1.
Serie de Potencias
Recordemos que dada una sucesi´on{bn}n∈N, podemos definir una serie:
∞ X
n=1
bn
En el caso particular en que
bn=an(x−c)n
la serie tendr´ıa la forma
∞ X n=1 bn= ∞ X n=1 an(x−c)n
y es llamada serie de potencias centrada en c. Tal serie de potencias puede verse como una funci´on de x: f(x) = ∞ X n=1 an(x−c)n
Entonces nos preguntamos: ¿Para qu´e valores de x tenemos que f(x) < ∞ (es finito o converge)? Para responder esta pregunta veamos un ejemplo conocido: la serie geom´etrica. Recordemos que una serie geom´etrica de raz´onr esta dada por
∞ X n=0 anrn= a0 1−r si −1< r <1 (converge)
±∞ en otro caso (diverge) Notemos que al intercambiar r por xobtenemos
f(x) = ∞ X n=0 anxn= a0 1−x si −1< x <1 (converge)
±∞ en otro caso (diverge)
Es decir, una serie geom´etrica de raz´on r es en realidad una serie de potencias centrada en x = 0, adem´as, tal serie de potencias es convergente para x ∈]−1,1[ y divergente en otro caso. En general, una serie de potencias centrada encsiempre es convergente al menos para el valor x=c, de hecho,
f(c) = ∞ X n=1 an(c−c)n= ∞ X n=1 an·0 = 0<∞
El siguiente resultado debe explicar las opciones posibles sobre la convergencia de una serie de potencias:
1 Teorema: Considere la serie de potencias: f(x) = ∞ X n=1 an(x−c)n
Entonces, ocurre una, y s´olo una de las siguientes 3 afirmaciones: 1. La serie s´olo converge para x=c;
2. Existe R >0tal que la serie f(x)converge si “c−R < x < c+R” y diverge en otro caso;
3. La serie f(x) converge para cada x∈R;
Podemos ver que una serie de potencias es siempre convergente, en el peor de los casos, converge s´olo para x=c, es decir, en el valor donde la serie se encuentra centrada. Aquel valor R del teorema anterior es llamadoradio de convergencia y se calcula como sigue:
R= l´ım n→∞ an an+1 ´ o R = l´ım n→∞ 1 n p |an|
Para unificar los 3 casos del teorema anterior, diremos que en el caso (1) el radio de convergencia es cero y en el caso (3) el radio de convergencia es infinito, es decir,
Si R= l´ım
n→∞
an an+1
= 0 ⇒ La serie s´olo converge para x=c; Si 06=R = l´ım
n→∞
an an+1
<∞ ⇒ La serie f(x) s´olo converge si “c−R < x < c+R”; Si R= l´ım
n→∞
an an+1
=∞ ⇒ La serief(x) converge para cada x∈R;
Podemos ver que el campo de convergencia de la serie de potencias f(x) es siempre un intervalo de la forma ]c−R, c+R[ . Veamos algunos ejemplos:
1. Calcule el radio de convergencia para la serie: ∞
X
n=1
n!xn=x+ 2x2+ 3!x3+ 4!x4+. . .+n!xn+ (n+ 1)!xn+1+. . .
Notemos que esta es una serie de potencias centrada en x= 0 y que
an=n!
As´ı, el radio de convergencia de esta serie es:
R = l´ım n→∞ an an+1 = l´ım n→∞ n! (n+ 1)! = l´ımn→∞ n! n!(n+ 1) = l´ımn→∞ 1 (n+ 1) = 0 As´ı, caemos en el caso (1) del teorema, luego, la serie s´olo converge para x= 0.
2. Calcule el radio de convergencia para la serie: ∞ X n=1 n2n+1 2n2+1x n
Notemos que esta es una serie de potencias centrada en x= 0 y que
an= n2n+1 2n2+1
As´ı, el radio de convergencia de esta serie es:
R = l´ım n→∞ 1 n p |an| = l´ım n→∞ 1 ..n q n2n+1 2n2+1.. = l´ım n→∞ n s 1 ..n2n+1 2n2+1.. = l´ım n→∞ 2n2+1 n2n+1 !1n = l´ım n→∞ 2(n2+1) 1n n(2n+1) 1n = l´ım n→∞ 2n+ 1n n2+ 1n
Como la funci´on exponencial crece mucho m´as r´apido que la funci´on polinomial en el denominador de la fracci´on, tenemos que
R= l´ım
n→∞ 2n+ 1n
n2+ 1n =∞
Luego, caemos en el caso (3) del teorema y la serie converge para cada x∈R.
En muchos casos, cuando el radio de convergencia es finito (como en el caso (2) del teorema), la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia ]c−R, c+R[ no esta clara, puesto existen veces en que la convergencia de la serie f(x) se da tambi´en en c−R y/o en
c+R. Para ilustrar un caso, calculemos el radio de convergencia de la serie centrada en −1: f(x) = ∞ X n=1 (x+ 1)n n
Notemos que en este caso
an =
1
Entonces, el radio de convergencia es R= l´ım n→∞ an an+1 = l´ım n→∞ ...1n... 1 n+1 = l´ım n→∞ n+ 1 n = l´ımn→∞ n n + 1 n = l´ım n→∞ 1 + 1 n = 1
As´ı, el intervalo de convergencia para la serie f(x) es
]−1−R,−1 +R[ = ]−2,0[
... pero ¿qu´e pasa con la convergencia en los extremos -2 y 0 del intervalo? La respuesta s´olo puede ser revelada evaluando la serie f(x) en −2 y 0 respectivamente:
f(−2) = ∞ X n=1 (−2 + 1)n n = ∞ X n=1 (−1)n n f(0) = ∞ X n=1 (0 + 1)n n = ∞ X n=1 1 n
Sabemos quef(0) corresponde a la serie arm´onica y, por lo tanto, diverge. Para determinar si f(−2) es convergente podemos usar el criterio de la raz´on:
f(−2) = ∞ X n=1 (−1)n n ⇒ an= (−1)n n
Luego, debemos determinar el l´ımite
l´ım n→∞ an+1 an = l´ım n→∞ (−1)n+1 n+1 (−1)n n = l´ım n→∞ n(−1)n+1 (n+ 1)(−1)n = l´ımn→∞ n(−1)(−1)n (n+ 1)(−1)n = l´ımn→∞− n (n+ 1) =−1 Como tal l´ımite es menor que 1, el criterio de la raz´on nos dice que f(−2) converge. As´ı, el intervalo exacto de convergencia de la serie f(x) es [−2,0[ (se incluye el extremo −2). Para lo que viene conviene saber lo siguiente:
2 Teorema: Considere la funci´on f definida como sigue
f(x) = ∞ X
n=1
an(x−c)n
es decir, f(x) es una serie de potencias centrada en cy suponemos que su radio de conver-gencia es R >0. Entonces,
1. La funci´on f es continua sobre el intervalo ]c−R, c+R[;
2. La funci´on f es derivable sobre el intervalo ]c−R, c+R[, adem´as
f(x) = ∞ X
n=1
nan(x−c)n−1
2.
Expansi´
on en Serie de Taylor
Bajo ciertas condiciones es posible aproximar funciones por un polinomio de grado n. Tal aproximaci´on viene dada por el truncamiento de una serie asociada (a una cierta funci´on) conocida como expansi´on de Taylor.
1 Definici´on: Sea f una funci´on infinitamente derivable sobre un intervalo ]c−R, c+R[. Definimos la expansi´on en serie de Taylor (centrada en c) de la funci´on f a la serie:
∞ X i=0 f(i)(c)(x−c)i i! =f(c) + f0(c)(x−c) 1! + f00(c)(x−c)2 2! + f000(c)(x−c)3 3! + f(4)(c)(x−c)4 4! +. . .
En el caso particular en que c= 0, tal serie se denominaserie de Maclaurin. Del mismo modo, definimos la expansi´on de Taylor de grado n de la funci´on f como:
Tn(x) = n X i=0 f(i)(c)(x−c)i i! =f(c) + f0(c)(x−c) 1! +. . .+ f(n)(c)(x−c)n n!
Dada esta definici´on, el siguiente resultado nos hace entender el concepto deaproximar una funci´on f por un polinomio de grado n:
3 Teorema: Sea f una funci´on continua yn+ 1veces derivable sobre un intervalo ]c−R, c+
R[. Si x∈I, entonces existe un puntoξ entrec y x (en medio de ambos) tal que
f(x) = f(c) + f 0(c)(x−c) 1! +. . .+ f(n)(c)(x−c)n n! | {z } Tn(x) +f (n+1)(ξ) (n+ 1)! (x−c) n+1 | {z } Rn(x) =Tn(x) +Rn(x) donde Rn(x) = f (n+1)(ξ) (n+ 1)! (x−c) n+1
se conoce como el resto o residuo de Lagrangede la aproximaci´on de gradon. Diremos que la serie de Taylor converge a la funci´on f en x si, y s´olo si se cumple que
l´ım
n→∞Rn(x) = l´ımn→∞
f(n+1)(ξ)
(n+ 1)! (x−c)