Resolución . . . 31

4.5. Campo de velocidades en la capa límite laminar . . . 31

4.5.1. Mallado . . . 33

4.5.2. Discretización y datos . . . 33

4.5.3. Resolución . . . 35

4.5.4. Coeciente de fricción . . . 38

5. Flujo alrededor de una placa plana 39 5.1. Flujo potencial . . . 39

5.2. Capa límite . . . 41

5.2.1. Comparación con la solución pseudoanalítica . . . 43

5.2.2. Coeciente de fricción . . . 44

5.3. Succión homogénea en la placa plana . . . 47

5.3.1. Solución analítica . . . 48

5.3.2. Flujo potencial . . . 50

6. Flujo alrededor de un cilindro 55

6.1. Características del ujo . . . 55

6.2. Flujo potencial . . . 57

6.3. Capa límite . . . 60

6.4. Succión homogénea en el cilindro . . . 64

6.4.1. Flujo potencial . . . 65

6.4.2. Capa límite . . . 65

7. Aplicación: ujo en arterias con estenosis 69 7.1. Geometría . . . 71

7.2. Características del ujo . . . 72

7.3. Datos experimentales . . . 73

7.4. Metodología . . . 74

7.5. Resolución del ujo sanguíneo con condiciones de contorno de ujo de Poiseuille 75 7.5.1. Corrección de la velocidad con el espesor de desplazamiento . . . 75

7.5.2. Datos del problema . . . 78

7.5.3. Cálculo del esfuerzo cortante . . . 80

7.5.4. Resultados . . . 81

7.5.5. Comprobación de hipótesis . . . 81

7.6. Extrapolación a mayores números de Reynolds: introducción de la teoría del ujo potencial . . . 83

7.6.1. Flujo potencial . . . 83

7.6.2. Capa límite . . . 85

7.7. Vericación del método . . . 86

7.8. Conclusiones . . . 87

Conclusiones 90

A. Planicación temporal y presupuesto 93

A.1. Planicación temporal . . . 93

A.1.1. Estructura de Descomposición del Proyecto . . . 93

A.1.2. Diagrama de Gantt . . . 94

A.2. Presupuesto del proyecto . . . 94

B. Reexión general sobre aspectos de responsabilidad social del trabajo 99 C. Código fuente 101 C.1. Placa plana . . . 101

C.1.1. Solución pseudoanalítica . . . 101

C.1.2. Solución por métodos numéricos . . . 102

C.2. Cilindro . . . 108

C.2.1. Sin succión . . . 108

C.2.2. Con succión . . . 109

C.3. Estenosis . . . 113

C.3.1. Capa límite con condiciones de contorno de Poiseuille . . . 113

C.3.2. Capa límite con condiciones de contorno de ujo potencial . . . 117

Índice de guras 121

Índice de cuadros 124

Nomenclatura 126

Capítulo 1

Introducción

1.1. Antecedentes y motivación

Las aplicaciones de la Mecánica de Fluidos a la vida real son de gran importancia y abarca ámbitos tan distintos como el diseño de vehículos o la medicina. Fenómenos como el desprendimiento de la capa límite, la sustentación de una aeronave o las ondas de choque hacen interesante el estudio de los uidos.

El ambicioso objetivo de conocer el comportamiento de un uido alrededor de un cuer-po, ya sea éste un vehículo, los álabes de un turbocompresor, o cualquier otro, es alcanzable si se resuelven las ecuaciones de Navier Stokes. Estas ecuaciones describen el movimiento de un uido en un entorno, si bien su resolución no es sencilla, por lo que en gran parte de las aplicaciones se requieren simplicaciones matemáticas previas a su tratamiento.

La fenomenología que rodea a la capa límite es de gran interés, pues es la responsable de la resistencia a la fricción que ofrecen todos los cuerpos inmersos en un uido. La capa límite fue planteada en 1904 por Prandtl, al que se le conoce como el Padre de la Mecánica de Fluidos Moderna. La teoría de la capa límite supone la conciliación de la hidrodinámica y la hidráulica, pues permite entender cómo una pequeña región viscosa afecta a las características globales del ujo.

Por otro lado, la aplicación de las leyes que rigen los uidos al caso de la sangre permite un acercamiento más o menos realista a la fenomenología sanguínea. En los últimos años la aplicación de la Mecánica de Fluidos en la medicina ha ido creciendo, lo cual es un gran apoyo para la hemodinámica y todo ello se logra a través de la simulación.

1.2. Conceptos básicos

Un uido es una sustancia que se deforma de forma continua cuando está sometido a un esfuerzo cortante. De cara a un estudio de ingeniería, cabe comentar la importancia

del régimen de movimiento de un uido, que puede ser laminar o turbulento. El primero de ellos alude a un movimiento ordenado, con una variación progresiva y gradual de las propiedades uidas, mientras que el segundo de ellos describe el movimiento de un uido de forma desordenada, formando torbellinos de gran variedad de tamaños. La caracterización del régimen de movimiento viene dada por el número de Reynolds (1883), que es adimensional y se dene como:

Re = ρvD

µ

donde ρ es la densidad del uido, v la velocidad del uido, D la longitud característica del problema y µ la viscosidad dinámica del uido.

De esta manera, a modo de ejemplo, para el caso de una tubería circular para Re < 2000 se tiene ujo laminar, y cualquier turbulencia que se produzca es eliminada por la viscosidad, mientras que para Re > 3000 el régimen es turbulento. Entre estos dos valores se da la zona de transición entre ambos números. El límite entre laminar y turbulento varía de una geometría a otra.

1.2.1. Descripción cuantitativa del movimiento de un uido

alrede-dor de un cuerpo

A continuación se presentan las ecuaciones que permiten describir y cuanticar el movi-miento de los uidos, a través de la conservación de masa, cantidad de movimovi-miento y energía, que constituyen un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas.

Conservación de la masa

Dρ

Dt + ρ∇·~v = 0 Conservación de la cantidad de movimiento

ρD~v

Dt =∇·¯τ + ρ ~fm

donde ~fm son las fuerzas másicas y ¯τ el tensor de esfuerzos viscosos.

Conservación de la energía ρDe

donde e es la energía interna, Φv la función de disipación de Rayleigh, ~q el calor por

conducción y Qr y Qq los calores de reacción y químicos.

Frecuentemente la densidad del uido es constante a lo largo de la aplicación, es decir, el uido es incompresible. Imponiendo esta condición se obtienen las conocidas ecuaciones de Navier Stokes: ∇·~v = 0 ρD~v Dt =−∇p + µ4~v + ρ ~fm ρDe Dt = Φv− ∇~q + Qr+ Qq

En el caso de líquidos, donde ρ y µ se pueden considerar constantes y uniformes en el movimiento uido, los problemas mecánico y térmico están desacoplados. Es por ello que es posible resolver el problema mecánico dejando de lado el problema térmico, por lo que se trabajará con las dos primeras ecuaciones. Además la existencia o inexistencia de evolución temporal permitirá diferenciar entre ujos transitorios o estacionarios. En este proyecto se considerarán todos los procesos estacionarios, es decir, el valor de las variables uidas son constantes a lo largo del tiempo. Además de suponer las fuerzas másicas despreciables. Así, las ecuaciones con las que se va a trabajar son las siguientes:

∇·~v = 0 (1.1)

ρ(~v·∇)~v = −∇p + µ4~v (1.2)

En el caso de movimiento uido alrededor de cuerpos, un resultado interesante de medir es el coeciente de arrastre y sustentación. De manera general, la resistencia y la sustentación son las resultantes de las fuerzas de presión Fp y las debidas a esfuerzos cortantes (τ) o fuerzas

de fricción Ff sobre la supercie del cuerpo. Por lo tanto, si se determinan las distribuciones

de presiones y de esfuerzos cortantes sobre la supercie, se pueden obtener por integración las fuerzas de presión y de fricción.

−→ Ff = ˆ A (p_{− p}∞) −→n dA −→ Fp = ˆ A τ −→t dA

donde −→n y −→t son los vectores normal y tangencial respectivamente a la supercie. Cada una de estas fuerzas se puede dividir en dos, una en sentido normal al ujo incidente y otra en sentido paralelo al mismo, lo cual se reeja en la gura 1.1 para el caso de un perl aerodinámico. Así, la fuerza en sentido vertical se llama fuerza de sustentación (L) o lift, y la resultante en el sentido horizontal es la fuerza de arrastre (D) o drag.

Figura 1.1: Fuerzas de fricción y de presión sobre un perl aerodinámico

Por comodidad, se denen los coecientes de fricción Cf y de presión Cp, que son estas

fuerzas adimensionalizadas: Cf = Ff 1 2ρU∞2 A Cp = Fp 1 2ρU∞2A

De igual manera se pueden denir los coecientes de arrastre CD y de sustentación CL

como: CD = D 1 2ρU∞2A CL = L 1 2ρU∞2A

donde A es el área proyectada sobre el plano horizontal, y Ff y Fp las fuerzas de presión

y de fricción en sentido horizontal.

1.2.2. Descripción cualitativa del movimiento de un uido alrededor

de un cuerpo

Las ecuaciones de Navier Stokes simplicadas permiten conocer el campo de velocidades de un uido y presiones como se ha dicho, si bien su resolución no es sencilla, ya que son ecuaciones no lineales en derivadas parciales. En pocos casos, realizando simplicaciones en las mismas, se pueden obtener los campos de velocidad y presiones de forma analítica.

Sea un cuerpo sumergido en un uido con velocidad, las partículas de éste rodean el cuerpo y siguen su trayectoria de tal manera que recuperan su velocidad inicial tras alejarse del cuerpo. Sin embargo, alrededor del cuerpo el campo de velocidades es alterado, y el estudio de este fenómeno es de especial interés.

Forzosamente, la velocidad del uido debe ser nula en el contacto con el cuerpo, y no nula en una región más o menos próxima al contorno del cuerpo, como puede verse en la gura 1.2. La región de transición se conoce como capa límite, en la que los esfuerzos viscosos son predominantes. Es importante tener en cuenta que la capa límite solo existe si el número de Reynolds es sucientemente alto. En resumen, este proyecto tiene como objetivo el estudio del campo de velocidades y presiones en capa límite y fuera de ella, mediante la simplicación de las ecuaciones de Navier Stokes.

Así, en una región alejada del cuerpo los esfuerzos viscosos son despreciables, y el análisis se realizará a través de la teoría de ujo potencial. En cambio, en la capa límite habrá que tenerlos en cuenta.

Figura 1.2: Flujo alrededor de un cuerpo

1.3. Objetivos

Este Trabajo de Fin de Grado pretende estudiar las simplicación matemática de las ecuaciones de Navier Stokes para su resolución, requiriendo conocimientos de Mecánica de Fluidos, Matemáticas y programación de código fuente. Los objetivos claros de este proyecto son los siguientes:

Simplicación de las ecuaciones de Navier Stokes mediante la división del estudio del ujo en dos partes.

Programación de las ecuaciones simplicadas en código fuente para obtener los campos de velocidades y de presiones del uido.

Resolución de las ecuaciones simplicadas y análisis de los resultados obtenidos. Vericación del método desarrollado a través de la resolución de dos casos de geometría conocida.

Estudio de fenomenología asociada a la capa límite laminar. Control de la capa límite: succión.

Aplicación del modelo matemático al caso de ujo sanguíneo para el estudio de la estenosis arterial. Comprobación de hipótesis.

Aprendizaje en profundidad de los conceptos con los que se va a trabajar mediante el estudio de los uidos y sus ecuaciones asociadas, así como gracias al uso de métodos numéricos para la simplicación de las ecuaciones.

Con todo ello será posible, nalmente, un mejor entendimiento del comportamiento de los uidos en determinados escenarios y la importancia de su estudio. El objetivo más general es, por lo tanto, vericar la validez del modelo simplicado matemático a través de casos conocidos de la literatura y aplicarlo al caso de ujo en vasos sanguíneos.

1.4. Metodología

Tras haber expuesto los objetivos claros del proyecto, se procede a la descripción de cómo se van a lograr.

Como se ha comentado, el estudio del ujo se divide en dos partes diferenciadas en base a las características del uido en cada una de ellas. Alrededor del cuerpo los efectos viscosos son predominantes, por lo que las ecuaciones de Navier Stokes serán simplicadas teniendo esto en cuenta. Esta zona es la región donde existe la capa límite, y se aplicará teoría de la capa límite laminar. El hecho de que sea laminar requiere que los números de Reynolds se correspondan a la región de ujo laminar, pues si fueran de ujo turbulento las ecuaciones no serían válidas. Por otro lado, en la zona exterior de la misma y, por lo tanto, más alejada del cuerpo, los efectos viscosos son despreciables, por lo se aplicación de la teoría del ujo potencial está justicada como se explica en el capítulo correspondiente. En esta región los números de Reynolds son altos, tendiendo a innito, debido al desprecio de los efectos viscosos. Por lo tanto, será necesaria la elección de un número de Reynolds sucientemente alto para poder aplicar teoría del ujo potencial si bien que se encuentre dentro del régimen laminar.

Una vez simplicadas las ecuaciones matemáticas se procede a su resolución, para lo cual se han utilizado los programas Matlab y FreeFem++. En primer lugar, las ecuaciones han de ser adaptadas a los códigos fuente de estos programas, para lo cual es necesaria una primera discretización de las mismas y, para mayor comodidad, su adimensionalización. Además ha de denirse el mallado para ambos programas.

FreeFem++ se utiliza para resolver las ecuaciones de la teoría del ujo potencial, y se basa en resolución por elementos nitos. Una vez obtenidos los resultados se introducen éstos como condición de contorno de las ecuaciones de la capa límite laminar. Se resolverán las

ecuaciones mediante diferencias nitas utilizando Matlab, por lo que son necesarios conoci-mientos de métodos numéricos para su correcto planteamiento. El acoplamiento entre ambas zonas se realiza, como se ha dicho, a través de la imposición de las condiciones de la capa límite laminar, lo cual es posible gracias a la conservación de la presión en dirección normal a la supercie del cuerpo.

Conocido el modelo matemático, se aplica éste a los casos de ujo alrededor de una placa plana y ujo alrededor de un cilindro. Se eligen estas dos geometrías dado que se dispone de la solución analítica de estas ecuaciones, por lo que será posible la comparación de los resultados obtenidos. Esta comparación se realizará a través de los perles de velocidades y el cálculo de curvas que aparecen en la literatura consultada [12].

Además se presenta un método de control de la capa límite: la succión. El estudio de este caso requiere de la adaptación de determinadas condiciones de contorno como se explica en el contenido del proyecto. Igualmente, se utiliza el modelo matemático desarrollado para la obtención del campo de velocidades. Las diferencias entre los casos de succión homogénea a lo largo del cuerpo y sin succión se llevan a cabo a través de la comparación de los perles de velocidades y de los puntos de desprendimiento de la capa límite.

Una vez vericada la validez del modelo matemático gracias a la resolución de casos sencillos se da el salto a una aplicación más realista y de gran interés: ujo en arterias con estenosis. Para el estudio del uido alrededor de este tipo de geometrías se han realizado algunos cambios en el modelo matemático. En primer lugar, al tratarse de ujo sanguíneo, los números de Reynolds son bajos, por lo que la aplicación de la teoría potencial en la zona exterior a la capa límite no es la mejor opción. El estrechamiento provoca la aceleración del ujo y localmente los efectos de inercia predominan sobre los viscosos, por ello cabe hablar de la capa límite en el estrechamiento del vaso. En cambio, en la parte del vaso sin estrechamiento el ujo sanguíneo se considera del tipo de Poiseuille, por lo que en esta zona no se puede hablar de capa límite. En este apartado, consecuentemente, solo será necesario el código fuente desarrollado en Matlab al no ser necesaria la resolución del campo de ujo potencial.

Se dispone de datos experimentales de cinco casos de avance de la enfermedad para números de Reynolds de 100, 500 y 1000. Por lo tanto, la resolución del ujo sanguíneo en arterias con estenosis se ha realizado para estas cinco geometrías, siendo todas ellas seme-jantes. Además se han realizado hipótesis sobre el carácter del perl de velocidades en la garganta de la estenosis, las cuales se comprueban tras su resolución.

Finalmente, se ha realizado una comparación entre los resultados que se obtienen impo-niendo condiciones de contorno de ujo de Poiseuille y los que resultan de imponer condiciones de contorno de ujo potencial. Este comparación se lleva a cabo en los cinco estudiados, si bien el número de Reynolds se aumenta hasta 2000 para que sea válida la aplicación de la teoría potencial, siendo este el valor límite del régimen laminar en vasos sanguíneos. Los métodos se comparan a través del estudio de los puntos de desprendimiento de la capa límite.

1.5. Estructura del proyecto

Tras conocer la temática y objetivos del proyecto, se procede a la presentación de la estructura del mismo, la cual permitirá claricar cómo se llevará a cabo el estudio.

En el Capítulo I se ha realizado una breve introducción a los uidos, y se ha expli-cado tanto cualitativa como cuantitativamente cómo es el ujo alrededor de un cuerpo. Se presentan las ecuaciones de Navier Stokes con las que se va a trabajar a lo largo de todo el desarrollo, así como conceptos básicos relacionados con los uidos.

En el Capítulo II se desarrolla la teoría del ujo potencial en profundidad, explicándose la procedencia de las ecuaciones que la gobiernan.

La teoría de la capa límite laminar es desarrollada en el Capítulo III, explicándose la simplicación de las ecuaciones por análisis dimensional y el modo de acoplamiento con la teoría del ujo potencial. También incluye la explicación de parámetros relacionados con la capa límite laminar de gran interés como el coeciente de fricción o el esfuerzo cortante. Por último se explica la resolución analítica de las ecuaciones de la capa límite para el caso de la placa plana, que se utilizará posteriormente para comparar con los resultados obtenidos con el modelo matemático desarrollado.

Es en el Capítulo IV donde se explica dicho modelo matemático. Se realiza una breve introducción a los métodos numéricos y a continuación se procede a la adimensionalización de las variables y la presentación de los datos del problema. En este capítulo se explica cómo FreeFem++ y Matlab resuelven las ecuaciones, para lo cual se habla del mallado de ambos problemas y de la discretización y resolución de las ecuaciones.

Una vez presentado el modelo matemático se da pie a la resolución de los casos de geometría sencilla comentados. En el Capítulo V se desarrolla el caso de ujo alrededor de una placa plana, explicándose las partes de ujo potencial y capa límite y comparando los resultados obtenidos con los de la solución analítica. Por último se presenta la succión en esta geometría. El Capítulo VI tiene una estructura similar al anterior si bien en este caso se resuelve el ujo alrededor de un cilindro.

Por último, en el Capítulo VII se desarrolla toda la parte de aplicación del modelo matemático. Se realiza una introducción a la estenosis arterial y se presenta la geometría y datos del problema. A continuación se explican las diferencias entre el método de ujo exterior a la capa límite de tipo Poiseuille y ujo exterior de tipo potencial, así como la metodología para abordar su resolución. Tras ésta se explica la extrapolación del método a números de Reynolds altos.

Por último, se presentan las conclusiones generales del proyecto y las posibles lineas futuras del mismo. En los Anexos se incluye la planicación temporal y presupuesto del proyecto, además de una breve reexión sobre el impacto social del trabajo. También se incluyen los principales códigos fuente utilizados para la resolución de los problemas.

Capítulo 2

Teoría del ujo potencial

2.1. Introducción

Las ecuaciones de Navier Stokes permiten conocer el campo de velocidades y presiones de un uido en una región del espacio. Su resolución es complicada, por lo que habrá que hacer simplicaciones para ello.

Uno de estos casos es el de ujo potencial, al cual se llega despreciando los efectos viscosos del uido. D'Alambert (1717-1783) fue una de las primeras personas que aplicó esta formulación. Esto se puede realizar porque en una región alejada de un cuerpo predominarán los términos convectivos frente a los viscosos. Los ujos que cumplen estas características son conocidos como irrotacionales.

De esta manera, para realizar las simplicaciones de parte de las ecuaciones 1.1 y 1.2. El hecho de despreciar los esfuerzos viscosos implica que la teoría de ujo potencial debe ser aplicada a ujos con valores del número de Reynolds alto, de hecho, lo ideal es aplicarlo para números de Reynolds innitos.

Como su propio nombre indica, el ujo potencial presenta un campo de velocidades que deriva de un potencial. Esto es consecuencia directa de que el ujo es irrotacional, por lo que el rotacional del campo de velocidades será nulo:

rot ~v =       x y z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z vx vy 0       = (₋∂vy ∂z , ∂vx ∂z , ∂vx ∂y − ∂vy ∂x) = ~0 (2.1)

Como el estudio se realizará en dos dimensiones el campo de velocidades cumple: ∂vx

∂y −

∂vy

El hecho de que el rotacional del campo de velocidades sea cero tiene consecuencias impor-tantes como que el rotacional del gradiente de una función potencial seguirá siendo nulo:

rot∇φ = 0

Por lo tanto se puede denir la función potencial de la velocidad φ, de tal manera que: − →_{v =∇φ} ~v = (vx, vy) = (∂∅ ∂x, ∂∅ ∂y)

Por ser irrotacional la circulación a lo largo de cualquier línea cerrada es nula, por lo tanto, se podrá aplicar la teoría potencial en las zonas donde no haya vorticidad.

Como se va a resolver para el caso de líquidos, ha de cumplir la ecuación de continuidad 1.1: ∂2 ∅ ∂x2 + ∂2∅ ∂y2 = 0 o lo que es lo mismo ∆∅ = 0 (2.2)

El hecho de que su laplaciano sea nulo se debe a la incompresibilidad del ujo y a que el uido es ideal y rot~v = 0.

Por otro lado, como el uido se considera de densidad constante cumple la ecuación 1.1, o lo que es lo mismo, se puede decir que el ujo es solenoidal. Se puede denir entonces una función de corriente tal que su divergencia sea siempre nula. Esta función se llama función de corriente ϕ y cumple para el caso plano [11]:

~v = (vx, vy) = (

∂ϕ ∂y,−

∂ϕ ∂x)

Es sencillo comprobar si se impone que además el ujo sea irrotacional se obtiene: ∂vx ∂y − ∂vy ∂x = ∂2_ϕ ∂y2 + ∂2ϕ ∂x2 = 0 ∆ϕ = 0 (2.3)

Será de gran interés el estudio del ujo potencial a través de la función de corriente dado que las líneas de función de corriente constante son líneas de corriente de ujo. Además éstas son perpendiculares a las líneas de potencial constante φ.

Cabe ahora comentar ahora la relación entre φ y ϕ , lo cual se hará a través de la siguiente técnica matemática que aparece en las referencias [14] y [11] y que se explica a continuación.

Se construye una función analítica compleja F (z) tal que su parte imaginaria es la función de corriente ϕ y la real es la función potencial φ. Además la variable compleja es z = x + iy :

F = φ + iϕ (2.4)

Derivando, por un lado se tiene: ∂F ∂x = dF dz dz dx = dF dz ∂F ∂y = dF dz dz dy = i dF dz Por otro lado si se deriva en 2.4:

∂F ∂x = ∂φ ∂x + i ∂ϕ ∂x = dF dz ∂F ∂y = ∂φ ∂y + i ∂ϕ ∂y = i dF dz

Por lo tanto, igualando las partes reales e imaginarias de las expresiones anteriores se tiene: ∂ϕ ∂y = ∂φ ∂x −∂ϕ ∂x = ∂φ ∂y

Como ya se ha comprobado anteriormente, ambas funciones tienen laplaciano nulo y ~v = (vx, vy) = ( ∂ϕ ∂y,− ∂ϕ ∂x) = ( ∂φ ∂x, ∂φ ∂y) (2.5)

lo cual es congruente con lo que se ha presentado anteriormente. Por la relación matemática entre ϕ y φ, ambas funciones son perpendiculares como se observa en la gura 2.1.

Finalmente, se recuerda que la ecuación a resolver en esta parte de la problemática es: ∆ϕ = 0

Por tanto, se ha obtenido una ecuación muy sencilla, en la que la incógnita es la función de corriente ϕ, a partir de la cual se conocerá el campo de velocidades. Por otro lado, haciendo nulo el término de efectos viscosos en la ecuación 1.2 se obtiene:

Figura 2.1: Líneas de potencial constante y líneas de corriente ortogonales ρvdv

dx =−

dp dx

Integrando se obtiene un caso particular de la ecuación de Bernouilli: p

ρ +

v2

2 = C (2.6)

donde v es el módulo de la velocidad, y C una constante, igual para todo el campo uido. De esta ecuación se obtendrá el campo de presiones. Como ya se ha dicho, esta simplicación es válida en zonas alejadas de la geometría a estudiar, ya que en zonas cercanas al cuerpo los resultados experimentales dieren de la teoría de ujo ideal o potencial.

2.2. Condiciones de contorno

La ecuación 2.3 no incluye derivadas temporales, por lo que no serán necesarias condi-ciones de contorno iniciales para su resolución. En cada momento el campo de velocidades se ajusta a las condiciones de contorno en ese instante, por lo que la historia previa del uido no inuye en el campo de velocidades posterior del mismo [11]. Esta idea se ve reejada en la imagen 2.2.

En la supercie del sólido la velocidad normal del uido relativa al sólido ha de ser nula, pues físicamente el uido no puede penetrar el sólido. Por lo tanto, el uido solo puede moverse tangencialmente a la pared, y ésta constituirá una línea de corriente. Consecuentemente la

función de corriente a lo largo de un cuerpo es constante, ya que la supercie del cuerpo es una línea de corriente como ya se ha comentado. De esta manera, en la geometría a estudiar se impondrá

ϕ|superf icie = c

donde c es una constante.

2.3. Paradoja de D'Alambert

Para el caso de ujo irrotacionales la fuerza en el sentido paralelo al ujo FD es nula.

Por otro lado, la fuerza en el sentido normal al ujo FL que aparece sobre un cuerpo es [14]

FL= ρΓU0

donde U0 es la velocidad de la corriente incidente y Γ es la circulación. Si la circulación

es nula, la fuerza en sentido vertical también lo será. Por lo tanto la teoría de ujo potencial permite llegar a un resultado que, evidentemente, se contradice con la realidad, ya que un

cuerpo sumergido en una corriente sí experimenta una fuerza FD distinta de cero. Esto es

equivalente a decir que al drag (D) explicado en el Capítulo I es nulo.

En 1752 D'Alambert llegó a la contradicción de que la resistencia producida por un cuerpo inmerso en un uido no puede ser nula, como predice la teoría de ujo potencial. De nuevo, esto signica que el ujo potencial se puede aplicar en regiones alejadas del cuerpo, donde los efectos viscosos son despreciables. En la realidad se observa una resistencia existente por parte del cuerpo, que se explica debido a la presencia de la capa límite en la región más cercana al cuerpo, como señaló Prandtl en 1904.

Capítulo 3

Teoría de la capa límite laminar

En 1904 Prandtl observó que el uido alrededor de un cuerpo se puede dividir en dos regiones. Aquella que queda alrededor del cuerpo en cuestión es la denominada capa límite, en la que los efectos viscosos son predominantes, presentando un gradiente de velocidades grande. Teniendo en cuenta las ecuaciones obtenidas 1.1 y 1.2, se procede a la simplicación de estas ecuaciones para su posterior tratamiento. La ecuación 1.2 es una ecuación vectorial que se puede descomponer en dos ecuaciones escalares según los ejes X y Y :

ρ(u∂u ∂x + v ∂u ∂y) = − ∂p ∂x + µ( ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2) ρ(u∂v ∂x + v ∂v ∂y) =− ∂p ∂y + µ( ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2)

3.1. Simplicación de las ecuaciones por análisis

dimen-sional

Si se tiene en cuenta que las ecuaciones de la capa límite se van a aplicar a un uido de longitud característica D en el que el espesor de la capa límite es δ, por análisis dimensional de los términos se pueden simplicar las ecuaciones. Para ello hay que adimensionalizar todas las incógnitas, lo cual se hará con las variables de adimensionalización D y U, donde U es la velocidad de la corriente general. Las ecuaciones anteriores adimensionalizadas, y teniendo en

cuenta que Re = ρU D

µ =

U D

ν . Además es sabido que el espesor de la capa límite es proporcional

a la viscosidad cinemática del uido δ ∼ ν. Por lo tanto, las ecuaciones adimensionalizadas quedan: u∂u ∂x + v ∂u ∂y =− ∂p ∂x + 1 Re( ∂2_u ∂x2 + ∂2_u ∂y2)

u∂v ∂x + v ∂v ∂y =− ∂p ∂y + 1 Re( ∂2v ∂x2 + ∂2v ∂y2)

El análisis dimensional es el siguiente: u ∼ 1, x ∼ 1, v ∼ δ, y ∼ δ, Re ∼ 1

δ2.

Despre-ciando los términos pertinentes mediante el estudio de las dimensiones de cada uno se llega a las ecuaciones de la capa límite:

ρ(u∂u ∂x + v ∂u ∂y) = − ∂p ∂x + µ ∂2_u ∂y2 ∂p ∂y = 0

Como la presión a lo largo de la vertical no cambia, ésta será la misma en la zona de la capa límite y en la de ujo potencial, de ahí la validez del acoplamiento. Cabe comentar que estas ecuaciones se pueden aplicar a capas límite laminares, pues si fuera turbulentas el modelo sería más complejo.

Además, a partir de la ecuación de Bernouilli (2.6) se puede conocer el campo de presiones: ∂p ∂x = dp dx =−ρU dU dx

donde U es la velocidad del uido fuera de la capa límite, es decir, de la corriente general. Por lo general, el espesor de la capa límite aumenta con la longitud del cuerpo en la dirección de la velocidad incidente.

Finalmente, las ecuaciones con las que se va a trabajar serán: ∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 (3.1) ρ(u∂u ∂x + v ∂u ∂y) = − ∂p ∂x + µ ∂2_u ∂y2 (3.2)

3.2. Condiciones de contorno

Para la resolución de las ecuaciones de la capa límite se impondrán como condiciones de contorno:

u(y = 0) = 0 (3.3)

v(y = 0) = 0 (3.4)

u(x0, y) (3.6)

donde U(x) es la velocidad en sentido horizontal de la corriente general y u(x0, y) es el

perl de velocidades en la primera sección a estudiar, que será conocido. Las dos primeras condiciones de contorno responden a la condición de no deslizamiento sobre la pared del cuerpo, que se ha explicado en el Capítulo I.

3.3. Desprendimiento de la capa límite

La capa límite no crece indenidamente, llegando a desprenderse en un momento dado. Este fenómeno provoca una disipación de energía que no es deseable en ningún caso. El uido de forma natural avanza, si bien existe un gradiente adverso de presión dp

dx > 0 causado por

lo efectos viscosos que se lo impide: ∂τ

∂y|pared = µ ∂2u

∂y2|pared= ρ(u

∂u ∂x + v ∂u ∂y)|pared+ ∂p ∂x|pared= ∂p ∂x|pared=−ρU dU dx = dp dx donde τ es el esfuerzo cortante. Este gradiente de presiones adverso frena al uido y provoca el crecimiento de la capa límite. En el punto de desprendimiento se cumple:

∂τ

∂y|pared= 0

En la gura 3.1 puede verse la secuencia que ocurre desde la formación de la capa límite hasta su desprendimiento, donde PI indica el punto de inexión. En el gráco del centro se produce la separación.

Cabe comentar que desde el momento del desprendimiento de la capa límite en adelante, la teoría de la capa límite que se va a estudiar no es válida, ya que no permite predecir el comportamiento de ésta de forma real. Habría que resolver las ecuaciones de Navier Stokes completas.

Figura 3.2: Capa límite adherida y desprendida

3.4. Espesor de la capa límite para la placa plana:

ecua-ción de Karman

Sea el caso de una placa plana, corriente estacionaria y ujo incompresible, la resistencia al rozamiento viene dada por:

Wr =

ˆ l 0

bτ dx

donde τ = µ∂u

∂y|y=0y b es la anchura de la placa. De esta manera, la fuerza de rozamiento

en una sección x de la placa será:

Wr(x) =

ˆ x 0

bτ dx

Por otro lado, la fuerza de arrastre D(x), explicada en el Capítulo I, fue obtenida por von Karman en 1921:

D(x) = ρb ˆ δ(x)

0

u(U_{− u)dy = ρbU}2_θ

donde U es la velocidad de la corriente de la solución potencial, δ(x) el espesor de la capa límite. Además se tiene el siguiente parámetro:

θ = ˆ δ 0 u U(1− u U)dy (3.7)

De esta manera

dD(x)

dx = ρbU

2dθ

dx Igualando ambas expresiones se tiene que:

D(x) = ˆ x 0 bτ dx dD(x) dx = bτ

Finalmente, igualando las dos ecuaciones queda: τ = ρU2dθ

dx

Von Karman supuso que el perl de velocidades en la capa límite tenía una forma parabólica u(x, y) = U(2y δ − y2 δ2), e integrando en 3.7 queda θ = 2 15δ y τ = 2µU δ . 2µU δ = ρU 2 2 15 dδ dx

Esta ecuación diferencial se integra de 0 a x y de 0 a δ(x): δ

x =

5,5 √

Re

Esta ley es la que da el espesor de la capa límite laminar para el caso de una plana plana en función de la longitud x y del número de Reynolds.

3.5. Coeciente de fricción

El coeciente de fricción Cf es la fuerza de rozamiento adimensionalizada, como se

explicó en el Capítulo I En este caso la fuerza a adimensionalizar es la causada por el esfuerzo cortante: Cf = τ 1 2ρU 2 (3.8)

Siguiendo el razonamiento de von Karman se llega a que [14]: Cf =

0,73 √

Re

Cabe comentar que si la capa límite se desprende, como ya se ha dicho, se cumplirá que τ = µ∂u

3.6. Solución analítica

En este apartado se estudiar la solución analítica de las ecuaciones de la capa límite para su posterior aplicación a una placa plana.

Sea un ujo que pasa a través de una cuña con ángulo πβ, retomando las ecuaciones de la capa límite y sus condiciones de contorno 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5 y 3.6, se realiza el siguiente cambio de variable para adimensionalizar y, el cual se sugiere en la bibliografía [12]:

η = y s m + 1 2 U (x)ρ xµ (3.9)

πβ

Figura 3.3: Cuña de ángulo πβ

En este caso, según sugería la bibliografía consultada [12] se ha tenido en cuenta que la corriente de ujo potencial, exterior a la capa límite, lleva una velocidad U(x) = u1xm donde

u1 es una constante y m es una parámetro relacionado con el ángulo de la cuña:

m = β

2− β (3.10)

De esta manera, el sistema a resolver quedará:

f000+ f f00+ β(1_{− f}02) = 0 (3.11)

f (η = 0) = 0 f0(η = 0) = 0 f0(η =∞) = 1

las velocidades horizontal y vertical en la capa límite quedan: u = U (x)f0_(η) v =− s m + 1 2 µ ρ U (x) x (f (η) + m− 1 m + 1ηf 0 (η))

Resolviendo las ecuaciones para distintos valores de m se obtienen las grácas que aparecen en la gura 3.4.

Figura 3.4: Curvas de Falker-Skan. Fuente [12]

3.6.1. Caso: placa plana

Para este caso particular, la solución a la ecuación 3.11 es la solución de Blasius (1908):

η = y δ = y s U (x)ρ xµ = y r_u 1ρ xµ (3.12) u = U (x)f0(η) = u1f0(η) v =₋ r µ ρ u1 x (f − ηf 0 )

Realizando estos cambios de variable en las ecuaciones de la capa límite se obtiene la ecuación resultante:

f000+ 1 2f f

00

= 0 (3.13)

Se ha resuelto esta ecuación diferencial con Matlab para poder compararla posteriormente con la solución obtenida a través de la resolución de las ecuaciones de la capa límite laminar con condiciones de contorno de ujo potencial para el caso de una placa plana.

Por lo tanto, si u es la velocidad dentro de la capa límite y U lo es fuera, para una altura suciente de la capa límite se tendrá que u

U ' 1. Según la bibliografía consultada esto

δ = 5 r µx ρu1 = √5x Re (3.14)

Es de especial interés obtener el coeciente de rozamiento Cf, que se recuerda que es la fuerza

de rozamiento adimensionalizada: Cf = τ 1 2ρU2 τ = µ∂u

∂y|y=0= µU ∂f0

∂η ∂η

∂y|y=0 = µU s

U ρ xµf

00

(0)

De la bibliografía consultada se obtiene que f00_{(0) = 0,332 [12], dato que también se}

obtendrá posteriormente en Matlab. De esta manera el coeciente de fricción será:

Cf = τ 1 2ρU2 = 0,332µU q U ρ xµ 1 2ρU2 = 0,664√ Re (3.15)

Como se puede observar, es muy aproximado al que predijo Karman Cf = √0,73_Re.

3.6.2. Solución pseudoanalítica

En este caso se va a resolver por métodos numéricos la ecuación que da la solución analítica para una placa plana (3.13). Las condiciones de contorno son f(η = 0) = 0, f0_{(η =}

0) = 0 y f0_{(η =}

∞) = 1.

Por lo tanto, se ha obtenido la solución analítica con un solver de Matlab para la resolu-ción de ecuaciones lineales en derivadas parciales. Este solver es ode45 , basando en el método de Runge-Kutta para la resolución de ecuaciones diferenciales, que se sale del temario abar-cado en este proyecto. Si bien, este método sirve para aproximar las ecuaciones diferenciales a las de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. De esta manera, se crea la función @placa, que pone de forma explícita la ecuación diferencial. Los argumentos del solver ode45 son la función @placa, el intervalo de η donde se va a resolver la ecuación diferencial, y las condiciones de contorno expuestas más arriba. El solver ode45 realmente no permite obtener la solución analítica ya que resuelve la ecuación diferencial por métodos numéricos, si bien la solución es muy aproximada. La llamaremos por ello solución pseudoanalítica.

Como ya se ha comentado, para η ' 5 se alcanzaba la altura máxima de la capa límite, resolviéndose, por tanto, todo el campo uido de la capa límite. Sin embargo, para asegurarnos de que se resuelve la capa límite completa en altura, el vector que recorre ésta en la dirección vertical irá hasta 7. No hay ningún problema en resolver más allá de la capa límite, ya que el perl de velocidades de Blasius, que puede verse en la gura 3.7 llega a

velocidad 1 a cierta altura próxima a 5, y más arriba de ese punto la velocidad es constante e igual a 1, pues fuera de la capa límite se tiene ujo potencial.

Posteriormente se comprueba que u

U ' 1 en η = 7. Por lo tanto queda justicada la

validez de resolver para un vector η de 0 a 7, con intervalos de 0,01, valor que también se ha determinado experimentalmente, ya que la solución obtenida no varía para mayores renados, es decir, para intervalos de η menores de 0,01.

El tercer argumento del solver ode45 es un vector que contiene las condiciones de

contorno de f, f0 _{y f}00 _{en η = 0. Las condiciones de contorno sobre los dos primeros son}

triviales, al venir dadas por el planteamiento inicial del problema, si bien la imposición de la última condición de contorno no es posible analíticamente dado que η = ∞ se reere al η donde termina la capa límite, además de que se necesita una condición de contorno sobre f00_.

Para resolver este problema se ha recurrido el método del disparo.

El método del disparo impone a través de un bucle distintas condiciones de contorno para f00_{(0)y resuelve la ecuación diferencial. Finalmente se prueba para cuál de estos valores}

se ha cumplido que f0_{(η =∞) = 1. La gura 3.5 muestra el resultado obtenido, que es:}

f00(η = 0) = 0,332 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Condición de contorno 0 0.5 1 1.5 2 2.5 df dη

|

Figura 3.5: Condición de contorno sobre f00

Con esta condición de contorno ya conocida se procede a la obtención de la solución pseudoanalítica para obtener el conocido perl de velocidades en la capa límite laminar para

el caso de una placa plana. También se obtendrá la curva de f0 _{en función de η, coincidente}

con la mostrada en la gura 3.4 para m = 0. Los resultados obtenidos, por tanto, aparecen en la gura 3.6. La solución que aparece en la gura 3.7 fue la obtenida por Blasius, y que aparece en la bibliografía consultada [12].

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

η

Curva teórica de la distribución de velocidades en la capa límite laminar

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 U 0 1 2 3 4 5 6 7 Altura

Perfil de velocidades en la capa límite para una placa plana

Capítulo 4

Modelo matemático

El presente capítulo tiene como objetivo la puesta en práctica de la metodología a desarrollar. Para ello se explicará de manera general para aplicarlo en los siguientes capítulos a los casos de la placa plana y del cilindro.

4.1. Introducción a los métodos numéricos

Los métodos numéricos son una herramienta matemática que permite simplicar la resolución de problemas, obteniendo soluciones aproximadas a las analíticas. A menudo se utilizan en la resolución de problemas que no tienen solución analítica o es muy compleja su obtención. Se hará uso del análisis numérico en este proyecto con el n de resolver el campo de velocidades tanto en la zona de la capa límite como en la de ujo potencial.

Cabe comentar que la resolución de ecuaciones diferenciales por métodos numéricos utilizada requiere una primera adimensionalización de las mismas. Posteriormente se continúa aproximando las ecuaciones por el método de elementos nitos o por el métodos de diferencias nitas.

El método de elementos nitos es el que utiliza el programa FreeFem++ [1] para resolver la ecuación del ujo potencial, mientras que el de diferencias nitas es el que se ha aplicado para resolver las ecuaciones de la capa límite laminar en Matlab [2].

4.2. Adimensionalización de las variables

Como ya se ha comentado, el número de Reynolds es:

Re = ρU∞D

A continuación se procede a la adimensionalización de las variables teniendo en cuenta

que las variables para adimensionalizar son ρ, U∞ y D, donde U∞ es la velocidad de la

corriente, D es una longitud característica del problema.

Las nuevas variables adimensionalizadas son las que llevan comilla:

p0 = p ρU2 ∞ ~v0 = ~v U∞ ¯ x0 = x¯ D ∂0 ∂0_x¯0 = ∂ ∂ ¯xD

Tanto las variables utilizadas en FreeFem++ como en Matlab son adimensionales, por lo que las ecuaciones introducidas en los programas también lo son.

4.3. Datos del problema

Los datos comunes a los problemas de ujo potencial y capa límite son la geometría, el número de Reynolds y la velocidad de la corriente en el innito U∞.

Cada problema tendrá una geometría determinada, y el mallado de cada problema se generará en base a ésta. Como la variable de adimensionalización es U∞, la corriente en el

innito adimensionalizada será U∞ = 1 para todas las geometrías y para los dos problemas

de vericación del método desarrollado.

En cuanto al número de Reynolds, se recuerda que lo ideal es tener en teoría de ujo potencial el Reynolds innito, lo cual no va a ser posible; y para las ecuaciones de la capa límite un número de Reynolds laminar. La resolución del campo potencial no requiere la introducción de un número de Reynolds, por lo que el Re elegido será para la capa límite. Como se verá más adelante, las ecuaciones de la capa límite se adimensionalizan de tal manera que no dependen del número de Reynolds. Así, lo único que hay que tener en cuenta es que los resultados obtenidos en la parte de ujo potencial son válidos para un número de Reynolds elevado.

4.4. Campo de velocidades según la teoría del ujo

po-tencial.

Se recuerda que la ecuación a resolver es

∆ϕ = 0 (4.1)

siendo las condiciones de contorno

ϕ_|superf icie = c

donde c es una constante y ϕ función de corriente; y otras condiciones sobre las velo-cidades teniendo en cuenta que

(vx, vy) = (

∂ϕ ∂y,−

∂ϕ ∂x)

Para cada geometría, en concreto, se deducirán las condiciones de contorno sobre ϕ. Además será dato la velocidad de la corriente aguas arriba U∞.

la resolución de la ecuación 4.1 se hace por elementos nitos, con el programa Free-Fem++ [1]. Previamente será necesario acondicionar la ecuación 4.1 para poder aplicar la teoría de métodos numéricos en este problema

Estos elementos nitos estarán en el espacio de elementos nitos Vh. Este espacio es un

espacio de dimensión nita que contiene a las funciones ϕ y g, que son las funciones base,

y que está denido en todos los elementos triangulares del mallado. En el espacio Vh las

funciones base g son polinomios de grado m en cada elemento triangular, y satisfacen que en la frontera de Dirichlet siempre toman valor 0. En cambio, las funciones base ϕ, que son la solución del problema, tomarán un valor determinado en cada frontera.

De esta manera, la ecuación 4.1 habrá que multiplicarla por las funciones base de g e

integrar en el dominio Ω: _ˆ

Ω

4ϕ g dΩ = 0 Integrando por partes queda:

ˆ Ω ∇ϕ ∇g dΩ − ˆ ∂Ω ∂ϕ ∂n·g dΓ = 0

Sobre la frontera ∂Ω la función base g es nula como ya se ha dicho, por lo que se anula la segunda integral en toda la frontera. Hacer nula las funciones base en la frontera es una

condición de contorno que se impone para reducir el número de ecuaciones a resolver, es decir, se dan por supuesta las funciones base g en los nodos de la frontera. Por lo tanto la ecuación a resolver en FreeFem++ queda:

ˆ Ω ∂ϕ ∂x ∂g ∂x + ∂ϕ ∂y ∂g ∂ydΩ = 0

Finalmente, las condiciones de contorno a imponer serán de tipo Dirichlet, es decir, ϕ será conocida en todas las fronteras.

4.4.1. Mallado

La resolución en FreeFem++ requiere la denición de la geometría y el mallado. Para ello se dene la geometría del problema, que se explicará más adelante para cada uno de ellos, y el número de elementos que se quieren en cada frontera. A partir de ahí es el programa el que crea el mallado interno de la geometría, con el número de elementos que encajen en esa disposición. Además existen funciones de FreeFem++ que realizan un proceso iterativo de resolución del campo de ujo potencial y adaptación del mallado a la misma, pudiendo introducir el máximo tamaño de celda del mallado o el error máximo permitido. Esta función se llama adaptmesh. A modo de ejemplo se muestra en la gura 4.1 un ejemplo de mallado alrededor de un perl NACA.

Figura 4.1: Ejemplo de mallado en FreeFem++

4.4.2. Discretización y datos

FreeFem++ resuelve internamente la ecuación por elementos nitos, por lo que no hace falta las ecuaciones sean discretizadas. Lo único que hay que tener en cuenta es que las variables dato han de estar adimensionalizadas, según se ha explicado en la sección 4.2.

Como ya se ha comentado, los datos de entrada a este problema será la velocidad en el innito, que es 1 adimensionalizada, así como las condiciones de contorno de Dirichlet en cada frontera de la geometría.

4.4.3. Resolución

Por lo tanto, FreeFem++ obtiene la función de corriente ϕ en cada nodo del mallado, y derivando se obtiene el campo de velocidades (vx, vy) adimensionalizadas. De igual manera,

se puede obtener el campo de presiones p a través de la ecuación de Bernouilli (2.6), y su gradiente ∂p

∂x.

Si se considera la presión nula en corriente arriba, lo cual se ha considerado en todos los problemas resueltos, donde la velocidad es U∞ entonces la ecuación 2.6 queda:

U2 ∞

2 = C

Introduciendo el valor de la constante C de nuevo en la ecuación 2.6 para un punto genérico se obtiene: p = ρ 2(U 2 ∞− v2) = ρ 2(U 2 ∞− vx2− v 2 y)

Si bien el campo de presiones que se obtiene en FreeFem++ es adimensional, de tal manera que: p = ρ 2(U 2 ∞− v 2 ) ρU∞2 p 0 = ρ 2(U 2 ∞− U 2 ∞v 02 ) p0 = 0,5(1− v02 )

Retomando la notación sin comillas, se tiene la presión adimensionalizada, que será la calculada en FreeFem++ : p = 0,5(1 − v2_).

4.5. Campo de velocidades en la capa límite laminar

Se recuerda que las ecuaciones de la capa límite laminar y sus condiciones de contorno son:

∂u

∂x +

∂v

u∂u ∂x + v ∂u ∂y =− 1 ρ ∂p ∂x + µ ρ ∂2_u ∂y2 u(y = 0) = 0 v(y = 0) = 0 u(y =_{∞) = U(x)} u(x0, y)

donde u(x0, y) es la velocidad de la corriente al inicio de la geometría. El problema se

resuelve en Matlab.

Es necesario adimensionalizar las ecuaciones de la capa límite, si bien por simplicidad se va a adimensionalizar la ecuación vectorial de Navier Stokes para deducir las ecuaciones de la capa límite laminar adimensionalizadas.

ρ~v_{∇~v = −∇p + µ4~v}

Por lo tanto, teniendo en cuenta la adimensionalización de las variables explicadas en la sección 4.2: ρU∞v~0 U∞ D ∇ 0 ~v0 =₋ρU 2 ∞ D ∇ 0 p0+ρU∞D Re U∞ D24 0 ~v0 Simplicando queda ~ v0_∇~0_v0 _=−∇0_p0 ₊ 1 Re4~ 0_v0

Es importante tener en cuenta que, para comodidad del lector, las variables adimen-sionalizadas se van a tratar por su nombre anterior sin adimensionalizar, es decir, se quitan las comillas en las variables adimensionales. Para evitar confusiones más adelante, todas las variables que aparezcan serán adimensionales a no ser que se comente lo contrario. Por lo tanto, retomando la notación anterior, la ecuación de la capa límite adimensionalizada queda:

∂u ∂x + ∂v ∂y = 0 u∂u ∂x + v ∂u ∂y =− ∂p ∂x + 1 Re ∂2_u ∂y2 (4.2)

4.5.1. Mallado

Será necesaria la discretización de las ecuaciones de la capa límite, para lo cual hay que tener en cuenta el mallado. Para ello será necesario conocer la geometría del problema a resolver, si bien Matlab [2] hace uso de este mallado para el planteamiento del sistema de ecuaciones con incógnitas que se resuelve, como se explica más adelante. De esta manera, el mallado de Matlab es cticio, pues es el que se impone para construir el sistema de ecuaciones. Este mallado es regular como el que se muestra en la gura 4.2, y es el que permite el cálculo del sistema de ecuaciones en Matlab.

Por lo tanto, cualquier elemento diferencial de la supercie de un cuerpo se aproxima a una placa plana de longitud diferencial. El mallado a utilizar será tal que el eje X tendrá

Nx nodos, indicados por el subíndice n, separados una distancia de 4x mientras que el eje

Y tendrá N nodos, separados una distancia 4y, y numerados con el subíndice j .

△x △y n n + 1 n_{− 1} j + 1 j j_{− 1} Up

Figura 4.2: Mallado para los elementos n − 1, n y n + 1

4.5.2. Discretización y datos

En primer lugar, cabe comentar que la discretización se puede realizar por diferencias nitas o por elementos nitos. Como ya se ha comentado, se ha elegido el método de dife-rencias nitas, discretizando según cada eje. Las derivadas parciales se han aproximado por diferencias nitas donde el error cometido es de orden O(4x), como se muestra a continuación teniendo en cuenta la nomenclatura de la gura 4.2.

Discretización según el eje X: ∂u ∂x ' un j − un−1j 4x Discretización según el eje Y :

∂v ∂y ' vn j − vj−1n 4y ∂u ∂y ' un j − unj−1 4y ∂2u ∂y2 ' un j+1− 2unj + unj−1 4y2

Finalmente, las ecuaciones a resolver quedan: un j − u n−1 j 4x + vn j − vnj−1 4y = 0 (4.3) un−1 j un j − u n−1 j 4x + v n−1 j un j − unj−1 4y =− ∂p ∂x| n₊ 1 Re un j+1− 2unj + unj−1 4y2 (4.4) donde j = 1, 2, 3, ...N y n = 1, 2, 3, ...Nx.

Las condiciones de contorno a imponer serán las presentadas al inicio de esta sección, que transformadas quedan:

un 1 = 0 vn 1 = 0 un N = U n p u1(y) = u(x0, y) pn_{= p}n p

para todo n. Las dos primeras condiciones de contorno imponen la condición de no deslizamiento. La tercera impone que la velocidad en sentido horizontal fuera de la capa límite (nodo (n, N)) sea la de la solución potencial Un

p. Además, el perl de velocidades para

n = 1debe ser conocido, lo cual queda reejado en la cuarta condición de contorno. La quinta condición de contorno es la presión pn

p obtenida del campo de ujo potencial para cada punto

La tercera condición de contorno se cambia, para algunos casos, por: unN = u

n

N −1 (4.5)

al dar mejores resultados que la anterior. Esto se ha realizado habiendo probado la

anterior a esta y comprobando que ambas velocidades son prácticamente iguales a Un

p. Esta

condición de contorno viene de evaluar la ecuación 4.2 en el nodo N, de tal manera que se obtiene: u(y = δ)∂u ∂x|y=δ + v(y = δ) ∂u ∂y|y=δ =− ∂p ∂x|y=δ+ 1 Re ∂2u ∂y2|y=δ

Como u(y = δ) = Up y fuera de la capa límite la velocidad es horizontal, entonces

∂2_Up

∂y2 |y=δ = 0. Además, en una aproximación al ujo de Bernouilli (ujo ideal) es sabido que

−∂p∂x|y=δ = Up ∂Up

∂x . De esta manera se obtiene que ∂Up

∂y |y=δ = 0, por lo que queda justicada la

condición de contorno 4.5.

Por lo tanto, el acoplamiento entre los problema de ujo potencial y capa límite se realiza a través de −∂p

∂x|

n_{, que será conocido en todos los puntos del mallado. En el Capítulo}

III se dedujo que ∂p

∂y = 0, por lo que la presión a lo largo de la vertical es constante e igual

para el campo de ujo potencial y la zona de la capa límite. De esta manera, la resolución en FreeFem++ permite obtener un vector de presiones p, que se importará a Matlab, siendo conocido −∂p

∂x|

n _{en cada punto.}

4.5.3. Resolución

A continuación se procede a explicar la resolución del problema a partir de las ecuacio-nes, los datos, y las condiciones de contorno. El objetivo es conocer el campo de velocidades en la capa límite laminar, entre otras cosas, para a partir de él, obtener los perles a lo largo del cuerpo y parámetros interesantes como el coeciente de fricción Cf.

En Matlab se ha realizado un programa que obtiene las matrices U y V , donde U es la velocidad horizontal en la capa límite y V la vertical. Estas matrices contienen los valores de las velocidades u y v en cada nodo del mallado. Se resolverán de forma unidimensional, de tal

manera que para cada n se obtendrán Un _{y V}n_{, y una vez conocidos el programa resolverá}

la columna de nodos n + 1.

Para mayor comodidad del lector a la hora de entender el programa se van a ordenar las ecuaciones en función de las incógnitas que contienen para la posterior construcción de las matrices que conforman el sistema de ecuaciones.

En función de la geometría del problema se construyen los vectores x e y, que recorren el mallado con intervalos de 4x y 4y. Los valores de estos incrementos se han elegido tras probar diferentes valores para cada geometría. Como cualquier estudio de métodos numéricos,

es interesante la comparación de resultados para distintos pasos del mallado, si bien en este proyecto la elección del mallado adecuado se realiza por análisis de los perles de velocidades y vericación de los mismos. Por ejemplo, para el caso de la placa plana, se tiene que obtener el perl de velocidades de Blasius, por lo que se probarán distintos valores de 4x y 4y. Para todas las geometrías resueltas estarán comprendidos entre 0,01 y 0,001.

De esta manera, retomando las ecuaciones 4.3 y 4.4 quedan:

(₋v n−1 j 4y − 1 Re4y2)u n j−1+ ( un−1 j 4x + vn−1 j 4y + 2 Re4y2)u n j + (− 1 Re4y2)u n j+1 =− (un−1 j )2 4x − ∂p ∂x| n (4.6) − 1 4yv n j−1+ 1 4yv n j =− un j − u n−1 j 4x (4.7)

Como se puede observar, la primera ecuación tiene como incógnitas un

j−1, unj y unj+1.

Todas las variables evaluadas en n − 1 son conocidas ya que vendrán de la resolución de la columna de nodos anterior. Una vez resuelta la ecuación primera se procede a la resolución de la segunda donde las incógnitas son vn

j−1 y vnj.

Es sabido que el espesor de la capa límite δ es proporcional al número de Reynolds de la siguiente manera:

δα√1 Re

Por lo tanto, la altura y también lo será. Si se realiza el cambio de variable y0 ₌√_Rey,

siendo y0 _{la nueva variable y, se tienen ecuaciones más simplicadas. Lo que se consigue con}

este cambio de variable es que la nueva variable y0 _{sea del orden de 1, además de conseguir}

que las ecuaciones de la capa límite no dependan del número de Reynolds. Además se realiza el cambio de variable vn

j´ = vnj

√ Re.

Una vez realizados estos cambios de variable, por simplicidad, se asigna la siguiente notación: an=− vn−1 j 4y − 1 4y2 bn = un−1 j 4x + vn−1 j 4y + 2 4y2 c =₋ 1 4y2 fn =− (un−1 j )2 4x − ∂p ∂x| n