12-transformaciones-lineales-general

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´

Algebra Lineal

Tema 12 - Transformaciones Lineales en

Abstracto

Daniel Cabarcas Jaramillo

Escuela de Matem´aticas

Universidad Nacional de Colombia, Medell´ın

Medell´ın, 6 de octubre de 2015

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Contenido

Transformaciones Lineales

Composici´on e Inversa

Nucleo e Imagen

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Transformaciones Lineales

Definici´on

Unatransformaci´on linealde un espacio vectorial V a un espacio vectorial W es una funci´on T :V →W tal que para todo

u,v ∈V y todo c ∈R

1. T(u+v) =T(u) +T(v) 2. T(cu) =cT(u)

´

o equivalenetemente si para todou,v∈V y todo c,d ∈R

T(cu+dv) =cT(u) +dT(v)

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Transformaciones Lineales

Definici´on

Unatransformaci´on linealde un espacio vectorial V a un espacio vectorial W es una funci´on T :V →W tal que para todo

u,v ∈V y todo c ∈R

1. T(u+v) =T(u) +T(v) 2. T(cu) =cT(u)

´

o equivalenetemente si para todou,v∈V y todo c,d ∈R

T(cu+dv) =cT(u) +dT(v)

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Ejemplos de Transformaciones Lineales

I SiAes una matriz m×n, entoncesT :Rn→Rm definida por

T(x) =Ax es una transformaci´on lineal

I T :Mnn→Mnn definida porT(A) =AT es una transformaci´on lineal

I D :P_n→ Pn−1 definida porD(p) =p0 es una transformaci´on

lineal

I S :P_n→ P_n₊₁ definida por S(p) =Rx

0 p(x)dx es una

transformaci´on lineal

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Ejemplos de Transformaciones Lineales

lineal

0 p(x)dx es una

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Ejemplos de Transformaciones Lineales

lineal

0 p(x)dx es una

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Ejemplos de Transformaciones Lineales

lineal

0 p(x)dx es una

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Composici´

on e Inversa

Teorema

Si T :U →V y S :V →W son transformaciones lineales, entonces S◦T :U →W tambi´en es una transformaci´on lineal.

Definici´on

Una transformaci´on lineal T :V →W esinvertiblesi existe una transformaci´on lineal T0 :W →V tal que T0◦T =IV y

T◦T0 =IW. A T0 se le llama la inversa de T y se denota por T−1.

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Composici´

on e Inversa

Teorema

Si T :U →V y S :V →W son transformaciones lineales, entonces S◦T :U →W también es una transformación lineal. Definición

Una transformaci´on lineal T :V →W esinvertiblesi existe una transformaci´on lineal T0 :W →V tal que T0◦T =IV y

T◦T0 =IW. A T0 se le llama la inversa de T y se denota por T−1.

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Efecto en Generadores

Teorema

Sea T :V →W una transformaci´on lineal yB={v1, . . . ,vn}un conjunto generador de V . Entonces para v ∈V , existen escalares c1, . . . ,cn tales que v =c1v1+· · ·+cnvn y por tanto

T(v) =c1T(v1) +· · ·+cnT(vn).

Luego T(B) ={T(v1), . . . ,T(vn)}genera la imagen de T .

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Nucleo e Imagen

Definici´on

Sea T :V →W una transformaci´on lineal. El nucleo(kernel) de T es el conjunto de todos los vectores de V que se mapean a0. Esto es

nucleo(T) ={v ∈V :T(v) = 0}

Laimagen(rango) de T es el conjunto de todos los vectores de W que son imagen de alg´un vector de V . Esto es

im(T) ={w ∈W :w =T(v) para alg´un v ∈V}

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Rango y Nulidad

Teorema

Sea T :V →W una transformaci´on lineal. Entonces el nucleo de T es un subespacio de V , y la imagen de T es un subespacio de W .

Definici´on

Sea T :V →W una transformación lineal. El rangode T es la dimensión de la imagen de T y la nulidadde T es la dimensión del nucleo de T .

Teorema (del Rango)

Sea T :V →W una transformaci´on lineal, con V y W espacios vectoriales de dimensi´on finita. Entonces

rango(T) + nulidad(T) = dim(V)

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Rango y Nulidad

Teorema

Definici´on

Teorema (del Rango)

(15)

Rango y Nulidad

Teorema

Definici´on

Teorema (del Rango)

(16)

Inyectividad y Sobreyectividad

Definici´on

Sea T :V →W una transformaci´on lineal.

I T se diceinyectiva si u6=v implica T(u)6=T(v) I T se dicesobreyectivasi im(T) =W .

Teorema

Una transformaci´on lineal T es inyectiva si y solo si nucleo(T) ={0}

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Inyectividad y Sobreyectividad

Definici´on

Sea T :V →W una transformaci´on lineal.

I T se diceinyectiva si u6=v implica T(u)6=T(v) I T se dicesobreyectivasi im(T) =W .

Teorema

Una transformaci´on lineal T es inyectiva si y solo si nucleo(T) ={0}

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Inyectividad y Sobreyectividad (1)

Teorema

Sea T :V →W una transformaci´on lineal inyectiva. Si S ={v1, . . . ,vk}es un conjunto LI en V , entonces T(S) ={T(v1), . . . ,T(vk)}es un conjunto LI en W . En

particular, sidim(V) = dim(W) y S es base de V , entonces T(S) es base de W .

Teorema

Una transformaci´on lineal T es invertible, si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

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Inyectividad y Sobreyectividad (1)

Teorema

Sea T :V →W una transformaci´on lineal inyectiva. Si S ={v1, . . . ,vk}es un conjunto LI en V , entonces T(S) ={T(v1), . . . ,T(vk)}es un conjunto LI en W . En

particular, sidim(V) = dim(W) y S es base de V , entonces T(S) es base de W .

Teorema

Una transformaci´on lineal T es invertible, si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.

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Isomorfismos y Dimensi´

on

Definici´on

A una transformaci´on lineal invertible se le llamaisomorfismo.

Definici´on

Si V y W son espacios vectoriales tales que existe un isomorfismo entre ellos, decimos que V y W sonisomorfos. Se denota V ∼=W . Definici´on

Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´on finita. Entonces V es isomorfo a W si y solo sidim(V) = dim(W).

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Isomorfismos y Dimensi´

on

Definici´on

A una transformaci´on lineal invertible se le llamaisomorfismo. Definici´on

Si V y W son espacios vectoriales tales que existe un isomorfismo entre ellos, decimos que V y W sonisomorfos. Se denota V ∼=W .

Definici´on

(22)

Isomorfismos y Dimensi´

on

Definici´on

A una transformaci´on lineal invertible se le llamaisomorfismo. Definici´on

Si V y W son espacios vectoriales tales que existe un isomorfismo entre ellos, decimos que V y W sonisomorfos. Se denota V ∼=W . Definici´on