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FÍSICA TEÓRICA 1 2do. Cuatrimestre de 2020 ELECTROMAGNETISMO

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(1)

FÍSICA TEÓRICA 1−2do. Cuatrimestre de 2020

PRÁCTICA DEL

11/11:

GUÍA

7 - R

ELATIVIDAD ESPECIAL Y FORMULACIÓN COVARIANTE DEL ELECTROMAGNETISMO

Introducción: cinemática relativista

4-vector posición en un sistema de referenciaS:

xµ= x0, x1, x2, x3= (ct,x) ; x= (x, y, z)

donde el índice griego toma valoresµ= 0,1,2,3.

Una transformación de Lorentz relaciona 4-vectores en S con 4-vectores en otro sistema de referencia incercialS0:

x0µ=Lµνxν

Al cambiar a un sistemaS0 que se mueve con velocidad constantev=vzˆrespecto aS(boost en z), tenemos que la transformación de Lorentz se puede escribir en forma de matriz como

Lµν =     γ 0 0 −γ β 0 1 0 0 0 0 1 0 −γ β 0 0 γ     con γ = p 1 1−β2 β = v c de manera que: ct0 = γ(ct−β z) x0 = x y0 = y z0 = γ(z−β ct)

Producto escalar entre 4-vectores:

Tensor métrico de Minkowski:

gµν =ηµν =     1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1    

(2)

producto entre los 4-vectoresAµyBµ: A·B ≡ convención de Einstein z }| { AµηµνBν ≡Aµ Bµ |{z} ≡ηµνBν = A0B0−A1B1 −A2B2−A3B3 = A0B0+A1B1+A2B2+A3B3

Si tomamos el producto del diferencialdxµconsigo mismo, obtenemos el intervalo

(dx)µηµν(dx)ν =c2dt2−dx2 ≡ds2

El diferencial de tiempo propio de una partícula calculado en las coordenadas del sistemaSqueda definido a partir del intervalo invariante como:

dτ =ds/c=pdt2dx2/c2 =dtp1u2/c2 =dt/γ

u , γu =

1

p

1−(u/c)2

dondeu=dx/dtes velocidad de la partícula medida enS. El tiempo propio es positivo y si la partícula está en movimiento respecto aS, entoncesdτ < dt(el tiempo coordenadot, interpretado según del sistemaS, es una dilatación del tiempo propioτ de la partícula en movimiento). Se define la 4-velocidad de una partícula en el sistemaScomo uµ = dx µ dτ = c dt dτ, dx dτ = dt dτ c ,dx dt = γu (c ,u), u: velocidad de la partícula enS; γu = 1 p 1−(u/c)2 Observación:

(i) En el límite no relativista

γu '1 +

β2

2 +O[β

4]

Se define el 4-vector momento como

pµ=m uµ

De forma tal que en el límite no relativista obtenemos

pµ '

EN R

c , mu

+O[β3], dondeEN R =m c2+ m2 u2 es la energía cinética no relativista.

La componente “cero” del 4-momento esp0 =m u0 =m c γ

u =E/c, dondeE es la energía relativista de la partícula. Cuando la velocidad es nula se recupera el famoso resultado de la energía en reposo:E =m c2.

(3)

Transformación de las velocidades:

Dada una partícula que se mueve con velocidadu = (ux, uy, uz)enS y que viaja dexµ1 ax

µ

2, definimos

la diferencia entre éstos dos eventos (sucesos) enScomo∆xµ=xµ

2−x

µ

1, de modo que en el sistema inercial

S0 tenemos

c∆t0 =γ(c∆t−β∆z) ; ∆x0 = ∆x; ∆y0 = ∆y; ∆z0 =γ(∆z−β c∆t)

Podemos calcular la velocidad de la partícula medida en el sistemaS0, que se mueve con velocidadv= vzˆ

respecto aS, a partir de hacer

u0x = ∆x 0 ∆t0 = ∆x γ(∆t−β∆z/c) = ux γ(1−β uz/c) (1) u0y = uy γ(1−β uy/c) (2) u0z = ∆z 0 ∆t0 = γ(∆z−β c∆t) γ(∆t−β∆z/c) = uz−v 1−β uz/c (3)

Si la partícula es un fotón, que se mueve a la velocidad de la luz, también podemos usar la ley de transforma-ción de velocidades obtenida. Si, por ejemplo, la luz viaja en Scon velocidad u = czˆ=⇒ u0x =u0y = 0y

u0z = 1c−v−β =c, y se mueve con la velocidad de la luz también enS0.

Problema 1: El cielo relativista

El observadorO0 se mueve con velocidad relativavrespecto deO. En cierto instante, los dos observadores

coinciden en el mismo punto del espacio. En ese momento, los dos reciben luz proveniente de una misma estrella muy lejana. Ambos observadores eligen su eje z en la dirección de v, de modo que escribirán el vector de la velocidad de la luz recibida según expresiones análogas:

Para el observadorOla luz llega con velocidad

cO =− cosϕsinθxˆ+ sinϕsinθyˆ+ cosθzˆ

| {z }

ˆ k

c≡ckˆ

Para el observadorO0 la luz llega con velocidad

cO0 =− cosϕ0 sinθ0 xˆ+ sinϕ0 sinθ0 yˆ+ cosθ0 zˆ

| {z }

ˆ k0

c≡cˆk0

(4)

Los observadores O y O0 son el origen de los sistemas de referencia inercialesS yS0. Podemos elegir quet = t0 = 0cuando ambos coinciden en el mismo punto espacial, y queS0 viaja con velocidadv = vzˆ

respecto aS.

(a) Si O recibe la luz según la dirección definida por los ángulos θ y ϕ, aplicando las fórmulas de transformación de velocidades, muestre que, segúnO0, la luz proviene de la dirección definida por los ángulos

ϕ0 =ϕ, cosθ0 = cosθ+β

1 +βcosθ (β=v/c)

Usando la expresión (3) para las componentes enzdecO ycO0 tenemos

−ccosθ0 = −ccosθ−v

1−β(−ccosθ)/c =⇒ cosθ

0

= cosθ+β 1 +βcosθ

Escribiendosinθ0 = (1−cosθ02)1/2y usando la relación de arriba entre los cosenos se obtiene, también, que

sinθ0 = sinθ

γ(1 +βcosθ) (4)

Por otro lado, usando (1) y (2), tenemos

sinθ0cosϕ0 = sinθcosϕ

γ( 1 +βcosθ); sinθ

0

sinϕ0 = sinθsinϕ

γ( 1 +βcosθ) =⇒tanϕ

0

= tanϕ

y reemplazando (4) en las expresiones de acá arriba vemos quecosϕ0 = cosϕysinϕ0 = sinϕ, por lo tanto

ϕ=ϕ0 .

(c)Deduzca lafórmula de aberración relativistaque relaciona las tangentes de los angulos:

tanθ 0 2 = s 1−β 1 +β tan θ 2.

Debemos usar las fórmulas generales,

(5)

para escribir: tanx 2 = r 1−cosx 1 + cosx

Entonces tenemos que

tanθ 0 2 = r 1−cosθ0 1 + cosθ0

(reemplazarcosθ0 como en ítem (a))

= s 1 +βcosθ−cosθ−β 1 +βcosθ+ cosθ+β = s 1−β 1 +β r 1−cosθ 1 + cosθ = s 1−β 1 +β | {z } factor de escala tan θ 2 (5) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0β 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1-β 1+β π 2 π θ 2 4 6 8 tan θ 2

(d)Aplique la fórmula anterior para valores particulares del ánguloθ. Por ejemplo,θ = 0,14π, 12π, π. En especial, muestre que todas las estrellas en el hemisferio0≤θ ≤ 1

2π deO estarán concentradas, segúnO

0,

en cierto cono alrededor del ejez. ¿Qué pasa cuandoβ se acerca a1?

El factor de escala que aparece es una función monótona de β, al igual que la tangente en función deθ, por lo que rayos que llegan entre dos ángulos θ1 < θ2 se ven en S0 respetando la misma relación de orden

θ10 < θ20

(6)

Casoθ=π/4: tanθ 0 2 = s 1−β 1 +β '0,4 z }| { tanπ/4 2 ' s (1−β)(1 +β) (1 +β)2 0,4 ' 0,4 γ(1 +β) =⇒θ 0 6π/4 Casoθ=π/2: tanθ 0 2 = s 1−β 1 +β =1 z }| { tan π/2 2 61 =⇒θ 0 6π/2 = 1 γ(1 +β) Paraβ >0tenemos Límite no relativista: β1(γ →1)=⇒θ0 ' π 2 −β

Límite ultra relativista:β →1−(γ → ∞)=⇒γ 1 =⇒θ0 '1/γ

(7)

(f) A partir de los resultados anteriores, discuta cualitativamente cuál sería el aspecto de la bóveda celeste para un observador que pasara cerca de la Tierra moviéndose a una velocidad relativista.

(g) El archivo adjunto∗ contiene las orientaciones de las 1000 estrellas más brillantes vistas desde la Tierra. Con esas estrellas, construya el mapa celeste para un observador relativista. Repita el experimento para valores crecientes dev. ¿Se comprueban o desmienten sus primeras intuiciones?

Un ejemplo de lo que debe obtenerse para el cielo del observador O0

en las vecindades de la Tierra: O0 se mueve en dirección a la estrella polar, con la velocidad indicada en cada caso. La sección sombreada abarca las estrellas del hemisferio superior del cielo de un observador en la Tierra. Se ha trazado el contorno de la constelación de Orión.

v = 0 v = 0.25c v = 0.5c v = 0.75c v = 0.99c v = 0.99999c

La perspectiva de un observadorO0

que aumenta su velocidad sería algo así:

Estrellas random con aceleración constante

Catálogo de estrellas con aceleración hiperbólica

http://materias.df.uba.ar/ft1a2015c2/files/2015/11/catalogo_de_estrellas.rar. El

(8)

(b)Deduzca las mismas expresiones de aberración de la dirección de la luz a partir de la transformación

delcuadrivector número de onda.

———

Nos apartamos del problema en cuestión para preguntarnos:

¿Cuál debería ser el cuadrivector que expresa la cinemática de la radiación electromagnética? Es decir, que contenga a la información de la velocidad de la luz.

Podemos pensar en una onda plana para tratar de motivarlo. Si en el sistemaStenemos:

E =Re[E0ei(ω t−k·x)]

En un sistemaS0 tendremos:

E0 =Re[E00ei(ω0t0−k0·x0)]

A partir de la definición del vector posiciónxµ = (ct,x), definimos:

4-vector número de onda: kµ =

ω

c ,k

de forma tal que lo que queda en el argumento de la fase oscilatoria de la onda plana es un producto escalar entre dos 4-vectores, y es un invariante:kµx

µ=k0µx0µ.

E=E0eik

µ

E0 =E00eik0µx0µ

El requisito de que la fase no cambie según se mida desde un sistema inercial u otro está bien motivada, por ejemplo, por el siguiente argumento: Si pensamos a las crestas (positivas o negativas) de la onda plana como pulsos discretos de una señal electromagnética, emitidas por una fuente dada, los observadores fijos a dos sistemas distintos deben medir la misma cantidad de pulsos (o crestas) en el siguiente experimento:

Tomamos dos sistemas inercialesSyS0, conS0 moviéndose a velocidadv =vxˆrespecto aS. A tiempo

t=t0 = 0un observadorO0

fijo al origen deS0pasa por el origen deSdesde donde se emite un primer pulso (cresta de la onda plana) en la direcciónx. Ese primer pulso es registrado porO0. Un observadorOen reposo enS está en la posiciónx=xOy mide ese mismo pulso en un tiempot1 =xO/csegún su sistema. Al cabo de un tiempotn, segúnS, los observadores se encuentran. Para el observador fijo aS0, el tiempo coordenado (que es igual a su tiempo propio) est0nen el momento del encuentro.

(9)

La fuente siguió emitiendo la misma onda plana (coherente) desde el origen deSdurante todo el experimento. El observadorO en reposo en S mide una cantidadn de pulsos entre los tiempost = 0 ytn, donden está dado por las crestas de la onda plana que representa los pulsos, según la fase esto es:

φn=ω tn−k xO =π(n−1) (=⇒t1 =k xO/ω=xO/c)

El observador O0 en reposo en S0, que viaja a velocidad constante visto desde S, mide una cantidad n0 de puslos entre los tiempost0 = 0yt0n, donden0está dado, análogamente, por:

φ0n=ω0t0n−k0x0O0 =π(n0−1) (=⇒t01 =k0x0O0/ω = 0) Si a tiempotndeSlos observadores se encuentran (o, equivalentemente,t0ndeS

0

los observadores coinciden en el mismo lugar) entonces necesariamente tienen que haber recibido la misma cantidad de pulsos, es decir:

n=n0, y por lo tanto:

ω tn−k xO =ω0t0n−k0x0O0

o, escrito para posiciones y tiempos generales (pues somos libres de hacer el experimento mental con las ondas que queramos y en las posiciones que elijamos), tenemos que:

kµxµ=k0µx0µ

——-Habiendo definido el 4-vector número de onda, volvemos al problema 1, ítem (b).

EnS: kµ = (k0,k), k0 = ω c , k = ω c ˆ k = ω c 1,ˆk = ω

c (1,−cosϕ sinθ,−sinϕ sinθ,−cosθ)

EnS0: k0µ = (k00,k0), k00 = ω 0 c , k 0 = ω 0 c ˆ k0 = ω 0 c 1,kˆ0 = ω 0 c (1,−cosϕ 0

(10)

La transformación de Lorentz de un 4-vector desdeSaS0(boost enz), establece que para elkµtenemos:

Componente “cero” (temporal): k00 = ω

0 c =γ k0 −β k3 =γω c −β ω c ˆ kz =γ ω c 1−βˆkz =γ ω c (1 +β cosθ) Componente “1” (direcciónx): k01 = ω 0 c ˆ kx0 =−ω 0 c sinθ 0 cosϕ0 =k1 = ω c ˆ kx =−ω c sinθcosϕ Componente “2” (direccióny): k02 = ω 0 c ˆ k0y =−ω 0 c sinθ 0 sinϕ0 =k2 = ω c ˆ ky =−ω c sinθsinϕ

(11)

Componente “3” (direcciónz): k03 = ω 0 c ˆ kz0 =−ω 0 c cosθ 0 =γ k3−β k0 =γω c ˆ kz−β ω c =γ ω c ˆ kz−β =−γ ω c (cosθ+β)

Podemos escribir el 4-vector número de onda en el sistemaS0 como:

k0µ= ω c γ 1−βˆkz | {z } ω0 c 1, ˆ kx γ 1−βkˆz , ˆ ky γ 1−βˆkz , ˆ kz−β 1−βˆkz | {z } ˆ k0

Por lo tanto identificamos que

ω0 =ω γ 1−βˆkz

=ω γ (1 +β cosθ)

y la dirección del vector de ondakˆ0 enS0 es

ˆ k0 = − cosϕ0 sinθ0 z }| { cosϕsinθ γ (1 +β cosθ) , sinϕ0 sinθ0 z }| { sinϕ sinθ γ (1 +β cosθ) , cosθ0 z }| { cosθ+β 1 +β cosθ

recuperando las mismas fórmulas de aberración del ítem (a) donde trabajamos aplicando la transformación de los vectores velocidad espacial vistos desde cada sistema.

(12)

Problema 2

Sobre un espejo plano que se mueve con velocidadvparalela a su normal incide luz de frecuencia ωi con

un ángulo de incidenciaθi, como muestra la figura.

(a) Encuentre la relación entre el ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión. Analice el casov cy compare con el rebote de partículas no relativistas contra una pared en movimiento.

Vamos a usar un sistema alineado con la velocidad del espejo tal quev =vzˆ. Según la convención que usamos en el problema 1, donde usamos un ánguloθdesde el ejez, para la onda incidente tenemos que hacer

θ→π−θi

y análogamente para la reflejada. La estrategia será transformar hacia el sistema fijo al espejo (S0), donde se encuentra en reposo, para usar las propiedades cinemáticas habituales que conocemos de la guía 6. En el sistemaS0 sabemos que vale la Ley de Snell y que, allí, el ángulo reflejado es igual al incidente. Usando la fórmula de aberración podemos escribir el ángulo de incidencia en el sistemaS0como

tan π−θ0i 2 = tan π−θi 2 s 1−β 1 +β y aplicando la propiedad tan π−x 2 = cotx 2 obtenemos tan θ0i 2 = tan θi 2 s 1 +β 1−β

En el sistema donde el espejo está en reposo dijimos queθi0 =θr0, entonces tenemos el ángulo reflejado en el

S0 y podemos aplicar la transformación inversa (conβ0 =−β) para volver al sistemaS, esto es:

tan θi0 2 = tan θ0r 2 = tan θr 2 s 1 +β0 1−β0 = tan θr 2 s 1−β 1 +β Obteniendo finalmente tan θr 2 = 1 +β 1−β tanθi 2 ' (1 + 2v c) tan θi 2 siβ 1

(13)

Vemos que si el espejo se aleja (v > 0) =⇒ θr > θi, y si el espejo se acerca (v < 0) =⇒ θr < θi, como partículas rebotando contra una pared móvil.

(b) Encuentre la frecuencia de la onda reflejada. Para incidencia normal analice qué pasa cuandov c

y compare con lo que cabría esperar si, en lugar de luz, hubiera un flujo de partículas o de sonido contra una pared en movimiento.

La onda incidente enS tiene

i = ωi c (1,0,− sinθi,cosθi) Transformando aS0, la incidente es k0iµ = ωi c γ 1−βˆkz 1, ˆ kx γ 1−βkˆz , ˆ ky γ 1−βkˆz , ˆ kz−β 1−βkˆz = ωi c

γ (1−β cosθi), 0, −sinθi , γ(cosθi−β)

EnS0 el espejo está en reposo y valen las relaciones de cinemática que estudiamos en la guía 6: La onda se refleja con la misma frecuencia y vale la ley de Snell (el ánguloθi0 =θ0r)

kr0µ = ωi c

γ (1−β cosθi), 0, −sinθi , −γ(cosθi−β)

Finalmente puedo volver al sistema S a partir de la transformación inversa, desde S0, aplicada sobre este 4-vector k0rµ. Ahora debo usar un parámetroβ0 = −β, donde el signo menos da cuenta de que la velocidad del sistemaSrespecto aS0es−vzˆ.

krµ = γ(k0r0 −β0k0r3), kr01 , kr02 , γ(kr03−β0kr00), = ωi c γ(γ (1−β cosθi)−β 0

[−γ(cosθi−β]),0,− sinθi , γ([−γ(cosθi−β)]−β0γ (1−β cosθi) = ωi c γ 2 1 cosθ i+β2

,0,−sinθi , γ2 −cosθi+ 2β−β2 cosθi = ωi c γ 2 1−2β cosθi+β2 1,0, − sinθi γ2 (1 cosθ i+β2) ,−cosθi+ 2β−β 2 cosθ i 1−2β cosθi+β2

De donde se lee que la frecuencia de la onda reflejada es

ωr =ωiγ2 1−2β cosθi+β2

En la parte espacial obtenemos, de nuevo, relación de entre el ángulo de reflejado y el de incidencia aunque falta trabajarlo un poco para el despeje (ese trabajo ya lo hicimos para obtener la fórmula de aberración que usamos en el ítem (a))

Para incidencia normalθi = 0tenemos:

ωr =ωiγ2 1−2β+β2

=ωi

1−β 1 +β

(14)

Siβ 1se obtiene ωr'ωi 1−2v c

con el espejo alejándose (v >0) la onda rebota con menor energía, tal como esperaríamos para el caso de un flujo de partículas chocando contra una pared que se aleja. Si invertimos el movimiento del espejo (v < 0) obtenemos que el rebote es mas energético. Esto es lo mismo que obtenemos para el ondas sonoras, de allí la analogía y la denominación del efecto Doppler relativista.

Por último, para sentir un poco el efecto Doppler y de aberración relativista en primera persona les recomiendo experimentar un mundo con una velocidad de la luz mucho menor: en este juego.

Referencias

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