Tercera Jornada General de Ensayos Tesla

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Tercera Jornada General de Ensayos Tesla

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Instrucciones:

1. Este modelo consta de 65 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, se˜naladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omi-sión o error en ellos impedirá que se entregue sus resultados. Se le dará tiempo suficiente para ello antes de comenzar la prueba.

3. DISPONE DE 2 HORAS Y 20 MINUTOS PARA RESPONDERLA.

4. Lea atentamente las instrucciones para responder las preguntas de Suficiencia de Datos que est´an distribuidas en esta prueba, en donde se explica la forma de abordarlas. 5. Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado.

Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz de grafito Nº 2 o portaminas HB.

6. No se descuenta puntaje por respuestas erradas.

7. Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportuna-mente sus respuestas a la hoja de respuestas. Tenga presente que se considerar´an para la evaluaci´on exclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja.

8. Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solo los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, l´ımpiela de los residuos de goma.

9. El número de serie del folleto no tiene relación con el número del código de barra que aparece en la hoja de respuestas. Por lo tanto, pueden ser iguales o distintos.

Instrucciones Espec´ıficas:

1. Las figuras que aparecen en el ensayo son solo indicativas.

2. Los gr´aficos que se presentan en este ensayo est´an dibujados en un sistema de ejes perpendiculares.

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Instrucciones para las preguntas de Suficiencia de Datos:

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es as´ı, que se deberá marcar la opción:

A) (1) por s´ı sola, si la afirmaci´on (1) por s´ı sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmaci´on (2) por s´ı sola no lo es,

B) (2) por s´ı sola, si la afirmaci´on (2) por s´ı sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmaci´on (1) por s´ı sola no lo es,

C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por s´ı sola es suficiente, D) Cada una por s´ı sola, (1) ´o (2), si cada una por s´ı sola es suficiente para responder a la

pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. S´ımbolos Matemáticos:

< es menor que

> es mayor que

≤ es menor o igual a

≥ es mayor o igual a

∠ ´angulo

log logaritmo en base 10 ln logaritmo en base e φ conjunto vac´ıo ∪ uni´on de conjuntos ∩ intersecci´on de conjuntos ∼ = es congruente con ∼ es semejante k es paralelo a ⊥ es perpendicular a 6 = es distinto de ∈ pertenece a AB trazo AB |x| valor absoluto de x x! factorial de x − →_u _vector _u 3

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1. 1 2 −1 −1 = A) −2 B) −1 2 C) 0 D) 1 2 E) 2

Soluci´on: Resolvemos:

1 2−1 −1 = −1 2 −1 =−2 Unidad: N´umeros

Subunidad: N´umeros Racionales Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: A

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2. Si la fracci´on 355

990 se representa como un n´umero decimal redondeado a la cuarta cifra decimal, entonces ¿cu´al es dicha cifra?

A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9

Soluci´on: Para representar como decimal, debemos realizar la divisi´on: 355 : 990 = 0,35858585. . .

Redondeando a la cuarta cifra decimal nos queda 0,3586, por lo que la cifra pedida es 6.

Unidad: N´umeros

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: C

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3. ¿Cu´al de las siguientes fracciones es equivalente a 0,6 0,625? A) 5 12 B) 25 24 C) 16 15 D) 16 5 E) 12 5

Solución: Transformaremos cada número a fracción y resolvemos:

0,6 0,625 = 6 9 625 1000 = 2 3 5 8 = 2 3 · 8 5 = 16 15 Unidad: N´umeros

Habilidad Cognitiva: Compresi´on Clave: C - Pregunta Piloto

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4. ¿Cu´al(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) a 3 8? I) 27 36 II) 3·(0,5)3 III) 1 2+ 1 2· 1 2 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

Soluci´on: Analizamos: I) 27 36 = 3 4 6= 3 8. No es igual. II) 3·(0,5)3 = 3· 1 2 3 = 3·1 8 = 3 8. S´ı es igual. III) 1 2+ 1 2· 1 2 = 1 2 + 1 4 = 4 8 + 2 8 = 6 8 = 3 4 6= 3 8. No es igual. Unidad: N´umeros

Subunidad: N´umeros Racionales Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: B

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5. Diego debe resolver el siguiente problema de prioridad de operaciones para aprobar su prueba final de Matem´atica:

(−1)2+ 3·4−2 + 5

El desarrollo de Diego fue el siguiente:

Paso 1: → (−1)2_{+ 3}_·₄₋_{2 + 5}

Paso 2: → 1 + 3·4−2 + 5 Paso 3: → 1 + 3·2 + 5 Paso 4: → 1 + 6 + 5 Paso 5: → 12

Respecto del desarrollo presentado por Diego, es correcto afirmar que:

A) El Paso 2 est´a errado, ya que (−1)2 ₌₋_{1 al ser una potencia de base negativa.}

B) El Paso 2 est´a errado, porque debi´o realizar las sumas y restas antes de realizar la potencia.

C) El Paso 3 está errado, al realizar una resta antes que una multiplicación. D) El Paso 5 está errado, ya que 1 + 6 + 5 = 11.

E) El desarrollo de Diego est´a completamente correcto. Soluci´on: Analizamos cada alternativa:

A) Claramente (−1)2 _{= 1 y no}₋_{1. Falsa.}

B) La prioridad de operaciones indica que hay que realizar multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y luego las sumas o restas. Falsa.

C) Está errado el Paso 3, debido a que la multiplicación se realiza antes que la suma, según la prioridad de operaciones. Verdadera.

D) Obviamente 1 + 6 + 5 = 12 y no 11. Falsa.

E) Por lo expuesto en la parte C), es claro que el argumento de Diego est´a errado. Falsa.

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6. ¿Cu´al(es) de los siguientes valores cumple que su cubo no es menor que su cuadrado? I) 1 II) 0 III) −1 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

Soluci´on: Reemplazamos en cada caso: I) 13 _≥₁2 _⇒₁_≥_{1. Se cumple.}

II) 03 ≥02 ⇒0≥0. Se cumple.

III) (−1)3 ≥12 ⇒ −1≥1. No se cumple.

Unidad: N´umeros

Subunidad: N´umeros Enteros Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: C

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7. ¿Cu´al(es) de los siguientes n´umeros es (son) irracional(es)? I) −√0,125 II) √3₋₀_,₁₂₅ III) √4₋₀_,₁₂₅ A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

Soluci´on: Primero vemos que 0,125 = 1

8. Ahora analizamos cada n´umero: I) −√0,125 =− r 1 8 =− 1 2√2. Irracional. II) √3 ₋₀_,_{125 =} 3 r −1 8 =− 1 2. Racional.

III) Corresponde a una ra´ız de ´ındice par cuya cantidad subradical es negativa, por ende no es un n´umero real, es decir, tampoco irracional.

Unidad: N´umeros

Subunidad: N´umeros Irracionales Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: A

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8. Para una tarea, Julián debe responder a qué temperatura hierve el agua en grados Fahrenheit. Julián decide hacer una investigación en la biblioteca, leyendo un libro de Qu´ımica, en el cuál se entera que el agua hierve a 100 grados Celsius y que la temperatura de un cuerpo en grados Fahrenheit menos 32 unidades es la temperatura del mismo cuerpo en grados Celsius, pero en la razón 9 es a 5, respectivamente. Por lo tanto, la respuesta que debe dar Julián a su tarea, en grados Fahrenheit, es:

A) 100 B) 125 C) 208 D) 212 E) 300

Soluci´on: El enunciado nos indica que la relaci´on entre los grados Celsius (°C) y los grados Fahrenheit (°F) es ◦F −32 = 9

5 ◦

C. Luego reemplazamos los valores dados en el enunciado y resolvemos:

◦_F ₋_{32 =} 9

5 ·100⇒

◦ _F ₋_{32 = 180}_⇒◦ _F _{= 212}

Por lo que Juli´an debe responder que la temperatura pedida es, en grados Fahrenheit, 212.

Unidad: N´umeros

Subunidad: Razones y Proporciones Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Resolver Problemas Clave: D

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9. Si t= 0,3, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son)FALSA(S)? I) t2 _{> t}−2 II) 8< t−2 _<₁₀ III) t−3 _{> t}−2 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

Soluci´on: Notemos quet = 0,3 = 3 9 =

1

3. Ahora analizamos cada afirmaci´on: I) t2 _{> t}−2 _⇒ 1 3 2 > 1 3 −2 ⇒ 1 9 >9. Falsa. II) 8< t−2 <10⇒8<9<10. Verdadera. III) t−3 _{> t}−2 _→ 1 3 −3 > 1 3 −2 →27>9. Verdadera. Unidad: N´umeros Subunidad: Potencias Dificultad:Media

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10. Se puede determinar que la expresi´on √n

10−x es un n´umero real si se sabe que:

(1) n es impar (2) x= 3√11

A) (1) por s´ı sola B) (2) por s´ı sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s´ı sola, (1) ´o (2) E) Se requiere informaci´on adicional

Soluci´on: Observamos las informaciones entregadas: Si n es impar, entonces √n

10−x ser´ıa una ra´ız de ´ındice impar, las cuales siempre son reales, por lo que la afirmaci´on (1) es suficiente.

Si x = 3√11 = √99, entonces √n

10−x = pn √100−√99. Como √100 > √99, dicha ra´ız tiene un subradical positivo, lo que indica que es un n´umero real, por lo tanto (2) es suficiente.

Finalmente ambas afirmaciones por separado son suficientes para resolver el problema. Unidad: N´umeros

Subunidad: N´umeros Reales Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: D

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11. Si log₃6 = 1,63, entonces ¿cu´al es el valor de log₃18? A) −1,63

B) 0,63 C) 1,63 D) 2,63

E) Ninguna de las anteriores

Soluci´on: Usamos las propiedades del logaritmo: log₃18 = log₃(6·3) = log₃6 + log₃3 = log₃6 + 1 = 1,63 + 1 = 2,63 Unidad: Algebra´ Subunidad: Logaritmos Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: D

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12. 4 1−√3 = A) −2−2√3 B) −1−√3 C) 1 D) 1 +√3 E) 2 + 2√3

Soluci´on: Racionalizamos: 4 1−√3 = 4 1−√3 · 1 +√3 1 +√3 = 4(1 + √ 3) (1−√3)(1 +√3) = 4(1 + √ 3) 1−3 = 4(1 + √ 3) −2 = −2(1 +√3) = −2−2√3 Unidad: Algebra´ Subunidad: Ra´ıces Dificultad:Baja

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13. El grado de la expresi´on 5x2_y3 ₋₇_x3_y3₋₆_y4_z2 _es: A) −7 B) −6 C) 1 D) 5 E) 6

Soluci´on: Los grados de cada t´ermino son:

5x2_y3 _→ _Grado:5

−7x3y3 → Grado:6

−6y4_z2 _→ _Grado:6

Por lo que el grado de la expresi´on es 6. Unidad: Algebra´

Subunidad: Expresiones Algebraicas Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: E

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14. Si n

n+ 2 es el inverso aditivo de − 47

45, entonces ¿cu´al es el valor den? A) 47 B) 47 46 C) −47 46 D) −47 E) −94

Soluci´on: Plantemos lo mostrado en el enunciado y resolvemos:

n n+ 2 = 47 45 ⇒ 45n = 47n+ 94 ⇒ −2n = 94 ⇒ n=−47 Unidad: Algebra´

Subunidad: Ecuaciones de Primer Grado Dificultad:Baja

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15. ¿Cu´al es el valor de a+b, si 3 2a_·₃2b 3 = 27? A) 1,5 B) 2 C) 4 D) 40,5 E) 81

Soluci´on: Resolvemos: 32a·32b 3 = 27⇒ 32a+2b 3 = 27⇒3 2a+2b−1 _{= 3}3 _⇒₂₍_a₊_b₎₋_{1 = 3}_⇒_a₊_b _{= 2} Unidad: N´umeros Subunidad: Potencias Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: B

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16. Si a+ 3 =b−2 = c+ 1 = 0, ¿cu´al es el valor de la expresi´on 5ab−4c2_? A) −46 B) −34 C) −26 D) 26 E) 36

Soluci´on: Calculamos el valor de cada letra por separado:

a+ 3 = 0⇒a=−3

b−2 = 0⇒b= 2

c+ 1 = 0⇒c=−1

Luego simplemente reemplazamos en la expresi´on algebraica dada: 5ab−4c2 = 5·(−3)·2−4·(−1)2 =−30−4 =−34

Unidad: Algebra´

Subunidad: Expresiones Algebraicas Dificultad:Baja

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17. Si t es el cuadrado de un entero positivo, ¿cu´al de las siguientes expresiones es la mejor representaci´on del cuadrado del entero inmediatamente mayor?

A) 1

B) 2√t+ 1 C) t2_{+ 2}_t_{+ 1}

D) t+ 1

E) t+ 2√t+ 1

Soluci´on: Si t es el cuadrado de un entero positivo, dicho entero es √t y el entero inmediatamente mayor a ´el es √t+ 1, por ende su cuadrado es (√t+ 1)2 ₌_t_{+ 2}√_t_{+ 1.}

Unidad: Algebra´

Subunidad: Factorizaci´on y Productos Notables Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Representaci´on Clave: E

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18. Para n 6= 0 yn6=±2, la expresi´on 2n n2₋₄ : n n−2 es equivalente a A) 1 n+ 1 B) 2 n+ 2 C) n n+ 2 D) 1 2n+ 4 E) n n−2

Soluci´on: Factorizando y simplificando: 2n n2₋₄ : n n−2 = 2n (n+ 2)(n−2) · n−2 n = 2 n+ 2 Unidad: Algebra´

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19. Bastián es un alumno que no participa en clases, pero que tiene un promedio 7,0 en Matemáticas. Su profesor decide que pondrá una última nota por participación en clases, por lo que Bastián deberá salir a la pizarra a simplificar la siguiente expresión, para

x6= 3,4:

x2₋₆_x_{+ 9} x2₋₇_x_{+ 12}

Pero, a diferencia de sus compañeros, Bastián no deberá realizar el desarrollo en la pizarra, si no que su profesor le dice que debe hacer el desarrollo mentalmente y escribir solo su respuesta. Si entrega mal la respuesta, obtendrá un 1,0 como nota y si da la respuesta correcta, obtendrá un 7,0, por lo tanto, la expresión que debe escribir Bastián para seguir con su racha perfecta de 7,0 en Matemáticas es:

A) x−3 x+ 4 B) x+ 3 x+ 1 C) x−3 x−4 D) x+ 3 x−4 E) x−3 x−1

Solución: Basta con que Bastián haga la factorización y simplificación:

x2₋₆_x_{+ 9} x2₋₇_x_{+ 12} = (x−3)2 (x−3)(x−4) = x−3 x−4 Unidad: Algebra´

Habilidad Cognitiva: Resolver Problemas Clave: C

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20. Si x6= 0 yx6=±1, entonces 4 x2₋_x − 2 x2₋₁ = A) 4 x B) 2 x(x+ 1) C) 2 x(x−1) D) x+ 2 x(x−1)(x+ 1) E) 2(x+ 2) x(x−1)(x+ 1)

Soluci´on:Notar que elM CM de los denominadores esx(x−1)(x+ 1). Luego operamos las fracciones: 4 x2₋_x − 2 x2₋₁ = 4(x+ 1)−2x x(x−1)(x+ 1) = 2x+ 4 x(x−1)(x+ 1) = 2(x+ 2) x(x−1)(x+ 1) Unidad: Algebra´

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21. ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones, la ecuación 2x−4y = 3 forma un sistema que posee solución única?

A) x−2y= 2 B) 2x+y = 6 C) 2y=x+ 1 D) 2x= 4y+ 3

E) Con ninguna de ellas

Soluci´on: Recordemos que la cantidad de soluciones de un sistema de ecuaciones se analiza de la siguiente forma (Considere a, b, c, d, e, f n´umeros reales y constantes):

ax+by = c dx+ey = f Tenemos 3 casos: a d 6= b

e ⇒ El sistema tiene una ´unica soluci´on a

d = b e 6=

c

f ⇒ El sistema no tiene soluci´on a

d = b e =

c

f ⇒ El sistema tiene infinitas soluciones

Ahora debemos analizar cada sistema formado por separado: A) El sistema queda expresado como:

2x−4y = 3 x−2y = 2 Luego 2 1 = −4 −2 6= 3

2, entonces el sistema no tiene soluci´on. B) El sistema queda expresado como:

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C) El sistema queda expresado como: 2x−4y = 3 −x+ 2y = 1 Luego 2 −1 = −4 2 6= 3

1, entonces el sistema no tiene soluci´on. D) El sistema queda expresado como:

2x−4y = 3 2x−4y = 3 Luego 2 2 = −4 −4 = 3

3, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. Finalmente el sistema formado con B) es el pedido.

Unidad: Algebra´

Subunidad: Sistemas de Ecuaciones Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: B

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22. ¿Cu´al de las siguientes expresiones es igual a q (1−(√x+ 2)2₎2_{, si} ₋₂_≤_x_{≤ −}_1? A) x+ 1 B) x−1 C) −x+ 3 D) −x−3 E) −x−1

Soluci´on: Primero recordemos que (√a)2 ₌ _a _si _a _≥ _{0 y} √_a2 ₌ _|_a_|_{, para} _{a <} _{0. La}

expresión dada solo está definida si es que x ≥ −2. Luego tenemos que la expresión reducida es:

q

(1−(√x+ 2)2₎2 ₌_|₁₋₍√_x_{+ 2)}2_|

=|1−(x+ 2)|=| −x−1|=| −(x+ 1)|=|x+ 1|

Pero como x≤ −1⇒x+ 1 ≤0, entonces |x+ 1|=−x−1.

Unidad: Algebra´ Subunidad: Ra´ıces Dificultad:Alta

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: E - Pregunta Piloto

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23. Sixes un real mayor que 1, ¿cu´al(es) de las siguientes expresiones aumenta(n) su valor, cuando x aumenta? I) x− 1 x II) 2x2₍_x₋₁₎ III) 1 x2₋_x A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

Soluci´on: Analizamos cada expresi´on por separado: I) Sixaumenta, es claro que 1

x disminuya, por lo tanto si aumentamosxen la expresi´on x − 1

x la parte positiva se hará más grande y la negativa más pequeña, por lo que

aumenta su valor.

II) Como x > 1, tenemos que la expresión 2x2(x−1) es siempre positiva, lo cual hace fácil ver que aumentará si es quex aumenta.

III) Cuando x aumente, es simple ver que x2 −x aumenta, ya que x2 > x siempre al serx >1. Ahora como la expresi´on pedida es 1

x2₋_x, esta disminuir´a su valor a medida

que x aumente.

Unidad: Algebra´

Subunidad: Expresiones Algebraicas Dificultad:Alta

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: C

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24. ¿Cu´al es el menor valor entero de x que satisface la inecuaci´on x 4 − 2x−1 2 <1? A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3

Soluci´on: Multiplicamos por el MCM de los denominadores y resolvemos:

4 x 4 − 2x−1 2 <4·1 ⇒ x−2(2x−1)<4 ⇒ x−4x+ 2<4 ⇒ −3x <2 ⇒ x >−2 3 Luego el menor entero que cumple la condici´onx >−2

3 es 0. Unidad: Algebra´

Subunidad: Inecuaciones Dificultad:Media

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25. Si una de las ra´ıces (soluciones) de la ecuaci´on x2₋₁₀_x₊_a_{+ 2 = 0 es 5 +}√_{10, ¿cu´}_al es el valor de la constante a? A) 7 B) 13 C) 15 D) 18 E) 23

Solución: Como 5 +√10 es una solución de la ecuación, si reemplazamos x por ese valor, se cumplirá la igualdad:

(5 +√10)2−10(5 +√10) +a+ 2 = 0⇒25 + 10√10 + 10−50−10√10 +a+ 2 = 0

⇒ −13 +a= 0⇒a= 13

Unidad: Algebra´

Subunidad: Ecuaciones Cuadr´aticas Dificultad:Baja

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26. Para resolver la ecuaci´on cuadr´atica 2x2 ₋ ₃_x ₋_{2 = 0, Nicol´}_{as decide factorizar la}

expresión, en vez de usar la fórmula de la ecuación cuadrática, por lo que realiza el siguiente desarrollo: 2x2₋₃_x₋_{2 =} 2·(2x 2 ₋₃_x₋₂₎ 2 = 4x 2₋₂_·₃_x₋₄ 2 = (2x−1)(2x+ 4) 2 = (2x−1)·2·(x+ 2) 2 = (2x−1)(x+ 2)

Entonces, Nicol´as indica que:

2x2−3x−2 = 0 ⇒ (2x−1)(x+ 2) = 0

⇒ 2x−1 = 0 o x+ 2 = 0

⇒ x= 1

2 ox=−2

Por lo que las soluciones encontradas por Nicol´as son x= 1

2 y x=−2. Luego, respecto del desarrollo de Nicol´as, es verdadero que:

A) Todo el desarrollo de Nicol´as est´a correcto.

B) El argumento de Nicolás está errado, debido a que la única forma de resolver este tipo de ecuaciones es usando la fórmula de la ecuación cuadrática.

C) La expresión (2x−1)(x+ 2) al final de la factorización, deber´ıa ser (2x+ 1)(x−2). D) Las soluciones encontradas por Nicolás son correctas, puesto que al reemplazarlas

en la ecuaci´on original, se cumple la igualdad.

E) No se deb´ıa usar el método de factorización, debido a que el discriminante de la ecuación es positivo.

Solución: En el desarrollo de Nicolás, el error está al realizar la factorización, ya que 4x2₋₂_·₃_x₋_{4 = (2}_x_{+ 1)(}_x₋_{2) y no (2}_x₋₁₎₍_x_{+ 2), por lo que la alternativa correcta}

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27. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on definida porf(x) = √ x+ 2 x−1 ? A) ]−2,1[ ∪ ]1,∞[ B) [−2,1[ ∩ ]1,∞[ C) [−2,1[ ∪ ]1,∞[ D) ]−2,∞[ E) _R− {1}

Soluci´on:Primero notemos que el numerador indica quex+ 2≥0⇒x≥ −2. Adem´as el denominador indica que x6= 1, entonces el dominio es [−2,1[ ∪ ]1,∞[

Unidad: Algebra´

Subunidad: Dominio y Recorrido Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: C

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28. El gr´afico de la figura adjunta, representa las ganancias obtenidas por la venta de tortas en el d´ıa de la madre. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son)FALSA(S)?

I) La funci´on que modela esta situaci´on es f(x) = 2000x+ 2000. II) Si vendiera 5 tortas, ganar´ıa $10.000.

III) Si vende el doble de tortas, la ganancia tambi´en ser´ıa el doble. A) Solo I

B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

Soluci´on: Analizamos cada afirmaci´on:

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Unidad: Algebra´

Subunidad: Funci´on Lineal y Af´ın Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: A

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29. Si el gr´afico de la funci´on f : [0,∞[→ [0,∞[, definida como f(x) = √x, se encuentra representado en la figura:

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Solución: La función original corresponde a √x y el gráfico entregado corresponde a esta función desplazada en una unidad hacia la izquierda, luego reflejada en torno al eje

X y finalmente desplazada en una unidad hacia arriba, por lo que la nueva expresi´on de la funci´on es −√x+ 1 + 1, la que indica la alternativa A).

Unidad: Algebra´

Subunidad: Desplazamiento de Funciones Dificultad:Baja

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30. Sea f :_R→_R la funci´on definida comof(x) = 2x−3. Luego es FALSO que: A) f es inyectiva.

B) f es biyectiva.

C) La funci´on g :_R→_R, definida como g(x) =f(f(x)) es sobreyectiva. D) h(x) =f−1(x) es impar.

E) La gr´afica de f corresponde a una recta.

Soluci´on: Recordemos que dada una funci´on f : _R → _R tal que f(x) = ax+b, con

a 6= 0, cumple que Dom(f) = _Ry Rec(f) = _R. Ahora analicemos cada alternativa: A) Notemos que:

f(x) = f(y)⇒2x−3 = 2y−3⇒2x= 2y⇒x=y

Por lo que f es inyectiva. Verdadera.

B) Por la propiedad expuesta al inicio, tenemos queRec(f) =_R, por lo quef es sobreyectiva y, como adem´asf es inyectiva, se tiene que f es sobreyectiva. Verdadera.

C) g(x) = f(f(x)) = 2(2x−3)−3 = 4x−9 es de la forma ax+b, por lo que Rec(g) =_R, con lo que se deduce que g es sobreyectiva. Verdadera.

D) Notemos que:

y= 2x−3⇒y+ 3 = 2x⇒x= y+ 3 2 Por ende h(x) = f−1₍_x_{) =} x+ 3

2 . Ahora vemos que:

h(−x) = −x+ 3 2 6=−

x+ 3 2 Entonces h no es impar. Falsa.

E) Todas las funciones de la formaf(x) =ax+b son representadas gr´aficamente mediante una recta. Verdadera.

(37)

31. La funci´onfcon dominio el conjunto de los n´umeros reales se define comof(x) = x2_+28.

Si f(3a) = 2f(a), ¿cu´al(es) de las siguientes es (son) posible(s) valor(es) dea? I) a=−2 II) a= 0 III) a= 2 A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

Soluci´on: La condici´onf(3a) = 2f(a) nos indica que:

f(3a) = 2f(a) ⇒ (3a)2 _{+ 28 = 2(}_a2_{+ 28)} ⇒ 9a2+ 28 = 2a2+ 56 ⇒ 7a2 _{= 28} ⇒ a2 _{= 4} ⇒ |a|= 2 ⇒ a=−2, a= 2

Por ende solo puede tomar los valores de I) y III). Unidad: Algebra´

Subunidad: Funci´on Cuadr´atica Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: D

(38)

32. Si f :_R → 1 3,∞ es tal que f(x) = 1 3 + (3

−1₎x+1_{, entonces el rec´ıproco de la imagen}

de 2 es: A) 10 27 B) 27 10 C) 8 27 D) 27 E) 0

Soluci´on: Calculamos f(2):

f(2) = 1 3+ (3 −1₎2+1 ₌ 1 3 + 3 −3 ₌ 1 3 + 1 27 = 9 + 1 27 = 10 27 Por ende el rec´ıproco de f(2) es 27

10. Unidad: Algebra´

Subunidad: Evaluaci´on de Funciones Dificultad:Media

(39)

33. Seaf(x) = 1

x+ 1 con dominio R− {−1} y sea g(x) = 1

x+ 1 con dominio R− {0}. Con

esto se puede determinar que la funci´on g(f(x)) con dominio _R− {−1}es igual a:

A) 2 B) x+ 2 C) 2x+ 2 D) x+ 2 x+ 1 E) 2x+ 2 −x−1

Soluci´on: Usamos la composici´on de funciones:

g(f(x)) = g 1 x+ 1 = 1 1 x+ 1 + 1 =x+ 1 + 1 = x+ 2 Unidad: Algebra´

Subunidad: Composici´on de Funciones Dificultad:Media

(40)

34. Seaf(x) una funci´on definida por f(x) = √x−1, con dominio el conjunto de los reales no negativos, entonces f−1(x) = A) x2_{+ 1} B) x2_{+ 2} C) (x+ 1)2 D) (x−1)2 E) (x+ 2)2

Soluci´on: Simplemente igualamos f(x) = y y despejamos x:

y=√x−1 ⇒ y+ 1 =√x

⇒ (y+ 1)2 ₌_x

⇒ f−1₍_x_{) = (}_x_{+ 1)}2

Unidad: Algebra´

Subunidad: Funci´on Inversa Dificultad:Baja

(41)

35. Se puede determinar la cantidad de veces que la funci´on cuadr´atica f(x) =ax2₊_bx₊_c

corta al eje X si se sabe que: (1) El recorrido def es [5,∞[ (2) b2 _<₄_ac

D) Cada una por s´ı sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Solución:

De la afirmación (1), como el recorrido de f es [5,∞[, podemos deducir que el m´ınimo valor de la función es 5 y además, que es cóncava hacia arriba, entonces esta función no cortará al eje X, por lo que (1) es suficiente.

De la afirmaci´on (2), vemos que b2 _<₄_ac_⇒ _b2₋₄_{ac <} _{0, lo que indica que la funci´}_on

no corta al eje X, entonces (2) es suficiente.

Finalmente ambas afirmaciones por separado con suficientes para resolver el problema. Unidad: Algebra´

Subunidad: Funci´on Cuadr´atica Dificultad:Alta

(42)

36. En el plano cartesiano, las coordenadas del punto P son (−5,−8). Al respecto, ¿cu´al(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)?

I) Al rotarP en 90◦ en sentido antihorario y en torno al origen las nuevas coordenadas deP son (−8,5).

II) El punto simétrico de P respecto del origen es el punto de coordenadas (5,8). III) Si a P se le aplica una traslación según el vector (2,−2), las nuevas coordenadas

deP son(−3,−6) A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

Soluci´on: Analizamos por separado:

I) Al rotar un punto (x, y) en 90◦ en sentido antihorario, sus nuevas coordenadas son (−y, x), por ende las nuevas coordenadas de P son (8,−5). Falsa.

II) El simétrico de un punto (x, y) respecto al origen es (−x,−y), por lo que el simétrico de P será (5,8). Verdadera.

III) Las traslaciones corresponden a suma de vectores, por lo que luego de la traslaci´on dada, P queda con coordenadas (−5,−8) + (2,−2) = (−3,−10). Falsa.

Unidad: Geometr´ıa Subunidad: Isometr´ıas Dificultad:Baja

(43)

37. Los v´ertices de un paralelogramo son A = (−2,3), B = (3,3), C = (a−1, b + 1) y D= (−1,6). ¿Cu´al es el valor dea−b? A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8

Soluci´on: Como se trata de un paralelogramo, sus lados opuestos son paralelos y al tener A y B la misma coordenada y, se ve que los lados paralelos opuestos son AB y

CD. Luego C y D deben tener la misma coordenada y, por ende b+ 1 = 6 ⇒ b = 5. Adem´as, la diferencia entre las coordenadasxdeAy Ddebe ser la misma que entre las coordenadas x de B y C, por ende 1 =a−1−3⇒a= 5. Finalmente a−b= 0.

Unidad: Geometr´ıa

Subunidad: Cuadril´ateros Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Modelar Clave: A

(44)

38. En el plano cartesiano, ¿cuál es el área de un cuadrado que tiene dos vértices opuestos de coordenadas (2,−2) y (−2,2)? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64

Solución: Es fácil ver que el valor de la diagonal ddel cuadrado será la distancia entre los vértices opuestos:

d=p(2− −2)2_{+ (}₋₂₋₂₎2 ₌√₃₂

Y el ´area de un cuadrado en funci´on de su diagonal d es d

2

2 , por lo que el ´area pedida es (

√

32)2 2 = 16.

Subunidad: Cuadril´ateros Dificultad:Baja

(45)

39. En el 4ABC de la figura adjunta que no es rect´angulo, se tiene que AC =BC, AD=

EB y DF =F E. ¿Cu´al de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) CF es perpendicularAB

B) Los triángulos 4CF E y 4ABC son semejantes. C) Los ángulos_∠F CD y _∠F CE son congruentes. D) Los triángulos 4AEC y 4BDC son congruentes. E) Los ángulos_∠ECF y _∠CDF son complementarios.

Solución: Notemos que se trata de un triángulo isósceles de base AB y F es el punto medio de la base. Ahora analizamos cada alternativa:

A) CF es transversal de gravedad del triángulo isósceles que cae a la base, por lo tanto esta transversal también es altura y se tiene que CF es perpendicular AB. Verdadera. B) Supongamos que estos triángulos son semejantes. Como _∠CF E es recto, entonces el _∠ACB debe ser recto, pero esto es imposible, porque en el enunciado nos dicen que

4ABC no es rect´angulo, por lo que los tri´angulos 4CF E y 4ABC no pueden ser semejantes. Falsa.

C) Estos triángulos comparten un lado, tienen otro igual y el ángulo formado por esos lados es recto, por lo tanto 4F CD y 4F CE son congruentes por el criterio ALA, lo que conlleva a que los ángulos_∠F CD y _∠F CE son congruentes. Verdadera.

D) Del enunciado podemos deducir que BD=AE y, como 4ABC es is´osceles, se tiene que AC = BC y _∠CAE ∼= ∠CBD, por lo tanto los tri´angulos 4AEC y 4BDC son congruentes por el criterio ALA. Verdadera.

(46)

E) Como vimos en el razonamiento de C) los triángulos son congruentes y ambos tienen un ángulo recto, lo cuál hace que _∠ECF y _∠F EC sean complementarios, pero por la congruencia de triángulos, tenemos que_∠F EC ∼=∠CDF, por ende los ángulos_∠ECF

y _∠CDF son complementarios. Verdadera. Unidad: Geometr´ıa

Subunidad: Tri´angulos Dificultad:Alta

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Aplicaci´on Clave: B

(47)

40. En la siguiente figura, se tiene que L1 kL2 kL3 y estas rectas son intersectadas por L4

y L5, las cuales no son paralelas:

Si y= 10, entonces el valor de x es: A) −10

B) 0 C) 1 D) 10

E) No se puede determinar

Soluci´on:Seg´un la figura, podemos aplicar directamente el Teorema de Thales y resol-ver: y 5 = 2x x−5 ⇒ 10 5 = 2x x−5 ⇒2 = 2x x−5 ⇒2x−10 = 2x⇒0 = 10

Es decir, la ecuaci´on no tiene soluci´on, por lo que no es posible determinar el valor de

x.

Subunidad: Teorema de Thales Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: E

(48)

41. En el 4ABC de la figura, los segmentosBD yADson bisectrices de los ´angulos_∠CBA

y _∠CAE, respectivamente:

Si _∠ACB =α, entonces la medida de _∠ADB, en t´erminos de α, es: A) α 4 B) α 2 C) α D) 2α E) 4α

Soluci´on:Llamemos _∠ADB=x. ComoBDes bisectriz, entonces _∠CBD=_∠DBA=

β y como AD tambi´en es bisectriz, se ve que _∠CAD =_∠DAE =γ.

Llamemos F al punto de intersecci´on deAC yBD, y por el teorema del ´angulo exterior en el 4BCF, tenemos que _∠BF A = α+β, y de la misma forma en el 4DF A, se ve que x+γ =α+β ⇒x=α+β−γ.

Nuevamente usando el teorema del ´angulo exterior, pero ahora en el 4ABC, se tiene que:

(49)

Unidad: Geometr´ıa Subunidad: Tri´angulos Dificultad:Alta

Habilidad Cognitiva: An´alisis, S´ıntesis y Evaluaci´on Clave: B - Pregunta Piloto

(50)

42. Si al cuadrado ABCD de vértices A(−7,1);B(−1,1);C(−1,7) y D(−7,7) se le aplica una homotecia de centro (0, 0) y razón de homotecia −1, ¿cuál es la imagen del punto medio de BD?

A) (4,−4) B) (4,4) C) (−4,4) D) (−4,−4)

E) Ninguna de las anteriores

Soluci´on: Primero calculamos el punto medio de BD que llamaremos M:

M = ₋ 1 +−7 2 , 1 + 7 2 = (−4,4)

Luego debemos recordar que la homotecia con razón−1, corresponde a una rotación en 180◦, por lo tanto la imagen de M será la rotación en 180◦ de M respecto al origen: (4,−4).

Unidad: Geometr´ıa Subunidad: Homotecia Dificultad:Media

(51)

43. ´Oscar necesita cercar un terreno rectangular con una superficie de 154m2_{. Cuando mide}

la cantidad de cerca que tiene, se da cuenta que no tiene la necesaria, pero que esta s´ı le alcanza exactamente para cercar un terreno cuadrado de 121 m2 _{de superficie, que tiene}

el mismo ancho que el terreno original. Por lo tanto la cantidad de cerca que ´Oscar debe comprar para cercar exactamente el terreno inicial es:

A) 4 m

B) 6 m

C) 8 m

D) 12m

E) 16 m

Soluci´on:Si la cerca que ´Oscar tiene le alcanza para cercar un terreno cuadrado de 121

m2 _{de superficie, el lado del cuadrado mide 11}_m _{y la cantidad de cerca que ´}_{Oscar tiene}

el 44m. Como el terreno a cercar es de 154m2 _{de superficie y tiene el mismo ancho que}

el terreno cuadrado, entonces el largo del terreno a cercar es 154

11 = 14 m, por lo tanto, para cercar este terreno, necesita 2·11 + 2·14 = 50 m, con lo que deducimos que debe comprar 6 m m´as de cerca para lograr su cometido.

Subunidad: Per´ımetro y ´Area Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Resolver Problemas Clave: B

(52)

44. Se les pide a Benjam´ın y a Esteban, que determinen si es que los tri´angulos 4ABC y

4DEF son semejantes, usando las siguientes informaciones:

(1) _∠BAC ∼=∠EDF y BC = 3·F E.

(2) 4ABC y 4DEF son rect´angulos en C y F, respectivamente.

Los argumentos entregados por Benjam´ın y Esteban son los siguientes:

Benjam´ın: Solo la afirmación (1) es suficiente, debido a que al tenerse que BC = 3·F E, se ve que los lados de 4ABC y 4DEF están en la razón 3 : 1, por lo que se tiene la proporción necesaria entre los lados para deducir la semejanza.

Esteban:Solo la afirmación (2) es suficiente, ya que al ser dos triángulos rect´ angu-los, ambos cumplen el Teorema de Pitágoras y sus lados forman tr´ıos pitagóricos, los cuales son todos múltiplos entre s´ı, lo cuál indica una proporción entre los lados de los triángulos.

Respecto a los argumentos anteriores es FALSO que:

A) Benjam´ın cometió el error de generalizar la razón entre dos lados, a una razón entre todos los lados de los triángulos.

B) Esteban está errado, debido a que no todos los tr´ıos pitagóricos son múltiplos entre s´ı.

C) Si Benjam´ın hubiera considerado que_∠BAC ∼=_∠EDF, habr´ıa podido concluir la semejanza mediante alg´un Teorema.

D) Si ambos hubieran juntado sus argumentos tal y como los expusieron, a´un as´ı la respuesta estar´ıa incorrecta.

E) La respuesta correcta consist´ıa en usar ambas afirmaciones para observar que los ´

angulos correspondientes de ambos tri´angulos son iguales.

Solución: De la afirmación (1) no es posible deducir la semejanza, ya que nos habla de igualdades entre un par de ángulos homólogos y proporción entre un par de lados homólogos, y todos los teoremas de semejanza tienen como hipótesis al menos dos pares de ángulos homólogos iguales o al menos dos pares de lados homólogos en proporción.

(53)

45. Si el radio de una circunferencia se duplica, entonces su per´ımetro: A) Se reduce a la mitad B) Se mantiene igual C) Se duplica D) Se cuadruplica E) Se reduce en 2 unidades

Soluci´on:Si el radio de un c´ırculo es x, entonces su per´ımetro es 2πx. Ahora si el radio pasa a ser 2x, el per´ımetro pasa a ser 2π·2x= 4πx, es decir, se duplica.

Subunidad: Per´ımetro y ´Area Dificultad:Baja

(54)

46. Considere los vectores −→a = (−4,−6) y −→b = (3,2), ¿cu´al(es) de las siguientes afirma-ciones es (son) FALSA(S)?

I) |−→a|=√52 II) 3|−→b |=√117 III) |−→a −2−→b |= 12 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III Soluci´on: Analizamos:

I) |−→a|=p(−4)2_{+ (}₋₆₎2 ₌√_{52. Verdadera.} II) 3|−→b |= 3√32_{+ 2}2 _{= 3}√_{13 =}√_{117. Verdadera.} III) |−→a −2−→b |=|(−4,−6)−2(2,3)|=|(−4,−6)−(4,6)|=|(−8,−12)|=√64 + 144 = √ 208 = 4√13. Falsa. Unidad: Geometr´ıa Subunidad: Vectores Dificultad:Baja

(55)

47. Si y = mx+b es ecuaci´on de una recta que pasa por los puntos (0,−2) y (2,4), ¿cu´al de las siguientes aseveraciones es verdadera?

A) mb=−5 B) m−b = 1 C) b m = 2 3 D) (m+b)2 = 25 E) b−m =−5

Soluci´on: Primero calculamos la ecuaci´on de la recta que para por (0,−2) y (2,4). Su pendiente es 4− −2

2−0 = 3. Luego la ecuaci´on es:

y− −2 = 3(x−0)⇒y= 3x−2

Por lo tanto m = 3 y b = −2, entonces la alternativa verdadera es la E), ya que

−2−3 =−5.

Unidad: Algebra´

Subunidad: Ecuaci´on de la Recta Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: E

(56)

48. Sea P un punto de coordenadas (p, q) del segundo cuadrante que pertenece a la recta

L, la cual intersecta a los ejes X eY en los puntos (−5,0) y (0,3). Siq= 2|p|, entonces

p= A) −2 B) −5 2 C) −15 13 D) −5 4 E) −3 2

Soluci´on: Calculamos la ecuaci´on de L usando los puntos dados. Su pendiente es 3−0

0− −5 = 3

5. Luego la ecuaci´on es:

y−3 = 3

5(x−0)⇒y= 3 5x+ 3 Como (p, q) es un punto de la recta, se cumple que q= 3

5p+ 3 y como el punto est´a en el segundo cuadrante p <0 y |p|=−p. Por ende tenemos el sistema:

q = 3

5p+ 3

q = −2p )

Reemplazando la segunda ecuaci´on en la primera tenemos que:

−2p= 3

5p+ 3⇒ −10p= 3p+ 15⇒ −13p= 15⇒p=− 15 13 Unidad: Algebra´

(57)

49. Seay =−2

5x+ 2 es la ecuación de la rectaL1. Si la recta L2 es reflexión de la recta L1 respecto del eje X, ¿cuál es la ecuación de la recta L2?

A) y= 2 5x+ 2 B) y=−2 5x+ 2 C) y= 5 2x−2 D) y=−2 5x−2 E) y= 2 5x−2

Soluci´on:Para reflejar una recta respecto al eje X, se le cambia el signo a la pendiente y al coeficiente de posici´on, por lo que la recta pedida es y= 2

5x−2.

Unidad: Algebra´

(58)

50. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares. Si la recta L1 pasa por el origen y contiene al

punto (2,1) y la recta L2 contiene los puntos (2,1) y (0, c), ¿cu´al es el valor dec?

A) −3 B) −2 C) 2 D) 3 E) 5

Soluci´on:Como las rectas son perpendiculares, la multiplicaci´on de sus pendientes debe dar −1. La pendiente deL1 es 1−0 2−0 = 1 2 y la pendiente de L2 es c−1 0−2 = 1−c 2 . Luego: 1 2 · 1−c 2 =−1⇒ 1−c 4 =−1⇒1−c=−4⇒c= 5 Unidad: Geometr´ıa

(59)

51. En la figura adjunta, se puede determinar que los tri´angulos 4ABC y 4BDC son congruentes, si se sabe que:

(1) _∠BAC =_∠CBA= 60◦ (2) ABDC es un rombo

D) Cada una por s´ı sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Solución:

La afirmación (1) nos indicar´ıa que el 4ABC es equilátero, ya que dos de sus ángulos interiores miden 60◦ (y por lo tanto el tercero también), pero no nos entrega información sobre los ángulos interiores del4BDC, por lo que (1) no es suficiente.

La afirmación (2) nos garantiza queAB =CD y AC =BD, además de que los tri´ angu-los pedidos comparten el lado BC, por lo tanto los triángulos 4ABC y 4BDC son congruentes por el criterio LLL y la afirmación (2) es suficiente.

Unidad: Geometr´ıa Subunidad: Congruencia Dificultad:Media

(60)

52. Dado el siguiente conjunto de 4 datos: √8,2√2,√2 y √18, ¿cu´al(es) de los siguientes estad´ısticos es (son) iguales al promedio del conjunto?

I) El rango. II) La mediana. III) La moda. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) I, II y III E) Ninguno de ellos

Soluci´on: Notar que √8 = 2√2 y √18 = 3√2. Luego si ordenamos de menor a mayor los datos tenemos √2,2√2,2√2 y 3√2, y el promedio de estos datos es:

√ 2 + 2√2 + 2√2 + 3√2 4 = 8√2 4 = 2 √ 2 Ahora calculamos los datos expuestos en las afirmaciones:

I) Rango: 3√2−√2 = 2√2. Es igual. II) Mediana: 2√2. Es igual.

III) La moda: 2√2. Es igual.

Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad Subunidad: Estad´ıstica

Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Aplicaci´on Clave: D

(61)

53. En el siguiente conjunto de datos: 5,6,5,6,7,5,5, n,6, la moda es 5 y la mediana es 6. ¿Cu´al de los siguientes NO puede ser un valor de n?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

Soluci´on: Notemos que la frecuencia del 5 es 4 y la del 6 es 3. Como la moda es 5, n

no puede valer 6, ya que si lo hace, el conjunto no tendr´ıa moda. Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad

Subunidad: Estad´ıstica Dificultad:Baja

(62)

54. Considere el conjunto A formado por 11 n´umeros naturales consecutivos. ¿Cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El conjunto A es amodal.

II) La mediana es un n´umero racional entero. III) La media aritm´etica es igual a la mediana.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

Soluci´on: Consideremos:

A={x−5, x−4, x−3, x−2, x−1, x, x+ 1, x+ 2, x+ 3, x+ 4, x+ 5}

con x∈_N. Luego analizamos las afirmaciones:

I) Todos los datos tienen frecuencia 1, por lo que A es amodal. Verdadera.

II) Es fácil ver que la mediana es x que es un número natural, que también cae en la definición de racional entero. Verdadera.

III) La media es (x−5) + (x−4) +· · ·+ (x+ 5)

11 =

11x

11 =x, que es igual a la mediana. Verdadero.

Dificultad:Baja

(63)

55. Si a cada elemento de un conjunto numérico se le suma 4, ¿qué sucede con la desviación estándar? A) Aumenta en 4 B) Aumenta en 2 C) Disminuye en 2 D) Aumenta en √2 E) Permanece constante

Solución: Si sumamos cualquier número a cada dato de una muestra, su desviación estándar permanece constante.

Unidad: Datos y Azar Subunidad: Estad´ıstica Dificultad:Baja

(64)

56. La tabla adjunta muestra la cantidad de toneladas de arándanos exportados por una compañ´ıa frutera en los últimos siete años:

A˜no Tonelada 2011 1,8 2012 2,7 2013 3,9 2014 6,8 2015 8,7 2016 9,8 2017 10

¿En qué año el incremento porcentual, respecto al año anterior, fue mayor? A) 2017

B) 2016 C) 2015 D) 2014 E) 2013

Solución: Notemos que mientras más toneladas se exporten de un año a otro, mayor será el incremento porcentual, por lo tanto el año pedido es 2014, ya que desde el 2013 al 2014 se incrementaron en 2,9 toneladas, la cual es la mayor diferencia de dos años consecutivos.

Dificultad:Baja

(65)

57. Se entregaron los siguientes datos sobre una muestra: Mediana:51 Media:58 Menor Valor: 20 Mayor Valor: 92 Primer Cuartil: 40 Tercer Cuartil: 72

Respecto a estos datos, ¿cu´al(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verda-dera(s)?

I) El percentil 50 es 51.

II) El rango intercuart´ılico es 32.

III) La muestra presenta una asimetr´ıa negativa. A) Solo I

B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

Soluci´on: Mediante los datos entregados podemos realizar el siguiente Boxplot:

En base al Boxplot, analizamos las afirmaciones:

I) El percentil 50 corresponde a la mediana, el dato central, que es 51. Verdadera. II) El rango intercuart´ılico es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil: 72−40 = 32. Verdadera.

III) Según el Boxplot que se formó con los datos, si la mediana está más cerca del tercer cuartil que del primero, la muestra presenta una asimetr´ıa negativa, el cuál no es el caso. Falsa.

Dificultad:Baja

Habilidad Cognitiva: Representar Clave: D

(66)

58. Si se lanza un dado cuatro veces, ¿cu´al es la probabilidad de obtener un 2 en el segundo lanzamiento y un 4 en el cuarto? A) 1 66 B) 1 64 C) 1 63 D) 1 62 E) 1 61

Soluci´on: Lanzar un dado varias veces genera que cada lanzamiento es independiente del otro, por lo que solo debemos considerar los casos que queremos: En un lanzamiento queremos un 2 y en otro un 4, y la probabilidad de obtener cada caso es 1

6, por lo que la probabilidad pedida es 1

62

Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad Subunidad: Probabilidades

Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Comprensi´on Clave: D - Pregunta Piloto

(67)

59. En un colegio que tiene 800 alumnos, 200 de ellos practican tenis de mesa, 300 practican ajedrez y 130 practican ambas disciplinas. Si de este colegio se escoge un alumno al azar, ¿cu´al es la probabilidad que no practique tenis de mesa ni ajedrez?

A) 37 80 B) 43 80 C) 56 80 D) 67 80 E) 73 80

Soluci´on: Notemos que los que practican ambas disciplinas son 130, por lo que los que practican solo ajedrez son 170 y los que practican solo tenis de mesa son 70. Por lo tanto los que no practican ninguna de las disciplinas son 430 y la probabilidad pedida es 430

800 = 43 80

Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad Subunidad: Probabilidades

Dificultad:Media

(68)

60. Con el puntaje obtenido en la PSU la probabilidad que tiene Beatriz de ingresar a la carrera de obstetricia es 0,7 y que ingrese a medicina es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna de estas dos carreras es 0,12, ¿cu´al es la probabilidad de que el puntaje le alcance para ingresar a ambas?

A) 11 50 B) 6 25 C) 21 50 D) 12 25 E) 29 50

Soluci´on: Sean los eventos A= ingresar a obstetricia y B = ingresar a medicina. Nos est´an preguntando la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo, es decir,

P(A∩B). Luego tenemos que

P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B)

Pero nos dicen, adem´as que la probabilidad de que no ingrese a ninguna de estas dos carreras es 0,12, por lo que la probabilidad de que ingrese a una o a la otra es de 0,88 y dicha probabilidad corresponde a P(A∪B). Finalmente reemplazamos y tenemos que:

0,88 = 0,7 + 0,4−P(A∩B)⇒P(A∩B) = 0,22 = 11 50 Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad

Subunidad: Probabilidades Dificultad:Alta

(69)

61. El fin de semana pasado en un club integrado por 120 miembros se llev´o a cabo una elecci´on para elegir presidente entre dos candidatos A y B. El 80 % de los integrantes del club que fue a votar lo hizo por el candidato A y 18 lo hicieron por el candidato

B. Si se escoge un miembro del club al azar, ¿cuál es la probabilidad que éste no haya participado en la elección?

A) 1 20 B) 1 6 C) 1 5 D) 1 4 E) 1 3

Soluci´on: Como el 80 % vot´o por el candidatoA, tenemos que 80·120

100 = 96 personas votaron por A y 18 votaron por B, por lo tanto 114 personas votaron en total, con lo que se ve que 6 no votaron. Finalmente la probabilidad pedida es 6

120 = 1 20 Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad

Subunidad: Probabilidades Dificultad:Baja

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62. En una sucursal bancaria trabajan 40 hombres y 25 mujeres. Un nuevo postulante llega a buscar trabajo a esta sucursal, el cuál es muy importante contratar, por las excelentes recomendaciones que tiene, pero este nuevo postulante dice que entrará a trabajar solo si es que la mayor´ıa de los trabajadores son hombres o fumadores, por lo que decide elegir un nombre al azar entre la lista de todos los trabajadores, y si la persona elegida es hombre o fuma, entrará a la empresa a trabajar. Si del total de hombres de la empresa,el 80 % no fuma y del total de mujeres el 12 % fuma, entonces ¿cuál es la probabilidad de que el nuevo postulante entre a trabajar a la empresa?

A) 42 65 B) 48 65 C) 47 65 D) 43 65 E) 49 65

Soluci´on: De la informaci´on del enunciado podemos deducir que: Hombres que fuman: 20 % de 40, es decir, 8.

Hombres que no fuman: 80 % de 40, es decir, 32. Mujeres que fuman: 12 % de 25, es decir, 3. Mujeres que no fuman: 88 % de 25, es decir, 22.

Luego, al tomar una persona al azar definimos los eventos A = que sea hombre y B = que fume. Entonces nos piden P(A∪B), la cual calculamos como:

P(A∪B) = P(A) +P(B)−P(A∩B) = 40 65+ 11 65− 8 65 = 43 65

Por lo tanto, la probabilidad de que el nuevo postulante entre a trabajar a la empresa es de 43.

(71)

63. Sea P(A) la probabilidad de que ocurra un evento A y P(B) la probabilidad de que ocurra un eventoB, ¿cu´al(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s), si se sabe que los eventos A y B no son independientes?

I) P(A∩B)6=P(A)·P(B/A) II) P(A∩B) =P(A)·P(B) III) P(A∩B)6=P(B)·P(A/B) A) Solo II B) Solo I y II C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas Soluci´on: Analizamos:

I) Recordar que para cualquier par de eventos A, B se tiene que

P(B/A) = P(A∩B)

P(A) ⇒P(A∩B) =P(A)·P(B/A). Falsa.

II) Si A, B son independientes se tiene queP(A∩B) = P(A)·P(B), pero en este caso no lo son. Falsa.

III) Recordar que para cualquier par de eventos A, B se tiene que

P(A/B) = P(A∩B)

P(B) ⇒P(A∩B) =P(B)·P(A/B). Falsa.

Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad Subunidad: Probabilidad Condicional Dificultad:Baja

(72)

64. Un pequeño club de amigos está formado por 10 muchachos incluidos Samuel y Mario y por 8 niñas, incluida Marcia. Samuel decide hacer una fiesta en su casa y quiere invitar a 5 niñas y a 3 muchachos. Si Samuel tiene considerada a Marcia para que participe, pero no desea invitar a Mario, entonces bajo estas condiciones, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden elegir todos los integrantes de la fiesta?

A) 10 5 · 8 3 B) 8 3 · 7 4 C) 7 3 · 8 4 D) 9 3 · 7 4 E) 9 4 · 7 3

Solución: El grupo consta de 10 chicos y 8 chicas. Samuel quiere invitar a 3 chicos, de los cuales no quiere invitar a Mario, por lo tanto, debe elegir a 3 chicos de un total de 8 (Samuel no debe invitarse a si mismo). Además quiere invitar a 5 chicas, incluida Marcia, por lo que debe elegir a 4 chicas de un total de 7 (Marcia está elegida de antes, por lo que no debe considerarse). Finalmente cada elección es sin orden y sin reposición, por lo tanto la cantidad de formas de las cuales puede hacer la selección son

8 3 · 7 4 . Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad

Subunidad: Combinatoria Dificultad:Alta

(73)

65. En el gr´afico adjunto se muestran las notas obtenidas por los alumnos del 4° A en una prueba de F´ısica, donde la nota m´ınima fue un 2 y la m´axima un 6:

Se puede determinar la probabilidad de escoger al azar un alumno que haya obtenido nota 3, si se sabe que:

(1) La prueba la rindieron 32 alumnos.

(2) La probabilidad de escoger un alumno que haya obtenido un 7 o un 3 es 0,25. A) (1) por s´ı sola

B) (2) por s´ı sola

D) Cada una por s´ı sola, (1) ´o (2) E) Se requiere informaci´on adicional

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Soluci´on:

Con la afirmaci´on (1) podemos ver que si el n´umero de alumnos que obtuvo nota 3 es x, entonces se cumple que 4 +x+ 12 + 6 + 2 = 32⇒x= 8. Luego la probabilidad pedida es 8

32 = 1

4, por lo que (1) es suficiente.

Con la afirmaci´on (2) vamos a definir el evento A = obtener nota 3 y el evento B = obtener nota 7. Nos dicen que P(A∪B) = 0,25, es decir:

0,25 =P(A) +P(B)−P(A∩B)

Pero estos eventos no pueden ocurrir a la vez, entonces P(A∩B) = 0 y en el gr´afico se muestra que nadie obtuvo nota 7, por lo que P(B) = 0 y con esto se obtiene que

P(A) = 0,25, por ende (2) es suficiente.

Finalmente ambas afirmaciones son suficientes para resolver el problema. Unidad: Estad´ıstica y Probabilidad

Subunidad: Probabilidades Dificultad:Media

Habilidad Cognitiva: Modelar Clave: D