1. [2014] [JUN-A] a) Dada la función f = x2y definida para x 0, y 0, encontrar el punto (x,y) que maximiza f sujeto a la rectricción x+y = 36.
b) Calcular: lim x+ 4x
2+6x-2x .
2. [2014] [JUN-B] Dada la función: f(x) = x2-16
x-5 , calcular: a) Dominio de f.
b) ¿Para qué valores de x es la función poositiva? c) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. [2013] [EXT-A] Tenemos que invertir en un fondo de inversión una cantidad de dinero mayor o igual que 1000 euros y menor o igual que 9000 euros. El beneficio B que se obtiene depende de la cantidad invertida x de la siguiente manera:
B(x) = x-1 si 1 x < 4 -x2+10x-21 si 4 x 9 donde tanto x como B(x) están expresados en miles de euros.
a) Estudiar la continuidad de la función B en el intervalo (1,9). b) ¿Para qué valores de x[1,9] el beneficio es positivo?
c) Encontrar el máximo valor que alcanza el beneficio con x[4,9]. 4. [2013] [JUN-B] Dada la función f(x) = x+2
x+1, determinar: a) Su dominio.
b) Sus cortes con los ejes.
c) Sus asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. d) Sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
5. [2011] [EXT-A] Calcule los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función f(x) = (x-2)2(x-1). Calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los de concavidad y convexidad.
6. [2011] [EXT-B] Determine el dominio de definición de la función f(x) = lnx
x . Halle sus intervalos de concavidad y convexidad, así como sus puntos de inflexión.
7. [2011] [JUN-A] Halle el dominio de definición, los máximos y los mínimos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = ln 1-x2 .
8. [2010] [EXT-A] a) Derive las siguientes funciones: f(x) = ln x3
x2+2; g(x) = x+ x+ x ; h(x) = e x2+1. b) Razone cuál es el dominio de definición de la función f(x) = 1
x2 +x
2. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de f. ¿Tiene algún punto de inflexión?
9. [2010] [EXT-B] a) Derive las siguientes funciones: f(x) = xln x+ x ; g(x) = ex3ln x2+1 ; h(x) = ln ex+ x-1 x . b) Considere la función: f(x) = x+1 si -1 x 3 2x x2-6 si 3 < x 10 b1) Estudie la continuidad de f en x = 3.
10. [2010] [JUN-A] a) Derive las siguientes funciones: f(x) = ln2x-ln(lnx); g(x) = ln x2
x+3; h(x) = e
3x-5+lnx 3x+5. b) Razone cual es el dominio de la función f(x) = 1
x2-x-6. Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de f en su dominio.
11. [2010] [JUN-B] a) Derive las siguientes funciones: f(x) = 3x3 -3 2x x3 ; g(x) = ln3x 2 x-5; h(x) = e5x+ x+1 x-1. b) Dada la función f(x) = x 2+1 si x 2 x+3 x2-3 si x > 2
, estudie la continuidad de f en x = 2. Analice el crecimiento de la función f (x) si x > 2. ¿Tiene f algún máximo o mínimo relativo si x > 2?
12. [2009] [EXT] a) Derive las funciones f(x) = x2+4
x-2, g(x) = (x-5) 2lnx. b) Sea la función f(x) = x 2+1 si x(-2,2) x+2 x-1 si x[2,4] . b1) Razonar si f es continua en x = 2 y x = 4.
b2) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) para los valores x(-2,2).
13. [2009] [EXT] a) Derive las funciones f(x) = (1-x)3ex, g(x) = x+8x2+ 1
x, h(x) = 3x + xx-2.
b) Razone a qué es igual el dominio de la función g(x) del apartado anterior y calcule sus intervalos de convavidad y convexidad, así como sus puntos de inflexión.
14. [2009] [JUN] a) Derive las funciones f(x) = 4 x-lnx2, g(x) = (x-1)ex2, h(x) = x6 3-x3.
b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de x, si existen, para los que la función f(x) del apartado anterior alcanza un máximo o mínimo absoluto.
15. [2009] [JUN] a) Derive las funciones f(x) = ln x, g(x) = x2 5-x3 , h(x) = 35x-1.
b) La demanda de un bien conocido su precio, p, viene dada por f(x) = 40p-p2 si 20 p 30 600-10p si 30 < p 40.
Represéntala. A la vista de su gráfica diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y la mínima demanda y para cuáles la demanda es mayor que 375 unidades.
16. [2008] [EXT] a) Derive las funciones f(x) = 2x-2
x+1, g(x) = 1-5x4.
b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los intervalos de concavidad y convexidad de la función f(x) del apartado anterior, así como los puntos de inflexión.
17. [2008] [EXT] a) Derive las funciones f(x) = x-8x2+ 9
x ; g(x) = (2x-1)2lnx. b) Sea la función f(x) =
3
x + x3 si x(-6,-1) x-1 si x[-1,4]
b1) Razone si f(x) es continua o discontinua en x = -1 y en x = -4.
18. [2008] [JUN] a) Derive las funciones f(x) = x2ln(1-x), g(x) = x2
8 - 8x2, h(x) = 22x-1.
b) La velocidad (en metros/minuto) de un juguete viene dada por V(t) = 10t-t2 si t[0,2][8,10]
16 si t(2,8) , siendo la variable t el número de minutos transcurridos desde que se pone en marcha.
b1) Represente la función velocidad.
b2) A la vista de la gráfica, diga cuál es la velocidad máxima y en qué momento o momentos se alcanza.
b3) Calcule la velocidad del juguete pasados 30 segundos desde su puesta en marcha. ¿Hay algún otro momento en el que lleva la misma velocidad?
19. [2008] [JUN] a) Derive las funciones f(x) = 7x-x2+ 9
x, g(x) = (1-x)2ex, h(x) = 1 (x+1)20.
b) Razone a qué es igual el dominio de la función f(x) del apartado anterior y diga los puntos en los que alcanza máximo o mínimo relativo.
20. [2007] [EXT-A] a) Derive las funciones f(x) = x2
3x2+1, g(x) = x 5-x
2 4, h(x) = 5 lnx. b) La oferta de un bien conocido su precio, p, es S(p) = 30p+200 si 0 p 10
p2-60p+1000 si 10 < p 40.
Represéntela y a la vista de su gráfica, diga para qué valor del precio se alcanza la máxima y mínima oferta y para cuáles la oferta es menor que 200 unidades.
21. [2007] [EXT-B] a) Derive las funciones f(x) = x
6 -8x2+ 1x, g(x) = xln x, h(x) = xe3x.
b) Razone a qué es igual el dominio de la función f(x) y calcule los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de dicha función.
22. [2007] [JUN-A] a) Derive las funciones f(x) = 2 x-lnx, g(x) = 6-x5
x6 , h(x) = e x3.
b) Razone a qué es igual el dominio y calcule los valores de x, si existen, para los que f(x) alcanza máximo o mínimo relativo.
23. [2007] [JUN-B] a) Derive las funciones f(x) = x3
4 -8, g(x) = x3, h(x) = x2-ex. b) Diga si la función m(x) = f(x) si 0 x 4
g(x) si x > 4 es continua en x = 4.
c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función m(x) en x = 9.
24. [2006] [EXT-A] Se considera la función f(x) = x2
a-bx, siendo a y b parámetros reales.
a) Determie los valores de los parámetros a y b para los que f(2) = -4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 6 es horizontal.
b) Para a = 1 y b = -1:
b1) Razone cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales.
b2) Determine los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x).
25. [2006] [EXT-B] En una fábrica la función costes es C(x) = x3-3·lnx, donde x > 0 es el número de toneladas que se producen. a) Calcule el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste.
b) Si la función de ingresos es: I(x) = x3+12x, escriba la función de beneficios.
c) Calcule los intervalos en que la función de beneficios es creciente o decreciente y diga si existe beneficio máximo y, en caso afirmativo, el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.
26. [2006] [JUN-A] Se considera la función f(x) = ax3+b·lnx, siendo a y b parámetros reales. a) Determine los valores de a y b sabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) se anula en x = 1. b) Para a = 4
3 y b = 1, determine los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x). c) Para a = b = -2, calcule lim
x+f(x) = limx0f(x).
27. [2006] [JUN-B] Se considera la función f(x) = x2+a eax, siendo a un parámetro real. a) Razone a qué es igual el dominio de f(x).
b) Determine el valor de a para que la gráfica de f(x) pase por el punto (0,-4).
c) Para a = -2, determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). ¿Existen máximos y mínimos relativos de f(x)? En caso afirmativo decir dónde se alcanzan y su valor.
28. [2005] [EXT-A] Se considera la función f(x) = - x4
2 +5x3-18x2+28x+9.
a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos. b) Determine los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión. c) Escriba la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = 1.
29. [2005] [EXT-B] Sea f(x) = x
2-2 si x < 0 2x-1
x+a si x 0 .
a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) es continua en x = 0? b) Para a = 1
2 calcule los intervalos de crecimiento, decrecimiento, convavidad y convexidad de f(x). c) Para a = 2 compruebe si x = 1
2 es asíntota vertical de f(x).
30. [2005] [JUN-A] Se considera la función f(x) = a·lnx+x3, siendo a un parámetro real. a) Escriba el dominio de definición de f(x).
b) Compruebe si hay algún valor de a para el que f(x) tiene un punto de inflexión en x = 1.
c) Para a = -3, calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de la función f(x). d) Para a = 1 calcule lim
x+f(x) y limx0f(x).
31. [2005] [JUN-B] Se sabe que la función de beneficios de una empresa es de la forma B(x) = ax+b x, siendo x el número de unidadeds producidas y a, b parámetros reales.
a) Calcule, si existen, los valores de los parámetros a y b para que una producción de x = 100 proporcione un beneficio de 50 unidades monetarias y que además sea el máximo que se puede obtener.
b) Para a = -1 y b = 16, calcule las cantidades que se han de producir para que el beneficio aumente o disminuya (intervalos de crecimiento y decrecimiento) y los puntos de inflexión de f(x), si existen.
32. [2004] [EXT-A] Se considera lka función f(x) = 2x x+5. a) Razonar a qué es igual el dominio de definición de f(x).
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x).
c) Determinar los intervalos de concavidad y de convexidad de f(x) y los puntos de inflexión.
d) Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x = -3 sea y = ax+b. 33. [2004] [EXT-B] Se considera la función f(x) = x3+ax2+bx+2, con a y b parámetros reales.
a) ¿Existen valores de a y b para los que f(x) tenga un máximo en x = 1 y un mínimo en x = -1? b) Determinar los valores de a y b para que f(x) tenga un punto de inflexión en (2,-1). c) Para a = b = 1, ¿existen asíntotas verticales de f(x)? ¿Y asíntotas horizontales?
34. [2004] [JUN-A] Sea f(x) = x
3-3x+2 si x < 3 10
a-x si x 3 .
a) Calcular los valores del parámetro a para los que f(x) es continua en x = 3. b) Para a = 0 calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). c) Para a = 4 calcular las asíntotas verticales y horizontales de f(x). 35. [2004] [JUN-B] Sea f(x) =xe-ax, con a un parámetro real.
a) Calcular los valores del parámetro a para que f(x) tenga un máximo o un mínimo para x = 3. Para esos valores del parámetro decir si x = 3 es un máximo o un mínimo.
b) Para a = -2 escribir los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad de f(x).
36. [2003] [EXT-A] Se considera la función f(x) = x2 4-x. a) Calcular su dominio de definición. Razonar la respuesta.
b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x). Razonar si existen máximos y mínimos de f(x) y en caso afirmativo, decir cuáles son.
c) Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de f(x). Razonar si existe punto de inflexión.
37. [2003] [EXT-B] Sea f(x) = x
2+ax si x < 2 2
x si x 2 .
a) Calcular los valores del parámetro a para los que f(x) es continua en x = 2.
b) ¿Para qué valor del parámetro a f(x) tiene un máximo o un mínimo en x = -1? Determinar si es máximo o mínimo. c) Para a = 4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).
38. [2003] [JUN-B] El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene dado por la función p(q) = 1000+3q
2q .
a) Demostrar que al aumentar la cantidad ofertada disminuye el precio.
b) Decir cuál será el precio de ese bien si la cantidad que hay en el mercado es ilimitada, por ejemplo si se puede importar cualquier cantidad, por grande que sea.
c) Escribir, en función de la cantidad ofertada, los ingresos que genera ese bien, si se vende toda la cantidad que hay en el mercado.
d) Calcular el precio para el que una empresa maximiza sus beneficios, suponiendo que es la única que ofrece ese bien y que los costes vienen dados por la función C(q) = 4(q+100)-150lnq.
Soluciones 5. crec: -,4
3 (2,+); conv: 53,+ ; max: 43; min: 2; p.i: 53 6. D: (0,+); conv: e3/2,+ ; p.i: e3/2 7. D: (-1,1); max: 0; crec: (-1,0) 8. a)
2x4+6x2 x2+2 x2+2; 2 x+1 4 x2+x x; xe x2+1 x2+1 b) -{0}; min: 1; no 9. a) ln x+ x + x 2 x+1 2 x x+ x ; 3x 2ex3ln x2+1 + 2xex3 x2+1; 2x2ex x-1 x +1 2x2 x-1 x ex+ x-1 x b) cont; y = 11x+25y-64 = 0. 10. a) 2lnx x - 1xlnx; 3x+2 2x(x+3); -3xe3x(3x+5)2-3x-5+15x+3xlnx 2x(3x+5)2 e3x- 5+lnx 3x+5 b) -}-2,3}; max: 1 2 11. a) -7 32 x26x; x-10x(x-5); e 5x5ln5- 2 (x+1)2 x+1 x-1 b) cont; decr; no 12. a) x2-4x-4 (x-2)2 , 2(x-5)lnx+ (x-5) 2 x b) cont: 4; crec: (0,2) 13. a) (1-x)2(-2-x)ex; 16x3+x2-1
x ; -4x 2+8x-8
x2(x-2)2 b) dom: - {0}; conv: -,-12 (0,+); p.i: -12 14. a) 2 x-2x ; 2x
2-2x+1 ex2; -3x8+18x5 3-x3 2 b) Dom: (0,+); min: 1 15. a) 1 2x; 10x-5x4; 35x-1·5·ln3 b) max: 20; min: 40; [20,25) 16. a) 4(x+1)2; -10x3 1-5x4 b) - {1}; conv: (-,1) 17. a) 1-16x- 9x2 ; 4(2x-1)lnx+ (2x-1) 2 x b) cont en -4;
crec: (-6,-3) 18. a) 2xln(1-x)- x2 1-x; x 4+64 4x3 ; 22x-1·2·ln2 b) 4 8 16 -4 4 8 12 16 X Y
; 16 m/min a las 2h; 4'75 m/min, a las 9'5 19. a) 7x2-2x3-9
x2 ; x2-1 ex; -20(x+1)21 b) - {0}; max: -1, 3; min: 3 2 20. a) 2x 3x2+1 2 ; 5-9x2 5-x2 3; 5 2x lnx b) 100 250 -50 50 150 250 350 X Y
max: 10; min: 30; menos de 200 en (20,40) 21. x2-96x3-6
6x2 ; lnx-1ln2x; (1-3x)e3x b) dom: - {0}; conv: 0, 1 2 ; p.i: 12 22. a) x-1x ; x 5-36 x7 ; 3x 2ex3 b) D(f) = (0,+); min: 1 23. a) x2
4; 3 x2 ; 2x-ex b) si c) y = 92x- 272 24. a) -3, -1 b) Dom: - {-1}; a.v: x = -1; conv: (-1,+) 25. a) 1, 1 b) 12x+3lnx c) crec: (0,+) max: no 26. a) 2, -6 b) conv: 1
2,+ ; p.i: 12 c) +, + 27. a) b) -4 c) crec: (-1,2); max: -1,-e2 ; min: 2,e-4 28. a) crec: -,7
2 ; min: 72 b) conv: (2,3); p.i: 2, 3 c) y = 5x+ 372 29. a) 12 b) crec: (0,+); conv: (-,0) c) no 30. a) (0,+) b) 6 c) crec: (1,+); min: 1 d) +, - 31. a) -1
2, 10 b) crec: (0,64) 32. a) - {5} b) crec: c) conv: (-,-5); d) 52, 92 33. a) 0, -2 b) -6, 132 c) no, no 34. a) 72 b) crec: (-,-1)(1,+) c) x = 4; y = 0 35. 1 3; mínimo b) crec: -1