12 GEOMETRÍA
1- Dados el punto P(1,-1,0) y la recta
: 23 3 01 0
a) Determine la ecuación general del plano (Ax+By+Cz+D=0) que contiene al punto P y a la recta s.
b) Determine el ángulo que forman el plano : 2 1 0 y la recta s.
Aragón – 2014 – Opción A – Junio 2- Considere las rectas:
2 4 2
1 : 2 2
1 2 1
a) Determine la posición relativa de dichas rectas, según los diferentes valores de a. b) Si a = 2, determine el ángulo que forman las rectas r y s.
Aragón – 2014 – Opción B – Junio
3- a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta
: 32
Sea paralela al plano:
: 2 6 0
b) Determina la distancia del punto P=(2,1,1) a la recta cuando m=2. Aragón – 2014 – Opción A – Septiembre
4- a) Estudie la posición relativa de los planos:
: 0
: 3 21
b) Determine la ecuación de la recta perpendicular a π que pasa por el punto P=(1,0,1). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.
13 5- a) ¿Pueden existir vectores y tales que | | 2 y | | 3 y ∙ 8? Justifique la
respuesta.
b) Determine todos los posibles vectores " , 0, $% que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la recta
: 2 00
Aragón – 2013 – Opción A – Junio 6- Dadas las rectas:
: 2 3 1 : 1 2 2 2 a) Determine su posición relativa.
b) Calcule la distancia del punto P=(2,3,1) a la recta s. Aragón – 2013 – Opción B – Junio
7- a) Estudie la posición relativa de los planos:
: 2 3 1
&: 1
1 2
b) Encuentre la recta que pasa por el punto P=(0,1,1) y es perpendicular al plano π’. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.
Aragón – 2013 – Opción A – Septiembre 8- Dadas las rectas:
: '1 22 1 , ()* ' + 0
: 2 10
a) Estudie las posiciones relativas de las rectas según los diferentes valores de k. b) ¿Existen valores de k para los que las rectas son perpendiculares?
14 9- a) Hallar el plano que contiene a la recta v de ecuación paramétrica
: " , , % "2,1,3% ,"2,1,0% y es perpendicular al plano de ecuación x+z=2.
b) Probar que los vectores {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} forman una base de -. y dar las coordenadas del vector (1,-2,0) en la base anterior.
Aragón – 2012 – Opción A – Junio 10- Sea el haz de planos de ecuación
"1 % 0
Con parámetro real λ.
a) Hallar los planos del haz que pasan por el punto P=(1,1,1). b) Hallar los planos del haz cuya distancia al punto Q=(3,-2,1) es .√00 .
c) Hallar los planos del haz que cumplen, que el ángulo que forman con el eje OY tiene por seno el valor √11.
Aragón – 2012 – Opción B – Junio 11- Dado el punto P=(1,0,6) y la recta:
: 12 6
2
a) Encuentre la ecuación de la recta perpendicular a r que pasa por P y corta a la recta. b) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que contiene a la recta r
anterior y a la recta
&: 0
2 10
Aragón – 2012 – Opción A – Septiembre
12- a) Encuentre la ecuación general (Ax+By+Cz+D=0) del plano que es paralelo a la recta
: 21 43
Y que contiene los puntos P=(1,1,1) y Q=(3,5,0). b) Calcule el ángulo que forman las rectas siguientes:
: 22 4 1 &: 3
15 Aragón – 2012 – Opción B – Septiembre
13- a) Hallar la ecuación del plano paralelo a las rectas de ecuaciones:
≡ 2 2 , ≡1 2 3 21
Y que pasa por el punto A(1,1,2).
b) Calcular el ángulo que forman los vectores u=(2,1,1) y v=(-1,1,1). Obtener su producto vectorial.
Aragón – 2011 – Opción A – Junio
14- a) Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-2,4), B(0,3,2) y es paralelo a la recta 4567 8506 9:60 .
b) En caso de que sea posible, escribir el vector v=(1,2,4) como combinación lineal de los vectores a=(1,0,1), b=(1,1,0), c=(0,1,1).
Aragón – 2011 – Opción B – Junio
15- a) Obtener la ecuación del plano que pasa por el punto A(-1,1,1) y es perpendicular al vector v=(1,-2,-1).
b) Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r que se obtiene como intersección
de los planos 6≡ 2 0
0≡ 1 0 .
c) Estudiar si son linealmente independientes los vectores v1(2,1,0), v2(0,-2,0), v3(0,1,1).
Aragón – 2011 – Opción A – Septiembre 16- Hallar el punto D de la recta ≡ 1 2,,
1 que esté a la misma distancia de los puntos C=(1,-1,2) y B=(1,1,2). Razonar si la recta r es perpendicular o no al plano
≡ 2 0.
Aragón – 2011 – Opción B – Septiembre 17- Dadas las rectas:
≡ 22 74 ≡ 1 3 21
a) Justificar si son o no perpendiculares.
b) Calcular la distancia del punto P(16,0,0) a la recta r. Aragón – 2010 – Opción A – Junio
16 18- a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos (1,1,1), (3,-2,2) y es
perpendicular al plano ≡ 2 0.
b) Estudiar si los vectores "1, 1, 1%, $ "0,1,1%, ( "0,0,1% son linealmente independientes.
Aragón – 2010 – Opción B – Junio
19- a) Calcular el plano determinado por los puntos (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). b) Determinar el ángulo que forman los planos
6≡ √2 2 0≡ 0
c) Obtener el producto vectorial de "2,0,1% $ "1, 1,3%. Aragón – 2010 – Opción A – Septiembre
20- Estudiar la posición relativa de la recta ≡4:6
. 2
9
0 y el plano determinado por
los puntos A(1,3,2), B(2,0,1) y C(1,4,3). ¿Son perpendiculares? Hallar la distancia del punto P(4/5,13/5,6/5) a la recta r.
Aragón – 2010 – Opción B – Septiembre
21- Sean los vectores "1, 1,3%, " 2,2,1%, < "3, 2,5%; calcular: a) ∙ " <%
b) = " <%
c) La ecuación del plano que pasa por el punto P(0,0,1) y es perpendicular al vector . d) El ángulo que forman y .
Aragón – 2009 – Opción A – Junio
22- a) Estudiar la posición relativa de los planos 6≡ 2 0 0≡ 2 3 b) Considerar la recta ≡ 3 3 15. Analizar si el punto P(6,2,2) se halla o no sobre la recta paralela a la anterior que pasa por el origen.
Aragón – 2009 – Opción B – Junio
23- a) Calcular la ecuación del plano que pasa por los puntos A(5,0,1); B(4,1,0) y es paralelo a la recta ≡ 2 2 3 50.
b) Estudiar si los vectores "1, 1,1%; "1,0,0% < "2, 2,1%, son linealmente independientes.
17 24- a) Hallar el punto simétrico de A(2,0,1) respecto del plano ≡ 2 2.
b) Obtener las ecuaciones de la recta ≡ 2 2 31 en forma paramétrica y en forma continua.
Aragón – 2009 – Opción B – Septiembre
25- Considerar la recta ≡4560 8:?5? 9:.7 y el plano ≡ 2 4 4 5. a) Estudiar la posición relativa de r y π.
b) Calcular la ecuación implícita de un plano π1 que es perpendicular a π y contiene a r.
Aragón – 2008 – Opción A – Junio
26- a) Calcular la ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular al plano ≡ 3. Obtener el punto de corte de la recta con el plano π.
b) Hallar el punto de la recta ≡ 3
1 2 cuya distancia al punto P(1,0,2) sea √5. Aragón – 2008 – Opción B – Junio
27- Se consideran la recta r y los planos ≡ 2 31 2 4 ,
6≡ 2 3 2 0
0≡ 3 2 2 2 0
a) Determinar la posición relativa de los dos planos. b) Calcular la distancia de r a 0.
Aragón – 2008 – Opción A – Septiembre
28- a) Obtener los valores de α y β para los cuales el vector de componentes (α,β,0) tiene módulo √2 y es perpendicular a la recta ≡ 21
1 .
b) Estudiar si los vectores "3,1,2%, $ "0,1,1%, ( "0,1, 1% son linealmente independientes.
c) Calcular el ángulo que forman dos rectas cuyos vectores direccionales son $ ( respectivamente.
Aragón – 2008 – Opción B – Septiembre
29- Escribir las ecuaciones implícitas de una recta con la dirección del vector (1,-1,0) y que pasa por P’, siendo P’ el simétrico de P=(0,-2,0) respecto al plano : 3 5. Aragón – 2007 – Opción A – Junio
18 30- a) Las componentes de , < en una cierta base de V3 son:
"2,0, 1%, " 3,1,2%, < "4, 2,7% Hallar, en esa misma base las componentes del vector 2 6
.<.
b) Determinar la posición relativa de las siguientes rectas:
6: 7 2 5 3 7 11 0 12 0 0: 5 3 5 2 7 016 0
Aragón – 2007 – Opción B – Junio 31- Dadas las rectas
≡ 4 0 ≡0 4 2 8
a) Comprobar que se cortan. b) Hallar el ángulo que forman.
Aragón – 2007 – Opción A – Septiembre 32- Se consideran la recta ≡ 2 7
2 4 y el punto P=(1,2,3).
a) Calcular la ecuación del plano π que es perpendicular a la recta r y contiene el punto P. b) Estudiar para qué valores de k los vectores
@"1, 2, 1/2%, "0, ', 0%, "0,0,2'%B son linealmente independientes.
Aragón – 2007 – Opción B – Septiembre 33- Calcular la distancia entre las rectas r y s, donde
: 2 2'1 ' 3 ' :
1 ' 1 3' 4 2' Aragón – 2006 – Opción A – Junio
19 34- a) Estudiar si son linealmente independientes los vectores
"3,1,2%, $ "0,1,1%, ( "1,1,1% Expresar el vector "0,0,1% como combinación lineal de , $ (. b) ¿Son el plano : 2 3 1 0 y la recta :456
50 8
5. ortogonales?.
Justificar la respuesta.
Aragón – 2006 – Opción B – Junio
35- ¿Para qué valores del parámetro m la recta 1 665C9. es paralela al plano 2x+y+z=9? Determinar el punto de intersección de la recta y el plano para m=2.
Aragón – 2006 – Opción A – Septiembre
36- a) Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores "2,0,9%, "3, 1,2%, < "5, 1,4% b) Dados los planos:
6: 3 2 1 0 0: 2 5 1 0
Determinar el ángulo que forman. Aragón – 2006 – Opción B – Septiembre