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Resultados obtenidos en la simulación del ensayo en ABAQUS

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Capítulo 6:

Resultados obtenidos en la simulación

del ensayo en ABAQUS

6.1.- Introducción

En los capítulos anteriores, se ha descrito el problema biomecánico que ha motivado la realización de este proyecto fin de carrera, se han comentado los ensayos realizados en el laboratorio que nos servirán para tener una base experimental con la que comparar los resultados, se ha desarrollado un modelo de elementos finitos equivalente al modelo real ensayado y, por último, se han introducido una serie de referencias teóricas de los criterios de fractura más empleados hasta la actualidad, a fin de tener una base teórica con la que justificar lo sucedido experimentalmente. Por tanto, llegados a este punto tan sólo nos queda resolver numéricamente el modelo de elementos finitos, extraer los resultados necesarios y compararlos con los obtenidos experimentalmente. Esto es lo que desarrollamos en este capítulo, lo cual nos permitirá dar respuesta a las incógnitas planteadas en el estudio biomecánico que nos ocupa y cumplir con los objetivos marcados por este proyecto fin de carrera.

Como ya se ha comentado en alguna ocasión, la resolución numérica se llevará a cabo en ABAQUS, y para ello habrá que atender varios aspectos. El modelo de elementos finitos que resolvemos quedó definido en el capítulo 4, donde pudimos apreciar cómo a partir de los listados de nodos y elementos obtenidos de ANSYS se obtenía el modelo correspondiente en ABAQUS. Dicho modelo está formado a su vez por 4 submodelos (arpón, hueso cortical, hueso trabecular y médula ósea) que representan a distintos tipos de materiales y, por tanto, con distintas propiedades mecánicas, que habrá que definir antes de resolver el problema. Por otro lado, tendremos que imponer una serie de condiciones de

contorno que nos simulen las mismas condiciones que teníamos en los ensayos reales ya que, si vamos a

comparar resultados numéricos con experimentales, tenemos que asegurarnos que los sistemas que se están comparando sean idénticos, aunque somos conscientes de que siempre habrá un pequeño margen de incertidumbre que no se puede modelar numéricamente. Y por último, tendremos que definir el tipo de análisis que vamos a hacer del modelo de elementos finitos para simular numéricamente el ensayo de arrancamiento.

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Todos estos condicionantes se tienen que programar en un archivo del tipo *.INP que será el input

principal que se introducirá en ABAQUS para que lleve a cabo la resolución del problema. Ese archivo lo

llamaremos modelo.inp, y en él se recogen los comandos que definen:

• La geometría del modelo, introduciendo una serie de ‘input’ con los listados de nodos y elementos que describen cada uno de los 4 submodelos.

• Las propiedades mecánicas de cada uno de los submodelos, distinguiendo los casos en los que las propiedades se mantengan constantes (caso del arpón y la médula ósea) y aquellos en los que las propiedades dependerán del estado de cargas (hueso cortical y hueso trabecular), en cuyo caso introducimos el ‘input’ correspondiente a la UMAT (subrutina de material de usuario) programada para el criterio de fractura elegido.

• Las condiciones iniciales del modelo.

• El tipo de análisis que realizamos con sus correspondientes condiciones de contorno, las cuales ya quedaron definidas en el capítulo 4.

Este archivo modelo.inp hace referencia a su vez a una serie de archivos que habrá que tener definidos previamente, como son los listados de nodos y elementos en formato *.INP, y la UMAT empleada para definir las propiedades mecánicas en formato *.FOR. Todos estos archivos se pueden encontrar en los ANEXOS II y III de esta memoria, así como en el DVD del proyecto.

6.2.- Elección del criterio de fractura

El objetivo principal de este proyecto fin de carrera es la simulación del ensayo de arrancamiento de arpones de sutura en húmeros humanos mediante la aplicación de criterios de fractura de hueso, siendo además éste objetivo el que le da título al proyecto. Esto nos da una idea de la importancia que tiene elegir correctamente el criterio de fractura de hueso para que los resultados obtenidos sean satisfactorios.

En el capítulo 3, donde se comentaron los ensayos realizados, pudimos comprobar la importancia que tenían las propiedades mecánicas del hueso ya que, de un húmero a otro, se vieron diferencias importantes en los valores de carga-desplazamiento (F-u en adelante) para una misma localización del arpón. Por tanto, si queremos que la simulación del ensayo que nos de ABAQUS sea fiel a lo que sucede realmente, tendremos que ser muy exhaustivos al definir las propiedades mecánicas del hueso, tanto del cortical como del trabecular. Dichas propiedades no son constantes, sino que dependen del estado de carga al que esté sometido el hueso, razón por la cual necesitaremos una subrutina de material de usuario (UMAT) para definirlas, siendo ahí donde interviene el criterio de fractura. La UMAT lo que hace es modificar las propiedades mecánicas iniciales del hueso según una determinada ley de daño. Pues bien, dicha ley depende de una variable llamada ‘daño’ que se obtiene por aplicación directa de un

criterio de fractura que, como hemos visto en el capítulo 5, depende del estado tensional que hay en

cada instante y de las características del material. Ese valor del daño (denotado por β) irá cambiando continuamente, y como consecuencia, también lo harán las propiedades mecánicas del hueso. De ahí la importancia de elegir un criterio de fractura adecuado para el tipo de problema que estamos resolviendo.

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Como ya se ha comentado, en el capítulo anterior se han desarrollado una serie de criterios de fractura a modo de referencia teórica, distinguiendo dos tipos: isótropos y anisótropos. En el primero de los casos, se supone que el comportamiento del material es el mismo en todas las direcciones, mientras que en el segundo, estamos admitiendo que el comportamiento del material variará según la dirección y sentido de la aplicación de la carga. El tejido óseo es un material heterogéneo, anisótropo y en constante cambio en función del estado de cargas al que es sometido, por lo que cabe esperar que el criterio de fractura más adecuado para implementarlo en la UMAT sea el anisótropo [18,19]. No obstante, el uso de un criterio de fractura isótropo nos puede servir para tener una primera aproximación de lo que sucede en el hueso, razón por la que es aconsejable probar alguno de ellos, ya que son sencillos y rápidos de implementar, y nos pueden aportar una información muy útil, por ejemplo, a la hora de determinar las propiedades mecánicas del hueso [20].

Las referencias bibliográficas que se han estudiado, además de desarrollar el modelo matemático de cada uno de los criterios, nos dan una aproximación del error (en %) que se comete al usar dicho modelo en comparación con los resultados experimentales obtenidos para fémures humanos, los cual nos permite conocer en mayor o menor medida cuáles son los criterios que ofrecen una mejor aproximación a la realidad. En función a esto nosotros vamos a elegir dos criterios, uno isótropo y otro anisótropo, adoptando el que ofrecía los mejores resultados en cada caso, esto es, el criterio de la

Tensión Máxima de entre los isótropos, y el de Cowin entre los anisótropos [18,19].

El que se empleará para casi la totalidad de las simulaciones será el criterio de Cowin, que al ser un criterio anisótropo nos dará mejores resultados [J. M. García Aznar, 2000]. Pero también emplearemos el criterio de la Tensión Máxima para, por un lado comprobar que los resultados que obtenemos con el de Cowin son viables, y por otro, para realizar una comparación entre los resultados obtenidos con un criterio isótropo y con uno anisótropo.

Como ya se comentó anteriormente, el criterio de Cowin tiene la complicación de que es necesario calcular un número elevado de constantes para poder implementarlo, de ahí que no se suela emplear tal cual en el estudio del tejido óseo. No obstante, será el que nosotros introduzcamos en nuestro modelo de daño.

Por último, comentar que la programación de los dos criterios comentados anteriormente, se encuentra definida en su correspondiente rutina de material de usuario (UMAT), la cual se empleará para definir las propiedades del hueso en cada caso. Todo ello se puede encontrar desarrollado en el ANEXO I de esta memoria.

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6.3.- Obtención de las propiedades elásticas del húmero

Al definir las propiedades del material habrá que tener en cuenta que, de los cuatro submodelos que tenemos (arpón, hueso cortical, hueso trabecular y médula ósea), dos de ellos son tejidos óseos y por tanto requieren el uso de una UMAT que nos proporcione las propiedades del material en cada instante. En los otros dos casos, las propiedades son conocidas o se pueden estimar fácilmente. En el caso del arpón, las propiedades están definidas por el fabricante, y en el caso de la médula, podemos sumir que tiene unas propiedades muy similares a las del agua, por lo que podremos conocer su rigidez sin más que aplicar la relación correspondiente entre el módulo de Poisson (ν) y el módulo de Bulk (K), ambos conocidos para dicha sustancia, cuya expresión matemática es la siguiente:

3 (1 2 )

E= K⋅ − ν (6.1)

Como ya hemos comentado, la UMAT parte de unas propiedades iniciales y, a medida que aumenta el nivel de carga del sistema, las va modificando según una determinada ley de daño. Pues bien, esas propiedades iniciales son las propiedades reales del hueso, es decir, las que tendríamos si analizásemos el hueso ‘in vitro’, y tendremos que conocerlas para introducirlas en la UMAT. Para ello, vamos a servirnos de las curvas obtenidas en los ensayos realizados en el laboratorio, ya que es la única referencia que tenemos relativa al húmero estudiado.

Las propiedades que necesitamos son el módulo de Young (E), el módulo de Poisson (ν) y la densidad

mineral ósea (ρ). De las tres anteriores, la principal es la primera de ellas porque es la que nos

determina la rigidez del material y sobre la que actúa la ley de daño, minorando su valor a medida que aumenta el nivel de carga. El módulo de Poisson y la densidad podemos considerarlos prácticamente inalterables con el estado tensional, y además conocemos un valor aproximado de ambos que podremos adoptar como válidos, por lo que no nos vamos a centrar en la obtención de estas dos propiedades. Por tanto, tendremos que realizar un estudio que nos permita estimar el valor del módulo de Young que tiene el hueso cortical y el hueso trabecular en el húmero H1 (en adelante Ecortical y Etrabecular respectivamente).

Ese estudio se realizará comparando la curva F-u obtenida experimentalmente con la obtenida numéricamente con el modelo de elementos finitos que hemos diseñado. El problema que nos encontramos es que tenemos dos incógnitas (Ecortical y Etrabecular) y sólo una referencia experimental con la que comparar, la relativa a la curva F-u del húmero H1 con el arpón insertado en la posición A, que es exactamente la que tenemos modelada. El resto de curvas no se pueden usar para dicho estudio porque no se corresponden con nuestro sistema. Esa comparación habrá de hacerse tan sólo en el tramo lineal de la curva que, como ya sabemos, es donde es donde el daño acumulado es pequeño y podemos admitir que se satisface la ley de Hooke, lo cual nos va a permitir conocer la ‘rigidez global’ del hueso (en adelante Eglobal) sin más que conocer la pendiente que tiene la curva en ese tramo. Esa rigidez es una combinación de las rigideces particulares del hueso cortical y del hueso trabecular, aunque a priori no sabemos en qué proporción influye cada una de ellas.

La finalidad de este apartado no es otra que la obtención de la rigideces de ambos huesos, cortical y trabecular, ya que así tendremos definidas todas las propiedades mecánicas del sistema y podremos simular el ensayo real de arrancamiento de arpones, que es el objetivo principal de este proyecto.

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6.3.1.- Análisis de sensibilidad

Para obtener las propiedades mecánicas del húmero mediante la comparación de resultados numéricos y experimentales, centrándonos tan sólo en las rigideces del hueso cortical y trabecular, el único modo de operar que tenemos es el de ‘prueba y error’. A fin de acelerar la convergencia del método, vamos realizar un análisis de sensibilidad de ambas rigideces que nos permita identificar, si es posible, qué rigidez particular, si la del cortical o la del trabecular, afecta más a la rigidez global del sistema. Si realmente podemos extraer de este estudio que una de las rigideces particulares afecta en mayor medida que otra en el valor de la rigidez global, podremos fijar la que menos afecte (a un valor que podamos adoptar como válido) y ajustar la otra hasta que los resultados numéricos y experimentales coincidan.

En este subapartado nos vamos a centrar tan sólo en realizar el análisis de sensibilidad y en estudiar los resultados que obtenemos. Para ello lo que haremos será, en primer lugar, fijar un valor de Etrabecular y ver cómo varía Eglobal a medida que variamos Ecortical, y acto seguido operamos de modo inverso, fijamos un valor de Ecortical y vemos cómo varía Eglobal a medida que se va variando Etrabecular. Según sean los resultados obtenidos del análisis de sensibilidad, obtendremos los valores finales ajustando una u otra rigidez. En el siguiente esquema, se resume el proceso a seguir.

:

cortical trabecular

E

fijo

Análisis sensibilidad trabecular

E

variable

 ⇒

¿

global

?

trabecular

E

E

: cortical trabecular E variable Análisis sensibilidad cortical

E fijo     ⇒      

¿

global

?

cortical

E

E

¿ ? global global cortical trabecular global global cortical trabecular global global cortical trabecular E E E E E E E E E E E E ∂ ∂   >>     ∂ ∂  =   ∂ ∂      <<  ∂ ∂    

Antes de llevar a cabo el análisis, tendremos que decidir los valores que se van a adoptar para las propiedades mecánicas que tenemos que definir en el input de ABAQUS, especialmente los de Ecortical y

Etrabecular que serán los que nos definan los diferentes casos estudiados en este análisis de sensibilidad. Para elegirlos vamos a basarnos en las referencias bibliográficas consultadas, entre las que tenemos una serie de estudios realizados a diferentes tipos de huesos humanos, como fémures, vértebras ó dientes [7,9,18,19].

En la tabla 6.1 se especifican los valores elegidos para cada una de ellas, exceptuando los relativos a las rigideces del hueso cortical y trabecular, que serán fijos o variables dependiendo del análisis que se esté realizando. Éstos últimos se definen en las tablas 6.2 y 6.3 respectivamente, distinguiendo todos los casos contemplados en el análisis de sensibilidad.

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PROPIEDADES MECÁNICAS

ARPÓN Propiedad Valor E 52 MPa ν 0,3 HUESO CORTICAL Propiedad Valor ρ 2,2 g/cm3

E Variable según análisis

ν 0,3

HUESO TRABECULAR

Propiedad Valor

ρ 0,2 g/cm3

E Variable según análisis

ν 0,3 MÉDULA ÓSEA Propiedad Valor K 2,3 GPa ν 0,498 E 27,6 MPa

Tabla 6.1: Valores de las propiedades mecánicas que introducimos en ABAQUS

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL HUESO CORTICAL

Etrabecular fijo a 400 MPa

Caso Ecortical (MPa)

1 15.000

2 10.000

3 5.000

4 1.000

Tabla 6.2: Valores de las rigideces empleadas en el análisis de sensibilidad del cortical

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL HUESO TRABECULAR

Ecortical fijo a 15 GPa

Caso Etrabecular (MPa)

5 400

6 300

7 200

8 100

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Conocidos los valores de todas las propiedades mecánicas, pasamos a resolver en ABAQUS los 7 casos descritos anteriormente (realmente son 8, pero uno de ellos se repite en ambos casos). El tramo estudiado es el comprendido entre [0,60] N, que es el que se ha considerado como ‘tramo lineal’, al igual que hicimos en el capítulo 3 cuando presentamos los resultados experimentales. Para obtener en ABAQUS los resultados numéricos del tramo que nos interesa, tendremos que definir una serie de pasos o ‘steps’ que recorran el rango de desplazamiento relativo a dicho tramo, ya que el control del ensayo se realiza en términos de desplazamiento. De los resultados experimentales, sabemos que el tramo comprendido entre [0,60] N era aproximadamente equivalente al comprendido entre [0,0.15] mm, por lo que si definimos una serie de pasos que vayan desde 0 a 0,15 mm y los resolvemos en ABAQUS, tendremos estudiado el tramo lineal que queremos.

0 10 20 30 40 50 60 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Análisis sensibilidad de la rigidez del hueso cortical

Ensayo real E=15 GPa E=10 GPa E=5 GPa E=1 GPa 0 10 20 30 40 50 60 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Análisis sensibilidad de la rigidez del hueso trabecular

Ensayo real E=400 MPa E=300 MPa E=200 MPa E=100 MPa

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En este caso se ha estudiado el tramo de interés mediante 21 pasos. Cada uno de esos pasos nos define un punto (Fi,ui) de la curva F-u relativa al ensayo de arrancamiento que estamos simulando, de manera que al final de cada simulación tendremos 21 puntos con los que construir la curva correspondiente. Posteriormente se ajusta cada curva para obtener su correspondiente recta de regresión lineal y así conocer exactamente el valor de su pendiente, o lo que es lo mismo, la rigidez global del hueso, que es la variable que vamos a comparar. Como hemos podido apreciar en las figuras anteriores, además de las curvas ajustadas, también aparece la recta ajustada de la curva F-u obtenida experimentalmente, así podremos comparar resultados y obtener una estimación de cuáles podrían ser los valores finales de

Ecortical y Etrabecular.

Pues bien, una vez conocidas las curvas ajustadas para cada uno de los casos estudiados en el análisis de sensibilidad, podemos realizar un estudio cuantitativo para saber cómo varía la rigidez global en función a las rigideces particulares. Para ello, vamos a apoyarnos en unas tablas que recogen el valor de la rigidez global para cada caso. Como ya se ha comentado anteriormente, éstas rigideces se han obtenido calculando la pendiente que tiene la recta de regresión correspondiente a cada caso, para lo cual se ha empleado una hoja de Excel que nos determina su valor sin más que introducir los 21 puntos que obtenemos de la simulación en ABAQUS. Los valores obtenidos fueron los siguientes.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL HUESO CORTICAL

Etrabecular fijo a 400 MPa

Caso Eglobal (MPa)

Ensayo real 356,6228

Ecortical=15 GPa 370,1379

Ecortical=10 GPa 358,3632

Ecortical=5 GPa 349,8018

Ecortical=1 GPa 315,8391

Tabla 6.4: Valores de las rigideces globales obtenidas en el análisis de sensibilidad del cortical

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL HUESO TRABECULAR

Ecortical fijo a 15 GPa

Caso Etrabecular (MPa)

Ensayo real 356,6228

Etrabecular=400 MPa 370,1379

Etrabecular=300 MPa 344,6236

Etrabecular=200 MPa 320,8690

Etrabecular=100 MPa 282,4281

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A la vista de los valores recogidos en las tablas anteriores, notamos que la variación en la rigidez del hueso trabecular provoca mayores cambios en la rigidez global que en el caso de que variemos la rigidez del hueso cortical. Esto se puede comprobar con una simple operación. En el caso de variar Ecortical a un tercio de su valor (pasando de 15 a 5 GPa), Eglobal pasa de 370,1 a 349,8 MPa, reduciéndose en un 5,5 % su valor inicial. En cambio, si variamos Etrabecular a la mitad (pasando de 400 a 200 MPa), el valor de Eglobal se reduce en un 13,3 % pasando de 370,1 a 320,9 MPa, suponiendo una variación mayor a pesar de que se ha reducido en menor proporción que el caso del cortical.

Por tanto, la conclusión que extraemos del análisis de sensibilidad es que la rigidez que nos va a determinar la pendiente de la curva F-u, y por tanto la rigidez global del hueso, será la rigidez que tenga el hueso trabecular. Conocido esto, podremos obtener las propiedades mecánicas reales del húmero H1 siguiendo los pasos comentados al comienzo de este apartado 6.3.

Para obtener finalmente las propiedades ‘reales’ del húmero H1, lo que haremos será fijar la rigidez del hueso cortical a un valor que podamos adoptar como válido para este tipo de hueso, y ajustar el valor de la rigidez del hueso trabecular mediante sucesivas simulaciones en ABAQUS, hasta conseguir que los resultados experimentales y numéricos coincidan. Esto es lo que realizamos en el siguiente subapartado.

6.3.2.- Ajuste de las propiedades elásticas del hueso trabecular del húmero

Siguiendo el esquema que se presentó en el análisis de sensibilidad, mostramos el punto en el que nos encontramos en este momento.

: cortical trabecular

E fijo

Análisis sensibilidad trabecular

E variable     ⇒       ¿ global ? trabecular E E ∂ ∂ : cortical trabecular E variable

Análisis sensibilidad cortical

E fijo     ⇒       ¿ global ? cortical E E ∂ ∂ global global cortical trabecular

E

E

E

E

<<

Es decir, se ha demostrado que la rigidez que más influye en la rigidez global del hueso es la del hueso trabecular y, como consecuencia, para obtener el valor de la rigidez real del húmero, tendremos que fijar la correspondiente al cortical y ajustar la del trabecular mediante simulaciones sucesivas a modo de ‘prueba y error’. Así conseguiremos que las curvas experimental y numérica coincidan en el tramo lineal, permitiéndonos obtener la rigidez global del hueso y la relativa al hueso trabecular, que es la más difícil de estimar.

Para fijar las propiedades del hueso cortical nos hemos basado en una serie de referencias relativas a varios estudios biomecánicos. A partir de ellas se ha podido obtener una relación de valores para las distintas propiedades del hueso cortical, especialmente en lo que a rigidez se refiere. Al existir una buena correlación entre dichos valores, se pueden adoptar como válidos para nuestro estudio.

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Igualmente hemos actuado para obtener y fijar los valores de la densidad mineral ósea y el módulo de Poisson del hueso trabecular. De este modo, para obtener la rigidez el hueso trabecular, que es la propiedad que nos falta y la que necesitamos conocer con mayor exactitud, tan sólo tendremos que simular el modelo numérico tantas veces como sea necesario hasta que se consiga que las curvas experimental y numérica coincidan. Las referencias encontradas acerca de la rigidez del trabecular, han dado como resultado un rango de valores bastante amplio en función al tipo de hueso, por lo que se tomará un valor de partida aceptable y luego se irá iterando hasta el valor final. No obstante, en función a la gráfica del análisis de sensibilidad del trabecular, podremos estimar un valor de partida adecuado para dicha rigidez.

En la siguiente tabla se muestran los valores adoptados para las propiedades mecánicas de uno y otro hueso, así como las correspondientes al arpón y a la médula ósea, las cuales se han supuesto inalterables sea cual sea el estado tensional al que esté sometido el sistema. Estos valores son los empelados en la simulación inicial, a partir de ahí se irá modificando únicamente el valor de Etrabecular, el resto permanecerán fijos.

PROPIEDADES MECÁNICAS UTILIZADAS EN LA

SIMULACIÓN INICIAL

ARPÓN Propiedad Valor E 52 MPa ν 0,3 HUESO CORTICAL Propiedad Valor ρ 2,0 g/cm3 E 15 GPa ν 0,3 HUESO TRABECULAR Propiedad Valor ρ 0,25 g/cm3 E 400 MPa ν 0,3 MÉDULA ÓSEA Propiedad Valor K 2,3 GPa ν 0,498 E 27,6 MPa

Tabla 6.6: Valores de todas las propiedades mecánicas empleadas en la simulación inicial

En la tabla anterior se ha resaltado en amarillo la fila correspondiente al valor del módulo de Young del hueso trabecular, ya que será el único valor que iremos variando de una simulación a otra.

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Partiendo de esos valores, se ha simulando el ensayo de arrancamiento en ABAQUS y se ha obtenido su correspondiente curva F-u. En función a los resultados obtenidos, se ha iterado modificando consecuentemente el valor de la rigidez del hueso trabecular y simulando de nuevo el modelo. Éste proceso se repetirá tantas veces como sea necesario hasta que los resultados se ajusten a los obtenidos experimentalmente.

Entre una iteración y otra se ha cambiado el valor de Etrabecular, aumentándolo o disminuyéndolo en función al valor que tuviese la pendiente de la recta de regresión, según fuese mayor o menor que la pendiente del ensayo real. Lógicamente, conociendo los resultados del análisis de sensibilidad del trabecular, sabemos que la rigidez que buscamos estará en el intervalo [300-400] MPa, por lo que las sucesivas iteraciones que realicemos, deben ir encaminadas a estrechar ese intervalo y olvidarnos de los valores que se estén fuera del mismo.

A continuación se muestra la gráfica que recoge todas las iteraciones realizadas, así como una tabla resumen con el valor de la pendiente que se obtiene y la diferencia que hay respecto a la rigidez obtenida experimentalmente (Ereal=356,6228 MPa).

ITERACIONES REALIZADAS PARA EL AJUSTE DE E

trabecular

Iteración Etrabecular (MPa) Pendiente Eglobal (MPa) Diferencia con Ereal (%)

1 350 347,5489 -2,544 2 360 350,2436 -1,788 3 370 353,3491 -0,918 4 380 359,2281 +0,725 5 390 364,1411 +2,071 0 400 370,1379 +3,789

Tabla 6.7: Resultados obtenidos en las iteraciones realizadas hasta ajustar Etrabecular.

0 10 20 30 40 50 60 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Iteraciones realizadas en el ajuste de E

trabecular

Ensayo real E=400 MPa E=390 MPa E=380 MPa E=370 MPa E=360 MPa E=350 MPa E=300 MPa

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A tenor de la gráfica de iteraciones y de los resultados expuestos en la tabla anterior, podemos concluir diciendo que después de 5 iteraciones hemos ajustado la rigidez del hueso trabecular a su valor final, siendo éste de 380 MPa. Como era de esperar a la vista de los resultados del análisis de sensibilidad, dicho valor se encuentra en el intervalo [300-400] MPa y es muy cercano a los 400 MPa que suponíamos como límite superior.

Por otro lado, hemos podido ver que entre una iteración y otra, el valor de la rigidez se ha modificado de 10 en 10 MPa, quedándonos en el ajuste que nos proporciona la decena. Esto lo hemos decidido así porque carecería de sentido aproximar más el valor en cuestión, ya que lo que estamos buscando es una estimación numérica del valor de la rigidez del hueso trabecular que hay que introducir en el modelo para que los resultados numéricos simulen exactamente el tramo lineal de la curva F-u obtenida experimentalmente. No obstante, este valor será una muy buena aproximación del valor que tenga el húmero real, de no ser así este estudio no tendría validez alguna.

Como en la gráfica anterior no se puede apreciar con excesiva claridad el ajuste realizado porque están superpuestas todas las iteraciones, se muestra una nueva gráfica en la que comparamos los resultados obtenidos experimentalmente con los obtenidos numéricamente para una rigidez del hueso trabecular de 380 MPa.

Se puede observar cómo la diferencia entre una recta y otra es prácticamente ninguna, lo cual nos hace estar seguros de que el ajuste que hemos realizado es el adecuado. Con esto ya tenemos ajustada la rigidez del hueso trabecular y por tanto, podemos dar por finalizado este apartado.

A continuación lo que haremos será presentar los resultados que obtenemos de la simulación completa del ensayo, comparando los resultados obtenidos según sea el criterio de fractura empleado.

0 10 20 30 40 50 60 0,000 0,020 0,040 0,060 0,080 0,100 0,120 0,140 0,160 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Comparación de resultados experimentales y numéricos

Ensayo real E=380 MPa

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6.4.- Simulación del ensayo de arrancamiento de arpones en el húmero H1

Como ya se ha comentado en más de una ocasión, el objetivo principal de este proyecto fin de carrera es conseguir simular numéricamente el ensayo de arrancamiento de arpones de sutura en húmeros humanos mediante la aplicación de criterios de fractura de hueso. Pues bien, una vez que se han definido los criterios de fractura de hueso que vamos a adoptar y se han obtenido tanto las propiedades mecánicas del húmero H1 como las del arpón SMITH&NEPHEW, tan sólo queda realizar en ABAQUS la simulación completa del ensayo y analizar los resultados que obtengamos.

Dicha simulación nos permitirá conocer la curva F-u correspondiente al ensayo y, por otro lado, nos mostrará la evolución que siguen las distintas variables de estado que hemos definido en la UMAT a medida que se va desplazando el arpón en la secuencia de arrancamiento. De todas ellas, la que más nos puede interesar es la correspondiente al daño acumulado. Esta variable representa cómo de cerca está un determinado punto de dejar de resistir carga (E0), o lo que es lo mismo, de romperse. No

obstante, existen otras variables, como las correspondientes al estado tensional, que nos pueden ayudar a interpretar qué sucede en el modelo durante el arrancamiento del arpón. Por tanto, a la hora de desarrollar los resultados de la simulación tendremos que mostrar ambos aspectos. En primer lugar, se representará la curva F-u ajustada según los dos criterios de fractura adoptados, y acto seguido, se mostrará la evolución del daño en el húmero a medida que se produce el arrancamiento del arpón. Por otro lado, debemos también conocer las limitaciones que ofrece esta simulación. La principal de ellas es que la validez de los resultados será tal, hasta el instante en que se produzca la rotura de la primera rosca de hueso. A partir de entonces, el arpón se traslada a la siguiente rosca de hueso con capacidad resistente (E≥0) y continúa el proceso de arrancamiento. El problema reside en que esto no queda representado con el modelo de elementos finitos que tenemos definido en ABAQUS, para llevarlo a cabo tendríamos que modificar el modelo consecuentemente a lo que está sucediendo, y realizar un remallado del mismo. Ésta labor es compleja y se considera fuera del alcance de este proyecto, pero se propone como una futura línea de investigación. Todo esto ya se comentó y se tuvo en cuenta en el capítulo 3 de esta memoria y, a la hora de ajustar los resultados, el rango de desplazamientos que se estudió fue el comprendido entre el inicio del ensayo y el punto en el que se producía la primera caída en la pendiente de la curva, ó lo que es lo mismo, el punto en el que se producía la primera rotura de hueso. Esto último sucedía para una carga aproximada de 180 N y unos 2 mm de desplazamiento, por lo que el rango de valores que nos interesa será únicamente el comprendido en el intervalo [0-180] N o, equivalentemente, en el intervalo [0-2] mm si trabajamos en términos de desplazamiento.

Por esta razón, tanto en la curva F-u como en la secuencia de imágenes con la evolución de las principales variables de estado, sólo se van a representar en dicho rango de carga-desplazamiento. Dado que no sabremos a priori, qué desplazamientos se van a obtener al simular el modelo de elementos finitos en comparación con el ensayo real, vamos a limitar el estudio en términos de carga, es decir, todos los resultados se van a representar en el intervalo [0-180] N sea cual sea el desplazamiento que haya.

Esto nos lleva a ajustar la curva F-u en dos tramos, uno relativo al tramo lineal de la curva, como el que se ha definido anteriormente para el ajuste de las propiedades mecánicas, y otro para la zona de la curva en la que se rompe la linealidad debido a que el daño acumulado por el sistema ya tiene un valor considerable.

(14)

Es decir, tendremos un primer tramo de [0-60] N y otro de [60-180] N. Así conseguiremos simular más fielmente los resultados del ensayo ya que, si recordamos los valores experimentales, la curva que obteníamos tenía dos pendientes claramente diferenciadas. Por tanto, la simulación que vamos a realizar en ABAQUS estudiará el intervalo [0-180] N, que es el rango de carga que nos interesa. Como los ‘steps’ que definimos en el input de ABAQUS están dados en términos de desplazamientos, adoptamos un intervalo de desplazamientos igual que el que se obtenía experimentalmente, de [0-2] mm, y a partir de ahí ajustamos los resultados. En esta ocasión, vamos a emplear 23 pasos para recorrer dicho intervalo, dos más que los que se emplearon en el apartado anterior para la simulación del tramo lineal de la curva.

A continuación se representan los resultados de las distintas simulaciones realizadas. En primer lugar se muestran las curvas F-u ajustadas que obtenemos según los dos criterios de fractura de hueso que se han considerado inicialmente, el de Cowin y el de Tensión Máxima, comparándolas en ambos casos con la curva obtenida experimentalmente. Acto seguido se comentará un estudio en el que se ha modificado la ley de daño utilizada en la UMAT con el fin de ver si así se consigue ajustar con mayor exactitud los resultados numéricos y experimentales. Y por último, se presentará una secuencia de imágenes mostrando la evolución del daño a medida que se va tirando del arpón.

Todas las simulaciones realizadas, así como un índice de todas ellas, se pueden encontrar en el DVD del proyecto y el ANEXO III de esta memoria. Igualmente, también podemos encontrar en dicho anexo las hojas de Excel con las gráficas y los cálculos realizados para obtener el ajuste de las curvas.

6.4.1.- Simulación del ensayo de arrancamiento según el criterio de fractura de Cowin

La gráfica anterior nos muestra los resultados de la simulación del ensayo de arrancamiento que se han obtenido adoptando el criterio de Cowin, y también la curva F-u ajustada correspondiente al ensayo real. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Simulación del ensayo según el criterio de Cowin

ENSAYO REAL MODELO COWIN

(15)

A simple vista, se puede comprobar la diferencia que hay entre los resultandos numéricos y los experimentales. El tramo lineal se simula perfectamente porque así lo hemos impuesto y porque es el tramo menos conflictivo, ya que el daño acumulado es pequeño en esa zona. El problema aparece cuando ese daño es considerable, a partir de entonces el modelo numérico no es capaz de simular lo que realmente está sucediendo en el hueso, resultando ser unas 3 veces más rígido que el sistema real. De esta manera, el punto de rotura aparece sobre los 0,6 mm frete a los casi 1,8 mm que se obtuvieron experimentalmente. Por tanto, podemos decir que con éste criterio de fractura no hemos sido capaces de simular el ensayo de arrancamiento.

A continuación vamos a representar la curva F-u ajustada que se obtiene al simular adoptando el criterio de fractura de la Tensión Máxima, así podremos estudiar cómo afecta a los resultados numéricos el hecho de cambiar el criterio de fractura. En principio, los resultados que obtengamos ahora deberían ser peores que los actuales, ya que el criterio de la Tensión Máxima es isótropo y es menos específico que el de Cowin.

6.4.2.- Simulación del ensayo de arrancamiento según el criterio de fractura de Tensión Máxima

Efectivamente, los resultados que se obtienen con este otro criterio de fractura son peores que los obtenidos con el criterio de Cowin. No obstante, son muy similares en uno y otro caso.

Tal y como se esperaba, de nuevo se ha conseguido simular el tramo lineal con bastante exactitud pero, desde el momento en que se empieza a acumular daño en el hueso de forma considerable, el modelo continúa siendo más rígido que el sistema real. Ahora es algo más que antes pero, a groso modo, sigue siendo 3 veces más rígido.

Las diferencias que se dan en el tramo inicial son lógicas, ya que para ajustar las propiedades del hueso trabecular se empleó el criterio de Cowin y no éste, por lo que el poco daño que se acumule en ese intervalo de carga nos va a provocar una pequeña variación en la pendiente de la recta ajustada.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Simulación del ensayo según el criterio de Tensión Máxima

ENSAYO REAL MODELO T. MÁXIMA

(16)

6.4.3.- Comparación de resultados según el criterio de fractura de hueso elegido

Si comparamos los resultados obtenidos en las dos simulaciones anteriores, podremos apreciar que las diferencias entre ellos no son muy drásticas. En cambio, si los comparamos con los valores obtenidos experimentalmente, la variación es importante. Para tener una referencia numérica de esto que comentamos, vamos a crear una tabla que recoja el valor de las pendientes para el caso real y para cada simulación, distinguiendo también entre primer y segundo tramo.

VALORES DE LAS PENDIENTES DE LA CURVA F-u AJUSTADA

Caso Tramo 1 (MPa) Tramo 2 (MPa)

Real 356,6228 76,8386

Criterio Cowin 359,2287 297,3292

Criterio T. Máxima 390,8421 323,3654

Tabla 6.8: Resumen de las pendientes que se han obtenido en cada simulación.

Al ser el criterio de la Tensión Máxima un criterio isótropo, más general que el de Cowin, los resultados que se obtienen siempre serán una cota superior de los obtenidos con éste último. Esto lo podemos apreciar tanto en los valores de las pendientes, como en la representación gráfica. No obstante, la variación entre uno y otro es asumible.

Por tanto, dado que las diferencias que obtenemos al usar un criterio de fractura u otro son pequeñas, cabe pensar que el hecho de que no seamos capaces de simular el ensayo de arrancamiento, no es tanto debido al criterio de fractura de hueso adoptado, como a que la ley de daño que hemos definido en la UMAT no es capaz de reproducir cómo se daña el hueso realmente.

A continuación vamos a estudiar cómo varían los resultados de la simulación si se modifica la ley de daño que se aplica en la UMAT.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Comparación de resultados numéricos y experimentales

ENSAYO REAL MODELO COWIN MODELO T. MÁXIMA

(17)

6.4.4.- Estudio sobre la modificación de la ley de daño

Como se ha podido comprobar, el hecho de variar el criterio de fractura de hueso no provoca modificaciones importantes en los resultados de la simulación. El modelo numérico sigue siendo más rígido que el sistema real y las diferencias son significativas. Una alternativa, para conseguir que los resultados numéricos y experimentales se ajusten más, es modificar la ley de daño que se ha definido en la UMAT. Dicha ley, es la encargada de minorar la rigidez del material a medida que aumenta el estado tensional y, por consiguiente, el daño acumulado. En el caso que nos ocupa, la ley de daño que tenemos definida reduce la rigidez del material, pero lo hace en mayor medida de lo que sucede realmente. Crear una nueva ley de daño que ajuste mejor los resultados numéricos a los experimentales es una tarea bastante compleja en la que no vamos a entrar, pero sí que podemos realizar un pequeño estudio para saber cómo varían los resultados al introducir pequeñas modificaciones en ella. La ley de daño que hemos utilizado hasta ahora es la siguiente:

(1 )

inicial

E=E ⋅ −daño (6.2)

Es decir, que la rigidez que tendremos en cada instante dependerá exclusivamente del daño acumulado en el material y del valor inicial de dicha rigidez. Esta ley lineal es muy simple, pero cumple con el aspecto principal de toda ley de daño, ya que si el daño acumulado en un elemento es la unidad

=1daño máximo), la rigidez del material para ese elemento resulta ser nula (realmente en la UMAT

se asigna E=0,01 porque βmáx=0,99, así evitaremos posibles errores numéricos). Y por otro lado, hemos supuesto en todo momento que el daño coincide exactamente con el coeficiente de probabilidad de fractura (β).

Pues bien, este coeficiente dependerá del criterio de fractura que estemos usando en la simulación y realmente, no tiene por qué ser exactamente igual al daño acumulado. Cabe pensar por tanto, que podría existir otra relación entre el daño y el coeficiente de probabilidad de fractura, que nos permita mejorar los resultados de la simulación.

Como ya se ha comentado anteriormente, la ley de daño actual afecta a la rigidez bastante más de lo que debería, haciendo el modelo numérico 3 veces más rígido que el sistema real. Por tanto, si conseguimos que dicha ley afecte más a la rigidez del material, estaremos más cerca de los valores reales y habremos mejorado la simulación actual. Para conseguir esto, se ha definido una relación entre daño y coeficiente de probabilidad de fractura, que es la siguiente:

n

daño=β (6.3)

Siendo ‘n’ un exponente que toma valores en el intervalo (0,1), al igual que sucede para el coeficiente de probabilidad de fractura. De esta manera, el valor del daño que se introduce en la expresión (6.2) será

mayor que antes, y la rigidez resultante será menor que la que se obtenía entonces. Para conocer los

resultados que obtenemos en este caso, vamos a introducir en la UMAT la nueva relación entre el daño y el coeficiente de probabilidad de fractura, y se va a simular el modelo numérico usando el criterio de fractura de Cowin para varios valores del exponente ‘n’.

(18)

A continuación, se presenta una gráfica con las curvas F-u ajustadas para cada caso, y una tabla resumen con el valor de las pendientes de cada tramo, al igual que se hizo en el apartado anterior.

VALORES DE LAS PENDIENTES DE LA CURVA F-u AJUSTADA

Caso Tramo 1 (MPa) Tramo 2 (MPa)

Real 356,6228 76,8386

Criterio Cowin n=1.00 359,2287 297,3292

Criterio Cowin n=0.25 287,4143 210,1261

Criterio Cowin n=0.50 324,9411 250,8640

Criterio Cowin n=0.75 345,8913 277,0391

Tabla 6.9: Resumen de las pendientes que se han obtenido en cada simulación.

A partir de los resultados anteriores, comprobamos que las modificaciones realizadas nos acercan un poco más a los valores experimentales, pero muy poco, por lo que podemos decir que la variación que hemos hecho de la ley de daño no nos ha resultado ventajosa en nuestro objetivo de acercarnos todo los posible a los resultados obtenidos experimentalmente.

En el primer tramo, se puede observa que para n=0,50 y n=0,75 la simulación da una pendiente similar a la que se obtiene con n=1, a pesar de que el valor del daño que introducimos ahora en la ley de daño es mayor. Esto nos confirma que en esa zona el daño acumulado es muy pequeño y podemos considerar un comportamiento casi lineal. En cambio, al simular con n=0,25, las diferencias son más acusadas, ya que el aumento que estamos imponiendo al daño es bastante alto (por ejemplo, un valor de β=0,5

introduce un daño=0,85), por lo que el tramo lineal difiere considerablemente de los obtenidos anteriormente. Para el segundo tramo, vemos cómo disminuye el valor de la pendiente a medida que se disminuye el valor del exponente ‘n’, y lo hace en mayor medida de como lo hacía en el primer tramo, ya que ahora hay más daño acumulado en el material.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 Fue rz a (N ) Desplazamiento (mm)

Comparación MODELO COWIN vs MODELO TENSIÓN MÁXIMA

COWIN n=1 COWIN n=0.25 COWIN n=0.50 COWIN n=0.75 ENSAYO REAL TENSIÓN MÁXIMA

(19)

Realmente esto es lo que buscábamos al introducir esta modificación de la ley de daño, que se alteraran las curvas F-u y se consiguiera ‘inclinar en mayor medida’ la recta correspondiente al segundo tramo, lo que sucede es que aún así, estamos muy lejos de simular exactamente el ensayo real. Para mejorar los resultados, además de variar la relación entre el daño y el coeficiente de probabilidad de fractura, tendremos que definir una nueva ley de daño que nos permita simular más fielmente el ensayo. Esto queda fuera del alcance de este proyecto fin de carrera, pero se propondrá como una futura línea de investigación al respecto.

Llegados a este punto, tan sólo nos queda presentar los resultados relativos a la evolución que sigue el daño en la zona del hueso donde está insertado el arpón. Para ello, la simulación que se ha elegido es la correspondiente al criterio de Cowin con un exponente ‘n’ igual a la unidad.

6.4.5.- Evolución del daño en la secuencia de arrancamiento del arpón

Para poder apreciar la evolución que sigue el daño en el hueso con la mayor claridad posible, vamos a realizar un corte longitudinal del hueso que nos permita observar el hueso que rodea al arpón en la posición A, que es exactamente lo que nos interesa. Una vez hecho esto, representamos en ABAQUS la variable de estado correspondiente al daño (SDV5), e iniciamos la simulación del proceso de arrancamiento. Dado que el daño siempre tendrá un valor comprendido entre 0 y 1, se ha limitado la escala cromática de ABAQUS a dicho intervalo para apreciar con la mayor fidelidad posible lo que está sucediendo en esa parte del hueso. La escala cromática que resulta es la siguiente:

Fig. 6.1: Escala cromática que define el intervalo de valores que puede tomar el daño en el MEF.

La secuencia que presentamos, comienza con una imagen que describe el instante en el que se empieza a tener un daño considerable en el hueso, y termina con una imagen del instante en el que, según la curva F-u ajustada que se ha mostrado en los apartados anteriores, ya se ha tenido que romper la primera rosca de hueso. Esto será lo que se represente en la secuencia G, donde el nivel de carga (217,958 MPa) ya ha superado el nivel máximo que se obtenía en el curva ajustada (180 MPa).

Una vez se traspase ese instante de la simulación, cualquier similitud que exista entre los resultados numéricos y los reales será una pura coincidencia, ya que el modelo de elementos finitos que hemos definido en ABAQUS no es capaz de representar el sistema hueso-arpón una vez que se haya roto la primera rosca de hueso.

(20)

A

C

B

F=28,63 N

F=19,68 N

F=8,126 N

(21)

D

F

E

F=152,98 N

F=90,73 N

F=57,11 N

(22)

Como era de esperar, parece ser que la primera rotura de hueso se da en el entorno de la rosca de mayor radio (la 4ª si contamos de abajo a arriba), ya que es ahí donde aparece la mayor concentración de tensiones. Inicialmente, el daño comienza a acumularse en la zona que existe entre la 4ª y la 5ª rosca de hueso (imagen A), y a medida que sigue aumentando su valor en dicha zona, empieza a aparecer también en la rosca anterior y posterior, es decir, en la 3ª y 6ª respectivamente (como vemos en las

imágenes B-E). No obstante, con este tipo de simulación no vamos a poder localizar el instante exacto

en el que se produce la rotura de hueso, sino tan sólo una estimación cualitativa de tal aspecto. No hay que olvidar que lo que ABAQUS simula no es más que una serie de ‘steps’ que hemos definido previamente, por lo que para que se representara el instante exacto de la rotura, tendríamos que conocer de antemano (con total precisión) el valor del desplazamiento que tenemos en ese instante, lo cual es imposible con los medios que hemos empleado para realizar este estudio biomecánico.

Por otro lado, en la imagen F se puede apreciar cómo aparece una pequeña zona grisácea que, a tenor de la escala cromática que tenemos, nos está diciendo que el daño ya ha alcanzado su valor máximo en ese punto y que, como consecuencia de esto, los elementos que estén bajo la influencia de ese daño dejarán de resistir porque tendrán un módulo de Young nulo. Acto seguido, es la 3ª rosca la que se representa en colores rojizos, indicando que el daño acumulado también es elevado en esa zona. Pero como ya se ha comentado anteriormente, no vamos a ser capaces de asegurar qué zona del hueso es la primera en romper, tan sólo podemos decir que la zona que tiene más probabilidad de fractura es la que se encuentra entre la 3ª y la 4ª rosca.

Por tanto, tal y como se dijo al comienzo de este apartado, a partir del instante que se representa en la

imagen G, la simulación pierde validez y los resultados numéricos no se corresponden con el sistema

real. Si quisiéramos seguir simulando el ensayo de arrancamiento, tendríamos que remallar el modelo e imponer las nuevas condiciones de contacto entre arpón y hueso, lo cual se aleja ya del alcance de este proyecto.

Con esto damos por finalizado el desarrollo de los resultados. A continuación pasamos a describir el capítulo 7, en el que se comentarán las conclusiones obtenidas y las futuras líneas de trabajo.

G

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