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FACULTAD DE CIENCIAS GRADO EN MATEMÁTICAS TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO

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(1)

FACULTAD DE CIENCIAS

GRADO EN MATEMÁTICAS

TRABAJO FIN DE GRADO

CURSO ACADÉMICO 2019-2020

TÍTULO:

EL TEOREMA DE HELLY Y SUS APLICACIONES AUTOR:

(2)

Resumen

El teorema de Helly establece condiciones sucientes para que una familia de conjuntos convexos en el espacio euclídeo tenga intersección no vacía. Se expondrán tres pruebas alternativas que utilizan herramientas distintas, e ilustran el signicado del teorema de Helly desde perspectivas complementarias. Además de su interés intrínseco dentro del análisis convexo, el teorema tiene múltiples aplicaciones en diferentes capítulos de las matemáticas. En este trabajo se presentan, con detalle, aquellas aplicaciones de mayor interés.

Palabras clave: teorema de Helly y sus aplicaciones, conjuntos convexos, análisis convexo.

(3)

Abstract

Helly's theorem establishes sucient conditions for a family of convex sets in the Euclidean space to have a non-empty intersection. Three alternative proofs using dierent tools will be presented, and illustrate the meaning of Helly's theorem from complementary perspectives. In addition to its intrinsic interest within convex analysis, the theorem has multiple applications in dierent chapters of mathematics. This work presents, in detail, those applications of greatest interest.

(4)

Índice

1. Introducción 5

2. Notación 5

3. Preliminares 6

4. Teorema de Helly 8

5. Consecuencias del teorema de Helly 14

6. Notas históricas 26

(5)

1. Introducción

El teorema de Helly es una poderosa herramienta del análisis convexo, que ha permitido la obtención de nuevos resultados, así como ingeniosas demostraciones alternativas de resultados clásicos. El teorema, que establece una condición suciente para que una familia de convexos tenga intersección no vacía, tiene especial interés en la resolución de problemas combinatorios, en los que cierta propiedad se satisface para toda subfamilia de cierto cardinal y queremos probar que entonces toda la familia tiene la propiedad. Más aun, muchos de estos teoremas no hacen referencia en principio a ninguna familia de conjuntos convexos, y lo interesante será construir una familia de conjuntos convexos, estrechamente relacionados con los conjuntos originales, y que satisfagan las hipótesis del teorema de Helly. En algunos casos, la familia de convexos que construiremos será sencilla e intuitiva. Sin embargo, habrá otros en que su construcción no será en absoluto intuitiva, y es ahí precisamente donde reside la belleza de la demostración.

2. Notación

La notación utilizada es estándar. Sin embargo, y para facilitar la lectura, se indica a continuación la notación a emplear, que permanecerá constante excepto que se indique explícitamente lo contrario.

El conjunto vacío se denotará por ∅, y un conjunto cualquiera, con letras latinas

mayúsculas. Por lo general, usaremos X, A, B, C y serán subconjuntos deRn.

Las letras latinas minúsculas representarán elementos de conjuntos. Si tenemos más de un punto, utilizaremos superíndices para diferenciarlos, mientras que los subíndices se reservan para las componentes de los vectores. Así, x1, x2 X son dos puntos de X y x = (x1, . . . , xn)T ∈ Rn un punto de Rn. Además, consideraremos que los vectores son vectores columna, por lo que se hará uso de la transposición cuando sea necesario, indicada con una T de superíndice. Por último, el producto escalar se denotará porh ·,· i

y se considerará el producto escalar canónico. Asimismo, pork · ky d(·,·)representaremos la norma y la distancia euclídeas, respectivamente.

Para representar escalares utilizaremos letras griegas minúsculas, como λ, µ, α, etc.

Como son números reales y tienen una sola componente, los diferenciaremos con subíndi-ces.

(6)

Normalmente usaremos C,D,E, etc.

Una familia de conjuntos se representará con una letra mayúscula caligráca, por ejemplo, C.

La intersección y la unión de conjuntos se denotará conT y S, respectivamente.

El símbolo \ se usará para indicar la diferencia conjuntista.

Por conv(X) representamos la envoltura convexa de X, denida como el menor

con-junto convexo que contiene a X, o la intersección de todos los convexos que contienen a X. La envoltura afín se representará por af f(X).

La clausura, interior y frontera de un conjuntoXse denotarán concl(X), int(X), bd(X), respectivamente.

El símbolo indica el nal de la demostración.

3. Preliminares

En primer lugar, presentaremos dos teoremas clave en el estudio de los conjuntos convexos, muy relacionados con el teorema de Helly. De hecho, cualquiera de los tres teoremas puede ser obtenido a partir de los otros dos, lo que evidencia la estrecha relación existente entre ellos.

Introducimos en primer lugar el teorema de Carathéodory [2], publicado en1907. Este resultado asegura que podemos expresar un punto de la envoltura convexa de un conjunto como combinación lineal convexa de un máximo de n+ 1 puntos del conjunto.

Teorema 3.1 (Teorema de Carathéodory) Sea X ⊆ Rn no vacío y x conv(X). Entonces x se puede expresar como combinación lineal convexa de un máximo de n+ 1 puntos de X.

Demostración.

Seax∈conv(X). Entonces existen escalaresλ1, . . . , λm ≥0y puntos deX,x1, . . . , xm, tales que x =λ1x1 +· · ·+λmxm y λ1+· · ·+λm = 1. Supongamos que m es el mínimo número natural tal que x puede ser expresado de esta forma. Así, todos los puntosxi son distintos y λi >0, para todo i= 1, . . . , m.

Supongamos, por reducción al absurdo, que m > n + 1. Entonces x1, . . . , xm son puntos afínmente dependientes, por lo que existen µ1, . . . , µm ∈ R, no todos nulos, tales que µ1x1+· · ·+µmxm = 0y µ1+· · ·+µm = 0. Como la suma de los µi's es igual a 0y no todos ellos son nulos, habrá positivos y negativos. Además, como los λ son positivos,

(7)

existirá t > 0 tal que λi+tµi ≥ 0 para todo i = 1, . . . , m, con al menos uno de ellos en que se alcanza la igualdad a cero. Así,

x=

m

X

i=1

(λi+tµi)xi,

y hemos expresado x como combinación lineal convexa de m−1 puntos deX a lo sumo,

una vez eliminados los términos con coeciente igual a0. Sin embargo, habíamos supuesto que m era el mínimo natural para el que existía una combinación lineal convexa, por lo

que llegamos a una contradicción. Así pues, tendremos que m≤n+ 1.

En segundo lugar, presentamos el teorema de Radon [12], que se publicó en 1921. El teorema arma que si tenemos un conjunto con n+ 2 puntos o más, existe una partición en dos conjuntos cuyas envolturas convexas tienen intersección no vacía.

Teorema 3.2 (Teorema de Radon) Sean x1, . . . , xm

Rn con m ≥ n+ 2. Entonces el conjunto {1, . . . , m} admite una partición en dos conjuntosI y J tales que

conv{xi|i∈I} ∩conv{xj|j ∈J} 6=∅.

Demostración.

Seanx1, . . . , xm

Rnconm ≥n+ 2. Supongamos que todos los puntos son diferentes. De no ser así, existirían dos puntos iguales y bastaría colocar el superíndice de uno de ellos en I, y el otro en J y el resultado sería trivial.

El que seam ≥n+ 2 implica que x1, . . . , xm son puntos afínmente dependientes. Por tanto, existen escalares λ1, . . . , λm ∈R, no todos nulos, tales queλ1x1+· · ·+λmxm = 0y

λ1+· · ·+λm = 0. Como no todos son nulos, existirán algunos positivos y otros negativos. Sea I ={i∈ {1, . . . , m}|λi ≥0}y J ={j ∈ {1, . . . , m}|λj <0}.

(8)

Tenemos que X i∈I λi =− X j∈J λj >0 y X i∈I λixi =− X j∈J λjxj. Entonces, P i∈Iλixi P i∈Iλi = P j∈J(−λj)x j P j∈J(−λj) =x0

y x0 conv{xi|iI} ∩conv{xj|j J}lo que prueba el teorema.

4. Teorema de Helly

En esta sección introducimos el teorema de Helly [4], resultado central del trabajo, que establece una condición suciente para que una familia de convexos tenga intersección no vacía. Bastará con que cada n+ 1 de ellos tengan un punto en común para que todos tengan un punto en común.

Teorema 4.1 (Teorema de Helly) SeaC una familia de al menosn+ 1 conjuntos con-vexos enRn, dondeC es nita o todos sus miembros son conjuntos compactos. Supongamos que n+ 1 conjuntos cualesquiera de C tienen intersección no vacía. Entonces, la familia

completa tiene intersección no vacía.

En primer lugar, demostraremos el teorema cuando la familia es nita y después dis-cutiremos el caso innito. Además, expondremos varias pruebas distintas del teorema, que utilizarán distintas técnicas o resultados, pero todas de indiscutible interés matemá-tico. Empezaremos con la prueba de Radon [12], publicada en 1921, que se basa en hacer inducción sobre el cardinal de la familia y aplicar el teorema de Radon.

Demostración.

Procederemos por inducción sobre el cardinal deC. Si la familia tienen+ 1elementos, el resultado es trivial, pues la propia hipótesis nos proporciona el resultado. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema es cierto para toda familia de m−1convexos, con m > n+ 1.

Sea C ={C1, . . . ,Cm} una familia nita de conjuntos convexos enRn con m > n+ 1, tal quen+1conjuntos cualesquiera de la familia tienen intersección no vacía. Por hipótesis de inducción,

(9)

∀i= 1, . . . , m,∃xi ∈ m \ j=1 j6=i Cj.

Ahora, aplicamos el teorema de Radon a los m puntos obtenidos de esta forma. Así,

existe una partición de {1, . . . , m} en dos conjuntosI, J tales que conv{xi|i∈I} ∩conv{xj|j ∈J} 6=∅.

Por tanto,

∃x0 ∈conv{xi|i∈I} ∩conv{xj|j ∈J}.

Por otro lado, por la forma en que hemos tomado los puntos xi, tenemos que

xi ∈Cj∀j = 1, . . . , m, j 6=i. En particular, {xi|i∈I} ⊆ \ j∈J Cj y {xj|j ∈J} ⊆ \ i∈I Ci.

Tomando envolturas convexas y teniendo en cuenta que los C son convexos, tenemos que

conv{xi|i∈I} ⊆ \ j∈J Cj y conv{xj|j ∈J} ⊆ \ i∈I Ci, por lo que x0 ∈conv{xi|i∈I} ∩conv{xj|j ∈J} ⊆ \ j∈J Cj ! ∩ \ i∈I Ci ! = m \ i=1 Ci

Una vez vista la prueba de Radon, expuesta en primer lugar por considerarla la más sencilla, y que ilustra la estrecha relación entre ambos teoremas, veremos la demostración del propio Helly, que utiliza el teorema del hiperplano separador y hace inducción sobre la dimensión del espacio. Curiosamente, el artículo donde se publicó es de 1923, dos años después de la prueba de Radon. Previamente haremos una breve discusión. En la prueba necesitaremos que el hiperplano sea estricto, lo que exige adicionalmente que los conjuntos convexos sean cerrados y uno de ellos compacto. Por eso, veremos una elegante forma de reducir la familia de conjuntos convexos a poliedros convexos y compactos.

SeaC ={C1, . . . ,Cm}con m≥n+ 1una familia de convexos tal quen+ 1elementos cualesquiera de la familia tienen intersección no vacía. Consideremos todas las posibles

(10)

formas de seleccionar n+ 1 conjuntos de C, y por cada una de las posibles

combinacio-nes, seleccionaremos un punto cualquiera que pertenezca a los n+ 1 conjuntos. Sea J

el conjunto, nito, de todos los puntos seleccionados de la forma anteriormente descrita. Consideremos ahora la familia C0 = {

C01, . . . ,C

0

m} donde C

0

i = conv(Ci ∩J) para todo

i = 1, . . . , m. Claramente, cada conjunto C0i está contenido en Ci. Además, es un polie-dro convexo y compacto, por ser la envoltura convexa de un conjunto nito. Por último,

n+ 1conjuntos cualesquiera deC0 tienen intersección no vacía por la forma en que hemos

construido los conjuntos, ya que la intersección de los correspondientes n+ 1 conjuntos Ci es no vacía, y al menos un punto de ella, el que hemos seleccionado para J, pertenece a losn+ 1conjuntos C0i. Con todo esto, es obvio queC0 satisface las hipótesis del teorema

de Helly y que Tm

i=1C

0

i ⊆

Tm

i=1Ci por lo que de ser cierto el teorema para la familia C

0,

inmediatamente tendremos que también lo es para C. Ahora, estamos en condiciones de

ver la prueba de Helly [4]. Demostración.

Si n = 0, el teorema es cierto trivialmente. Supongamos, por hipótesis de inducción, que el teorema es cierto para Rn−1, es decir, que una familia nita de al menos nconvexos compactos tiene intersección no vacía si nconjuntos cualesquiera de esta tienen un punto

en común.

Sea C = {C1, . . . ,Cm} una familia nita de conjuntos convexos y compactos en Rn con m ≥n+ 1. Supongamos, por reducción al absurdo, que

m

\

i=1

Ci =∅.

Entonces, existe una subfamilia F deC y un conjunto A∈ F tales que

\ F∈F F=∅ y \ F∈F \{A} F6=∅.

Para ver esto, basta tomar n+ 1 conjuntos cualesquiera de C, que por hipótesis tienen

un punto en común, y añadir a esta subfamilia conjuntos de C. Como la intersección de

toda la familia es vacía, llegará un momento en que añadamos un conjunto, al que hemos llamado A, que haga que la intersección de la subfamilia, que era no vacía hasta ese

momento, sea vacía ahora. Sea M =T

F∈F \{A}F6=∅. Los conjuntosA yM son conjuntos convexos y compactos, por hipótesis y por ser intersección nita de conjuntos convexos y compactos, respectivamente. Además, A∩M = ∅, por lo que el teorema del hiperplano

separador estricto asegura la existencia de un hiperplano H que separa estrictamente los

(11)

por el punto x+y

2 y es ortogonal al segmento [x, y], donde x ∈ A e y ∈ M son tales que

kx−yk=d(A, M) = inf{ka−mk |a∈A, m∈M}.

Sea J la intersección de n conjuntos cualesquiera de F \ {A}. Claramente M ⊆ J y A∩J 6= ∅, ya que por hipótesis n+ 1 conjuntos de C tienen intersección no vacía. Así,

tenemos que J es un conjunto convexo y compacto, que contiene a M y a puntos de A,

por lo que necesariamente debe cortar al hiperplano H, esto es, J ∩H 6= ∅. Por tanto,

ahora tenemos que n conjuntos cualesquiera de F \ {A} tienen intersección no vacía en

H, que es un espacio de dimensiónn−1. Por hipótesis de inducción,T

F∈F \{A}F

∩H =

M∩H 6=∅, pero esto es una contradicción, puesHsepara estrictamenteAyM. Entonces,

Tm

i=1Ci 6=∅, y el teorema queda probado.

En tercer y último lugar, veremos la demostración, publicada en 1950, de Rademacher y Schoenberg [11], que a diferencia de las dos pruebas anteriores, no procede por inducción, sino que utiliza propiedades de los puntos de proximidad y el teorema de Carathéodory.

Demostración.

Sea C = {C1, . . . ,Cm} una familia nita de conjuntos convexos y compactos, con

m ≥n+ 1, tal quen+ 1conjuntos cualesquiera de la familia tienen intersección no vacía. Sea

f :Rn −→ R+

x 7−→ max1≤i≤m{d(x,Ci)}

una función convexa y nita en todo el espacio, y por lo tanto, continua. Como los con-juntos Ci son compactos, cuando xtiende al innito, f(x) tiende también a innito. Por tanto, f es coerciva y alcanza su mínimo absoluto en algún punto, que recibe el nombre

de punto de proximidad. Supondremos, sin pérdida de generalidad, que ese punto es el origen. Si no fuese así, bastaría realizar una traslación para llevar un punto de proximidad al origen. Con todo esto, se tiene que

max

1≤i≤m{d(0n,Ci)}= minx∈Rn max

1≤i≤m{d(x,Ci)}.

El valor f(0n) = minx∈Rnf(x) se llama proximidad de C1, . . . ,Cm y se denota por

P rox(C1, . . . ,Cm). Es claro que P rox(C1, . . . ,Cm) = 0 si, y solo si, la familia C tiene intersección no vacía. Además, en tal caso, todos los puntos de la intersección son puntos de proximidad. Supongamos, por reducción al absurdo, que Tm

i=1Ci = ∅ y consideremos

(12)

Sea xi

Ci tal que d(0n,Ci) = d(0n, xi) = kxik para todo i = 1, . . . , m. Tenemos

que ρ = max1≤i≤mkxik. Supongamos que la igualdad se alcanza en h de esos puntos

(supondremos, sin pérdida de generalidad, que son los h primeros), con 1 ≤ h ≤ m,

mientras que en el resto de puntos se tiene la desigualdad estricta, esto es, kx1k =· · ·=

kxhk = ρ y kxh+1k, . . . ,kxmk < ρ. En primer lugar, veremos que necesariamente h 2. De no ser así, podríamos desplazarnos ligeramente a lo largo del segmento [0n, x1] hacia

x1, lo que reduciría el valor de ρ, contradiciendo que 0

n sea un punto de proximidad. Sea K = conv{x1, . . . , xh}. Entonces, 0n ∈ K porque en caso contrario, por un ar-gumento similar al anterior, podríamos desplazar ligeramente 0n hacia K, lo que haría disminuir el valor de ρ.

Ahora, aplicamos el teorema de Carathéodory y expresamos 0n como combinación lineal convexa de un máximo de n+ 1 de los puntos x1, . . . , xh, a saber, 0

n =Psi=1λixi conPs

i=1λi = 1,λi >0para todoi= 1, . . . , s. Además,0nno puede coincidir con ninguno de los xi pues ρ = kxik >0 para todo i = 1, . . . , s, por lo que 2 s n+ 1. Igual que antes, hemos supuesto, sin pérdida de generalidad, que los s puntos son los primeros.

Sean los semiespacios Hi ={x∈Rn|hx, x

i

kxiki ≥ρ}.

Claramente, Ci ⊆Hi porque hx, x

i

kxiki=ρ es la ecuación del hiperplano soporte de Ci en el punto xi perpendicular a la recta que pasa por xi y el origen.

Veamos que los semiespaciosHi tienen intersección vacía. Supongamos que existex0 ∈

Ts

i=1Hi. Multiplicando la expresión de0n obtenida mediante el teorema de Carathéodory escalarmente por x0 obtenemos

0 = h0n, x0i=h s X i=1 λixi, x0i= s X i=1 λihxi, x0i ≥ s X i=1 λikxikρ y esto contradice que ρ >0 y λi,kxik>0∀i= 1, . . . , s.

Por tanto, s \ i=1 Ci ⊆ s \ i=1 Hi =∅, con 2≤s≤n+ 1

pero nuevamente llegamos a una contradicción porque por hipótesis del teorema de Helly,

n+ 1 conjuntos cualesquiera tienen intersección no vacía, y hemos encontrado s≤ n+ 1 que tienen intersección vacía.

Una vez demostrado el teorema para el caso de familias nitas, discutamos el segundo caso, en que la familia es innita pero todos sus conjuntos son compactos, esto es, C =

(13)

{Ci|i ∈ I} con Ci convexo compacto para todo i ∈ I. En tal caso, consideramos una subfamilia nita cualquiera. Dicha subfamilia satisface todas las hipótesis del teorema de Helly y aplicando el resultado para el caso nito llegamos a que toda subfamilia nita tiene intersección no vacía. Así,C tiene la propiedad de la intersección nita, y como todos

sus conjuntos son compactos, necesariamente T

i∈ICi 6=∅.

Más aun, vamos a ver que la compacidad en todos los conjuntos no es necesaria y que puede relajarse a que todos los conjuntos sean cerrados y al menos uno de ellos compacto. Proposición 4.2 SeaC ={Ci|i∈I}una familia innita de conjuntos convexos y cerra-dos, con al menos uno de ellos compacto. Supongamos que n+ 1 conjuntos cualesquiera de la familia tienen intersección no vacía. Entonces, toda la familia tiene intersección no vacía.

Demostración.

Supongamos que Ci0 ∈ C es compacto. Por reducción al absurdo, supondremos que

T

i∈ICi =∅. Entonces,

T

i∈I\{i0}Ci ⊆R

n\

Ci0. Tomando complementarios, tenemos que

Ci0 ⊆R n\   \ i∈I\{i0} Ci  = [ i∈I\{i0} (Rn\Ci). Como todos los conjuntos deC son cerrados,{Rn\

Ci|i∈I\{i0}}es un recubrimiento por abiertos del conjunto compacto Ci0. Por tanto, existe un subrecubrimiento por abiertos nito de Ci0, esto es,

Ci0 ⊆ p [ j=1 Rn\Cij ,

para ciertos i1, . . . , ip ∈ I. Añadiendo Rn \ Ci0 a ambos lados, obtenemos Rn = Spj=0 R n\ Cij = Rn \Tp j=0Cij , que implica Tp j=0Cij = ∅. Sin embargo, si

p≥n+ 1, esto entra en contradicción con el teorema de Helly para el caso nito aplicado a la subfamilia C0 = {

Ci0, . . . ,Cip}. Si p < n + 1, la contradicción es directa, pues por

(14)

5. Consecuencias del teorema de Helly

En esta última sección expondremos una serie de teoremas que probaremos utilizando el teorema de Helly. Como indicábamos en la introducción, la mayoría de estos resulta-dos son de tipo combinatorio y, en su demostración, deberemos construir una familia de convexos a la que aplicar el teorema de Helly.

El primer teorema que veremos es el de Santaló [14], que establece una condición suciente para que una familia de segmentos paralelos enR2tenga una transversal común, esto es, una recta en el plano que corta a todos los segmentos de la familia. Como se enuncia enR2, el teorema es muy sencillo de visualizar y entender, por lo que constituye un buen punto de partida para ver las aplicaciones del teorema de Helly.

Teorema 5.1 (Teorema de Santaló) Sea S ={S1, . . . , Sm}una familia nita de m ≥

3 segmentos contenidos en rectas paralelas contenidos en R2, donde estos segmentos pue-den ser o no acotados. Supongamos que cada tres de estos segmentos tienen una transversal común. Entonces, toda la familia tiene una transversal común.

Demostración.

Supondremos, sin pérdida de generalidad, que los segmentos son paralelos al eje de las ordenadas. En caso contrario, bastaría aplicar una rotación. Ahora, podemos escribir los segmentos de la siguiente manera.

Si = ( x y ! ∈R2|x=α i, βi ≤y≤γi ) ,

dondeβi, γi o ambos pueden ser innitos, y las desigualdades pueden ser estrictas. Ahora, a cada segmento le asociamos un conjunto convexo que caracteriza todas las rectas que lo cortan: Ci = ( a b ! ∈R2|βi ≤aαi+b≤γi ) .

ClaramenteC ={C1, . . . ,Cm}es una familia nita dem≥3conjuntos convexos enR2 tal que tres conjuntos deC cualesquiera tienen intersección no vacía, pues tres segmentos

cualesquiera de S tienen una transversal común. Para ver que los Ci son convexos, basta notar que βi ≤((1−λ)a1+λa2)αi+ (1−λ)b1+λb2 ≤γi∀λ ∈[0,1],∀ a1 b1 ! , a 2 b2 ! ∈Ci .

(15)

Así, la familiaC satisface todas las hipótesis del teorema de Helly, por lo que tenemos que m \ i=1 Ci 6=∅, esto es, existe

a0 b0 ! ∈ m \ i=1 Ci,

por lo que la recta y=a0x+b0 es una transversal común a todos los segmentos S i de la familia S.

Introducimos el siguiente teorema motivándolo con la introducción de Valentine [16]: En un campo hay ovejas blancas y negras, que queremos separar mediante una recta. ¾Qué condiciones podemos exigir para garantizar la existencia de dicha recta que separe a las ovejas de distinto color? El siguiente teorema, enunciado por Kirchberger [7] en 1903, nos da la respuesta. Bastará que cada cuatro ovejas puedan ser separadas por una recta. Más aun, el teorema se enuncia para cualquier dimensión y da una condición suciente para separar mediante un hiperplano dos conjuntos de puntos, que será que cada n+ 1 puntos puedan ser separados por un hiperplano.

Teorema 5.2 (Teorema de Kirchberger) Sean A y B dos conjuntos nitos en Rn

tales que |A∪B| ≥n+ 2. Supongamos que cada subconjunto C ⊆A∪B con |C|=n+ 2 satisface que A∩C yB∩C pueden ser separados estrictamente mediante un hiperplano.

Entonces existe un hiperplano que separa estrictamente A yB.

La siguiente demostración es de Rademacher y Schoenberg [11], que la publicaron en el año 1950 utilizando el teorema de Helly. La demostración de Kirchberger, anterior al descubrimiento del teorema de Helly, ocupaba casi 24 hojas, lo que evidencia el poder del teorema de Helly.

Demostración.

Denimos los semiplanos

H−(x) = ( c α ! ∈Rn+1| hc, xi< α ) H+(x) = ( c α ! ∈Rn+1| hc, xi> α ) ,

(16)

y consideramos la familia

{H+(a)|a∈A} ∪ {H−(b)|b ∈B}.

Así, los conjuntos de la familia identican a todos los hiperplanos que dejan a los puntos de A a un lado, y a los puntos de B al otro. Claramente los conjuntos de la familia son

convexos y n+ 2 conjuntos cualesquiera tienen intersección no vacía, pues por hipótesis

n+ 2 puntos de A∪B pueden ser separados por un hiperplano. Aplicamos el teorema de

Helly y obtenemos que

\ a∈A H+(a) ! ∩ \ b∈B H−(b) ! 6 =∅,

por lo que existe c0

α0 ! ∈Rn+1 tal que c 0 α0 ! ∈H+(a) para todoa∈A y c0 α0 ! ∈

H−(b)para todo b∈B. Así, el hiperplano hc0, xi=α0 separa estrictamente A y B.

Para el siguiente resultado, necesitaremos recordar una denición y demostrar un lema previo, que hace que la demostración del teorema sea inmediata. Diremos que un conjunto

A tiene forma de estrella si existe un punto a ∈ A, al que llamamos centro de estrella,

tal que el segmento que une a con cualquier punto de A está contenido en A, esto es,

[a, x] ⊆ A para todo x ∈A. Un conjunto convexo es un caso particular de conjunto con

forma de estrella, en que todos sus puntos son centros de estrella. Diremos que b ∈ A es

visible desde a ∈ A si [a, b] ∈ A. Por tanto, A tiene forma de estrella si existe a ∈ A tal

que todo A es visible desde a.

Además, introduciremos la siguiente notación: Dado un conjunto A ⊆ Rn, para cada

x ∈ A denimos el conjunto Ax = {a ∈ A|(1−λ)x+λa ∈ A∀λ ∈ [0,1]}, esto es, el conjunto de todos los puntos de A visibles desde x.

Por último, recordaremos la siguiente propiedad de la norma. Si x, y ∈ Rn satisfacen

kx+λyk ≥ kxk ∀λ∈]0, α[ para algún α >0, entonces hx, yi ≥0.

Lema 5.3 Sea A ⊆ Rn un conjunto cerrado no vacío. Entonces, a A es un centro de estrella de A si, y solo si, a∈conv(Ax)∀x∈A.

Demostración.

La implicación directa es inmediata. Si a es un centro de estrella, entonces a ∈Ax ⊆

conv(Ax)∀x∈ A. Para ver el recíproco, supongamos que a no es un centro de estrella y veamos que a /∈conv(Ae) para algúne∈A.

(17)

Así, supongamos que a no es un punto de estrella. Entonces, existe b ∈ A tal que el

segmento que une a y b no está enteramente contenido enA. Esto quiere decir que existe c∈]a, b[tal que c /∈A. Más aun, como A es cerrado, existe una bola cerrada C centrada

en cque no intersecta a A, esto es,A∩C =∅.

Seaα= inf{λ≥0|A∩(C+λ(b−c))6=∅}. Geométricamente, estamos desplazando la

bolaC haciab a lo largo del segmento[c, b] hasta que la bola corte aAen un punto de la

frontera e∈bd(A). Sea D=C+α(b−c) la bola trasladada con centro d=c+α(b−c). Entonces, e∈ A∩D. La ecuación hx−e, d−ei = 0 dene un hiperplano de soporte de

D en el punto e. Ahora, denimos los semiespacios

H− ={x∈Rn| hx−e, e−di<0} y H+ ={x∈Rn| hx−e, e−di ≥0}. Por denición deαes claro que (D−θ(b−c))∩A=∅paraθsucientemente pequeña.

De aquí, tenemos

ke−d+θ(b−c)k2 =ke(dθ(bc))k2 >kedk

que implica, por la propiedad de la norma vista previamente, que he−d, b−ci ≥ 0, de dondehe−d, a−di ≤0, pues los cuatro cuatro puntosa, b, c, destán alineados. Entonces,

ha−e, e−di=ha−d, e−di − ke−dk2 <0 y obtenemos que a∈H−.

Por otro lado, seax∈Ae. ComoA no corta el interior deD yµx+ (1−µ)e∈Apara todo µ∈[0,1], entonces

(18)

que implica, de nuevo por la propiedad de la norma,he−d, x−ei ≥0, por lo que x∈H+. Así, Ae ⊆ H+ y conv(Ae) ⊆ conv(H+) = H+. Por tanto, a /∈ conv(Ae), pues a ∈ H− y

H+∩H− =∅.

Basándonos en el lema anterior, podemos abordar el teorema de Krasnosselsky [9], cuya demostración es inmediata, como veremos a continuación.

Teorema 5.4 (Teorema de Krasnosselsky) SeaAun conjunto innito y compacto en

Rn tal quen+ 1 puntos cualesquiera de A son visibles desde algún punto de A. Entonces,

A es un conjunto con forma de estrella.

Demostración.

Seanx1, . . . , xn+1 ∈A arbitrarios. Por hipótesis, existey∈Atal que todos los puntos

anteriores son visibles desde y, esto es, y ∈ Tn+1

i=1 Axi ⊆ Tin=1+1conv(Axi). Además, cada

conv(Axi) es un conjunto convexo y compacto, ya que Ax es cerrado y A es compacto.

En virtud del teorema de Helly, T

x∈Aconv(Ax) 6= ∅, por lo que existe a ∈ A tal que

a ∈ T

x∈Aconv(Ax). Por el lema anterior, a es un centro de estrella, por lo que A es un conjunto con forma de estrella.

A continuación presentamos el teorema de Klee [8], un resultado que constituye una generalización del teorema de Helly.

Teorema 5.5 (Teorema de Klee) Sea C ={Ci|i ∈I} una familia de al menos n+ 1 conjuntos convexos en Rn tal que C es nita o todos sus elementos son compactos y sea

B ⊆Rn.

i Si para cada subfamilia de n + 1 conjuntos {Ci1, . . . ,Cin+1} existe a ∈ R

n tal que

a+B ⊆ Cij para todo j = 1, . . . , n+ 1, entonces existe a ∈ R

n tal que a+B Ci para todoi∈I.

ii Supongamos que B es convexo y compacto o bien I es nito y B es convexo. Si para

cada subfamilia den+1conjuntos{Ci1, . . . ,Cin+1}existea∈R

ntal que(a+B) Cij 6= ∅para todoj = 1, . . . , n+ 1, entonces existe a∈Rn tal que (a+B)

Ci 6=∅ para todo

i∈I. Análogamente, si existe a∈Rn tal que a+B

Cij para todo j = 1, . . . , n+ 1,

entonces existe a∈Rn tal que a+B

Ci para todo i∈I. La prueba del teorema es debida a Klee [8] y a Vincensini [16].

(19)

Demostración.

Prueba de I. Consideremos, para cadai∈I, el conjunto convexoKi ={a ∈Rn|a+B ⊆ Ci}. Además, Ki será compacto si Ci lo es.

Veamos que Ki es convexo. Seana1, a2 ∈Ki, b∈B y λ∈[0,1]. Como Ci es convexo,

(1−λ)a1+λa2+b= (1−λ)(a1+b) +λ(a2+b)∈(1−λ)Ci+λCi =Ci,

lo que prueba que (1−λ)a1 +λa2

Ki y Ki es convexo.

Supongamos queCies compacto. Veamos queKi también es compacto. ClaramenteKi es acotado pues ka1a2k=k(a1+b)(a2+b)k ≤δ(

Ci)para todoa1, a2 ∈Ki yb ∈B, es decir, el diámetro deKi es menor o igual que el diámetro deCi, que es nito. Para ver que es cerrado, consideramos una sucesión {an}

n≥1 de puntos de Ki convergente a a0 ∈ Rn. Sea b ∈ B y consideremos la sucesión {an+b}

n≥1 ⊆ Ci que converge a a0+b ∈ Ci por ser Ci cerrado. Así, a0 ∈Ki y Ki es cerrado. Por tanto, Ki es compacto.

De esta forma, tenemos una familia K = {Ki|i ∈ I} de al menos n+ 1 conjuntos convexos tal que es nita o todos los conjuntos de la familia son compactos. Más aun, toda subfamilia de n + 1 conjuntos de K tiene intersección no vacía por hipótesis. En

virtud del teorema de Helly, T

i∈IKi 6=∅, esto es, existe a∈Rn tal que a+B ⊆Ci para todo i∈I.

Prueba de II. A partir de ahora, consideraremos B como un conjunto convexo y, si la

familia C es innita, también compacto.

Supongamos que para cada subfamilia de n+ 1 conjuntos de C existe un a ∈ Rn tal que la traslación de B por a corta a cada conjunto de la subfamilia. De forma análoga,

denimos K={Ki|i∈I} dondeKi ={a∈Rn|(a+B)∩Ci 6=∅}.

Veamos que Ki es convexo. Sean a1, a2 ∈ Ki, λ ∈ [0,1] y c1 ∈ (a1 +B)∩Ci, c2 ∈

(a2 +B)

Ci. Como Ci es convexo, (1−λ)c1 +λc2 ∈ Ci. Por otro lado, (1−λ)c1 +

λc2 (1λ)(a1 +B) +λ(a2 +B) = ((1λ)a1 +λa2) +B por ser B convexo. Así,

(1−λ)c1+λc2 (((1λ)a1+λa2) +B)

Ci y (1−λ)a1 +λa2 ∈ Ki, es decir, Ki es convexo.

Supongamos que Ci y B son compactos. Entonces, Ki es acotado porque para todo

a1, a2

Ki, existen b1, b2 ∈B tales que a1+b1 = c1 ∈ Ci y a2+b2 = c2 ∈ Ci, de donde

a1 =c1b2 y a2 =c2b2 y ka1 a2k=kc1b1c2 +b2k=k(c1c2) + (b2b1)k ≤

kc1c2k+kb2b1k ≤δ(

Ci) +δ(B), por lo que el diámetro de Ki está acotado. Veamos que también es cerrado.

Sea {an}

(20)

número natural n existe bn B tal que an+bn = cn

Ci. Como B es compacto, la sucesión {bn}

n≥1 admite una subsucesión {bnk}k≥1 convergente a cierto b0 ∈ B. Ahora, consideramos la sucesión {ank+bnk}

k≥1 que converge aa0+b0 ∈Ci porqueCi es cerrado. De esta forma, a0+b0 (a0+B)

Ci, por lo que a0 ∈Ki y Ki es cerrado. Por tanto, Ki es compacto.

Por hipótesis, tenemos que n+ 1 conjuntos cualesquiera de K tienen intersección no

vacía. Aplicamos el teorema de Helly y concluimos que toda la familia tiene intersección no vacía, esto es, existe a∈Rn tal que (a+B)

Ci 6=∅.

Por último, supondremos que para cualquier subfamilia den+ 1conjuntos deC existe

una∈Rn tal que la traslación de B pora contiene a losn+ 1conjuntos. De nuevo, para cada i∈I consideramos el conjunto Ki ={a∈Rn|a+B ⊇Ci}.

Veamos que Ki es convexo. Seana1, a2 ∈Ki, λ∈[0,1]. Entonces,

(1−λ)a1+λa2+B = (1−λ)(a1+B) +λ(a2+B)⊇(1−λ)Ci+λCi =Ci

por ser B y Ci convexos, por lo que (1−λ)a1+λa2 ∈Ki y Ki es convexo.

Por otro lado, supongamos que Ci y B son compactos. Entonces, Ki es acotado pues para todo a1, a2 ∈ Ki, c ∈ Ci, se tiene que c ∈ a1 +B, c ∈ a2 +B. Esto es, existen

b1, b2 ∈B tales quec=a1+b1 =a2+b2, de donde se deduce quea1 =c−b1, a2 =c−b2 y

ka1−a2k=kc−b1−c+b2k=kb2−b1k ≤δ(B). Esto es, el diámetro de Ki está acotado por el diámetro de B que es nito por ser acotado.

Para ver que es cerrado, tomamos una sucesión {an}

n≥1 de puntos de Ki convergente a a0

Rn. Sea c ∈ Ci un punto arbitrario. Para cada natural n existe bn ∈ B tal que

c = an+bn, pues c an+B. Así, an = cbn y como B es compacto, {bn}

n≥1 admite una subsucesión {bnk}

k≥1 convergente a cierto b0 ∈B, de forma que {ank}k≥1 converge a

c−b0, pero como la sucesión era convergente, toda subsucesión converge al mismo límite, esto es, a0 = cb0, o equivalentemente, c = a0 +b0 a0 +B. Como c era arbitrario, concluimos que Ci ⊆a0+B y a0 ∈Ki, que, por tanto, es cerrado. Así, Ki es compacto.

Por hipótesis,n+1conjuntos cualesquiera deKtienen intersección no vacía. En virtud

del teorema de Helly, toda la familia K tiene intersección no vacía, esto es, existe a∈Rn tal que a+B ⊇Ci para todo i∈I. Como anunciábamos antes de exponer el teorema de Klee, este es una generalización del teorema de Helly. Además, tiene un signicado geométrico muy interesante. El teorema de Helly se puede entender como que la existencia de un punto en cadan+ 1conjuntos de la familia implica la existencia de un punto en todos los conjuntos. El primer enunciado

(21)

del teorema de Klee va más allá. Si podemos introducir un conjunto B en cada n+ 1 conjuntos de la familia, entonces lo podremos introducir en todos los conjuntos de la fa-milia, entendiendo por introducir que podemos trasladarlo de forma que esté enteramente contenido. Aquí, tomando B igual a un punto, el origen por ejemplo, tenemos el teorema

de Helly. Este primer enunciado es una condición más fuerte.

Por el contrario, el segundo enunciado es más débil. Su versión más fuerte es cuando el conjunto B se reduce a un punto, en cuyo caso volvemos a tener el teorema de Helly,

por lo que también es una generalización.

Por último, el tercer enunciado es diferente. En este caso, si podemos introducir n+1 conjuntos cualesquiera en otro conjunto B, entonces toda la familia está contenida en una

traslación de B.

El siguiente resultado es el teorema de Jung [6], que proporciona un cota para el radio de la menor bola que contiene a un conjunto convexo de diámetro igual a 1.

Teorema 5.6 (Teorema de Jung) Sea A⊆Rnun conjunto con diámetro 1. Entonces,

A está contenido en una bola de radio q2(nn+1).

El teorema fue probado en 1901 por Jung [6]. Sin embargo, la prueba siguiente es del año 1941 y se debe a Blumenthal y Wahlin [1].

Demostración.

Supongamos que A tiene un máximo de n + 1 puntos. Sea B la bola cerrada más

pequeña que contiene a A, de radio ρ. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el

centro de B es el origen. En caso contrario, bastaría realizar una traslación. Claramente bd(B)∩A 6=∅, pues en caso contrario, A estaría contenido en una bola de radio menor

que ρ. Así, sea {a0, . . . , am} = bd(B)A, con m n. Por tanto, kaik = ρ para todo

i= 0, . . . , m. Además,0n∈conv{a0, . . . , am}. Si no fuese así,λzsería el centro de una bola cerrada de radio menor que ρ que contiene a A, donde z es el punto deconv{a0, . . . , am} más próximo al origen y λ es sucientemente pequeño. Como 0n ∈ conv{a0, . . . , am}, existen escalares no negativosλ0, . . . , λm tales que0n =λ0a0+· · ·+λmamyλ0+· · ·+λm =

1. Para cadaj = 0, . . . , m, se tiene que

1−λj = m X i=0 λi−λj ≥ m X i=0 λikai−ajk2 = m X i=0 λi(kaik2−2hai, aji+kajk2) = = m X i=0 λi(2ρ2−2hai, aji) = 2ρ2 −2h m X i=0 λiai, aji= 2ρ2−2h0n, aji= 2ρ2. Sumando todas las desigualdades, Pm

(22)

q m

2(m+1) ≤

q n

2(n+1).

Ahora, supongamos que A tiene más de n+ 1 puntos. Sea C la familia de todas las

bolas cerradas de radio q n

2(n+1) centradas en los puntos de A. Por la primera parte de la prueba, n + 1 conjuntos cualesquiera de esta familia tienen un punto en común, el circuncentro de los n+ 1 centros de las bolas. En virtud del teorema de Helly, existe un punto a que pertenece a todos los conjuntos de C. Así, A está contenido en la bola de

radio q n

2(n+1) centrada en a.

Continuamos con un resultado sobre las cuerdas de un conjunto convexo y compacto con interior no vacío, es decir, un cuerpo convexo. Recordemos que una cuerda es un segmento [x, y]⊆Ctal que [x, y] =C∩af f{x, y}.

Teorema 5.7 Sea C un cuerpo convexo en Rn. Entonces, existe un punto c∈C tal que para toda cuerda [x, y] que contenga a cse cumple

kx−ck kx−yk ≤

n n+ 1. Demostración.

Para cada x ∈ C denimos el conjunto Cx = x+ n+1n (C−x) ⊆ C. Claramente, Cx es convexo y compacto pues C lo es. Sean x0, . . . , xn ∈ C puntos distintos. Para cada

i= 0, . . . , n, xi+ n n+ 1 x0+· · ·+xnxi n −x i = x 0+· · ·+xn n+ 1 ∈Cxi.

Es decir, que n+ 1 conjuntos de la forma Cx tienen un punto en común. Por el teorema de Helly para familias innitas, existe c∈Cx para todo x∈C. Sea[x, y] una cuerda que pasa por c. Comoc∈Cx, existirá a∈C tal que

c=x+ n n+ 1(a−x) = 1 n+ 1x+ n n+ 1a, de donde a= n+ 1 n c− 1 nx∈C∩af f{c, x} ⊆C∩af f{x, y}= [x, y]

De aquí obtenemos que existirá un λ ∈ [0,1] tal que a = (1− λ)x+λy, con lo que c=x+ nλn+1(y−x)y kc−xk kx−yk = λn n+ 1 ≤ n n+ 1.

(23)

A continuación exponemos dos resultados sobre funciones convexas que utilizan el teorema de Helly.

Proposición 5.8 Sea F ={fi|i∈ I} una familia de funciones convexas sobre Rn y sea C un conjunto convexo y compacto tal que no existe ningún puntox0 ∈C que cumpla que

fi(x0) ≤ 0 para todo i ∈ I. Entonces, se podrán hallar escalares no negativos {pi, i ∈I} todos nulos salvo un número nito de ellos, que verican P

i∈Ipi = 1 y, además, inf x∈C X i∈I pifi(x)>0. Demostración.

Denimos los conjuntos C(i,n) ={x ∈C|fi(x)≤ n1} para todo i∈ I, n ∈N. Son con-juntos compactos por ser cerrados y estar contenidos en un conjunto compacto. Además, son convexos por ser la intersección deCcon un conjunto inferior de una función convexa. Por hipótesis, la intersección de todos estos conjuntos es vacía.

Sea Bn = Ti∈IC(i,n). La sucesión {Bn}n≥1 es una sucesión contractiva de conjuntos compactos tal que

\ n∈N Bn= \ i∈I n∈N C(i,n) =∅. Por tanto, existe n0 ∈N tal que Bn0 =

T

i∈IC(i,n0) =∅.

En virtud del teorema de Helly en su versión para familias innitas de compactos, existen {i1, . . . , in+1} tales que

n+1 \ j=1 C(ij,n0) =∅. Por tanto,fij(x)≤ 1

n0, j = 1. . . , n+1no tiene solución enC. Con mayor motivo, tampoco tendrá solución el sistema fij(x)−

1 n0 <0, j = 1. . . , n+ 1. Sea f(x) =    fi1 − 1 n0 ... fin+1− 1 n0    y para cada c∈R

n+1 denimos los conjuntos

M(c) = {x∈C|f(x)< c},

(24)

N es no vacío, pues dado un x¯ ∈ C, c¯= f(¯x) + 1n+1 ∈ N porque x¯ ∈ M(¯c). Además, veremos que N es convexo. Sean c1, c2 N, λ [0,1]. Entonces, M(c1), M(c2) 6=, esto es, existen x1, x2

C tales quef(x1)< c1, f(x2)< c2. Así,

f((1−λ)x1+λx2)≤(1−λ)f(x1) +λf(x2)<(1−λ)c1+λc2.

De aquí, (1−λ)x1+λx2 ∈M((1−λ)c1+λc2)y por tanto, (1−λ)c1+λc2 ∈N.

Por otro lado,0n+1 ∈/ N pues M(0n+1) =∅ por hipótesis. Así, existirá un hiperplano

H que separe0n+1 y N,

H ={y∈Rn+1| hp, yi=β}, p6= 0 n+1.

Podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que β ≥ 0, de forma que hp, yi ≥ β para

todoy∈N. Seanx∈Cyc(x) = f(x)+1n+1. Para todo >0,x∈M(c(x))yc(x)∈N. Por tanto, hp, c(x)i ≥β ≥0para todox∈Cy para todo >0. Tomando límites cuando

tiende a 0, tenemos que hp, f(x)i ≥ 0 para todo x ∈ C. Además, como y ∈ N se

puede hacer arbitrariamente grande, necesariamente p≥0n+1. Equivalentemente, existen escalarespej, j = 1, . . . , n+ 1, conp= (pe1, . . . ,pen+1)

T, no negativos y no todos nulos, tales quePn+1

j=1 pej(fij(x)−

1

n0)≥0para todox∈C. Entonces,

Pn+1 j=1 pejfij(x)≥ Pn+1 j=1 pej 1 n0 >0 para todo x∈C. Ahora, tomando

pi = ( e pj e p1+···+pen+1 si i=ij 0 sii6=ij, para todo j. llegamos al resultado, pues P

i∈Ipi = 1 y P i∈Ipifi(x) = 1 e p1+···+epn+1 Pn+1 j=1 pejfij(x) > 0 para todo x∈C.

El segundo resultado tiene especial interés porque da una condición suciente para que una función denida en C×D satisfaga el teorema del minimax, esto es, tendremos una condición que garantice que el máximo del mínimo de una función es igual que el mínimo del máximo de la función, es decir, podremos intercambiar el orden del máximo y el mínimo. El teorema del minimax, publicado en 1928 por Von Newmann [18] es clave en el desarrollo de la teoría de juegos. La versión del teorema del minimax que presentamos aquí se debe a Sion [15].

Teorema 5.9 Sea f :Rm×

Rn−→R una función tal que: i Para cada y jo, la función f(·, y) es cóncava en Rm. ii Para cada x jo, la función f(x,·) es convexa en Rn.

(25)

Sean C ⊆ Rm,D ⊆ Rn dos conjuntos convexos y compactos. Entonces, se verica el teorema del minimax, esto es,

max

x∈C miny∈Df(x, y) = miny∈D maxx∈C f(x, y)

Demostración.

La función f(·, y) es cóncava en un compacto C, por lo que es continua y alcanza el máximo en C. Denotemos f∗(y) = maxx∈Cf(x, y). Es convexa y nita en D por ser el máximo de funciones convexas, por lo que será continua y alcanzará el mínimo en y¯∈D,

f∗(¯y) = min

y∈D max

x∈C

f(x, y).

Análogamente, la funciónf(x,·)alcanza el mínimo enDy denotamosf∗(x) = miny∈Df(x, y), que es una función cóncava, continua y que alcanza su máximo en x¯∈C,

f∗(¯x) = max

x∈C miny∈D f(x, y).

Sean α = f∗(¯x) y β = f∗(¯y). Tenemos que f∗(x) ≤ f(x, y) ≤ f∗(y). En particular,

tomando x= ¯x, y = ¯y, llegamos a α≤β.

Ahora, dado un >0, consideramos las funciones convexasgx(·) =f(x,·)−β+para todo x ∈ C. El sistema {gx(y) ≤ 0, x ∈ C} no tiene solución en D. Si ye∈ D fuese una

solución del sistema, se tendríaf(x,ye)≤β−para todo x∈C, por lo quef∗(ey)≤β−,

pero β = miny∈Df

(y)f(

e

y)≤β− que es una contradicción pues >0.

Por la proposición anterior, existen escalares no negativos, todos nulos salvo un número nito de ellos, tales que P

x∈Cpx = 1 y X x∈C pxgx(y) = X x∈C px(f(x, y)−β+) = ( X x∈C pxf(x, y))−β+ >0, ∀y∈D. Tomando xˆ=P

x∈Cpxx∈Cy teniendo en cuenta que es f(·, y)es cóncava, tenemos que

f(ˆx, y)≥X

x∈C

pxf(x, y)> β−, ∀y∈D.

De aquí, f∗(ˆx) = miny∈Df(ˆx, y)> β − y α = maxx∈Cf∗(x)≥ f∗(ˆx)> β − para todo

>0. Tomando límites cuando tiende a 0, llegamos a que α≥β.

Por tanto, α=β y maxx∈Cminy∈Df(x, y) = miny∈Dmaxx∈Cf(x, y).

(26)

6. Notas históricas

Eduard Helly nació en Viena en 1884 en una familia judía. Estudió en la Universidad de Viena y se doctoró en el año 1907. En 1913 probó el teorema que lleva su nombre y lo compartió con Radon. Sin embargo, en 1914 estalló la Primera Guerra Mundial y Helly se alistó en el ejército. En el frente fue herido de bala en el pulmón y capturado por los rusos. Pasó varios años entre hospitales y campos de prisioneros de guerra en Siberia. La guerra terminó en 1918, sin embargo, la dicultad para escapar de Rusia y el largo viaje a través de Japón y Egipto hizo que Helly no llegase a Viena hasta el año 1920. Un año más tarde se casó y fue nombrado Privatdozent en la Universidad de Viena. En 1923 publicó el teorema de Helly, posterior a las demostraciones de Radon y König. Helly y su mujer emigraron en 1938 a Estados Unidos después de que el ejército nazi ocupase Viena y fuese destituido por ser judío. Fue profesor en Nueva Jersey (Paterson Junior College y Monmouth Junior College) con el apoyo de Einstein y en el Instituto de Tecnología de Illinois. Murió en Chicago en 1943 de un ataque al corazón.

(27)

Referencias

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