Analisis vectorial opta.ppt

UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

CURSO: FISICA I

ANALISIS VECTORIAL

AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ

-

I. INTRODUCCIÓN

• Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.

• Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas

I

I. VECTORES Y ESCALARES

1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura.

2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.

III. VECTOR

• Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido.

• Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado

• Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.

Elementos de un vector

1. Dirección:

Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el

III. Elementos de un vector

orientación del vector . Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha.

IV. Clase de vectores

1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un aposición fija en el espacio. Tal cantidad se representa por un número infinito de vectores que tienen la misma magnitud, dirección y sentido.

2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y solo una recta a lo largo de la cual actúan. Pueden representarse por cualquier vector que tenga sus tres elementos iguales ubicado en la misma recta.

V.

Algebra vectorial

Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir:

1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos

Algebra vectorial: Suma vectorial

• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud de la resultante R se detemina mediante la ley de

cosenos-• La dirección mediante la ley de cosenos 2 2

2 cos

R  A  B  A B  

( )

A

R B

sen    sen  sen



Algebra vectorial: Resta vectorial

• Considere dos vectores A y B como se muestra.

• El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo .

• La magnitud del vector diferencia D es

• La dirección mediante la ley de cosenos

2 2 2 2

2 cos( ) 2 cos( )

D  A  B  A B     A  B  A B  

( )

A

D B

sen   sen  sen



Leyes del algebra vectorial

1. Conmutatividad.

Multiplicación de un escalar por un vector

Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a

Propiedades de la Multiplicación de un

escalar por un vector

1. Les asociativa para la multiplicación.

Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe

2. Ley distributiva para la adición vectorial.

Propiedades de la Multiplicación de un

escalar por un vector

3. Ley distributiva para la suma escalar.

Suma de varios vectores

VI. VECTOR UNITARIO

• Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad

• Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir

ˆ_A A

e

A



 

ˆ

VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES

• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios

• Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.

ˆ

ˆ ˆ

_{, ,}

i j k

ˆ

ˆ

ˆ

VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

Cualquier vector puede descomponerse en infinitas componentes. El único requisito es que La suma de esta componentes nos de le vector original. La descomposición pude ser en un plan o en el espacio.

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

cos

ˆ

ˆ

(cos

)

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(cos

)

x y

x y

A

A

A A

A

A A i A j

A A

i

Asen j

A A

i sen j

A Ae

e

i sen j

















































A





A



A

y x A A

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL PLANO.

Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen por el extremo del vector original formándose un paralelogramo cuyos lados son las componentes

a a b b

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL

3.En el espacio.

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

cos cos cos

ˆ

ˆ ˆ

(cos cos cos )

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ (cos cos cos )

x y z x y z

A

A

A A A A

A A i A j A k

A A i A j A k A A i j k

A Ae

e i j k

                                 2

2 2 2

x y z

A





A



A



A

cos

A





cos

A





cos

A

VECTOR POSICIÓN

ˆ

ˆ

ˆ

VECTOR POSICIÓN RELATIVO

1 2

ˆ

ˆ

ˆ

(

)

(

)

(

)

r

x

x i

y

y j

z

z k

VIII. PRODUCTO ESCALAR

Propiedades del producto escalar

1. El producto escalar es conmutativo

2. El producto escalar es distributivo

3. Producto de un escalar por el producto escalar

Propiedades del producto escalar

4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales

5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.

Propiedades del producto escalar

7. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos

8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares

.

0

INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCA

LER

IX. PRODUCTO VECTORIAL

REGLA DE LA MANO DERECHA

Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA

L

1. El producto vectorial no es conmutativo

2. El producto vectorial es distributivo

3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIA

L

5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es

6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B

7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos.

ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

( ) ( ) ( )

x y z y z z y x z z x x y y z x y z

i j k

AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B

B B B

      

 

( ) ( )

Ejemplo 01

Ejemplo 02

Ejemplo 03

• Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

Ejemplo 04

La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

Ejemplo 05

Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y unidades respectivamente. Determine el vector unitario del vector

20 2

Ejemplo 06

En la figura mostrada, determine el vector x, en

Ejemplo 07

Ejemplo 08

Ejemplo 09

Ejemplo 10

Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial.

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

2

6

3

4

3

Ejemplo 11

Halle la ecuación del plano perpendicular al vector y que pasa por el extremo del vector

ˆ ˆ 2 3

A  i  j k 

ˆ ₅ ˆ ₃