Tarea 4

(1)

INSTITUTO TECNOL ÓGICO AUT ÓNOMO DE MÉXICO Econom´ıa V

Respuestas a la Tarea # 4

Andr´es Potapczynski LA_TEX

†_{1.- Falso.}

Entre más sustituibles sean los bienes intertemporalmente los cambios de la tasa de interés van a tener un mayor impacto sobre las decisiones de consumo presente y futuro. As´ı, pequeñas fluctuaciones de la tasa de interés van a equilibrar la econom´ıa. Intuitivamente, el cambio en precios cuando los bienes son más sustituibles va a ocasionar que se consuma mucho menos del bien caro. Ya que esta afirmación está generalizando el comportamiento de las tasas de interés con respecto a la elasticidad de sustitución intertemporal, basta exhibir un caso particular en donde no se cumpla para tomarla como falsa. As´ı: supongamos que y1 < y2 ⇒ _yy₁2 > 1, seaσ1 > σ2 >0, y supongamos que la fluctuación de la tasa de interés se da debido a un incrementoλ >1 de y2

y1: esto puede ser debido a que la dotaci´on futura aumente

o, bien, que la dotación presente disminuya. As´ı, haciendo uso de la condición de eficiencia y del vaciado de mercado, vamos a demostrar que la tasa de interésr1 con la elasticidad de sustitución mayor aumenta menos que la tasar2con una elasticidad menor; entonces, en el nuevo equilibrior1< r2.

∴r1< r2

⇐⇒ β(1 +r1)< β(1 +r2) ⇐⇒

λy2 y1

1

σ1

<

λy2 y1

1

σ2

⇐⇒ λy2 y1

<

λy2 y1

σ₁ σ2

⇐⇒ λy2 y1

<(λ) σ1

σ2

_y 2

y1

σ₁ σ₂

X

Un número mayor a uno elevado a una potencia mayor a uno va a ser mayor que el mismo número. Entonces ya vimos como un incremento en la relación de dotaciónes genera un menor cambio en la tasa de interés entre mayores sean las elasticidades de sustitución intertemporales.

†_{2.- Verdadero.}

En equilibrio general, los precios se determinan por la escacez relativa de los bienes en la econom´ıa. Nota: el precio del bien de consumo futuro es: ₁₊1_r. De esta manera, independientemente de si algún individuo es ahorrador o deudor un incremento en la dotación tal que haga más escaza el bien futuro hará que su precio disminuye y, entonces, que 1 +r↑.

3.- Verdadero.

Si el consumo presente se contrae debido a un aumento en la tasa de interés eso implica que el individuo es ahorrador. Lo que sucede es que a la tasa de equilibrio decide transferir parte de su dotación presente para consumo futuro; entonces, si la tasa aumenta crece el incentivo de transferir consumo al futuro por lo que el consumo presente disminuye todav´ıa más. As´ı, entre menor sea la dotación del futuro, el individuo ahorrador va a sacrificar más de su consumo presente para conseguir una canasta balanceada.

4.- Falso.

Si a la tasa de interés el individuo es deudor entonces un aumento de esta tasa va a desinsentivar el endeudamiento sin importar la elasticidad de sustitución. La elasticidad de sustitución solamente va a indicar la magnitud de este cambio.

5.- Incierto.

Ya que sonI individuos en la econom´ıa, entonces las decisiones de estos dos individuosi yj tienen presencia pero no determinan las tasas de interés de equilibrio. Por el primer teorema del bienestar sabemos que en equilibrio los individuos maximizan sujetos a su restricción presupuestal; as´ı, el problema de maximización es el siguiente (k∈ {i, j}):

max

ck

1,c

k

2

lnck1+βklnck2 s.a. ck1+

ck

2 1 +r =y

k

(2)

Ya que la funci´on de utilidad es Cobb-Douglas, la demanda por el consumo futuro es:

ck₂(r, yk₁, yk₂) = βk 1 +βk

y₁k(1 +r) +y₂k Dada r∗ _{de equilibrio, sabemos que} _βi _{> βj} _{y que} _yi

1, y2i

6= (y₁j, y₂j). De comprar las derivadas de las demandas futuras respecto a la tasa de inter´es no se puede concluir nada ya que las dotaciones son diferentes:

∂ci

2

∂(1 +r∗₎= βi

1 +βiy

i_⋚ βj

1 +βjy

j₌ ∂c j

2

∂(1 +r∗₎

Si bien es cierto que el individuoivalora más el consumo futuro relativo alj entonces un aumento de la tasa de interés va a hacer que, por este lado, el primero aumente su consumo más que el segundo. Sin embargo, la única manera en que los individuos pueden aprovechar el aumento de la tasa de interés es ahorrando parte de su dotación presente; si la dotación presente del individuoj es mayor que la del individuoisu consumo del bien futuro puede aumentar más que la del segundo.

6.- Verdadero.

Para sacar la tasa de inter´es de equilibrio se deben sacar las demandas futuras (ya que el bien del periodo presente es numerario) y usar el vaciado del mercado del consumo futuro.

cA₂ +cB₂ =y₂A+yB₂ βA

1 +βA

y1A(1 +r∗) +yA2

+ βB

1 +βB

y1B(1 +r∗) +y2B

=yA2 +y2B

(1 +r∗) =

yA

2 1 +βA +

yB

2 1 +βB

βA

1 +βA

yA₁ + βB 1 +βB

yB₁

−1

La derivada de la tasa real con respecto a alguna dotaci´on presente es (p∈ {A, B}):

∂(1 +r∗₎ ∂yp₁ =

−h y A

2

1+βA +

yB

2

1+βB i h

βA 1+βAy

A

1 +

βB 1+βBy

B

1 i2

βp

1 +βp

ComoβA> βB⇒ βA 1+βA >

βB

1+βB, entonces:

∂(1+r∗₎

∂yA

1

> ∂(1+_∂yBr∗)

1 .

7.- Cada individuo pertenenciente a la econom´ıa se enfrenta al siguiente problema de maximizaci´on.

max

ci

1,c

i

2

ci

1 1−1

σ −1 1−1_σ +β

ci

2 1−1

σ −1

1−1_σ s.a. c

i

1+

ci

2 1 +r =y

i

1+

yi

2 1 +r

As´ı, la condici´on de eficiencia para cada individuo nos dice que:

ci

2

ci

1

σ

=β(1 +r) (Cond. Ef. Inter)

De donde tenemos que: ci

2=βσ(1 +r)

σ ci

1. El vaciado de mercados nos dice que (p∈ {1,2})P

I i=1cip=

PI

i=1ypi. Si

sumamos las condiciones de eficiencia para cada individuo

∴c12+c22+· · ·+cI2=βσ(1 +r)

σ

c11+c21+· · ·+cI1

⇐⇒ PI

i=1ci2 PI

i=1ci1 1

βσ = (1 +r) σ

⇐⇒ PI

i=1yi2 PI

i=1yi1 !1σ

1

β = (1 +r

(3)

8.- (a) Las restricciones presupuestarias del consumidor representativo son las siguientes:

c1+b=y1 y (1 +τ)c2=y2+ (1 +r∗)b+T Si unimos las dos restricciones presupuestales tenemos que:

c1+ 1 +τ

1 +r∗c2=y1+ y2 1 +r∗ +

T

1 +r∗

De esta forma, el problema del consumidor representativo es: max

c1,c2

lnc1+βlnc2 s.a. c1+ 1 +τ

1 +r∗c2=y1+ y2 1 +r∗ +

T

1 +r∗

(b) Para sacar el valor de la tasa de inter´es de equilibrio usamos la condici´on de eficiencia del problema del consumidor representativo y el vaciado de mercados en donde: c∗

i =y∗i para toda 1≤i≤2. As´ı: c∗

2

βc∗

1

=1 +r

∗

1 +τ ⇒ 1 +r

∗_{= (1 +}_τ₎ y2 βy1

Debido al impuesto al consumo, el bien futuro se encarece y, por ende, el consumidor representativo va a consumir menos de ese bien. Para que no se altere el equilibrio, la tasa de interés aumenta lo cual desinsentiva el endeudamiento para consumir más del bien presente y dejar de consumir el bien futuro. En otras palabras, ya que la tasa de interés es el inverso del precio del bien futuro entonces un aumento de esta tasa va a disminuir el precio del bien y, por ende, a contrarrestar el efecto del impuesto al consumo.

(c) Ya que la econom´ıa est´a cerrada al intercambio comercial lo cual implica b∗ _{= 0 en equilibrio. As´ı el vaciado}

del mercado de bienes de cada per´ıodo es: c∗

1 =y∗1 y c∗2 =

y∗

2

1+τ. Esto se ve de las restricciones presupuestales del

consumidor representativo al inicio del problema. As´ı, de la condiciones de eficiencia y del vaciado de mercados tenemos que:

c∗

2

βc∗

1

=1 +r

∗

1 +τ ⇒ (1 +τ) y2 1 +τ

1

βy1 = y2

βy1

= 1 +r∗

El gobierno le está ”robando” bienes al consumidor representativo por medio del impuesto al consumo en este escenario. A la nueva tasa de interés el individuo consume menos en el segundo per´ıodo por la pérdida de estos bienes.

(d) El vaciado de los mercados de bienes no se altera, sino que simplemente cambia la condici´on de eficiencia:

c∗

2

c∗

1 1σ ₁

β =

1 +r∗

1 +τ ⇒ 1 +r

∗_{= (1 +}_τ₎1−1

σ 1

β

y∗

2

y∗

1 σ1

Para dar una explicaci´on intuitiva simplemente me voy a fijar en el coeficiente de (1 +τ)1−

1

σ_{. A medida que} _σ _se hace más grande, el efecto de la imposición fiscal en la tasa de interés se va a hacer mayor. Intuitivamente, si se debe cumplir el vaciado de mercados y los bienes son muy sustituibles, entonces la el precio del bien futuro va a disminuir para contrarrestar el efecto del impuesto. As´ı, ¿qué pasa cuandoσ ∞?

9.- (a) La manera más fácil para obtener la demanda de consumo del primer per´ıodo es armar el lagrangeano con una sola restricción presupuestal. As´ı, despejando el valor de los bonos iterativamente nos queda que:

max

c1,c2,c3

(c1)1−

1

σ −1 1−1_σ +β

(c2)1−

1

σ −1 1−_σ1 +β

2(c3) 1−1

σ −1 1−1_σ

s.a. c1+

c2 1 +r1

+ c3

(1 +r1)(1 +r2) =y1+

y2 (1 +r1)+

y3 (1 +r1)(1 +r2) De donde nos quedan las siguientes C.O.P:

c1: ₁

c∗

1 1σ

=λ∗ (1)

c2: ₁

c∗

2 1σ ₁

β = λ∗

1 +r1

(2)

c3: ₁

c∗

3 1σ ₁

β2 =

λ∗

(4)

Si dividimos (1) entre (2) y (1) entre (3) y desp´ues despejamos el valor dec∗

2 yc∗3 nos queda que:

c∗₂=βσ(1 +r1)σc∗₁ ∧ c∗₃= β2σ

(1 +r1)σ(1 +r2)σc∗₁

Sustituyendo estos valores en la restricci´on presupuestaria y despejando porc∗

1nos queda que:

cD1 =

1

1 +βσ_{(1 +}_r₁₎σ−1_{+ (}_β2₎σ_{(1 +}_r₁₎σ−1_{(1 +}_r₂₎σ−1

y1+

y2 (1 +r1)+

y3 (1 +r1)(1 +r2)

(b) Supongamos que la dotaci´on es constante∴(y1, y2, y3) = (¯y,y,¯ y¯). De las condiciones de eficiencia de un per´ıodo (dividir (2) entre (1) y dividir (3) entre (2)) nos queda que las tasas de inter´es de equilibrio son las siguientes. Nota: el vaciado del mercado de bienes cada per´ıodo esct=yt ∀t∈ {1,2,3}. Entonces en equilibrio:

(1 +r∗

1) = 1

β

y2

y1 1σ

y (1 +r∗

2) = 1

β

y3

y2 σ1

La Riqueza del individuo est´a definida como el valor presente de su dotaci´on; entonces:

R=y1+

y2 (1 +r∗

1)

+ y3

(1 +r∗

1)(1 +r∗2)

(Valor Presente)

=y1+βy2

y1

y2 σ1

+β2y3

y1

y3 σ1

(Tasas Equilibrio) = ¯y 1 +β+β2

(Dotaciones iguales) (c) Ahora tenemos quey1, y2= ¯y∧y3=Qy¯ conQ >1.

R2=y1+βy2

y1

y2

1

σ +β2y3

y1

y3

1

σ

= ¯y+βy¯+β2y Q¯ 1−σ1 = ¯y1 +β+β2Q1−1

σ

El valor presente del la riqueza del segundo equilibrioR2 es mayor a la de la primer equilibrio R1 siQ1−

1

σ >1. Para que un n´umero mayor a unoQ al elevarlo a una potencia sigua siendo mayor a uno, la potencia tiene que ser positiva. Entonces 1− 1

σ >0 ⇐⇒ σ >1. Si los bienes son sustituibles intertemporalmente eso implica que para equilibrar los

mercados las tasas de interés no tienen que ser tan altas ya que los cambios de precio tienen más fuerza para este tipo de bienes. Por ende, la riqueza del segundo equilibrio es mayor porque la última tasa de interés es más baja que en el pasado equilibrio. Lo opuesto sucede paraσ <1.

10†_{.- Si planteamos la restricci´on presupuestal cuando se puede almacenar parte de la dotaci´}_{on que no se consume en}

el primer per´ıodo una alternativa es:

c1≤y1 y c2= (y1−c1)

En donde se da la posibilidad de consumir menos que la dotaci´on en el primer per´ıodo y transferir el sobrante al segundo per´ıodo ya que los bienes son durables. Para no escribir un lagrangeano con desigualdades, otra manera de plantear las restricciones ser´ıa:

c1+a=y1 y c2=a

En dondearepresenta el ahorro del individuo que se transfiere al segundo per´ıodo. En donde se nota que sic1< y1⇒

a >0. Para resolver el problema de maximizaci´on sustituimos el valor deaen las dos ecuaciones y nos queda que:

max

c1,c2

(c1)1−σ1 ₋₁ 1−1

σ

+β(c2)

1−1

σ ₋₁ 1−1

σ

s.a. c1+c2=y1 La TMS que se deriva de este problema es la siguiente:

_c∗

2

c∗

1

σ 1

β = 1 ⇒ c

∗

2=βσc∗1 ´o c∗1=

c∗

2

(5)

Si sustituimos los valores de los consumos en la restricci´on presupuestaria y despejamos tenemos las siguientes deman-das:

c∗₁= 1 1 +βσy1 c∗₂=βσ 1

1 +βσy1

El consumo del primer per´ıodo es mayor que el segundo ⇐⇒ βσ_<_{1. Ya que}_{β <}_{1 y que}_{σ >}₀_∴_βσ_<_{1. Una parte}

mayor de la dotación se destina al consumo del primer per´ıodo ya que éste no tiene un factor de descuento; es decir, el individuo valora más el consumo presente que el futuro.

(c) Siσ→ ∞ entonces los bienes se vuelven sustitutos perfectos. Ya que los precios de los bienes son los mismo (ver restricci´on presupuestal) entonces el individuo va a destinar todo su ingreso al bien que le produce m´as utilidad; o sea, el consumo presente. Esto lo sabemos porqueT M S6= Pc₁

Pc2. Graficamente:

c1

c2

u0 u1

R.P.

(d) Ya que los bienes de esta econom´ıa son durables, entonces si el mercado de bonos ofrece una −1 ≤ r < 0 el individuo podr´ıa enriquecerse sin costo alguno. Esto se debe a que el individuo podr´ıa adquirir una deuda arbitrariamente grande y pagarla con los mismos bienes en el siguiente per´ıodo. Por otro lado, ya que el individuo puede almacenar parte de su dotación sin que se deteriore, es como si el ahorro le ofreciera una tasa de interés del 0%. Si el mercado de bonos le ofreciera una tasa de interésr >0 el individuo eligir´ıa óptimamente el mercado que le ofrece la tasa de interés más alta para transferirir su consumo; o sea, el mercado de bonos. Ya que la econom´ıa está cerrada al intercambio, en equilibrio

b∗ _{= 0}_⇒_r∗ _{= 0 ya que de otra forma el individuo siempre preferir´ıa el mercado de bonos a ahorrar y esto no puede ser}

en equilibrio. Una demostraci´on m´as formal ser´ıa la siguiente:

max

c1,c2

(c1)1−σ1 ₋₁ 1− 1

σ

+β(c2)

1−1

σ ₋₁ 1−1

σ

s.a. c1+a+b=y1 c2=a+ (1 +r∗)b

En donde las restricciones presupuestales le permiten al individuo ahorrar (o almacenar parte de su dotación) y participar en el mercado de bonos a una tasa de interés realr∗. Las C.P.O. que voy a usar para la demostración son las siguientes:

c2: ₁

c∗

2

1

σ

=λ2 ⇒ λ26= 0 (1)

b:−λ1+ (1 +r∗)λ2= 0 (2)

a:−λ1+λ2= 0 (3)

De combinar (2) y (3) nos queda que:

r∗_λ