Formulación Bayesiana del problema inverso de la electroencefalografía

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Formulación Bayesiana del problema inverso de la

electroencefalografía

Recibido: 12 de diciembre del 2002 Aceptado: 16 de diciembre del 2002

Palabras clave: EEG, Problema Inverso, Inferencia Bayesiana, EM. Key words: EEG, Inverse Problem, Bayesian Inference, EM.

RESUMEN: La Tomografía Eléctrica Cerebral, es una técnica de

neuroimágenes que ofrece una adecuada resolución temporal para el estudio de los procesos dinámicos en el cerebro. Esta se obtiene a través de la solución del Problema Inverso (PI) del Electroencefalograma, el cual es un problema mal planteado. Existen varias soluciones inversas caracterizadas por las suposiciones a priori sobre la solución. Estas asumen un grado de suavidad de la solución constante en todo el cerebro. En este trabajo se propone un nuevo modelo para la formulación bayesiana del PI y la obtención de una solución inversa tipo Variable Resolution Electromagnetic Tomography, (VARETA). Esta se distingue por considerar la suavidad de la solución como función del espacio y obtenerla a través de la inferencia bayesiana. En el estudio con datos simulados, VARETA mostró claras ventajas sobre métodos tradicionales como LORETA,7 recuperando las fuentes corticales con mayor amplitud y menos desparramadas. A la vez, mostró menor cantidad de fuentes fantasmas.

ABSTRACT: The Brain Electric Tomography (BET) is a neuroimaging

technique able to show the suitable temporal resolution for studying dynamical processes in the brain. It is achieved by solving the Electroencephalography inverse problem (IP), which is an ill-posed problem. There are several inverse solutions according to the a priori assumptions on the solution. They coincide in assuming the same spatial smoothness of solution in all the brain. In this work we proposed the use of Bayesian approach for modeling the IP and finding a Variable Resolution Electromagnetic Tomography (VARETA) type inverse solution. This inverse solution differs from the others in estimating the spatial resolution instead of choosing a fixed one. This was possible thanks to Bayesian inference. VARETA was compared with the traditional method LORETA by using simulated data. It was found that the former recovers cortical sources with higher amplitude and less blurring. It also shows less spurious or ghost sources.

INTRODUCCIÓN

En los últimos años, la búsqueda de una Tomografía Eléctrica Cerebral (TEC) se ha convertido en una prioridad para muchos investigadores en todo el mundo. La obtención de la misma ayudaría en gran medida a la mejor comprensión del funcionamiento del cerebro, así como al

diagnóstico preciso de tumores y otras patologías cerebrales. La recons-trucción tridimensional de la densidad de corriente primaria (DCP) en el interior del cerebro a partir de las mediciones de voltajes en el cuero cabelludo con la técnica conocida como electroencefalograma (EEG), es considerada una TEC. El EEG es una técnica de bajo costo que nos da información con una alta resolución de la evolución temporal de los procesos cerebrales y por eso en el mundo se han hecho serios esfuerzos para resolver el llamado problema inverso del EEG. Este consiste en la determinación de la Densidad de Corriente Primaria, (DCP), producida en el interior del cerebro, a partir de la medición del potencial eléctrico en un conjunto de electrodos distribuidos sobre la superficie del cuero cabelludo.

El problema inverso del EEG se expresa matemáticamente por una ecuación integral de Fredholm no homogénea de primer tipo, la cual relaciona el voltaje medido en la superficie del cuero cabelludo con el vector Densidad de Corriente Primaria dentro del cerebro.1 Para la resolución de esta ecuación es conveniente hacer una discretización de la misma, ya que las mediciones están hechas sobre un sistema discreto de electrodos. Ade-más, dado que la DCP es una magnitud macroscópica, podemos hacer un enrejillado o grid del volumen de los generadores,

Eduardo Martínez Montes, Nelson Trujillo Barreto, Lester Melie García.

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(cerebro), y considerar que cada punto de este es una fuente de corriente. Esta discretización lleva la ecuación de Fredholm a un sistema de ecuaciones algebraicas:

v = Kj +

ε

(1)

Aquí el vector columna

1 2

( ,

T T

,...,

T Tn

)

=

j

j j

j

representa la DCP y tiene dimensión

3n

, donde

n

es el número de fuentes o generadores de corriente, (número de puntos del grid), ya que cada vector

j

_i

=

(

j

_ix

,

j

_iy

,

j

_iz

)

T contiene las tres componentes espaciales de la DCP del generador de corriente

i

-ésimo. La matriz

K

, conocida como Electric Lead Field (ELF) en su versión discreta, es una matriz de

3 Ne

×

n

, donde

Ne

es el número de electrodos. Esta matriz contiene la información sobre las distintas conductividades de los diferentes tejidos involucrados en el problema físico, (cerebro, hueso y piel) y de la geometría usada para modelar el volumen conductor. En el problema inverso el ELF es conocido, ya que este se obtiene de la solución del llamado problema directo del EEG.1 El vector

ε

contiene

Ne

componentes que son los ruidos que afectan a cada electrodo. Este vector fue introducido para tener en cuenta tanto los ruidos ambientales como los instrumentales que afectan las mediciones reales de EEG. El vector

1 2

( ,

v v

,...,

v

Ne

)

T

=

v

tiene como

componentes los valores de voltaje medidos por cada electrodo. Vale aclarar que en la ecuación (1) hemos eliminado la dependencia temporal de la DCP y de los voltajes ya que trataremos el problema para un solo instante de tiempo.

El PI no tiene solución única debido a que el ELF no es un operador cerrado, o sea, su espacio nulo es no trivial. Además, en la práctica n » Ne, (n ~ 103 – 104) y el sistema de ecuaciones algebraicas está altamente indeter-minado. Esto significa que existen infinitas soluciones, o sea, distri-buciones espaciales de la DCP, que ofrecen una misma distribución de potencial eléctrico en las posiciones de los

electrodos sobre el cuero cabelludo. Es bien conocido además que la aplicación del ELF a la densidad de corriente primaria es una operación de suavización, conllevando a que la solución sea extremadamente sen-sible a pequeñas variaciones en los datos, conocidas como ruido, las cuales son inevitables en las mediciones reales de EEG. Por tanto, el problema inverso del EEG es un problema mal planteado en el sentido original de Hadamard, y mal condicionado debido a su sensibilidad a ruido en las medi-ciones.2

Para seleccionar u obtener una solución particular al PI, (conocidas como soluciones inversas), debe adicionarse una información a priori sobre la DCP. El primer intento de introducir información a priori partió de considerar que en el desarrollo en multipolos de la DCP, las contribuciones dipolares son mucho mayores que las de órdenes superiores. Esto, unido a la neutralidad eléctrica del cerebro, (no hay aportes monopolares o de cargas libres), dio origen a las soluciones de tipo dipolar. Este tipo de solución es consistente con la activación de pequeñas masas neuronales, pero no es muy exacta cuando la DCP no está concentrada sino desparramada en el espacio, como se encuentra en el EEG espontáneo y en patologías como tumores e infartos cerebrales. Por otro lado las soluciones dipolares tienen como desventaja la necesidad de proponer a priori el número de dipolos que intervienen en la solución, lo cual introduce un factor subjetivo importante en la determinación de la solución inversa. En 1990, Wahba resolvió ecuaciones del tipo de la ecuación (1) usando modelos “spline” que seleccionan aquella solución que minimiza un funcional de penalización determinado.3 El uso de este tipo de restricciones para la DCP permite obtener soluciones únicas, las cuales son llamadas “soluciones inversas distribuidas” debido a que exigen la pertenencia de la DCP a un determinado espacio de suavidad.4 Basándose en la información a priori que se utilice, se construye el funcional de

penalización que caracteriza el tipo de solución inversa distribuida. Así surgieron una serie de soluciones inversas como Mínima Norma (MN),5,6 Tomografía Eléctrica de Baja Resolución (LORETA),7 Método de Backus y Gilbert (BG),8 Método de Optimización de Resolución Pesada (WROP).9

El método matemático usado comúnmente para hallar este tipo de soluciones inversas es conocido como regularización de Tikhonov.10 Este plantea que, para un parámetro de regularización

λ

, la solución de la ecuación (1) viene dada por:

( )

{

2 2 2

}

ˆ

_λ

₌

_min

_{− ⋅}

₊

_λ

_⋅

j

v

K j

H j

(2)

Donde

x

denota la norma de Frobenius del vector

x

. El parámetro

λ

puede ser calculado por cross validación o por el método de L-curva,11 y representa el peso relativo entre el término de error en el ajuste de los datos

v

− ⋅

K j

2 y algunas suposiciones a priori sobre la solución, dados por la elección de

H

en el término

H j

⋅

2. Parti-cularmente las soluciones Mínima Norma y LORETA son las más usadas y se diferencian sólo en la matriz

H

escogida.

Por otro lado, usando un formalismo bayesiano jerárquico se puede introducir, de manera natural, la información a priori necesaria para evitar la no-unicidad de la solución de este problema. El enfoque bayesiano, a la vez, permite hallar la solución más general en forma de una función de distribución de probabilidades, (f.d.p.), a partir de la cual se puede inferir una solución particular, así como los demás parámetros del modelo escogido. La aplicación de este formalismo a la reconstrucción de fuentes de corriente distribuidas fue desarrollada formalmente por Clarke.12,13 Posteriormente se han presentado variadas modelaciones del problema inverso siguiendo un enfoque bayesiano que permiten hallar estimadores de la DCP.14,15 Sin embargo, estas se limitan a introducir diferentes suposiciones a priori para la DCP y a estimar

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solamente esta como parámetro fundamental del modelo, asumiendo también una estructura de co-varianzas a priori fija. Esta estructura determina la resolución espacial de la solución inversa. En este trabajo se presenta un modelo de componentes de varianza para el PI del EEG. Este es tratado sobre la base del formalismo bayesiano y se utiliza el algoritmo EM para encontrar un tipo de solución inversa conocida como Tomografía Eléctrica de Resolución Variable, (VARETA).16 Esta es una solución 3D, discreta e instantánea, cuya característica esencial es que no sólo se estima la DCP sino también, gracias al formalismo bayesiano, la matriz de varianzas y covarianzas de la solución y demás parámetros del modelo, lo cual significa la obtención tanto de soluciones dipolares, (concen-tradas), como distribuidas.

MÉTODOS

Formulación Bayesiana

A grandes rasgos, el enfoque bayesiano es un procedimiento general para construir una función de distribución de probabilidad a posteriori para magnitudes de interés a partir de mediciones y distribuciones de probabilidades a priori para todos los parámetros desconocidos. La inferencia bayesiana consiste en la estimación de parámetros o variables a partir de esta f.d.p., la cual brinda una forma general de tener información sobre una variable aleatoria.17

En el caso del EEG, el modelo establecido para el ruido en la ecuación (1) lleva a una f.d.p. de los voltajes dado un vector conocido de la DCP y en general, de otros parámetros del modelo:

P

(

v j

,

σ

)

. Esta es conocida como verosimilitud del modelo. Para especificar completamente el modelo es necesario introducir información a priori sobre la DCP en forma de una f.d.p.:

P j v H

(

,

)

. La solución cumple de forma general con una f.d.p. a posteriori que da la distribución de la DCP dado un vector de datos de voltajes determinado. Esta distribución a

posteriori se puede hallar a través de la conocida regla de Bayes:

(

,

)

(

) ( ) ( )

(

, , )

(

, )

P

σ

=

v j

j H

H

j v

H

v

H

(3)

En esta expresión usualmente se excluye el denominador por sim-plicidad ya que este no influye en la inferencia sobre los valores de la densidad de corriente primaria y constituye una constante de normalización. Las magnitudes

σ

y

H

son dos parámetros cualesquiera del modelo, conocidos también como hiperparámetros. Para obtener un determinado valor del vector de la DCP en cada generador, (punto del grid), a partir de esta f.d.p. a posteriori, existen varios métodos de inferencia.18 Todos implican una maximización de la densidad a posteriori, ya sea de forma conjunta sobre todos los parámetros a estimar, o después de integrar sobre alguno o todos los hiperparámetros del modelo.

Solución Inversa VARETA

Los diferentes tipos de soluciones inversas existentes se caracterizan principalmente por la información a priori que suponen para la DCP. La más utilizada de todas es LORETA, que es aquella que escoge la DCP más suave entre las infinitas soluciones. Matemáti-camente esto se expresa tomando

H = L

en la expresión (2), donde

L

es una versión discreta del operador Laplaciano tridimen-sional.1 Esto hace que la solución LORETA tome su nombre y establezca la baja resolución en todos los puntos del cerebro por igual.7 En una comparación entre las principales soluciones inversas se estableció que para que una solución inversa pueda llamarse TEC, esta debe ser capaz de localizar fuentes con un mínimo de error de localización.19 De la validación con mediciones reales y simuladas se concluyó que sólo LORETA tiene un error de localización aceptable como promedio. Los demás métodos son incapaces de localizar correctamente fuentes corticales, por tanto, no ofrecen información de

profundidad. Asimismo, LORETA no es capaz de recuperar fuentes concentradas espacialmente e incluso, ofrece fuentes llamadas fantasmas o espurias que no son consecuentes con la verdadera DCP. A raíz de estos resultados, es conveniente hallar una solución inversa que mantenga las buenas propiedades en localización de LORETA pero que trate de mejorar el desparramamiento y la aparición de fuentes fantasmas que ofrece esta para fuentes profundas. Para esto es importante no asumir a priori un espacio de suavidad determinado para la solución. En su lugar, con el uso del formalismo bayesiano se pueden estimar los parámetros y magnitudes que caracterizan ese espacio, de modo que la suavidad de la solución pueda variar de un generador a otro en dependencia de la DCP en ese punto. De esta forma se obtiene una solución inversa de resolución espacial variable. Esta es una variante en el dominio del tiempo de la formulación original de VARETA,16 pero en este artículo se referirá a ella como solución inversa VARETA solamente.

La suavidad de la solución está caracterizada por la matriz de varianzas y covarianzas a priori de la misma. Para estimar esta matriz, el problema es formulado como un modelo de medidas repetidas, conocido comúnmente como Modelo de Componentes de Varianza.20 Para la estimación de la DCP y los demás hiperparámetros del modelo se utiliza un algoritmo ECME, el cual es una variante del conocido algoritmo EM.20,21 Este modelo parte de dos ecuaciones fundamentales: la ecuación de observación y la ecuación del modelo.

Ecuación de observación:

i

=

i

+

i

v

ε

Kj

(4)

Ecuación del modelo:

i

+

i

j =

μ ξ

(5)

Aquí,

μ

es el vector media de

j

_i y los vectores

ε

_i y

ξ

_i son los ruidos asociados a las mediciones y a los

(4)

generadores respectivamente. El subíndice

i

representa las repeticiones de la medición.

Para determinar completamente el modelo, se asume que el vector

ε

representa ruidos aleatorios que distribuyen según una f.d.p. Multi-normal de la forma ε ~ NNe (0,σ2I).22

Esto implica la consideración de que los ruidos correspondientes a cada electrodo son independientes y no correlacionados. Se asume también que el ruido en los generadores o fisiológico también distribuye con una f.d.p. Multinormal

3

~

( ,

)

i

N

n

ξ

0 H

, con matriz de varianzas y covarianzas desconocida

H

. Es fácil ver entonces, a partir de las ecuaciones (4) y (5) y la linealidad de la distribución Multinormal, que la función de verosimilitud del modelo es:

( ) -1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 ( , ) ( , ) 2 l T i i i e N P σ N π e = − − − − = = ∑vΚμ Σ v Κμv v v vμ| Kμ Σ Σ Aquí 2 e T N

σ

=

+

v

Σ

KHK

I

. Según la fórmula de Bayes (3), para obtener la f.d.p. a posteriori es necesario además distribuciones a priori. Para el parámetro

μ

que es la solución inversa se asume

( )

3n

( ,

)

P

μ H

=

N

0 H

con la mis-ma mis-matriz de varianzas y covarianzas que para el ruido fisiológico. El hecho que distingue esta solución inversa de cualquier otra es precisamente que esta matriz sea desconocida. En este sentido ella se convierte en otro hiperparámetro del modelo al cual debe asignársele una f.d.p. a priori. Para esta matriz se escoge una distribución Wishart Inversa, o sea,

( )

2

3n

( , )

P

H

τ

=

IW

Q

p

, ya que esta es una distribución a priori conjugada de la Multinormal y asegura las propiedades necesarias para que

H

sea una matriz de varianzas y covarianzas.22,23 La matriz de escala se toma

_Q

=

τ

−2

(

_{L L}

T

)

_{, la cual es la}

matriz de varianzas y covarianzas a priori para la solución LORETA, donde

τ

2 es un parámetro de escala que también puede estimarse en el algoritmo. El número de grados de libertad se toma

p

= +

n

2

de

forma que el valor esperado

1 2 1

( )

(

T

)

E

H

=

Q

−

=

τ

L L

− . Esto significa que

H

tiene como esperanza a priori la matriz de varianzas y covarianzas que lleva a la solución LORETA, escalada convenientemente. Por último se asumen f.d.p. a priori no informativas para los hiperparámetros que quedan, a saber: 2 2

1 (

)

(0, 0)

P

σ

IG

σ

=

∝

y 2 2

1 (

)

(0, 0)

P

τ

IG

τ

=

∝

.23

Con este modelo bien definido se implementa el algoritmo ECME, una variante del EM para tratar casos en los que el número de parámetros a estimar sea muy grande.20,21 Cabe destacar que se obtienen expresiones analíticas cerradas para los estimadores de los parámetros gracias a la elección de las f.d.p. a priori como distribuciones Multinormal y Wishart Inversa. Esto constituye una ventaja más para la implementación y obtención rápida de la solución, constituyendo un requisito importante para la aplicación práctica del modelo.24

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

Se llevó a cabo una comparación parcial de la solución inversa VARETA con la solución LORETA. Este es un criterio útil y efectivo para validarla, ya que LORETA es la solución inversa distribuida más reconocida en la actualidad y constituye un buen punto de referencia. Esta compa-ración se estableció a partir de hallar ambas soluciones inversas a un mismo conjunto de datos simulados. La comparación se basó tanto en la inspección visual de algunas soluciones para diferentes gene-radores, como en el análisis de las medidas de calidad.19 Las principales medidas de calidad de una solución inversa son: el Error de Localización, que es la distancia entre el máximo de la DCP hallada y el de la DCP real, a partir de la cual se simularon los datos; el Blurring, que da una idea del desparramamiento de la solución y la Visibilidad, que es la relación

entre la amplitud máxima de la solución inversa estimada y la DCP real.

Todas estas medidas de calidad se refieren a la comparación de una solución inversa con una deter-minada DCP real conocida, por eso para hallar todas estas medidas de calidad se desarrollan pruebas con datos simulados. Estos consistieron en el cálculo del voltaje que genera un dipolo simple de corriente colocado con una determinada amplitud en un lugar conocido dentro del cerebro. En este caso el cerebro se dividió según un enrejillado cúbico de pocos puntos, (122), lo cual disminuye considerablemente el tiempo de cálculo. De esta forma, al tener en cuenta las tres coordenadas espaciales, el vector densidad de corriente a estimar tiene 366 componentes. El ELF se calculó para 120 electrodos y a los datos generados se les agregó un 5% de ruido. Se simularon dos datos para DCP reales de tipo dipolar. Un primer dipolo localizado en una fuente relativamente profunda, (el generador número 92) y un segundo en un punto cercano a la superficie cortical, (generador 120). Ambos dipolos se escogieron orientados hacia la parte posterior de la cabeza. Para el generador 92, (Fig. 1), se observó que ambas soluciones presentan cierto desparramamiento pero la solución LORETA se mostró un poco más desparramada que la solución VARETA. La primera también ofreció mayor cantidad de fuentes fantasmas. Respecto a la localización, ambas soluciones lograron localizar la fuente de máxima amplitud con sólo un punto del enrejillado como error de localización. En la estimación del valor de la DCP, se vio que ambas soluciones subestimaron bastante la fuente real, aunque VARETA recuperó un mayor porciento de la misma (Tabla I).

Para el dipolo en el generador 120, (Fig. 2), cercano a la superficie, se observó que ambas soluciones disminuyeron el desparramamiento, sin embargo este siguió siendo mucho mayor en la solución LORETA que en la solución VARETA. También aquí

(5)

Figura 1 Punto 92 del arreglo cúbico de 122 generadores. Dipolo de corriente real, solución LORETA y solución

VARETA. Se muestra el corte axial en el que se localiza la máxima activación. La escala de colores indica la magnitud de la densidad de corriente ajustada entre el mínimo y el máximo.

Figura 2. Punto 120 del arreglo cúbico de 122 generadores. Dipolo de corriente real, solución LORETA y solución

VARETA. Se muestra el corte axial en el que se localiza la máxima activación. La escala de colores indica la magnitud de la densidad de corriente ajustada entre el mínimo y el máximo.

Solución Inversa Dipolo en generador 92 Dipolo en generador 120

Error de Localización Visibilidad Error de Localización Visibilidad

LORETA 26 mm 5,3 % 0 mm 67 %

VARETA 26 mm 6,1 % 0 mm 94 %

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aparecieron fuentes fantasmas en LORETA, mientras que VARETA recuperó casi exactamente el dipolo con muy poco desparramamiento. En este caso la localización de ambas soluciones fue exactamente igual a aquella de la DCP real, lo cual confirma que las fuentes poco profundas son mejor localizadas. También aquí VARETA estimó mejor la magnitud de la fuente y en ambos casos las magnitudes máximas estimadas fueron mucho mayores que las estimadas para el otro dipolo (Tabla I). Esto concuerda con el criterio de que la visibilidad de la fuente disminuye fuertemente a medida que las fuentes se acercan al centro del cerebro, o sea, son más profundas. Un análisis más completo se realizó en base a gráficos de medidas de calidad de soluciones inversas correspondientes a DCP reales de tipo dipolar en cada punto del enrejillado. 24 Se encontró que las medidas de calidad para ambas soluciones en general son parecidas y tienen un comportamiento similar en las tres componentes espaciales. Tanto para LORETA como para VARETA, el Error de Localización y el Blurring tienden a disminuir, mientras que la Visibilidad aumenta drásticamente a medida que los generadores están más cerca de la superficie cortical. Lo más notorio es que el blurring promedio para VARETA en todas las componentes disminuye un poco más que para LORETA, lo cual, nos dice que el desparramamiento de la solución VARETA en el caso de fuentes corticales es menor que el de LORETA. La importancia de este hecho radica en que es precisamente en la corteza donde se genera la mayor parte de la actividad eléctrica del cerebro.

CONCLUSIONES

En este trabajo se hizo uso del enfoque bayesiano jerárquico para la formulación del problema inverso del EEG. Se planteó un nuevo modelo para obtener una nueva solución inversa (VARETA), basado en la superación de las deficiencias encontradas en las soluciones inversas anteriores. La

solución VARETA tiene como principal característica la posibilidad de estimar la matriz de varianzas y covarianzas de la solución inversa dentro del mismo algoritmo de solución, contrario a los métodos anteriores que asumían una matriz particular fija. Esto logra que la resolución espacial de la solución inversa no sea asumida a priori igual en todo el cerebro sino que tenga una resolución variable. En la validación de esta solución inversa, se utilizaron datos simulados para una distribución de corriente dipolar en el espacio tridimensional. De la comparación entre las soluciones VARETA y LORETA se obtuvieron resultados alentadores, como es el hecho del menor desparramamiento de la solución VARETA para fuentes corticales, (cercanas a los electrodos de registro). A la vez, esta última mantuvo las buenas propiedades de LORETA en cuanto a la localización y visibilidad de las fuentes. También se encontró, en todos los casos presentados, que la solución LORETA mostraba fuentes fantasmas, lejanas a veces de la activación principal, mientras que VARETA reducía al mínimo la aparición de las mismas.

Como vías de futura investigación en este trabajo se pueden destacar la necesidad de probar el comportamiento del algoritmo en presencia de diferentes niveles de ruido de los datos y el estudio de la robustez del algoritmo mediante el uso de datos simulados a partir de una DCP real compuesta de varios dipolos o con fuentes distribuidas. Asimismo, es necesario validar la solución inversa VARETA con el uso de datos reales, para los cuales sería recomendable visualizar mapas estadísticos en lugar de la solución cruda, debido al problema de la visibilidad para las fuentes profundas. Desde el punto de vista teórico otras suposiciones pueden hacerse al modelo en busca de mejores propiedades. Estas pueden estar dirigidas esencialmente hacia la utilización de otra información a priori para la matriz de varianzas y covarianzas

H

. Otra dirección en la que debe trabajarse es en la

optimización del algoritmo numérico, ya que este consume un tiempo de cálculo considerable que se hace mayor a medida que se aumenta el número de generadores escogido.

En general, se puede concluir que aunque la solución VARETA, obtenida con el uso del algoritmo EM de la inferencia bayesiana, no ofreció resultados que puedan ser calificados de definitivos para prefe-rirla sobre la solución LORETA, esta representa el primer intento de modelación del problema inverso del EEG con el uso del enfoque bayesiano. Esto abre grandes posibilidades para el mejoramiento del modelo planteado dadas las posibilidades de este formalismo matemático, y fortalece el criterio del uso de la teoría bayesiana como la mejor vía para abordar este tipo de problemas.

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