LOGARITMOS – ALGEBRA CUARTO DE SECUNDARIA – Descarga Matematicas

Logaritmos I

Introducción

En la época de los grandes descubrimientos, las operaciones aritméticas fueron clasificadas en tres especies: la primera especie la conformaban las operaciones de adición y sustracción; las de segunda especie eran la multiplicación y división; la potenciación y radicación eran de tercera

Definición

Se denomina logaritmo de un número real positivo al exponente a que se debe elevar una base positiva y distinta de la unidad, para obtener una potencia igual al número propuesto, es decir:

x especie. Resolver un problema de cálculo aritmético

consistía en transformar uno de segunda o tercera especie

en una especie inferior (primera especie) de manera que donde:

l o g

bN = x b = N

sea más sencilla.

Entonces el gran problema era hallar un proceso que permitiese transformar las operaciones de potenciación radicación, multiplicación y división en una división o sustracción y así que el matemático y teólogo escocés John Napier (1550 - 1617) publicó la primera tabla de logaritmos en el año 1614. Posteriormente, trabajando en forma independiente, el suizo Jose Bürgi (1552 - 1632), fabricante

- x: logaritmo x IR

- b: base (b > 0; b  1)

- N: número al cual se le toma logaritmo (N > 0)

Ejemplos:

- log₅25 = 2; porque: 52 _{= 25} - log₂32 = 5; porque: 25 _{= 32} -2 de instrumentos astronómicos matemático e inventor, - log 9 = -2; porque: 1 

 

= 9

publica su tabla de logaritmos en 1620. 1/3 3 

Una tabla de logaritmos consta de dos columnas de números. A cada elemento de la columna de la izquierda le corresponde su logaritmo que es el número ubicado a su derecha.

Si bien es cierto que realizar la tabla de logaritmos no ha sido sencillo, gracias a ella podemos multiplicar dos números sumando logaritmos, dividir dos números restando logaritmos, hallar una potencia multiplicando la base por el índice; es por ello que los logaritmos fueron indispensables durante tres siglos en el cálculo aritmético, el cual actualmente ha sido sustituido por las máquinas electrónicas, sin embargo siguen ejerciendo un papel importante en el campo de las ciencias químicas, físicas,

- log₃1 = 0; porque: 30 _{= 1}

Identidad fundamental

De la definición, se desprende que:

blogb N = N N > 0; b > 0; b  1

Ejemplos:

- 5log5 3 = 3 - 7log7 2 = 2 economía, estadística, etc.

A lo largo de la historia se han establecido muchas tablas de logaritmos, pero la más usual es la de los logaritmos decimales, la cual fue elaborada por el matemático inglés

Efectuar:

Solución:

4log2 5 + 27log3 4

Henry Brigss (1561 - 1631) en colaboración con Napier.

Actualmente los logaritmos se utilizan para trabajar cantidades sumamente elevadas, reduciéndolas a escalas más pequeñas, donde se pueden trabajar cómodamente, utilizando lo que se conoce como “papel logarítmico”.

 4log2 5 + 27log3 4 = (22) log2 5 + (33) log3 4

= (2log2 5 )2 _{+ (3}log3 4 ₎3 _{= (5)}2 _{+ (4)}3 _{= 89}

a) 3 b) 6 c) 9

d) 12 e) 18

3

8

x

Propiedades generales de los logaritmos

1. log_b1 = 0  log₅1 = 0

2. El logaritmo de qué número en base 2 2 es 8.

Solución:

2. log_bb = 1  log₇7 = 1

3. log_xab = log_xa + log_xb log₂(15) log₂(3)(5)

log _{2 2} N = 8  (2 2 ) = N

28. 2 8 = N

N = 4 096

log₂3 + log₂5

4. log_xa/b = log_xa - log_xb log₂5/9  log₂5 - log₂9

5. log_xbn _{= nlog}

xb log22100

100log₂2  100

Cologaritmo

Se define como cologaritmo de un número al logaritmo del inverso multiplicativo de dicho número, es decir:

3. Calcular el logaritmo de 64 en base 3 _{2 .}

Solución:

log _{3 2} 64 = x

( 3 2 )x = 64

2x/3 _{= 26} x

= 6  x = 18

3

4. El logaritmo de 2 3 en base “x” es 0,1. Hallar “x”.

Solución:

1 

1 log_x2 3 = ₁₀ colog_bN = log_b  

N  x1/10 = 2 3  x = (2 3 )10

x = 210_{. 3} 10 _{= x = 248 832}

Antilogaritmo

antilogaritmo_bN = bN

Nota:

log_b(antilog_bN) = N; antilog_b(log_bN) = N

Cambio de base:

5. Hallar “x” en:

Solución:

log _{3 x} 16 = 4

3 _x 4 _{= 16  x =} 4 _{16 3} x = 23 _{x = 8}

Problemas para la clase log_x a

log_ba = log b

Regla de la cadena:

log_ba.log_cb.log_dc = log_da



Problemas resueltos

1. Calcular el valor de las siguientes expresiones:

1. Calcular el valor de las siguientes expresiones:

* log₄16

* log₈32

* log₂₅ 25

* log₃243

- log₃81 = 3x _{= 81  x = 4}

- 8 log8 a _{= a; (identidad fundamental)}

* log

* log 343 7

1 

0,   - log₄(3x) = log₄3 + log₄x; (x > 0)

5 

9 

- log₃   = log₃5 - log₃4 2. El logaritmo en base 1/3 del número 1/729 es:

4 

a) 27 b) 45 c) 15

d) 25 e) 18

2 9

3. Calcular el valor de:

J = log2 3 log3 5 l og5 2 5log5 3

1 d)

2

1 e) -

6

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) N.A.

9. Efectuar: 3

 2  1

4. Si: L = log ₃ [log₂(log₂256)]

log₂ 45 3

a) log₅2 b)

log₃ 40 2

1

log₅ 72 1

c) log₂5 Hallar: L - 1

2

1

5 1

d) 1 e) ₂

a) 1 b) ₂

3

d) 0 e) ₂

c) 2 _10.Reducir:

log₂ 1



15 1 log₃

1



10 1 log

1

5 6 1

5. Simplificar la expresión:

75  50   32 

1

a) ₆ b) 1 ₂ c) 0

G  log  - log    log  

16 81 243

     

a) 1 b) 0 c) -1

d) -1 e) 1

11.Calcular:

1 1

d) ₂ e) -

2 1

J = 5 log7 5  1

6. Calcular: 3  1 

- log  

log7 2

M = log3 7 log5 3 log2 5 log 4 11log11

10 

a) 2 b) 1 c) -1

d) 8 e) 0

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

12.Calcular el valor de:

R = log₅2.log2 + log₂5.log5 - log₅10.log₂10

7. Si:

A  log 3.log ₃ 10

a) -1 b) -3 c) -2

d) 1 e) 0

Hallar: B - A

B  log ₅ 8 .log 25 ₂ 13.Calcular:

lne + lne2 _{+ lne}3 _{+ .... + lnex+1}

x 1

11

a) 0 b) 1 c) 2

a) x b)

x(x 1)

2

(x 1) (x 2)

d) 3 e) 4

8. Calcular:

-1

c) ₂

(x - 1)x e)

2

d) ₂



log _0,6  2 _log

3

 

3   _log 2

0,5 3

 ₁₂   ₁₅ 

5 4 14.Si: a b = (log a) . (log b)

   _

3 3

Hallar: 35 9

1

a) 1 b) -100 c) 100-1

d) 100 e) -1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

   w

log 5

7 9 

2

15.Hallar el valor de:

J = log_b {anti log ₂ [log ₃ (anti log ₄ 3)]}

b b b

a) 36 b) 9 c) 7

d) 18 e) 14

22.Efectuar:

a) 2 b) 8 c) 12

d) 4 e) 6 1 logb a 

16.Indicar el valor de la expresión: anti log2 b



1 _{loga b} _.loga 5

log_0,25 2 2 2

8  log0,04 5 5 5....

a) 8 b) 32 c) 16

1

d) 2 e) ₂

2

a) ₃ b) 1 ₈ c) 1 ₄ 23.Si: {x; y; z; w} IR+- {1} y además:

   

log5 x log7 y log9 z 

1

d) - _{8 e) - 16} 15 log5

w2

y ._{log z} ._log  2

17. Si: 10x _{= 18; 10}y _{= 12, calcular “log}

106” en términos de “x” e “y”.

Calcular: x

x - y a)

2

x  y

b) 2

x y

c) 3

1

a) ₂ b) 0 _{c) 1}

x - y d) ₃

18.Calcular:

x  y e)

4

1

d) - _{2 e) -1}

24.Sean: a, b, c IR - {1}, simplificar:

log _0,4 1 3 50

5  log

2 2 0,32 ₅

10log100



log_a bc 1

10log100



log_b ac 1

10log100 log_c ab 1

5 a) ₆

1 d) ₆

1 b) ₃

5 e) ₃

1 c) ₂

25.Calcular:

antilog₃ (log

3 2 (antilog4 2 (co log6 2 8)))

19.Reducir la expresión:

log5 2log2 7log 7 5log 5 8

1

a) 32 _{b) 27 c) -}

27

log₂ 5 ₁

d) ₂₇ e) - 1 ₉

26.Hallar el valor de: 20.Si: log₃5 = a ; log₃2 = b. Hallar “log₃(2,7)” en función

de “a” y “b”. log5 3 {anti log3 [co log (log 9 (log125 anti log5 log4 2 5

2 ))]}

a b

a) 2

a b

b) 3 + a - b c) 3

a) 6 b) 8 c) 10

d) 12 e) 4

d) 3 - a - b e) a - b - 3

21.Simplificar:

27. A qué es igual:

E = log2 3 ₈₁

log 2

{49log7 6 _} log3 5 2 3 a) 4 b) 9 c) 16

5

28.Siendo: log₄₂2 = a ; log₄₂3 = b

Hallar: log₄₂₄₉ 2. Calcular:

37   3   3 

log₂   + log₂   - log₂  

a) 1 + a - b b) 2(1 + a + b) c) 3(1 - a - b) d) 2(1 - a - b) e) a - b + 2

29.Indicar V o F según corresponda:

I. log₂(xy) = log₂|x| + log₂|y| / xy > 0

23 

a) 2 b)

74 

1

2 c) 1

3

92 

II. log (x + y ) = ₂ log x + ₂ log y ; c ua n do : ₂ d) 3 e) 4

1

 1 1 ; donde: x, y IR+. 3. Calcular: log 32 + log 16 2 1/4 x y

III. log₂(-2)4 _{= 4log}

2|-2| = 4

a) VFV b) VVF c) VFF

d) FVV e) VVV

a) 7 b) 2 c) 4

d) 1 e) 3

4. Resolver: ax _{= b}

30.Al reducir:

-1 2

a

a) b) logb c) log a

co log ₄ Se obtiene:

log₂ log₂ anti log ₄ (log_{1,4 1,96)} b log a

b

logb

1

a) 1 b) -1 c) ₂

1

d) 1 e) _a

5. Hallar “x”, si: log₄x = 1,5 d) - ₂ e) 0

Autoevaluación

3

a) 4 b) ₂

d) 6 e) 2

c) 8

1. Hallar: log₃ 3

1 a)

3

1

b) 5 c)

5

4 AÑO

3

Logaritmos II

He aquí un ingenioso rompecabezas algebraico que nos Resolviendo la ecuación exponencial: trajo a los delegados de un congreso físico celebrado en

Odesa. Proponen el siguiente problema: 3 3x

 

2

2

2 

=  

3

3x

3    

2

-2

3 

=  

2 “Expresar el siguiente número entero y positivo mediante

tres números “dos” y signos matemáticos”.

   _ Luego:

   _

2

Solución: 3x = -2  x = - 3

- Mostramos en un ejemplo la solución de este problema. - Supongamos que el número raro es el “3”, en este caso

el problema se resuelve así:

3 = -log₂.log₂ 2

Es fácil convencerse de la veracidad de tal igualdad. En efecto:

-3

2. Hallar “n” en:

Solución:

log n = 3log6 - 2log3

logn = log63 _{- log32}

logn = log 216 9 2 = [(21/2₎1/2_]1/2 _{= 2}1/8 _{= 22}

2-3

 n = 24

también: log₂ 2 = 2-3

luego: -log₂2-3 _{= 3 3. Si: F}

(x)

Hallar: = log10x - Si el número fuera 5, resolveríamos por los mismos

procedimientos:

Solución:

E = F₍₁₎ + F_(0,1) + F_(0,01) + F_(0,001)

Con la ley dada:

5 = -log₂.log₂ 2 _{E = log 1 + log 0,1 + log 0,01 + log 0,001}

10 10 10 10

- Se tiene presente que siendo la raíz cuadrada, se omite el índice de la misma.

La solución general del problema es como sigue, si el

número dado es “N”: 4. Resolver:

E = 0 + (-1) + (-2) + (-3) E = -6

log₆x.log_x2x.log_2x3x = log_xx2

 N = -log₂ log₂ ... 2 Solución:



"N" veces

# de radicales = # de unidades del número dado

Regla de la cadena en el primer miembro: log₆x.log_x2x.log_2x3x

log₆3x



Problemas resueltos

 log₆3x = 2 x_



1. Calcular el logaritmo de 4/9 en base 3 3/8. log x

1 Solución:

log 4 = x 3 9

8

x

log₆3x = 2  62 = 3x x = 12

5. Hallar el valor de “x” sabiendo que se cumple la siguiente igualdad:

log_k32.log_xk = 5

27  4

   =

8 9

x Solución:

Regla de la cadena en el primer miembro: log_k32.log_xk = log_x32

1

a) n n b) nn _c)

nn

Luego:

log_x32 = 5

x5 _{= 32 x =} 5 _{32  x = 2}

1 d) n

n

7. Resolver:

1 e)

n

Problemas para la clase log8 log4 log2 16  x

1. Calcular el valor de “x” que satisface la igualdad: _a) 1 _{b) -} 1 _{c) -4}

* log_x4 = 2/3 * antilog_{2x = 32} * log _0,6 x = 3

2 1 d) ₆

2 1 e) - ₆

* log_{251 = x}

2. Determine el valor de “a” en las siguientes ecuaciones:

* 2a _{= 3}

* 3a _{+ 3}a+1 _{= 20} * 5a _{= 10} * (1/2)a _{= 2}

8. Determinar el valor de “x” en: log₂x + log_{4x = 3}

a) 2 b) 4 c) 3

d) 5 e) 6

9. Si:

3. Indique el valor de “x” que cumple: log₂(log₅x) = 1

Hallar “x”. log4(2x + 1) + log2(4x + 2) = 2

a) 5 b) 25 c) 1

1

d) 125 e)

25

1 a) ₂

1 d)

4

1 b) ₃

3 e)

4

2 c) ₃

4. Resolver:

(log x y ) (log y z) (logz { x -3})

10.Calcular “a”, dada la siguiente igualdad:

log [x ]  log 5 _xlogx (x 2)

5log5 x  3log3 12

a) 2 b) 3 c) 4

d) 8 e) 9

5. Si:

a) 4 b) 5 c) 6

d) 8 e) 10

11.Hallar el valor de “x”:

log (5x - 1) + colog (3x - 5) = 2 _{3 3}

log 1 - 1 log 1 - 1 log 1 - 1 ... log 1 - 1 - 3  3 

Hallar “n”

 

 4 

 

 5 

 

 n  a) 1 b) 2 c) 4

d) 8 e) 16

a) 103 _{b) 20}-3 _{c) 2000}

1 d) 3000 e) ₁₀₀₀

6. Determinar “x” si:

12.Calcular el valor de “x”.

antilog_xantilog_xx = 16

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 6

log_b x x xn _{ x}n - x 13.Resolver:

_x 2 _{- y} 2  11

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

a) 4 b) 8 c) 16

d) 32 e) 256

a) 10 b) 102 c) 103

d) 104 e) 105

2

3



2



a) - 10 ; 1 _b) 10 ; 1 20.Resolver e indicar el producto de las soluciones de la _ecuación: 3 3 3 3

1000log 3 _{ 3}x -5x 9

c) 1 ; 1 d) 2 ; 10

3

e) 5 ; 1

3 3

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

3 3

21.Calcular “x” en la ecuación: 14.Al resolver:

 x 2 y2

25  5

antilog_x antilog_{4 2} antilog₂ 3  625

Hallar “x + y”

1 a)

4



ln x  2 ln y

1 b)

2

3 c)

4

a) 1 b) 3 c) 2

d) 5 e) 7

22.Si resolvemos el sistema de ecuaciones: ex + y _{= 12 ; e}x - y _{= 3} donde: e = 2,718281...

d) 1 e) 0

15.Si se cumple:

¿Cuál es el valor de “y”?

a) ln4 b) ln2 c) ln2 + ln3

d) ln3 e) ln6

_p2

log   

 q2 _

 logp  log q 

 23.Si: logxyzx = -4; calcular el valor de:

Hallar: log_pq + log_qp 1

log_y xyz log1 _z xyz

16.Luego de resolver:

log_{x + 1} (5x + 19) = 2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

24.Hallar “x” en la ecuación: la solución es:

a) 1 b) 3 c) 2

d) 5 e) 6

1 log_x 3 10

 1

log_x 1 10

 log15

17. Resolver:

log2_{x - 7logx = -12}

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

e indicar el producto de soluciones.

a) 105 _{b) 10}2 _{c) 107}

d) 108 _{e) 103}

25.Resolver:

25log5 x - 3log27 x - 6log6 12  log₅ 1

18.Resolver:

log2_{x + 3logx + 2 = 0}

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

e indicar la mayor solución.

a) 102 _{b) 10}-2 _{c) 10}

d) 10-1 _{e) 1}

19.Resolver:

26.Resolver:

5log₂x - 3log₄x = 28

log2_{x - 5logx - 6 = 0}

e indicar el producto de sus soluciones. _{27. Si: a = x}logy _{; b = ylogx} Reducir:

log _a  b 

2 

  

1

a) 1 b)

2 c) -1

2. Hallar el logaritmo de 16/81 en base 4/9.

a) 2 b) 3 c) -3

1 d) -

2 e) 0

1

d) ₄ e) 1 ₂

28.Resolver:

log x  log y  8

3. Resolver: 9log9 (113 x ) _{= (22 + 10x)}

 log y

x  107 a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

Calcular el mayor valor de: x/y

a) 106 _{b) 10}-6 _{c) 101/6}

d) 10-1/6 _{e) 101/3} 4. Simplificar:

 1   1   1 

log₅ 1  + log₅ 1  + log₅ 1   + ... +

2 3 4

29.Resolver:

xlog3 + 4log(log5) = 4log(log125)

     _

 1 

log₅ 1 

49 

a) 1 b) 2 c) 3  

d) 4 e) 5

30.Resolver:

2x + 1 _{+ 2}x + 2 _{+ 2}x + 3 _{= 140}

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

5. Calcular: antilog₂4 + antilog₃3

a) 1 b) 10 c) log2

d) 2 e) log_{210 a) 42 b) 48 c) 43}

d) 3 e) 1

Autoevaluación

1 1. Hallar “x” en: log₈x =

3

a) 3 _{6 b) 2 c) 3}