Tema. Funciones. Dominio de una función. Comportamiento de una función

Texto completo

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Funciones

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Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

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Representaciones de funciones

Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de

otra.

Galileo Galilei hizo rodar bolas hacia abajo sobre un plano inclinado.

Representaci´on num´erica Representaci´on gr´afica

Representaci´on algebraica

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Funci´

on

Funci´

on

Una funci´

on es una regla que asigna a cada objeto de

un conjunto

A

exactamente un objeto de un conjunto

B.

El conjunto

A

se llama dominio de la funci´

on y el

conjunto de los objetos asignados

B

se denomina rango.

El diagrama de la derecha muestra una relaci´on que no es funci´on, ya que a x1tiene asignados tanto a y1como y3.

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Relaciones entre magnitudes

En muchas situaciones pr´acticas, el valor de una magnitud puede depender del valor de una segunda magnitud. Estas relaciones pueden representarse matem´aticamente como funciones.

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Interpretaciones de una funci´

on

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Representaci´

on gr´

afica de una funci´

on

La gr´

afica de la funci´

on y = f (x ) es el conjunto de todos los

puntos (x , f (x )).

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Representaci´

on gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 2

De las tres gr´

aficas que se muestran en la siguiente figura,

¿cu´

al no es la gr´

afica de una funci´

on?

La gr´

afica en c), ya que no asigna un valor ´

unico a 0.

Las gr´

aficas que superan la prueba de la recta vertical son

las gr´

aficas de funciones.

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Interpretaci´

on de la gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 3

Tres corredores compiten en los 100 metros. La gr´afica muestra las distancias recorridas por cada uno como una funci´on del tiempo. a) ¿Qui´en gan´o la carrera?

b)¿Terminaron la carrera todos?

a) Gan´o A. El valor de t correspondiente a los 100m es el menor. b) S´ı. En los tres casos hay un valor de t correspondiente a 100m.

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Esbozo de la gr´

afica de una funci´

on

Ejemplo 4

Esboce una gr´afica aproximada del valor de mercado de un nuevo autom´ovil en funci´on del tiempo, durante un periodo de 20 a˜nos. Suponga que el autom´ovil se mantiene en buen estado

Al salir de la agencia, el valor del autom´ovil cae. Contin´ua cayendo conforme pasa el tiempo. Cuando llega a cierta antig¨uedad, su valor comienza a subir. La gr´afica del costo se ver´ıa as´ı:

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Evaluaci´

on de una funci´

on

Ejemplo 5

Si

f (x ) = x

2

+ 4, hallar

f (3).

f (3) = (3)

2

+ 4

⇒ f (3) = 13

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Funci´

on definida por partes

Ejemplo 7

Hallar

f (0),

f (1)

y

f (2)

si

f (x ) =

(

1 x −1

si x < 1

3x

2

+ 1

si x ≥ 1

0 < 1, as´ı que

f (0) =

0−11

= −1

1 ≥ 1, as´ı que

f (1) = 3(1)

2

+ 1 = 4

2 ≥ 1, as´ı que

f (2) = 3(2)

2

+ 1 = 13

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Funci´

on como modelo de una situaci´

on

Ejemplo 6

Se supone que el costo total en d´olares de fabricarq unidades de cierto art´ıculo est´a dado por la funci´on

C (q) = q3− 30q2+ 400q + 500

a) ¿Cu´al es el costo de fabricar20unidades? b) ¿Cu´al es el costo de fabricar la vig´esima unidad? a) Hay que calcularC (20):

C (20) = (20)3− 30(20)2+ 400(20) + 500 = 4500

El costo de fabricar 20 unidades es de $4500 USD.

b) Al costo de fabricar 20 unidades, le restamos el de fabricar 19: C (20) − C (19) = 4500 − 4129 = 371

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Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

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Dominio de una funci´

on

f (x ) =

xa

x 6= 0

El divisor de una fracci´on puede ser cualquier n´umero, excepto 0.

g (x ) =

2

x

x ≥ 0

El radicando de una ra´ız par puede ser cualquier n´umero no negativo.

Dominio natural

El dominio de una funci´

on es el conjunto de los valores

para los cuales la regla de asignaci´

on est´

a definida.

Dominio relativo

Para modelos, se considera un dominio que se ajuste a la

situaci´

on.

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 8

El ´

area de un c´ırculo se puede definir en funci´

on de su

radio, mediante la f´

ormula

f (r ) = πr

2

La expresi´

on est´

a definida para todos los n´

umeros reales.

Dom

f

:

R

Dom

f

:

(−∞, ∞)

La funci´

on ´

area no est´

a definida para valores negativos

de

r.

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 9 Encontrar el dominio de la funci´on g (x ) = 1 x − 3 El denominador debe ser dis-tinto de cero. ⇒ x − 3 6= 0 ⇒ x 6= 3 Domg: x 6= 3 Domg: R − {3} Ejemplo 10 Determinar el dominio de f (t) =√t − 2

El radicando debe ser mayor o igual que cero.

⇒ t − 2 ≥ 0

⇒ t ≥ 2

Domf: t ≥ 2

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 11

Determinar el dominio de la funci´on dada. f (t) = √t + 2

9 − t2

f (t) est´a definida para los n´umeros t tales que

9 − t2≥ 0

⇒ 9 ≥ t2

⇒ t2≤ 9

⇒ t ≤ 3 ´o t ≥ −3

Adem´as, f (t) s´olo est´a definida para los n´umeros t tales que

p 9 − t26= 0 ⇒ 9 − t26= 0 ⇒ t26= 9 ⇒ t 6= ±3 Domf: −3 < t < 3 Domf: (−3, 3)

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Dominio de una funci´

on

Ejemplo 12

Un plan de telfon´ıa celular tiene una carga b´asica de 35 USD al mes. El plan incluye400minutos y cargos de10centavos de d´olar por cada minuto adicional de uso. Escribir el costo mensual C, como funci´on del n´umerox de minutos utilizados. GraficarC para 0 ≤ x ≤ 600. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on?

Hay dos posibles situaciones al momento de calcular el costo:

1. Cuando el uso no supera los minutos incluidos, el costo es de35USD.

2. Cuando el uso supera los minutos inclu´ıdos, es 35 + 1

10(x − 400)USD.

Usando notaci´on funcional, el costo es: C = f (x ) = ( 35 si x ≤ 400 x 10 − 5 si x > 400 El dominio es Domf: [0, ∞)

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Tema

Funciones

Dominio de una funci´

on

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Crecimiento de una funci´

on

La funci´on f es creciente en los intervalos [a, b] y en [c, d ], y es decreciente en [b, c].

Funciones creciente y decreciente

Dada una funci´

on f en un intervalo I con x

1

< x

2

, entonces:

I

Es creciente si

f (x

1

) < f (x

2

)

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Simetr´ıa de una funci´

on

Una funci´on par es sim´etrica respecto al eje Y .

Una funci´on impar es sim´etrica respecto al origen.

Funci´

on par

Si para todo x en el

do-minio de una funci´

on f

f (−x ) = f (x )

Funci´

on impar

Si para todo x en el

do-minio de una funci´

on f

(23)

Simetr´ıa de una funci´

on

Ejemplo 13

Determinar la simetr´ıa de

f (x ) = x

5

+ x

f (−x ) = (−x )

5

+ (−x )

= −x

5

− x

= −(x

5

+ x )

= −f (x )

(24)

Simetr´ıa de una funci´

on

Ejemplo 14

Determinar la simetr´ıa de

g (x ) = 1 − x

4

g (−x ) = 1 − (−x )

4

= 1 − x

4

= g (x )

∴ g (x) es impar.

(25)

Simetr´ıa de una funci´

on

Ejemplo 15

Determinar la simetr´ıa de

h(x ) = 2x − x

2

h(−x ) = 2(−x ) − (−x )

2

= −2x − x

2

⇒ h(−x) 6= h(x)

y

h(−x ) 6= −h(x )

∴ h(x) es asim´etrica.

h es asim´etrica.

Figure

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Referencias

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