Fuera de Eje a Partir de
Superficies Esf´
ericas
por
M.C. Rafael Izazaga P´
erez
Tesis sometida como requisito parcial para obtener el grado de
DOCTOR EN CIENCIAS EN LA
ESPECIALIDAD DE ´
OPTICA
en el
Instituto Nacional de Astrof´ısica, ´
Optica y
Electr´
onica
Enero 2015, Tonantzintla, Puebla.
Supervisada por:
Dr. Ferm´ın S. Granados Agust´ın, INAOE
c
INAOE 2015
El autor otorga al INAOE el permiso de reproducir y distribuir copias de esta tesis
A mis padres Alfa P´erez Diego y Santacr´uz Izazaga Maldonado
Por darme siempre su apoyo y nunca dejarme caer en los tiempos dif´ıciles, gracias
por los consejos, su comprensi´on y el sacrificio que ustedes hacen por mi. Un logro
m´as dedicado a ustedes.
A mi familia Gloria, Irene, Fany, Norma...Gracias por ayudarme en todos los
sentidos, por aguantarme y por hacerme saber lo valioso que es tener a la familia
siempre cerca. Las amo...
A mis asesores Ferm´ın S. Granados Agust´ın y Alejandro Cornejo Rodr´ıguez
Por la ayuda, los consejos y por ense˜narme a trabajar con dedicaci´on y entrega,
no solo acad´emicamente sino tambi´en en lo personal.
A los doctores Rufino D´ıaz Uribe, Agust´ın Santiago Alvarado, Salvador Cuevas
Carmona y Alberto Jaramillo Nu˜nez, por brindarme su tiempo para revistar el trabajo
de tesis, gracias por el apoyo y los valiosos comentarios.
Un agradecimiento especial a los t´ecnicos del Taller de ´Optica INAOEJose Miguel arroyo, Claudia Carballo, Emilia Cruz, Jose Arman-do de la Luz, Javier Arriaga, Valent´ın L´opez, No´e L´opez, Jos´e Te´ofilo Quechol y Mayra Felix Salazar, por el apoyo interminable otorgado a lo largo del doctorado. Gracias por los consejos y por compartir su cono-cimiento y experiencias conmigo.
A los doctores Mar´ıa Elizabeth Percino, Manuel Campos, Francisco Renero, Javier B´aez, Gonzalo Urcid, Sergio V´azquez, por su ayuda, re-visiones de tesis y sus comentarios.
A mis amigos del INAOE
Daniel Aguirre, Alexis Vazquez, Angel E. Mart´ınez, Brenda Villalo-bos, Carla J. Berrospe, Dilia Aguirre, Omar S. Maga˜na, por su ayuda y consejos otorgados a lo largo de ´este camino que decidimos recorrer, gracias por su amistad y su apoyo.
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnolog´ıa (CO-NACyT) por la beca de doctorado otorgada, con n´umero de registro: 270587.
Agradezco tambi´en al Instituto Nacional de Astrof´ısica, ´Optica y Electr´onica (INAOE) por todas las facilidades otorgadas, apoyos de vi´aticos para congresos, materiales y el uso de sus instalaciones y labo-ratorios.
Las superficies c´onicas juegan un papel importante en la ´optica,
es-pecialmente en el dise˜no de instrumentos, como son sistemas de
con-centraci´on de luz, espectr´ometros, espectr´ografos y telescopios. En ´este
tipo de sistemas ´opticos se deben reducir las aberraciones ya que algunos
son sistemas formadores de im´agenes.
El uso de superficies ´opticas fuera de eje optimiza de manera dr´astica
el dise˜no de instrumentos, permitiendo un acceso sin restricci´on al punto
focal a un cierto ´angulo de desviaci´on del haz, haciendo posible usar o
analizar el haz desviado sin perturbar el incidente.
La fabricaci´on de superficies ´opticas con el m´etodo de pulido cl´asico
est´a limitada a superficies esf´ericas de revoluci´on, si se necesita fabricar
una superficie c´onica fuera de eje, el problema se complica de manera
notable. El objetivo de la presente tesis es implementar un m´etodo de
pulido para fabricar espejos fuera de eje a partir de superficies esf´
eri-cas usando el m´etodo de pulido cl´asico. El m´etodo consiste en pulir un
espejo esf´erico usando vidrio ´optico Zerodurr el cual tiene bajo
coe-ficiente de expansi´on t´ermica y despu´es deformarlo aplicando esfuerzos
mec´anicos en sus bordes. Para realizar los esfuerzos mec´anicos en el
espejo se dise˜n´o una montura mec´anica, en ella el espejo es
sosteni-do en los bordes mediante u˜nas de aluminio y usando unos v´astagos
como consecuencia deformado. Se realiza nuevamente el pulido cl´
asi-co hasta obtener una nueva superficie esf´erica, finalmente se remueven
los esfuerzos mec´anicos y se obtiene la secci´on fuera de eje definida
inicialmente.
Desde el punto de vista de fabricaci´on de sistemas ´opticos, es
necesa-rio tener ecuaciones anal´ıticas que nos permitan simular interferogramas
sint´eticos y usarlas para encontrar una aproximaci´on del frente de
on-da asociado, as´ı como sus correspondientes coeficientes de aberraci´on.
Se desarrollaron expresiones matem´aticas que generalizan a todas las
superficies c´onicas y a sus secciones fuera de eje, expresiones que son
sencillas y f´aciles de implementar en los talleres de fabricaci´on ´optica.
Se desarrollo un algoritmo computacional que usa estas expresiones y es
capaz de generar interferogramas sint´eticos correspondientes a secciones
fuera de eje.
En el trabajo de tesis primero se presenta el desarrollo para
repre-sentar matem´aticamente a una secci´on c´onica fuera de eje. Despu´es se
describe el procedimiento seguido para fabricar espejos esf´ericos con el
m´etodo de pulido cl´asico. Paso seguido se muestra la manera de
ejer-cer los esfuerzos con la montura mec´anica dise˜nada y se muestran los
interferogramas experimentales obtenidos. Finalmente se describen las
herramientas de interferometr´ıa de desplazamiento de fase y an´alisis con
el m´etodo de elementos finitos utilizadas para verificar las deformaciones
fuera de eje usando un s´olo bloque de vidrio ´optico, evitando el
desper-dicio de material como sucede en el m´etodo cl´asico de fabricaci´on por
escalonamientos y reduciendo dr´asticamente los costos de fabricaci´on.
Una de las desventajas del m´etodo es que s´olo la zona central del espejo
es ´util debido a deformaciones residuales en los bordes del espejo,
ade-m´as, la forma de sostener al espejo por la montura mec´anica conlleva
Abstract
Conic surfaces play an important role in optics especially in the
de-sign of instruments, such as, light concentration systems, spectrometers,
spectrographs and telescopes.
The use of off-axis optical surfaces optimizes drastically the design
of such instruments, allowing an access without restriction to the focal
point at a certain deviation angle, making possible to use or analyze the
deviated beam without disturbing the incident one.
The optical surface polishing with the classical polishing method is
limited to the production of spherical surfaces, if we need to
fabrica-te an off-axis conic surface the problem becomes very difficult. The
main objective of the present thesis is to implement a polishing
met-hod to fabricate off-axis mirrors from spherical surfaces and using the
classical polishing method. The process consist in polishing an spherical
mirror using Zerodurr optical glass which has low thermal expansion
and deforming it by applying mechanical stress at its edges. To apply
the mechanical stress in the mirror we design a mechanical mount, on
it the mirror is supported at the edges using aluminum claws and by
using a combination of nuts, bolts and rows in a form of David´s star
the mirror can be compressed and/or tensed and in consequence
defor-med. Classical polishing is carried out again until obtain a new spherical
From the point of view of optical systems fabrication, it is important
to have analytical equations that allow us to simulate synthetical
inter-ferograms and using them to find an approximation of the wavefront
associated, as well as the corresponding aberration coefficients. We
de-veloped mathematical expressions that generalize all conic surfaces and
their off-axis sections, these expressions are simple and easily to use in
optical workshops. Also an computational algorithm that uses these
ex-pressions and calculate the corresponding synthetic interferograms for
off-axis sections was developed.
In the present thesis we present first the procedure to represent
mat-hematically an off-axis conic section. Then we describe the process
fo-llowed to fabricate spherical mirrors with the classical polishing method.
Next we show the process to apply mechanical stress with the
desig-ned mechanical mount and the experimental interferograms obtaidesig-ned
are shown. Finally we describe the tools: phase shifting interferometry
and the finite element method analysis, that were used to verify the
resultant deformations in the mirror.
The main advantage of the proposed method is that an off-axis mirror
section can be fabricated by using only one mirror blank, avoiding with
this the waste of material as it happens in the classical selective polishing
method and drastically reducing the cost of production. A disadvantage
to the residual deformations present at the edges of the mirror, besides
that, the way to support the mirror by the mechanical mount lead to a
´Indice general
Dedicatoria I
Agradecimientos II
Resumen IV
Abstract VII
´Indice general XI
´Indice de figuras XV
´Indice de tablas XXI
1. Introducci´on general 1
1.1. Introducci´on . . . 2
1.2. Objetivos y justificaci´on . . . 7
1.2.1. Objetivo general . . . 7
1.2.2. Objetivos particulares . . . 7
1.2.3. Justificaci´on . . . 8
1.3. Estructura de la tesis . . . 9
2. Representaci´on matem´atica de una secci´on fuera de eje 11 2.1. Introducci´on . . . 12
2.2. C´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje . . . 12
2.2.1. Representaci´on matem´atica . . . 13
2.2.2. Aproximaci´on del frente de onda . . . 16
2.3. C´onica inclinada que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje . . . 20
2.3.1. Representaci´on matem´atica . . . 20
2.3.2. Aproximaci´on del frente de onda . . . 22
2.4. Superficie toroidal que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje . . . 25
2.4.1. Representaci´on matem´atica . . . 26
2.4.2. Aproximaci´on del frente de onda . . . 29
2.5. Interferogramas sint´eticos. Prueba num´erica . . . 30
2.5.1. Secci´on fuera de eje de un espejo de 10-m fabricada por Nelson et al. 31
2.6. Prueba experimental . . . 37
2.6.1. Arreglo de prueba nula . . . 37
2.6.2. Arreglo de prueba en eje . . . 39
2.6.3. Factores de ajuste experimentales . . . 40
2.6.4. Correlaci´on en dos dimensiones . . . 40
2.6.5. Comparaci´on de los interferogramas tomando en cuenta los factores de ajuste experimentales . . . 43
2.6.6. Comparaci´on de los interferogramas sin los factores de ajuste expe-rimentales . . . 46
2.7. Conclusiones . . . 47
3. Fabricaci´on de espejos con el m´etodo de pulido cl´asico 49 3.1. Introducci´on . . . 50
3.2. El m´etodo de pulido cl´asico . . . 50
3.3. Par´ametros del vidrio ´optico Zerodurr. . . 53
3.4. Fabricaci´on de espejos esf´ericos c´oncavos . . . 55
3.4.1. Corte del vidrio . . . 56
3.4.2. Generado de curvaturas . . . 59
3.4.3. Esmerilado . . . 61
3.4.4. Pulido . . . 62
3.5. Pruebas ´opticas con un interfer´ometro Zygor . . . 64
3.6. Conclusiones . . . 67
4. Dise˜no mec´anico y deformaciones en el espejo 69 4.1. Introducci´on . . . 70
4.2. Dise˜no de la montura mec´anica . . . 70
4.3. Deformaciones ejercidas en el espejo esf´erico . . . 74
4.3.1. Fijaci´on del espejo en la montura . . . 74
4.3.2. Esfuerzos ejercidos en el espejo . . . 75
4.3.3. Medici´on indirecta de las fuerzas aplicadas por la montura . . . 78
4.3.4. Interferogramas sint´eticos y experimentales obtenidos . . . 82
4.4. Segunda etapa de pulido cl´asico . . . 85
4.4.1. Fijaci´on de la montura mec´anica en la m´aquina pulidora . . . 85
4.4.2. Evoluci´on de la segunda etapa de pulido cl´asico . . . 87
4.4.3. Remoci´on de los esfuerzos ejercidos por la montura . . . 92
4.5. Conclusiones . . . 93
5. Herramientas para la verificaci´on de las deformaciones: PSI y FEM 95 5.1. Introducci´on . . . 96
5.2. Interferometr´ıa de desplazamiento de fase (PSI) . . . 97
5.2.1. Descripci´on del sistema interferom´etrico . . . 99
5.2.2. Calibraci´on del dispositivo piezoel´ectrico . . . 103
5.2.3. Cuantificaci´on de las deformaciones en el espejo . . . 104
5.3. An´alisis con el m´etodo de elementos finitos (FEM) . . . 108
5.3.1. Teor´ıa b´asica del m´etodo para placas . . . 110
´INDICE GENERAL
5.4. Comparaci´on de los resultados de obtenidos con PSI y FEM . . . 116
5.5. Experimentos adicionales . . . 118
5.5.1. Verificaci´on de la sujecci´on de la resina epoxica . . . 118
5.5.2. Medici´on de la deformaci´on resultante en funci´on de la tensi´on
apli-cada por la montura . . . 122
5.6. Conclusiones . . . 125
6. Conclusiones generales 127
6.1. Memorias en extenso publicadas . . . 131
6.2. Trabajo a futuro . . . 131
Bibliograf´ıa 133
A. Datos t´ecnicos de abrasivos y pulidores 139
B. Datos t´ecnicos adicionales 145
´Indice de figuras
1.1. Fabricaci´on convencional de una secci´on c´onica fuera de eje. Imagen cortes´ıa de Jorge Cuautle, Taller de ´Optica
BUAP . . . 3 1.2. Montura mec´anica dise˜nada para aplicar esfuerzos en los
bordes del espejo. . . 4 1.3. Esquema que describe el proceso de fabricaci´on. . . 6 1.4. Direcci´on en que son aplicadas las fuerzas al deformar la
superficie. . . 6
2.1. Secci´on c´onica fuera de eje descrita por sus par´ametros
b´asicos. . . 14 2.2. Diferencia de sagitas entre la c´onica en eje y la secci´on
fuera de eje. . . 17 2.3. Diferencia de sagitas entre la c´onica inclinada y la
sec-ci´on fuera de eje. . . 23 2.4. Toroide con sistema coordenado colocado en su centro,
n´otese ambos radios de curvatura. . . 27 2.5. Ajuste de un toroide a una secci´on fuera de eje con el
sistema coordenado centrado en la cara externa del toroide. 27 2.6. Diagrama de flujo del algoritmo usado para calcular
2.7. Interferogramas sint´eticos de una secci´on parab´olica
fue-ra de eje a distintas posiciones x0. . . 33
2.8. Interferograma sint´etico del espejo fuera de eje del
es-pectr´ografo Boller and Chivens. . . 36 2.9. Arreglo de prueba nula usado para obtener los par´ametros
de una secci´on parab´olica fuera de eje. . . 38 2.10. Interferograma experimental obtenido con la prueba nula. 38 2.11. Arreglo de prueba en eje usado para obtener el interferograma
experimental de una secci´on fuera de eje. . . 39 2.12. Diagrama de flujo modificado para la comparaci´on de las
dos im´agenes de los interferogramas, usando el criterio
de la correlaci´on en dos dimensiones. . . 42 2.13. Interferogramas experimental (a) y sint´etico (b) del
es-pejo bajo prueba, coincidentes con los factores de ajuste
adecuados . . . 43 2.14. Coeficiente de correlaci´on en funci´on del estudio de la
visibilidad de los interferogramas sint´eticos. . . 44 2.15. Interferogramas experimental (a) y sint´etico (b) del
es-pejo bajo prueba, sin tomar en cuenta los factores de
ajuste experimentales . . . 46
3.1. Pulido convencional de superficies ´opticas. Im´agenes cor-tes´ıa de Strasbaught Inc. y Jorge Cuautle, Taller de
´
Optica BUAP . . . 51 3.2. M´aquina pulidora comercial marca ”Strasbaugh”modelo
”6DE-DC-2”. Cat´alogo Strasbaught Inc. . . 53 3.3. Comportamiento del coeficiente de expansi´on t´ermica
´INDICE DE FIGURAS
3.4. Bloque inicial de vidrio Zerodurr. . . 56 3.5. Proceso de corte del bloque inicial de vidrio Zerodurr. 57 3.6. Corte de forma hexagonal de los bloques de vidrio Zerodurr. 59 3.7. Dise˜no de los espejos esf´ericos fabricados. . . 59 3.8. Proceso de generado de curvatura del espejo de vidrio
Zerodurr. . . 61 3.9. (a) Herramienta de esmerilado. (b) Proceso de esmerilado
en la m´aquina pulidora. . . 62 3.10. Fabricaci´on y prensado de la herramienta de pulido. . . 63 3.11. Herramienta de pulido y proceso en la m´aquina pulidora. 64 3.12. Configuraci´on de prueba con un interfer´ometro tipo
Fi-zeau. Interfer´ometro Mark II de la marca Zygor.
Cor-tes´ıa Taller de ´Optica INAOE . . . 65 3.13. Interferogramas finales obtenidos con el interfer´ometro
Zygor. . . 66
4.1. Dise˜no CAD de la montura mec´anica con sus partes
prin-cipales. . . 71 4.2. Detalle del uso de las tuercas internas y externas de la
montura mec´anica. . . 73 4.3. Deformaciones necesarias para producir las aberraciones
de una secci´on fuera de eje. . . 73 4.4. Detalle del pegado de las u˜nas en el borde del espejo. . 74 4.5. Dise˜no CAD de la montura mec´anica y prototipo
cons-truido. . . 75 4.6. Vista inferior de la montura mec´anica. . . 76 4.7. Procedimiento seguido para deformar el espejo. . . 77
4.8. Torqu´ımetro tipo desarmador utilizado para medir el
tor-que aplicado en las tuercas. . . 78 4.9. Medici´on del torque aplicado en las tuercas de la
mon-tura mec´anica. . . 81 4.10. Interferogramas sint´etico (a) y experimental (b) del
es-pejo deformado con la montura mec´anica. . . 83 4.11. Arreglo modificado para prueba del espejo deformado
con el interfer´ometro Zygor. . . 83 4.12. Fijaci´on de la montura mec´anica en la base para pulido. 87 4.13. Montura mec´anica colocada en la m´aquina pulidora. . . 88 4.14. Evoluci´on de la segunda etapa del pulido del espejo
de-formado. . . 90 4.15. Evoluci´on de la segunda etapa del pulido del espejo
de-formado. . . 91 4.16. Remoci´on de esfuerzos ejercidos por la montura. . . 92
5.1. Arreglo com´un de PSI para un interfer´ometro tipo
Fi-zeau. Optical Shop Testing 3rd Ed. Cap. 14 . . . 99 5.2. Desplazador de fase con piezoel´ectrico y su montaje en
el interfer´ometro Zygor. . . 100 5.3. Sistema de PSI utilizado en las pruebas del espejo
defor-mado. . . 100 5.4. Algoritmos de PSI de Schmit-Creath utilizados por el
software Durangor. Optical Shop Testing 3rd Ed., Cap.
14, pag.578. . . 102 5.5. Gr´afica de calibraci´on del sistema de PSI del Taller de
´
´INDICE DE FIGURAS
5.6. Interferogramas que muestran el desplazamiento de fase
del espejo fabricado. . . 105 5.7. Mapa de fase del espejo fabricado obtenido con el
soft-ware Durangor. . . 106 5.8. Deformaciones en la superficie del espejo recuperadas
con el sistema PSI. . . 107 5.9. Interferogramas del espejo fabricado, antes y despu´es de
la segunda etapa de pulido . . . 108 5.10. Geometr´ıa de la placa cuadrada de ejemplo y sus grados
de libertad. . . 110 5.11. Dise˜no CAD con las condiciones iniciales y las fuerzas
ejercidas. . . 113 5.12. Mallado del sistema opto-mec´anico realizado por el
soft-ware. . . 114 5.13. Resultado final mostrando las deformaciones
direcciona-les en el eje z. . . 115 5.14. Deformaciones de la superficie del espejo fabricado, con
el sistema PSI y con FEM. . . 117 5.15. Diferencia calculada de las deformaciones de la superficie
con el sistema PSI y con FEM. . . 117 5.16. Interferogramas inicial y final de la prueba de la resina
epoxica, tiempo total del experimento 624 Horas. . . 120 5.17. Gr´afica que muestra c´omo disminuye la deformaci´on
ejer-cida en funci´on del tiempo. . . 120 5.18. Interferogramas inicial y final de la prueba con la nueva
resina epoxica, tiempo total del experimento 576 Horas. 121 5.19. Gr´afica que muestra c´omo disminuye la deformaci´on
5.20. Deformaci´on obtenida en el espejo en funci´on de una
fracci´on de giro en la tuerca externa. . . 123 5.21. Deformaci´on obtenida en el espejo en funci´on de una
fracci´on de giro en la tuerca interna. . . 124 5.22. Comparaci´on de los resultados obtenidos al ejercer
´Indice de tablas
2.1. Valor de la constante de conicidad para superficies
c´onicas. . . 13
2.2. Par´ametros iniciales de la secci´on parab´olica fuera
de eje fabricada por Nelson et al. . . 33
2.3. Valores calculados de c0, k0 y θ. Coeficientes de aberraci´on calculados para una secci´on parab´olica
fuera de eje para varias distancias fuera de eje [λ] 34
2.4. Par´ametros iniciales del espejo parab´olico fuera de
eje del espectr´ografo Boller and Chivens . . . 35
2.5. Valores calculados de c0, k0 y θ. Coeficientes de aberraci´on calculados para el espejo parab´olico fue-ra de eje del espectr´ografo Boller and Chivens [λ] 36
2.6. Par´ametros de la secci´on parab´olica fuera de eje,
obtenidos por medio de la prueba nula. . . 38
2.7. Coeficientes de aberraci´on calculados para la
sec-ci´on fuera de eje bajo an´alisis. [λ] . . . 45
3.1. Par´ametros f´ısicos del vidrio ´optico Zerodurr. . . 55
4.1. Valores calculados para el interferograma del es-pejo deformado. Coeficientes de aberraci´on calcu-lados para el espejo con la expansi´on desarrollada
[λ] . . . 84 4.2. Coeficientes de aberraci´on para el interferograma
experimental del espejo deformado, en t´erminos de los polinomios de Zernike (Representaci´on de
Malacara) [λ] . . . 86
5.1. Coeficientes de aberraci´on para los interferogra-mas experimentales en t´erminos de Zernike, va-lores antes (Fringe XP) y despu´es (Durangor) de la segunda etapa de pulido (Representaci´on de
Cap´ıtulo 1
1.1.
Introducci´
on
Las superficies fuera de eje juegan un papel importante en la ´optica, especialmente en el dise˜no de instrumentos como son espectr´ometros, espectr´ografos, sistemas de concentraci´on de luz, telescopios, etc., per-mitiendo un acceso sin restricci´on del punto focal a un cierto ´angulo de desviaci´on [1]. Han sido usadas en general para concentrar un haz incidente de luz en un punto alejado de ´el, eliminando p´erdidas por transmisi´on y efectos de difracci´on y haciendo posible usar o analizar el haz desviado sin perturbar el incidente, y tambi´en cuando se necesitan sistemas ´opticos sumamente compactos. Se han desarrollado varias t´ ec-nicas enfocadas principalmente en reducir las aberraciones de coma y astigmatismo, debido a que estas aberraciones son las que se presentan al dise˜nar sistemas fuera de eje. Estas t´ecnicas incluyen; arreglos con espejos convexos adicionales para compensar el astigmatismo como en el espectr´ometro Czerny-Turner [2], usando espejos esf´ericos alineados en direcci´on opuesta [3], y otras usando espejos toroidales [4, 5]. Sin limitarse al rango del visible, se tienen dise˜nos con superficies c´onicas trabajando en infrarrojo [6].
Un espejo c´onico con apertura circular tiene un eje de simetr´ıa rota-cional llamado eje ´optico, que es una l´ınea imaginaria que pasa a trav´es del v´ertice y su centro de curvatura paraxial y est´a definido en el centro de la apertura del espejo. Si nos movemos transversalmente a cierta distancia del centro de la apertura y tomamos una secci´on circular del espejo tenemos una secci´on fuera de eje. La fabricaci´on de secciones c´onicas fuera de eje es mucho m´as dif´ıcil que producirlas en eje. En las t´ecnicas tradicionales de fabricaci´on de estas secciones, una c´onica en eje es fabricada primero y la secci´on fuera de eje deseada es trepanada
1.1. Introducci´on
(cortada), (ver Figura 1.1) con esto se desperdicia gran cantidad de material y se aumentan los costos de fabricaci´on, en el caso general en el que s´olo se necesita una secci´on.
Figura 1.1:Fabricaci´on convencional de una secci´on c´onica fuera
de eje. Imagen cortes´ıa de Jorge Cuautle, Taller de ´
Optica BUAP
La t´ecnica de pulido de espejos con deformaciones fu´e propuesta inicialmente por Schmidt en 1932, y ha sido usada por King desde 1970 y tuvo un gran ´exito con Lubliner y Nelson en la producci´on de los segmentos de los espejos primarios de los telescopios astron´omicos Keck I y Keck II en los 80’s [7, 8, 9, 10, 11]. En este trabajo de tesis emplearemos una t´ecnica en la cual se aplican esfuerzos mec´anicos en los bordes de un espejo esf´erico, para fabricar una secci´on fuera de eje. El objetivo principal es implementar ´este m´etodo de pulido para fabricar espejos fuera de eje partiendo de una superficie esf´erica inicial, esta t´ecnica es similar a la desarrollada por Lubliner y Nelson [7, 8].
El m´etodo consiste en fabricar un espejo esf´erico con el m´etodo de pulido convencional y usando vidrio ´optico tipo Zerodurr el cual tiene bajo coeficiente de expansi´on t´ermica [12, 13]. Posteriormente este es-pejo es deformado aplicando esfuerzos mec´anicos en sus bordes. Para
realizar los esfuerzos mec´anicos en los bordes de la superficie se dise˜n´o una montura mec´anica, en ella el espejo es sostenido en los bordes me-diante u˜nas y con una combinaci´on de v´astagos, esp´arragos est´andar y tuercas, el espejo es comprimido y/o tensado y en consecuencia defor-mado. El espejo es pegado a la u˜na usando resina epoxica, ver Figura 1.2.
Figura 1.2: Montura mec´anica dise˜nada para aplicar esfuerzos en
los bordes del espejo.
Una vez que el espejo esf´erico est´a sometido a esfuerzos, se analiza el patr´on de interferencia asociado con un interfer´ometro tipo Fizeau de la marca Zygor Corp. modelo Mark IIr para verificar la forma de la superficie que se desea obtener, este patr´on se modifica en tiempo real regulando los esfuerzos en los bordes del espejo hasta obtener franjas deformadas correspondientes a las aberraciones astigmatismo, coma, trefoil, etc., de la secci´on fuera de eje que se desea fabricar [50].
El patr´on de interferencia de la secci´on fuera de eje es previamente obtenido mediante una simulaci´on realizada en el software MathWorksr MatLabr [14, 15] en la que se toman en cuenta par´ametros como el n´umero f, di´ametro, longitud de onda y la distancia fuera de eje me-dida desde el v´ertice de la c´onica principal. Se asume que este patr´on
1.1. Introducci´on
interferom´etrico es obtenido como si prob´aramos experimentalmente a la secci´on fuera de eje usando el eje mec´anico de la secci´on como nuevo eje ´optico.
Sometido el espejo a esfuerzos y con el patr´on de franjas deformado, se realiza nuevamente el pulido convencional hasta obtener un patr´on de franjas correspondiente a una superficie esf´erica. Finalmente, se quitan los esfuerzos en los bordes y se obtiene el inverso de la secci´on fuera de eje calculada inicialmente, que en nuestro caso fue una par´abola fuera de eje. La Figura 1.3 muestra un esquema en el que se describe el proceso completo.
El proceso de medici´on de la calidad de las superficies se realiza con el interfer´ometro Zygor, es un interfer´ometro en el que se utiliza un frente de onda esf´erico como referencia. El espejo deformado en la montura se coloca al frente del interfer´ometro de manera que coincidan el punto focal de la superficie de referencia y el centro de curvatura del espejo bajo prueba. Con este arreglo obtenemos franjas de interferencia con una separaci´on de λ/2 entre dos franjas adyacentes.
Una manera diferente de representar el proceso se muestra en la Figura 1.4, para dos casos: una superficie plana y una superficie c´oncava como es nuestro objetivo. En esta figura se muestran la direcciones de las fuerzas aplicadas en el espejo, representadas con flechas rojas y las deformaciones resultantes en las superficies.
En ´este trabajo de tesis se presentan dos m´etodos para analizar las deformaciones resultantes en el espejo, el primero es interferometr´ıa de desplazamiento de fase (PSI) en la que se utiliza un desplazador de fase de piezoel´ectrico para dar micro-movimientos a la superficie de re-ferencia del interfer´ometro y obtener una funci´on de fase a partir de un conjunto de interferogramas capturados. El segundo m´etodo es un
Figura 1.3:Esquema que describe el proceso de fabricaci´on.
Figura 1.4: Direcci´on en que son aplicadas las fuerzas al deformar
1.2. Objetivos y justificaci´on
an´alisis con el m´etodo de elementos finitos (FEM) en el que se reali-za un tratamiento matem´atico al sistema opto-mec´anico para conocer las deformaciones resultantes al aplicar esfuerzos mec´anicos en zonas definidas.
1.2.
Objetivos y justificaci´
on
1.2.1. Objetivo general
Fabricar secciones c´onicas fuera de eje por deformaciones mec´anicas a partir de una superficie esf´erica y usando el m´etodo de pulido cl´asico.
1.2.2. Objetivos particulares
Implementar el m´etodo de pulido con esfuerzos mec´anicos en el taller de ´optica INAOE.
Verificar el funcionamiento de la montura mec´anica y los esfuerzos ejercidos por esta.
Conocer si con las deformaciones aplicadas se logran obtener los patrones de interferencia necesarios.
Verificar el funcionamiento del software desarrollado para las simu-laciones.
Generalizar las simulaciones para obtener los patrones de cualquier tipo de superficie fuera de eje (hiperboloides, elipsoides, etc.)
Realizar una simulaci´on num´erica para encontrar los interferogra-mas sint´eticos correspondientes a una secci´on fuera de eje.
Desarrollar un modelo matem´atico que describa los esfuerzos apli-cados en la superficie.
1.2.3. Justificaci´on
Para fabricar una secci´on c´onica fuera de eje de un espejo se comienza con el pulido de una superficie esf´erica y posteriormente es llevada en su forma completa a una superficie c´onica, que se conoce como c´onica principal, ambas etapas usando el m´etodo de pulido cl´asico. Este proceso generalmente se realiza mediante el m´etodo de pulido zonal selectivo, en este m´etodo se seleccionan varias zonas a pulir con distintos intervalos de tiempo de pulido y se utiliza una herramienta de pulido peque˜na de aproximadamente un quinto del di´ametro de la superficie total [16]. Al obtener la superficie c´onica principal finalmente se corta (trepana) la secci´on fuera de eje necesaria. Este proceso conlleva a un desperdicio notable de material y tiempo ya que generalmente s´olo se necesita una secci´on fuera de eje por proceso. Por lo tanto la justificaci´on de la propuesta de tesis es implementar en el taller de ´optica ´este m´etodo de fabricaci´on que es relativamente m´as sencillo y de menor costo, este m´etodo puede ser empleado en cualquier taller de fabricaci´on ´optica que no cuente con una m´aquina de control num´erico especializada, con ello se eliminan los problemas resultantes de deformaciones en los bordes del espejo que son generados por el corte de la secci´on fuera de eje y se reducen los costos de fabricaci´on. Adem´as del m´etodo de fabricaci´on, se proponen nuevas t´ecnicas para verificar la calidad de las superficies por medio de interferometr´ıa de desplazamiento de fase y an´alisis de elementos finitos para verificar las deformaciones en las superficies.
1.3. Estructura de la tesis
1.3.
Estructura de la tesis
En el Cap´ıtulo 2 se presenta el desarrollo realizado para representar matem´aticamente a una secci´on c´onica fuera de eje, a partir de la dife-rencia de sagitas entre una secci´on fuera de eje y la c´onica en eje que mejor ajusta a ´esta secci´on, adem´as se presentan simulaciones num´ eri-cas y algunos arreglos experimentales con un espejo parab´olico fuera de eje.
En el Cap´ıtulo 3 se describe el m´etodo de pulido cl´asico utilizado para fabricar espejos esf´ericos, se describen los par´ametros opto-mec´anicos del vidrio ´optico Zerodurrutilizado en las pruebas. Adem´as se muestra el proceso de fabricaci´on de dos espejos esf´ericos realizado en el Taller de ´optica INAOE.
En el Cap´ıtulo 4 se muestra el dise˜no CAD de la montura mec´anica y el prototipo construido para ejercer esfuerzos en el espejo esf´erico de vidrio Zerodurr, su funcionamiento y tambi´en se muestran las deforma-ciones resultantes al aplicar esfuerzos y los interferogramas obtenidos de ´este proceso. Finalmente se presenta la segunda etapa del proceso de pulido.
En el Cap´ıtulo 5 se presentan las dos herramientas usadas para veri-ficar las deformaciones resultantes en el espejo. Se describe el sistema de interferometr´ıa de desplazamiento de fase utilizado en conjunto con el interfer´ometro Zygoras´ı como el an´alisis con el m´etodo de elementos finitos en donde num´ericamente se obtienen las deformaciones resultan-tes.
Finalmente en el Cap´ıtulo 6 se presentan las conclusiones generales del trabajo de tesis, las memorias en extenso derivadas del mismo y el trabajo a futuro propuesto.
Cap´ıtulo 2
Representaci´
on matem´
atica de una
2.1.
Introducci´
on
Para la fabricaci´on de una secci´on c´onica fuera de eje es posible fabricar mediante t´ecnicas convencionales una superficie en eje que se acerque en forma a la secci´on fuera de eje deseada y despu´es aplicar la t´ecnica de esfuerzos mec´anicos en los bordes o pulido por escalonamien-tos. En este cap´ıtulo se describir´a el desarrollo matem´atico para obtener expresiones anal´ıticas usadas para representar a una secci´on c´onica fue-ra de eje. Anteriormente se han descritos desarrollos pafue-ra encontfue-rar expresiones para un paraboloide fuera de eje y describir sus radios de curvatura tangencial y sagital [17, 18, 19].
En nuestro desarrollo encontraremos, mediante la diferencia de sagi-tas entre dos superficies, las aproximaciones del frente de onda cuando comparamos una secci´on c´onica fuera de eje con (a) una c´onica en eje, (b) una c´onica inclinada y (c) un toroide. Estas ecuaciones son necesa-rias para simular interferogramas sint´eticos correspondientes a cualquier secci´on fuera de eje.
Es importante se˜nalar que en todo el desarrollo del trabajo de tesis s´olo se us´o el conjunto de expresiones encontradas para la diferencia de sagitas entre una secci´on fuera de eje y la c´onica que mejor ajusta a ´esta secci´on. Nos referimos espec´ıficamente a la secci´on 2.2.
2.2.
C´
onica que mejor ajusta a una secci´
on fuera de
eje
En esta secci´on se muestra el procedimiento para obtener valores aproximados de la curvatura y de la constante de conicidad de la super-ficie en eje que mejor ajusta una secci´on fuera de eje, teniendo como
2.2. C´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
par´ametros iniciales la coordenada central de la secci´on fuera de eje, su curvatura y la constante de conicidad de la c´onica principal.
2.2.1. Representaci´on matem´atica
Para describir a una superficie c´onica en eje generalmente se usa la ecuaci´on de la Sagita [20]
z = cρ
2
1 +p1−(k + 1)c2ρ2 (2.1)
Donde c es la curvatura en el v´ertice, k es la contante de conicidad y ρson las coordenadas de la superficie que vamos a analizar de acuerdo a la Tabla 2.1. De hecho la ecuaci´on 2.1 es soluci´on a la ecuaci´on general cuadr´atica, en un plano no inclinado [22]
c(k + 1)z2 −2z +c(x2 +y2) = 0. (2.2)
Tabla 2.1:Valor de la constante de conicidad para
superficies c´onicas.
Tipo de c´onica Constante de conicidadk
Hiperboloide k <-1
Paraboloide k= -1
Elipse rotada en su eje mayor -1<k <0
Esfera k= 0
Elipse rotada en su eje menor k >0
Necesitamos describir localmente una secci´on fuera de eje, esta sec-ci´on est´a centrada en las coordenadas(x0,0, z0) de acuerdo al
formalis-mo desarrollado por Cardona et al. [21]. Para realizar esto aplicareformalis-mos una transformaci´on a los ejes coordenados tanto en rotaci´on como en traslaci´on, usando las siguientes ecuaciones
x = x0 cosθ−z0 sinθ+ x0
y = y0
z = x0sinθ+z0 cosθ +z0 (2.3)
En nuestro nuevo sistema coordenado z0 est´a alineado con la normal en el punto central de la secci´on fuera de eje (ver Figura 2.1), las siguientes expresiones pueden ser encontradas
z0 =
cx20
1 +p1−(k+ 1)c2x2 0
tanθ = dz0
dx0
= p cx0
1−(k+ 1)c2x2 0
; (2.4)
Figura 2.1: Secci´on c´onica fuera de eje descrita por sus
par´ametros b´asicos.
Donde θ es el ´angulo de rotaci´on. Realizando las transformaciones correspondientes y sustituyendo en la ecuaci´on 2.2 obtenemos
c(k+ 1)(x0sinθ+ z0cosθ+z0)2 −2(x0sinθ+ z0cosθ+z0) +
2.2. C´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
podemos simplificar y reacomodar la ecuaci´on anterior como
z = β
α
1−
r
1− αγ β2
, (2.6)
donde
α = c(1 +kcos2θ)
β = p 1
1 +ksin2θ
−ckxsinθcosθ
γ = c(1 +ksin2θ)x2 +cy2 (2.7)
Es importante mencionar que se han eliminado las primas de las coor-denadas ya que s´olo nos enfocaremos en el nuevo sistema coordenado. Expandiendo en serie de potencias a la ecuaci´on 2.6 y sustituyendo los valores de las ecuaciones 2.7 la nueva ecuaci´on de la sagita ser´a
z ≈ 1
2cδ(δ
2x2 +y2) + 1
2c
2δ2kxsinθcosθ(δ2x2 +y2) +
1 8c
3δ3(δ2x2 +y2)[δ2ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)x2 +
ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)y2]; (2.8)
Donde
δ2 = 1 +ksin2θ y
ε = 1 +kcos2θ.
la expansi´on usamos los tres primeros t´erminos de la expansi´on de la ra´ız.
Podemos realizar un procedimiento similar para una superficie c´onica en eje (ver ecuaci´on 2.1) para obtener una ecuaci´on con el mismo grado de aproximaci´on,
zc =
c0(x2 +y2)
1 +p1−(k0+ 1)c2(x2 +y2)
zc =
1
c0(k0+ 1) h
1−p1−(k0+ 1)c02(x2 +y2)i. (2.9)
Expandiendo en series de potencias con el mismo grado de aproxima-ci´on obtenemos la expresi´on que nos define a las sagitas de una c´onica en eje
zc ≈
1 2c
0
(x2 +y2) + 1 8(k
0
+ 1)c03(x2 +y2)2. (2.10) As´ı,hemos definido las sagitas para una secci´on fuera de eje y para una c´onica en eje, el siguiente paso es definir la diferencia de sagitas entre estas dos superficies para obtener una ecuaci´on anal´ıtica que re-presente al frente de onda asociado.
2.2.2. Aproximaci´on del frente de onda
Definimos la diferencia de sagitas entre la secci´on fuera de eje y la c´onica que mejor ajusta a esta secci´on (ver Figura 2.2) como
W(x, y) = zc −z
[21, 23]. Desarrollando el polinomioW(x, y), usando las ecuaciones 2.8 y 2.10, obtenemos
2.2. C´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
W(x, y) = µ20(x2 +y2) +µ22(x2 −y2) + µ31 x(x2 +y2)
+µ33 x(x2 −3y2) +µ40(x2 + y2)2 +µ42(x4 −y4)
+µ44
x2(x2 −6y2) +y4+µ51 x(x2 +y2)2
+µ53(x2 +y2)
x(x2 −y2)+ µ55(x2 −y2)
x(x2 −y2) (2.11)
Podemos cambiar a un sistema de coordenadas cil´ındricas de manera similar a Lubliner et al. [7]
W(ρ, φ) =µ20ρ2 +µ22ρ2cos 2φ+ µ31ρ3cosφ
+µ33ρ3cos 3φ +µ40ρ4 +µ42ρ4cos 2φ+µ44ρ4cos 4φ
+µ51ρ5cosφ+µ53ρ5cos 3φ+µ55ρ5cos 5φ, (2.12)
Figura 2.2:Diferencia de sagitas entre la c´onica en eje y la
sec-ci´on fuera de eje.
µ20 = c 2 c0 c − δ
2 1 +δ
2
focus;
µ22 =
1
4cδ(1−δ
2) astigmatism;
µ31 = −
1 4c
2δ2ksinθcosθ(1 +δ2) coma;
µ33 =
1 4c
2δ2ksinθcosθ(1−δ2) trefoil;
µ40 =
c3
8
(k0+ 1)c03
c3 −
1 4δ
3ε(1 +δ2)2 − 1
8δ
3ε(δ2 −1)2
spherical;
µ42 = −
1 16c
3δ3ε(δ4 −1) sec. astigmatism;
µ44 = −
1 64c
3
δ3ε(δ2 −1)2 tetrafoil;
µ51 = −
3 32c
4
δ4εksinθcosθ(1 +δ2)2 9th order coma;
µ53 = −
3 16c
4δ4εksinθcosθ(δ4 −1) 9th order trefoil;
µ55 = −
3 32c
4δ4εksinθcosθ(δ2 −1)2 pentafoil. (2.13)
Las ecuaciones anteriores contienen todos los t´erminos resultantes de desarrollar el polinomio. Aguirre-Aguirre et al. [24] usaron este conjunto de ecuaciones para simular Ronchigramas de superficies c´onicas en eje y fuera de eje. De hecho, se realizaron modificaciones a las ecuaciones de las sagitas (ecuaciones 2.8 y 2.10) y en los coeficientes de aberraci´on (ecuaciones 2.13) con respecto a los resultados obtenidos por Cardona et al.[21].
Para obtener la c´onica en eje que mejor ajusta a la secci´on fuera de eje se define la cantidad E, minimizarla equivale a usar el m´etodo de
2.2. C´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
m´ınimos cuadrados.
E = 2
π Z 0 R Z 0
W2ρdρdφ (2.14)
Donde R es el semidi´ametro de la secci´on en consideraci´on. Sustitu-yendo la expresi´on de W en la ecuaci´on anterior y resolviendo la integral podemos obtener
E = πR61
3µ
2 20+
1
2µ20µ40R
2 + 1
6µ
2 22+
1
4µ22µ42R
2 + 1
8µ 2 31R 2+ 1 8µ 2 33R
2 + 1
5µ
2 40R
4 + 1
10µ
2 42R
4 + 1
10µ
2 44R
4 (2.15)
Para minimizar la ecuaci´on anterior necesitamos derivarla respecto de c0 y k0 e igualar a cero ´estas derivadas. Despu´es de esto podemos encontrar
∂E ∂c0 =
3 160(k
0+ 1)2
R4c05 + 1 8(k
0 + 1)R2
c03 −
3 64(k
0+ 1)R2c02[cδ(1 +δ2) + 1
10c
3δ3ε(1 +δ2)2R2 − 1
20c
3δ3ε(1−δ4)R2] +
1 6c
0 − 1
12cδ(1 +δ
2) + 1
128c
2δ3εR2[1
2(1−δ
4)−(1 +δ2)2] = 0
. (2.16)
∂E ∂k0 =
1 160(k
0
+ 1)R4c06 + 1 32R
2
c03[c0− 1
2cδ(1 +δ
2
)−
1 20c
3
δ3ε(1 +δ2)2R2 + 1 40c
3
Cardona et al. usaron el m´etodo de m´ınimos cuadrados para encon-trar los par´ametros de la c´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje. Finalmente, despu´es de integrar la ecuaci´on y sustituir la derivada de k0 en la derivada de c0 obtenemos
c0 = 1
2cδ(1 +δ
2)
k0 = b(1 + 3δ
2)
(1 +δ2)2 −1 (2.18)
Estas ecuaciones anal´ıticas son simples y junto con la ecuaci´on de la sagita definen a la c´onica que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje. N´otese que no dependen del di´ametro de la secci´on fuera de eje.
2.3.
C´
onica inclinada que mejor ajusta a una secci´
on
fuera de eje
Podemos conseguir un mejor ajuste a una secci´on fuera de eje si usamos una c´onica inclinada a un cierto ´angulo ψ, (ver Figura 2.3) en el desarrollo siguiente se encuentra una expresi´on para dicho ´angulo de inclinaci´on [25].
2.3.1. Representaci´on matem´atica
Sabemos que la ecuaci´on de la sagita es soluci´on a la siguiente ecua-ci´on de segundo grado
c(k+ 1)z2 −2z+c(x2 +y2) = 0 (2.19) Si su eje sistema de referencia coordenado est´a rotado a un ´angulo
2.3. C´onica inclinada que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
ψ, las coordenadas pueden ser escritas en funci´on de la nueva transfor-maci´on que aplicamos con las siguientes ecuaciones
x = x0cosψ−z0sinψ y = y0
z = x0sinψ+z0cosψ (2.20)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la ecuaci´on 2.19 y reaco-modando los t´erminos podemos encontrar la siguiente expresi´on
α0z02 −2β0z0 +γ0 = 0 (2.21)
donde:
α0 = c0(1 +k0cos2ψ)
β0 = cosψ −c0k0x0sinψcosψ
γ0 = c0(1 +k0sin2ψ)x02 −2x0sinψ+c0y02 (2.22) Para valores peque˜nos del ´angulo ψ, estos coeficientes pueden ser escritos como
α0 = c0(1 +k0); β0 = 1−c0k0x0ψ; γ0 = c0(x02+y02)−2x0ψ (2.23) Y la soluci´on a ´esta ecuaci´on 2.21 tendr´a la forma
z0 = 2β
0−p
4β02 −4α0γ0
2α0 =
β0 α0
"
1−
s
1− α
0γ0
β02
#
Sustituyendo los valores de α, β y γ en la expresi´on anterior y ex-pandiendo los t´erminos en series de potencias finalmente podemos en-contrar una expresi´on anal´ıtica para las sagitas de una c´onica inclinada un ´angulo ψ
z0 ≈ 1
2c
0(x02
+y02) +1 8c
03
(k0+ 1)(x02 +y02)2−1
2c
02
(x02+y02)x0ψ−2x0ψ (2.25) La expresi´on para las sagitas de una secci´on fuera de eje ha sido previamente encontrada 2.21 y est´a definida como
z ≈ 1
2cδ(δ
2x2 +y2) + 1
2c
2δ2kxsinθcosθ(δ2x2 +y2) +
1 8c
3δ3(δ2x2 +y2)[δ2ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)x2 +
ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)y2]; (2.26)
Donde
δ2 = 1 +ksin2θ y
ε = 1 +kcos2θ.
2.3.2. Aproximaci´on del frente de onda
Cambiaremos las coordenadas a un sistema cil´ındrico y definiremos la diferencia de sagitas W entre la c´onica inclinada y la secci´on fuera de eje como
2.3. C´onica inclinada que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
Figura 2.3:Diferencia de sagitas entre la c´onica inclinada y la
secci´on fuera de eje.
W = z0−z W = µ11ρcosφ+µ20ρ2 + µ22ρ2cos 2φ+µ31ρ3cosφ+
µ33ρ3cos 3φ+ µ40ρ4 +µ42ρ4cos 2φ +µ44ρ4cos 4φ (2.27)
Donde los coeficientes de aberraci´on est´an definidos por las siguientes expresiones
µ11 = −2ψ tilt;
µ20 =
1 2
c0+ 1
2cδ 1 +δ
2
f ocus;
µ22 =
1
4cδ(1−δ
2) astigmatism;
µ31 = −
1 2c
02
ψ − 1
4c
2
δ2ksinθcosθ(1 +δ2) coma;
µ33 =
1 4c
2
δ2ksinθcosθ(1−δ2) tref oil;
µ40 =
1 8c
03(k0 + 1)− 1
64c
3δ3ε(3 +δ2) spherical;
µ42 =
1 16c
3δ3ε(1−δ4) sec. astigmatism;
µ44 = −
1 64c
3δ3ε(1−δ2) tetraf oil; (2.28)
Usaremos el procedimiento descrito anteriormente para minimizar la funci´on E y encontrar el ´angulo ψ que nos dar´a el mejor ajuste entre la c´onica inclinada y la secci´on fuera de eje
E = 2
π Z 0 R Z 0
W2ρdρdφ (2.29)
Sustituyendo la ecuaci´on 2.27 en la ecuaci´on anterior y resolviendo la integral obtenemos
E = πR4[1 4µ
2 11+
1
3µ11µ31R
2 + 1
3µ
2 20R
2 + 1
2µ20µ40R
4 + 1
6µ
2 22R
2 +
1
4µ22µ42R
4 + 1 8µ 2 31R 4
+ +1 8µ 2 33R 4 + 1 5µ 2 40R 6 + 1 10µ 2 42R 6 + 1 10µ 2 44R 6 ] (2.30)
2.4. Superficie toroidal que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
Para minimizar la ecuaci´on anterior necesitamos derivar respecto de ψ e igualar a cero. Despu´es de hacerlo podemos encontrar
∂E
∂ψ = [2 +
2 3c
02R2 + 1
16c
04R4]ψ+
[1 6 +
1 32c
02R2]c2δ2ksinθcosθ(1 +δ2)R2 = 0 (2.31)
Finalmente despejamos ψ de la ecuaci´on anterior y obtenemos el valor del ´angulo que nos da el mejor ajuste
ψ = −[
1 6 +
1 32c
02
R2]c2δ2ksinθcosθ(1 +δ2)R2
2 + 23c02R2 + 1 16c
04R4 (2.32)
Con este procedimiento se obtiene un valor de el ´anguloψ que influye en los coeficientes de aberraci´on µ11 y µ31, su influencia no es muy
significativa a simple vista, pero como conclusi´on se obtienen mejores ajustes con s´olo inclinar la c´onica en eje, o dicho de otra manera se predice la falta de los coeficientes de inclinaci´on en el polinomio de aberraci´on descrito en secciones anteriores. Cabe se˜nalar que este ´angulo es un par´ametro mec´anico que no resulta de la expansi´on de t´erminos realizada.
2.4.
Superficie toroidal que mejor ajusta a una
sec-ci´
on fuera de eje
Si seleccionamos una secci´on fuera de eje m´as alejada del v´ertice, una superficie toroidal ajusta mejor que una superficie c´onica, podemos realizar el procedimiento descrito en esta secci´on para encontrar el
poli-nomio y los coeficientes de aberraci´on cuando ajustamos una superficie de este tipo [26].
2.4.1. Representaci´on matem´atica
Una superficie toroidal puede ser expresada matem´aticamente por medio de la siguiente expresi´on
x2 +y2 =
h
b+pa2 −z2i2 (2.33)
Podemos reescribir la ecuaci´on anterior haciendo las transformacio-nes correspondientes y obtendremos
hp
x2 +y2 −bi2 +z2 = a2 (2.34)
Donde a es el radio del circulo generador de la secci´on transversal del toroide y b es el radio del toroide generado, medido desde el centro del toroide hasta el centro de la secci´on transversal (Figura 2.4). Nece-sitamos comparar la cara externa del toroide con una secci´on fuera de eje, por lo que debemos colocar el sistema coordenado en dicha cara y tener el eje coordenado z apuntando hacia el centro del toroide (Figura 2.5).
Aplicaremos la transformaci´on a los ejes coordenados rotando 90◦
respecto de eje x y trasladando el origen una cantidad a + b con las siguientes ecuaciones
2.4. Superficie toroidal que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
Figura 2.4:Toroide con sistema coordenado colocado en su
cen-tro, n´otese ambos radios de curvatura.
Figura 2.5:Ajuste de un toroide a una secci´on fuera de eje con el
sistema coordenado centrado en la cara externa del toroide.
x= x0 y = −z0 z = y0,
a+b. (2.35)
Sustituyendo las ecuaciones anteriores obtenemos una expresi´on de la forma
zT = (a+b)−
r h
b+pa2 −y2i2 −x2 (2.36)
Definiendo las curvaturas del toroide comoc1 = 1/(a+b) yc2 = 1/a
y sustituy´endolas en la expresi´on anterior podemos obtener
zT =
1 c1 1− s
1− c1 c2
1−
q
1−c22y2
2
−c21x2
(2.37)
Podemos simplificar la expresi´on anterior usando la expansi´on en series de potencias en ambas ra´ıces, despu´es de un poco de algebra llegamos a una expresi´on aproximada para las sagitas de la superficie toroidal
zT =
1 2(c1x
2 +c
2y2) +
1 8(c
3 1x
4 +c3 2y
4) + 1
4(c
2
1c2x2y2) +... (2.38)
Anteriormente hemos encontrado una expresi´on para las sagitas para una secci´on c´onica fuera de eje, para el mismo grado de aproximaci´on que las sagitas de la superficie toroidal
2.4. Superficie toroidal que mejor ajusta a una secci´on fuera de eje
z ≈ 1
2cδ(δ
2x2 +y2) + 1
2c
2δ2kxsinθcosθ(δ2x2 +y2) +
1 8c
3δ3(δ2x2 +y2)[δ2ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)x2 +
ε(1 + 3cδkxsinθcosθ)y2]; (2.39)
2.4.2. Aproximaci´on del frente de onda
Estableceremos la diferencia de sagitas entre la superficie toroidal y la secci´on fuera de eje como W = zT −z, cambiaremos a un sistema
de coordenadas cil´ındricas como en casos anteriores y desarrollamos el ´
algebra para encontrar el polinomio de aberraci´on
W = zT −z
W = µ20ρ2 +µ22ρ2cos 2φ+µ31ρ3cosφ+µ33ρ3cos 3φ+
µ40ρ4 +µ42ρ4cos 2φ+µ44ρ4cos 4φ (2.40)
µ20 =
1
4c1 + c2 −cδ(1 +δ
2) f ocus;
µ22 =
1
4c1 −c2 +cδ(1−δ
2)] astigmatism;
µ31 = −
1 4c
2
δ2ksinθcosθ(1 +δ2) coma;
µ33 =
1 4c
2
δ2ksinθcosθ(1−δ2) tref oil;
µ40 =
1 643(c
3 1 +c
3
2) + 2c 2
1c2 −c3δ3b[δ2(3δ2 + 6) + 1] spherical;
µ42 =
1 16c
3 1 −c
3 2 −
1 2c
3δ3b[δ2(2δ2 + 3)] sec. astigmatism;
µ44 =
1 64c
3 1 +c
3 2 −2c
2
1c2 +c3δ3b(1−δ4) tetraf oil(2.41)
2.5.
Interferogramas sint´
eticos. Prueba num´
erica
En esta secci´on se mostrar´a el uso de las expresiones encontradas y los interferogramas sint´eticos calculados para dos ejemplos de secciones fuera de eje fabricadas y reportadas en la literatura.
El patr´on de irradianciaI(x, y)en todos los puntos de un interferograma puede ser considerado como una funci´on sinusoidal en un espacio bidi-mensional [27]. Estos interferogramas pueden ser obtenidos experimen-talmente con arreglos interferom´etricos tipo Fizeau, Twymann-Green, etc. Si un detector de luz es colocado en el plano de observaci´on, ten-dremos un patr´on de irradiancia distorsionado debido a las aberraciones del frente de onda, descrito por
I(x, y) = a(x, y) + b(x, y) cos
2πOP D λ
2.5. Interferogramas sint´eticos. Prueba num´erica
donde a(x, y) y b(x, y) son la iluminaci´on de fondo y el contraste lo-cal, respectivamente, la funci´on c(x, y) corresponde al ruido introducido en el interferograma que en nuestro caso es omitido, λ es la longitud de onda utilizada, el OP D corresponde a la diferencia de camino ´optico entre los frentes de onda de referencia y de prueba, y es igual a una funci´on bidimensional
OP D = W(x, y), (2.43)
donde W(x, y) puede ser expresada como una funci´on polinomial (por ejemplo, Zernike, Seidel, Kinglake, etc.), en nuestro caso W(x, y)
ser´a la diferencia de sagitas entre una secci´on fuera de eje (z(x, y)) y la c´onica en eje que mejor ajusta a esta secci´on (zc(x, y)).
Ahora tenemos definido el conjunto de ecuaciones necesarias pa-ra simular interferogpa-ramas, (ecuaciones 2.1-2.18 y 2.42-2.43), estas se usar´an para calcular los interferogramas sint´eticos de dos ejemplos de superficies fuera de eje fabricadas y que han sido reportadas en la litera-tura. El primer ejemplo es una secci´on que fu´e parte del dise˜no propuesto para fabricar un espejo de 10-m de di´ametro para la universidad de Ca-lifornia en los 70’s [28]. El segundo ejemplo corresponde a una secci´on fuera de eje parab´olica que es parte del sistema ´optico del espectr´ografo Boller and Chivens modelo 31523 del Observatorio Astrof´ısico Guillermo Haro (OAGH) y fabricado en los 80´s [29, 30].
2.5.1. Secci´on fuera de eje de un espejo de 10-m fabricada por Nelson et al.
Se usar´a como primer ejemplo el dise˜no descrito por Nelson et al. [8] para calcular los interferogramas correspondientes a secciones
para-b´olicas fuera de eje para tres diferentes distancias fuera de eje. Con las expresiones podemos generar un algoritmo en la mayor´ıa de los lengua-jes de programaci´on, en nuestro caso usamos el programa Mathworksr Matlabr debido a su facilidad de manejar matrices. Con ´este algoritmo se pueden calcular los valores de intensidad en todos los puntos de un interferograma por medio de la Ecuaci´on 2.42. La Figura 2.6 muestra el diagrama de flujo del proceso seguido. Los par´ametros iniciales de ´este ejemplo que se muestran en la Tabla 2.2.
Figura 2.6: Diagrama de flujo del algoritmo usado para calcular
interferogramas sint´eticos.
La Tabla 2.3 muestra los valores calculados de c0, k0 y θ calculados con las ecuaciones descritas en ´este trabajo de tesis, as´ı como los coefi-cientes de aberraci´on para varias distancias fuera de eje (x0), incluyendo
la secci´on fuera de eje reportada por Nelson et al. (x0 = 35cm); las
2.5. Interferogramas sint´eticos. Prueba num´erica
Tabla 2.2:Par´ametros iniciales de la secci´on parab´olica
fue-ra de eje fabricada por Nelson et al.
Par´ametro Valor
c [cm−1] 0.002711
rp [cm] 368.86
k -1
x0[cm] 35
Di´ametro [cm] 35.88
λ[cm] 6.328E-05
muestra los interferogramas correspondientes a cada caso.
Figura 2.7:Interferogramas sint´eticos de una secci´on parab´olica
fuera de eje a distintas posiciones x0.
Podemos notar que se reproducen los resultados obtenidos por Nel-son et al. Los coeficientes de aberraci´on fueron calculados usando las Ecuaciones 2.13. Astigmatismo y coma son las aberraciones de mayor influencia, estos coeficientes dependen de las caracter´ısticas del espejo y de la distancia fuera de eje definida al inicio (valor medido desde el v´ertice de la c´onica principal al punto central de la secci´on fuera de eje).
Tabla 2.3:Valores calculados de c0, k0 y θ. Coeficientes de aberraci´on calculados para una secci´on parab´olica fuera de eje para varias distancias fuera de eje [λ]
Par´ametros calculados Valores
x0=10cm x0=20cm x0=35cm
(F abricada por N elson et al.)
c0 0.002709cm−1 0.002711cm−1 0.02687cm−1
k0 -0.9993 -0.9971 -0.9911
θ 1.55◦ 3.1◦ 5.42◦
Focus (µ20) -2.37E-15 2.37E-15 0
Astigmatism (µ22) 0.0079 0.0314 0.0952
Coma (µ31) 0.0016 0.0031 0.0054
Trefoil (µ33) -5.77E-08 -4.59E-06 -2.41E-05
Spherical (µ40) -5.30E-12 -8.42E-11 -7.73E-10
Sec. astigmatism (µ42) 2.12E-11 3.36E-10 3.08E-09
Tetrafoil (µ44) -1.94E-15 -1.23E-13 -3.45E-12
9th order coma (µ51) 6.36E-12 5.03E-11 2.61E-10
9th order trefoil (µ53) -4.67E-15 -1.47E-13 -2.34E-12
2.5. Interferogramas sint´eticos. Prueba num´erica
2.5.2. Secci´on fuera de eje del espectr´ografo Boller and Chi-vens del OAGH
El segundo ejemplo es el dise˜no de un espejo parab´olico fuera de eje usado en un espectr´ografo comercial. El espectr´ografo Boller and Chivens es parte del instrumental con el que cuenta el Observatorio As-trof´ısico Guillermo Haro (OAGH) [29, 30]. El espectr´ografo es montado en el foco f/12 Cassegrain del telescopio, y est´a equipado con un espe-jo colimador parab´olico fuera de eje de 108 cm de distancia focal. En la Tabla 2.4 se encuentran, de manera similar al ejemplo anterior, los par´ametros iniciales usados en la simulaci´on de este interferograma.
Tabla 2.4:Par´ametros iniciales del espejo parab´olico fuera
de eje del espectr´ografo Boller and Chivens
Par´ametro Valor
c [cm−1] 0.004629
rp [cm] 216
k -1
x0[cm] 34
Di´ametro [cm] 9
λ[cm] 6.328E-05
La Tabla 2.5 muestra los valores calculados de c0, k0 y θ calculados con las ecuaciones descritas, as´ı como los coeficientes de aberraci´on para la distancia fuera de eje correspondiente al espejo. La Figura 2.8 muestra el interferograma correspondientes al espejo del espectr´ografo.
Tabla 2.5:Valores calculados de c0, k0 y θ. Coeficientes de aberraci´on calculados para el espejo parab´olico fuera de eje del espectr´ografo Boller and Chivens [λ]
Par´ametros calculados Valores
c0 0.004518cm−1
k0 -0.9756
θ 8.94◦
Focus (µ20) -4.06E-15
Astigmatism (µ22) 0.4368
Coma (µ31) 0.0251
Trefoil (µ33) -3.06E-04
Spherical (µ40) -2.76E-08
Sec. astigmatism (µ42) 1.09E-07
Tetrafoil (µ44) -3.33E-10
9th order coma (µ51) 9.39E-09
9th order trefoil (µ53) -2.29E-10
Pentafoil (µ55) 1.4E-12
Figura 2.8: Interferograma sint´etico del espejo fuera de eje del
2.6. Prueba experimental
2.6.
Prueba experimental
Para verificar la validez del conjunto de ecuaciones (ecuaciones 2.1-2.18 y 2.42-2.43) y el algoritmo computacional de la Section 2.5; interfe-rogramas experimentales de una secci´on fuera de eje fueron obtenidos y comparados con los correspondientes interferogramas sint´eticos. Como criterio de comparaci´on para ambos tipos de interferogramas, la t´ecnica de la correlaci´on en dos dimensiones [31, 32] fu´e usada.
2.6.1. Arreglo de prueba nula
Para verificar la validez del conjunto de ecuaciones, montamos el arreglo experimental de la Figura 2.9, con el interfer´ometro tipo Fizeau (Zygor Corp. Mark II) del taller de ´optica INAOE. De la Figura vemos que un frente de onda plano incide en un espejo parab´olico fuera de eje fabricado con el m´etodo convencional de fabricaci´on de secciones fuera de eje (pulido zonal selectivo o tambi´en llamado por escalonamientos). Supongamos que no sabemos los par´ametros de ´este espejo, excepto su di´ametro, la secci´on de espejo enfoca el haz incidente en su punto focal f y ´este punto se hace coincidir con el centro de curvatura de un espejo esf´erico de alta calidad (PV=λ/15, RMS=λ/133, λ=6.328E-05 cm). Con ´este arreglo obtenemos el interferograma experimental correspon-diente a una prueba nula para el espejo fuera de eje bajo an´alisis, ´este interferograma es mostrado en la Figura 2.10, puede notarse las franjas casi rectas con las deformaciones t´ıpicas localizadas en los bordes del espejo y debidas al trepanado que se realiza en el pulido zonal selectivo. De ´esta prueba obtenemos los par´ametros que definen a ´esta secci´on de espejo fuera de eje y son mostrados en la Tabla 2.6
Figura 2.9: Arreglo de prueba nula usado para obtener los par´ametros de una secci´on parab´olica fuera de eje.
Figura 2.10: Interferograma experimental obtenido con la prueba
nula.
Tabla 2.6:Par´ametros de la secci´on parab´olica fuera de eje,
obtenidos por medio de la prueba nula.
Par´ametro Valor
c [cm−1] 0.01
rp[cm] 100
k -1
x0 [cm] 4
2.6. Prueba experimental
2.6.2. Arreglo de prueba en eje
De manera similar a la secci´on anterior, podemos usar el interfer´ ome-tro para obtener un interferograma experimental para la misma secci´on fuera de eje, pero ´esta vez usando una superficie esf´erica de referencia en el interfer´ometro y realizando una prueba en eje a incidencia normal, como se muestra en la Figura 2.11. Un frente de onda esf´erico de refe-rencia converge al punto focal f, y ´este punto coincide con el centro de curvatura paraxial de la secci´on parab´olica fuera de eje. Con ´este arreglo un interferograma experimental es obtenido, corresponde a una prueba en eje de la secci´on fuera de eje bajo an´alisis, y ´este interferograma experimental ser´a comparado con el interferograma sint´etico obtenido con el conjunto de ecuaciones de la secci´on 2.2. El interferograma ex-perimental fu´e obtenido al comparar el frente de onda de referencia del interfer´ometro Zygor contra el frente de onda proveniente de la secci´on fuera de eje.
Figura 2.11:Arreglo de prueba en eje usado para obtener el
interferograma experimental de una secci´on fuera de eje.
Primero describiremos algunos factores de ajuste mec´anicos que ne-cesitamos tomar en consideraci´on para continuar con el procedimiento.
2.6.3. Factores de ajuste experimentales
En las ecuaciones 2.11 y 2.12 tenemos el t´ermino de error de foco definido por el coeficiente µ20, ´este t´ermino es obtenido al realizar la
expansi´on en series de potencias; en general, para las simulaciones siem-pre tiene un valor nulo. N´otese que ´este t´ermino no es el error de foco mec´anico que se introduce en un arreglo experimental. Si necesitamos simular un interferograma y hacerlo coincidir con uno experimental es importante tomar en cuenta ´estos factores mec´anicos de ajuste, inclu-yendo las inclinaciones y tambi´en agregar un nuevo t´ermino de error de foco para hacer coincidir el interferograma sint´etico con el experimen-tal. Por lo tanto, haremos una correcci´on a la ecuaci´on original para la diferencia de camino ´optico OP D de la siguiente manera
OP D = W(x, y) +µf ocus(x2 + y2) +µtiltx(x) +µtilty(y); (2.44)
donde µf ocus es el error de foco introducido en el arreglo
experi-mental, µtiltx y µtilty son las inclinaciones en las coordenadas x y y,
respectivamente. Por lo tanto, es mejor tratar a estos factores de ajuste de manera separada de las aberraciones que se derivan de la expansi´on matem´atica. Es importante recordar que ´estos factores de ajuste son in-tr´ınsecos del arreglo experimental y deben ser agregados manualmente.
2.6.4. Correlaci´on en dos dimensiones
Para usar el conjunto de ecuaciones descrito (ecuaciones 2.1-2.18 y 2.42-2.44) para simular interferogramas sint´eticos con los par´ametros mostrados en la Tabla 2.6, es necesario modificar los valores de los fac-tores de ajuste con un m´etodo de optimizaci´on iterativo, hasta igualar
