TRANSFORMADA DE LAPLACE

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(1)

         

C

ONOCIMIENTOS 

P

REVIOS

 

Para poder seguir adecuadamente este tema, se requiere que el alumno repase y ponga al día  sus conocimientos en los siguientes contenidos:   Derivación e integración de funciones de una variable.   Dibujo de curvas y programación básica con Matlab. 

O

BJETIVOS ESPECÍFICOS

 

A  continuación  se  presentan  los  objetivos  específicos  del  Tema  4,  indicando  en  cada  uno  de  ellos  los  ejercicios  propuestos  del  tema  y  los  ejercicios  resueltos  de  la  bibliografía  que  le  corresponden.  Las  abreviaturas  que  encabezan  cada  línea  hacen  referencia  a  los  siguientes  libros, documentos o bloques de enunciados: 

A) Tomo 4 de la Colección FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS, de Álvarez, Herrero y Ruiz.   G)  ADVANCED  MODERN  ENGINEERING  MATHEMATICS,  de  Glyn  James;  editorial  Addison‐ Wesley. 

C)  ENGINEERING  MATHEMATICS:  A  MODERN  FOUNDATION  FOR  ELECTRONIC,  ELECTRICAL  AND CONTROL ENGINEERS, de A. Croft; editorial Addison‐Wesley.  K) MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, de W. Kaplan; editorial  Addison‐Wesley Iberoamericana.  W) MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIERÍA, de C. Ray Wylie; editorial McGraw‐Hill.  EP) Enunciados de los ejercicios propuestos de este tema.   ER) Ejercicios resueltos de este tema.  EG) Ejercicios y actividades en la página del proyecto Giematic, cuya dirección es:    http://www.giematic.unican.es/index.php/transformada‐laplace/material‐interactivo  Los objetivos específicos de este tema son: 

1.

Saber comprobar si una función verifica las condiciones suficientes para que exista su transformada de  Laplace.     A  Cap. 4, Sección 4.2, ejemplos 4.1, 4.2 y 4.3  G  Cap. 2, Sección 2.2, ejemplos 2.5 y 2.6  W  Cap. 7, Sección 7.1  EP  1 y 3  ER  1  EG  Ejercicios inmediatos, 7, 8 y 9; Ejercicio 1. 

2.

Obtener  la  transformada  de  Laplace  para  funciones  continuas  a  trozos  y  de  orden  exponencial,  aplicando la definición.   

A  Cap. 4, Sección 4.2, ejemplo 4.4 

G  Cap. 2, Sección 2.2, ejemplos 2.1, 2.2 y 2.3  C  Cap. 20, Sección 20.2, ejemplo 20.1 

(2)

K  Cap. 4, Sección 4.2, ejemplos 1, 2 y 3    W  Cap. 7, Secciones 7.3 y 7.4  EP  2, 3   y 4  ER  3  EG  Ejercicios inmediatos, 14. 

3.

Calcular transformadas de Laplace utilizando propiedades y tablas.  A  Cap. 4, Sección 4.3, ejemplo 4.5  G  Cap. 2, Secciones 2.2 y 2.3; ejemplos 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13 y 2.22 

C  Cap.  20,  Secciones  20.3  y  20.4,  ejemplos  20.2,  20.3,  20.4,  20.5,  20.6,  20.7,  20.8,  20.9,  20.10  y  20.11  K  Cap. 4, Sección 4.3, ejemplos 1, 2, 3, 4, 5 y 6    W  Cap. 7, Sección 7.2  EP  5, 7 y 10  ER  4, 5 y 11  EG  Ejercicios inmediatos, 10; Ejercicio 2. 

4.

Utilizar las funciones de Heaviside para definir analíticamente funciones continuas a trozos y hallar su  transformada de Laplace.  G  Cap. 2, Sección 2.5, ejemplos 2.32, 2.33, 2.34, 2.35, 2.36 y 2.37  W  Cap. 7, Sección 7.4  EP  7, 8 y 9  ER  2  EG  Ejercicios inmediatos, 6 

5.

Hallar la transformada de Laplace de funciones periódicas.  G  Cap. 2, Sección 2.5, ejemplo 2.42  C  Cap. 20, Sección 20.13.2, ejemplo 20.35  W  Cap. 7, Sección 7.6  EP   11  EG  Ejercicio 4 

6.

Calcular  transformadas  inversas  de  Laplace,  utilizando  la  descomposición  en  fracciones  simples  y  propiedades.  A  Cap. 4, Sección 4.4, ejemplos 4.6 y 4.7  G  Cap. 2, Sección 2.2, ejemplos 2.16, 2.17, 2.18, 2.19, 2.20 y 2.21  C  Cap. 20, Secciones 20.6 y 20.7, ejemplos 20.12, 20.13, 20.14, 20.15 y 20.16  K  Cap. 4, Secciones 4.6 y 4.7, ejemplos 1, 2, 3 y 4  EP  13, 14  15  ER  7  EG  Ejercicios inmediatos, 12, 13, 15 y 17; Ejercicios 5, 6 y 7. 

7.

Resolver  ecuaciones  diferenciales  ordinarias,  lineales,  de  coeficientes  constantes,  utilizando  la  transformación de Laplace.   

A  Cap. 4, Sección 4.5, ejemplos 4.8, 4.9 y 4.10   G  Cap. 2, Sección 2.3, ejemplos 2.23, 2.24, 2.25 y 2.26 

(3)

C  Cap. 20, Secciones 20.5 y 20.10, ejemplos 20.21, 20.22, 20.23, 20.24 y 20.25  K  Cap. 4, Sección 4.11, ejemplos 1, 2 y 3  W  Cap. 7, Sección 7.2  EP  16, 17, 18, 19, 20 y 23  ER  9, 10 y 12  EG  Ejercicios 8, 9,10, 11 y 12   

T

RANSFORMADA DE 

L

APLACE

 

 

Definición 

La  transformada  de  Laplace  es  una  herramienta  útil  para  resolver  ecuaciones  diferenciales  lineales de coeficientes constantes con valores iniciales. 

Se utiliza también en sistemas de control para obtener la función de transferencia y predecir o  analizar el funcionamiento del sistema. 

Definición (Transformada de Laplace).‐ Sea f t

( )

 una función definida para t ³0 y tal que 

( )

0

f t =  para t < . Se llama transformada de Laplace de la función 0 f t  a la función: 

( )

0 ( ) ( ) ( ) st f t F s f t e dt ¥ -é ù = = ê ú ë û

ò

L   Siempre que la integral anterior sea convergente. 

El  proceso  inverso  de  hallar f t  a partir de la transformada de  Laplace 

( )

F s( ),  se  denomina  transformación inversa de Laplace. La integral que resuelve este problema es la siguiente:  1 ( ) ( ) ( ) 2 i st i F s f t F s e dt i a a p + ¥ - ¥ é ù = = ê ú ë û

ò

-1 L   La resolución de esta integral requiere la aplicación de técnicas de variable compleja por lo que  en la práctica en el cálculo de transformadas inversas se utilizarán únicamente las propiedades  y la tabla.   

Condiciones suficientes de existencia de la transformada de Laplace   

El  proceso  inverso  de  hallar f t  a partir de la transformada de  Laplace 

( )

F s( ),  se  denomina  transformación inversa de Laplace. La integral que resuelve este problema es la siguiente:  1 ( ) ( ) ( ) 2 i st i F s f t F s e dt i a a p + ¥ - ¥ é ù = = ê ú ë û

ò

-1 L   La resolución de esta integral requiere la aplicación de técnicas de variable compleja por lo que  en la práctica en el cálculo de transformadas inversas se utilizarán únicamente las propiedades  y la tabla. 

(4)

Las  funciones  más  habituales,  tales  como  los  polinomios,  las  funciones  racionales,  las  funciones trigonométricas, las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas, son todas  ellas de orden exponencial.   

TEOREMA (de existencia de la transformada de Laplace).‐ Sea f t  una función definida 

( )

para t ³0 y tal que f t =  para 

( )

0 t < . Si 0 f t  es continua a trozos y además 

( )

f t  es 

( )

de tipo exponencial, entonces existe la transformada de Laplace para valores de 

s

 tales  que Re( )s >a0, siendo a  la abscisa de convergencia de 0 f t .  

( )

 

TEOREMA.‐ Si f t  verifica las condiciones del teorema de existencia anterior, entonces la 

( )

función transformada F s  tiende a cero a medida que s  tiende a infinito, es decir 

( )

( ) 0

s

lím F s

¥ =  

 

TEOREMA  DE  UNICIDAD.‐  Si  dos  funciones  continuas,  f t   y 

( )

g t   ,  tienen  una  misma 

( )

transformada  de  Laplace, F s ,  entonces  estas  funciones  son  idénticamente  iguales, 

( )

salvo quizá en puntos de discontinuidad. 

Como  consecuencia  de  este  teorema,  se  deduce  que  si  f t es  una  función  continua  queda 

( )

determinada de forma única mediante la transformada inversa de Laplace. 

Propiedades 

Propiedad  1  (Linealidad).‐  Sean  f t   y 

( )

g t   tales  que 

( )

L ëéêf t( )úûù  existe  para  s>a1  y 

( )

g t

é ù ê ú ë û

L  existe para s>a2, y sean  a y b constantes reales cualesquiera, entonces 

( )

( )

0 ( ) ( ) , f t g t f t g t s l m l m a é + ù= éê ùú+ é ù " > ê ú ë û ê ú ë û ë û L L L   siendo a0 =máx

{

a a1, 2

}

    Propiedad 2 (Multiplicación por la exponencial).‐ Si a  es un número real cualquiera,  

( )

(

)

(

)

( ) ( ) , a t e f t s f t s a F s a s a a é ù = é ù - = - " > + ê ú êë úû ë û L L   siendo  a  la abscisa de convergencia de f t . 

( )

 

(5)

Propiedad 3 (Traslación en el tiempo).‐ Si c  es cualquier número real positivo, se verifica 

(

)

( ) c s ( ) c s

( )

, U t c f t c e- f t e- F s s a é - - ù= éê ùú= " > ê ú ë û ë û L L   siendo 

 la abscisa de convergencia de f t . 

( )

  Propiedad 4 (Derivación de la transformada de Laplace).‐ Si  F s

( )

=Léêëf t( )ùúû entonces,  

( )

( ) ' t f t F s é ù = -ê ú ë û L   y, en general,  

( )

( ( ) 1n ( ) n n t f t F s é ù = -ê ú ë û L    

Propiedad  5  (Integración  de  la  transformada  de  Laplace).‐  Si   F s

( )

=Léêëf t( )ùúû  y  existe 

0 ( ) t f t lím t +   entonces,   ( ) ( ) s f t F x dx t ¥ é ù ê ú = ê ú ë û

ò

L   siempre que esta integral sea convergente.   

Propiedad 6 (Trasformada de la derivada).‐ Si la funciónf t

( )

y f t¢( ) son continuas y de  tipo exponencial para t ³0, entonces  

( )

( )

'( ) 0 , f t sF s f s a é ù = - > ê ú ë û L   Si f  no es continua, pero existe  0 (0 ) lim ( ) x f f x + +  =  se verifica 

( )

( )

'( ) 0 , f t sF s f + s a é ù = - > ê ú ë û L    

Propiedad 7 (Trasformada de la integral).‐ Si existe êëf t( )ùúû para s> ³a 0 , entonces  

( )

0 1 ( ) , t f x dx F s s s a é ù ê ú = > ê ú ê ú ë

ò

û L    

(6)

Propiedad 8 (Escala).‐ Si F s

( )

=Léêëf t( )ùúû para  s> , entonces para cualquier constante a real a > , se verifica  0 1 ( ) s , f at F s a a a æ ö÷ ç é ù= ç ÷÷ " > ê ú ç ë û çè ø÷ L     Propiedad 9 (Transformada de funciones periódicas).‐ Si f t  tiene período T, se cumple 

( )

0 1 ( ) ( ) , 1 T st Ts f t e f t dt s e aù = " > ê ú ë û -

ò

L    

Definición (Convolución).‐ Se define la convolución de las funciones f x( ) y g x( ), como la  función 

(

f g t

)( )

f u g t

( ) (

u du

)

¥ -¥ * =

ò

-     Propiedad 10 (Convolución).‐ La convolución de dos funciones verifica  [f g* ]= [ ( )]f t ⋅ [ ( )]g t =F s G s( )⋅ ( ) L L L      

Teoremas 

A  continuación  se  enuncian  dos  teoremas  que,  junto  con  las  propiedades  anteriores,  son  de  uso frecuente en el cálculo de transformadas de Laplace. 

 

TEOREMA  DEL  VALOR  INICIAL.‐  Si  f t   y 

( )

f t ,  admiten  transformada  de  Laplace, '

( )

entonces se podrá obtener el valor de f t  en el origen a partir de 

( )

F s  como, 

( )

0 ( ) (0 ) s ( ) tlím f t+ f lím sF s + ¥  = =   siempre que exista  ( ) s lím sF s ¥

(7)

TEOREMA  DEL  VALOR  FINAL.‐  Si  f t   y 

( )

f t ,  admiten  transformada  de  Laplace  es '

( )

posible obtener el valor de f t  en el infinito a partir de 

( )

F s , como  

( )

0 ( ) ( ) t s lím f t lím sF s ¥ =    siempre que exista 

( )

t lím f t ¥  

Aplicación: Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias 

Las  ecuaciones  diferenciales  ordinarias  que  vamos  a  resolver  mediante  transformadas  de  Laplace  son  ecuaciones  lineales  con  coeficientes  constantes  y  con  condiciones  iniciales  (problemas  de  valor  inicial).  Es  decir,  que,  en  general,  se  tendrá  una  ecuación  diferencial  del  tipo  1 2 1 1 2 2 1 0 ( ) , n n n n n n n n n i d y d y d y d y a a a a a y f t a d t d t d t d t - -- - - -+ + ++ + = Î  

y se buscará la solución y t

( )

de la ecuación para t ³0, que satisfaga las "

n

" condiciones iniciales ( 1 0 1 2 1 (0) , '(0) , ' '(0) , , n (0) n y c y c y c y - c -= = =  =   La importancia de la transformada de Laplace en la resolución de este tipo de ecuaciones se  basa en que, mediante su aplicación, una ecuación diferencial se transforma en una ecuación  algebraica. 

La  generalización  de  la  propiedad  6,  enunciada  anteriormente,  marca  el  camino  para  esta  transformación. 

Propiedad  6  generalizada.‐  Si y t( )  y  sus 

n

  primeras  derivadas  son  continuas  y  de  tipo  exponencial para t0, entonces  

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(n n n 1 0 n 2 ' 0 n 3 ' ' 0 (n 2 0 (n 1 0 y s Y s s -y s -y s -y s y - yù = - - - - - -ê ú ë û  L   Donde se ha utilizado la notación, Y s

( )

=Léêëy t

( )

ùúû   El método consiste en:   Aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación diferencial.   Utilizar la propiedad 6 generalizada.   Despejar la transformada Y s( ).   Finalmente calcular la transformada inversa de Y s( ), para obtener la función solución  ( ) y t

Este mismo  método  se  puede  aplicar a  la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales  lineales  con  coeficientes  constantes.  Al  aplicar  transformada  de  Laplace,  estos  sistemas  quedan  convertidos  en  sistemas  de  ecuaciones  algebraicas  lineales,  cuya  resolución  proporciona las transformadas de Laplace de las funciones incógnitas. 

(8)

Aplicación: Resolución de ecuaciones integrales 

Una  ecuación  integral  es  aquella  en  la  que  la  función  incógnita  f t   se  halla  bajo  el  signo 

( )

integral. Consideraremos, entre otras, ecuaciones integrales de la forma siguiente 

( )

( )

( ) (

)

0

t

f t = g t +

ò

f u N t - u du 

donde f t  es la función buscada, mientras que 

( )

g t  y 

( )

N t  son funciones conocidas. 

( )

El  método  de  resolución  consiste  en  aplicar  transformadas  de  Laplace  a  ambos  lados  de  la  igualdad  anterior  y  utilizar  la  propiedad  de  la  convolución.  De  esta  forma  se  despeja  la  transformada de la solución, para finalmente obtener f t , aplicando la transformada inversa 

( )

de Laplace. 

T

RANSFORMADA DE 

L

APLACE DE 

F

UNCIONES 

G

ENERALIZADAS

 

 

Función delta de Dirac  Definición (Función Delta de Dirac).‐ La función impulso unidad o delta de Dirac d -(t c) se  define como aquella que verifica las dos propiedades siguientes:  a)  (t c) 0 si t c si t c d - = íìïïïï¥ ¹= ïïî   b)  d(t c dt) 1 ¥ -¥ - =

ò

    Modelización de la función Delta de Dirac:  0 ( ) lim ( , ) a t f t a d  =       donde  1 / 2 ( , ) 0 a si t a f t a si t a ìï < ïï = íï ³ ïïî     a a  t   PROPIEDAD 1.‐ Si se denota por U t( -c) a la función escalón unidad se tiene  (t c) U t( c) d - = ¢ -    

(9)

PROPIEDAD 2.‐ Las funciones generalizadas ( en particular la función delta de Dirac y sus  derivadas) pueden sumarse, restarse y multiplicarse por constantes.  También es posible el producto de una función ordinaria por una generalizada:  (t c f t) ( ) f t t( ) ( c) f c t( ) ( c) d - = d - = d -   siempre que f  sea continua en 

t

c

  PROPIEDAD 2 generalizada.‐ El producto de una función ordinaria por la derivada de orden  n de la función delta, es de la forma  ( ( ( 0 ( ) (n ) n ( 1)k k( ) n k( ) 1, 2, 3, k n f t t c f c t c n k d d -= æ ö÷ ç ÷ ç - = - ç ÷÷ - = ç ÷ çè ø

å

  siempre que f f, ¢, f¢¢ , ,f(n  sean continuas en t= . c   PROPIEDAD 3.‐ 

i)  Si a < , ab ¹  y c b¹c, entonces 

    ( ) 1 0 b a si a c b t c dt si no d - = íìïïï < < ïïïî

ò

       ( ( ) 0 1, 2, 3, b n a t c dt n d - = =

ò

 

ii)  Si a < <  y c b ( ( ) n f t  es continua en t = , entonces c ( ( ( ) ( ) ( 1) ( ) 1, 2, 3, b n n n a f t d t-c dt = - f c n =

ò

    PROPIEDAD 4 (Filtro).‐ Si f es continua en un intervalo que contiene a t = , entonces c ( ) ( ) ( ) f t dt c dt f c ¥ -¥ - =

ò

    PROPIEDAD 5 (Convolución).‐ Si f  es una función ordinaria,  (n(t c) f t( ) f t( ) (n(t c) f(n(t c) n 0,1, 2, d - * = *d - = - =    Además  1 2 1 2 ( ( ( 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , 0,1,2, n t c n t c n n t c c n n d - *d - =d + - - =     PROPIEDAD 6.‐  Si a ¹ 0 ( )at 1 ( )t a d = d    

(10)

Transformada de Laplace de funciones generalizadas 

Resulta  interesante  conocer  la  transformada  de  Laplace  de  las  funciones  generalizadas  para  aplicar los resultados al método de resolución de ecuaciones diferenciales lineales ordinarias.  En  el  apartado  anterior  se  han  visto  la  definición  y  propiedades  de  la  función  delta  de  Dirac.  Aplicando la propiedad de filtro y suponiendo que  c0, se deduce  

(

)

(

)

(

)

(

)

0 0 s t s c s c t c t c e dt e t c dt e d d d ¥ ¥ - - -- =

ò

- =

ò

- = L Si c = 0, se obtiene

( )

( )

( )

0 0 1 s t s t t e dt e d d ¥ - -=

ò

= = L y, en general

(

(

)

( 0 ( ) ( ) ( 1) ( ) , 0, 0, 1, 2, 3, n t c n t c e dtst n s en sc s en sc c n d d ¥ - - -- =

ò

- = - - = ³ =  L

Cabe  señalar  que  en  el  contexto  de  las  transformadas  de  Laplace,  las  funciones  se  toman  definidas  para t ³0 ,  por  lo  cual  la  constante  de  traslación  c  debe  ser  no  negativa,  como  hemos indicado arriba. Con frecuencia consideraremos las funciones definidas en toda la recta  real, multiplicándolas por la función escalón unitario U t( )  para que se anulen en t0. 

Contando con estas nuevas transformadas y utilizando las propiedades de la transformada de  Laplace  podremos  encontrar  transformadas  inversas  de  polinomios  y  de  polinomios  multiplicados por el factor e-sc, como puede verse en la tabla de transformadas. 

 

Función de transferencia de un sistema 

Supongamos  que  la  siguiente  ecuación  diferencial  sirve  de  modelo  de  funcionamiento  de  un  sistema de ingeniería sencillo  0 ( ) ( ) ( ) , (0) d y t y t f t y y dt + = =

en esta ecuación diferencial f t  representa la señal de entrada del sistema e 

( )

y t  es la señal 

( )

de salida, o respuesta del sistema. Por razones de mayor simplicidad vamos a considerar que  las condiciones iniciales asociadas con la ecuación diferencial son nulas, es decir que y

( )

0 = . 0 Tomando transformadas de Laplace en la ecuación anterior obtenemos 

( )

0 ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) con 0 0 sY s -y +Y s =F s  +s Y s =F s y = luego ( ) 1 ( ) ( ) 1 Y s G s F s s = = +    

(11)

Definición  (Función  de  transferencia  de  un  sistema).‐  La  función G s   se  denomina 

( )

función de transferencia del sistema. Se trata de la transformada de Laplace de la señal de  salida dividida por la transformada de Laplace de la señal de entrada 

 

Ejercicios propuestos 

     Estudiar si las siguientes funciones 

( )

f t  verifican las condiciones suficientes de  existencia de la transformada de Laplace.  Obtener, siempre que sea posible, la abscisa  de convergencia de f t . 

( )

a)  ( ) 0 0 1 0 si t f t si t ìï < ïï = íï ³ ïïî           b) f t( )= íïïïìïsen at0( )si sit<t0³0 ïïî   c)  2 3 0 0 ( ) 0 t si t f t t e- si t ìï < ïï = íï > ïïî      d)  ( ) 0 0 , 0 m si t f t m t si t + ì ü ï < ï ï ï ï ï =íï ³ ýï Î Z ï ï ï ï î þ   Solución  En los cuatro casos, las funciones verifican las  condiciones suficientes de existencia de la  transformada de Laplace. La abscisa de  convergencia toma los valores siguientes: a) a =0      b)  a = 0      c)  a = -3        d)  a =0       Calcular las transformadas de Laplace  de las siguientes funciones  definidas en y  comprobar los resultados con Matlab:  a) f x =( ) 1  b) f x( )=U x( -a)    c) f x( )=eax   d) f x( )=x2    e) f x( )=cosax f) f x( )=senax

  Comandos de  Matlab para el cálculo de  transformadas y transformadas inversas de  Laplace:  Ejemplo de cálculo de transformada de  Laplace  f=sym('x^3'); F=laplace(f) o  también  syms x; F=laplace(x^3) Ejemplo de cálculo de transformada inversa:  syms s; f=ilaplace(1/(s^2+1)/(s+1)) Solución:  a) F s

( )

1 s =          b) 

( )

a s e F s s -=    c) F s

( )

1 s a = -   d) 

( )

3 2 F s s =  ;      e) F s

( )

2 s 2 s a = +        f) 

( )

2 2 a F s s a = +        Sea f t

( )

 la función cuya gráfica  muestra la figura. Definir dicha función  utilizando las funciones salto o funciones de  Heaviside U t

(

-c

)

. Hallar la transformada de  Laplace de f t

( )

 aplicando la definición de  transformada. Comprobar el resultado con  Matlab. Solución 

( ) (

1

) (

1

) (

1

) (

3

)

f t = t- ⋅U t- + - ⋅t U t-          

( )

2 3 2 12 s s e F s e s s s -- æç ö÷÷ = - ⋅çç + ÷÷ çè ø        Aplicando las propiedades de las  transformadas de Laplace junto con la tabla  de transformadas, hallar la transformada de  Laplace de las siguientes funciones f t

( )

:  a) cos 2 t æ ö÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ çè ø      b)  3 3 (3 ) 2 t t e e Sh t -=        c) Ch t(5 )       d)  e-tsen t(2 )      e)  senæ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø23t        f)  5

( )

cos 7 t t e            

(12)

Solución:  a)  

( )

24 4 1 s F s s = +      b) 

( )

2 3 9 F s s = -   c) 

( )

2 25 s F s s = -      d) 

( )

(

)

2 2 1 4 F s s = + +      e) 

( )

26 9 4 F s s = +  f) 

( )

(

)

2 5 5 49 s F s s + = + +        Calcular las transformadas inversas  de Laplace de las siguientes funciones F s

( )

 y  comprobar los resultados con Matlab:    a)  3 ( 2)( 1) s s s + - +   b)  2 1 2 9 s - s+     c) 

(

2

)

2 2 1 s s +   d)  3 2 s e s -         e)   10 4 (s +2)     f)  2 2 3 6 13 s s s + + +          g)  2 3 ( 4) s s +          h)  ( 2 3) ( 1) s s s + +   i)  2 ( 3) ( 1) s s e s s p -+ +     j)   2 2 ( 3) ( 1) s s e s s -+ +   Solución  a)  

( )

2 5 2 3 3 t t f t = - e- + e    b)  

( )

2

(

2 2

)

4 t f t = e sen t  c)  f t

( )

= ⋅t sent       d)  f t

( ) (

= t-3

) (

U t-3

)

    e)  

( )

5 3 2 3 t f t = t e -      f)  

( )

3 2 cos 2 3sen 2 2 t f t =e- æççç t- tö÷÷÷÷ çè ø  g)  

( )

3

(

1 cos 2

)

4 f t = - t    h)  f t

( ) (

= 3-3 cost+sent

)

  i) f t

( )

=U t

(

-p

)(

3+3 cost-sent

)

  j)  

( )

(

2 3

)

(

3 cos

(

2

)

sen

(

2

)

)

f t =U t- - t- + t -     Resolver las siguientes ecuaciones y  sistemas de ecuaciones diferenciales:  a)  x'' + 2x' + 5x = 1,  siendo las  condiciones iniciales  x

( )

0 =x' 0

( )

=0     b) x''' 2 '' 3 ' 6- x + x - x =4t, con las  condiciones iniciales 

( )

0 ' 0

( )

0 ; '' 0

( )

1 / 6 x =x = x =    c) x'' 4+ x = f t

( )

, con las condiciones  iniciales x

( )

0 =x' 0

( )

=0 siendo 

( )

0 0 5 5 5 10 5 1 10 t t f t t t ìï £ < ïï ï -ïï =íï £ < ïï ³ ïïïî   d) x''+ =x f t

( )

, con las condiciones iniciales 

( )

0 0, ' 0

( )

1 x = x =  siendo 

( )

t/ 2 02 t 66 f t t ìï £ < ïï = íï ³ ïïî   e)   '( ) 2 5 '( ) 2 x t x y y t x y ìï = -ïïí ï = -ïïî ,  con las condiciones  iniciales  x

( )

0 =1 ; y

( )

0 =0 Solución 

a)  

( )

1 1 cos 2 1sen 2

5 2 t x t = ìíïï -e- æçç t+ t÷÷öïïüý ÷ ç ÷ ï çè øï ï ï î þ;  b)  

( )

1 2 1cos 3 6 6 t x t = e + t+   3 2 1 sen 3 9 t 3t 3 + - - ;  c) 

( )

1 2

(

5

)

(

2

(

5

)

)

(

5

)

40 x t = éê t- -sen t- ùúU t- -ë û  

(

)

(

(

)

)

(

)

1 2 10 2 10 10 40 t sen t U t é ù - ê - - - ú - -ë û   d) 

( )

1 2 x t = éêët+sent

(

)

(

t 6 sen t 6

)

U t

(

6

)

ù - - - - - úû  

e)  x t

( )

=cost+2 sent ; y t

( )

=sent      Una masa que pesa 32 g. se  encuentra sujeta al extremo de un resorte  ligero que se estira 1 m. cuando se le aplica  una fuerza de 4 kg. Si la masa se encuentra en  reposo en su posición de equilibrio cuando  t=0 y si, en ese instante, se aplica una fuerza  de excitación f t

( )

=costque cesa 

abruptamente en t=2p s, determinar la 

(13)

función de posición de la masa en cualquier  instante, si se permite a la masa continuar su  movimiento sin impedimentos.  Teniendo en cuenta la ley de Hooke, la  ecuación que modela la posición de la masa m  es  cos 0 2 x'' 4 0 2 t t x t p p ìï £ £ ïï + = íï > ïïî     Solución:

( )

1 sen 2 0 2 4 1 1 x sen sen 2 4 16 2 1 3 cos 2 cos 2 16 8 t t t t t t t t t t p p p ìïï £ < ïï ïï ïï = í - + ïï ³ ïï ï+ -ïïïî          Un circuito RLC, con R =110W, L=1H  y C=0.002F tiene conectada una batería de  90V. Supongamos que en t=0 no hay corriente  en el circuito ni carga en el condesador y que,  en el mismo instante, se cierra el interruptor  por 1 seg. Si al tiempo t=1 se abre el  interruptor, y así se conserva, encontrar la  corriente resultante en el circuito.   Nota: Aplicando las leyes de Kirchhoff, la  ecuación que modela el circuito es  1 ' 110 0.001 o I + I+

ò

Idt=E siendo 

( )

(

)

(

)

90 1 E = u t -u t-   Solución:    

( )

(

10

)

1010

(

100100

)

100 0 1 1 1 1 t t t t e e t I t e e e e t - -- -ìï - £ < ïï = íï -- -- ³ ïïî      Una droga entra y sale de un órgano  de volumen v cmo 3a una tasa de acm3/seg,  donde vo y ason constantes. Supongamos  que, en el tiempo t=0, la concentración de la  droga es 0 y tras administrarla, dicha  concentración aumenta linealmente hasta un  máximo de K en el tiempo t =toen el cual el  proceso se detiene. Determinar la  concentración de la droga en el órgano en  todo instante y su máximo valor.  Solución:   Para t<to se tendrá 

( )

1 o t v o o o v k kt x t e t t a aö÷ ç ÷ ç ÷ = - çç - ÷÷ ç ÷ çè ø.  Si  o t>t

( )

( o) o o t t t v v o o o o v k v k x t e k e t t a a a a - æç ö÷ - -÷ ç = +çç - ÷÷÷ è ø          

Test de autoevaluación 

    Estudiar si la función f t( )=U t e

( )

3t  verifica las condiciones suficientes para que  exista su transformada de Laplace y, si existe,  elegir la abscisa de convergencia correcta  para  ( )f t : 

A)  La abscisa de convergencia de  ( )f t  es 

3 a = - .  B)  La abscisa de convergencia de  ( )f t  es  0 a = .  C)  La abscisa de convergencia de  ( )f t  es  3 a = .  D)  Ninguna de las anteriores.      Hallar la transformada de Laplace de  la función f t( ) 62 sisi t0 5t 5 ì ü ï £ £ ï ï ï ï ï = íï > ýï ï ï ï ï î þ,  utilizando las funciones de Heaviside para  definir  ( )f t  y, posteriormente, la tabla de  transformadas:  A)  5 2 6 ( ) s e F s s s -= +   B)  5 2 4 ( ) s e F s s s = +   C)  5 2 4 ( ) s e F s s s -= +   D)  Ninguna de las anteriores.     Elegir la respuesta correcta para  definir el carácter convergente o divergente  de cada una de las siguientes integrales:  0 sen 2 t I e tdt ¥ =

ò

; 0 cos 3 t J te tdt ¥ -=

ò

(14)

A)  Las dos integrales divergen.  B)  I es divergente y J converge a  8 100 -  C)  I es divergente y J converge a  1 100 -  D)  Ninguna de las anteriores.      Sabiendo que la transformada de  Laplace de la función  ( )f t  es 

( )

2 2 5 20 4 9 s F s s s = + + + , hallar la función  ( ) f t : 

A)  f t( )=5 cos 2t+20 sen 3t  B)  f t( )=5 sen 2t+20 cos 3t  C)  ( ) 5sen 2 20 cos 3 2 f t = t+ t  D)   Ninguna de las anteriores      Sabiendo que la transformada de  Laplace de la función  ( )f t  es  ( ) 2 3 ( 1) F s s = + ,  señalar cuál de las siguientes funciones es la  transformada de Laplace de la función  ( 2) ( 2) U t- f t- :  A) 

( )

( 2) 2 3 ( 1) G s F s s = - = -   B)  ( ) 2 3 2 ( 1) s G s e s -= +   C)  ( ) 2 3 2 ( 1) s G s e s = +   D)  Ninguna de las anteriores.        La transformada de Laplace de la  función  3 0 ( sen 2 ) t x + x dx

ò

  es:  A) 

(

)

5 2 6 2 ( ) , 0 4 F s s s s s = + > +   B)  ( ) 64 22 , 0 4 F s s s s = + > +   C) 

(

)

5 2 3 2 ( ) , 0 4 F s s s s s = + > +   D)  Ninguna de las anteriores.   

  Sin calcular  ( )f t , determinar f(0 )+  y  ( ) f ¥ , sabiendo que la transformada de  Laplace de dicha función es  3 2 3 2 7 5 ( ) ( 3 4 2) s s F s s s s s + + = + + + :  A)  (0) 5 2 f + =  y  ( )f ¥ =  1 B)  f(0)+ =1 y  ( )f ¥ =  1 C)  f(0)+ =1  y  ( ) 5 2 f ¥ =   D)  Ninguna de las anteriores      Resolver el siguiente sistema de  ecuaciones diferenciales, aplicando  transformadas de Laplace, para las  condiciones iniciales   x(0) = 0, y(0) = 1:  ' ' 2 y x x y x ì ü ï = - ï ï ï ï ï í ý ï = + ï ï ï ï ï î þ  A)  x t( )=tet ; y t( )=

(

1-t e

)

t 

B)  x t( )= -sent+2 cos ;t y t( )=cost  C)  x t( )= -tet ; y t( )=

(

1-t e

)

t  D)  Ninguna de las anteriores.        Utilizar la convolución para hallar la  transformada inversa de Laplace  1 1 1 1 2 s s - éê ùú ê - - ú ë û L , sabiendo que  2 1 1 ; 1 2 t t e e s s é ù= é ù= ê ú ê ú ë û - ë û -L L :  A)  f t( )=e2t-et   B)  f t( )=e-2t-e-t  C)  f t( )= -e2t +et  D)  Ninguna de las anteriores.        La función de transferencia de un  circuito eléctrico dado es  0( ) 1 ( ) ( ) 2 i V s G s V s s = = + , donde V si( ) y V so( )  son las transformadas de Laplace de los  voltajes de entrada y salida, respectivamente. 

10 

(15)

Hallar v to( ), aplicando convolución, sabiendo  que v ti( )=

{

e-t , t³0 ; 0 , t<0

}

  A)  v to( )=e-2t+e-t  B)  v to( )= -e -e   C)  v to( )= -e-2t +  et D)  Ninguna de las anteriores.   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

A  C  B  C  B  A  C  A  A  D 

 

Ejercicios resueltos 

    Expresar  en  términos  de  la  función  salto  unidad  la  función  f t( ),  calculando 

posteriormente su transformada de Laplace:      2 0 , 0 ( ) 2 , 0 3 9 , 3 t f t t t t ì ü ï < ï ï ï ï ï ï ï =íï £ < ýï ï ³ ï ï ï ï ï î þ   Datos:       tn nn!1 ; s + é ù = ê ú ë û L        

(

)

s c e U t c s- ù= ê ú ë û L   Solución  Expresión de  ( )f t  utilizando la función escalón:    

( )

2 2

( )

(

9 2 2

)

(

3

)

f t = t U t + - t U t-   Para hallar la transformada de Laplace utilizando la propiedad de traslación en el tiempo, es  necesario expresar el polinomio 

(

9-2t2

)

 en potencias de 

(

t -3

)

. Para ello efectuamos un  cambio de variable 

(

)

2

(

)

2 2 3 3 9 2 9 2 3 9 12 2 t- =zt = +z  - t = - z+ = - - z- z   Deshaciendo ahora el cambio de variable, queda la expresión buscada del polinomio  

(

) (

)

2 2 2 9-2t = - -9 12z-2z = - -9 12 t-3 -2 t-3 ,  sustituimos y calculamos la transformada de Laplace,  

( )

2

( )

(

) (

) (

2

)

2 9 12 3 2 3 3 f t t U t éæ t t öU t ù é ù= é ù+ êç- - - - - ÷÷ - ú ç ÷ ê ú ê ú ë û ë û êëè ø úû L L L ,  aplicando también la propiedad de linealidad, queda 

( )

2

( )

(

)

(

) (

)

(

) (

2

)

2 9 3 12 3 3 2 3 3 f t t U t U t t U t ét U t ù é ù= é ù- é - ù- é - - ù- ê - - ú ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û ë û ë û êë úû L L L L L  

( )

3 3 2 3 4 s 9 12 4 f t e s s s s - ìïï üïï é ù = - í + + ý ê ú ë û ïïî ïïþ L    

(16)

    Estudiar  el  carácter  convergente  o  divergente  de  cada  una  de  las  siguientes  integrales,  utilizando  únicamente  la  definición  de  transformada  de  Laplace  y  la  tabla  de  transformadas. En el caso de que la integral sea convergente, hallar su valor:  0 cos 2 t I e tdt ¥ =

ò

  ;       0 sen 3 t J te tdt ¥ -=

ò

  Solución  1 0 cos 2 cos 2 t s I e tdt J t ¥ =-é ù =

ò

= =L êë úû  

esta integral es divergente porque la transformada de la función cos 2t solo converge para  valores de 

s

0

.  1 0 sen 3 sen 3 t s J te tdt t t ¥ -= é ù =

ò

=Lêë úû  

esta  integral  es  convergente  porque  la  transformada  de  la  función  sen 3t t   es  la  función  

( )

(

)

2 2 2 6 3 s F s s =

+ ,  que  converge  para  0

s > .  Sustituyendo  en    s = ,  queda 1

( )

1 6 3

100 50

J =F = = . 

    Hallar  la  transformada  de  las  siguientes  funciones,  utilizando  la  tabla  y  las  propiedades de las transformadas de Laplace:  sen 3 ( ) x f x x =      b)  0 cos 2 x et t dt t

  Solución 

Se  aplica  la  propiedad:      ( )

(

( ) ( )

)

s f x f x u du x ¥ é ù ê ú = ê ú ë û

ò

L L   comprobando  la  condición  de 

existencia del  límite     0 sen 3 lim 3 x x x +  =  

(

)

(

)

2 ( 0) 2 ( 0) ( ) 3 1 / 3 sen 3 ( ) lim 9 / 3 1

lim arctg arctg , 0

3 2 3 R propiedad tabla s R s u s s R R s f x x u du du du x u u u s s p ¥ ¥ > ¥ > ¥ é ù é ù ê ú = ê ú = = = ê ú ë û + ë û + é ù ê ú = ê ú = - > ë û

ò

ò

ò

L L   b)  Aplicando la propiedad:   

(

)

0 1 ( ) ( ) x f t dt f x s é ù ê ú = ê ú ê ú ë

ò

û L L  , se obtiene 

(17)

0 1 cos 2 ( ) t e t f x dx s t é ù é - ù ê ú= ê ú ê ú êê úú ê ú ë û ë

ò

û L L   Ahora se aplica la propiedad utilizada en el apartado a), comprobando previamente  0 cos 2 lim 1 t t e t t +  -=   2 ( 1) ( 1) 2 2 1 cos 2 1 1 1 ( cos 2 ) 1 4 1 1 1 1

lim log log , 1

4 4 t x tabla s s u s R R s e t u e x du du s t s s u u u s s s u s s ¥ ¥ > > ¥ é - ù é ù æç ö÷ ê ú = - = ç - ÷÷ = ê ú ê ú ë û çç -è + ÷ø ê ú ë û é - ù -ê ú = ê ú = - > ê + ú + ë û

ò

ò

L L  

    Hallar  la  transformada  de  las  siguientes  funciones,  utilizando  la  tabla  y  las  propiedades de las transformadas de Laplace:  a)  ( ) 21 ( 1)( 2 5) F s s s s = + + +        b)    4 2 ( ) 3 1 s s e e F s s s - -= + - +   Solución  En primer lugar, se escriben los factores del denominador en función de 

s

1

, para utilizar  la propiedad de traslación en la variable “

s

” 

(

)

1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( 2 ) ( 1) 1 2 x propiedad F s e s s s s - -é æç ö÷ù ê ú÷ = é ù = ê çç ÷÷ú ÷ ç + è ø ê ú + êê + + úú ë û ë û L L   Además  2 2 2 2 2 0 1 1 2 1 sen 2 1 1 sen 2 sen 2 2 2 2 ( 2 ) 2 x propiedad x tdt x s s s s s é ù æ ö÷ æ ö÷ ê ú é ù ç ÷ ç ÷ ê ú = ççç ÷÷= ççç ÷÷ = ê ú = ê ú + è + ø Lè ø L êë

ò

úû L ë û  Con lo que, 

(

)

1 1 2 2 2 1 1 ( ) sen 2 ( 2 ) x x F s e e x s s - = - - æçç ö÷÷= -÷ ç ÷÷ ç + è ø L L   Haciendo uso de la propiedad de traslación en el tiempo, se tiene 

(

)

(

)

( 0) ( ) ( ) ( ) 0, ( ) ( ), c cs cs U x c f x c e f x si x c e f x f x c si x c > -é - - ù= ê ú ë û ìï £ ïï é ù  êë úû= íï - > ïïî -1 L L L L   Aplicando esto a cada sumando de la función, y debido a que   1 1 3 3 x e s        

L

      y        1 1 1 x e s - æçç ö÷÷ = -÷ ç ÷ ç + è ø L   Resulta 

(18)

3( 1) 0, 1 , 1 3 s x si x e e si x s -ì é ù ïïï £ ê ú = í ê - ú ï > ê ú ï ë û ïî -1 L          y         4 ( 4) 0, 4 , 4 1 s x si x e e si x s -ì é ù ïïï £ ê ú = í ê + ú ï > ê ú ï ë û ïî -1 L   de donde 

(

)

( ) ( ) ( ) 3 1 1 3 1 4 0, 1 ( ) , 1 4 2 , 4 x x x si x F s e si x e e si x -- -ìï £ ïï ïï =íï < £ ïï + > ïïî L    Calcular la transformada inversa de Laplace de la función: 

(

2

)

2 1 ( ) 1 F s s = +   Solución  A modo ilustrativo, abordaremos este cálculo mediante dos procedimientos distintos.  Método 1: Haciendo uso de la propiedad de convolución, 

(

2

)

2 2 2

(

) (

)

(

)

1 1 1

( ) sen sen sen sen

1 1 1 convolución F s x x x x s s s = = = = * + + + L L L luego sólo resta calcular esa convolución 

(

)

0 0 1 1

sen sen sen sen( ) cos(2 ) cos sen cos

2 2 x x x* x =

ò

u x-u du =

ò

êéë u-x - x duùúû = x-x x para saber que 

(

)

(

)

-1 1 ( ) sen cos 2 F s = x-x x L Método 2: Para hacer uso de otras propiedades, comenzamos escribiendo la función como  producto de dos funciones,  

(

2

)

2

(

2

)

2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 s F s G s s s s s = = = + + la segunda de las cuales, G s( ), es la derivada de una función cuya transformada inversa es  conocida: 

(

)

-1 2 2 1 / 2 1 1 1 ( ) ( ) sen 2 2 1 propiedad 1 d G s G s x x x ds s s é ù æ- ö÷ æ ö÷ ç ÷ ê ç ÷ú = ççç ÷÷  = ê ççç ÷÷ú = + è + ø è ø L êë L úû L   Ahora, debido a la propiedad  

(

)

0 1 ( ) ( ) x f t dt f x s é ù ê ú = ê ú ê ú ë

ò

û L L  

(19)

(

)

(

)

-1

0 0

1 1 1

( ) ( ) ( ) sen sen cos

2 2 F s G s G s dt t tdt x x x s é ù é ù ê ú ê ú = = ê ú= ê ú = -ê ú ê ú ë

ò

û ë

ò

û L L L L   de donde se deduce el mismo resultado que el alcanzado con el primer método. 

 Sin calcular  ( )f t , determinar  (0)f + y  ( )f ¥ , en los dos casos siguientes, sabiendo que  la función  ( )F s  dada es la transformada de Laplace de  ( )f t , a saber:        

       a)   ( ) 2 2 6 8 20 s F s s s + = + +        b) 

(

)

(

)

2 2 2 1 4 ( ) 3 16 ( 5) s F s s s + + = é + + ù⋅ + ê ú ê ú ë û   Solución 

En  ambos  casos  vamos  a  aplicar  los  teoremas  del  valor  inicial  y  del  valor  final.  Según  el  Teorema del valor inicial, se verifica 

( )

0 lim

( )

s f + sF s ¥ = Además, el teorema del valor final permite conocer  ( )f ¥ , a partir de su transformada  ( )F s , así  

( )

( )

0 lim s f sF s  ¥ =   a)   

( )

2 2 2 2 2 6 2 0 lim lim 2 8 20 s s s s s f s s s + ¥ ¥ + = = = + +    

( )

2 2 0 0 2 6 6 lim lim 0 20 8 20 s s s s s f s s   + ¥ = = = + +   b)  

( )

(

)

(

)

2 3 3 2 2 1 4 4 0 lim lim 4 3 16 ( 5) s s s s s s f s s s + ¥ ¥ é + + ù ê ú ê ú ë û = = = é + + ù + ê ú ê ú ë û ;   

( )

(

)

(

)

2 3 2 0 2 0 3 2 0 2 1 4 4 4 5 5

lim lim lim 0

125 11 55 125 3 16 ( 5) s s s s s s s s s s f s s s s s    é + + ù ê ú + + ê ú ë û ¥ = é ù = = = + + + + + ⋅ + ê ú ê ú ë û    Resolver el siguiente problema de valor inicial:  4 5 ( ) ( 1) (0) 1, (0) 0 y y y U t U t y y ì ¢¢ ¢ ï + + = - -ïïí ¢ ï = = ïïî   Solución 

En  primer  lugar  aplicamos  la  transformada  de  Laplace  a  ambos  lados  de  la  ecuación  utilizando la propiedad:  

( )

y¢ =s

( )

y -y(0) 

( )

y¢¢ =s

( )

y¢ -y¢(0) L L L L

(

y¢¢+4y¢+5y

)

=és2

( )

y -sy(0)-y¢(0)ù+4és

( )

y -y(0)ù+5

( )

y ê ú ê ú ë û ë û L L L L 1 ( ) ( 1) s tabla e U t U t s s- - ù = -ê ú ë û L

(20)

Igualando y llamando   

( )

( ) Y s =L y Resulta 

(

2

)

(

)

1 ( ) 4 5 (0) 4 (0) s e Y s s s y s y s s -¢ + + - + - = -Despejamos ahora   ( )Y s  y sustituimos los valores iniciales,  2 1 4 ( ) 4 5 s e s s s Y s s s -- + + = + + Sólo resta calcular la transformada inversa para obtener y t( )=L-1

(

Y s( )

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

-1 -1 -1 -1 2 2 2 2 -1 -1 -1 1 2 3 1 4 1 4 4 5 4 5 4 5 4 5 ( ) ( ) ( ) s s e s e s s s s s s s s s s s s s F s F s F sö÷ ç - + + ÷ æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + ÷ ç ÷= ç ÷- ç ÷+ ç ÷= ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç + + ÷÷ ç ÷ ç ÷ çè + + ÷ø ç ÷ ç + + ÷÷ ç + + ÷÷ ç ÷ è ø è ø ç ÷ çè ø = - + L L L L L L L Factorizamos el denominador de estas fracciones para descomponer en fracciones simples, 

(

2

)

2 1 1 1 4 , , 5 5 5 4 5 4 5 A Bs C A B C s s s s s s + = +  = = - = -+ + + +

(

)

(

)

-1 -1 -1 -1 1 1 2 2 1 1 1 1 4 ( ) ( ) 5 5 4 5 4 5 s f t F s s s s s s s æ ö÷ æ ö æ ö ç ÷ ÷ + ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = ççç ÷÷= ççè øç ÷÷- èççç + + ÷÷ø ÷ + + ÷ çè ø L L L L Calculamos aparte  -1 -1 -1 -1 2 2 2 2 2 2 ( 2) 2 4 2 2 4 5 ( 2) 1 ( 2) 1 ( 2) 1 cos 2 sen tabla t t s s s s s s s s e- t e- t æ ö æ ö æ ö æ + ö÷ ç + + ÷ ç + ÷ ç ÷ ç ÷ = ç ÷= ç ÷+ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç + + ç + + ÷ ç + + ÷ ç + + ÷ è ø è ø è ø è ø = + L L L L Por tanto,

(

)

2

(

)

-1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) cos 2 sen 5 5 t e f t F s U t t t -=L = - +

(

)

(

)

-1 -1 2( 1) 2 2 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) 1 cos( 1) 2 sen( 1) 5 t t U t f t F s U t F s e- - t t -- é ù é ù =L = - L ëê úû = ëê - - + - úû 

(

)

(

)

-1 2 3( ) 3( ) cos 2 sen t f t = F s =e- t+ t L   Finalmente, 

(

)

-1 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y t =L Y s =f t -f t +f t =

(

)

(

)

2 ( 1) 2( 1) 1 4

( ) cos 2 sen 1 cos( 1) 2 sen( 1)

5 5 5

t U t t

U t e- t t - é e- - t t ù

(21)

( )

1 ( ) ( 1) 1 ( 1) 2( 1) cos( 1) 2 sen( 1) 4 2

(

cos 2 sen

)

5 5 5 t t y t = U té -U t- ù+ U t- e- - é t- + t- ù+ e- t + t ê ú ê ú ë û ë û    Resolver el sistema de ecuaciones:      (0) (0) 1 4 0 y z x con y z z y ü ¢+ = ïïï = - = ý ¢+ = ïïþï   Solución  Aplicando transformadas de Laplace a ambas ecuaciones 

(

)

(

)

2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 1 ( ) 4 ( ) 0 ( ) 1 4 ( ) 0 s y z x sY s Z s sY s Z s s s Y s sZ s z y sZ s Y s ü ì ï ï + ï ï + =  - + = ïï ïï + = ý í ï ï ï ï ¢ + =  + + = ïïþ ïïî + = -L L L L L   se ha transformado el sistema inicial en un sistema algebraico, cuya resolución proporciona  las transformadas  Y s( ) y Z s( ) siguientes: 

2 3 2 2 2 2 1 4 4 ( ) ( ) ( 4) ( 4) s s s s Y s Z s s s s s + + - - -= = - -Finalmente, se calculan las transformadas inversas  2 -1 -1 2 2 2 3 2 -1 -1 2 2 2 2 2 1 1 7 1 3 1 1 7 3 ( ) 4 8 2 8 2 4 8 8 ( 4) 4 4 1 7 1 3 1 7 3 ( ) 4 2 4 2 4 4 ( 4) x x x x s s y x e e s s s s s s s z x x e e s s s s s+ + ö÷ æ- ö÷ ÷ ç ÷ = çç ÷÷= ççç + + ÷÷= + + ÷ ç - è - + ø è ø æ- - - ÷ö æ ö÷ ç ÷ ç ÷ = çèçç - ÷÷÷ø= çççè - - + + ÷÷ø= - + L L L L    Sea la función  ( )f t  cuya gráfica se muestra en la figura: 

a) Expresar  f t   utilizando  la  función  de  Heaviside  o  función  salto  y  hallar  su ( ) transformada de Laplace.    b) Aplicando transformadas de Laplace, hallar la función  ( )y t  que cumple la ecuación  siguiente, siendo  ( )f t  la función del apartado a)  0 '( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) t y t + y t +

ò

y x dx = f t     teniendo en cuenta la condición inicial   (0)y = . 1 Solución 

(22)

(

)

( ) 3 2 f t = U t- , ahora buscamos su transformada de Laplace en la tabla,   2 3 ( ) s f t e sù = ê ú ë û L   b) Aplicando transformadas de Laplace en ambos lados de la igualdad, y teniendo en cuenta  la propiedad de linealidad, resulta  0 '( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) t y t y t éê y x dxùú f t é ù+ éê ùú+ ê ú= éê ùú ê ú ë û ë û ë û ê ú ë

ò

û L L L L

Sea  Y s

( )

=Léêëy t( )ùúû,  aplicamos  las  propiedades  de  transformada  de  la  derivada  y  transformada de la integral de  ( )y t , resultando 

   

 

2

 

3 2 0 2 s sY s y Y s Y s e s s       resolvemos esta ecuación algebraica despejando  Y s , 

( )

2 2 3 ( ) 2 2 s s e Y s s s -+ = + +

Ahora  se  obtiene  ( )y t  hallando la transformada inversa de 

Y s

 

.  Para  ello,  separamos  la  función Y s  en dos partes, ya que se tratan de diferente forma por el hecho de que en 

( )

una de ellas aparece multiplicando una función exponencial de la variable 

s

( )

2

( )

1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 s s s e s e Y s y t s s s s s s s s - -- éê ùú - éê ùú = +  = ê ú+ ê ú + + + + L ë + + û L ëê + + úû;

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 cos sen 1 1 1 1 t s s s s s s s s e t t s s - - -- - -é ù é ù é ù ê ú ê + - ú ê ú= ê ú= ê ú= ê + + ú ê ú ê ú ë û êë + + úû êë + + úû é + ù é ù ê ú ê ú ê ú- ê ú== -ê + + ú ê + + ú ê ú ê ú ë û ë û L L L L L aplicando al resultado anterior la propiedad de traslación en el tiempo, podemos obtener la  transformada inversa  

(

)

(

)

( )

(

)

2 2 2 1 1 2 2 3 3 3 2 sen 2 2 2 1 1 t s s e e U t e t s s s - -- -é ù é ù ê ú ê ú= ê ú= - + + ú ê ú ê ú ê + + ú ë û ë û L L La solución de la ecuación integral será 

( )

t cos sen 3 2

(

2 sen

) (

2

)

y t =e- é t- t + e U t- t- ù

ê ú

ë û

  Los  voltajes  de  entrada  y  salida,  v ti( ) , v t ,  de  un  circuito o

( )

RC

  en  serie  están  relacionados por la ecuación diferencial 

(23)

( )

( ) o o i d v CR v t v t dt ⋅ + =   Las constantes del circuito verifican C R⋅ =10-2. Se pide:   a) Hallar la función de transferencia del sistema, considerando vo

( )

0 = . 0 b) Obtener v t , cuando o

( )

( ) 5 0 0 0 i si t v t si t ì ü ï ³ ï ï ï ï ï = íï < ýï ï ï ï ï î þ   Solución  La ecuación diferencial del circuito es la siguiente:     

( )

2 10 d vo v to v ti( ) dt - + = .  Sean       V so

( )

=Léêëv to

( )

ùúû  y   V si

( )

=Léêëv ti

( )

ùúû  La función de transferencia del sistema será  

 

o

 

 

i V s G s V s  Tomando transformadas en la ecuación diferencial tenemos 

( )

( )

( )

( )

( )

2 2 10 d vo v to v ti( ) 10 V so vo 0 V so V si dt - éê ùú+ é ù= é ù - é - ù+ = ê ú êë úû êë úû êë úû ê ú ë û L L L Sustituyendo la condición inicial,vo

( )

0 = , queda  0

( )

2

( )

( )

2 1 10 1 10 1 o i V s s V s G s s+ =ù = ê ú ë û +  

Puedes  ver  más  ejercicios  resueltos  sobre  transformadas  de  Laplace  en  la  página  de  Giematic UC 

http://www.giematic.unican.es/index.php/transformada‐laplace/material‐interactivo 

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