11.1. Derivabilidad. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. f (a)

(1)

11. La derivada +

11.1. Derivabilidad. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad.

La derivada es un l´ımite f′

(a) = l´ım

h→0

f(a + h) − f (a)

h y por tanto podemos plantearnos los l´ımites laterales que este l´ımite determina, los llamamos derivadas laterales:

f′ −(a) = l´ım h→0− f(a + h) − f (a) h f ′ +(a) = l´ım h→0+ f(a + h) − f (a) h ¿qu´e representan gr´aficamente las derivadas laterales?

Est´a claro que el ´unico cambio de y′ + o y

′

− respecto de y ′

está en que ahora sólo me acerco por un lado. En ambos casos consideramos las secantes desde (a, f (a)), pero sólo considero las secantes desde el lado izquierdo o desde el derecho. Los gráficos que vienen a continuación ilustran lo que nos puede pasar:

f′ −(a) 6= f ′ +(a) ∄f′ (a) f no es derivable en x = a Vemos que ∃f′ −(a) pero f ′ +(a) = ∞

Al no ser continua en x=a por la derecha las secantes por ese lado se hacen verticales

|

a

b

Ambas derivadas laterales existen y son iguales f′ −(a) = f ′ +(a) f se dice derivable en x = a | a b | b C a b

Recuerda que la recta tangente no se define como el l´ımite de las rectas tangentes. La recta tangente es la recta l´ımite de las rectas secantes desde el punto en cuesti´on.

Cuando la funci´on es continua y dulce en su trazo las dos familias laterales de secantes tienden a la misma recta tangente. La funci´on tiene derivada (se dice que es derivable en x = a).

La derivabilidad se traduce en gr´afica dulce, sin picos.

Cuando es continua pero presenta un pico en (a, f (a)) las dos familias laterales de secantes tienden a distinta recta tangente cuyas pendientes corresponden a las derivadas laterales f′

−(a) y f ′ +(a). Al

ser distintas no existir´a derivada.

Cuando no es continua, tendremos que al menos una de las familias de las secantes tienden a una recta vertical (pendiente ∞) as´ı que no va a haber derivada.

Conclusi´on: Si f no es continua, no es derivable.

Cuando f es continua las rectas tangentes en puntos x con x → a−

o x → a+ _{tienden a las rectas}

tangentes en x = a (observa los gr´aficos) y por tanto l´ım

x→a− f′ (x) = f′ −(a) y l´ım x→a+f ′ (x) = f′ +(a) y

esto va a ser una gran ventaja:

(2)

l´ım x→a− f′ (x) = f′ −(a) y l´ım x→a+f ′ (x) = f′

+(a), y no har´a falta usar el cociente incremental que es m´as

trabajoso, si no fuese continua no hay que seguir estudiando nada: no podr´a ser derivable.

∄f′ +(a)

Esa recta es l´ımite de tangentes no es l´ımite de secantes. No podemos usar l´ım x→a+f ′ (x) porque no es continua. Vemos que ∄f′ +(a) porque

las secantes se van haciendo verticales. No podemos usar l´ım x→a+f ′ (x) porque no es continua. ∃f′ +(a)

La recta es l´ımite de tangentes pero tambi´en l´ımite de secantes. Podemos usar l´ım x→a+ f′ (x) = f′ +(a) porque es continua. a | b a | b C b | b C a b | a

Este gr´afico ilustra como a pesar de cumplirse l´ım

x→a− f′ (x) = l´ım x→a+f ′

(x) (por ser las dos tangentes paralelas), la funci´on en cambio no es derivable pues no hay continuidad. Las derivadas laterales (falsas si no hay continuidad por el lado en cuesti´on) cal-culadas en la forma l´ım x→a− f′ (x) y l´ım x→a+f ′

(x) nos pueden llevar a un grave error, pues una de las dos expresiones no es derivada, ya que la funci´on al menos por uno de los dos lados no es continua.

|

a

b

Todo esto podr´ıamos resumirlo diciendo:

“S´olo si f es continua en x = a la recta tangente como l´ımite de secantes es la misma que la recta tangente co-mo l´ımite de tangentes”.

Aqu´ı s´ı que el hecho de que l´ım

x→a− f′ (x) = l´ım x→a+f ′ (x) nos garan-tiza f′ −(a) = f ′ +(a) = f ′

(a) pues hay continuidad. Las derivadas laterales s´ı las podemos calcular con las expresiones l´ım

x→a− f′ (x) y l´ım x→a+f ′ (x) Ejercicios:

1). Comenta la derivabilidad de las funciones del archivo Mil y una gr´aficas.

2). Estudia la derivabilidad en x = −3, x = 0 y x = 4 de f (x) = (

−x2_{+ 1} _{si x < 0}

2x + 1 si x ≤ 0

(3)

f(x) =

−3 0 4

|

| |

−x2_{+ 1} _{2x + 1}

observo que a izquierda y derecha de x = −3 f (x) = −x2

+ 1 es una funci´on polin´omica, continua y derivable, y f′

(x) = −2x → existe derivada y vale f′

(−3) = 6 En x = 4, del mismo modo, ∃ f′

(4) = 2, pero ¿y en x = 0?

f viene definida de formas distintas alrededor de x = 0. Estudiemos primero si es continua en x = 0: l´ım x→0− f(x) = l´ım x→0− (−x2 + 1) = −0 + 1 = 1 l´ım x→0+f(x) = l´ımx→0+(2x + 1) = 2 · 0 + 1 = 1    ⇒ ∃x→0l´ımf(x) = 1 f(0) = 1 ) ⇒ fes continua en x = 0

Como es continua, podr´ıa ser derivable. Veamos ahora si f es derivable en x = 0 En (−∞, 0) f (x) = −x2 + 1 → f′ (x) = −2x y en (0, +∞) f (x) = 2x + 1 → f′ (x) = 2; por tanto f′ (x) = 0 | −2x 2 f′ −(0) = l´ım x→0− f′ (x) = l´ım x→0− (−2x) = −2 · 0 = 0 f′ +(0) = l´ım x→0+f ′ (x) = l´ım x→0+2 = 2    ⇒ ⇒ ∄ f′ (0) pues f′ −(0) 6= f ′ +(0), o sea f no es derivable en x = 0

(Nota I: Usamos los l´ımites laterales de la derivada legalmente pues sabemos que f es continua en x = 0).

(Nota II: Dibuja la funci´on y reflexiona sobre los resultados obtenidos y la gr´afica).

3). Estudia la derivabilidad en x = 0 de f (x) = (

−x2+ 1 si x < 0

x2₋₁ _{si x ≤ 0} y reflexiona sobre lo comentado

en la secci´on anterior.

11.2. Estudio de la derivabilidad.

Las funciones de uso frecuente son, como muestran sus gráficas, derivables a trozos. Tienen problemas en puntos particulares por no ser continuas o, en algún caso especial por tener algún pico.

Si nos preguntan por la derivabilidad ya sea en un punto concreto o en general, estudiaremos primero la continuidad siguiendo las pautas que ya conocemos, para seguir con la derivabilidad en aquellos puntos en que la funci´on resulte continua.

Sirva de ejemplo el estudio de la derivabilidad de una variada funci´on definida a trozos:

4). Estudia la derivabilidad de f (x) =          −x2_{+ 1 si} _{x <}₀ 2 si x= 0 −x+ 1 si 0 < x < 1 x −1 si x ≥1 y da f′ (x)

Lo mejor es organizarnos primero con un esquema: Y comenzamos por comentar la continuidad y derivabilidad en los intervalos abiertos_{donde sabemos que no vamos a tener problemas:}

En (−∞, 0), f (x) = −x2_{+ 1, funci´}_{on polin´}_{omica, continua y derivable, adem´}_{as f}′

(x) = −2x En (0, 1), f (x) = −x + 1, funci´on polin´omica y por tanto continua y derivable, con f′

(x) = −1 En (1, +∞), f (x) = x − 1, funci´on polin´omica y por tanto continua y derivable, siendo f′

(x) = 1 f′ (x) = 0 1 | | −2x −1 1

De esta manera sólo nos queda estudiar qué pasa en los puntos que nos hemos dejado. ¿Se “pegarán” los trozos anteriores? ¿lo harán “dulcemente”? Veámoslo:

•Estudiemos qu´e pasa en x= 0 ¿∃ l´ım x→0f(x)? l´ım x→0− f(x) = l´ım x→0− (−x2_{+ 1) = 1} l´ım x→0+f(x) = l´ımx→0+(−x + 1) = 1    ∃l´ım x→0f(x) = 1 f(0) = 2 x→0l´ımf(x) 6= f (0)

(4)

Por tanto f (x) no es continua en x = 0, hay discontinuidad evitable, y por tanto tampoco ser´a derivable en x = 0 •Veamos que pasa ahora en x= 1

¿∃ l´ım x→1f(x)? l´ım x→1− f(x) = l´ım x→1− (−x + 1) = 0 l´ım x→1+f(x) = l´ımx→1+(x − 1) = 0    ∃l´ım x→1f(x) = 0 f(1) = 1 − 1 = 0 x→1l´ımf(x) = f (1)

Por tanto f (x) es continua en x = 1

¿ser´a derivable?, como es continua podemos usar para comprobarlo la derivabilidad lateral: ¿∃ l´ım x→1f ′ (x) = f′ (1)? f′ −(1) = l´ım x→1− f′ (x) = l´ım x→1− (−1) = −1 f′ +(1) l´ım x→1+f ′ (x) = l´ım x→1+(1) = 1    → ∄ f′ (1) CONCLUSI ´ON:

f(x) es continua en (−∞, 0) ∪ (0, +∞), en x = 0 presenta una discontinuidad evitable y es derivable en

(−∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞) siendo f′ (x) =      −2x si x <0 −1 si 0 < x < 1 1 si x >1

11.2.1. Apéndice I: La regla del Marqués de l’Hôpital

El padre de los hermanos Bernoulli, Jakob y Johann, cre´ıa saber bien lo que les iba a cada uno de sus hijos. A Jakob la teolog´ıa y a Johann la medicina. La verdad es que no acertó con ninguno. Por ah´ı los encauzó y por esos caminos comenzaron cada uno en la universidad de Basilea. Pero la atracción de la matemática fue tal que, después de terminados los estudios prescritos por su padre, ésta les absorbió completamente y en ella descollaron extraordinariamente.

En 1962, en un viaje que Johann hizo a Par´ıs, conoció a un joven marqués, G.F.A. de l’Hôpital, entusias-mado con el nuevo cálculo infinitesimal. Éste, aparte de recibir lecciones de Johann Bernoulli, firmó con él un contrato por el que Johann, de vuelta a Basilea, a cambio de un sueldo regular, se compromet´ıa a comunicar al marqués sus descubrimientos y el marqués podr´ıa hacer de ellos el uso que le pareciera. El marqués escribió en 1696 un magn´ıfico libro, Análisis de los infinitésimos, gracias a la ayuda de Johann Bernoulli, libro que tuvo un éxito extraordinario durante todo el siglo XVIII y ha hecho pasar al marqués a la historia. Este nunca pretendió hacerse con la paternidad de los resultados que publicaba en él, sino que reconoce claramente el mérito de Bernoulli.

De todas formas, una de las herramientas más útiles para hallar l´ımites de expresiones indeterminadas 0 0 lleva el nombre de regla de l’Hôpital. Dice as´ı:

Si dos funciones f y g cumplen f (a) = 0 y g(a) = 0, y el l´ımite l´ım

x→a

f′

(x) g′_(x) = L

entonces se verifica tambi´en l´ım

x→a f(x) g(x) = l´ımx→a f′ (x) g′_(x) = L Por ejemplo: l´ım x→0 sen x x = 0

0 pero si derivamos numerador y derivamos denominador obtenemos: l´ım x→0 cos x 1 = cos 0 1 = 1 → aplicando L’Hospital → l´ımx→0 sen x x = 1

Al morir l’Hôpital, Johann Bernoulli reclamó para s´ı el mérito de aquella regla. Nadie le creyó. Más adelante el descubrimiento de la correspondencia entre Bernoulli y el marqués ha puesto las cosas en su lugar.

(5)

Demostraci´on en un caso simplificado:

| |

a ←x

b

Hemos definido la derivada en x = a como el l´ımite cuando h → 0 f′

(a) = l´ım

h→0

f(a + h) − f (a)

h pero si llamamos x = a + h → h = x − a y ser´an equivalentes h → 0 y x → a por lo que f′

(a) = l´ım

x→a

f(x) − f (a) x − a y as´ı aparece definida muy frecuentemente.

Supongamos f y g tales que f (a) = f (b) = 0 y l´ım

x→a f(x) g(x) = 0 0 pero l´ım x→a f′ (x) g′_(x) = L tendremos l´ım x→a f(x) g(x) = l´ımx→a f(x) − 0 g(x) − 0 = l´ımx→a f(x) − f (a) g(x) − g(a) = l´ımx→a f(x) − f (a) x − a g(x) − g(a) x − a = l´ım x→a f′ (x) g′_(x) = L

legal, pues hemos dividido arriba y abajo por x − a 6= 0 pues recordar´as que al efectuar un l´ımite cuando x → a, x se acerca a a, pero sin “tocar”.

Nota importante: La regla también es aplicable a las indeterminaciones del tipo ∞ ∞ Veamos con qué facilidad se puede aplicar l’Hôpital:

Ejercicios: 5). Halla el l´ımite l´ım x→0 ex₋₁ x Soluci´on: l´ım x→0 ex₋ 1 x = 0 0 pero l´ım x→0 ex 1 = 1 → l´ımx→0 ex₋ 1 x = 1

Recuerda que no se trata de la derivada de un cociente sino de f

′ g′ 6). Calcula l´ım x→0 cos x − 1 x Solución: l´ım x→0 cos x − 1 x = 0 0 pero l´ım x→0 −sen x 1 = 0 → l´ımx→0 cos x − 1 x = 0 7). Halla el l´ımite l´ım x→0+ ln(x + 1) x Solución: l´ım x→0+ ln(x + 1) x = 0 0 pero l´ım x→0+ 1 x+ 1 1 = 1 → l´ımx→0+ ln(x + 1) x = 1 8). Calcula l´ım x→+∞ ex x2 Solución: l´ım x→+∞ ex x2 = +∞ +∞ pero l´ım x→+∞ ex 2x = +∞ +∞ ¿?... pero l´ım x→+∞ ex 2 = +∞ →x→+∞l´ım ex x2 = +∞

(El l´ımite anterior ilustra c´omo la exponencial puede con cualquier polinomio sea del grado que sea.)

9). Calcula l´ım x→+∞ ln x x Soluci´on: l´ım x→+∞ ln x x = +∞ +∞ pero l´ım x→+∞ 1 x 1 =x→+∞l´ım 1 x = 0 →x→+∞l´ım ln x x = 0

(6)

L´ımites que nos costaban trabajo se simplifican gracias a l’Hˆopital: 10). Halla l´ım x→3 x2−5x + 6 x2₋_{2x − 3} Soluci´on: l´ım x→3 x2₋ 5x + 6 x2₋_{2x − 3}= 0 0 pero l´ım x→3 2x − 5 2x − 2= 1 4→x→3l´ım x2₋ 5x + 6 x2₋_{2x − 3}= 1 4

(7)

11.3. Curvatura: Concavidad, convexidad y puntos de inflexi´

on

Comenzamos a partir de una funci´on f (x) derivable y para la que tambi´en existe f′′

(x). Cuando las rectas tangentes quedan siempre por debajo de la gráfica, f se dice cóncava hacia arriba o simplemente cóncava. Si observas con atención el gráfico, verás que las pendientes de las tangentes van creciendo desde muy negativas a la izquierda hasta muy positivas a la derecha, es decir f′

es creciente, luego su derivada ser´a (f′

)′

= f′′

>0

Si las rectas tangentes quedan siempre por encima de la gráfica, f se dice cóncava hacia abajo o simplemente convexa. Si observas con atención el gráfico, verás que las pendientes de las tangentes van disminuyendo desde muy positivas a la izquierda hasta muy negativas a la derecha, es decir f′

es decreciente, luego su derivada ser´a (f′

)′

= f′′

<0

En los puntos en que hay cambio de cóncava a convexa o viceversa la tangente atravesará la gráfica y tendremos un punto de inflexión. Las posibles inflexiones estarán entonces entre los ceros de f′′

, pues al cambiar el sigo de f′′

esta no tendr´a m´as remedio que anularse. Pero ¡ojo!, ¿recuerdas que ser cero de la derivada no garantizaba ser extremo?, lo mismo pasa con los ceros de f′′

, hay que confirmar que son inflexiones estudiando el signo de f′′

.

| | |

b

Las tangentes siempre por debajo de la gr´afica. f se dice C ´ONCAVA.

Las tangentes siempre por encima de la gr´afica. f se dice CONVEXA.

La tangente en (a, f (a) atraviesa la gr´afica. en x = a hay INFLEXI ´ON.

Ejercicios:

11). Estudia curvatura e inflexiones de y = x3₋_3x2

Solución: y′ = 3x2₋_{6x → y}′′ = 6x − 6(posible inflexión x = 1)→y′′ = 6(x − 1) − − −b+ + + 1 Inflexión Cóncava Convexa

12). Estudia curvatura e inflexiones de y = 2x

2 x2_{+ 1} Soluci´on: y′ = 4x · (x 2_{+ 1) − 2x · 2x}2 (x2_{+ 1)}2 = 4x3_{+ 4x − 4x}3 (x2_{+ 1)}2 = 4x (x2_{+ 1)}2 y′′ =4 · (x 2_{+ 1)✄}2₋_2✘✘_(x2_{+ 1) · 2x · 4x}✘✘ (x2_{+ 1)✄}43 = 4x2_{+ 4 − 16x}2 (x2_{+ 1)}3 = −12x2_{+ 4} (x2_{+ 1)}3 = −12 x2₋1 3 (x2_{+ 1)}3 = −12x+q1₃ x −q1₃ (x2_{+ 1)}3 →posibles inflexiones x = − q 1 3 ≈0,58, q 1 3 ≈ −0,58

(8)

→y′′ − − −b+ + +b− − −

−0,58 Inflex

0,58 Inflex

¡ojo!, el denominador x2_{+ 1 no se anula nunca.}

13). Estudia curvatura e inflexiones de y = x4

Soluci´on: y′

= 4x3_→_y′′

= 12x2_{(posible inflexi´}_{on x = 0)}_→_y′′

= 12x2 + + +b+ + +

0 No hay inflexi´on. Es siempre

c´oncava.

14). Estudia curvatura e inflexiones de y = x −1 x2 Soluci´on: y′ = 1 · x 2₋_{2x · (x − 1)} (x2₎2 = x✄2−2✁x(x − 1) x✄43 = −x+ 2 x3 y′′ =−1 · x 3₋_3x2_{(−x + 2)} (x3₎2 = −1 · x✄3₋_3✚_x✚2_{(−x + 2)} x✄64 = 2x − 6 x4 = 2(x − 3) x4 posible inflexi´on x = 3 → y′′

ut

b− − −+ + + − − − 0 3 Inflex

15). Estudia curvatura e inflexiones de y = x

2 x −1 Soluci´on: y′ = 2x · (x − 1) − 1 · x 2 (x − 1)2 = 2x2₋_{2x − x}2 (x − 1)2 = x2−2x (x − 1)2 y′′ =(2x − 2) · (x − 1)✄ 2₋_2✘✘_{(x − 1) · 1 · (x}✘✘ 2₋_2x) (x − 1)✄43 = 2x2₋_{2x − 2x + 2 − 2x}2_{+ 4x} (x − 1)3 = 2 (x − 1)3

No hay posibles inflexiones (el numerador no se anula). − − −

ut

b+ + +

0

Aunque hay cambio de signo en y′′

, no es en una inflexi´on, sino en una as´ıntota vertical. Estudia la curvatura e inflexiones de:

16). y = 3x2₋_{2x + 5} 17). y = x3_{+ 1} 18). y = x3₋_6x2_{+ 8x} 19). y = xex 20). y = ln(x + 1) 21). y = x3₋_{3x + 4} 22). y = x3₋_3x 23). y = 1 x −2