mati_jun_0607.pdf

(1)

Matem´aticas I.

13/07/07

Tipo A

Apellidos... Nombre:... DNI... Lic. en Econom´ıa 2 Lic. Adm´on. y Dir. Empr. 2 Dipl. CC.Empres. 2

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 12:00 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara. - No separar las hojas del cuadernillo.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con un°, equivalen a la evaluaci´on continua

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

1. Dada la funci´on

f(x, y) =x2y+ 2xy2−2xy−1

3y−1, y6= 0.

a) Calcular sus puntos cr´ıticos. (3 ptos.)

b) ¿Cu´anto vale la diferencial total def(x, y) en el punto cr´ıtico calculado? (1 pto.)

c) Escribir la curva de nivel que pasa por el punto (1,1). (1 pto.)

d) Calcular la recta tangente a la curva de nivel del apartado anterior en el punto (1,1). (3 ptos.)

2. Sea ahora el problema de optimizaci´on restringida

Opt g(x, y) =x+y, s.a x2₊_y2_{= 1.}

a) Obtener los puntos cr´ıticos (x, y;λ) de la funci´on lagrangiana. (4 ptos.)

b) Justificar a través de la gráfica, dibujando la restricción, algunas curvas de nivel y el vector gradiente si se alcanza el

´optimo (m´aximo, m´ınimo o ambos) del problema. (5 ptos.)

c) ¿Cuál es el valor de la función objetivo en el máximo? (1 pto.)

d) ¿Cómo se modifica aproximadamente el valor de la función objetivo en el máximo si el término independiente de la

restricci´on se incrementa en√2 unidades? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo A: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(2)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. La funci´on inversa de y= ln µ

x+ 1 x−1

¶ es:

a)x= ey−1

−1−ey. b)x=

ey_{+ 1}

ey₋₁. c) x=

1−ey

ey₋₁.

2. Si p = 100−pq2_{+ 20 es la ecuaci´on de demanda de un}

producto, entonces la tasa de variaci´on de q respecto a p, dq

dp es:

a)−

p q2_{+ 20}

q . b)− q p

q2_{+ 20}. c)

p q2_{+ 20}

q .

3. Si f(x, y) =x3₊_x2_y₋_2y2₋_10y _{define a} _y _{como funci´on}

impl´ıcita de x, la pendiente de la curva de nivel que pasa por el punto (2,1) es:

a) 8

5. b)

5

8. c)−

8 5.

4. Dadas f(x) = ln µ

x+ 1 x−1

¶

y g(x) = ex+ 1

ex₋₁ entonces

(g◦f)(x) es:

a) x+ 1

ex . b)

ex

x−1. c)x. 5. El dominio def(x) =pln(x2₊_x₋_{5) es:}

a) (−∞,−3]∪[2,+∞).

b) (2,+∞).

c) Ã

−∞,−1−

√ 21 2 ! ∪ Ã

−1 +√21 2 ,+∞

! .

6. El resultado de l´ım

x→0

(a+x)3₋_a3

x es:

a)a3_. _{b) 3a}2_. _{c) 0.}

7. La ecuaci´on de la recta tangente a la curva f(x) = x

2₋₁

x2_{+ 1}

en el puntox= 1 es:

a)y= 2x−1. b)y=x−2. c) y=x−1.

8. La funci´onf(x) =x

2_{+ 2}

x+ 5 es:

a) C´oncava en (−∞,−5) y convexa en (−5,+∞).

b) Convexa en (−∞,−5) y c´oncava en (−5,+∞).

c) Convexa en todo su dominio.

9. Seaz=f(x, y) =x2_{+ 2y}2 _con_x₌_t₋_s2_,_y₌_{ts. Entonces}

∂z ∂t es:

a) 2t−s2_{+ 4ts}2_.

b) t−2s2_{+ 4ts}2_.

c) 2t−2s2_{+ 4ts}2_.

10. Un fabricante de juguetes ha determinado que su función de producción esQ(K, L) =√KL, donde L es el número de horas de trabajo por semana yK el capital, expresado en euros por semana. Entonces las productividades marginales del capital y del trabajo cuandoK= 16 yL= 400 son:

a) ∂Q ∂K = 5 4, ∂Q ∂L = 1 10.

b) ∂Q ∂K = 5 2, ∂Q ∂L = 2 10.

c) ∂Q ∂K = 5 2, ∂Q ∂L = 1 10.

11. Los puntos cr´ıticos de la funci´on f(x, y) = (x2₊_y2_)ex+y

son:

a) (0,1); (1,0). b) (0,0); (1,1). c) (0,0); (−1,−1).

12. Se pretende excavar un agujero cil´ındrico que tenga un 1m3

de volumen. El volumen de un cilindro es igual aAp, donde Aes el ´area circular de la base (πr2_{, donde}_r_{es el radio del}

c´ırculo) ypla altura del cilindro. El coste de la excavaci´on es igual aA(1 +p2_{). Entonces, la condici´on de primer orden}

con respecto a rque resulta de minimizar el coste sujeto a la restricci´on de volumen es:

a) 1 +p2₋_λp_{= 0.} _{b) 2p}₋_2λ_{= 0.} _c)_πr2_p_{= 0.}

13. La funci´onf(x, y) =ax2₊_y2₋_2x_{+ 2y}_{+ 5 tiene un m´aximo}

local en (−1,−1):

a) Sia= 1. b) Para ning´un valor dea. c) Sia=−1.

14. Dado el problema de optimizaci´on

Opt f(x, y) =1 2x

2₊1

2y

2_,

s.a 2x+y= 1000,

su resoluci´on gr´afica muestra que en el punto (400,200) existe:

a) Un m´ınimo local pero no global.

b) Un m´ınimo global.

c) Un m´aximo global.

15. El valor dexpara que la integral Z x

0

1

5dtsea 0·9 es:

(3)

Matem´aticas I.

13/07/07

Tipo B

IMPORTANTE

- Duración: 2 horas y 30 minutos. El problema en el aula de ordenadores será a partir de las 12:00 h. - No se permite el uso de teléfonos móviles ni compartir material como calculadoras, etc.

- Es obligatorio realizar el ejercicio con bol´ıgrafo y letra clara. - No separar las hojas del cuadernillo.

- Escribir las soluciones del test y del problema en sus plantillas correspondientes. - Un ejemplar del examen resuelto se depositar´a en la p´agina web de la asignatura.

Marque con una

×

su respuesta a las cuestiones tipo test en la tabla siguiente. Cuide que la opción elegida quede clara. Sólo una de las alternativas es correcta. Las respuestas correctas suman 4 puntos, las incorrectas restan 2 puntos, y las que se dejen en blanco no puntúan.

Las cuatro primeras preguntas, marcadas en el cuestionario con un°, equivalen a la evaluaci´on continua

Tipo A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

a

b

c

Problema

1. Dada la funci´on

f(x, y) =x2y+ 2xy2−2xy−1

3y−1, y6= 0.

a) Calcular sus puntos cr´ıticos. (3 ptos.)

b) ¿Cu´anto vale la diferencial total def(x, y) en el punto cr´ıtico calculado? (1 pto.)

c) Escribir la curva de nivel que pasa por el punto (1,1). (1 pto.)

d) Calcular la recta tangente a la curva de nivel del apartado anterior en el punto (1,1). (3 ptos.)

2. Sea ahora el problema de optimizaci´on restringida

Opt g(x, y) =x+y, s.a x2₊_y2_{= 1.}

a) Obtener los puntos cr´ıticos (x, y;λ) de la funci´on lagrangiana. (4 ptos.)

b) Justificar a través de la gráfica, dibujando la restricción, algunas curvas de nivel y el vector gradiente si se alcanza el

´optimo (m´aximo, m´ınimo o ambos) del problema. (5 ptos.)

c) ¿Cuál es el valor de la función objetivo en el máximo? (1 pto.)

d) ¿Cómo se modifica aproximadamente el valor de la función objetivo en el máximo si el término independiente de la

restricci´on se incrementa en√2 unidades? (2 ptos.)

...Cortar para conservar...

Tipo B: 1. (a) (b) (c) 2. (a) (b) (c) 3. (a) (b) (c) 4. (a) (b) (c) 5. (a) (b) (c) 6. (a) (b) (c) 7. (a) (b) (c) 8. (a) (b) (c)

9. (a) (b) (c) 10. (a) (b) (c) 11. (a) (b) (c) 12. (a) (b) (c) 13. (a) (b) (c) 14. (a) (b) (c) 15. (a) (b) (c)

(4)

Test µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³ µ´ ¶³

1. Si p = 100−pq2_{+ 20 es la ecuaci´on de demanda de un}

producto, entonces la tasa de variaci´on de q respecto a p, dq

dp es:

a)−p q

q2_{+ 20}. b)−

p q2_{+ 20}

q . c) p

q2_{+ 20}

q .

2. La funci´on inversa de y= ln µ

x+ 1 x−1

¶ es:

a)x=1−e

y

ey₋₁. b)x=

ey₋₁

−1−ey. c) x=

ey_{+ 1}

ey₋₁.

3. Dadas f(x) = ln µ

x+ 1 x−1

¶

y g(x) = e

x_{+ 1}

ex₋₁ entonces

(g◦f)(x) es:

a) x+ 1

ex . b) x. c)

ex

x−1. 4. Si f(x, y) =x3₊_x2_y₋_2y2₋_10y _{define a} _y _{como funci´on}

impl´ıcita de x, la pendiente de la curva de nivel que pasa por el punto (2,1) es:

a) 5

8. b)

8

5. c)−

8 5.

5. El resultado de l´ım

x→0

(a+x)3₋_a3

x es:

a) 3a2_. _b)_a3_. _{c) 0.}

6. El dominio def(x) =pln(x2₊_x₋_{5) es:}

a) Ã

−∞,−1−

√ 21 2 ! ∪ Ã

−1 +√21 2 ,+∞

! .

b) (−∞,−3]∪[2,+∞).

c) (2,+∞).

7. La funci´onf(x) =x

2_{+ 2}

x+ 5 es:

a) Convexa en (−∞,−5) y c´oncava en (−5,+∞).

b) Convexa en todo su dominio.

c) C´oncava en (−∞,−5) y convexa en (−5,+∞).

8. La ecuaci´on de la recta tangente a la curva f(x) = x

2₋₁

x2_{+ 1}

en el puntox= 1 es:

a)y=x−1. b)y=x−2. c)y= 2x−1.

9. Un fabricante de juguetes ha determinado que su función de producción esQ(K, L) =√KL, donde L es el número de horas de trabajo por semana yK el capital, expresado en euros por semana. Entonces las productividades marginales del capital y del trabajo cuandoK= 16 yL= 400 son:

a) ∂Q ∂K = 5 2, ∂Q ∂L = 1 10.

b) ∂Q ∂K = 5 4, ∂Q ∂L = 1 10.

c) ∂Q ∂K = 5 2, ∂Q ∂L = 2 10.

10. Seaz=f(x, y) =x2_{+ 2y}2 _con_x₌_t₋_s2_,_y₌_{ts. Entonces}

∂z ∂t es:

a) t−2s2_{+ 4ts}2_.

b) 2t−2s2_{+ 4ts}2_.

c) 2t−s2_{+ 4ts}2_.

11. Los puntos cr´ıticos de la funci´on f(x, y) = (x2₊_y2_)ex+y

son:

a) (0,0); (−1,−1). b) (0,0); (1,1). c) (0,1); (1,0).

12. La funci´onf(x, y) =ax2₊_y2₋_2x_{+ 2y}_{+ 5 tiene un m´aximo}

local en (−1,−1):

a) Sia=−1. b) Para ning´un valor dea. c) Sia= 1.

13. Dado el problema de optimizaci´on

Opt f(x, y) =1 2x

2₊1

2y

2_,

s.a 2x+y= 1000,

su resoluci´on gr´afica muestra que en el punto (400,200) existe:

a) Un m´aximo global.

b) Un m´ınimo local pero no global.

c) Un m´ınimo global.

14. Se pretende excavar un agujero cil´ındrico que tenga un 1m3

de volumen. El volumen de un cilindro es igual aAp, donde Aes el ´area circular de la base (πr2_{, donde}_r_{es el radio del}

c´ırculo) ypla altura del cilindro. El coste de la excavaci´on es igual aA(1 +p2_{). Entonces, la condici´on de primer orden}

con respecto a rque resulta de minimizar el coste sujeto a la restricci´on de volumen es:

a)πr2_p_{= 0.} _{b) 2p}₋_2λ_{= 0.} _{c) 1 +}_p2₋_λp_{= 0.}

15. El valor dexpara que la integral Z x

0

1

5dtsea 0·9 es:

(5)

Matem´aticas I.

13/07/07

Tipo A

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos.

1. Dada la funci´onf(x) = 3x

2₋₄

x2₋_2x₋₁₀, se pide:

a) Obtener sus as´ıntotas. (3 ptos.)

b) Obtener los puntos de corte con las as´ıntotas. (2 ptos.)

c) Calcular la recta tangente a la funci´on en esos puntos de corte. (3 ptos.)

d) Dibujar la funci´on con las as´ıntotas y las rectas tangentes calculadas. (2 ptos.)

2. Si se producenq(x, y) = (x−2)ex2₋_x

e(2y−1)2

+12 unidades de un determinado producto, siendoxey, dos factores productivos:

a) Hallar los puntos cr´ıticos deq(x, y). (5 ptos.)

b) Obtener la matriz hessiana en cada punto cr´ıtico, escribiendo dicha expresi´on y clasificando cada punto cr´ıtico.

(6)

Matem´aticas I.

13/07/07

Tipo B

Problema con DERIVE

IMPORTANTE:Responder en esta misma hoja, indicando las instrucciones utilizadas, as´ı como los resultados obtenidos.

1. Dada la funci´onf(x) = 4−5x

2

2x2₋_3x₋₅, se pide:

a) Obtener sus as´ıntotas. (3 ptos.)

b) Obtener los puntos de corte con las as´ıntotas. (2 ptos.)

c) Calcular la recta tangente a la funci´on en esos puntos de corte. (3 ptos.)

d) Dibujar la funci´on con las as´ıntotas y las rectas tangentes calculadas. (2 ptos.)

2. Si se producenq(x, y) = (x−2)ex2₋_x

e(3y−4)2

+ 8 unidades de un determinado producto, siendoxey, dos factores productivos:

a) Hallar los puntos cr´ıticos deq(x, y). (5 ptos.)

b) Obtener la matriz hessiana en cada punto cr´ıtico, escribiendo dicha expresi´on y clasificando cada punto cr´ıtico.

(7)

(8)

Soluci´

on al Problema. Tipos A y B

1. a) Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:

∂f

∂x = 2xy+ 2y

2₋_2y_{= 0,}

∂f

∂y = x

2_{+ 4xy}₋_2x₋1

3 = 0.

Puesto quey6= 0 la primera ecuación equivale ax+y−1 = 0, de dondey = 1−x. Llevando esta relación a la segunda ecuación resulta la ecuación de segundo grado 9x2₋_6x_{+ 1 = 0 cuya solución (doble) es}_x_{= 1/3. Luego el ´}_{unico punto}

cr´ıtico es¡1 3,23

¢ .

b) Como en el punto cr´ıtico (x∗_{, y}∗_{) =}¡1 3,23

¢

, ∂f_∂x =∂f_∂y = 0, se tiene que

df(x∗_{, y}∗_{) =} ∂f

∂x ¯ ¯ ¯ ¯

(x∗_,y∗₎

·dx+ ∂f ∂y ¯ ¯ ¯ ¯

(x∗_,y∗₎

·dy= 0.

c) Puesto quef(1,1) =−1

3, se tiene que la curva de nivel pedida es:

x2_y_{+ 2xy}2₋_2xy₋1

3y−1 =− 1 3.

d) DenotandoF(x, y) =x2_y_{+ 2xy}2₋_2xy₋1

3y−1 +13, se tiene que la pendiente de la curva de nivel del apartado anterior

es:

y0₌ dy

dx =−

∂F ∂x ∂F ∂y

=− 2xy+ 2y 2₋_2y

x2_{+ 4xy}₋_2x₋_1/3

¯ ¯ ¯ ¯ ¯

(1,1)

=−3

4.

Por tanto la ecuaci´on de la recta pedida es:

y−1 =−3

4(x−1) =⇒3x+ 4y−7 = 0.

2. a) La funci´on lagrangiana es:

L(x, y, λ) =x+y−λ(x2₊_y2₋_1).

Los puntos cr´ıticos se obtienen resolviendo el sistema:

Lx = 1−2λx= 0,

Ly = 1−2λy= 0,

Lλ = −x2−y2+ 1 = 0.

          

De las dos primeras ecuaciones, despu´es de despejarλe igualar, se deduce quex=y, que llevada a la tercera ecuaci´on proporciona las soluciones

P(x∗_{, y}∗_;_λ∗_{) =}

Ã 1 √ 2, 1 √ 2, √ 2 2 ! = Ã_√ 2 2 , √ 2 2 , √ 2 2 ! ,

S(x∗_{, y}∗_;_λ∗_{) =}

Ã −1 √ 2, −1 √ 2,

−√2 2

! =

Ã

−√2 2 ,

−√2 2

! .

b) La restricción es una circunferencia de centro (0,0) y radio 1. Las curvas de nivel son rectas del tipo y = c−x, con pendiente negativa. El vector gradiente es ∇g(x, y) = (1,1). Por tanto, en ambos puntos cr´ıticos vale (1,1). Todo ello aparece representado en la figura 1. Moviéndonos en la dirección del vector gradiente, se observa en la gráfica adjunta que en el puntoP(√2

2 ,

√

2

2 ) se alcanza el m´aximo global del problema, mientras que en puntoS(−

√

2 2 ,−

√

2

2 ) se alcanza el

m´ınimo global, ya que son los últimos puntos de contacto de una curva de nivel con la restricción siguiendo la dirección del vector gradiente. Sentido positivo de máximo y sentido negativo de m´ınimo.

c) Resulta inmediato queg(√2 2 ,

√

2 2 ) =

√

2.

d) Puesto que ∆g∗ _≈ _λ∗_{∆b, siendo ∆b} ₌ √_{2. Se deduce que en el punto} _P _{el valor del m´aximo se}

incrementar´a aproximadamente en √2 2

√

(9)

(10)

SOLUCIÓN EXAMEN DERIVE 13 JULIO 2007 TIPO A

APARTADO 1

2 3·x - 4 #1: ——————————————— 2 x - 2·x - 10

a) Asíntotas

Asintotas verticales

2 #2: SOLVE(x - 2·x - 10, x, Real)

#3: x = 1 - ‹11  x = ‹11 + 1

#4: x = 4.31662479  x = -2.31662479

Asíntotas horizontales

2 3·x - 4 #5: lim ——————————————— x˜– 2 x - 2·x - 10

#6: 3

y=3 es asíntota horizontal, por lo que no hay asíntota oblicua

b) Puntos de corte con la asíntota horizontal

2 3·x - 4 #7: ——————————————— = 3 2 x - 2·x - 10

 2 ‚ ¦ 3·x - 4 ¦ #8: SOLVE¦——————————————— = 3, x, Real¦ ¦ 2 ¦  x - 2·x - 10 ƒ

13 #9: x = - ———— 3

(11)

c) Recta tangente a la función en ese punto de corte

 2 ‚ ¦ 3·x - 4 13 ¦ #11: TAYLOR¦———————————————, x, - ————, 1¦ ¦ 2 3 ¦  x - 2·x - 10 ƒ

3·(18·x + 235) #12: ———————————————— 157

d) Dibujar la función con las asíntotas y la recta tangente

APARTADO 2

2 2 #13: x - x (2·y - 1) q(x, y) := (x - 2)·ê ·ê + 12

a) Puntos críticos

#14: q'(x, y)

„ 2 2 2 2 #15: ¦ x - x + 4·y - 4·y + 1 2 x - x + 4·y - 4·y + …ê ·(2·x - 5·x + 3), 4·ê

(12)

„ 2 2 2 2 #16: ¦¦ x - x + 4·y - 4·y + 1 2 x - x + 4·y - SOLVE…ê ·(2·x - 5·x + 3), 4·ê

† ‚ 4·y + 1 ¦ ¦ ·(x - 2)·(2·y - 1)‡, [x, y], Realƒ

„ 1 3 1 † #17: ¦x = 1  y = ———, x = ———  y = ———¦ … 2 2 2 ‡

#18: [x = 1  y = 0.5, x = 1.5  y = 0.5]

Por lo que resultan dos puntos críticos (1,1/2) y (3/2,1/2)

b) Matriz hessiana

#19: q''(x, y)

„ 2 2 ¦ x - x + 4·y - 4·y + 1 3 2 ¦ ê ·(4·x - 12·x + 15·x - 8) #20: ¦ ¦ 2 2 ¦ x - x + 4·y - 4·y + 1 2 … 4·ê ·(2·y - 1)·(2·x - 5·x + 3)

(13)

Matriz hessiana en el punto critico (1,1/2)

„ -1 0 †

#22: ¦ ¦ … 0 -8 ‡

„ -1 0 † #23: DET ¦ ¦ … 0 -8 ‡

#24: 8

Como el det>0 y fxx=-1, el punto critico

x=1;y=1/2 es maximo local

Matriz hessiana en el punto (3/2,1/2)

„ 3/4 † ¦ ê 0 ¦ #26: ¦ ¦ ¦ 3/4 ¦ … 0 - 4·ê ‡

„ 3/4 † ¦ ê 0 ¦ #27: DET ¦ ¦ ¦ 3/4 ¦ … 0 - 4·ê ‡

3/2 #28: - 4·ê

(14)

SOLUCIÓN EXAMEN DERIVE 13 JULIO 2007 TIPO B

APARTADO 1

2 4 - 5·x #1: ———————————————— 2 2·x - 3·x - 5

a) Asíntotas

Asintotas verticales

2 #2: SOLVE(2·x - 3·x - 5, x, Real)

5 #3: x = ———  x = -1 2

#4: x = 2.5  x = -1

Asíntotas horizontales

2 4 - 5·x #5: lim ———————————————— x˜– 2 2·x - 3·x - 5

5 #6: - ——— 2

#7: -2.5

y=-5/2 es asíntota horizontal, por lo que no hay asíntota

oblicua

b) Puntos de corte con la asíntota horizontal

2 4 - 5·x 5 #8: ———————————————— = - ——— 2 2 2·x - 3·x - 5

 2 ‚ ¦ 4 - 5·x 5 ¦ #9: SOLVE¦———————————————— = - ———, x, Real¦ ¦ 2 2 ¦  2·x - 3·x - 5 ƒ

17 #10: x = - ———— 15

(15)

c) Recta tangente a la función en ese punto de corte

 2 ‚ ¦ 4 - 5·x 17 ¦ #12: TAYLOR¦————————————————, x, - ————, 1¦ ¦ 2 15 ¦  2·x - 3·x - 5 ƒ

5·(675·x + 983) #13: - ————————————————— 436

d) Dibujar la función con las asíntotas y la recta tangente

APARTADO 2

2 2 #14: x - x (3·y - 4) q(x, y) := (x - 2)·ê ·ê + 8

a) Puntos críticos

#15: q'(x, y)

„ 2 2 2 2 #16: ¦ x - x + 9·y - 24·y + 16 2 x - x + 9·y - …ê ·(2·x - 5·x + 3), 6·ê

(16)

„ 2 2 2 2 #17: ¦¦ x - x + 9·y - 24·y + 16 2 x - x + 9·y SOLVE…ê ·(2·x - 5·x + 3), 6·ê

† ‚ - 24·y + 16 ¦ ¦ ·(x - 2)·(3·y - 4)‡, [x, y], Realƒ

„ 4 3 4 † #18: ¦x = 1  y = ———, x = ———  y = ———¦ … 3 2 3 ‡

#19: [x = 1  y = 1.333333333, x = 1.5  y = 1.333333333]

Por lo que resultan dos puntos críticos (1,4/3) y (3/2,4/3)

b) Matriz hessiana

#20: q''(x, y)

„ 2 2 2 ¦ x - x + 9·y - 24·y + 16 3 2 x - ¦ ê ·(4·x - 12·x + 15·x - 8) 6·ê #21: ¦ ¦ 2 2 2 ¦ x - x + 9·y - 24·y + 16 2 x - … 6·ê ·(3·y - 4)·(2·x - 5·x + 3) 54·ê

(17)

Matriz hessiana en el punto critico (1,4/3)

 4 ‚ #22: q''¦1, ———¦  3 ƒ

„ -1 0 † #23: ¦ ¦ … 0 -18 ‡

„ -1 0 † #24: DET ¦ ¦ … 0 -18 ‡

#25: 18

Como el det>0 y fxx=-1, el punto critico

x=1;y=4/3 es maximo local

Matriz hessiana en el punto (3/2,4/3)

 3 4 ‚ #26: q''¦———, ———¦  2 3 ƒ

„ 3/4 † ¦ ê 0 ¦ #27: ¦ ¦ ¦ 3/4 ¦ … 0 - 9·ê ‡

„ 3/4 † ¦ ê 0 ¦ #28: DET ¦ ¦ ¦ 3/4 ¦ … 0 - 9·ê ‡

3/2 #29: - 9·ê