Álgebra Lineal I
Estructuras Algebraicas
Guillermo Garro y Araceli Guzmán
Enero, 2018
Facultad de ciencias UNAM
Contenido del tema
1. Operaciones internas
2. Semigrupos
3. Monoides
4. Grupos
5. Anillos
6. Campos
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 1 / 64
Operaciones internas
Unaoperación(interna) en un conjuntoXes una función
∗:X×X→X
Notación
Generalmente escribimos
x∗y
en lugar de
∗(x,y).
Notación
A veces usamos la notación desuma:
x+y
o bien comoproducto:
x•y
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 2 / 64
Conocemos muchos ejemplos: Los conjuntos de números usuales
Ejemplos
1.La suma usual en los conjuntos de números usuales
(X,+), conX=N,Z,Q,R,C.
2.El producto usual en los conjuntos de números usuales
(X,•), conX=N,Z,Q,R,C.
3.En general cualquier funciónf:X×X→Xdefine una operación interna
x∗y:=f(x,y), ∀(x,y)∈X×X.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 3 / 64
Conocemos muchos ejemplos
Ejemplos
4.La suma de vectores enR2:
Six= (x1,x2),y= (y1,y2)son vectores enR2, entonces
x+y= (x1,x2) + (y1,y2) = (x1+x2,y1+y2)
es un vector enR2.
X Y
x y
x+y
Conocemos muchos ejemplos
Ejemplos
5.El producto cruz enR3.
Six= (x1,x2,x3),y= (y1,y2,y3)son vectores enR3, entonces
x×y=
i j k
x1 x2 x3 y1 y2 y3
= (x2y3−x3y2,x3y1−x1y3,x1y2−x2y1).
es un vector enR3.
∥x×y∥
x y
x×y
θ
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 5 / 64
Tablas de multiplicar
Dado un conjunto finitoA={a1, ...,an}, unatabla de multiplicarsobreAes un arreglo rectangular de la forma
∗ a1 a2 · · · ai · · · aj · · · an
a1 a1∗a1 a1∗a2 · · · a1∗ai · · · a1∗aj · · · a1∗an
a2 a2∗a1 a2∗a2 · · · a2∗ai · · · a2∗aj · · · a2∗an
..
. ... ... ... ... ... ... ... ...
ai ai∗a1 ai∗a2 · · · ai∗ai · · · ai∗aj · · · ai∗an
..
. ... ... ... ... ... ... ... ...
aj aj∗a1 aj∗a2 · · · aj∗ai · · · aj∗aj · · · aj∗an
..
. ... ... ... ... ... ... ... ...
an an∗a1 an∗a2 · · · an∗ai · · · an∗aj · · · an∗an
Tal queai∗aj∈A, para todos1≤i,j≤n.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 6 / 64
Todas las tablas de multiplicar sobre
{
0
,
1
}
0 1
0 0 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 1 1
1 0 1
0 1
0 1 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1 1 1
0 1
0 1 0
1 1 0
0 1
0 1 0
1 1 1
0 1
0 0 1
1 0 0
0 1
0 0 1
1 0 1
0 1
0 1 1
1 0 0
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
0 0 0
1 1 0
0 1
0 1 0
1 0 1
0 1
0 1 1
1 1 0
0 1
0 1 1
Semigrupos
Semigrupo
Definición
Una operación∗:X×X→Xesasociativasi
x∗(y∗z) = (x∗y)∗z, ∀x,y,z∈X.
En este caso decimos que(X,∗)es unsemigrupo.
Notación
Si usamos la notación de producto, escribimos
x(yz) = (zy)z, ∀x,y,z∈X.
Si usamos la notación de suma, escribimos
x+ (y+z) = (x+y) +z, ∀x,y,z∈X
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 8 / 64
Operaciones conmutativas
Definición
Una operación∗:X×X→Xesconmutativasi
x∗y=y∗x, ∀x,y∈X.
Notación
Con la notación de producto escribimos
xy=yx, ∀x,y∈X.
Y con la notación de suma
x+y=y+x, ∀x,y∈X.
Definición
Si una operación∗es asociativa y conmutativa, entonces decimos que(X,∗)es un semigrupo conmutativo.
Los ejemplos típicos
Ejemplos
1.La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales son operaciones asociativas y conmutativas, así que los sistemas
(X,+) y (X,•) con X=N,Z,Q,R,C.
son semigrupos conmutativos.
2.Dado un conjuntoX, las operaciones unión e intersección son asociativas y conmutativas, por lo que los sistemas
(℘(X),∩) y (℘(X),∪).
son semigrupos conmutativos.
3.Dado un conjuntoX, la diferencia simétrica es una operación asociativa y conmutativa, así que el sistema
(℘(X),△).
es un semigrupo conmutativo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 10 / 64
Los espacios lineales
R
nEl planoR2con la suma de vectores usual.Six= (x1,x2),y= (y1,y2),z= (z1,z2)son vectores enR2, entonces
x+(y+z)= (x1,x2) +((y1,y2) + (z1,z2)) = (x1,x2) + (y1+z1,y2+z2) = (x1+ (y1+z1),x2+ (y2+z2)) = ((x1+y1) +z1,(x2+y2) +z2) = (x1+y1,x2+y2) + (z1,z2)
=((x1,x2) + (y1,y2))+ (z1+z2) = (x+y) +z.
El caso general de la suma de vectores enRnpuede tratarse igualmente fácil. Y puede verse que de hecho la suma de vectores es conmutativa.
Por lo tanto, los espacios(Rn,+)son semigrupos conmutativos.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 11 / 64
Composición de funciones
Composición de funciones.SeaXun conjunto y seaXXel conjunto de todas las fun-ciones deXenX, esto es
XX:={f:X→X:fes función}.
Teorema
La composición de funciones sobreXXes una operación asocitiva. Esto es, sif,gyh son funciones deXenX, entonces
f◦(g◦h) = (f◦g)◦h.
Demostración Para todox∈X,
((f◦g)◦h)(x) = (f◦g)(h(x)) =f(g(h(x))),
y por otra parte
(f◦(g◦h))(x) =f((g◦h)(x)) =f(g(h(x))).
■
No son semigrupos
NOson semigrupos
1.La diferencia no es una operación asociativa enZ:
1−(1−1) =1−0=1 pero (1−1)−1=0−1=−1.
2.La diferencia de conjuntos no es una operación asociativa en℘(X), siX̸=∅:
X\(X\X) =X\∅=X pero (X\X)\X=∅\X=∅.
3.El producto cruz de vectores enR3no es asociativo. Por ejemplo, sean
x= (1,0,1),y= (1,1,0)yz= (0,0,1). Entonces
x×y=
i j k
1 0 1
1 1 0
= (−1,1,1), (x×y)×z=
i j k
−1 1 1
0 0 1
= (1,1,0)
y×z=
i j k
1 1 0
0 0 1
= (1,−1,0), x×(y×z) =
i j k
1 0 1
1 −1 0
= (0,1,−1)
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 13 / 64
Todas las tablas de multiplicar sobre
{
0
,
1
}
0 1
0 0 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1 0 1
0 1
0 0 1
1 1 0
0 1 0 1 1 1 0 1
0 1
0 1 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1 1 1
0 1
0 1 0
1 1 0
0 1
0 1 0
1 1 1
0 1
0 0 1
1 0 0
0 1
0 0 1
1 0 1
0 1
0 1 1
1 0 0
0 1
0 0 1
1 1 1
0 1
0 0 0
1 1 0
0 1
0 1 0
1 0 1
0 1
0 1 1
1 1 0
0 1
0 1 1
1 1 1
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 14 / 64
Neutros
Definición
Sea∗una operación sobre un conjuntoX.
1.Un elementoe∈Xes unneutro izquierdorelativo a∗, si
e∗x=x, ∀x∈X.
2.Un elementoe∈Xes unneutro derechorelativo a∗, si
x∗e=x, ∀x∈X.
3.Un elementoe∈Xes unneutrorelativo a∗, si es un neutro izquierdo y un neutro derecho.
Los neutros izquierdo y derecho, si existen, son iguales
Proposición
Sea∗una operación sobre un conjuntoX. Siedes un neutro derecho yeies un neutro izquierdo, entonces
ed=ei.
Demostración Para todox∈X,
ed∗x=x.
En particular,
ed∗ei=ei.
Análogamente, para todox∈X,
x∗ei=x.
En particular
ed∗ei=ed.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 16 / 64
En consecuencia, el neutro es único
Corolario
Si∗es una operación sobre un conjuntoXcon neutro, entonces éste es único
Demostración
Sieye′son neutros, entonces en particular,ees un neutro izquierdo ye′es un neutro derecho. De donde
e=e∗e′=e′.
■
Observación
Como hemos visto, en cuanto a la existencia y unicidad de neutros, no es relevante si la operación es asociativa o no.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 17 / 64
Un semigrupo con dos neutros izquierdos (y por tanto, sin neutro derecho)
SobreX={0,1}considere la tabla de multiplicar
0 1
0 0 1
1 0 1
Observe que
x y=y, ∀x,y∈ {0,1}.
Por lo tanto, para todasx,y,z∈ {0,1},
x (y z) =x z=z y (x y) z=y z=z.
Así que es asociativa.
Y además
0 x=x=1 x, ∀x∈ {0,1}.
Operaciones recíprocas
Definición
Dada una operación∗en un conjuntoX, definimos la operación∗dada por
x∗y:=y∗x, ∀x,y∈X.
Proposición
Si∗es asociativa, entonces∗es asociativa.
Demostración Para todasx,y,z∈X,
x∗(y∗z) = (y∗z)∗x (definición de∗)
= (z∗y)∗x (definición de∗)
=z∗(y∗x) (∗es asociativa)
= (y∗x)∗z (definición de∗)
= (x∗y)∗z (definición de∗)
■ Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 19 / 64
Operaciones recíprocas
Dada una operación∗en un conjuntoX, definimos la operación∗dada por
x∗y=y∗x, ∀x,y∈X.
Proposición
Un elementoedeXes un neutro derecho (izquierdo) rel. a∗si y sólo si,ees un neutro izquierdo (derecho) rel. a∗.
Demostración
Supongamos quee∈Xes un neutro derecho rel. a∗. Para todax∈X,
e∗x=x∗e
=x
Por lo tantoees un neutro izquierdo rel.∗. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 20 / 64
El operador producto y la propiedad asociativa
Definición
Sea(X,∗)un semigrupo y supongamos quex1,x2, ...son elementos deX. Para toda n≥3definimos recursivamente
x1∗ · · · ∗xn:= (x1∗ · · · ∗xn−1)∗xn.
Proposición
Sea(X,∗)es un semigrupo yx1, ...,xnelementos deX,n≥3. Para cualquier1≤k≤n,
(x1∗ · · · ∗xk)∗(xk+1∗ · · · ∗xn) =x1∗ · · · ∗xn.
Ejemplo
En la proposición supongamosn=4yk=2.
(x1∗x2)∗(x3∗x4) = ((x1∗x2)∗x3)∗x4 = (x1∗x2∗x3)∗x4
=x1∗x2∗x3∗x4.
Monoides
Monoides
Definición
Una terna(X,∗,e)es unmonoidesi(X,∗)es un semigrupo ye∈Xes neutro rel. a∗.
Observación
1.En otras palabras, unmonoidees un semigrupo con neutro. 2.El neutro de un monoide es único
3.Un monoide es conmutativo si además la operación∗es conmutativa.
Notación
Si usamos la notación de producto, usamos1para denotar al neutro de un monoide.
Si usamos la notación de suma, entonces usamos0.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 22 / 64
Los ejemplos típicos
Ejemplos
1.Los conjuntos de números usualesX=N,Z,Q,R,C, con la operación producto son monoides conmutativos, y el elemento neutro es1. Si consideramos la operación suma en estos mismo conjuntos, entonces también son monoides conmutativos con neutro0.
2.Dado un conjuntoX, los sistemas(℘(X),∪,∅)y(℘(X),∩,X)son monoides conmutativos.
3.Dado un conjuntoX, el sistema(℘(X),△,∅)es un monoide conmutativo. 4.El espacio linealR2(en general enRn), es un monoide conmutativo con la
operación de suma de vectores. El neutro es el vector nulo (el origen)0= (0,0). 5.En el espacioXXde funciones deXenX, dondeX̸=∅, con la composición◦, la
Inversos en monoides
Definición
Sea(X,∗,e)un monoide y seanx,y∈Xtales que
x∗y=e.
Decimos quexes uninverso izquierdodey, y queyes uninverso derechodex.
Decimos queyes uninversodexsi es un inverso izquierdo y derecho dex. Esto es,
y∗x=e y x∗y=e.
Observación
Sea(X,∗,e)un monoide y seanx,y∈X. Entoncesyes el inverso dexsi y sólo si,xes el inverso dey.
Observación
En un monoide(X,∗,e), el neutroesiempre tiene inverso y esemismo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 24 / 64
Unicidad del inverso
Proposición
Sea(X,∗,e)un monoide y seanx,y,z∈X. Siyes un inverso izquierdo dexyzes un inverso derecho dex, entoncesy=z.
Demostración
y=y∗e
=y∗(x∗z) = (y∗x)∗z
=e∗z =z.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 25 / 64
Unicidad del inverso
Corolario
Si(X,∗,e)es un monoide yx∈Xtiene inverso, éste es único.
Demostración Seanyyzinversos dex.
En particular,yes un inverso izquierdo dexyzes un inverso derecho dex.
Por la proposición anterior,
y=z.
■
Los espacios de funciones, en general, no tienen neutro
La terna(NN,◦,IdN)es un monoide.
Recordemos que lafunción sucesor
σ(k) =k+1, ∀k∈N,
es inyectiva por lo que tiene inversa izquierda.
Pero no es suprayectiva y por tanto no tiene inversa derecha.
De hecho hay una infinidad de inversas por la izquierda deσ:
Para cadan∈N, seafn:N→Ndada por
fn(k) =
k−1 sik>0, n sik=0.
Entoncesfnes una inversa izquierda deσ, para todan∈N.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 27 / 64
Grupos
Grupos
Definición
Ungrupoes un monoide(X,∗,e)tal que cada elementox∈Xtiene inverso. Un grupo esconmutativooabelianosi además es conmutativo.
Observaciones
1.Los inversos en un grupo son únicos.
2.En un grupo(X,∗,e), para todosx,y∈X,xes el inverso deysi y sólo si,yes el inverso dex.
Notación
Si usamos la notación de producto para la operación∗, entonces escribimosx−1para denotar al inverso dex∈X.
Si usamos la notación de suma para la operación∗, entonces escribimos−xpara denotar al inverso dex. En este caso, definimos ladiferenciade dos elementos x,y∈Xcomo
Los ejemplos típicos
Ejemplos
1.(X,+,0), conX=Z,Q,R,C, son grupos conmutativos. 2.(N,+,0)no es grupo porque ningún naturaln>0tiene inverso. 3.(N,•,1)no es grupo porque ningún naturaln̸=1tiene inverso. 4.(Z,•,1)no es grupo porque ningún enterom̸=±1tiene inverso.
5.(Q,•,1)no es grupo porque el número0no tiene inverso. De hecho es el único número racional que no tiene inverso multiplicativo. El mismo razonamiento aplica para el producto enRyC. En ningún caso son grupos
6.No obstante, los conjuntosQ\{0},R\{0}yC\{0}, con el producto usual, son grupos conmutativos.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 29 / 64
Los ejemplos típicos
Ejemplos
7.Los espacios lineales con la suma de vectores(Rn,+,0)son grupos conmutativos.
8.Dado un conjuntoX,(℘(X),∪,∅)y(℘(X),∩,X)son grupos si y sólo siX=∅. 9.Dado un conjuntoX,(℘(X),△,∅)es grupo conmutativo, y para todoA⊂X, el
inverso deAesA.
10.En general, dado un conjuntoX, los espacios de funciones con la composición (XX,◦,IdX)no son grupos. No obstante, siX̸=∅y definimos
T(X) :={f:X→X:f es función biyectiva},
entonces(T(X),◦,IdX)es un grupo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 30 / 64
El grupo de transformaciones
Definición
SeaX̸=∅y seaT(X)el conjunto de todas las funciones biyectivas, esto es,
T(X) :={f:X→X:f es función biyectiva},
Entonces(T(X),◦,IdX)es un grupo llamadogrupo de transformacionesdeX.
Ejemplo
Si|X|=3, entonces(T(X),◦)no es conmutativo. SeaX={0,1,2}. Y consideremos las biyeccionesΦyΨdadas por
{0,1,2}−→ {Φ 0,1,2} {0,1,2}−→ {Ψ 0,1,2}
07−→0 07−→1
17−→2 17−→2
27−→1 27−→0
Entonces
Φ(Ψ(0)) = Φ(1) =2 y Ψ(Φ(0)) = Ψ(0) =1.
Por lo tantoΦ◦Ψ̸= Ψ◦Φ.
Otro ejemplo
Seak∈Zfijo, y sobreZdefinimos la operación
z⊕y:=x+y+k, ∀x,y∈Z.
Entonces(Z,⊕)es un grupo conmutativo.
1.⊕es conmutativa: Para todosx,y∈Z,
x⊕y=x+y+k=y+x+k=y⊕x.
2.⊕es asociativa: Para todosx,y,z∈Z,
x⊕(y⊕z) =x⊕(y+z+k) =x+ (y+z+k) +k=x+y+z+2k (x⊕y)⊕z= (x+y+k)⊕z= (x+y+k) +z+k=x+y+z+2k.
3.−kes le neutro relativo a⊕: Para todox∈Z,
x⊕(−k) =x−k+k=x.
4.Six∈Z, entonces el inverso rel. a⊕dexes−x−2k:
x⊕(−x−2k) =x−x−2k+k=−k.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 32 / 64
Propiedades de los inversos sobre grupos
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo y seanx,y∈X. Son equivalentes
(i)yes el inverso dex. (ii)xes el inverso dey. (iii)x∗y=e. (iv)y∗x=e.
Demostración
[(i)⇔(ii)]Consecuencia directa de la definición, como ya lo hemos visto.
[(ii)⇒(iii)]Es obvio. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 33 / 64
Propiedades de los inversos sobre grupos
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo y seanx,y∈X. Son equivalentes
(i)yes el inverso dex. (ii)xes el inverso dey. (iii)x∗y=e. (iv)y∗x=e.
Demostración
[(iii)⇒(iv)]Supongamosx∗y=e.
Seax−1el inverso dex.
En particular,x−1es inverso izquierdo dex.
Peroyes inverso derecho dex.
Por lo tantoy=x−1.
Propiedades de los inversos
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo. Para todasx,y∈X,
(i)(x∗y)−1=y−1∗x−1,
(ii)x= (x−1)−1(la función inversa es autoinversa), (iii)x=y⇔x−1=y−1(la función inversa es inyectiva).
Demostración
(i)Vamos a multiplicar el productoy−1∗x−1por el productox∗y:
(x∗y)∗(y−1∗x−1) =x∗(y∗y−1)∗x−1
=x∗e∗x−1 =x∗x−1 =e.
Así que por el teorema anterior,(x∗y)−1=y−1∗x−1.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 35 / 64
Propiedades de los inversos
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo. Para todasx,y∈X,
(i)(x∗y)−1=y−1∗x−1,
(ii)x= (x−1)−1(la función inversa es autoinversa), (iii)x=y⇔x−1=y−1(la función inversa es inyectiva).
Demostración
(ii)Es inmediato de la igualdad
x∗x−1=e.
Lo que quiere decir es que el inverso dex−1esx, o sea,x= (x−1)−1.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 36 / 64
Propiedades de los inversos
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo. Para todasx,y∈X,
(i)(x∗y)−1=y−1∗x−1,
(ii)x= (x−1)−1(la función inversa es autoinversa), (iii)x=y⇔x−1=y−1(la función inversa es inyectiva).
Demostración
(iii)Se sigue de inmediato dada la unicidad de los inversos en un grupo. ■
Leyes de cancelación
Teorema
Sea(X,∗,e)un grupo. Para todox,y,z∈X,
(i)Cancelación por la izquierda:
x∗y=x∗z⇔y=z.
(ii)Cancelación por la derecha:
y∗x=z∗x⇔y=z.
Demostración
Cancelación por la izquierda:
x∗y=x∗z ⇒ x−1∗(x∗y) =x−1∗(x∗y)
⇒ (x−1∗x)∗y= (x−1∗x)∗z
⇒ e∗y=e∗z
⇒ y=z.
Y es claro que
y=z⇒x∗y=x∗z. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 38 / 64
Ecuaciones en un grupo
Teorema
En un grupo(X,∗,e), cada una de las ecuacionesx∗a=bya∗x=badmite solución única.
Demostración
x∗a=b ⇔ (x∗a)∗a−1=b∗a−1 (ley cancelativa) ⇔ x∗(a∗a−1) =b∗a−1 (asociatividad de∗)
⇔ x∗e=b∗a−1 (definición de inverso)
⇔ x=b∗a−1 (definición de neutro)
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 39 / 64
Subgrupos
Definición
Sea(G,∗,e)un grupo y seaHun subconjunto no vacío deGtal que
x∗y∈G, ∀x,y∈H. `
Decimos queHes unsubgrupodeGsi(H,∗)es un grupo.
Observación
Cuando se cumple la igualdad`, decimos queHescerradobajo∗.
Observación
En otras palabras,Hes un subgrupo si y sólo si
1.Ges cerrado bajo∗,
2.la operación∗es asociativa enH, 3.Htiene neutro rel. a∗,
4.y todo elemento enHtiene inverso enHrel. a∗.
Observación
Neutro e inverso en subgrupos
Proposición
SiHes un subgrupo de un grupo(G,∗,e), entonces el neutro enHrel. a∗, coincide con el neutroe; y para todox∈H, el inverso dexenHrelativo a∗coincide conx−1.
Demostración
SeaeH∈Hel neutro enHrelativo a∗, y seax∈Hcualquiera. Entonces
x∗eH=x.
Pero también
x∗e=x.
En consecuencia
x∗eH=x∗e. Así que por la ley cancelativa
eH=e.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 41 / 64
Neutro e inverso en subgrupos
Proposición
SiHes un subgrupo de un grupo(G,∗,e), entonces el neutro enHrel. a∗, coincide con el neutroe; y para todox∈H, el inverso dexenHrelativo a∗coincide conx−1.
Demostración
Ahora, seax∈Hy seayel inverso dexenHrel. a∗. Entonces
x∗y=e.
Pero
x∗x−1=e.
De donde
x∗y=x∗x−1.
Nuevamente por la ley cancelativa,
y=x−1.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 42 / 64
Ejemplos
Ejemplos
1.(Z,+,0)es un subgrupo de(Q,+,0), el cual es a su vez un subgrupo de (R,+,0), el cual a su vez, es un subgrupo de(C,+,0).
2.(Z\{0},•,1)es un subgrupo de(Q\{0},•,1), el cual es a su vez un subgrupo de (R\{0},•,1), el cual a su vez, es un subgrupo de(C\{0},•,1).
3.Un grupo(G,∗,e)es un subgrupo de sí mismo. La tripleta({e},∗,e)es también un subgrupo, llamadosubgrupo trivialdeG.
4.Elgrupo de los cuatro elementos de Kleines el conjuntoA={a,b,c,d}con la tabla de multiplicar
∗ a b c d
a a b c d
b b a d c
c c d a b
d d c b a
Es un grupo tal quee=ay para todox∈A,x−1=x. Observe que({a,b},∗,a)es un subgrupo de este grupo.
Subgrupos: condiciones suficientes y necesarias
Teorema
Sea(G,∗,e)un grupo seaHun subconjunto no vacío deGcerrado bajo∗. EntoncesH es un subgrupo deGsi y sólo si,
(i)e∈H, y
(ii)x−1∈Hpara todax∈H.
Demostración
[⇒] Se sigue de la proposición anterior.
[⇐] SiHcumple(i)y(ii), entonces obviamenteees neutro enHrel. a∗, yHtiene inversos (los inversos enX, de hecho). Y desde luego, dado queH⊂G, se sigue que∗
es asociativa enH. Es decir,Hes grupo. ■
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Subgrupos de los espacios lineales
R
nSubgrupos de los espacios linealesRn.La suma de vectores enR2(en general enRn) es una operación asociativa y conmutativa, y el inverso de todo vector(x,y)∈R2es el vector−(x,y) = (−x,−y). Por lo tanto(R2,+,(0,0))es un grupo conmutativo.
SeaH={(x,y)∈R2:y=2x}.
Entonces:
El vector nulo(0,0)está enH: En efecto
0=2·0.
Si(x,y)∈H, entoncesy=2x. Y por lo tanto
−y=−2x=2(−x).
De donde
−(x,y) = (−x,−y) = (−x,2(−x))∈H. Así queHes un subgrupo deR2.
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El subgrupo de las matrices simétricas
El grupo de las matrices simétricas.SeaRm×nel conjunto de todas las matrices de mrenglones yncolumnas, con coeficientes relaes. De los cursos básicos de álgebra, sabemos que la suma de matrices es conmutativa y asociativa, el neutro es la matriz nula0m×n, y la matriz inversa de una matrizA= (aij)m×nes la matriz−A= (−aij)m×n. Por lo tanto(Rm×n,+,0m×n)es un grupo conmutativo.
En particular el espacio(Rn×n,+,0n×n)de las matrices cuadradas de tamañones un grupo conmutativo.
SeaHel conjunto de todas la matrices cuadradas simétricas, esto es, de todas las matricesA= (aij)n×ntales queaij=aji.
Claramente la matriz nula0n×nestá enH.
Y siA= (aij)n×nes una matriz cuadrada simétrica, entonces−A= (−aij)n×nes un matriz simétrica, dado que
El subgrupo de los elementos que conmutan
Dado un grupo(G,∗,e)ya∈Gfijo, definimos el conjunto
Ha={x∈G:x∗a=a∗x}.
Esto es,Haes el conjunto de todos los elementos deGque conmutan cona.
Teorema
Haes un subgrupo deG.
Demostración Observe que
e∗a=a=a∗e.
Por lo quee∈Ha. Y six∈Ha, entoncesx∗a=a∗x, y por lo tanto,
a=a∗e
=a∗x∗x−1 =x∗a∗x−1.
Multiplicando porx−1,
x−1∗a=a∗x−1.
Luegox−1∈Ha. ■
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Anillos
Anillos
Definición
Unanilloes un sistema(R,+,•,0,1)tal queRes un conjunto no vacío;0y1son elementos deR;+y•son operaciones internas (llamadassumayproducto) tales que
(i)(R,+,0)es un grupo conmutativo. (ii)(R,•,1)es un monoide.
(iii) •se distribuye sobre+: Para todosx,y,z∈R,
x•(y+z) =x•y+x•z (Ley Distributiva por la Izquierda) (y+z)•x=y•x+z•x (Ley Distributiva por la Derecha).
Decimos que el anillo esconmutativosi además se cumple
(iv) •es conmutativa: Para todosx,y∈R,
x•y=y•x.
Anillos: Observaciones a la definición
Observación
1.0es llamadoneutrooceroy1es llamadoidentidadouno.
2.0y1son únicos.
3.Si el anillo es conmutativo, entonces cualquiera de las leyes distributivas implica la otra.
4.Las leyes cancelativas son válidas la suma+.
5.Muchos autores solo exigen que el producto•sea asociativo. En tal caso, cuando se tiene identidad1se dice que es un anillo con indentidad.
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Propiedad distributiva
Lema
SeaRun anillo y seana1,a2,b1,b2elementos deR. Entonces
(a1+a2)(b1+b2) =a1b1+a1b2+a2b1+a2b2.
Lema
SeaRun anillo y seana1, ...,an,b∈R. Entonces
(a1+· · ·+an)b=a1b+· · ·+anb.
Proposición
SeaRun anillo. Sia1, ...,anyb1, ...,bmson elementos deR, entonces
(a1+· · ·+an)(b1+· · ·+bm) =a1b1+· · ·+anbm.
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Ejemplos
Ejemplos
1.La suma y el producto usuales sobre los conjuntos de números usuales (salvoN): (X,+,•,0,1), dondeX=Z,Q,R,C, son ejemplos de anillo conmutativos.
2.Dado un conjuntoX, el sistema(℘(X),△,∩,∅,X)es un anillo conmutativo.
En efecto, ya sabemos que△y∩son operaciones conmutativas y asociativas. Y no es difícil probar que∩se distribuye sobre△.
Ahora, para todoA⊂X,
A△ ∅= (A\∅)∪(∅\A) =A∪ ∅=A.
Y por otra parte,
A∩X=A.
Así que∅es el neutro para△yXes la identidad para∩.
Aritmética modular
Aritmética Modular.Dado un enteron≥1, seaZnel conjunto de las clases de equiva-lencia de la relación de congruencia≡módulonenZ, dada por
a≡b(módn) ⇔n|a−b.
Generalmente se usa la notación
Zn={0,1, ...,n−1} o bien Zn={0,1, ...,n−1}.
La suma y el producto se definen como
a+b=a+b y a·b=a·b.
Entonces(Zn,+,·,0,1)es un anillo conmutativo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 52 / 64
El anillo
Z
6El anilloZ6.Por ejemplo, las tablas de sumar y multiplicar deZ6son
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
· 0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 0 2 4
3 0 3 0 3 0 3
4 0 4 2 0 4 2
5 0 5 4 3 2 1
Observación
Decimos que los números2,3y4sondivisores de cero, debido a que cada uno de ellos es distinto de0y, no obstante, se tiene que
2·3=0=3·2 y 3·4=0=4·3.
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El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo
El anillo de polinomios con coeficientes en un anillo.Sea(K,+,•,0,1)un anillo con-mutativo. Un polinomio sobreKde gradon≥0es una función deKenKde la forma
p(x) =anxn+an
−1xn−1+· · ·+a1x+a0, donde
•n≥0,
•a0, ...,anson constantes enX, •xes una variable con valores enX.
El conjuntoK[x]de todos los polinomios con la suma y el producto usual de polinomios es un anillo conmutativo.
El neutro para la suma es el polinomio constante
n(x) =0,
y el uno es el polinomio constante
u(x) =1.
El anillo de matrices cuadradas
El anillo de matrices cuadradas. El conjunto de las matrices cuadradas de tamaño n≥1, con coeficientes enR, con la suma y el producto usual de matrices es un anillo.
El neutro para la suma es la matriz nula0n×n(cuyas entradas son todas cero), y la identidad es la matriz identidadIn×ncuyas diagonal tiene solo1’s y el resto de las entradas son iguales a0.
En general este anillo no es conmutativo.
Por ejemplo, sean=2y consideramos las matrices
A= (
1 1
0 1
)
y B=
( 1 0 1 1 ) , entonces AB= ( 1 1 0 1 ) ( 1 0 1 1 ) = ( 2 1 1 1 ) y BA=
( 1 0 1 1 ) ( 1 1 0 1 ) = ( 1 1 1 2 ) .
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Propiedades de un anillo
Teorema
Sea(X,+,•,0,1)un anillo. Entonces
1.Para todox∈X,
0x=x0=0
2.Para todox∈X,
(−1)x=x(−1) =−x.
Demostración 1.Para todax∈X,
0x+0=0x= (0+0)x=0x+0x.
Por la propiedad cancelativa,
0x=0.
Análogamente se pruebax0=0. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 56 / 64
Propiedades de un anillo
Teorema
Sea(X,+,•,0,1)un anillo. Entonces
1.Para todox∈X,
0x=x0=0
2.Para todox∈X,
(−1)x=x(−1) =−x.
Demostración 2.Para todax∈X,
(−1)x+x= (−1)x+1x= (−1+1)x=0x=0.
Se sigue que(−1)xes el inverso dex, es decir,(−1)x=−x.
Propiedades de un anillo
Teorema
Sea(X,+,•,0,1)un anillo. Entonces
1.Para todasx,y∈X,
(−x)y=x(−y) =−xy.
2.Para todasx,y∈X,
(−x)(−y) =xy
Demostración 1.Para todasx,y∈X,
(−x)y+xy= (−x+x)y=0y=0. Se sigue que(−x)yes el inverso dexy, esto es,(−x)y=−xy.
Análogamente se pruebax(−y) =−xy. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 58 / 64
Propiedades de un anillo
Teorema
Sea(X,+,•,0,1)un anillo. Entonces
1.Para todasx,y∈X,
(−x)y=x(−y) =−xy.
2.Para todasx,y∈X,
(−x)(−y) =xy
Demostración 2.Para todasx,y∈X,
(−x)(−y) =−(x(−y))
=−(−xy)
=xy.
■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 59 / 64
Campos
Definición
Uncampo(ocuerpo) es un anillo(F,+,•,0,1)tal que(F\{0},•,1)es un grupo conmutativo.
Observación
1.En un campo(F,+,•,0,1),0̸=1. Por lo tanto, todo campo tiene al menos dos elementos.
2.En un campo valen las leyes de cancelación
(i)Para todox,y,z∈F,
x+y=x+z ⇔ y=z.
(ii)Para todox,y,x∈F, six̸=0,
xy=xz ⇒ y=z.
Ejemplos
Los conjuntos de números usuales (salvoNyZ) con las operaciones usuales son los ejemplos típicos de campo:
(X,+,•,0,1), conX=Q,R,C.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 60 / 64
Un campo no tiene divisores de cero
Teorema
Un campo(F,+,•,0,1)no tiene divisores de cero. Esto es, para todasx,y∈F,
x y=0 ⇔ x=0 ó y=0.
Demostración
Seanx,y∈Ftales quex̸=0yxy=0. Dado queF\{0}es un grupo, existex−1 inverso dex. Luego,
y=1y= (x−1x)y=x−1(xy) =x−10=0.
■
Ejemplo
El anillo(Z,+,•,0,1)no tiene divisores de cero, pero no es campo.
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 61 / 64
El grupo de unidades de un anillo
Definición
Unaunidaden un anillo(R,+,•,0,1)es un elemento deRcon inverso multiplicativo. El conjunto de todas las unidades se denota comoR×.
Observación
Un anillo(F,+,•,0,1)es un campo si y sólo siF×=F\{0}
Ejemplos
1.El conjunto de unidades deZes{−1,1}. 2.El conjunto de unidades deZ6es{1,5}.
3.El conjunto de unidades del anillo de las matrices cuadradas de tamañoncon coeficientes enR, es el subgrupo de las matrices invertibles.
Proposición
Unidades del anillo
Z
nTeorema
Consideremos el anilloZnde los enteros módulon≥1. Entonces
Z×
n={a∈Zn: (a;n) =1}.
Demostración
Si(a;n) =1, existe una combinación lineal entera deayntal queaz+nw=1.De dondeaz=1, por lo quezes el inverso multiplicativo dea.
Recíprocamente, siatiene inverso multiplicativoz, entoncesaz=1. Esto es az≡1 (modn). Equivalentemente,n|az−1, lo que significa que para algún entero w,az−1=nwó bien1=az−nw. Se sigue que(a;n) =1. ■
Guillermo Garro y Araceli Guzmán FCiencias UNAM Enero, 2018 63 / 64
Los campos
Z
pTeorema
Znes campo si y sólo si,nes primo.
Demostración
Znes un campo⇔Zn\{0}=Z× n
⇔ {1,2, ...,n−1}={a∈Zn: (a;n) =1}
⇔(k;n) =1 ∀1≤k≤n
⇔nes primo.
■
Corolario
Sean≥1. EntoncesZnes campo si y sólo no tiene divisores de cero.