Tema. Funciones. Dominio de una función. Comportamiento de una función

(1)

Funciones

(2)

Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

(3)

Representaciones de funciones

Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de

otra.

Galileo Galilei hizo rodar bolas hacia abajo sobre un plano inclinado.

Representación numérica Representación gráfica

Representaci´on algebraica

(4)

Funci´

on

Funci´

on

Una funci´

on es una regla que asigna a cada objeto de

un conjunto

A

exactamente un objeto de un conjunto

B. El conjunto

A

se llama dominio de la funci´

on y el

conjunto de los objetos asignados

B

se denomina rango.

El diagrama de la derecha muestra una relaci´on que no es funci´on, ya que a x1tiene asignados tanto a y1como y3.

(5)

Relaciones entre magnitudes

En muchas situaciones pr´acticas, el valor de una magnitud puede depender del valor de una segunda magnitud. Estas relaciones pueden representarse matem´aticamente como funciones.

(6)

Interpretaciones de una funci´

on

(7)

Representaci´

on gr´

afica de una funci´

on

La gr´

afica de la funci´

on y = f (x ) es el conjunto de todos los

puntos (x , f (x )).

(8)

Representaci´

on gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 2

De las tres gr´

aficas que se muestran en la siguiente figura,

¿cu´

al no es la gr´

afica de una funci´

on?

La gr´

afica en c), ya que no asigna un valor ´

unico a 0.

Las gr´

aficas que superan la prueba de la recta vertical son

las gr´

aficas de funciones.

(9)

Interpretaci´

on de la gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 3

Tres corredores compiten en los 100 metros. La gráfica muestra las distancias recorridas por cada uno como una función del tiempo. a) ¿Quién ganó la carrera?

b)¿Terminaron la carrera todos?

a) Gan´o A. El valor de t correspondiente a los 100m es el menor. b) S´ı. En los tres casos hay un valor de t correspondiente a 100m.

(10)

Esbozo de la gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 4

Esboce una gráfica aproximada del valor de mercado de un nuevo automóvil en función del tiempo, durante un periodo de 20 años. Suponga que el automóvil se mantiene en buen estado

Al salir de la agencia, el valor del automóvil cae. Continúa cayendo conforme pasa el tiempo. Cuando llega a cierta antigüedad, su valor comienza a subir. La gráfica del costo se ver´ıa as´ı:

(11)

Evaluaci´

on de una funci´

on

Ejemplo 5

Si

f (x ) = x

2

_{+ 4, hallar}

_{f (3).}

f (3) = (3)

2

+ 4

⇒ f (3) = 13

(12)

Funci´

on definida por partes

Ejemplo 7

Hallar

f (0),

f (1)

y

f (2)

si

f (x ) =

(

1 x −1

si x < 1

3x

2

+ 1

si x ≥ 1

0 < 1, as´ı que

f (0) =

₀₋₁1

= −1

1 ≥ 1, as´ı que

f (1) = 3(1)

2

+ 1 = 4

2 ≥ 1, as´ı que

f (2) = 3(2)

2

+ 1 = 13

(13)

Funci´

on como modelo de una situaci´

on

Ejemplo 6

Se supone que el costo total en dólares de fabricarq unidades de cierto art´ıculo está dado por la función

C (q) = q3− 30q2_{+ 400q + 500}

a) ¿Cuál es el costo de fabricar20unidades? b) ¿Cuál es el costo de fabricar la vigésima unidad? a) Hay que calcularC (20):

C (20) = (20)3− 30(20)2_{+ 400(20) + 500 = 4500}

El costo de fabricar 20 unidades es de $4500 USD.

b) Al costo de fabricar 20 unidades, le restamos el de fabricar 19: C (20) − C (19) = 4500 − 4129 = 371

(14)

Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

(15)

Dominio de una funci´

on

f (x ) =

_xa

x 6= 0

El divisor de una fracci´on puede ser cualquier n´umero, excepto 0.

g (x ) =

√

2

_x

x ≥ 0

El radicando de una ra´ız par puede ser cualquier n´umero no negativo.

Dominio natural

El dominio de una funci´

on es el conjunto de los valores

para los cuales la regla de asignaci´

on est´

a definida.

Dominio relativo

Para modelos, se considera un dominio que se ajuste a la

situaci´

on.

(16)

Dominio de una funci´

on

Ejemplo 8

El ´

area de un c´ırculo se puede definir en funci´

on de su

radio, mediante la f´

ormula

f (r ) = πr

2

La expresi´

on est´

a definida para todos los n´

umeros reales.

Dom

f

:

R

Dom

f

:

(−∞, ∞)

La funci´

on ´

area no est´

a definida para valores negativos

de

r.

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 9 Encontrar el dominio de la funci´on g (x ) = 1 x − 3 El denominador debe ser dis-tinto de cero. ⇒ x − 3 6= 0 ⇒ x 6= 3 Domg: x 6= 3 Domg: R − {3} Ejemplo 10 Determinar el dominio de f (t) =√t − 2

El radicando debe ser mayor o igual que cero.

⇒ t − 2 ≥ 0

⇒ t ≥ 2

Domf: t ≥ 2

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 11

Determinar el dominio de la funci´on dada. f (t) = √t + 2

9 − t2

f (t) est´a definida para los n´umeros t tales que

9 − t2≥ 0

⇒ 9 ≥ t2

⇒ t2≤ 9

⇒ t ≤ 3 ´o t ≥ −3

Además, f (t) sólo está definida para los números t tales que

p 9 − t2_{6= 0} ⇒ 9 − t26= 0 ⇒ t26= 9 ⇒ t 6= ±3 Domf: −3 < t < 3 Domf: (−3, 3)

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 12

Un plan de telfon´ıa celular tiene una carga básica de 35 USD al mes. El plan incluye400minutos y cargos de10centavos de dólar por cada minuto adicional de uso. Escribir el costo mensual C, como función del númerox de minutos utilizados. GraficarC para 0 ≤ x ≤ 600. ¿Cuál es el dominio de la función?

Hay dos posibles situaciones al momento de calcular el costo:

1. Cuando el uso no supera los minutos incluidos, el costo es de35USD.

2. Cuando el uso supera los minutos inclu´ıdos, es 35 + 1

10(x − 400)USD.

Usando notaci´on funcional, el costo es: C = f (x ) = ( 35 si x ≤ 400 x 10 − 5 si x > 400 El dominio es Domf: [0, ∞)

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Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

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Crecimiento de una funci´

on

La funci´on f es creciente en los intervalos [a, b] y en [c, d ], y es decreciente en [b, c].