UNIDAD 01 CHULETARIO 4º-B

(1)

1 UNIDAD 01

- FORMULARIO -

LOS NÚMEROS ENTEROS

NATURALES (

ℕ

)



0 ; 4 ;

25₅

;

√

64 …

ENTEROS (

ℤ

)

ENTEROS NO NATURALES



-11 ;

- 25₅

; -64 ; -27 …

(Enteros negativos)

RACIONALES (

ℚ

)

REALES (

ℝ

)

Decimales Exactos



-11;

- 25₅

FRACCIONARIOS ( ) Decimales Periódicos Puros



-11;

- 25₅

(Racionales No Enteros)

Decimales Periódicos Mixtos



-11;

- 25₅

(2)

2 INTERVALOS EN REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS, RACIONALES y REALES

PROPIEDADES DE NÚMEROS OPUESTOS Y EL VALOR ABSOLTO DE NÚMEROS ENTEROS

DESCRIPCIÓN

PROPIEDAD

OPERATORIA

EJEMPLO

OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO:

op(a) = -a

op(-a) = a El OPUESTO de un NÚMERO ENTERO, “op(a)” es el número cambiado de signo.

op(5) = -5 op(-5) = 5

VALOR ABSOLUTO DE UN

NÚMERO ENTERO: |-a| = a|a| = a

El VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO, “|a|”, es el mismo número que resulta al suprimir su signo.

|5| = 5 |-5| = 5

PROPIEDAD INTERNA: |a| = |−a| Los _{valor absoluto.}números opuestos tienen igual |5| = |−5| = 5

PROPIEDAD DE LA SUMA DE

VALORES ABSOLUTOS: |a + b| ≤ |a| + |b|

El valor absoluto de una suma es me-nor o igual que la suma de los valores

absolutos de los sumandos. |5+(−2)|≤|5|+|(−2)|

PROPIEDAD DEL PRODUCTO

DE LOS VALORES ABSOLUTOS: |a · b| = |a| ·|b|

El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores

abso-lutos de los factores. |5·(−2)=|5|·|(−2)| PROPIEDAD DE ELEMENTO

NEUTRO: |-a| = a| a| = a Un valor absoluto siempre es mayor o igual a cero, nunca negativo. | 5| = 5 > 0 |-5| = 5 > 0 PROPIEDAD DE ELEMENTO

OPUESTO: a + (-a) = 0 Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. 5 + (−5) = 0 PROPIEDAD DEL OPUESTO DEL

OPUESTO DE UN NÚMERO:

- (-a) = + a El opuesto del opuesto de un número

es igual al mismo número. - (-5) = 5

MÉTODOS DE REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS ENTEROS, RACIONALES y REALES



UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

ℤ

:



Marcar un punto en la recta el que será el 0 y se divide en segmentos la recta, todos de la misma

longitud. Cada uno representa una unidad, que separa un número entero del siguiente.



Los

números enteros (

ℤ

), se representan de la misma forma que los naturales pero también

incluyen el sentido contrario a partir del punto al que hemos llamado 0. Así:



Números enteros positivos ubicados a la derecha del punto 0.



Números enteros negativos ubicados a la izquierda del punto 0.



UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES

ℚ

:



Marcar un punto en la recta el que será el 0 y se divide en segmentos la recta, todos de la misma

longitud. Cada uno representa una unidad, que separa un número entero del siguiente.



Ubicar números racionales (

ℚ

) en la recta numérica: L

os números racionales (ℚ),

que incluyen a los

enteros y los naturales además de los decimales, son todos aquellos que se pueden expresar en

forma de fracción.



El denominador de la fracción expresa en cuántas partes iguales tenemos que dividir la unidad

numerador en la recta numérica.



El numerador de la fracción expresa en cuál de esos puntos que se ha dividido la recta se localiza

el número en la recta numérica.



Por otro lado, si es positivo, se localizará a la derecha del 0 y si es negativo a la izquierda. Así:



UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

ℝ

:



Marcar un punto en la recta el que será el 0 y se divide en segmentos la recta, todos de la misma

longitud. Cada uno representa una unidad, que separa un número entero del siguiente.



Ubicar números reales (

ℝ

) en la recta numérica: Para la representación de las raíces cuadradas es

necesario el uso de triángulos rectángulos y circunferencias, explicándolo a partir del Teorema de

Pitágoras y la propiedad de la circunferencia.



Sobre la recta numérica se representa un triángulo rectángulo de catetos conocidos y que

determinan una hipotenusa.

(3)

(4)

4 PROPIEDADES DE LA SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

DESCRIPCIÓN

PROPIEDAD

OPERATORIA

EJEMPLO

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS:

a + b = c

a + (- b) = a – b = c

 Si son del mismo signo se suman sus valo-res absolutos y se pone el mismo signo.

 Si son de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el signo del número de mayor valor absoluto.

(−3) + (−5) = − 8

3 + (−5) = − 2

DESCRIPCIÓN

PROPIEDAD

OPERATORIA

EJEMPLO

PROPIEDAD ASOCIATIVA: (a + b) + c = a + (b + c) El modo de agrupar los sumandos no _{varía el resultado.} _{= 2 + [3 + (− 5)]}(2 + 3) + (− 5)

PROPIEDAD CONMUTATIVA: a + b = b + a El orden de los sumandos no varía la suma. 2 + (− 5) = (− 5) + 2 = − 3

PROPIEDAD DE ELEMENTO

NEUTRO: a + 0 = a

El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da

el mismo número. (−5) + 0 = − 5

PROPIEDAD DE ELEMENTO

OPUESTO: a + (-a) = 0 Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero. 5 + (−5) = 0

PROPIEDAD DEL OPUESTO DEL

OPUESTO DE UN NÚMERO: - (-a) = + a El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número. - (−5) = 5

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS: a - b = a + (-b) = c  Se suma al primero el puesto del segundo. 7 − (−5) = 7 + 5 = 12

DESCRIPCIÓN

PROPIEDAD

OPERATORIA

EJEMPLO

(5)

5 PROPIEDADES DEL PRODUCTO Y DIVISÓN DE NÚMEROS ENTEROS

DESCRIPCIÓN PROPIEDAD OPERATORIA EJEMPLO

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS

PRODUCTO DE NÚMEROS ENTEROS:

 Se multiplican sus valores absolutos.

 Al realizar este tipo de operaciones se debe tener en cuenta la regla de signos.

2 · 3 = 6 (2) · (−5) = -10 (-3)· (−5) = +15 (-6)· (5) = +30

PROPIEDAD ASOCIATIVA: (a · b) · c = a · (b · c) El modo de agrupar los factores no _{varía el resultado.} (2· 3)· (−5) = 2· [(3 · (−5)]

PROPIEDAD CONMUTATIVA: a · b = b · a El orden de los factores no varía el producto. 2 · (−5) = (−5) · 2

PROPIEDAD DEL

ELEMEN-TO NEUTRO: a · 1 = a

El 1 es el elemento neutro de la multipli-cación porque todo número

multiplica-do por él da el mismo número. (−5)· 1 = (−5)

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: a · (b + c) = a · b + a · c El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

(−2)· (3 + 5) = (−2)· 3 + (−2)· 5

PROPIEDAD AL SACAR

FACTOR COMÚN: a · b + a · c = a · (b + c)

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

(−2) · 3 + (−2)· 5 = (−2)· (3 + 5)

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS:

 Se dividen sus valores absolutos.

 Al realizar este tipo de operaciones se debe tener en cuenta la regla de signos.

6 ÷ 3 = 2 (12) ÷ (−6) = -2 (-30) ÷ (−5) = +2 (-8) ÷ (2) = +4

PROPIEDAD CONMUTATIVA: a ÷ b ≠ b ÷ a La división entre números enteros NO _{ES CONMUTATIVA.} 6 ÷ (−2) ≠ (−2) ÷ 6

(6)

6 PROPIEDADES DE POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

POTENCIA CON

EXPONENTE = 0 a0 = 1 Todo número elevado o con exponente 0 es = 1. 50 = 1

POTENCIA CON

EXPONENTE = 1 a1 = a

Todo número elevado o con exponente 1 es = al número (base

de la potencia). 5

1 _{= 5}

MULTIPLICACIÓN DE

POTENCIAS CON IGUAL BASE am · an = am + n los EXPONENTES. Se CONSERVA la BASE y se SUMAN 25 · 22 = 25+2 = 27 DIVISIÓN DE POTENCIAS CON

IGUAL BASE am ÷ an = am - n los EXPONENTES. Se CONSERVA la BASE y se RESTAN 25 ÷ 22 = 25 − 2 = 23 MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

CON IGUAL EXPONENTE an · bn = (a · b)n MULTIPLICAN las BASES. Se CONSERVA el EXPONENTE y se 23 · 43 = (2· 4)3 = 83 DIVISIÓN DE POTENCIAS CON

IGUAL EXPONENTE an ÷ bn = (a ÷ b)n DIVIDEN las BASES. Se CONSERVA el EXPONENTE y se 63 ÷ 33 =(6 ÷ 2)3 = 23

POTENCIA DE UNA POTENCIA (am₎n_{= a}m · n Se CONSERVA la BASE y se

MULTIPLICAN los EXPONENTES. (25)3 = 215

POTENCIA CON EXPONENTE = NÚMERO

NEGATIVO a

-n₌1

an Si a ≠ 0

Se coloca la UNIDAD en el NUMERADOR y la BASE pasa al DENOMINADOR con su MISMO EXPONENTE pero + (positivo).

23= 1 23 =

1 8

POTENCIA CON BASE UNA FRACCIÓN Y EXPONENTE = NÚMERO POSITIVO

a b

n

= (a)n

(b)n

Se puede separar el NUMERADOR y el DENOMINADOR y se queda con el MISMO EXPONENTE cada uno de los dos.

2 3

3

=2

3

33=

8 27

POTENCIA CON BASE UNA FRACCIÓN Y EXPONENTE = NÚMERO NEGATIVO

a b

-n

= b_a

+n

=(b)+n

(a)+n

Se INTERCAMBIAN en el NUMERADOR y el DENOMINADOR y se queda con el MISMO EXPONENTE pero + (positivo).

2 3

-3

= 3₂

+3

=27₈

POTENCIA CON EXPONENTE = A UNA FRACCIÓN

(+) POSITIVA (a)

m

n₌n(a)m

Es una RAÍZ donde el NUMERADOR de la Potencia es el EXPONENTE de la BASE y el DENOMINADOR de la Potencia es el RADICAL de la RAÍZ.

(5)23 = 3 (5)2

POTENCIA CON EXPONENTE = A UNA FRACCIÓN (-) NEGATIVA

(a) mn₌ 1

(a)m n

(a) mn₌ 1

(a) mn

= 1

(a)m n ó

Se coloca la UNIDAD en el NUMERADOR y el DENOMINADOR es una RAÍZ donde el NUMERADOR de la Potencia es el

EXPONENTE de la BASE y el DENOMINADOR de la Potencia es el RADICAL de la RAÍZ.

(2) 12 = 1

(2)1

2 =

1

√2 2

(2) 12₌ 1

(2)+ 12

= 1

(2)

2 ó

REGLA DE SIGNOS EN POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES

POTENCIA CON EXPONENTE PAR POTENCIA CON EXPONENTE IMPAR

(+ℝ)par ₌ ₊ ₍₂₎4 ₌ _{+ 16} ₍₊_ℝ₎impar ₌ ₊ ₍₂₎3 ₌ _{+ 8}

(7)

(8)

8 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON RAICES DE NÚMEROS NATURALES

 ELEMENTOS DE UNA RAÍZ:

 RADICAL: Es toda raíz indicada de una cantidad o expresión.

 INDICE: Es el EXPONENTE al que está operando la RAÍZ.

 RADICANDO: Es el NÚMERO o EXPRESIÓN ALGEBRAICA sobre la que opera la raíz (lo que va DENTRO DE LA RAÍZ).

 SIGNOS DE UNA RAÍZ:

 Si la RAÍZ es EXACTA Se obtiene una CANTIDAD o NÚMERO RACIONAL.

 Ejemplo: √38

= 23 = 2

 Ejemplo: √2256 = 16

 Si la RAÍZ es INEXACTA Se obtiene una CANTIDAD o NÚMERO IRRACIONAL (una raíz).

 Ejemplo: √212_{= 2}2 2_{· 3}

=2· √2 3

(9)

9 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON RAICES DE NÚMEROS NATURALES

DESCRIPCIÓN PROPIEDAD EJEMPLO OPERATORIA

POTENCIAS Y RADICALES: √nam = (a)

m n

28

2

= (2)2=24

Se puede expresar un radical en forma de potencia siendo un cocien-te y siendo el radical el denominador de esta fracción:

RADICALES EQUIVALENTES: (a)

m

n =(a)k · mk · n

√am n

= k · nak · m

ó √6256_{= 2}6 8

=3 24

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: k· n√am · n

= √kam

22· 32

4

=2 2 · 3

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado. EXTRACCIÓN DE FACTORES EN RADICALES

 SI UN EXPONENTE ES

ME-NOR QUE EL ÍNDICE: √nam = √nam √26 =√2 2 · 3

Si un EXPONENTE es MENOR QUE el ÍNDI-CE, EL FACTOR correspondiente SE DEJA EN EL RADICANDO.

 SI UN EXPONENTE ES

IGUAL AL ÍNDICE: k· n√am · n = √kam √38 = 23 = 2

Si un EXPONENTE es IGUAL al ÍNDICE, EL FACTOR correspondiente SALE FUERA DEL RADICANDO.

 SI UN EXPONENTE ES

MA-YOR QUE EL ÍNDICE: 2·3

2 _·55

=3· 52 2 _2·5

Si un EXPONENTE es MAYOR QUE el ÍNDI-CE, SE DIVIDE dicho EXPONENTE POR EL ÍNDICE. EL COCIENTE obtenido ES EL EXPONENTE DEL FACTOR FUERA DEL RADICANDO y EL RESTO ES EL EXPONENTE DEL FACTOR DENTRO DE LA RAÍZ.

INTRODUCCIÓN DE

FACTO-RES EN UN RADICAL: a· n bm = n an _{· b}m 2· √3

2

= 22 2· 3 = √2 12

Se INTRODUCEN LOS FACTORES ELEVADOS AL ÍNDICE correspondiente DEL RADICAL.

SUMA DE RADICALES: a k

n

+b kn

= (a+b)nk

3·4 8

+ 5·4 8 = (3 + 5 ) · 4 8 = 8 · 4 8

Solamente pueden sumarse dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si

son radicales con el mismo índi-ce e igual radicando.

RESTA DE RADICALES: a k

n

− b kn

= (a - b)n k

3·4 8

− 5·4 8 = (3 - 5 ) · 4 8 = −2 · 4 8

Solamente pueden o restarse dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si

son radicales con el mismo índi-ce e igual radicando.

PRODUCTO DE RADICALES

 PRODUCTO DE RADICALES

DEL MISMO ÍNDICE: √na·nb= na · b

8

5

·5 9

=5 8 · 9

= 5 72 Se MULTIPLICAN LOS RADICANDOS _{Y SE DEJA EL MISMO ÍNDICE}_.

 PRODUCTO DE RADICALES

DE DISTINTO ÍNDICE: n√a·m b= n· m a · b

36

4 ·336

=12 36 3_{· 3}2 4

=12318_{· 3}8₌₃2₃12 2

(10)

10 PROPIEDADES Y OPERACIONES CON RAICES DE NÚMEROS NATURALES

COCIENTE DE RADICALES

 COCIENTE DE RADICALES

DEL MISMO ÍNDICE: √

a n

√b n =

a b

n √128

6

√16

6 =

128 16 6 = 2 7 24 6 = 23 6

=2· 3 23 = 22 1 = 22

Se DIVIDEN LOS RADICANDOS Y SE DEJA el MISMO ÍNDICE.

COCIENTE DE RADICALES

DE DISTINTO ÍNDICE:

√4

3

√2

2 =

42 23 6 = 4 2 2 23 6 = 2 4 23 6

= 26 1_{= 2}6

Primero REDUCIR A ÍNDICE

COMÚN y LUEGO SE DIVIDEN.

POTENCIA DE RADICALES: √na m₌_√n_a_m

18

3 2

= 183 2

Para ELEVAR UN RADICAL A UNA POTENCIA, se debe ELEVAR A DICHA POTENCIA EL RADICANDO y SE DEJA EL MISMO ÍNDICE.

RAICES DE RADICALES: n m_√a₌

√a

n · m

2

4 3

=6 4 2= 224

La raíz de un radical es

otro RADICAL DE IGUAL RADICANDO y CUYO ÍNDICE ES el PRODUCTO DE LOS DOS ÍNDICES.

RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

 RACIONALIZACIÓN DEL

TIPO: _b·a_√_c

a b· √c =

a· √c b· √c· √c

= a· √c b· √c2 =

a· √c b· c

2 3· √2 =

2· √2 3· √2· √2 = 2· √2

3· √22 = 2· √2

3· 2 = √2

3

Se multiplica el numerador y el denominador por √_{c .}

 RACIONALIZACIÓN DEL

TIPO: a

b· n√cm

a b· √ncm =

a · √ncn – m

b· √ncm_·

√cn – m n

= a · √cn – m n

b· cn m_{· c}n – m =

a · √ncn - m

b· n√cn =

a · √ncn - m

b· c

2 3· √54 =

2 3· 25 2 =

2 · 25 5 – 2

3· 25 2

· 25 5 – 2 =

2 · 25 3 3· 25 2

· 25 3 =

2 · √58 3· 25 2 + 3 =

2 · √58 3· 25 5 = 2 · √8

5

3· 2 =

√8

5

3

Se multiplica numerador y deno-minador por n _cn - m_.

 RACIONALIZACIÓN DEL

TIPO: _√_{b +}a √c

2· √2 5 – 2· √6 = 2· √2· 5 + 2· √6 5 – 2· √6 · 5 + 2· √6

10· √2 + 4· √12

(5)2₋ _2·_√₆2

= 10_{25 –}√2₍+_{4· 6}4√12₎

= 10√2+4 2

2_{· 3}

25 – 24 = 10√2+4 22_{· 3}

25 – 24 = 10 2+8 3

(11)

11

√12

3

· √418 √6

4

= √12

3

· √418 4

√6 4 =

(12)4

3

· (4 18)4

(6)4 =

22_{· 3} 4

3

· (18) (2· 3)4 =

(18)· 23 8 · 34 24 · 34 = 18·

28_{· 3}4 2

24· 34 3

6

=

= 18· 2

8_{· 3}4 2

24_{· 3}4 3

6

= 18· 2

16_{· 3}8

212_{· 3}12

6

= 18· 2

4

34

6

OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS ENTEROS:

Para resolver ejercicios, donde intervienen operaciones combinadas de suma, resta, multipli-cación, división, potenciación y radicación; se realizaran los siguientes pasos ye en el orden que se describen para su correcta resolución:

 Observar detenidamente el ejercicio y ver donde es posible simplificar o aplicar propiedades de las distintas operaciones (Ejemplo: a0_{= 1; a}1_{= a, etc.).}

 Pasar a fracción los números mixtos o simplificar antes de operar (si fuera necesario).

 Realizar el mínimo común múltiplo de las fracciones (si fuera necesario).

 Efectuar las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis, llaves, o corchetes; de adentro hacia afuera. Siempre de forma clara y ordenada.

 Calcular las potencias y raíces.

 Efectuar los productos y cocientes.

 Realizar las sumas y resta.

 Simplificar si se puede el resultado obtenido de las operaciones.

 Expresar correctamente el resultado final obtenido. Marcar con un recuadro o cualquier otra figura o subrayando el resultado obtenido.

 Repasar al final los pasos realizados para comprobar su correcta resolución.