Definiciones iniciales en corriente alterna
Objetivos
1. Calcular y relacionar entre si los distintos parámetros que caracterizan a las funciones sinusoidales, según los criterios conocidos de las matemáticas y los dados en el texto.
2. Definir el valor eficaz, ejemplificando su aplicación en el cálculo de los valores eficaces de corrientes y tensiones alternas sinusoidales.
3. Introducir las características esenciales sobre la respuesta forzada a un estímulo sinusoidal,
basándose en lo aprendido sobre la respuesta a un estímulo de corriente directa. Sumario:
a) Importancia de la corriente alterna
b) Características de las corrientes y tensiones sinusoidales c) Valor eficaz
d) Respuesta forzada a un estímulo sinusoidal. Función forzada compleja. (Autoestudio)
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 10. Epígrafes 10.1 a 10.3, 11.4 (Valores eficaces, páginas 390-392). Apéndice 5. Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Se comenzará a trabajar en los circuitos eléctricos con estímulo sinusoidal o corriente alterna. El trabajo con corriente alterna necesita de la matemática aprendida relacionada con las funciones sinusoidales, identidades trigonométricas y los números complejos. En el apéndice 5, el texto hace un repaso de la aritmética compleja y desarrolla la identidad de Euler, así como la relación entre las formas exponencial y polar. Si no los domina no puede entender lo que se explica.
- ¿Porqué es importante la corriente alterna?
- ¿Qué características presentan las corrientes y tensiones sinusoidales?
- ¿Cómo se define y calcula el valor eficaz de corrientes y tensiones sinusoidales? - ¿Qué características tiene la respuesta forzada a un estímulo sinusoidal?
a) Importancia de la corriente alterna
La corriente alterna se genera con eficiencia a tensiones relativamente elevadas .Por medio de transformadores, los niveles de tensión pueden variarse con facilidad , transmitir a grandes distancias con pocas pérdidas , distribuir y utilizar , todo ello de manera económica.
El SEN (Sistema Electro energético Nacional) trabaja con corrientes y tensiones sinusoidales en todo el territorio nacional. Las líneas de alta tensión que vemos operan con tensiones sinusoidales y por los conductores circulan corrientes sinusoidales. La alimentación de energía eléctrica en nuestras instalaciones: centros comerciales, Industrias, viviendas, hospitales, hoteles, terminales marítimas y aéreas, almacenes, centros deportivos y culturales es sinusoidal. Si en un tomacorriente conectamos un osciloscopio para ver la forma de la señal de tensión observaremos una sinusoide.
Esto es así en casi todas las regiones del planeta. Solo por excepción existen algunas líneas de transmisión de corriente directa.
b) Características de las corrientes y tensiones sinusoidales.
Sinusoidal implica tanto seno como coseno. En el Epígrafe 10.2 se hace un recuento de las características de las funciones sinusoidales (senoides en el texto).
La figura muestra la forma de onda de una tensión variable sinusoidalmente
v(t) = Vm cos (ωt) donde:
v(t): valor instantáneo de la onda sinusoidal. v(t*) : valor en el instante t*
Vm: amplitud o valor máximo de la onda sinusoidal
ωt: argumento, ángulo de fase o fase (radianes) ω: frecuencia en radianes o frecuencia angular (rad/s) T: período (segundo, s) y también 2π (radianes) f: frecuencia lineal (hertz, Hz o ciclos/s) Se relacionan por: f =1/T, ω =2π / T = 2π f.
En el Sistema Electro energético Nacional, SEN: f = 60 Hz, ω = 377 rad/s, T = 16,67 ms En forma general cuando se incluye un ángulo de fase θ en el argumento, se escribe como v(t) = Vm cos (ωt +θ)
Ejemplo 1
La tensión en un elemento viene dada por v(t) = Vm cos (ωt +θ) y se muestra en el gráfico. a) ¿Qué valor tiene la amplitud de la cosinusoide? b) Señale un período. c) ¿Cómo se calcularía el ángulo de fase o fase inicial θ? ¿Es positivo o negativo?
Respuesta:
θ/ t1 = 2π /T con θ expresado en radianes θ/ t1 = 3600 /T con θ expresado en grados
Como se tiene el gráfico, el ángulo de fase o fase inicial se mide en la función en coseno, del máximo positivo más cercano al eje al origen y en este caso es negativo.
Adelanto y retardo de fase. Defasaje.
Ejemplo 2
Determinar el defasaje, avance o retardo de fase entre v1(t) y v2t) si:
v1(t) = Vm1 cos(ωt +θ1), v2(t) = Vm2cos(ωt +θ2). Suponga θ1= 500 y θ2 = -15 0 Solución:
Para realizar el análisis del defasaje entre dos ondas sinusoidales, ambas deben ser de igual frecuencia, tener amplitudes positivas y expresadas como función coseno o seno.
θ12 = θ1 - θ2 = 500 -( -150) = 750 > 00, la onda 1 avanza a la 2 en 750,o la 2 retarda a la 1 en 750 Resumen
Si θ12 = θ1 - θ2 = 00 Æθ1 = θ2, las ondas están en fase (concordancia de fases)
Si θ12 > 00 la onda 1 avanza a 2 (1 adelanta a 2, la onda 2 atrasa a 1, la onda 2 retarda a 1) Si θ12 < 00 la onda 2 avanza a 1 (2 adelanta a 1, la onda 1 atrasa a 2, la onda 1 retarda a 2) En cualquier caso, adelantada o retrasada, se dice que están fuera de fase.
θ12 = θ1 - θ2 = ±900 las ondas están en cuadratura
θ12 = θ1 - θ2 = ±1800 las ondas están en oposición de fase l Por comodidad práctica |θ12 | ≤ 1800.
Se prefiere para estos análisis en nuestras clases ambas funciones coseno. En textos en inglés: lagging atraso, leading adelanto
¿Como analizar el defasaje si tenemos la información de ambas ondas en forma gráfica? Analicemos en ambas señales las posiciones de los máximos positivos más cercanos al eje vertical ωt = 0 ó t = 0.
Estos ángulos están situados en un entorno alrededor del origen de ancho 900.
El ángulo desde el máximo de 1 hasta el eje ωt = 0 es positivo pues está en la dirección positiva de la referencia de medida de ángulos. Esto se puede visualizar trazando un segmento dirigido de módulo θ1 desde la cresta de v1 hasta el eje vertical ωt = 0, y verificando que su dirección señala la referencia positiva. El valor θ1 es la fase inicial de la señal 1 y de acuerdo a la escala del eje ωt se obtiene +500.
El ángulo desde el máximo de 2 hasta el eje ωt = 0 es negativo, lo cual se visualiza trazando un segmento dirigido desde la cresta de v2 hasta el eje ωt = 0 y verificando que su dirección señala la referencia negativa. Se obtiene θ2 que es la fase inicial de la señal 2, y de acuerdo a la escala del eje se obtiene -150.
Se observa que el máximo de la señal 1 más cercano al eje vertical ωt = 0, ocurre antes que el máximo de la señal 2. De ahí se concluye que la señal 1 avanza a la 2 en 75o.
El texto hace un análisis similar de otra forma a partir de la en la función seno en las Figuras 10.2 y 10.3 pero los resultados son los mismos.
Resultan útiles las identidades:
sin (A)= cos (A - 900) -cos (A)= cos (A ± 1800) -sin (A)= cos (A + 900)
Recuerde que los términos de los argumentos de las funciones trigonométricas circulares, deben expresarse en el mismo sistema de unidades (sexagesimal o radianes).
Ejemplo 3
Calcular el valor de la corriente i(t) = 2 cos(πt/6 + 450) A, en el instante t = 3s . Solución:
πt/6 + 450 = π/2 + 450 = 900 + 450 = 1350 (preferible en nuestras actividades) o también πt/6 + 450 = π/2 + π/4 = 3π/4
En ambos casos el valor instantáneo de la corriente es i(3) = - 1,41 A. c) Valor eficaz, efectivo o RMS.
Es un parámetro importante que caracteriza a una corriente alterna pues el valor instantáneo depende del tiempo.
Sabemos que la tensión en una vivienda es alterna sinusoidal de 60Hz de frecuencia. Si conectamos un voltímetro de ca al tomacorriente de la casa, obtenemos aproximadamente 115 V. ¿Qué representa este valor? No es un valor instantáneo ya que varían rápidamente.
No es la amplitud lo cual podemos comprobar con un osciloscopio obteniéndose Vm = 162,6 V = 115 √2 V. No es el valor medio pues es nulo. El valor medio de las funciones sinusoidales es cero. Tampoco es el valor medio en medio ciclo ya que es 103.5V. Se dice que 115 V es el valor eficaz de la tensión sinusoidal de la ca.
¿Qué es el valor eficaz?
El valor eficaz de una corriente variable i(t) es aquel valor constante I que al fluir por la carga (R) disipa la misma energía que la corriente variable en el mismo intervalo de tiempo.
Con el fin de encontrar la expresión de la corriente eficaz vamos a aplicar una tensión de directa V en un resistor de resistencia R conocida. La potencia es: P = V I = I2 R
La energía disipada en un intervalo de tiempo t dado: W = I2 R t
Aplicando una señal variable de corriente i(t) que disipe en el elemento la misma cantidad de energía en iguao intervalo de tiempo: p(t) = v(t) i(t) = [i(t)]2 R .
Integrando: dt t i T I dt t i T I igualando dt t i R W t t t t t t
∫
∫
∫
= ⇒ = = 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ) ( 1 ) ( 1 ) (Esa la expresión general para el cálculo del valor eficaz asociado a una señal variable en el tiempo. No depende de R, ni de la frecuencia, ni de la fase. La magnitud puede ser corriente o tensión. En el texto se utiliza con los límites de integración entre 0 y T.
Desde un punto de vista matemático es un valor medio cuadrático (root-mean-square value- effective value).
En las chapas de los equipos eléctricos (motores, generadores, transformadores, equipos electrodomésticos) se brindan los valores eficaces de tensión y/o corriente. Los instrumentos leen valores eficaces. Las tensiones en las líneas de transmisión son referidas generalmente como valores eficaces (por ejemplo 220kV). El texto introduce el concepto de valor eficaz en el capítulo 11, demuestra la expresión anterior y también calcula el valor eficaz de una función sinusoidal, llegando a: Vef =Vm /√2 , Ief= Im /√2.
d) Respuesta forzada a un estímulo sinusoidal.
Este aspecto esta especialmente bien tratado en el texto (epígrafe 10.3) ¿Cuál es la respuesta de un circuito a un estímulo sinusoidal?
Si el circuito es lineal, incluyendo al estímulo, la respuesta total será la suma de la respuesta transitoria y la forzada.
La respuesta transitoria es independiente del estímulo aplicado, dependiendo de los parámetros del circuito, tipo de conexión y condiciones iniciales. En el estado estable, la respuesta transitoria ha desaparecido y prevalece la respuesta forzada.
¿Cuál es la forma de la respuesta forzada de un circuito a un estímulo sinusoidal? Se analizará un caso simple:
Suponiendo un circuito RL estimulado con una fuente de tensión alterna v(t) =Vm cos (ωt + θ), de frecuencia, amplitud y fase inicial definidos.
Aplicando LKT se puede obtener la ecuación diferencial característica del circuito.
La corriente i(t) en el estado estable o respuesta forzada, después de anularse la respuesta transitoria, tiene la forma:
i(t) = Im cos (ωt + Ф), donde Im (amplitud de la corriente) y Ф (fase inicial de la corriente) dependen de los parámetros del circuito y de la frecuencia.
La forma funcional de la respuesta forzada es la misma que la del estímulo, de igual frecuencia y presenta un defasaje respecto al mismo.
En el epígrafe 10.3 se obtiene las expresiones de la amplitud y de la fase de la corriente. En general, aun para circuitos más complejos esta afirmación se mantiene.
Para obtener la respuesta forzada en un circuito dado, ¿se resolverá la ecuación diferencial característica?. En la generalidad de los casos que se estudiarán, la respuesta es no. Esto seria muy complicado e innecesario y solo se realizará en casos muy específicos para estudiar teóricamente el comportamiento del circuito.
¿Qué método se aplicará para analizar los circuitos en régimen estable alterno? Se verá en la próxima actividad, que se usará el método fasorial el cual ahorra cantidad de trabajo.
Conclusiones
La tensión del gráfico pasa por cero cada 2ms y en t =2,4ms tiene un valor de -12V.
1) ¿Cuál es el período? T = 2(2) = 4ms,
2) ¿Cuál es la frecuencia? f =1/T = 0, 25kHz = 250Hz 3)¿Cuál la frecuencia angular? ω = 2π f = 500 π rad /s 4) Exprésela en coseno: v(t) = Vm cos (ωt + θ)
4. 1) Determine la fase inicial
Evaluando en t = 0: 0 = Vm cos (ω0 + θ ) = Vm cos θ, de donde θ = ± 900
¿Qué valor tomar? ¿Cómo hacerlo del gráfico? θ = - 90o 4.2) ¿Cómo se obtiene el valor máximo o amplitud Vm?
Evaluando: -12 = Vm cos (500 π (2,4⋅10-3) – 900) = Vm cos(1,2 π – 0,5π) -12 =Vm cos0,7 π y despejando: Vm = 20,4V.
Finalmente: v(t) = 20,4 cos(500 πt - 900 ) V
5) ¿Cuál es el valor eficaz de esa tensión? Vef =Vm /√2 = 20.4/√2 V
Orientaciones para el trabajo independiente.
Lea el Epígrafe 10.1, introducción. Puntualice que se trabajará con la respuesta forzada o permanente, la que permanece después que el transitorio ha desaparecido. La respuesta transitoria en corriente alterna se verá posteriormente por el interés que tiene para esta especialidad.
En el Epígrafe 10.2 encuentra un repaso sobre lo aprendido en matemática relacionado con las características de las funciones sinusoidales. Es imprescindible dominar lo que aquí se plantea para el trabajo con fasores en corriente alterna. Si tiene dudas o no lo recuerda bien, tiene que dedicar tiempo inicial a estos aspectos. Lea bien lo que el texto señala al margen de las páginas y los errores comunes que se comenten.
Se trabajará bastante con funciones trigonométricas y el texto proporciona identidades trigonométricas útiles en la parte interna de la portada del libro. Es posible que ya las haya visto pero le recordamos que se encuentran al final, después del índice con el nombre de “Tabla breve de identidades trigonométricas”.
Realice las Prácticas 10.1, 10.2, 10.3 y la 10.4 que trata sobre números complejos, después
de estudiar el apéndice 5.
Estudie lo relativo a valores eficaces en el Capítulo 11, Epígrafe 11.4 (Valores eficaces, páginas 390-392). Memorice el resultado obtenido en la página 392 que es muy importante y lo utilizará frecuentemente.
Lea el Epígrafe 10.3, revise el Ejemplo 10.1. Realice los Ejercicios 3, 6, 7, 8, 10 del texto. Resuelva los ejercicios siguientes:
Muchos alumnos confían ciegamente en la calculadora y no analizan si un resultado es posible o no. Si la calculadora está defectuosa (digamos, pila gastada, por ejemplo), se oprime tecla indebida, se trabaja con un modo no adecuado (GRA o RAD en vez de DEG en un cálculo con grados sexagesimales), no se percatan del error en el resultado porque no lo analizan o realizan automáticamente los cálculos. Este ejercicio se realiza sin calculadora y tiene como objetivo analizar si el resultado es o no correcto:
1) 10 ∠-300 = 8.6 + j 5 2) 5 - j 6 = 2 ∠-50.20 3) 7- j4 = 8.06 ∠29.70 4) 8 + j 4 = 8.94 ∠-260 5) 5 - j 6 = 12 ∠-50.20 6) 17 ∠540 = 10 +j 4 7) 17 ∠540 = 10 + j35 8) 10 ∠45 + 10∠10 = 20 ∠550 9) 10 ∠145 = –8.2 + j 9 10) - 5 – j5 = 7.1 ∠135 11) -12 - j 6 = 5 ∠-153.6
Observaciones: Al resolver el ejercicio emplee técnicas manuales y después compruebe con la calculadora. Debe dominar la técnica de conversión binómica ↔ polar
¿Qué relación existe entre las funciones sinusoidales y los números complejos?
¿Qué es un fasor?, ¿Cómo se relaciona con los números complejos y las funciones sinusoidales?
¿Cuál es la relación tensión-corriente en forma fasorial en los elementos de circuito R, L y C? ¿Cómo se expresan las Leyes de Ohm y las de Kirchhoff en forma fasorial?
Se comenzará a trabajar con el método fasorial, que tiene la ventaja resolver los circuitos con ecuaciones algebraicas en lugar de ecuaciones con derivadas e integrales. Lea el Epígrafe 10.4, Función forzada compleja, que le brinda los aspectos necesarios para entender lo que ellos denominan “Una alternativa algebraica para las ecuaciones diferenciales” y que es el paso previo para la introducción de los fasores.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico “José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
