Relación de la primera derivada y el crecimiento de una función en un punto x Dada una función y = f (x) derivable en un punto x

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TEMA 11. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Crecimiento y decrecimiento de funciones (monotonía)

i) Una función y= f(x) es creciente (estrictamente creciente) en un punto x0 de su dominio si para valores de x próximos a x0 se cumple que:

• Si x<x0, entonces f(x)< f(x0)

• Si x>x0, entonces f(x)> f(x0)

ii) Una función y= f(x) es decreciente (estrictamente decreciente) en un punto x0 de su dominio si para valores de x próximos a x0 se cumple que:

• Si x<x0, entonces f(x)> f(x0)

• Si x>x0, entonces f(x)< f(x0)

Ejemplo 1

Esta función es decreciente en x=−1 y creciente en x=1

Relación de la primera derivada y el crecimiento de una función en un punto x0

Dada una función y= f(x) derivable en un punto x0 de su dominio. Entonces:

• Si f'(x0)>0, entonces f(x) es creciente en x0.

• Si f'(x0)<0, entonces f(x) es decreciente en x0.

• Si f'(x0)=0 CASO DUDOSO.

Los puntos en los que la derivada se anula se llaman puntos críticos, se obtienen resolviendo la ecuación f'(x)=0

Ejemplo 2

Estudia el crecimiento de la función 2 3 3 3 ) ( 2 3 + + − = x x x x f

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Ejemplo 3

Estudia el crecimiento de la función 3

) (x x

f =

Máximos y mínimos relativos o locales

i) Una función y= f(x) tiene un máximo relativo en un punto x0 si para

valores de x próximos a x0 se cumple que f(x)≤ f(x0)

ii) Una función y= f(x) tiene un mínimo relativo en un punto x0 si para

valores de x próximos a x0 se cumple que f(x)≥ f(x0)

A los máximos y mínimos relativos o locales se les llama, en general, extremos relativos o locales.

Ejemplo 4

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Condición necesaria para extremos locales

Si f(x)es derivable en x0 y tiene un extremo local en x0, entonces

0 ) ( ' x =

f .

Es decir, x0 extremo local ⇒ f'(x)=0.

Método para identificar extremos relativos

Sea x0 un punto crítico de una función derivable y= f(x). Entonces:

i) Si para puntos x próximos a x0 sucede que f'(x)>0 cuando x está a

la izquierda de x0 y f'(x)<0 cuando x está a la derecha de x0, entonces la

función y= f(x) tiene un máximo relativo en x0.

ii) Si para puntos x próximos a x0 sucede que f'(x)<0 cuando x está a la izquierda de x0 y f'(x)>0 cuando x está a la derecha de x0, entonces la función y= f(x) tiene un mínimo relativo en x0.

iii) Si f'(x)>0 a ambos lados de x0, entonces f(x) es creciente en x0.

No hay extremo local.

iv) Si f'(x)<0 a ambos lados de x0, entonces f(x) es decreciente en

0

x . No hay extremo local.

Condición suficiente para extremos locales

Dada una función y= f(x) derivable hasta orden 2, y un punto crítico x0

( f'(x)=0). Entonces:

• Si f ''(x)<0, en el punto crítico x0 hay un máximo relativo.

• Si f ''(x)>0, en el punto crítico x0 hay un mínimo relativo.

Ejemplo 5

Estudia el crecimiento y los extremos de la función y x x 6x 3 2 3 − + =

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Ejemplo 6

Estudia el crecimiento y los extremos de la función 3

x y=

Optimización de funciones

Extremos absolutos o globales

i) Una función y= f(x) tiene un máximo global en un punto x0 si para

cualquier valor de xDom( f) se cumple que f(x)≤ f(x0)

ii) Una función y= f(x) tiene un máximo global en un punto x0 si para

cualquier valor de xDom( f) se cumple que f(x)≥ f(x0)

A los máximos y mínimos globales o absolutos se les llama, en general, extremos globales o absolutos.

Optimizar una función consiste en buscar sus extremos absolutos. Ejemplo 7

La función 2

x

y= tiene un mínimo global en x=0 (que también es local). No tiene máximos absolutos. La función del ejemplo 4 no tiene extremos

globales.

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Problemas de optimización

Son problemas que se resuelven optimizando (maximizando o

minimizando, según corresponda) una función. Por ejemplo, buscar un volumen máximo, un coste mínimo, un área máxima,…

Ejemplo 8

De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, hallar las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

Sol: triángulo rectángulos cuyos catetos miden 5 cm cada uno y la hipotenusa 10 2cm

Ejemplo 9

Descomponer el número 36 en dos sumandos positivos de modo que el producto del primer sumando por el cuadrado del segundo sea máximo.

Sol: el primer sumando es 12 y el segundo 24.

Ejemplo 10

Queremos construir recipientes cilíndricos de hojalata para almacenar cerveza de volumen igual a 6,28 litros. Determina las dimensiones de los cilindros para que se construyan con la menor cantidad posible de hojalata.

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Aplicación del cálculo de derivadas al cálculo de límites: Regla de L’Hôpital

Sirve para resolver límites indeterminados de la forma 0 0 e ∞ ∞ , y otros límites indeterminados que se puedan transformar en los anteriores.

Regla de L’Hôpital

Sean f(x) y g(x) funciones derivables en un punto x0. Si

) ( ) ( lim 0 g x x f x x→ es indeterminado de la forma 0 0 ó ∞ ∞ y = +∞ −∞ → '( ) (finito), ó ) ( ' lim 0 L x g x f x x , entonces ∞ − ∞ + = = → → '( ) (finito), ó ) ( ' lim ) ( ) ( lim 0 0 L x g x f x g x f x x x

x . Igual sucede cuando

ó , , 0 0 +∞ −∞ →x+ xx .

La Regla de L’Hôpital se puede iterar. Ejemplo 11

Resuelve los siguientes límites:

I. = − − − → 2 3 9 lim 2 2 3x x x x II. = − − +∞ → 2 3 lim 3 x x ex x III. ⋅ − = +∞ → 2 lim x x x e IV. =      ⋅ + → x x x 1 ln lim 0

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Referencias

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