Modelo para el cálculo de la previsión de ajustes por cambio de precios en el tiempo en presupuestos de proyectos de infraestructura

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(1)MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL MAESTRIA EN GERENCIA DE LA CONSTRUCCION BOGOTA 2010.

(2) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. Proyecto de grado para optar por el titulo de Magíster en Ingeniería Civil. Asesor: ING. HERNANDO VARGAS CAICEDO. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL Y AMBIENTAL MAESTRIA EN GERENCIA DE LA CONSTRUCCION BOGOTA 2010.

(3) CONTENIDO. 1. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFIACIÓN................................................................. 9 2. OBJETIVOS ................................................................................................... 11 2.1 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................... 11 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................... 11 3. ANTECEDENTES .......................................................................................... 12 4. BASES TEORICAS........................................................................................ 21 4.1 LEY DE PARETO – REGLA DEL 80-20 ........................................................................................... 21 4.1.1 Diagramas de Pareto............................................................................. 22 4.2 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD ................................................................................................... 24 4.2.1 Distribución Normal ............................................................................... 26 4.3. MÉTODO DE MONTECARLO. ........................................................................................................... 27 4.4 MODELO RANDOM WALK .................................................................................................................. 29 4.5 DEFINICIONES BÁSICAS........................................................................................................... 31 5. DATOS Y ANÁLISIS DE DATOS.................................................................. 33 5.1 ÍNDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA - ICCP ........................... 33 6. DESARROLLO DEL MODELO...................................................................... 49 6.1 EJEMPLO 1 – INVIAS PUENTE SAN JORGE ................................................................... 49 6.1.1 Datos ..................................................................................................... 49 6.1.2 Ley de Pareto ........................................................................................ 50 6.1.3 flujo de caja de ítems representativos .................................................. 52 6.1.4 Método de Montecarlo, Asignación distribución de probabilidad f(x) .... 53 6.1.5 Metodología de caminata aleatoria, para calcular los indicies durante la ejecución del proyecto .................................................................................... 53 6.1.6 Calculo del flujo de caja ajustado con los índices calculados................ 54 6.1.7 Calculo del escalonamiento del proyecto .............................................. 55 6.1.8 Comparación con la metodología determinística ................................... 56 6.2 EJEMPLO 2 – METROPLUS ESTACIONES SITM METROPLUS FASE II .......... 57 6.2.1 Datos ..................................................................................................... 57 6.2.2 Resultados............................................................................................. 58 6.3 EJEMPLO 3 – INVIAS TRONCAL CENTRAL DEL NORTE (TCN) ........................... 59 6.3.1 Datos ..................................................................................................... 59 6.3.2 Resultados............................................................................................. 59.

(4) 7. CONCLUSIONES........................................................................................... 61 8. REFERENCIAS .............................................................................................. 63 ANEXOS ............................................................................................................... 65.

(5) LISTA DE CUADROS. CUADRO 1 PROYECTO 1 PRESUPUESTO .................................................................... 22. CUADRO 2 PROYECTO 1 PRESUPUESTO ORDENADO CON PORCENTAJES ...................... 23. CUADRO 3 RESULTADOS ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO PUENTE SAN JORGE.......................................................................................... 57.

(6) LISTA DE FIGURAS. FIGURA 1 DIAGRAMA DE PARETO DEL PROYECTO 1 ....................................................................................... 23 FIGURA 2 VARIACIÓN DIAGRAMA DE PARETO DEL PROYECTO 1 .................................................................... 24 FIGURA 3 FORMA TÍPICA CAMPANA DE GAUSS ................................................................................................ 26 FIGURA 4 TRAYECTORIAS RANDOM WALK DE 6 PARTÍCULAS. ......................................................................... 30 FIGURA 5 DISTRIBUCIÓN MÁXIMO EXTREMO CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1990 A 2010 ................................................................................................................................................................. 34 FIGURA 6 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1990 A 2010 .. 35 FIGURA 7 DISTRIBUCIÓN MÁXIMO EXTREMO CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1995 A 2010 ........................................................................................................................................................ 36 FIGURA 8 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1995 A 2010 ... 37 FIGURA 9 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 2000 A 2010 .... 38 FIGURA 10 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 2005 A 2010.. 39 FIGURA 11 VARIACIÓN ANUAL DEL ICCP ........................................................................................................ 40 FIGURA 12 VARIACIÓN MENSUAL I DEL ICCP VS VARIACIÓN MENSUAL I-1 ..................................................... 41 FIGURA 13 VARIACIÓN MENSUAL I DEL ICCP VS VARIACIÓN MENSUAL I-1 ..................................................... 42 FIGURA 14 VARIACIÓN MENSUAL DEL ICP VS VARIACIÓN MENSUAL ICCP .................................................... 43 FIGURA 15 DISTRIBUCIÓN LOGISTIC CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1954 A 2010 ....... 44 FIGURA 16 DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL CON PARÁMETROS, VARIACIONES PORCENTUALES 1954 A 2010.. 45 FIGURA 17 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIACIÓN PORCENTUAL MENSUAL DEL ICCP AJUSTÁNDOLO A UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, DATOS DESDE 1990 HASTA 2010. ......................... 46 FIGURA 18 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIACIÓN PORCENTUAL MENSUAL DEL ICCP AJUSTÁNDOLO A UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, DATOS DESDE 1995 HASTA 2010. ......................... 47 FIGURA 19 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIACIÓN PORCENTUAL MENSUAL DEL ICCP AJUSTÁNDOLO A UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, DATOS DESDE 2000 HASTA 2010. ......................... 47 FIGURA 20 DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA VARIACIÓN PORCENTUAL MENSUAL DEL ICCP AJUSTÁNDOLO A UNA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL, DATOS DESDE 2005 HASTA 2010. ......................... 48 FIGURA 21 LEY DE PARETO PUENTE SAN JORGE ($COP) ............................................................................ 50 FIGURA 22 LEY DE PARETO PUENTE SAN JORGE (%).................................................................................... 51 FIGURA 23 CRONOGRAMA DEL PUENTE SAN JORGE ...................................................................................... 52 FIGURA 24 FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO PUENTE SAN JORGE .................................................................. 52 FIGURA 25 SIMULACIÓN DE MONTECARLO PUENTE SAN JORGE ..................................................................................... 53 FIGURA 26 ÍNDICES AJUSTADOS PUENTE SAN JORGE .................................................................................... 54 FIGURA 27 FLUJO DE CAJA DEL PROYECTO SAN JORGE AJUSTADO .............................................................. 54 FIGURA 28 RANGO DE VALORES DE ESCALONAMIENTO ASOCIADOS CON UNA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DEL PUENTE SAN JORGE, RESULTADOS 1000 ITERACIONES ORACLE ® CRYSTAL BALL ..................... 55 FIGURA 29 AJUSTE ICCP GENERAL FUNCIÓN POLINÓMICA 2° GRADO ......................................................... 56 FIGURA 30 AJUSTE ICCP GENERAL FUNCIÓN LINEAL .................................................................................... 56 FIGURA 31 LEY DE PARETO METROPLUS II (%).............................................................................................. 58 FIGURA 32 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO METROPLUS II........................................................ 58.

(7) FIGURA 33 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO TCN ............................................ 59 FIGURA 34 ESCALONAMIENTO % SOBRE EL VALOR BASE DEL PROYECTO TCN ............................................ 60.

(8) ANEXOS. ANEXO A INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) DESDE ENERO 1990 HASTA NOVIEMBRE 2010 ...................................................... 66. ANEXO B INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2000 – 2001 -2002.......................... 67. ANEXO C INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2003 – 2004 - 2005 ........................ 68. ANEXO D INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2006 – 2007 - 2008......................... 69. ANEXO E INDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA (ICCP) CANASTA Y GRUPOS DE OBRA AÑOS 2009 - 2010 .................................... 70.

(9) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 1. INTRODUCCIÓN Y JUSTIFIACIÓN Un vez realizados los presupuestos de obras de infraestructura, es de suma importancia la distribución de costos y recursos en el tiempo, porque esta permite ver la forma como se invertirían los dineros del proyecto y consecuentemente las necesidades de capital y el costo del mismo; también gracias a dicha distribución se pueden estimar los extra-costos provenientes de la inflación y/o el cambio de precios. Estos extra-costos, producto del aumento de precios de insumos, materiales, tarifas de maquinaria, mano de obra y salarios a medida que pasa el tiempo, resultan de vital consideración ya que este fenómeno no solo afecta los costos directos de construcción, también tiene unos efectos considerables en los costos de financiación y de capital de los proyectos. El instituto Nacional de Vías INVIAS, en sus presupuestos más recientes ha incluido un ítem llamado “previsión estimada para ajustes”, el cual está entre el 1 y el 5% del valor básico de las obras dependiendo de la duración del proyecto. En el proyecto Doble Calzada Bucaramanga Cúcuta, proyecto de $378.658.000.000 la previsión estimada para ajustes fue de $17.468.418.603 lo que representa el 4.6% del valor del presupuesto. En este ejemplo se puede ver la importancia que puede llegar a tener el cálculo de la previsión por ajustes y el impacto que tiene esta en el presupuesto. HB Estructuras Metálicas S.A. (La Empresa) empresa perteneciente a la alianza estratégica GRUPO ETHUSS es una firma que dentro de su línea de negocios en infraestructura están mayormente: puentes, obras de infraestructura vial, obras de estaciones de sistemas integrados de transporte masivo SITM y edificaciones. Muchas veces se presentan presupuestos para entidades en las cuales los contratos se encuentran sujetos a ajustes, estas entidades toman como base índices estadísticos que por lo general son los Índices de Costos de la Construcción Pesada ICCP calculados por el DANE. En este tipo de contratos no se tendría el riesgo por cambio de precios por inflación, ya que los presupuestos se ajustan mensualmente con dichos índices para el pago de las actas de obra. El caso contrario sucede cuando se presentan ofertas a entidades que no incorporan en sus contratos formulas de ajustes por inflación, por lo general entidades privadas. En estos casos a los presupuestos calculados a valor presente se les realiza una corrección multiplicándolos por un factor que tiene por objeto cubrir el mayor valor producto del aumento de precios por inflación durante MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 9.

(10) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. el desarrollo del proyecto. En estos momentos la empresa no tiene definido un procedimiento para realizar dicha corrección y lo que normalmente hace es que a los precios calculados a valor presente se les castiga aumentándolos en un porcentaje que suele ser del 5 al 20% dependiendo de la actividad y el tiempo de ejecución, valor que surge de la experiencia de quienes intervienen en la elaboración del presupuesto y de la incertidumbre que se tiene por parte de los socios sobre el futuro de la ejecución del proyecto. Las consecuencias de no realizar un análisis detallado para estimar la forma en que los ajustes afectan al presupuesto, se pueden ver en dos escenarios. El primero es el escenario en el que se sobreestiman los costos de previsión de ajustes por ende los costos del proyecto, teniendo en cuenta que el precio en las ofertas es en el mayor de los casos el factor determinante, el que hace más favorable la oferta para la entidad contratante, por ende es este el que define su posterior adjudicación. El sobrevalorar estos costos puede estar afectando la competitividad de las ofertas que presenta La Empresa, poniendo a dichas ofertas en situaciones desfavorables en la que su valor es más alto que la ofertas ganadoras, cuando realmente se tenían ofertas competitivas que de haberse estimado los ajustes de una manera más acertada los resultados hubieran sido diferentes. El segundo escenario, el caso contrario, cuando se subvaloran los costos por previsión de ajustes, en este escenario se está afectando el equilibrio económico del proyecto y por ende el de La Empresa. Se puede llegar a casos en los que se termine siendo adjudicatario de un contrato aparentemente bueno, pero en la realidad al haber calculado improcedentemente los ajustes, se está en contra de la liquidez y las utilidades del proyecto. Se busca realizar un modelo el cual basado en datos históricos e incorporando un análisis de riesgo permita proyectar un flujo de caja general, para que a través de dicho flujo se pueda estimar de maneras más fidedignas el valor presente de los ajustes por cambio de precios por inflación en el tiempo, valor el cual pueda llegar a ser más aterrizado con las características de los escenarios más probables de los proyectos a ejecutar y no sea sobrevalorado o subvalorado supliendo la falta de un análisis de riesgos. La idea es que este modelo pueda ser incorporado por la empresa o por cualquier otra persona o compañía que tenga que enfrentarse al desarrollo y cálculo de presupuestos de este tipo de proyectos.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 10.

(11) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 2. OBJETIVOS 2.1 OBJETIVO GENERAL Por medio de la interacción con una empresa constructora colombiana, la cual de ahora en adelante será denominada LA EMPRESA, se realizará un modelo el cual permita calcular el valor presente de la previsión de ajustes producto del cambio de precios en el tiempo de proyectos de infraestructura. El objetivo es incorporar dicha previsión como un ítem para los presupuestos que no están sujetos a ajustes. Para esto se identificaran los proyectos de infraestructura más comunes dentro de la línea de negocios de la empresa, se realizará una sensibilidad de variables, con las variables más importantes se proyectaran flujos de caja de los proyectos teniendo en cuenta su programación y una serie de datos históricos para los diferentes grupos de obra de los Índices de Costos de la Construcción Pesada -ICCP- del Departamento Administrativo Nacional de Estadística –DANE, se generará un modelo para la proyección del flujo de caja general y a través de este incorporando un análisis de riesgo se estimará el valor presente de los ajustes por cambio de precios en el tiempo por inflación. 2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS -. -. -. -. -. Dentro de los diferentes tipos de proyectos identificar los proyectos de infraestructura más comunes dentro de la línea de negocios de La Empresa. Realizar un análisis de sensibilidad de variables de los diferentes grupos de obra en los presupuestos de los proyectos infraestructura más comunes dentro de la línea de negocios de La Empresa. Por medio del Principio de Pareto, identificar cuáles son las variables más sensibles dentro de los presupuestos en dichos proyectos. Recopilar datos históricos de Índices de Costos de la Construcción Pesada -ICCP- del Departamento Administrativo Nacional de Estadística –DANE. De acuerdo al comportamiento histórico de los índices, hacer regresiones que permitan realizar una proyección de estos a futuro. Realizar un modelo incorporando un análisis de riesgo a través de la Simulación de Montecarlo, el cual permita proyectar el flujo de caja general del proyecto, teniendo en cuenta la tendencia de los datos históricos. Poder incorporar al modelo una variable la cual represente el riesgo que a discreción de quien realiza el presupuesto está dispuesto a asumir de acuerdo a la experiencia que tenga en determinado tipo de proyectos. A través del flujo de caja general del proyecto que genere el modelo, estimar el valor presente de los ajustes por cambio de precios por inflación en el tiempo.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 11.

(12) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 3. ANTECEDENTES Halpin, Daniel W. (1985) En su libro Financial & Cost Concepts for Construction Management desarrollo un capitulo al que llamo integración de tiempos y costos, en este haba de la importancia centrar los flujos de caja en las actividades principales, considera necesaria la utilización de flujos de caja para proyectos superiores a 3 meses de duración. De resaltar el énfasis que hace sobre la importancia de realizar los flujos de caja teniendo en cuenta los compromisos contractuales como lo son: pagos del cliente, anticipos y pagos de avance de ejecución, de estos últimos se acostumbra hacer una retención en garantía. Es de suma importancia reproducir de la manera más fidedigna tanto las inversiones hechas por el contratista como los pagos durante el tiempo hechos por el contratante, ya que de esto las necesidades financieras que requiera el proyecto y los escalonamientos de los pagos hechos por el cliente.. Fellows, R.F. (1991). La unidad de estudio de la construcción, de la escuela de arquitectura e ingeniería de construcción de la universidad de Bath, presento en su artículo “Escalation Managment: Forecasting the effects of inflationon buildings projects” publicado en Construction Management and Economics en 1991 la importancia de las técnicas de predicción estocástica ya que estas al ofrecer un rango de resultados más amplio brinda ventajas considerables a la industria de la construcción. Presento una metodología basada en métodos estocásticos para la predicción de las series de tiempo. El desarrollo de dicha metodología tiene en cuenta los resultados de los estudios previos más significativos en materia de inflación en la construcción y predicción de índices. Del estudio realizado se concluye: -. Los modelos generados por series de tiempo históricas que muestran los índices de construcción son influenciados principalmente por los efectos anuales mientras que son los efectos no temporales los que tienen una mayor incidencia en los comportamientos de estos índices.. -. El error en la predicción del escalonamiento por inflación de los modelos de predicción requerido por los clientes está entre un (5% y un 7.5%). -. Los modelos de predicción estocástica ayudan a disminuir dicho error.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 12.

(13) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. -. Se deben incluir primas o ítems para riesgos incalculables, los cuales no son predecibles ni ajustables en los modelos, (ítem de imprevistos).. -. Los constructores históricamente han creído que el cálculo de los costos directos de construcción es la variable más importante sobre el costo total del proyecto, descuidando el observar las condiciones de mercado. Los constructores que aspiren a permanecer por largo tiempo en el negocio, tienen que realizar como mínimo análisis de riesgo en base a las condiciones del mercado.. Ranasinghe, Malik. (1995) En 1995 Malik Ranasinghe profesor del departamento de ingeniería civil de la Universidad de Moratuwa, Sri Lanka, presentó motivado por múltiples solicitudes de los inversionistas de Sri Lanka en su artículo “Total Project cost: a simplified model for decision makers", un modelo simplificado para el cálculo del precio total de un proyecto (TPC) el cual es la suma de un costo base (base cost), más la escalonamiento durante la construcción (EDC), más los intereses durante la construcción (IDC). Dicho modelo tiene 5 supuestos básicos: I) Los flujos de caja son conocidos y son valores constantes, II) Los flujos de caja son discretos y las tasas de inflación también, III) No se tiene en cuenta el valor del terreno en el costo base, ya que este se valora a la misma tasa que la tasa de descuento, IV) Ningún interés es pagado durante la construcción y las tasas de interés permanecen constantes durante el tiempo de construcción, V) El monto de los préstamos es igual a la financiación total requerida por el proyecto. El modelo parte de la siguiente formula básica para el costo total del proyecto (TPC). TPC = base _ cos t + EDC + IDC. (1). El costo base (base cost) es el valor que resulta de sumar los flujos de caja en los diferentes periodos del proyecto en pesos constantes. El costo de escalonamiento durante la construcción (EDC) “Escalation During Construction” es la resta del costo del proyecto en pesos corrientes calculado con las predicciones de las tasas de inflación y el costo del proyecto en pesos constantes, en otras palabras los efectos de la inflación en el proyecto hacen referencia al escalamiento durante la construcción. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 13.

(14) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. (2). EDC = C − Co. Donde: EDC (Escalonamiento durante la construcción), C (Costo del proyecto en pesos corrientes), Co (Costo del proyecto en pesos constantes). El costo en pesos corrientes del proyecto se calcula con la siguiente fórmula: j. C = ∑ j =0 A j C (1 + θ k ) n −1. d. (3). k =0. Donde: C (Costo del proyecto en pesos corrientes), Aj (Valor constante del proyecto dado por el d flujo de caja en un periodo j), Ѳ k(Tasa de inflación discreta en el periodo k). El interés durante la construcción se calcula de la resta del valor a futuro del proyecto con el costo del proyecto en pesos corrientes, afectado por el porcentaje de deuda del proyecto.. IDC = (1 − f )( FV − C ). (4). Donde: IDC (Intereses durante la construcción), f (porcentaje de equity en función del costo del proyecto en pesos corrientes), FV (Valor futuro de los flujos de caja), C (Costo del proyecto en pesos corrientes). El valor futuro de los flujos de caja en un instante T del proyecto se calcula con la siguiente fórmula: J. VF = ∑ j = 0 Aj ∏ (1 + θ kd )(1 + r ) T − j n .1. (5). k =0. d. Donde: Aj (Valor constante del proyecto dado por el flujo de caja en un periodo j), Ѳ k(Tasa de inflación discreta en el periodo k), r( tasa compuesta). MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 14.

(15) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Remplazando en la fórmula (5) en la ecuación (4) y luego la (3) en la ecuación (2) y luego el resultado de estas en la ecuación (1) tenemos la siguiente ecuación para el costo total:. J   n .1 TPC = F ∑ j =0 Aj ∏ (1 + θ kd ) + (1 − f ) ∑ j =0 Aj ∏ (1 + θ kd )(1 + r )T − j  k =0 K =0   n −1. j. (6). La ecuación (6) constituye un modelo sencillo para calcular el costo total del proyecto. En lo que respecta a la investigación de la predicción de flujos futuros, la ecuación (2) EDC permite calcular los efectos de la inflación en el proyecto, bajo supuestos de predicciones de índices que asume el autor, La ecuación (4) IDC permite calcular los efectos de la financiación del proyecto.. Willmot, c.g., y Cheng, g.. (2003) Presentaron un modelo el cual busca reproducir los factores que afectan los costos en los proyectos de infraestructura de carreteras y predecir dichos costos a futuro, el articulo fue publicado por Construction Engenieering and management “Estimating future highway construction costs”. Encontraron que el supuesto común que los costos de construcción cambian con el incremento de la tasa de inflación, puede generar pobres estimativos de los costos de construcción del futuro. A través de graficas que relacionan el ICP con índices de construcción de carreteras del FHWA desde 1974 hasta 1996, se aprecia que los indicies de carreteras tienen un comportamiento más errático en comparación con el IPC, esto puede llegar a afectar considerablemente proyectos de duración de media a larga que se hayan hecho estimativos proyectando el ICP, en proyectos de duración corta utilizar la proyección de la inflación no tiene mayor incidencia ya que el escalonamiento no es tan significativo. Las variables que afectan los costos futuros del los proyectos son los cambios en los precios de material, mano de obra y equipo, adicional a estas se encontró una fuerte influencia de la ubicación de los proyectos, duración de los contratos, tamaño del contrato, oferta y demanda en el medio de la construcción, cambios en normatividad y leyes. Ya que estas últimas variables también tienen una alta incidencia en el aumento de los costos de construcción no resulta fidedigno calcular el escalonamiento de precios en el tiempo basados en el IPC, ya que como fue demostrado por los autores, los costos de construcción tienen un. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 15.

(16) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. comportamiento más errático el cual requiere un análisis de cada una de las variables por separado de manera más especifica. La extrapolación de tendencias pasadas es un método acertado para predecir escalonamientos en el tiempo de los precios en proyectos de duración corta, para proyectos de duración media a alta se hace necesario un método el cual realice predicciones de las variables en función de los factores que afectan a estas. Basados en datos históricos del Departamento de Transporte de Louisiana desde 1984 hasta 1997, en un total de 2827 proyectos, encontraron que las actividades más representativas en los proyectos de carreteras son: Explanaciones, Pavimento Asfaltico, Pavimento de Concreto, Concreto reforzado y Estructuras. Con estas actividades a las que llamaron actividades principales desarrollaron un modelo el cual costa de cinco submodelos uno para cada actividad, para cada submodelo se tiene un ítem representativo y con este se estimara el incremento de costos teniendo en cuenta el comportamiento histórico de este ítem. Los ítems representativos para el estudio fueron los siguientes: -. Explanaciones: Material de terraplén. Pavimento Asfaltico: Concreto asfaltico. Pavimento de concreto: Concreto clase AA. Concreto reforzado: Acero de refuerzo. Estructuras: Concreto clase AA.. Para cada ítem se hace un análisis diferente y se relaciona con el factor que influye en su variación, por ejemplo en el material de terraplén el factor que más incide son los equipos, en el concreto asfaltico es el valor del petróleo. Se realizan predicciones extrapolando los factores y utilizando métodos estocásticos. Para cada uno de los submodelos se examinan tres escenarios el optimista, el pesimista y el esperado, luego se integran los resultados de los submodelos para hacer un análisis de modelo total. El estudio muestra la importancia de hacer análisis separados de las variables más significativas, ya que llevando a cabo dicho procedimiento es más factible predecir variaciones puntuales en actividades del presupuesto, por ejemplo el pavimento asfaltico por una alza súbita del petróleo.. Ali, Rashed (2005). Presenta un modelo utilizando la metodología RMP (Risk Management Process) para estimar el costo total de proyectos de infraestructura. Compara los métodos MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 16.

(17) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. tradicionales para estimar costos empezando por el deterministico, en el cual se obtiene un costo base y se le agrega un ítem de imprevistos, ítem que incorpora el riego en base a la experiencia de los dueños o de la persona que habilitada para tomar decisiones. El segundo método es el método estimativo que utiliza el análisis de riesgo (ERA – Estimating Using Risk Analysis), basado en datos históricos se hacen tres escenarios el esperado, pesimista y optimista y se presenta a los socios del proyecto para que estos tomen decisiones en base a dichos escenarios. La metodología RMP, parte de un costo base, después estima los riesgos asociados con el proyecto, los valora y se les asigna una distribución de probabilidad de ocurrencia, Rashed Ali propone una distribución triangular con los siguientes parámetros, mínimo, más probable y máximo. Utilizando la simulación de Montecarlo y con el programa Risk, se obtienen los resultados. El proceso de evaluación de riesgo consiste en dos partes análisis e interpretación, y decisión. Para el análisis e interpretación se utiliza una curva de distribución acumulada de probabilidad vs el costo del proyecto, dicho gráfico muestra un rango de valores que el costo del proyecto puede tomar asociados con una probabilidad de ocurrencia. Para la decisión se analiza la curva de distribución acumulada y los socios o las personas habilitadas para tomar decisiones en base a esta concluirán. Se pueden establecer procedimientos o políticas para las compañías, por ejemplo que el valor objetivo o valor esperado corresponde al percentil 50, y que el valor total del proyecto sea el percentil 90, es decir la probabilidad que el valor del proyecto sea menor es del 90%. La metodología RMP tiene ventajas sobre la deterministica ya que esta última es muy subjetiva, y resulta poco practica para proyectos de gran envergadura. Grandes proyectos exigen análisis de riego, la ventaja de la metodología de gestión de riesgos RMP sobre la de análisis de riegos ERA, es que bajo un marco más concreto y estudiado presenta resultados en rangos menores, lo que hace más fácil a las personas que toman decisiones sobre el costo total del proyecto.. TOURAN, Ali, y LOPEZ, Ramon. (2006) Inspirados en los históricos sobrecostos de los proyectos de infraestructura, Ali Touran, M.ASCE; and Ramon Lopez desarrollaron un modelo para estimar el escalonamiento de los costos durante la construcción en estos proyectos, se basan en índices de construcción y en la estrecha relación que tienen estos en dos periodos consecutivos, con datos históricos crearon un modelo donde con la simulación de Monte Carlo predicen los índices de años futuros. El modelo fue MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 17.

(18) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. presentado en la Publicación Construction Engineering And Management © ASCE en agosto de 2006. Después de mostrar las ventajas y desventajas de los métodos (estadísticos y cuantitativos) que a lo largo del tiempo han sido usados para determinar el factor de escalonamiento, usando índices de costos de construcción BCI “Building Cost Index” de “The Engineering News Record ENR” presentaron una metodología que incorpora un análisis de riesgo para predecir el escalonamiento de costos durante la construcción. El factor de escalonamiento es la tasa de cambio del BCI de un año a otro año, el cual puede ser calculado con la siguiente ecuación: ∆ i = [(I i − I i −1 ) − 1]× 100 %. (7). Donde: ∆i (Porcentaje de cambio del periodo i), Ii (Índice del periodo I), Ii (Índice del periodo previo I -1). El valor promedio de ∆ para un periodo de tiempo se calcula con la siguiente ecuación:.  I 1 / n  r =  e  − 1 × 100 %  I b  . (8). Donde: r (Promedio de la tasa de cambio), Ie y Ib (Índice del periodo final y el periodo inicial respectivamente), n (Número de periodos entre e y b) Para modelar la incertidumbre del valor del factor de escalonamiento propusieron el uso de una distribución normal, con los últimos 60 datos de los índices se define la media (u) y la desviación estándar (σ) parámetros de la distribución. Luego con una hoja de cálculo de Excel definen las variables de entrada básicas: costo base, duración de actividades, relaciones de precedencia entre actividades, parámetros de la distribución estándar de probabilidad; para finalmente con el software Risk utilizando números aleatorios para los indicies futuros estimar el factor de escalonamiento de la siguiente manera. Usando los valores de ei factor de escalonamiento para cada periodo se calcula es factor de escalonamiento medio eim tomando el promedio de los valores del factor de escalonamiento del principio y el final del periodo eim = (ei + ei+1)/2. El factor de escalonamiento En para cualquier periodo n en el futuro es: MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 18.

(19) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. E n = (1 + em1 ) × (1 + em 2 ) × (1 + em 3 ) × ... × (1 + emn ). (9) Para cualquier proyecto j con duración Dj, un periodo inicial s, y un periodo final f, el escalonamiento promedio es calculado como: E j = ( E s +1 + E s + 2 + E s +3 + ... + E f ) / D j. (10) Con el factor de escalonamiento promedio Ej y el costo base del proyecto BCj del proyecto J, se obtiene el costo escalonado del proyecto ECJ:. EC j = E j × BC j. (11) Con la ayuda del software Risk se hacen varias simulaciones (1000 a 5000 por ejemplo) para determinar el costo escalonado del proyecto ECJ el resultado es un rango de datos a los cuales se les asocia una probabilidad de ocurrencia. El método de una manera sencilla, incorporando un análisis de riesgo permite estimar el escalonamiento de un proyecto de construcción. Al presentar un rango de resultados con una probabilidad de ocurrencia le da posibilidades a los socios del proyecto de tomar decisiones en base a su nivel de confianza. Butts, Glenn. (2007) Presenta el método de Montecarlo examinando índices históricos y tendencias pasadas. Enmarca el análisis en la alta cantidad de factores que afectan el escalonamiento de costos en los proyectos, por ejemplo actos de la naturaleza, tasas de interés, precio del petróleo, condiciones del mercado, guerras, oferta y demanda, estado de la economía mundial, salarios entre otros. Para Butts existen dos métodos para estimar costos futuros, el primero es la extrapolación de índices, el cual según él funciona para proyectos de menos de un año de duración. El segundo es la simulación de Montecarlo usando distribuciones de probabilidad derivadas de índices históricos. Para Butts el escalonamiento a mediano y largo plazo no es posible predecirlo extrapolando índices, ya que como se mencionaron son muchos los factores que afectan dicho escalonamiento.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 19.

(20) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Suponiendo que la predicción es imposible, propone el modelo de caminata aleatoria. Utilizando los Construction Cost Index (CCI) de Engineering News Record (ENR), datos desde 1914 hasta 2006, encontró las distribuciones de probabilidad que más se ajustan a la ocurrencia de estos índices, la distribución que más se ajusto fue la Logistic arrojando como resultado un crecimiento anual promedio del 4.04% con un 90% de probabilidad que el escalonamiento sea entre el -5.8% y el 13.8%. En homenaje al teorema del límite central, la distribución normal fue seleccionada para otro análisis con los mismos datos, adicional fue la que tuvo el segundo mejor ajuste. El 90% de las veces el escalonamiento tiene valores entre el -7.9% y el 15.8% teniendo como media el 3.9%. Se sugiere que el teorema del límite central es una instancia correcta, y que la distribución normal es una distribución también correcta para realizar las predicciones. Al igual que muchos autores siguiere hacer análisis separados dividiendo el proyecto en muchos subproyectos de acuerdo a actividades similares, desafortudandamente los CCI, están disponibles por actividades de obra desde 1977. Con datos desde 1984 hasta el año 2004 (20 años), utilizando la distribución normal se encontró uns media de escalamiento anual del 2.5% y el 90% de los valores están entre el 1% y el 3.8%. Lo que es un rango pequeño teniendo en cuenta que se está hablando del 90%. Trataron de hacer lo mismo con el análisis de redes neuronales, alternativa de predicción que simula las funciones del cerebro humano, desafortunadamente después de muchas iteraciones, no fue posible encontrar resultados lógicos, pequeños cambios en las variables de entrada, creaban predicciones ampliamente divergentes, con rangos de inflación exageradamente bajos (negativos) y colosalmente altos (positivos). La simulación de Montecarlo puede ser muy útil en la gestión de proyectos, ya que permite decidir cuánto escalonamiento usar, depende de cuánto riesgo se está dispuesto a asumir.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 20.

(21) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 4. BASES TEORICAS. 4.1 Ley de Pareto – Regla del 80-20 En 1906, el economista italiano Vilfredo Pareto creó una fórmula matemática para describir la distribución desigual de la riqueza en su país, observando que el 20% de las personas poseían el 80% de la riqueza. En los años 40 el Dr. Joseph M. Juran atribuyó (no del todo acertadamente) el regla del 80/20 a Pareto, llamándola "Ley de Pareto". Más allá de lo correcto de su nombre, El principio de Pareto puede ser una herramienta muy efectiva para ayudar a administrar de manera efectiva. Después de que Pareto hizo sus observaciones y estableció su fórmula, otros observaron fenómenos similares en sus propias áreas de conocimiento. El Dr. Juran, pionero del movimiento por la Calidad Total en los años 40, estableció la existencia de un principio universal que denominó "los pocos esenciales y los muchos triviales". Como resultado, la observación del Dr. Juran sobre el principio de que "20% de algo siempre es responsable del 80% de los resultados se conoció como Ley de Pareto o "Regla del 80/20". Qué significa La Regla del 80/20 significa que el 20% de algo es esencial y el 80% es trivial. Juran estableció que el 20% de los defectos causaban el 80% de los problemas. Los Gerentes de Proyecto saben que el 20% del trabajo (el 10% inicial y el 10% final) consume el 80% del tiempo y los recursos. La regla del 80/20 también se aplica a las ventas (el 20% de los clientes produce el 80% de los beneficios; o el 20% de los vendedores realiza el 80% de las ventas) o a cualquier otra cosa (el 20% del diario trae el 80% de las noticias importantes, o que el 20% de los empleados causan el 80% de los problemas). En los proyectos también se puede aplicar esta regla, con el 20% de los ítems del presupuesto del proyecto se puede alcanzar el 80% del valor total del proyecto. La aplicación de la Ley de Pareto cobra importancia en encontrar los ítems representativos del proyecto, ya que con base en estos se puede determinar el escalonamiento del mismo. Teniendo en cuenta que son un sinnúmero de variables las que afectan los costos de las actividades en el tiempo, y que como Wilmot y ChenG señalan para poder tener en cuenta la incidencia de la mayor cantidad de variables lo mejor es crear submodelos con las actividades principales, para concentrarse en los factores que MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 21.

(22) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. afectan cada submodelo. La manera de determinar las actividades e ítems principales es la Ley de Pareto, a través de diagramas de Pareto. El valor de la Ley de Pareto es que nos recuerda que debemos dar preferencia al 20% que importa y que produce el 80% de los resultados. 4.1.1 Diagramas de Pareto Los diagramas de Pareto son usados para mostrar gráficamente la importancia relativa de un grupo o segmentos de datos. A través de este se hace fácil identificar cuales actividades o ítems son los más importantes dentro del presupuesto. Típicamente los datos son mostrados como histogramas de las barras verticales, y se ubican en orden descendente de valor o importancia de izquierda a derecha. Par visualizar mejor el procedimiento para elaborar el diagrama, se mostrará través de un ejemplo. Supongamos el proyecto 1 con un valor total de $20.000.000 cuyo presupuesto es mostrado en la el cuadro 1. Cuadro 1 Proyecto 1 Presupuesto. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Ítem A B C D E F G H I TOTAL. Proyecto 1 Valor Total $ 3,000,000 $ 1,000,000 $ 6,000,000 $ 600,000 $ 5,000,000 $ 2,000,000 $ 1,400,000 $ 800,000 $ 200,000 $ 20,000,000. Fuente: (Piedrahita, Salazar). Para hacer un Diagrama de Pareto lo primero que hay que hacer es ordenar los ítems o actividades del presupuesto de mayor a menor en una tabla. Después a cada uno de estos se calculo el peso porcentual dentro del total del proyecto. Después se calcula el peso acumulativo porcentual del proyecto. El resultado de este procedimiento se puede apreciar en el cuadro 2.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 22.

(23) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49 Cuadro 2 Proyecto 1 Presupuesto ordenado con porcentajes. Proyecto 1 No Ítem 3 5 1 6 7 2 8 4 9. Valor Total. C E A F G B H D I TOTAL. $ $ $ $ $ $ $ $ $ $. Porcentaje Acumulado. Porcentaje. 6,000,000 5,000,000 3,000,000 2,000,000 1,400,000 1,000,000 800,000 600,000 200,000 20,000,000. 30% 25% 15% 10% 7% 5% 4% 3% 1% 100%. 30% 55% 70% 80% 87% 92% 96% 99% 100%. Fuente: (Piedrahita, Salazar). En el cuadro 2. se puede apreciar que con los ítems C, E, A y F se acumula el 80% de valor total del proyecto. Después se grafica un histograma de barras verticales, donde los ítems se ubican en el Eje X ordenados de mayor a menor en relación a su valor. Los valores de porcentaje se representan como Barras. Los valores acumulados se representan como puntos y se unen a través de una línea. Ver figura 1. Figura 1 Diagrama de Pareto del Proyecto 1 Diagrama de Pareto Ítems del proyecto 1 en porcentaje del valor total 30%. 100%. Porcentaje. 80% 70%. 20%. 60% 15%. 50% 40%. 10%. 30% 20%. 5%. 10% 0%. Porcentaje Acumulado. 90% 25%. 0% C. E. A. F. 3. 5. 1. 6. G. B. H. D. I. 7. 2. 8. 4. 9. Ítems Porcentaje. Porcentaje Acumulado. Fuente: (Piedrahita, Salazar). MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 23.

(24) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Se puede hacer una variación en el Diagrama, graficando en las barras el valor total de cada ítem. Ver figura Figura 2 Variación Diagrama de Pareto del Proyecto 1. $ 6,000,000. 100%. $ 5,000,000. 90% 80% 70%. $ 4,000,000. 60% $ 3,000,000. 50% 40%. $ 2,000,000. 30% 20%. $ 1,000,000. 10%. Porcentaje Acumulado. Valor Total. Diagrama de Pareto Ítems del proyecto 1 en valor total. 0%. $C. E. A. F. 3. 5. 1. 6. G. B. H. D. I. 7. 2. 8. 4. 9. Ítems Valor Total. Porcentaje Acumulado. Fuente: (Piedrahita, Salazar). 4.2 Distribución de probabilidad Una distribución de probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales. Toda distribución de probabilidad es generada por una variable (porque puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor tomado es totalmente al azar), y puede ser de dos tipos: •Variable aleatoria discreta (x). Porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ello. Tiene las siguientes propiedades: -. 0≤p(xi)≤1 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.. -. Σp(xi) = 1 La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe ser igual a 1.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 24.

(25) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. •Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros como fraccionarios y un número infinito de ellos dentro de un mismo intervalo. Tiene las siguientes propiedades: -. -. p(x)≥0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la función de densidad de probabilidad deberá tomar solo valores mayores o iguales a cero. El área definida bajo la función de densidad de probabilidad deberá ser de ∞. 1.. ∫ f ( x)dx = 1. −∞. Dentro de las distribuciones de probabilidad de variable continua las más comunes son: -. Uniforme Normal Lognormal Logística Beta Gamma Exponencial Ji-cuadrado t de Student F de Snedecor. La distribución normal es, sin duda, la distribución de probabilidad más importante del Cálculo de probabilidades y de la Estadística. De todas formas, la importancia de la distribución normal queda totalmente consolidada por ser la distribución límite de numerosas variables aleatorias, discretas y continuas, como se demuestra a través de los teoremas del límite central. Las consecuencias de estos teoremas implican la casi universal presencia de la distribución normal en todos los campos de las ciencias empíricas: biología, medicina, psicología, física, economía, etc. En particular, muchas medidas de datos continuos en medicina y en biología (talla, presión arterial, etc.) se aproximan a la distribución normal. El teorema del límite central o teorema central del límite indica que, en condiciones muy generales, la distribución de la suma de variables aleatorias tiende a una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o curva de Gauss o campana de Gauss) cuando la cantidad de variables es muy grande. Por esta razón analizaremos la distribución Normal de probabilidades ya que esta será propuesta como función de probabilidad de los datos históricos analizados. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 25.

(26) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 4.2.1 Distribución Normal. La distribución normal es también un caso particular de probabilidad de variable aleatoria continua, fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media (µ) y su desviación estándar (σ). Con esta notación, la densidad de la normal viene dada por la ecuación:. x. 1 F ( x) = ∫ e σ 2 Π −∞. −( x −µ )2 2σ i. dx (12). Que determina la curva en forma de campana que tan bien conocemos. Figura 3 Forma típica campana de Gauss. Fuente: (SOLIS REYNA, Norma I., et al. Distribución de probabilidad). Existen dos razones básicas por las cuales la distribución normal ocupa un lugar tan prominente en la estadística: • Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable a un gran número de situaciones en la que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 26.

(27) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. • La distribución normal casi se ajusta a las distribuciones de frecuencias reales observadas en muchos fenómenos, incluyendo características humanas, resultados de procesos físicos y muchas otras medidas de interés para los administradores, tanto en el sector público como en el privado. Propiedades: No importa cuáles sean los valores de µ y σ para un distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que: -. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de la media.. -. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar de la media.. -. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar de la media.. 4.3. Método de Montecarlo. El método de Montecarlo es un método no determinístico o estadístico numérico usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la segunda guerra mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE.UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 27.

(28) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödinger para la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como en virtud (1/√n) del teorema del límite central. El método de Montecarlo es una técnica para obtener muestras aleatorias simples de una variable aleatoria X, de la que conocemos su ley de probabilidad (a partir de su función de distribución F). Con este método, el modo de elegir aleatoriamente un valor de X siguiendo usando su ley de probabilidad es a partir de la variable aleatoria uniforme en el intervalo (0,1) o sea U ≈ U(0,1). 1. Usando un método de obtención de números aleatorios se toma un valor U de una variable aleatoria. 2. Si X es continua tomar como observación de X, la cantidad x=F-1(u). En el caso en que X se toma x como el percentil 100-u de X, es decir el valor más pequeño que verifica que F(x) ≥ u. Este proceso se debe repetir n veces para obtener una muestra de tamaño n. Al aplicar el método se realiza un “sorteo” del fenómeno casual con ayuda de un procedimiento especialmente organizado que incluya la casualidad del resultado aleatorio. En realidad la realización concreta del proceso aleatorio se produce cada vez de distinta manera; de la misma manea, también como resultado de la simulación estadística (“Sorteo”) obtenemos cada vez una nueva, diferente de otras, realización del proceso investigado. Una vez terminado el tratamiento se pueden obtener, por supuesto, aproximadamente, cualquier característica que presenten interés, probabilidad de sucesos, esperanzas matemáticas, variaciones de variables aleatorias, etc. Simulado los fenómenos de carácter casual con ayuda del método de Montecarlo utilizamos la casualidad como elemento de investigación haciéndola trabajar para nuestro fin. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 28.

(29) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Este procedimiento resulta, a veces más simple que la tentativa de construir un modelo analítico, para las operaciones complejas en las cuales participa una gran cantidad de elementos (máquinas, hombres, organismos, medias auxiliares) y para nuestro caso índices de costos, cuyos factores causales están entrelazados en forma compleja. Cualquier problema probabilístico puede ser resuelto por medio del método de Montecarlo, pero resulta justificado sólo cuando el procedimiento de sorteo es más simple que el cálculo analítico. 4.4 Modelo Random Walk El camino aleatorio o paseo aleatorio, abreviado en inglés como RW (Random Walks), es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. Los resultados del análisis de paseo aleatorio han sido aplicados a la computación, la física, la ecología o la economía. En particular en este último campo la teoría del paseo aleatorio de Burton G. Malkiel en su obra A Random Walk Down Wall Street (traducción castellana Un Paseo Aleatorio Por Wall Street) se fundamenta en la hipótesis de los mercados eficientes, desarrollado en tres formas o hipótesis. En el figura 4. se muestran las trayectorias (posición en función del número de pasos) de 6 partículas que hicieron un random walk de 200 pasos. Todas parten de la posición 0.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 29.

(30) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49 Figura 4 Trayectorias random walk de 6 partículas.. Fuente: (RODRIGUEZ, Luis Mariano y FERMIN, José Simón. Mercado eficiente y caminata aleatoria en la Bolsa de Valores de Caracas.). Las caminatas aleatorias son cualquier proceso aleatorio donde la posición de una partícula en cierto instante depende sólo de su posición en algún instante previo y alguna variable aleatoria que determina su subsecuente dirección y la longitud de paso. Se considera la caminata aleatoria con proceso "drift" caracterizada por Yt = Yt-1 + b + et ó rt = DYt = b + et, donde Yt es el precio del índice observado en el tiempo t, b es un parámetro drift arbitrario, rt es el cambio en el índice y et es un error aleatorio que satisface E(et) = 0E(etet-g) = 0, g ¹0, para todo t. Bajo la hipótesis de caminata aleatoria, un mercado es eficiente (en su forma débil) si el más reciente precio contiene toda la información disponible y por eso el mejor predictor de precios futuros es el precio más reciente. Existen tres versiones del modelo de caminata aleatoria, de acuerdo con la clasificación que para el efecto sugieren Campbell, Lo y MacKinlay (1997). Una primera versión de caminata aleatoria, denominada RW1, exige que los incrementos en los precios sigan una distribución independiente e idéntica, con Yt =µ + Yt-1 +et y siendo et ~IID(0,s2), donde µ es el valor esperado del cambio en el MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 30.

(31) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. precio y s es la desviación estándar. Como los incrementos son independientes, la caminata aleatoria es un juego justo pero más exigente que la martingala, pues la independencia implica que los incrementos no solo no están correlacionados, sino que funciones no lineales de los mismos tampoco están correlacionadas. Asumir que los precios siguen una distribución normal implica que se puede tener precios negativos. Luego se parte de que el logaritmo natural de los precios, representado por Pt=logYt, es el que sigue una caminata aleatoria con incrementos que siguen una distribución normal, esto es, Pt =µ + Pt-1 +et con et ~IIDN(0,s2), lo cual da lugar al modelo de Bachelier (1900). Una segunda versión de la caminata aleatoria, la RW2, exige únicamente que los incrementos sean independientes, sin requerir que presenten la misma distribución. Luego, esta versión tiene en cuenta heterocedasticidad en los incrementos, característica común en las series de tiempo financieras. Finalmente, una tercera versión (RW3) del modelo de caminata aleatoria, solo exige que los incrementos no estén correlacionados, es decir, Cov(et, et-k) =0, aunque admita que exista dependencia entre ellas, es decir, Cov(et, et-k) =0 para k¹0. Esto proporciona un número complementario de procedimientos de prueba de caminatas aleatorias o eficiencia del mercado en su forma débil.. 4.5 DEFINICIONES BÁSICAS. Costo base del proyecto: Es el costo del proyecto en el momento de su inicio. Momento cero “0”. Escalonamiento de costos en la construcción: Es el incremento del costo en el tiempo de cualquier elemento de construcción sobre el costo original del contrato, o el costo base del proyecto. Estocástico: Aquel sistema que funciona, sobre todo, por el azar. Flujo de caja: Es una herramienta que posibilita anticipar los saldos en dinero de una empresa a partir de los ingresos y egresos proyectados para un período determinado Grupos de obra: Los grupos de obra se refieren a las actividades realizadas en un tramo de carretera o puente.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 31.

(32) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Índice de precios: Medida que refleja los cambios en el nivel medio de precios. Medida estadística del cambio porcentual promedio en algún grupo de precios respecto a algún periodo base. Índice de costos de la construcción pesada – ICCP: Es un instrumento estadístico que permite conocer el cambio porcentual promedio de los precios de los principales insumos requeridos para la construcción de carreteras y puentes, en un período de estudio. Índice de Precios al Consumidor - IPC.: Indicador que expresa las variaciones en los precios de los productos y servicios de una canasta seleccionada y que sirve como referencia para medir la inflación. Presupuesto general: es un formato en que se resumen los costos totales de un proyecto, cada proyecto está descompuesto en partidas de trabajo agrupadas por grupos de obra; cada partida de trabajo consta de unidad de medida, cantidad, valor unitario y valor total. Precios unitarios: son las partidas de trabajo que vienen en el presupuesto general definido en términos de costos unitarios, discriminados por elementos del costo: equipo, materiales, transporte, mano de obra y costos indirectos. La suma de estos valores parciales da el precio unitario total de cada partida de trabajo. Proyecto de corto plazo: Proyecto de duración inferior a 3 meses. Proyecto de medio plazo: Proyecto de duración de 4 meses a 2 años. Proyecto de largo plazo: Proyecto de duración superior a 2 años. Tasa de inflación: Expresa la variación porcentual del índice de precios entre dos fechas determinadas. Tasa de interés: Es un porcentaje de la operación de dinero que se esté realizando. Si se trata de un depósito, la tasa de interés expresa el pago que recibe la persona o empresa que deposita el dinero por poner esa cantidad a disposición del otro.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 32.

(33) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. 5. DATOS Y ANÁLISIS DE DATOS 5.1 ÍNDICE DE COSTOS DE LA CONSTRUCCIÓN PESADA - ICCP Se utilizaron los Índices De Construcción Pesada – ICCP del Departamento Administrativo Nacional de Estadística DANE. Se escogieron estos índices ya que gozan de buena reputación en el territorio colombiano, donde La Empresa realiza trabajos mayormente. Es un instrumento estadístico que permite conocer el cambio porcentual promedio de los precios de los principales insumos requeridos para la construcción de carreteras y puentes, en un período de estudio. Atendiendo la recomendación internacional de revisar las canastas de referencia para seguimiento de precios cuando los índices son de tipo Laspeyres o de canasta fija y teniendo en cuenta las transformaciones que ha tenido el país desde 1996 a nivel tecnológico y de las estructuras de costos, el DANE destinó recursos para rediseñar la metodología del Índice de Costos de la Construcción Pesada buscando actualizar las canastas, las ponderaciones y la base, de tal manera que los índices ponderados reflejen los cambios en los precios de los distintos grupos de acuerdo a la nueva estructura. A partir del año 2000 se manejan las siguientes variables de clasificación. Se manejan Grupos de costos y Grupos de Obra. Grupos de costos (equipos, materiales, transporte, mano de obra y costos indirectos), grupo de obra (obras de explanación, sub-bases y bases, transporte de materiales, aceros y elementos metálicos, acero estructural y cables de acero, concretos, morteros y obras varias, concretos para superestructuras de puentes y pavimentación con asfalto). Las variables de análisis son los Precios de los insumos en la construcción de carreteras y puentes. Las Variables calculadas son Índices tipo Laspayres, Los Indicadores son: Índices, variaciones, contribuciones y participaciones. Utilizando el programa Oracle ® Crystal Ball Se realizaron ajustes a los datos de variaciones mensuales porcentuales de los Índices De Construcción Pesada general desde 1990, a diferentes funciones lineales de probabilidad. La variación mensual, es la relación del índice en el mes de referencia (Ii,t) con el índice del mes anterior (Ii-1,t), menos 1, por 100:. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 33.

(34) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49.  Índice _ mes _ referencia  VM =  − 1 × 100 Índice _ mes _ anterior   (13). Para el periodo entre 1990 hasta octubre de 2010, la función de probabilidad que arrojo una mejor correlación fue “extremo máximo” con un valor esperado del 8.30% efectivo anual y un percentil 90 de 30.39% efectivo anual. Las correlaciones con las funciones de probabilidad fueron analizadas con la prueba Anderson-Darling, en base a los resultados de esta se determino el orden de distribuciones de acuerdo al valor de la prueba. Figura 5 Distribución Máximo Extremo con parámetros, variaciones porcentuales 1990 a 2010 Maximum Extreme distribution with parameters: Likeliest 0.36 Scale 0.83. Statistics: Trials Mean Median Mode Standard Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff. of Variability Minimum Maximum Range Width Mean Std. Error. Assumption values. Distribution --0.84 0.67 0.36 1.07 1.14 1.14 5.40 1.27 -Infinito Infinito -----. Percentiles: 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%. Assumption values. Distribution VAR IACIÓN E FECT IVA -Infinito AN U AL -0.33 -3.93% -0.03 -0.42% 0.21 2.51% 0.43 5.34% 0.67 8.30% 0.92 11.63% 1.22 15.67% 1.61 21.14% 2.24 30.39% Infinito. End of Assumptions. Fuente: (Piedrahita, Salazar). MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 34.

(35) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Teniendo en cuenta el teorema del límite central se analizó también el ajuste de la distribución LogNormal, a su vez fue la distribución con segundo mejor ajuste. Para dicha distribución se encontró un valor esperado del 8.30% efectivo anual y un percentil 90 de 30.39% efectivo anual. Figura 6 Distribución LogNormal con parámetros, variaciones porcentuales 1990 a 2010 Lognormal distribution with parameters: Location Mean Std. Dev.. -2.24 0.85 1.16. Statistics: Trials Mean Median Mode Standard Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff. of Variability Minimum Maximum Range Width Mean Std. Error. Assumption values. Distribution --0.85 0.65 0.29 1.16 1.35 1.18 5.57 1.37 -2.24 Infinito -----. Percentiles: 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%. Assumption values. Distribution V AR IACIÓN E FE CT IV A -2.24 AN U AL -0.43 -4.99% -0.11 -1.32% 0.15 1.80% 0.4 4.86% 0.65 8.09% 0.93 11.74% 1.26 16.18% 1.68 22.20% 2.37 32.38% Infinito. End of Assumptions. Fuente: (Piedrahita, Salazar). Para las variaciones porcentuales desde 1990 hasta el 2010 la distribución normal fue la sexta mejor correlación, con un valor esperado del 11.18% efectivo anual y un percentil 90 de 43.30% efectivo anual, un rango mucho más alto que las dos distribuciones anteriores, demostrando que no se ajusta de la mejor manera a la variación real, por lo que queda descartada como función de distribución de probabilidad a utilizar para hacer predicciones Este mismo proceso se realizo para los datos desde 1995 al 2010, al igual que para los datos desde 1990 al 2010, la función de probabilidad con mejor correlación fue la Extremo Máximo, seguida muy cerca de la Lognormal. Para la MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 35.

(36) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Extremo Máximo el valor esperado fue de una variación mensual del 0.48% equivalente al 5.96% efectiva anual, y el percentil 90 es el 1.85% mensual 24.66% efectiva anual. Para la distribución Lognormal la variación mensual esperada equivalente al percentil 50 fue del 0.51% correspondiente al 6.25% efectivo anual, y el percentil 90 es el 1.74% mensual 23.07% efectiva anual. Figura 7 Distribución Máximo Extremo con parámetros, variaciones porcentuales 1995 a 2010 Maximum Extreme distribution with parameters: Likeliest 0.22 Scale 0.73. Statistics: Trials Mean Median Mode Standard Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff. of Variability Minimum Maximum Range Width Mean Std. Error. Assumption values. Distribution --0.64 0.48 0.22 0.93 0.87 1.14 5.40 1.47 -Infinito Infinito -----. Percentiles: 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%. Assumption values. Distribution V AR IACIÓN E FE CT IV A -Infinito AN U AL -0.39 -4.58% -0.13 -1.54% 0.08 0.99% 0.28 3.42% 0.48 5.96% 0.71 8.80% 0.97 12.24% 1.31 16.88% 1.85 24.66% Infinito. End of Assumptions. Fuente: (Piedrahita, Salazar). MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 36.

(37) MODELO PARA EL CÁLCULO DE LA PREVISIÓN DE AJUSTES POR CAMBIO DE PRECIOS EN EL TIEMPO EN PRESUPUESTOS DE PROYECTOS DE INFRAESTRUCTURA. MIC 2011-I0-49. Figura 8 Distribución LogNormal con parámetros, variaciones porcentuales 1995 a 2010 Lognormal distribution with parameters: Location Mean Std. Dev.. -3. 0.61 0.86. Statistics: Trials Mean Median Mode Standard Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff. of Variability Minimum Maximum Range Width Mean Std. Error. Assumption values. Distribution --0.61 0.51 0.32 0.86 0.74 0.7306 3.96 1.42 -3. Infinito -----. Percentiles: 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%. Assumption values. Distribution V AR IACIÓN E FE CT IV A -3. AN U AL -0.41 -4.79% -0.12 -1.49% 0.1 1.19% 0.3 3.70% 0.51 6.25% 0.72 9.03% 0.97 12.26% 1.28 16.45% 1.74 23.07% Infinito. End of Assumptions. Fuente: (Piedrahita, Salazar). Para los valores de variaciones porcentuales mensuales desde el año 2000 hasta el año 2010, y desde el año 2005 hasta el año 2010, la distribución de probabilidad que tuvo una mejor correlación fue la Lognormal. Entre el 2000 y el 2010 el valor esperado fue una variación mensual del 0.36% equivalente al 4.43% efectiva anual, y el percentil 90 es el 1.31% mensual 16.96% efectiva anual. Entre el 2005 el rango se acorta y el valor esperado es de 2.47% efectivo anual y la probabilidad que el 90% de las veces la variación mensual porcentual sea menor se da en el 15.76%.. MARIO I. PIEDRAHITA SALAZAR. 37.