semana 03 1 Funciones

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Funciones reales de variable real

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Funciones reales de variable real

Habilidades a desarrollar:

Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: 1) Identificar variables dependientes e independientes.

2) Determinar analíticamente el dominio y el rango de una función a partir de grafica de funciones.

3) Reconocer gráficamente los intervalos en donde una función es creciente, decreciente o constante.

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Funciones reales de variable real

Problema motivador.

Reflexiona y contesta las situaciones planteadas

1) Cuando hablas por celular, ¿de qué depende el costo de esa llamada?____________________________

2) Un vendedor de autos tiene un sueldo fijo de S/. 2000 por quincena, y recibe una comisión por cada auto vendido. ¿De qué dependerá su sueldo en la próxima quincena?

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Funciones reales de variable real

Decimos que la cantidad está en FUNCIÓN de la cantidad , si se cumple que cada valor de se relaciona con un ÚNICO valor de .

A la cantidad se le llama variable dependiente y a la cantidad se le llama variable independiente.

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Funciones reales de variable real

Cómo comprobar si una relación entre dos cantidades o variables

es una función

Para verificar si existe una relación funcional entre dos cantidades o variables podemos representar la situación mediante diagramas, de la siguiente manera

Variable independiente Variable dependiente

𝑥

𝑦

Debemos de

analizar los valores de y de , y

comprobar que se cumple que cada valor de se

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 1.

La relación que va del conjunto hacia el conjunto

𝐴

𝐵

En este caso si

es función, ya que a cada elemento del conjunto se relaciona con un único

elemento del conjunto .

𝑓

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 2.

La relación que va del conjunto hacia el conjunto

𝐴

𝐵

0

En este caso no es función, ya que existe al menos un elemento del conjunto que se relaciona con dos

elementos del conjunto .

𝑓

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Funciones reales de variable real

Prueba de la recta vertical

Otra forma de determinar si una relación es una función, es por medio de la regla de la recta vertical, la cual consiste en trazar

líneas verticales en la grafica de la relación. Si al trazar dichas líneas,

todas cortan a la grafica de la función es un solo punto, entonces es un función, ya que cada valor de la variable independiente se

relaciona con un único valor de la variable dependiente. Si al menos una línea vertical corta la gráfica en 2 o más puntos, entonces no es una función, ya que la variable independiente se estaría

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 3

Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función.

Resolución.

Si es función, ya que cualquier recta vertical

corta a la gráfica de la

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 4

Indica si la relación dada mediante la siguiente grafica corresponde a una función.

Resolución.

No es función, ya que

existe al menos una recta

vertical que corta a la

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Funciones reales de variable real

Dominio y rango de una función

El dominio y rango de una función son conceptos relacionados con sus variables, veamos cómo se definen:

Dominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de la variable independiente.

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 5

Encuentre el dominio de las siguientes funciones

a)

Resolución

Note que sin importar el valor real que asuma la variable , el valor siempre existirá.

b)

Resolución

Observe que el denominador tiene que ser distinto de cero, es decir: .

Por tanto,

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 6

A partir de la gráfica de la función , determine su dominio y rango.

Resolución.

Dominio:

Resolución.

Dominio:

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Funciones reales de variable real

Crecimiento de una función

Diremos que una función es creciente cuando :

Por ejemplo, la función 3 es creciente en su dominio.

Analíticamente: .

Sea , . Debemos de demostrar que .

En efecto: sabemos que

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Funciones reales de variable real

Decrecimiento de una función

Diremos que una función es decreciente cuando :

Por ejemplo, la función es decreciente en su dominio.

Analíticamente: .

Sea , . Debemos de demostrar que .

En efecto: sabemos que

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Funciones reales de variable real

Nota

Si una función no es creciente ni decreciente en un intervalo, entonces la función es constante en dicho intervalo.

Por ejemplo, la función es no crece ni decreciente en su dominio.

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Funciones reales de variable real

Ejemplo 7

A partir de la gráfica de la función , determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Es creciente en el intervalo

Es decreciente en el intervalo y

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Funciones reales de variable real

Función positiva

Diremos que una función es positiva cuando para cualquier se cumple que .

Por ejemplo, de la grafica de la función

se observa que es

positiva en los intervalos

y

Si es positiva en el

intervalo , entonces su

grafica está por encima

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Funciones reales de variable real

Función negativa

Diremos que una función es negativa cuando para cualquier se cumple que .

Por ejemplo, de la grafica de la función

se observa que es

negativa en los intervalos

Si es negativa en el intervalo , entonces su

grafica está por debajo

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Conclusiones

1) El dominio de una función es el “conjunto más

grande” de los valores de la variable independiente

de tal manera que la función exista.

2) Si conforme el x aumenta se observa que el y=f(x)

también aumenta, entonces la función es creciente.

3) Si conforme el x aumenta se observa que el y=f(x)

disminuye, entonces la función es decreciente.

4) Si la gráfica de una función esta por encima

(debajo) del eje x, entonces y=f(x) es positiva

(negativa).

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Bibliografía

[1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.

Ed 5. México, D.F. Pearson.

[2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y

Economía. Ed 12. Pearson Educación.

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