Presentado a
LA UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
Para obtener el título de
INGENIERO ELECTRÓNICO
por
Carlos Andrés Padilla Palomo
DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE PLATAFORMA DE BAJO
COSTO PARA FOMENTAR EL APRENDIZAJE DE CONCEPTOS DE
SISTEMAS DE CONTROL
Sustentado el día 9 de Diciembre de 2015 frente al jurado:
Composición del jurado
- Asesor: Nicanor Quijano Silva, Profesor Asociado, Universidad de Los Andes
- Jurados : José Fernando Jiménez Vargas, Profesor Asociado /Universidad de Los Andes Germán Ovando, Estudiante Doctorado /Universidad de Los Andes
Contenido
1 INTRODUCCIÓN ... 3
2 OBJETIVOS ... 4
2.1 Objetivo General ... 4
2.2 Objetivos Específicos ... 4
2.3 Alcance y productos finales ... 4
3 DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO ... 5
4 MARCO TEÓRICO, CONCEPTUAL E HISTÓRICO ... 5
4.1 Marco Teórico ... 5
4.2 Marco Histórico ... 6
5 DEFINICION Y ESPECIFICACION DEL TRABAJO ... 8
5.1 Definición ... 8
5.2 Especificaciones ... 8
6 METODOLOGÍA DEL TRABAJO ... 10
6.1 Plan de trabajo ... 10
6.2 Búsqueda de información ... 11
6.3 Alternativas de desarrollo ... 12
6.3.1 Control PID ... 12
6.3.2 Infraestructura de la planta ... 12
6.3.3 Tipo de bola ... 13
6.3.4 Filtro para detectar la bola blanca... 14
7 TRABAJO REALIZADO ... 14
7.1 Descripción de resultados ... 14
7.1.1 Modelamiento matemático del sistema plato-bola ... 14
7.1.2 Desarrollo de técnicas de control para el modelo matemático ... 17
7.1.3 Diseño y construcción de la planta ... 22
7.1.4 Visualización y procesamiento de la imagen ... 24
7.1.5 Identificación del sistema ... 26
7.2 Trabajo computacional ... 27
8 VALIDACIÓN DEL TRABAJO ... 27
8.1 Metodología de prueba ... 27
8.2 Validación de los resultados del trabajo ... 28
8.3 Evaluación del plan de trabajo ... 30
9 DISCUSIÓN ... 30
10 CONCLUSIONES ... 31
11 AGRADECIMIENTOS ... 32
12 REFERENCIAS ... 32
13 APENDICES ... 33
1
INTRODUCCIÓN
Debido a que el aprendizaje de los conceptos de control usualmente empleados en la industria es un reto para la mayoría de los estudiantes de ingeniería. Se propone desarrollar una plataforma de bajo costo que permite la implementación de estrategias de control para ayudar el aprendizaje y la apropiación de los conceptos en este ámbito, con el fin de proporcionar a los estudiantes la oportunidad de aplicar y relacionar los conceptos teóricos obtenidos en el aula de cursos básicos en control. Se elige un marco de desarrollo de bajo costo con el fin de permitir el acceso y plataformas de replicación sin incurrir en altos costos.
El presente proyecto de grado trata del diseño e implementación de una plataforma de bajo costo que permita fomentar interés en conceptos del área de control. La plataforma a implementar se denomina “Ball and Plate”. La planta consiste en un sistema dinámico conformado por dos motores que permiten mover el plato en dos direcciones con el objetivo controlar la posición de la bola encima del plato.
La planta a implementar permite a los estudiantes aplicar conceptos teóricos del área de control tales como, la obtención del modelo dinámico, la función de transferencia y el espacio de estados. De igual forma permite realizar un análisis de desempeño y por último, el diseño e implementación de un mecanismo de control.
Inicialmente se llevó a cabo una revisión de la literatura para establecer el sistema a implementar. Para la selección de la planta, se tuvo en cuenta que la plataforma debe estar en la capacidad de ilustrar los conceptos básicos del área de control. Por lo tanto, se decidió implementar un sistema "Ball and Plate". Los sistemas de modelos analíticos y su respectivo análisis determinaron que la planta realmente permite a los estudiantes aplicar los conceptos teóricos.
Posteriormente, se formularon parámetros de rendimiento sobre la base de los requisitos y las limitaciones funcionales del prototipo. Con base en esto, se procedió a llevar a cabo las plataformas de diseño mecánico y electrónico. En el documento se mostraran los elementos de control (actuadores, sensores, etc.) y dispositivos eléctricos (fuentes de alimentación, procesadores, elementos de adquisición de datos). De igual forma, se muestra de manera detallada las estrategias de control establecidas con las debidas simulaciones que permiten reconocer el comportamiento teórico de los sistemas.
El artículo expone el montaje y ejecución física de los sistemas y los códigos con el desarrollo de software. A partir del montaje implementado se obtiene una nueva función de transferencia. Sobre la base de este nuevo modelo se diseñan nuevamente las dos estrategias de control.
Por último, se muestran los resultados y el protocolo de pruebas que permiten validar el correcto funcionamiento del sistema implementado.
2
OBJETIVOS
2.1 Objetivo General
Desarrollar una plataforma de bajo costo que permita la implementación de estrategias de control para asistir el aprendizaje y apropiación de los conceptos de esta área.
2.2 Objetivos Específicos
Diseñar y fabricar una plataforma de bajo costo que reproduzca el comportamiento de un sistema físico dinámico controlable.
Implementar al menos dos estrategias de control en la plataforma física y validación del funcionamiento.
Generar documentación de las especificaciones y manual de operación de la plataforma desarrollada.
2.3 Alcance y productos finales
Trabajo o experimento Resultado obtenido Grado de satisfacción Diseñar y fabricar una
plataforma de bajo costo que reproduzca el comportamiento de un sistema físico dinámico controlable.
Se construyó e implemento la planta de acuerdo al diseño planteado. El prototipo permite una buena adquisición y procesamiento de imágenes de la cámara. De igual forma, es posible mover la bola encima del plato a partir de la variación de los ángulos en los servos.
90%
Implementar al menos dos estrategias de control en la
plataforma física y
validación del
funcionamiento.
Se diseñaron dos técnicas de control para el modelo teórico del sistema. Se simularon y se verifico su desempeño a partir de las simulaciones. También se discretizaron los controladores para ser procesados en el código de Matlab.
50%
Generar documentación de las especificaciones y
La documentación del proyecto se realizó acorde
manual de operación de la plataforma desarrollada.
a lo pactado. Un manual de usuario de la planta y un documento con la síntesis del desarrollo del proyecto.
Tabla. 1 Alcance y productos finales.
3
DESCRIPCIÓN DE LA PROBLEMÁTICA Y JUSTIFICACIÓN DEL TRABAJO
El aprendizaje de las estrategias de control usualmente empleadas en la industria es desafiante para la mayoría de los estudiantes de ingeniería. La teoría y el diseño de sistemas de control están basados en conceptos matemáticos abstractos que son pobremente entendidos, suscitando la falta de motivación de los estudiantes en los cursos básicos de control. Se ha demostrado que es necesario proveer a los alumnos una oportunidad de aplicar y relacionar los conceptos teóricos obtenidos en el aula a través de experimentos sencillos.
Dado el enfoque netamente teórico que tienen la mayoría de cursos y libros de control, los estudiantes presentan dificultad para asimilar los conceptos del área. Es por esto que se propone desarrollar plantas físicas de bajo costo que permitan implementar conceptos y técnicas de control de forma experimental. Se escoge un marco de desarrollo de bajo costo con el fin de permitir el acceso y la replicación de las plataformas, presentando grandes beneficios de aprendizaje en el área, sin incurrir en altos costos.
4
MARCO TEÓRICO, CONCEPTUAL E HISTÓRICO
4.1 Marco Teórico
Ecuaciones de LaGrange: Las Ecuaciones de LaGrange, conocidas también como ecuaciones de Euler, permiten derivar un sistema analítico que tiene como objetivo plantear una serie de ecuaciones que describen el comportamiento físico de objetos a partir de su energía cinética y potencial. [10]
Función de transferencia: Función de un sistema en términos de la frecuencia que relaciona algebraicamente la salida del sistema con su entrada. La función también nos permite combinar algebraicamente representaciones matemáticas de subsistemas para obtener una representación total del sistema. [6]
Root Locus: El lugar de las raíces es la representación de las trayectorias de los polos en lazo cerrado a medida que se varía la ganancia. [6]
Espacio de estados: El enfoque de espacio de estado, también referido como el enfoque en el dominio del tiempo, es un método unificado para el modelado, análisis y diseño de una amplia gama de sistemas. [6]
State Feedback Control: El control por retroalimentación de estados consiste en introducir parámetros adicionales en un sistema de modo que se pueda controlar la ubicación de todos los polos de la ecuación característica en lazo cerrado. [6]
Matlab: Es un lenguaje de alto nivel y un entorno interactivo que permite explorar y visualizar ideas, incluyendo el procesamiento de imágenes y señales, comunicaciones, sistemas de control, y finanzas computacionales. [11]
4.2 Marco Histórico
En primer lugar se tiene que, en Noviembre de 2014 fue presentado en la Conferencia Internacional sobre Aprendizaje Automático y Cibernética el documento Development of a Low-Cost Platform for Control Engineering Education por Chuang H.,Chuang Y., Yang C. [1]
La investigación es un estudio de la implemetación de una plataforma de bajo costo usando el kit de LEGO Mindstorms NXT y el software NXC para enseñar la teoria de control a estudiantes universitarios. El documento muestra el proceso detallado de la identficación de los parametros para los motores DC usados en la plataforma. A su vez, explica en que consiste la tecnica de control acoplado transversal y como se ve evidencia en la plataforma el uso de la técnica.
De igual forma, se encontró el articulo titulado A Hands-on Process Control Laboratory for Undergraduate Students: Using Low Cost Experiment Kits presentado en 2008, por Siller-Alcalá I., Jaimes-Ponce J., Alcántara-Ramírez R., y Rubio J.J. en el departamento de Electrónica de la Universidad Autónoma Metropolitana de México. [2]
El trabajo tiene como objetivo la descripción de prácticas de laboratorio de control usando prototipos de bajo de costo que permitan al estudiante conectar la teorica con la practica. El documento muestra el desarrollo de 3 distintos sistemas que permiten al estudiante entender distintos conceptos de control tales como: Función de transferencia, perturbación, error en estado estacionario, control proporcional y control integral proporcional.
En cada uno de los sistemas se explica detalladamente en que consiste y los conocimientos de control que pueden ser aplicados y evidenciados en cada uno de ellos. Por último proponen prácticas de laboratorio para alcanzar los objetivos planteados en cada uno de los sistemas.
También se consultó el trabajo de investigación que en Octubre de 2012, fue presentado por Catalin Braescu F., Ferariu L., Gilca R., and Bordianu V., en la conferencia System Theory,
Control and Computing (ICSTCC), 2012 16th International Conference on, titulado Ball on plate balancing system for multi-discipline educational purposes [3]
Este trabajo presenta un sistema de Ball and Plate con fines educativos. El sistema se basa en una pantalla tactil que permite sensar la posición de la bola y dos servomotores que controlan la plataforma. El documento muestra el modelo dinámico obtenido de la planta, simulaciones e implementación.
El articulo describe en primer lugar, obtiene el espacio de estados del sistema a partir del modelo dinámico calculado. En segundo lugar, muestra un control LQR que permite controlar la posición de la bola en el plato.Por último, muestra cada uno de los componentes hardware presentes en la planta y su función en el sistema.
En la labor de investigación y consulta de antecedentes, se encontró el articulo titulado
Modeling and Control design for the ball and plate system presentado en 2003, por Knuplez A., Chowdhury A., y Svecko R. en la conferencia Industrial Technology, 2003 IEEE International Conference on. [4]
El trabajo tiene como objetivo la descripción de un controlador para un sistema Ball and Plate de dos dimensiones destinada a un estudio de los sistemas dinámicos y experimentos de laboratorio que usen la teoría de control clásica y moderna.
El árticulo detalla la obtención del modelo dinámico del sistema Ball and Plate utilizando el modelo de Lagrange. Posteriormente describe la obtención de la funcion de transferencia del sistema. Por último, desarrolla un controlador para el sistema utilizando Lead compnesation de acuerdo a una serie de especifaciones.
En la Universidad de Los Andes también se han llevado a cabo proyectos de investigación que busquen la implementación de plataformas de bajo costo para el aprendizaje del área de control. Para empezar se tiene que, en el año 2012 fue presentado en el Departamento de Ingeniería Electrónica de la Universidad de Los Andes, la tesis Low cost experiments for control systems por Caro Ruiz C. C., como requisito para optar al título de Master of Electronical Engineering. [5]
El documento describe el desarrollo de una plataforma de bajo costo capaz de ser controlada mediante varias técnicas de control. La planta consiste de una serie de ventiladores capaces de mover y trasladar un conjunto de pelotas al interior de tubos. En el artículo muestran y describen las diferentes estrategias de control que pueden ser desarrolladas en la plataforma para lograr controlar la posición de las bolas adentro de los tubos.
5
DEFINICION Y ESPECIFICACION DEL TRABAJO
5.1 Definición
La plataforma Ball and Plate desarrollada permite a los estudiantes derivar un modelo teórico de la planta usando principios físicos y matemáticos básicos. A partir del modelo teórico obtenido, los educandos están en la capacidad de abstraer la función de transferencia y espacio de estados de la planta. En consecuencia, se puede realizar un análisis de desempeño del sistema, evaluando los parámetros de estabilidad, controlabilidad, observabilidad, error en estado estacionario y robustez.
A su vez, los estudiantes pueden diseñar y desarrollar las diferentes técnicas de control que se enseñan en el aula. Específicamente, la plataforma planteada permite implementar control por retroalimentación de espacio de estados, lugar de las raíces y/o PID. De esta manera, los educandos podrán entender y familiarizarse con los diferentes conceptos del área de control. En segundo lugar, los alumnos lograran observar la aplicabilidad industrial y práctica que tiene el desarrollo de un control adecuado para el buen funcionamiento de una plataforma.
De igual forma, con la planta terminada se puede obtener un nuevo modelo de la plataforma a partir de identificación de sistemas. Este nuevo modelo permite a los estudiantes validar el correcto funcionamiento de la planta desarrollada. Si el sistema implementado cumple con las especificaciones planteadas, el estudiante podrá realizar un nuevo análisis basándose en el modelo obtenido de la plataforma construida.
Es por esto que, el diseño y construcción de la planta permite a los estudiantes confrontar un reto de ingeniería que tiene como objetivo desarrollar un prototipo final que cumpla con los objetivos planteados. Con esto, los alumnos pueden adquirir o mejorar habilidades de trabajo en grupo, ingenio, creatividad y trabajo bajo presión.
Por otra parte, la plataforma implementada se realizó bajo un marco de bajo costo, lo cual permite que, estudiantes de distintos sectores socioeconómicos estén en la capacidad de acceder a grandes beneficios de aprendizaje en el área de control, sin incurrir en altos costos.
5.2 Especificaciones
Aceptable Deseado Condición de luz Condición de luz propicia
para que los filtros de detección de la bola y el plato no se vean afectados.
Condición de luz propicia para que los filtros de detección de la bola y el plato no se vean afectados.
La luz no debe generar reflejo en el plato u otros elementos detectados por la cámara.
Ángulos de inclinación Los ángulos de inclinación deben permitir un buen movimiento de la bola en los dos sentidos de un mismo eje.
Los ángulos de inclinación deben ser iguales en los dos sentidos de un mismo eje.
Ejes desacoplados La planta tiene los dos ejes de movimiento desacoplados en un área específica del plato.
La planta tiene los dos ejes de movimiento totalmente desacoplados.
Forma de la bola La bola es lo suficientemente esférica para no afectar su desplazamiento sobre el plato.
La bola es perfectamente esférica.
Material de la bola La rugosidad de la bola no afecta en gran medida su desplazamiento sobre el plato.
La bola es completamente lisa.
Resolución de la cámara. La resolución de la cámara permite detectar la bola y el plato adecuadamente.
La resolución de la cámara permite diferenciar entre la bola y perturbaciones que puedan aparecer en el sistema.
Tabla. 2 Especificaciones y restricciones de la planta.
La condición de luz es determinante para el buen funcionamiento de los filtros generados para la detección de la bola y el plato. Una buena condición de luz disminuye el ruido que pueda detectar la cámara.
Los ángulos de inclinación son los que permiten que la bola se desplace alrededor del plato. Al tener los ángulos de inclinación en los dos sentidos iguales, la planta adquiere simetría y por ende es más fácil su control.
Los ejes desacoplados permiten que la planta tenga dos funciones de transferencia totalmente independientes por cada eje de movimiento.
La forma y el material de la bola permiten un buen desplazamiento de la bola por la superficie del plato. Entre mejor sea el desplazamiento de la bola, el control es más fácil.
La resolución de la cámara es de gran importancia para el buen funcionamiento del sistema ya que permiten desarrollar e implementar mejores filtros de detección para la bola y el plato.
6
METODOLOGÍA DEL TRABAJO
6.1 Plan de trabajo
A continuación se muestra un listado de las actividades realizadas durante el desarrollo del proyecto. Se muestran en el orden de ejecución y con su respectivo tiempo de duración.
Tarea realizada Duración
Planeación y selección del sistema. 3 semanas
Definición de requerimientos y restricciones.
1 día
Establecer materiales y componentes. 1 día
Planos 3D de la planta. 2 semanas
Modelamiento matemático de la planta. 2 semanas
Modelamiento de técnicas de control. 2 semanas
Simulación del plano de la planta 1 semana
Simulación de técnicas de control para el modelo matemático.
1 semana
Implementación mecánica y eléctrica. 1 mes
Pruebas del funcionamiento. 1 semana
Obtención del modelo real de la planta implementada.
Obtención de datos y análisis de resultados.
1 semana
2 semanas
Tabla. 3 Plan de trabajo de las actividades del proyecto
De igual forma, a continuación se exponen las etapas administrativas realizadas a lo largo del proyecto.
Tarea realizada Fecha
Reunión con asesor para exponer la planta seleccionada
30 de Julio
Reunión con asesor para mostrar el modelo 3D y modelo matemático de la planta.
20 de Agosto
Entrega de documento de avance al asesor.
29 de Septiembre
Reunión con asesor para seguimiento del proyecto con la planta ya implementada.
6 de Noviembre
Entrega de documento de proyecto de grado a asesor.
11 de Noviembre
Entrega de documento de proyecto de grado a jurados.
2 de Diciembre
Sustentación del proyecto 9 de Diciembre
Tabla. 4 Plan de trabajo de las entregas e hitos de muestra del proyecto.
6.2 Búsqueda de información
Con el objetivo de saber que conceptos teóricos de control deberían poder ser aplicados en la planta, se consultó la tabla de contenidos de cursos básicos de control. Posteriormente, se realizó una revisión bibliográfica de artículos en la revista IEEE para la selección de la planta, considerando que la plataforma a implementar debía ser de bajo costo y estar en la capacidad de aplicar las temáticas de los cursos de control.
Con la selección de la plataforma Ball and Plate, se examinaron diversos artículos que permitieron derivar el modelo teórico de la planta. De igual forma, para el análisis de desempeño, la obtención de la función de transferencia de la planta y el diseño de las técnicas de control, se estudió los conceptos requeridos en libros del área que ilustraran y explicaran cada uno de ellos.
Para la resolución de dudas y errores puntuales, se consultó al profesor asesor encargado del proyecto. Por último, para la elaboración del código en Matlab que permitía la comunicación con el Arduino y la cámara, se consultó en trabajos realizados anteriormente y en la herramienta de ayuda de Matlab que explica el funcionamiento de los toolbox utilizados.
A sí mismo, las clases del área de control influyeron de gran forma en el desarrollo del proyecto, ya que, ayudaron en la preparación académica y brindaron los conocimientos básicos del área.
6.3 Alternativas de desarrollo
6.3.1 Control PID
En el diseño del controlador PID para el modelo teórico de la planta se manejaron 3 alternativas: Controlador PD, Controlador PID, controlador PID con anti windup.
En primer lugar se diseñó un controlador PD por medio del lugar de las raíces, sin embargo al no tener el término integral, el controlador no estaba en la capacidad de actuar sobre el error estacionario. Por esta razón, se decidió implementar un controlador PID que si tuviera poder de acción sobre el error en estado estacionario. Por último, teniendo en cuenta que los actuadores presentan saturaciones se decidió implementar un controlador PID con anti windup, que contrarrestara el efecto de la saturación sobre el control.
Para el modelo teórico se observó que, a pesar de no tener acción sobre el error en estado estacionario y la saturación, el controlador PD presentaba un mejor desempeño. Sin embargo, se espera que para un modelo real de la planta si se necesite de un controlador PID con anti windup.
6.3.2 Infraestructura de la planta
En la infraestructura y componentes de la planta se manejaron dos alternativas distintas, una para el diseño inicial y otra para el diseño final. El diseño inicial contó con piezas de más bajo costo y fáciles de conseguir. El diseño final utilizó piezas más costosas y de mayor grado de complejidad, sin embargo estos componentes proporcionaban un mejor funcionamiento a la planta. A continuación se indican las diferentes opciones que se manejaron en cada diseño.
Uniones: El diseño inicial tenía como uniones las argollas de llaveros de pequeño tamaño. En el diseño final, son uniones de cardan las que permiten el movimiento en los 2 ejes.
Fig. 1 Argolla de llavero utilizada como unión entre servo y plato.
Pivote del centro: El diseño inicial tenía como pivote central una puntilla, en cambio el prototipo final contaba con una unión de cardan en la parte central.
Soporte de la cámara: El prototipo inicial tenía como soporte un brazo de lámpara. Por su parte, el diseño final contaba con una infraestructura en acrílico que mantenía fija la posición de la cámara.
Fig. 2 Brazo de lámpara utilizado como soporte de la cámara.
Soporte de la planta: El soporte de la planta en un principio estaba hecho de cartón paja, posteriormente este soporte pasó a ser de acrílico.
Fig. 3 Prototipo inicial de la planta. Fig. 4 Prototipo final de la planta.
6.3.3 Tipo de bola
Debido a las dificultades que se presentaron en la planta para el control de la bola encima del plato, se utilizaron diferentes tipos de esferas para encontrar la que mejor se adaptara al sistema.
Fig. 5. Diferentes bolas utilizadas.
Se encontró que las bolas que mejor se adaptaban eran la bola grande maciza de pasta y la de icopor. La bola de pasta presentaba la ventaja que era más lisa y esférica, sin embargo la de icopor al presentar mayor fricción se deslizaba más lento.
6.3.4 Filtro para detectar la bola blanca
En primer lugar, para detectar la bola blanca se realizó un filtro basado en la escala de grises, en el cual se ajustaba el coeficiente de detección dependiendo de la esfera que se tenía. Posteriormente se realizó un filtro de detección de blanco a partir de la suma de los 3 componentes del modelo de color RGB unido al filtro en escala de grises que ya se tenía.
7
TRABAJO REALIZADO
7.1 Descripción de resultados
7.1.1 Modelamiento matemático del sistema plato-bola
Para encontrar la función de transferencia del sistema se utiliza el método de LaGrange, el cual relaciona las energías cinéticas y potenciales presentes en el sistema.
Energía cinética:
𝑲 = 𝟏
𝟐 𝒎𝑩𝒗𝑩
𝟐+ 𝟏
𝟐 𝑰𝑩𝒘𝑩
𝟐+𝟏
𝟐 (𝑰𝑩+ 𝒎𝑩𝒓𝑩
𝟐)𝒘
𝑳𝟐+
𝟏 𝟐 𝑰𝑳𝒘𝑳
𝟐 (1)
𝐾 = 1 2 𝑚𝐵𝑟̇
2+ 1
2 𝐼𝐵 𝑟̇ 𝑅
2
+1
2 (𝐼𝐵+ 𝑚𝐵𝑟𝐵
2)𝑤
𝐿2+
1 2 𝐼𝐿𝛼̇
2 (2)
𝑇 =𝐿
2𝑚𝐿𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑟𝑚𝐵𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
(3)
Donde:
R Radio de la bola
r Distancia desde el eje de giro a la bola
𝛼 Angulo de giro del plato Método de LaGrange:
𝐿 = 𝐾 − 𝑇 (4)
A partir de las anteriores ecuaciones se deriva:
𝑄1 = ( 𝑚𝐵+
𝐼𝐵
𝑅2) 𝑟̈ − 𝑚𝐵𝑟𝛼̇2− 𝑚𝐵𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼
(5)
𝑄2 = (𝐼𝐵+ 𝑚𝐵𝑟2+ 𝐼𝐿)𝛼̈ − 𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 (𝑟𝑚𝐵+
𝐿
2 𝑚𝐿) + 2𝑚𝐵𝑟𝑟̇𝛼̇
(6)
Se linealiza 𝑄1 alrededor de 𝛼 = 0
( 𝑚𝐵+ 𝐼𝐵
𝑅2) 𝑟̈ = 𝑚𝐵𝑔𝛼
(7)
Se hace Laplace
( 𝑚𝐵+ 𝐼𝐵
𝑅2) 𝑅(𝑠)𝑠2 = 𝑚𝐵𝑔𝐴(𝑠)
(8)
𝑅(𝑠)
𝐴(𝑠)=
𝑚𝐵𝑔
( 𝑚𝐵+ 𝐼𝐵 𝑅2) 𝑠2
(9)
Se toma 𝐼𝐵 = 𝑘 𝑚𝐵𝑅2
𝑹(𝒔) 𝑨(𝒔)=
𝒈 (𝟏 + 𝒌)𝒔𝟐
(10)
Espacio de estados del sistema plato-bola
De 𝑄1linealizado alrededor de 𝛼 = 0
( 𝑚𝐵+ 𝐼𝐵
𝑅2) 𝑟̈ − 𝑚𝐵𝑔𝛼 = 0
(11)
Se toma:
𝑋1 = 𝑟̇ 𝑋2 = 𝑟
( 𝑚𝐵+ 𝐼𝐵
𝑅2) 𝑋1̇ − 𝑚𝐵𝑔𝛼 = 0
(13)
𝑋1̇ =
𝑚𝐵𝑔𝛼
𝑚𝐵+ 𝐼𝐵 𝑅2
(14)
𝑋1̇ = 𝑔 1 + 𝑘
𝑋2̇ = 𝑋1
(15)
(16)
Finalmente se obtiene:
[𝒓̈ 𝒓̇] = [
𝟎 𝟎
𝟏 𝟎] [
𝒙𝟏(𝒕) 𝒙𝟐(𝒕)] + [
𝒈 (𝟏 + 𝒌)⁄
𝟎 ] 𝜶(𝒕)
(17)
𝒓(𝒕) = [𝟎 𝟏] [𝒙𝒙𝟏(𝒕)
𝟐(𝒕)]
(18)
Controlabilidad
Se obtiene la matriz de controlabilidad:
𝐶𝑚 = [𝑔/(1 + 𝑘) 0
0 𝑔/(1 + 𝑘]
(19)
Se obtiene el determinante:
𝑫𝒆𝒕𝑪𝒎 = ( 𝒈
𝟏 + 𝒌)
𝟐
≠ 𝟎 (20)
El sistema es controlable.
Observabilidad
Se obtiene la matriz de observabilidad:
𝑂𝑚 = [0 1
1 0] (21)
Se obtiene el determinante:
𝑫𝒆𝒕𝑶𝒎 = −𝟏 ≠ 𝟎
El sistema es Observable.
Estabilidad
[𝑆𝐼 − 𝐴] = [ 𝑠 0
Se obtiene el determinante:
𝑑𝑒𝑡[𝑆𝐼 − 𝐴] = 𝑠2+ 1 (23)
𝒔 = ±𝒋 (24)
Al no tener polos en el semiplano derecho del plano complejo, el sistema es estable.
Modelamiento completo de la planta
𝑷(𝑺) = 𝜽(𝒔) 𝑽(𝒔)
𝑨(𝒔) 𝜽(𝒔)
𝑹(𝒔) 𝑨(𝒔)
(25)
El modelamiento completo de la planta consta de tres funciones de transferencia. La primera relaciona el voltaje aplicado con el ángulo de salida del servo𝜃(𝑠)
𝑉(𝑠). En el proyecto
esta función de transferencia no es necesaria ya que se van a emplear servos convencionales que ya vienen con un control de posición. Por lo cual la entrada de la planta es ángulo y no voltaje.
La segunda función de transferencia mostrada 𝐴(𝑠)
𝜃(𝑠), determina la relación entre el ángulo de
salida del servo y el ángulo aplicado a la plataforma. Esta relación es una constante y es prestablecida en el diseño de la planta. En nuestro caso, la relación depende del largo de las uniones y tiene un valor de 3, 𝐴(𝑠)
𝜃(𝑠) = 3.
La última función de transferencia 𝑅(𝑠)
𝐴(𝑠), relaciona el ángulo aplicado al plato con la posición
de la bola en el plato. Esta función de transferencia fue obtenida mediante el modelo matemático de la planta mostrado anteriormente.
7.1.2 Desarrollo de técnicas de control para el modelo matemático
State Space Feedback Control
Asumiendo una esfera sólida k=2/5.
A= [0 0 1 0], B= [
7
Se desea un %OS=5% y Ts=0.8s.
%OS= 100 ∗ 𝑒
−( 𝜁𝜋
√1−𝜁2
)
𝜁 = ( (ln(𝑂𝑆)/𝜋)2
1+(ln(𝑂𝑆)/𝜋)2)
1/2
(27)
Ts= 𝜁𝑤𝑛4 Wn= (𝑇𝑠∗𝜁
4 )
−1 (28)
De las anteriores ecuaciones se obtiene: 𝜁 = 0.690107 y Wn= 7.245253
Con las dos constantes anteriores calculadas se obtiene la ecuación característica deseada:
𝑠2+ 10𝑠 +52.493695
Para el diseño del controlador se obtiene K con la siguiente ecuación [6]:
K= [𝑊𝑇𝑆𝑇]−1 * (𝑎 − 𝑎̃) (29)
S es la matriz de controlabilidad, 𝑎 son los coeficientes de la ecuación característica deseada, 𝑎̃ son los coeficientes de la ecuación característica del sistema y W se define de la siguiente forma [6]:
Fig. 6 Sistema en lazo abierto
𝑊 = [
1 𝑎̃1 … 𝑎̃𝑁−1
0 1 … 𝑎̃𝑁−2
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 … 1
]
(30)
Se obtiene K=[ 7.4991 1.4286]
Fig. 9 Respuesta a State Feedback without integral control
Como se observa en la figura 4, el error estado estacionario es muy grande. Por lo cual el control no es adecuado.
𝑒(∞) = 1 + 𝐶(𝐴 − 𝐵𝐾)−1𝐵 = 0.3 (31)
Por lo cual se debe añadir un control integral. El diagrama de bloques del sistema queda de la siguiente manera:
Fig. 10 State Feedback with integral control
De esta forma se añade un polo adicional al sistema. El polo añadido debe ser mucho más grande que el polo dominante de la ecuación característica:
(𝑠 + 100)(𝑠2+ 10𝑠 +52.493695)= 𝑠3+ 110𝑠2 + 1052.493695𝑠 + 5249.3695
Las nuevas matrices y vectores se obtienen a partir de:
A’= [ 𝐴 0 −𝐶 0], B’= [
𝐵 0].
(32)
Para hallar Ke se debe calcular K’ de la siguiente manera:
K’= [𝑊′𝑇𝑆′𝑇]−1 * (𝑎′ − 𝑎′̃ ) (33)
Donde -Ke es el enésimo término de K’.
K’= [749.9099 150.3562 -15.7143]
Ke= 15.7143
Fig. 11 Respuesta a State Feedback with integral control
De la figura 6 se observa que el error en estado estacionario es 0.
Se toma la función de transferencia:
𝑹(𝒔) 𝑨(𝒔)=
𝒈 (𝟏 + 𝒌)𝒔𝟐
(34)
Asumiendo una esfera sólida k=2/5. Se realiza el diagrama de Root Locus para el sistema: Se desea un %OS=5% y Ts=0.8s.
%OS= 100 ∗ 𝑒
−( 𝜁𝜋
√1−𝜁2
)
𝜁 = ( (ln(𝑂𝑆)/𝜋)2
1+(ln(𝑂𝑆)/𝜋)2)
1/2
(35)
Ts= 4
𝜁𝑤𝑛 Wn= ( 𝑇𝑠∗𝜁
4 )
−1 (36)
De las anteriores ecuaciones se obtiene: 𝜁 = 0.690107 y Wn= 52.493695
A partir de las constantes calculadas anteriormente, se obtiene que los polos complejos dominantes deseados en lazo cerrado son:
𝑆1,2 = −5 ± 5.243443𝑗 (37)
Con el objetivo de alcanzar el comportamiento deseado, si se observa el lugar de las raíces de la planta, se concluye que se debe añadir un control PD. En primer lugar se desea ubicar el zero, para esto se calcula el ángulo que debe tener el zero con respecto a los polos dominantes:
𝑘 ∗ 180 = −2 ∗ 𝜃𝑝+ 𝜃𝑧 (38)
Donde 𝜃𝑝 es el ángulo correspondiente a los polos en 0 de la planta.
−180 = −272.72 + 𝜃𝑧 → 𝜃𝑧 = 92.72º
Con el ángulo obtenido anteriormente se calcula la posición del zero de la siguiente forma:
5.243443
5 − 𝑧 = tan(180 − 92.72º) → 𝑧 = 4.750891
(39)
Por lo cual el zero= -4.750891 y Kf= 0.2104868.
A continuación se debe calcular K1, para esto se debe obtener la ganancia en lazo cerrado deseada:
𝐾 = 2 ∗ 𝐿1 = 2 ∗ √52 + 5.2434432 = 14.4905065 (40)
L1 es la distancia de los polos en 0 a los polos dominantes en lazo cerrado deseados. Las constantes del controlador se obtienen a partir de la función del control de la siguiente manera:
2.07007(s+4.750891) Kp= 2.07007*4.750891=9.834688
Kd= 2.07007
(41)
Fig. 13 Control PD
Fig. 14 Respuesta a PD por Root Locus
La imagen a continuación muestra el CAD de la planta que ilustra los componentes y su ubicación y distribución en la plataforma.
La planta se compone de:
1 plataforma de acrílico negro donde se desplaza la bola.
2 servomotores que permiten inclinar la plataforma de tal forma que la bola se desplace en X y Y.
2 barras de enlace entre el plato y los servomotores que posibilitan el movimiento.
3 uniones de cardan que permiten la rotación de las barras en dos dimensiones.
1 estructura en acrílico para fijar la cámara en la planta.
1 Webcam.
1 Arduino uno.
1 fuente de alimentación.
La imagen a continuación muestra el prototipo final de la planta ya construida.
Fig. 15 CAD de la planta.
7.1.4 Visualización y procesamiento de la imagen
Para la visualización del video se creó una interfaz en la que se observa lo que ve la cámara y una gráfica de la posición de la bola en el plato.
Fig. 17 Interfaz de visualización
Como se observa en la imagen anterior, la interfaz puede detectar tanto la presencia del plato como de la bola, esto se realizó mediante un procesamiento de imagen utilizando filtros de color y estimación.
Procesamiento del plato: Para detectar el plato de una manera más eficiente, se decidió bordear el plato con una cinta azul. De esta forma, el procesamiento de imagen obtiene únicamente el componente azul de la imagen y hace una segmentación en torno a un treshold obtenido del color de la cinta. Esto permite detectar y dimensionar el plato.
Procesamiento de la bola: Para detectar la bola, se implementó un contraste grande de colores, de esta forma se decidió que la bola debía ser blanca y el plato negro. De esta forma, el procesamiento convierte la imagen a escala de grises y hace una segmentación en torno a un treshold obtenido del color de la bola. De igual forma, se obtiene las 3 componentes de color por separado (rojo, verde y azul) y se suman junto con la segmentación realizada en escala de grises. Esto permite detectar la bola en el plato.
Posteriormente se suman los dos procesamientos realizados y el resultado se observa en la imagen a continuación.
Fig. 18 Procesamiento de imagen.
Por otra parte, para obtener la posición de la bola en el plato se obtuvo la distancia entre el centro de la bola detectado y la esquina del plato. De igual forma, para poder predecir la ubicación de la bola y tener un mejor procesamiento se implementó un filtro de kalman.
Se debe tener en cuenta que la cámara se encuentra fija en la parte superior de la planta, por lo cual, cuando el plato gira y se inclina, la cámara obtiene la posición de la bola respecto a su centro de enfoque y no respecto al plato. Debido a esto, es necesario utilizar los ángulos de los servos para obtener la posición exacta de la bola en el plato.
Fig. 19 Posición real de la bola
Para obtener la posición real de la bola se utiliza la siguiente relación. Teniendo en cuenta que 𝜃 es el ángulo del servomotor en ese momento.
𝑋 = 𝑋′
cos (𝜃)
7.1.5 Identificación del sistema
Para la obtención del modelo real de la planta, se creó un tren de pulsos a la entrada de uno de los servos y se observó la salida de la posición en X obtenida por la cámara. Para determinar el ancho de los pulsos y los valores de los ángulos a ingresar, se realizaron una serie de pruebas de control en lazo abierto que determinaran cual debía ser el tren de pulsos para el ángulo. El resultado obtenido se muestra en la figura a continuación.
Fig. 20 Respuesta en eje X a tren de pulsos
Sin embargo, en la prueba se observó que los dos ejes no se encontraban desacoplados. Ya que, a pesar de sólo mover uno de los servos, la bola se desplazó en los dos ejes del plato, esto se puede observar en la imagen a continuación.
Fig. 21 Respuesta en eje Y a tren de pulsos
Otra de las cosas que se puede apreciar en las dos figuras mostradas anteriormente es que, el sistema diseñado para obtener la posición de la bola fallaba en algunos momentos de la simulación, perdiendo de vista la esfera. Lo cual generaba que se registraran unos picos en las gráficas.
Con las señales obtenidas se pretendía obtener el modelo real de la planta utilizando el Toolbox “System identification” de Matlab. El cual, a partir de una señal de entrada y una
de salida genera la función de transferencia real del sistema dinámico. Sin embargo, debido a que los ejes no se encuentran desacoplados, no se pudo obtener funciones de transferencia independientes para cada eje de movimiento del plato.
7.2 Trabajo computacional
Para el desarrollo del proyecto se decidió utilizar dos herramientas computacionales que permitieran realizar las pruebas necesarias, desarrollar el código de procesamiento de imagen e implementar las técnicas de control.
Las herramientas utilizadas fueron Matlab y Arduino. En primer lugar, Arduino se utilizó para realizar los protocolos de prueba que permitieron identificar los ángulos de inclinación máximos del plato y los ángulos de estabilización. Por otra parte, Arduino también se usó en la identificación de sistemas, ya que permitía generar un tren de pulsos para el ángulo de manera adecuada.
En Matlab, se desarrolló todo el código usado para el funcionamiento de la planta. En esta herramienta se realizó la adquisición de la imagen de la cámara y su posterior procesamiento para la detección de la bola y el plato. De igual forma, se estableció la conexión entre el computador y el arduino, lo cual permitió mover los servos. Por otra parte, se implementó un código para el control del sistema.
Los códigos utilizados con su respectiva descripción se pueden encontrar en el apéndice D del documento.
8
VALIDACIÓN DEL TRABAJO
8.1 Metodología de prueba
1. Verifique que la cámara está observando de manera adecuada el plato y la bola. De igual forma, verifique que la condición de luz es la adecuada y por ende se logra la detección de la bola y el plato.
2. Obtenga los valores de saturación de los ángulos en la planta. Para esto, utilice una señal análoga (preferiblemente un potenciómetro) que le permita ir moviendo el ángulo de cada servo hasta encontrar los valores de máxima inclinación.
3. Obtenga los ángulos de estabilización. Se utiliza una señal análoga que de la posibilidad de variar los ángulos hasta encontrar cuales son los valores que permiten estabilizar y mantener quieta la bola sobre el plato.
4. Obtenga la relación entre el radio de movimiento del servo y el radio de movimiento del plato. Tenga en cuenta esto para el diseño del control ya que es un parámetro de la función de transferencia.
5. Verifique que los ejes se encuentran desacoplados. Mantenga un servo en el ángulo de estabilización encontrado y varié el ángulo del otro. La bola debe moverse únicamente en el eje de inclinación del servo que se está variando. Haga lo mismo para el otro eje de movimiento.}
6. Halle un tren de pulsos que permita realizar la identificación del sistema. Cree una señal en la cual varié uno de los ángulos a diferentes valores y con diferentes duraciones de pulso. Encuentre una señal de este tipo que permita que la bola se mueva a lo largo del eje sin caerse del plato.
7. Encuentre la función de transferencia real del sistema. Introduzca señales de entrada y salida encontrados en el literal anterior en el toolbox de Matlab “System identification”, ajuste la forma de la función al modelo teórico encontrado.
8. Rediseñe el control para el nuevo modelo encontrado.
9. Pruebe el control en la planta y ajústelo hasta encontrar el comportamiento deseado. Para esto, observe la salida del sistema (posición de la bola) y compárelo con la simulación del control realizado. El comportamiento debe ser lo más similar posible.
8.2 Validación de los resultados del trabajo
Trabajo o experimento Resultado obtenido Grado de satisfacción Diseño y simulación de la
planta.
La planta diseñada permite ilustrar y aplicar los conceptos básicos de control. Se realizó una simulación de la planta que permite verificar el correcto funcionamiento del diseño planteado.
100%
Implementación física de la planta
Se construyó e implemento la planta de acuerdo al diseño planteado. El prototipo permite una buena adquisición y procesamiento de imágenes de la cámara. De igual forma, es posible mover la bola encima del plato a partir de la variación de los ángulos en los servos. Sin embargo, el sistema implementado no
tiene los ejes de movimiento desacoplados. Procesamiento de imagen El sistema está en la capacidad de detectar y ubicar la bola en el plato. Los filtros implementados permiten una buena retroalimentación del sistema. Sin embargo, ante movimientos muy bruscos de la bola, se pierde su posición en un cuadro de adquisición y procesamiento.
90%
Diseño e implementación de las técnicas de control.
Se diseñaron dos técnicas de control para el modelo teórico del sistema. Se simularon y se verifico su desempeño a partir de las simulaciones. También se discretizaron los controladores para ser procesados en el código de Matlab. Se ejecutaron los controles diseñados a partir del modelo teórico en la planta, pero se observó que no funcionaba correctamente. Por otra parte, al no poder obtener el modelo real del sistema debido al no desacople de los ejes de movimiento, no se pudo mejorar el control implementado.
50%
Documentación del proyecto.
La documentación del proyecto se realizó acorde a lo pactado. Un manual de usuario de la planta y un documento con la síntesis del desarrollo del proyecto.
100%
Como se puede observar en la tabla mostrada anteriormente, parte del trabajo no se pudo efectuar en su totalidad y como se esperaba, esto se debe a errores y fallos que se cometieron en el desarrollo del proyecto. A continuación se enumeraran los errores encontrados con sus posibles causas.
1. La cámara seleccionada no tenía una resolución lo suficientemente buena que evitara presencia de ruidos en la visión y procesamiento.
2. La tasa de procesamiento de la imagen junto con el filtro de Kalman para predecir la posición de la bola no soportaba movimientos bruscos o rápidos de la bola.
3. Los ejes de movimiento no se encontraban desacoplados como se asumió para el desarrollo del modelo teórico de la planta. Esto se debe a errores de cálculo en la construcción de la planta que provoco desfases en la ubicación de los componentes.
8.3 Evaluación del plan de trabajo
Las dos primeras partes del plan de trabajo, que abarcaban desde la selección de la planta hasta el diseño y simulación de las técnicas de control y de la plataforma, se cumplieron de acuerdo a lo provisto en el plan de trabajo propuesto. Sin embargo, la demora en la entrega de un componente comprado al exterior provoco que la fase de construcción e implementación de la planta presentara retrasos considerables a pesar de construir un prototipo provisional con la ausencia del componente.
En el tiempo de entrega de la pieza solicitada se avanzó en la visualización y procesamiento de la imagen y en la construcción del código de control. No obstante, el no tener el prototipo final de la planta construido a tiempo retraso la validación del funcionamiento de estas dos actividades. Es por esto que, se debió prever este tipo de inconvenientes en la ejecución del proyecto para solicitar las piezas con mayor antelación.
9
DISCUSIÓN
El trabajo realizado tuvo como resultado la implementación de la plataforma “Ball and Plate”, la cual consiste en controlar la posición de una bola encima de un plato utilizando servomotores que permiten desplazar la esfera por la superficie de éste. Con el objetivo de obtener la posición en todo momento de la bola, se desarrolló un código en Matlab que permite procesar la imagen adquirida por la cámara y estimar la posición de la bola en el plato.
De igual forma, se obtuvo el modelo teórico de la planta y se diseñaron 2 técnicas de control teniendo en cuenta una serie de especificaciones sobre el desempeño que debía tener el control. Por otra parte, se discretizaron los controles realizados con el objetivo de incluirlos en el código de Matlab para su posterior implementación en la planta y verificación del funcionamiento.
Adicionalmente, cabe mencionar que en el desarrollo del proyecto se presentaron una serie de inconvenientes y errores que no permitieron el total cumplimiento de los objetivos planteados para el proyecto. No obstante, lo anterior puede ser corregido y solucionado en una futura implementación del prototipo con el objetivo de obtener el mayor grado de beneficio de la planta.
El primer inconveniente que se detectó fue el no desacople de los ejes en el plato, lo cual impide que existan dos funciones de transferencia independientes en el sistema que faciliten el control. Sin embargo, esto puede ser solucionado haciendo pruebas del prototipo antes de pegar y fijar todas las partes de manera permanente. Es decir, se debe implementar un prototipo temporal que permita verificar el desacople de los ejes de movimiento. De esta manera, sólo sí se verifica esta condición se debe proceder a fijar los componentes del sistema.
El segundo inconveniente detectado se encuentra en la estimación de la posición de la bola en el plato, ya que cuando la bola se mueve muy rápido, el sistema pierde la ubicación de la esfera por un pequeño espacio de tiempo que puede llegar a afectar el control diseñado. La selección de una cámara con una mejor resolución y mayor tasa de adquisición puede ayudar en la solución de este inconveniente. Por otra parte, se debe mejorar los filtros implementados de tal forma que el tiempo de procesamiento de la imagen sea menor.
Con la corrección de los errores mencionados anteriormente, en especial del primero, se puede proceder a obtener el modelo real de la planta usando la identificación de sistemas como se planteó en el literal 7.1.5. Con este modelo se puede proceder a rediseñar el control e implementarlo en la planta. Para esto, se debe variar el valor de las constantes en el código desarrollado en Matlab.
En adición, la plataforma permite implementar otras técnicas de control más avanzadas que logren cumplir funciones más complejas como la evasión de obstáculos o control multivariable. Esto último se puede lograr con la adición de más de una bola al sistema o con el uso de dos plantas interconectadas por donde se pueda desplazar la bola. De igual forma, se puede seguir optimizando el costo de la plataforma con el uso de componentes de más bajo precio.
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CONCLUSIONES
El trabajo realizado proporciona las bases para el diseño e implementación de una plataforma de bajo costo que fomente el aprendizaje de conceptos básicos de sistemas de control. La planta permite al estudiante aplicar y poner en práctica temas básicos del área de control que van desde transformada de Laplace, función de transferencia, espacio de estados y lugar de las raíces, hasta el desarrollo de técnicas de control. De esta manera, a lo largo del documento se ha ilustrado cómo los alumnos pueden
implementar y diseñar un sistema de control haciendo uso de los conocimientos adquiridos en el aula.
El procesamiento de imágenes implementado en el computador utilizado para calcular el centroide de la bola dentro del plano, presenta una pequeña desviación con respecto a la posición esperada. Lo anterior debido a que se utilizaron los ángulos actuales de los servos para calcular la posición exacta de la bola y a que las pruebas se realizaron en condiciones de iluminación natural.
La metodología planteada en este trabajo es de gran ayuda para resolver el problema de control que impone el sistema plato en bola. Los resultados ilustrados en la sección 7.1.2 demuestran que es posible controlar la posición de la bola en el plato usando un control por retroalimentación de estados o por medio de un control PID. Las simulaciones arrojaron errores en estados estacionarios de 0 y un tiempo de respuesta de aproximadamente 1 segundo. Para el modelo real se espera que estos parámetros de desempeño se puedan ver afectados en la implementación del control, sin embargo esto no impide el debido control de la esfera en el plato.
Como trabajo futuro, es posible validar el funcionamiento en la planta de las técnicas de control diseñadas utilizando el modelo real del sistema. De igual forma, se pueden desarrollar nuevas estrategias y técnicas de control, para verificar su desempeño en el sistema implementado. Por otra parte, teniendo en cuenta lo desarrollado en este documento, se puede incrementar la capacidad de procesamiento de imágenes, con el objetivo de realizar tareas más complejas. Así como hacer uso de nuevos componentes en la planta que permitan optimizar su costo de implementación y mejorar el funcionamiento del sistema.
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AGRADECIMIENTOS
Agradezco a aquellos que me apoyaron durante toda la carrera e hicieron posible culminar esta etapa de mi vida con el mayor éxito. En especial a mi familia quienes fueron un constante apoyo desde el momento en que decidí estudiar ingeniería electrónica.
Por otra parte, agradezco a Santiago Jiménez y Jaime Garzón quienes contribuyeron activamente al desarrollo del proyecto de tesis. Y a mí asesor de tesis Nicanor Quijano.
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REFERENCIAS
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[2] I. Siller-Alcalá, J. Jaimes-Ponce, R. Alcántara-Ramírez, and J. Rubio-Ávila, A Hands-On Process Control Laboratory for Undergraduate Students: Using Low Cost Experiment Kids, Proceding of the Conf. 7th WSEAS International Conference on Education and Educational
Technology, 2008, pp. 167-172.
[3] Catalin Braescu F., Ferariu L., Gilca R., and Bordianu V., Ball on plate balancing system
for multi-discipline educational purposes, Proceding of the Conf. System Theory, Control and
Computing (ICSTCC), 2012, pp. 1-6.
[4] Knuplez A., Chowdhury A., y Svecko R., Modeling and Control design for the ball and
plate system, Proceding of the Conf. Industrial Technology, 2003, pp. 1064 - 1067 Vol.2.
[5] C. C. Caro Ruiz, Low cost experiments for control systems, Tesis de Maestría, Universidad de Los Andes, 2012.
[6] N. S. Nise, Control System Engineering, B. Zobrist, Ed. Wiley: Wiley, 2004. [7] K. Ogata, Modern Control Engineering, Ed. AEEIZH: New Jersey, 2002.
[8] M. Bai, H. Lu, J. Su and Y. Tian, “Motion control of Ball and Plate system using supervisory Fuzzy Controller”, Proceding of the Conf. 2014 Intelligent Control and
Automation, 2006, pp. 8127-8131.
[9] C. A. Pérez Olvera, Control visual difuso de un sistema no lineal, Tesis de Maestría, Instituto Politécnico Nacional, 2009.
[10] Ecuaciones de Lagrange [online]. 2003, Disponible en: http://www.lawebdefisica.com/dicc/lagrange/
[11] Matlab. The language of technical computing [online]. Disponible en: http://www.mathworks.com/products/matlab/
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APENDICES
13.1 Índice de tablas e imágenes.
A. Índice de tablas.
Tabla. 1 Alcance y productos finales. ... 5
Tabla. 2 Especificaciones y restricciones de la planta... 9
Tabla. 3 Plan de trabajo de las actividades del proyecto ... 10
Tabla. 4 Plan de trabajo de las entregas e hitos de muestra del proyecto. ... 11
Tabla. 5 Análisis de resultados del proyecto. ... 29
B. Índice de imágenes. Fig. 1 Argolla de llavero utilizada como unión entre servo y plato. ... 13
Fig. 2 Brazo de lámpara utilizado como soporte de la cámara. ... 13
Fig. 3 Prototipo inicial de la planta. ... 13
Fig. 4 Prototipo final de la planta. ... 13
Fig. 5. Diferentes bolas utilizadas. ... 14
Fig. 6 Sistema en lazo abierto ... 18
Fig. 7 Respuesta en lazo abierto ... 18
Fig. 9 Respuesta a State Feedback without integral control ... 19
Fig. 10 State Feedback with integral control ... 20
Fig. 11 Respuesta a State Feedback with integral control ... 20
Fig. 12 Root Locus de la planta ... 21
Fig. 13 Control PD ... 22
Fig. 14 Respuesta a PD por Root Locus ... 22
Fig. 15 CAD de la planta. ... 23
Fig. 16 Planta construida ... 23
Fig. 17 Interfaz de visualización ... 24
Fig. 18 Procesamiento de imagen. ... 25
Fig. 19 Posición real de la bola ... 25
Fig. 20 Respuesta en eje X a tren de pulsos ... 26