TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Crecimiento y decrecimiento de funciones (monotonía)
i) Una función y= f(x) es creciente (estrictamente creciente) en un punto x0 de su dominio si para valores de x próximos a x0 se cumple que:
• Si x<x0, entonces f(x)< f(x0)
• Si x>x0, entonces f(x)> f(x0)
ii) Una función y= f(x) es decreciente (estrictamente decreciente) en un punto x0 de su dominio si para valores de x próximos a x0 se cumple que:
• Si x<x0, entonces f(x)> f(x0)
• Si x>x0, entonces f(x)< f(x0)
Ejemplo 1
Esta función es decreciente en x=−1 y creciente en x=1
Relación de la primera derivada y el crecimiento de una función en un punto x0
Dada una función y= f(x) derivable en un punto x0 de su dominio. Entonces:
• Si f'(x0)>0, entonces f(x) es creciente en x0.
• Si f'(x0)<0, entonces f(x) es decreciente en x0.
• Si f'(x0)=0 CASO DUDOSO.
Los puntos en los que la derivada se anula se llaman puntos críticos, se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0
Ejemplo 2
Estudia el crecimiento de la función 2 3 3 3 ) ( 2 3 + + − = x x x x f
Ejemplo 3
Estudia el crecimiento de la función 3
) (x x
f =
Máximos y mínimos relativos o locales
i) Una función y= f(x) tiene un máximo relativo en un punto x0 si para
valores de x próximos a x0 se cumple que f(x)≤ f(x0)
ii) Una función y= f(x) tiene un mínimo relativo en un punto x0 si para
valores de x próximos a x0 se cumple que f(x)≥ f(x0)
A los máximos y mínimos relativos o locales se les llama, en general, extremos relativos o locales.
Ejemplo 4
Condición necesaria para extremos locales
Si f(x)es derivable en x0 y tiene un extremo local en x0, entonces
0 ) ( ' x =
f .
Es decir, x0 extremo local ⇒ f'(x)=0.
Método para identificar extremos relativos
Sea x0 un punto crítico de una función derivable y= f(x). Entonces:
i) Si para puntos x próximos a x0 sucede que f'(x)>0 cuando x está a
la izquierda de x0 y f'(x)<0 cuando x está a la derecha de x0, entonces la
función y= f(x) tiene un máximo relativo en x0.
ii) Si para puntos x próximos a x0 sucede que f'(x)<0 cuando x está a la izquierda de x0 y f'(x)>0 cuando x está a la derecha de x0, entonces la función y= f(x) tiene un mínimo relativo en x0.
iii) Si f'(x)>0 a ambos lados de x0, entonces f(x) es creciente en x0.
No hay extremo local.
iv) Si f'(x)<0 a ambos lados de x0, entonces f(x) es decreciente en
0
x . No hay extremo local.
Condición suficiente para extremos locales
Dada una función y= f(x) derivable hasta orden 2, y un punto crítico x0
( f'(x)=0). Entonces:
• Si f ''(x)<0, en el punto crítico x0 hay un máximo relativo.
• Si f ''(x)>0, en el punto crítico x0 hay un mínimo relativo.
Ejemplo 5
Estudia el crecimiento y los extremos de la función y x x 6x 3 2 3 − + =
Ejemplo 6
Estudia el crecimiento y los extremos de la función 3
x y=
Optimización de funciones
Extremos absolutos o globales
i) Una función y= f(x) tiene un máximo global en un punto x0 si para
cualquier valor de x∈Dom( f) se cumple que f(x)≤ f(x0)
ii) Una función y= f(x) tiene un máximo global en un punto x0 si para
cualquier valor de x∈Dom( f) se cumple que f(x)≥ f(x0)
A los máximos y mínimos globales o absolutos se les llama, en general, extremos globales o absolutos.
Optimizar una función consiste en buscar sus extremos absolutos. Ejemplo 7
La función 2
x
y= tiene un mínimo global en x=0 (que también es local). No tiene máximos absolutos. La función del ejemplo 4 no tiene extremos
globales.
Problemas de optimización
Son problemas que se resuelven optimizando (maximizando o
minimizando, según corresponda) una función. Por ejemplo, buscar un volumen máximo, un coste mínimo, un área máxima,…
Ejemplo 8
De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima.
Sol: triángulo rectángulos cuyos catetos miden 5 cm cada uno y la hipotenusa 10 2cm
Ejemplo 9
Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.
Sol: el primer sumando es 12 y el segundo 24.
Ejemplo 10
Queremos construir recipientes cilíndricos de hojalata para almacenar cerveza de volumen igual a 6,28 litros. Determina las dimensiones de los cilindros para que se construyan con la menor cantidad posible de hojalata.
Aplicación del cálculo de derivadas al cálculo de límites: Regla de L’Hôpital
Sirve para resolver límites indeterminados de la forma 0 0 e ∞ ∞ , y otros límites indeterminados que se puedan transformar en los anteriores.
Regla de L’Hôpital
Sean f(x) y g(x) funciones derivables en un punto x0. Si
) ( ) ( lim 0 g x x f x x→ es indeterminado de la forma 0 0 ó ∞ ∞ y = +∞ −∞ → '( ) (finito), ó ) ( ' lim 0 L x g x f x x , entonces ∞ − ∞ + = = → → '( ) (finito), ó ) ( ' lim ) ( ) ( lim 0 0 L x g x f x g x f x x x
x . Igual sucede cuando
ó , , 0 0 +∞ −∞ →x+ x− x .
La Regla de L’Hôpital se puede iterar. Ejemplo 11
Resuelve los siguientes límites:
I. = − − − → 2 3 9 lim 2 2 3x x x x II. = − − +∞ → 2 3 lim 3 x x ex x III. ⋅ − = +∞ → 2 lim x x x e IV. = ⋅ + → x x x 1 ln lim 0