Vectores. 2)Coordenadas y base Combinación lineal Vectores linealmente dependiente Bases. Bases canónica

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(1)

Vectores

1) Vectores en 𝑹

𝟐

Vector fijo en el plano

Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido,

origen y extremo)

Vectores equipolentes

Vector libres

Propiedad fundamental de los vectores libres

Definición de vectores

Operaciones ( gráficas) de vectores libres.

Vectores

2)Coordenadas y base

Combinación lineal

Vectores linealmente dependiente

Bases. Bases canónica

3)

Sistema de referencia Euclídeo

Vector de posición

Coordenadas de un vector fijo y libre

Operaciones analíticas de vectores

Módulo y argumento

Punto medio de un segmento.

Puntos alineados.

(2)

2

Vectores

4) Producto escalar

Producto escalar

Propiedades

Expresión analítica del producto escalar

Interpretación geométrica

Ángulo de dos vectores

1) Vectores en

𝑅

2

(3)

Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen

y extremo)

(4)

4

Vectores equipolentes

(5)

Propiedad fundamental de los vectores libres

Definición de vectores

Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0.

Vector unitario tienen de módulo la unidad.

Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman

90°); es decir si su producto escalar es cero.

Dos vectores son opuestos , si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

• Vectores concurrentes tienen el mismo origen.

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6

(7)

2) Coordenadas y base

Combinación lineal

El vector 𝑎 se dice que es combinación lineal (C.L.) de los vectores 𝑢, 𝑣 si existe dos números reales

𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣 𝑎 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣

• Vectores linealmente dependiente

Los vectores 𝑎 , 𝑢 , 𝑣 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe entre ellos una combinación lineal; es decir, si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣

(8)

8

Indica una combinación lineal entre ellos

¿Son linealmente dependientes los vectores de la figura?

𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

¿Existe otra combinación lineal entre ellos?

𝑤 − 2𝑢 = 3𝑣 𝑤 − 2𝑢

3 = 𝑣 𝑣 =13𝑤 −23𝑢 𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe un números reales 𝛼 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢

𝒂

𝒃

𝒄

= 𝟐 ∙ 𝒂

= −

𝟏

𝟐

∙ 𝒂

𝒂 𝒚

𝒃

(L.D.)

𝒂 𝒚

𝒄

(L.D.)

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) tiene la misma dirección Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente independiente (L.I.) NO tiene la misma dirección

(9)

Dados dos vectores libres 𝑢, 𝑣 con diferente dirección; es decir (L.I.), cualquier otro vector 𝑤 se puede expresar como combinación lineal (C.L) de ellos;

𝑏 = 𝑢 + 𝑣

• Bases.

En este caso, se dice que B= 𝑢, 𝑣 es una base y que 𝛼 , 𝛽 son las coordenadas de 𝑤 respecto a la base B

B=𝑣 , 𝑢 es una base

𝒃

Indica una combinación lineal del vector 𝒃 con respecto a la base B= 𝑢, 𝑣

Indica una las coordenadas del vector 𝒃 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣 𝑏 = (1 , 1) 𝑊 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝒄

𝑐 = −3𝑢 + 𝑣 𝑐 = (−3 , 1) ?

(10)

10

Prueba corta

1) Expresa los vectores 2) 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 en función de 𝑢 y 𝑣

Si los vectores que forman la base tienen direcciones perpendiculares se dice que es una base ortogonal, y si además sus módulos son unitarios, la base es ortonormal

La base canónoca está formada por los vectores 𝑖 , 𝑗

(11)

Combinación lineal del vector 𝒂 con respecto a la base canónica B=𝑖 , 𝑗

𝑎 = 4𝑖 + 3𝑗

Las coordenadas del vector 𝒂 respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗

𝑎 = (4 , 3)

Todos los vectores equipolentes tiene las mismas coordenadas respecto a la base canónica, es decir, todos los representantes de una mismo vector libre tiene las mismas coordenadas

𝑢 y 𝑣 son equipolentes

Las coordenadas respecto a la base canónica son 𝑢 = 𝑣 = 2 , 3 Su combinación lineal respecto la base canónica es 𝑢 = 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗

(12)

12

Suma de vectores dados sus coordenadas

Como combinación lineal

(13)

Módulo de un vectores dados sus coordenadas

Utilizando el teorema de pitágotas

𝑥

2

+ 𝑦

2

= 𝑢

2

𝑢 = 𝑥

2

+ 𝑦

2

Argumento de un vectores dados sus coordenadas

Se llama argumento de un vector, al ángulo que formado dicho vector con la parte positiva del eje X

𝛼 = arg (𝑢) = 𝑎𝑐𝑡𝑔

𝑦

𝑥

(14)

14

Halla las coordenadas de otro vector con la misma dirección y sentido que 𝑢 pero con módulo 1 unidad

𝑤 = 2 13,

−3 13

(15)

3) Sistema de referencia Euclídeo

Vector de posición

(16)

16

1º)

Actividad en clase. Demostración 2º)

Actividad en clase. Encontrar de forma razonada los puntos M1 y M2 puntos que dividen tren partes iguales un segmento

Figure

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Referencias

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