1. Un automóvil va a una velocidad constante en una carretera recta pero escarpada. Una sección tiene una cresta y una depresión de 250 m de radio,
a. En el momento que pasa por la cresta la fuerza normal es la mitad del peso del automóvil (16 kN), ¿Cuál será la fuerza normal en él cuando cruce el fondo de la depresión?
La fuerza normal es la mitad del peso debido a que la fuerza radial “empuja” al coche hacia arriba. Para la fuerza radial se tiene:
2 2 2 N r r w F w F w w F w
Cuando la curvatura es opuesta (se cambia de convexa a cóncava) la fuerza radial debe actuar en dirección opuesta pero con la misma magnitud, por lo tanto:
3 3 16 kN 2 2 2 24 kN N r w w F w F w b. ¿cuál es la velocidad máxima que alcanza sin dejar la carretera en la cumbre de la colina?
En el límite en el que el coche está por dejar el piso, la fuerza normal es nula, entonces: 0 N r r F w F F w
Para obtener la velocidad es necesario conocer la aceleración radial que actúa sobre el auto. A partir de la fuerza radial:
r r F w mg a g m m m Y la velocidad queda:
2 250 m 70.02 m s r r v a r v r a rg g c. Si se desplaza a la rapidez de (b), ¿cuál será la fuerza normal del automóvil cuando cruce por el fondo de la depresión?
Por un razonamiento similar al del inciso (a):
32 kN2 2 16 kN
N r
F w F w w w
2. Cierta cuerda puede soportar una tensión máxima de 9.2 lb sin romperse. Un niño le ata una piedra de 0.82 lb en un extremo y sosteniendo en las manos el otro, hace girar a la piedra en un círculo vertical de 2.9 ft de radio, aumentando lentamente la velocidad hasta que la cuerda se rompe,
a) ¿cuántas revoluciones describió la piedra hasta que se rompe la cuerda?
En esta situación, la piedra se encuentra sometida a las mismas fuerzas que en el péndulo simple, es decir: sin cos T r F mg F T mg
Dado que la cuerda se encuentra en movimiento circular debe tener una aceleración radial de la forma: 2 2 r v a r r
Y por segunda ley de Newton debe cumplirse que: 2 cos mv T mg r
Por lo tanto la tensión está dada por:
2 cos v T m g r
Para que la cuerda se rompa es necesario que la tensión sea máxima, en función del ángulo esto se logra cuando cosθ = 1, es decir en la parte más baja de su trayectoria, por lo tanto:
La piedra da una revolución completa.
b) ¿qué rapidez alcanza en el momento en el que se produce la ruptura? En la situación anterior la tensión se expresa como:
2 v T m g r
De donde la rapidez queda como:
T v r g m Sustituyendo datos:
2
9.2 lb 9.2 lb 460 2.9 ft 2.9 ft 2.9 ft 1 0.82 lb 0.82 lb 41 419 419 2.9 ft 2.9 ft 32.17 ft s 30.88 ft s 9.4 41 41 1 m s f m m m v g g g g g 3. Demuestra que si la deformación de un resorte se describe por la ecuación:
cos sin
x A t B t
entonces, la amplitud del movimiento oscilatorio estará dada por:
2 2
max
x A B
Tendrás que derivar para encontrar los puntos estacionarios, luego usar la identidad trigonométrica: sen2x + cos2x = 1 para despejar el producto ωt. Una vez que reconozcas las expresiones para el seno y el coseno en los puntos estacionarios, sustitúyelos en la ecuación original y llega a la expresión requerida.
RESPUESTA:
Dado que lo que se quiere conocer es un máximo, es necesario derivar la ecuación de desplazamiento, entonces se tiene:
0 cos sin 0 sin cos 0 sin cos 0 d x dt d A t B t dt A t B t A t B t Como ω no puede ser 0, entonces se tiene:
cos sin
B t A t
Elevando al cuadrado y sustituyendo la identidad trigonométrica:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin 1 cos cos
B t A t A t A A t Despejando el coseno:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos cos cos cos B t A t A B A t A A t B A A t B A Haciendo lo mismo pero del lado izquierdo de la primera igualdad se puede llegar a que:
2 2 sin t B B A Sustituyendo estos resultados en la ecuación de desplazamiento se tiene:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B x A B A B A B A B A B A B A B B B A A
4. Estás jugando “The Mario Bros’ Chemical Experience” para Wii®. En el nivel 26 te aparece como obstáculo un río de lava, el cual no puedes sortear con un simple salto de Mario. Para lograrlo tienes a tu disposición un cañón que te proporcionará un impulso extra. Sabemos que éste suministrará una rapidez inicial de 10 m/s y se encuentra en la configuración de alcance máximo, de modo que tiene una inclinación de 20°.
Además de todo lo anterior (MAMMA MIA!), ni siquiera con el cañón se puede llegar a la otra orilla. Sin embargo hay una plataforma soportada por un resorte horizontal a la orilla a la que quieres llegar, cuya amplitud de oscilación está ajustada para coincidir con el alcance del cañón a la elevación relativa que se encuentra. La deformación máxima que experimenta el resorte es de 5.25 m. Y después de haber perdido tres vidas sabes que la deformación del resorte en el momento idóneo para disparar el cañón es de -3.53 m. HERE WE GO!!
a. Calcula el vector de posición, con respecto al punto de lanzamiento, del punto en el que Mario puede caer sobre la plataforma oscilante.
A partir del ángulo:
2 0 2 0 2 0 2 0 2 m s cos 2 cos 2 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 1 10 cos 40 4.42 m cos 40 1 gh v gh v gh gh gh v v h g g A partir de las ecuaciones de movimiento:
2 0 sin ;
0 cos2
gt
y t v t x t v t
El punto de caída se definirá por:
2 0 0 sin 2 cos c c c gt v t h v t R
Despejando el tiempo de caída en la horizontal y sustituyendo en la vertical se tiene: 0 2 0 0 0 2 2 2 0 cos sin 2 cos cos tan 2 cos c R t v g R R v h v v g R R h v
Se acomoda como una forma cuadrática:
2 2 2 0 2 2 2 2 0 0 tan 0 2 cos
2 cos sin 2 cos 0
g R R h v gR v R v h
Y resolviendo para el alcance R:
2 4 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 22 cos sin 4 cos sin 8 cos
2
cos sin cos sin 2
cos sin sin 2 10 m s cos 20º 10 m s sin 20º 10 m s sin 20º 2 4.42 m 10 m s cos 20º 10 m s sin 20º 10 m s sin 20º 2 4.42 m 1 v v v gh R g v v v gh g v v v gh g g g g g 2.78 m 6.23 m
Dado que Mario cayó a la derecha del punto de lanzamiento se toma la raíz positiva, por lo que el punto de caída es:
12.78 m
ˆ 4.42 m
ˆc
b. Calcula el tiempo de la trayectoria de Mario desde el cañón hasta la plataforma. Del despeje del tiempo que se hizo en el inciso anterior:
0 m s cos 12.78 m 10 cos 20 1.36 s c R t v c. ¿Cuál es la expresión que rige el movimiento del resorte, independientemente del tiro parabólico, si en un tiempo local t = 0 estaba en su deformación máxima?
5.25cos
rx t t
d. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación del resorte que soporta a la plataforma? En el documento de tiempo de demora podemos encontrar:
0 cos
r f x t Amp t Por lo tanto:
0 0 s 0 rad cos arccos 1 arccos 1 3.53 m arccos 1.36 s 5.25 97.24 15.48 Hz m r f r f r f x t t Amp x t t Amp x t t Amp e. Ya conoces la deformación necesaria, pero, cuando el resorte se encuentra en esa situación, ¿se debe estar estirando o contrayendo para que, al apretar A, Mario no vuelva a caer en la lava?
Se necesita el signo de la velocidad de deformación en el tiempo del disparo; es decir:
0 sin
0r
x t Amp t
En el documento de tiempo de demora podemos encontrar que el periodo para el ciclo del resorte está dado por:
0 f t t T n
Por lo tanto la ecuación de deformación queda invariante si se escribe:
5.25cos
0
r f
x t t t t Y como coseno es función par, entonces:
5.25cos
0
r f x t t t t Y la derivada
5.25 sin
0
r f x t t t t Evaluando en el momento del disparo:
0 0 0 rad s m s 5.25 sin 5.25 sin 5.25 m 14.54 Hz sin 91.34 1.45 s 38.03 0 r f f x t t t t t 5. Considera dos placas paralelas de longitud L y distancia de separación D:
Establecemos una diferencia de potencial eléctrico V entre ellas. La fuerza ejercida sobre una carga q está dada por F qE, en donde E es el campo eléctrico generado por V. La relación entre V y E es E V uˆ
D
, en donde û es el vector unitario perpendicular a las placas. Un electrón entra por en medio de las placas con velocidad v0 uˆ.
En función de V, L, D, la masa (me) y la carga (e) del electrón, ¿qué debe cumplirse para
0
v de forma que el electrón no choque con el ánodo? La fuerza que actúa sobre el electrón es:
ˆ V F eE e u
D
Como tanto la diferencia de potencial eléctrico como la distancia entre las placas y la carga del electrón son constantes, entonces la fuerza eléctrica es también constante. Como resultado de tener una fuerza constante se tiene un MUA en la dirección de û. Mientras que en la dirección de la velocidad inicial no hay acción de fuerzas y se tiene un MRU. Estas son las condiciones de un “tiro parabólico hacia arriba”.
Sabemos entonces que las ecuaciones de movimiento estarán dadas por:
0 2 ˆ 0 ˆ 2 ˆ 2 e 2 2 2 e Ft D D Vet r t v t u v tv u m Dm Donde se ha definido: 0 0 ˆ v v v como el vector unitario perpendicular a û.
Para que el electrón no choque con la placa se debe cumplir que: 0 v tL cuando: 2 0 2 2 e D Vet Dm
Despejando al tiempo de la igualdad: 2 2 2 2 2 2 e 2 e e e Vet D Dm Vet D m D m t Ve m t D Ve Y sustituyéndolo en la desigualdad: 0 0 e e L Ve v D m v D L Ve m 6. Montaña rusa
(Recomendación, usa el programa para graficar que adquiriste a principio del curso) Consideremos una montaña rusa cerrada cuyos rieles dibujan la siguiente curva:
0 100 200 300 400 0 200 400 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 x [m] y [m] z [ m ]
Su función de trayectoria es:
2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 4 3 3 3 2 2 2 2 2 2 7.2 7.54 3.91 7.25 , 55.4 1.72 3 1.18 3 6.96 6 3.96 x y xy x y z x y x y x y x xy x y y x x y y x y xy x y x y a. Demuestra que con el cambio de variable siguiente:
cos sin x r y r
la función de trayectoria se reduce de tres a dos dimensiones: z(x.y) → z(θ)
Aplicando el cambio de variable:
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 47.2 cos sin 7.54 cos sin
3.91 cos 7.25 sin
, 55.4
cos sin
cos sin
1.72 cos 3 cos sin 1.18 3 cos sin sin
cos sin
6.96 cos 6 cos sin sin 3.9
r r r r r z r r r r r r r r r r r r r r
4 3 4 3 2 2 2 2 2 3 2 2 3 4 2 2 4 3 2 2 3 55.4 3.91cos 7.25sin 7.2 cos sin 7.54 cos sin 1.72 cos 3cos sin 1.18 3cos sin sin6.96 cos 6 cos sin sin 3.96 cos sin c
6 cos sin cos sin
cos si s sin n o r r r r r
b. Utiliza identidades trigonométricas para que todo quede en términos de senos y cosenos lineales y sin multiplicar, de modo que en el argumento el ángulo esté multiplicado por números enteros. Por ejemplo:
2 sin 2 sin cos 2 cos 2 1 cos 2
7.54 55.4 3.91cos 7.25sin 7.2 cos 2 sin 22 3.96 1.72 cos 3 1.18sin 3 6.96 cos 4 sin 4
4
r
Para que todo quede en unidades de longitud (metros), es necesario cambiar la variable ángulo por la variable arco:
s = ρθ
donde ρ es el valor del radio del círculo que la trayectoria proyecta en el plano xy, es decir:
2 2
x y
Para esta montaña se tomará ρ = 200 m.
c. Una vez con el valor de ρ determinado, hay que aplicar el cambio de variable a los argumentos de las funciones trigonométricas haciendo:
s
donde = 1/ρ y tiene como dimensiones [rad/m].
Escribe la nueva expresión con el cambio de variable y dibuja la gráfica z(s) vs. s. Recuerda que el dominio de θ va de 0 a 2π.
55.4 3.91cos 7.25sin 7.2 cos 2 3.77 sin 2 1.72 cos 3 1.18sin 3 6.96 cos 4 0.99sin 4
z s s s s s s s s s
d. Considera un vagón de 500 kg sobre los rieles. Si suponemos que sólo actúa un potencial gravitacional
U r mgz
¿En qué punto de la trayectoria (valor de s) el potencial es el máximo? ¿Cuánto vale?
Usando el graficador puede encontrarse que:
max 18.30 m 75.84 m z z s Sustituyendo en el potencial:
max 500 kg 75.84 m 371.88 kJ U g e. Ese valor de potencial es la energía mecánica total que el vagón tendrá a lo largo de todo su recorrido. Si dicha energía es:
22
mv EU r K v mgz
Despeja la rapidez de esa expresión y, tomando en cuenta que z es función de s, dibuja la gráfica de v(s) vs. s. 0 200 400 600 800 1000 1200 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 s [m] z [ m ]
La rapidez queda:
2 2 2 2 2 2 2 mv mgz E mv E mgz v E mgz m E v gz m Y la gráfica queda:f. Compara las dos gráficas que dibujaste, ¿qué relaciones notas entre los puntos estacionarios de ambas? ¿Qué significan estas relaciones en términos de la energía?
Donde la altura tiene un máximo, la rapidez tiene un mínimo y vicieversa, la misma relación se mantiene entre energía potencial y cinética.
0 200 400 600 800 1000 1200 0 5 10 15 20 25 30 s [m] v [ m /s ]
g. Si la primera gráfica es de posiciones, y la segunda de velocidades ¿Por qué puedes usar tales gráficas para hacer conjeturas sobre la energía si ninguna está explícitamente en términos de ésta?
Porque la energía potencial es directamente proporcional a la altura, de modo que su comportamiento es completamente análogo. Por otro lado la rapidez va como la raíz cuadrada de la energía cinética que, si bien no es proporcional, también guarda una relación directa, es decir a mayor rapidez mayor energía cinética.
h. Supón que el vagón fue soltado del reposo en s = 89 m. ¿Cuál es la energía potencial en este punto?
Usando el programa puede identificarse que:
89 m
68.65 mz s
Mientras que la energía potencial queda:
89 m
500 kg
68.65 m
336.60 kJU s g
i. Repite el punto (e) con este nuevo valor de energía potencial inicial. Esta vez la gráfica queda:
0 200 400 600 800 1000 1200 0 5 10 15 20 25 s [m] v [ m /s ]
j. Explica las curiosidades o inconsistencias que encuentras en tu nueva gráfica para la rapidez. Recuerda que como la rapidez es la magnitud del vector velocidad, ésta no puede ser negativa.
En la gráfica puede notarse que hay varios valores del arco para los cuales la rapidez es cero, a diferencia de la anterior en la que esto sólo ocurría en un punto. Esto se debe a que esos puntos no corresponden a esta gráfica ya que como el sistema tiene menor energía que la necesaria para que el vagón llegue a las altitudes en esos puntos, entonces no hay rapidez que reportar allí. Podría decirse que el vagón queda “atrapado” en la región para la cual sí pudo graficarse la rapidez sin problemas.
7. Considera una partícula que se mueve en el plano xy (2D):
a. Expresa su energía cinética total en términos de las componentes de la velocidad en cada dirección.
2
2 2
2 2 x y m v v m v K v b. Escribe la expresión que obtuviste ahora en términos de derivadas de las componentes del vector posición.
, 2 2 2 m dx dy K x y dt dt c. Transforma las componentes cartesianas del vector posición a coordenadas polares.
, cos 2 sin 2 2 m d d K r r r dt dt d. Desarrolla las derivadas y obtén la energía cinética en términos de radio, ángulo y sus derivadas temporales (toma en cuenta que ambas dependen del tiempo).
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , cos sin 2cos cos sin sin
2
sin cos cos sin
2
sin 2 sin cos cos
2 cos 2 m d d K r r r dt dt m d dr d dr r r dt dt dt dt m r r r r m r r r r r r
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin sin
sin cos cos
, 2 sin 2 r r m K r r r m r r
8. Un modelo para representar las interacciones de Van der Waals es el dado por el potencial de Lennard-Jones:
4 12 6 V r r r Donde r es la distancia entre los átomos que se consideran. Averigüemos qué significan los parámetros ε y σ.
a. Encuentra el valor de la distancia interatómica para el cual el potencial es mínimo. En el mínimo: 0 0 2 2 0 : 0 r r dV d V dr dr
entonces
12 6 12 6 12 6 1 1 3 6 7 6 6 4 0 12 2 6 2 1 d d dr r dr r d d dr r dr r r r r r b. ¿Cuánto vale el potencial evaluado en esta distancia?
m 12 6 1 6 1 1 6 6 12 6 1 1 6 n 6 i 2 4 2 2 1 1 4 2 2 1 1 4 4 2 1 4 4 V V c. ¿Cuánto vale el potencial a distancia infinita y cuánto cuando los átomos se juntan? A distancia infinita:
12 6 12 6 12 6lim lim 4 4 lim
4 lim lim 4 0 lim 0 0 r r r r r r V r r r r r r r V r
Cuando los átomos se juntan
12 6 12 6 0 0 0 12 6 0 0lim lim 4 4 lim
4 lim lim lim r r r r r r V V r r r r r r r r
d. Considera los 3 siguientes casos: r < σ, r = σ y r > σ. ¿Qué se puede decir del potencial en cada caso?
Caso 1:
12 6 12 6 0 1 0 r r r r V r r r Caso 2
12 6 12 6 0 1 0 r r r r V r r r Caso 3:
12 6 12 6 0 1 0 r r r r V r r r e. ¿Qué puedes concluir sobre el significado físico de las dos constantes en la expresión del potencial?
ε es la profundidad del pozo de potencial, es decir, la energía de estabilización del sistema.
σ es la distancia entre átomos antes del mínimo en la que el potencial entre ellos es el mismo que
si estuvieran infinitamente separados.
9. Un neutrón (mn = 1.675×10-27 kg) y un protón (mp = 1.673×10-27 kg) se mueven de
acuerdo a las siguientes ecuaciones de movimiento:
2 2 ˆ ˆ ˆ 4 2 6 25 1 ˆ ˆ ˆ 8 8 n p r t t i j t k r t i t j k a. ¿A qué tiempo chocan?
Para que ocurra una colisión los vectores de posición deben ser los mismos al mismo tiempo, por lo tanto: 2 2 4 2 6 8 25 1 8 n p r r t t t t t
Sólo la igualdad de las componentes en z puede ser evaluada, de modo que: 8 1 9 fs
t
b. ¿Cuánto valen los coeficientes α y β?
De las otras igualdades, y evaluando en el tiempo determinado:
2
2
4 81 18 6 8 81 4 9 2 9 6 8 9 25 9 25 9 324 12 648 648 312 16 16 960 16 c. ¿Cuál es la ecuación de movimiento para el centro de masa del sistema?
2
ˆ
ˆ ˆ
2
ˆ ˆ
ˆ 1673 8 960 16 8 1675 4 2 6 25 1 3348 p p n n CM p n t i t j k t t i m r m r r m k m j t d. ¿Cuánto vale la masa reducida del sistema?
27
28 27 54 27 27 27 1.673 10 1.675 10 2.802 10 1.673 10 1.675 10 3.348 10 8.37 10 kg p n p n m m m m e. ¿Es posible relacionar a la partícula virtual directamente con alguna de las partículas reales que conforman al sistema? ¿por qué?
No, ya que las dos partículas involucradas tienen masas muy similares. Esto produce que el centro de masa del sistema no se ubique preferentemente en la posición de alguna de las partículas y que la masa reducida tampoco se aproxime a la de algún componente.
f. ¿Cuáles son las velocidades de cada partícula inmediatamente antes e inmediatamente después de la colisión?
Dado que son partículas subatómicas se pude considerar un choque totalmente elástico. Las velocidades antes del impacto vienen dadas por:
9 9 9 9 ˆ ˆ ˆ ˆ 72 2 70 m s 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 9 8 2 8 9 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 9 16 16 9 m s ˆ ˆ 144 m s 1 m s n n p p i dr v t i k i k dt dr v ti j i j dt k i k i j Para después del impacto hay que tomar en cuenta que la conservación de momento y de energía cinética para un choque elástico arrojan:
2 2 2 2 2 2 2 2 p p n n p p n n p p n n p p n n m v m v m v m v m v m v m v m v
La primera ecuación puede escribirse como:
p p p n n n
m v v m vv Mientras que la segunda:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 p p n n p p n n p p p n n n p p p p p n n n n m v m v m v m v m v v m v v m v v v v m v v v v Sustituyendo estos dos resultados juntos
n n n p p n n n n n p p n n p n n p m v v v v m v v v v v v v v v v v v Sustituyendo esta expresión en el balance de momento y despejando para la velocidad final del neutrón, se tiene:
2 2 p p n n p n n p n n p n p p n n p n n p p n n p n p p p n p n p p n p n n p n m v m v m v v v m v m v v m m v m m v m v m v m v v m v m m v m v m m v v m m Con lo que se tiene para el neutrón:
