Un modelo bi-objetivo para la asignacion de tareas de mantenimiento

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(1)UN MODELO BI-OBJETIVO PARA LA AS IGNAC IÓN DE TAREAS DE MANTENIMIENTO.. APLICACIÓN EN UN CAMPUS UNIVERS ITARIO. BERNARDO S TEVEN MARTÍN EZ ROMERO. UNIVERS IDAD DE LOS ANDES FACULATAD DE INGENIERÍA DIRECCIÓN DE INGEN IERÍA INDUS TRIAL Bogotá D.C. Mayo 2008 UN MODELO BI-OBJETIVO PARA LA AS IGNAC IÓN DE TAREAS DE MANTENIMIENTO..

(2) APLICACIÓN EN UN CAMPUS UNIVERS ITARIO. BERNARDO S TEVEN MARTÍN EZ ROMERO. PROYECTO DE TES IS PARA OPTAR AL GRADO DE INGENIERO INDUS TRIAL. AS ESOR Ing. JOS É FID EL TORRES Ph.D. AS ESOR EXTERNO Economista. RICHARD FAJARDO VERGARA. UNIVERS IDAD DE LOS ANDES FACULATAD DE INGENIERÍA DIRECCIÓN DE INGEN IERÍA INDUS TRIAL Bogotá D.C. Mayo 2008.

(3) AGRAD ECIMIENTOS. Agradezco a Dios y a mis padres quienes con su amor y dedicación orientaron mi camino y guiaron mis pasos al logro de esta meta. Al profesor y director de tesis Dr. José Fidel Torres por su asesoría, supervisión y valiosos aportes que ayudaron a clarificar y concretar el trabajo realizado. Al arquitecto Johnny Tascón por suministrarme toda la información necesaria de la Dirección de Planta Física de la Universidad de los Andes. Sin su cooperación no hubiese podido llevarse a cabo con éxito el desarrollo del presente trabajo Igualmente le agradezco profundamente a mi tía Alicia del Pilar M artínez y a mi asesor externo Richard Fajardo Vergara por su apoyo constante en el desarrollo de esta tesis. Por último a mi familia y amigos, cuya influencia, directa o indirecta, ayudó a encaminar con éxito el trabajo cuyo fruto y producto aquí se expresa..

(4) TABLA D E CONTENIDO. Página. INTRODUCCIÓN. 1. 1.. PLANTEM IENTO DEL PROBLEMA. 2. 1.1. Formulación del Problema. 3. 2.. OBJETIVOS. 4. 2.1. Objetivo General. 4. 2.2. Objetivos Específicos. 4. 3.. JUSTIFICACIÓN. 5. 4.. MARCOS DE REFERENCIA. 6. 4.1. MARCO INSTITUCIONAL. 6. 4.2. MARCO TEÓRICO. 8. 4.2.1 Definición M odelo de Asignación.. 8. 4.2.2 Problema General de Asignación (Generalized Assignment Problem GAP). 8. 4.2.3 Programación por M etas (Goal Programming). 9. 4.2.5 Simanto. 9. 5. M ETODOLOGÍA. 11. 5.1 DELIM ITACIÓN DE LA INVESTIGACIÓN. 11. 5.2 DISEÑO M ETODOLÓGICO. 11. 5.2.1 Tipo de investigación. 11. 5.2.2 M étodos de investigación.. 11. 5.2.3 Fuentes de información.. 11. 6. APLICACIÓN DEL MODELO. 12. 6.1 FORM ULACIÓN DEL M ODELO DE ASIGNACIÓN.. 12. 6.1.1 M odelo de balanceo de carga máxima. 15. 6.1.2 M odelo de costos. 16. 6.1.3 M odelo bi-objetivo. 17. 6.2 INSTANCIAS COMPUTACIONALES Y ANÁLISIS DE RESULTADOS.. 18.

(5) 6.2.1 Prueba con la instancia 1 y análisis de resultados.. 18. 6.2.2 Prueba con la instancia 2 y análisis de resultados.. 20. 6.2.3 Prueba con la instancia 3 y análisis de resultados.. 21. 6.2.4 Prueba con la instancia real y análisis de resultados.. 23. 6.2.5 Análisis Comparativo.. 25. CONCLUSIONES Y RECOM ENDACIONES. 27. BIBLIOGRAFÍA.

(6) LIS TA DE FIGURAS Y GRAFICAS. Página Figura 1. Cadena de valor. 7. Gráfica 1. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. 19. Gráfica 2. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. 20. Gráfica 3. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. 22. Gráfica 4. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. 24.

(7) LIS TA DE TABLAS. Página Tabla 1. Resultado simulación modelo. 18. Tabla 2. Resultado simulación modelo. 20. Tabla 3. Resultado simulación modelo. 22. Tabla 4. Resultado simulación modelo. 24. Tabla 5. Tabla comparativa. 26.

(8) INTRODUCCIÓN El siguiente trabajo parte de la necesidad de realizar una estructura de cargas laborales y optimización de costos, mediante la asignación justa y equitativa de trabajos a los agentes contratistas. de mantenimiento de un campus universitario, que permita determinar el. balance óptimo de tareas para realizar por agente y economizar costos de contratación. Con este fin, proponemos un modelo bi-objetivo que busca optimizar el balance de carga (Tascón, 2006) [6] y el costo total de la operación (Larry J & Col, 1999) [3], los cuales, son de utilidad cuando se conocen metas explícitas o umbrales para los criterios. Según Charnes y Cooper (Charnes and Cooper, 1961) [2], este tipo de modelo puede determinarse a partir de una implementación directa de programación por metas, la cual, busca obtener un nivel de aspiración para cada criterio. Un modelo bi-objetivo de asignación de tareas de mantenimiento a contratistas es propuesto en este trabajo. Este modelo se aplicó en la Universidad de los Andes en Bogotá Colombia. El primer objetivo consiste en minimizar la carga máxima de trabajo que se pueda asignar a cada uno de los agentes contratistas. Este objetivo busca balancear la carga de trabajo del equipo de agentes. El segundo objetivo es minimizar el costo total en que se incurre cuando se asignan las tareas a los agentes contratistas. Nuestro problema tiene en cuenta restricciones asociadas al horizonte de planeación y a que cada una de las tareas debe ser asignada a un único agente contratista. El modelo bi-objetivo se desarrolló para cuatro instancias con características diferentes. Estas fueron basadas en los datos históricos 20072008 suministrados por la Dirección de Planta Física de la Universidad de los Andes (PDF, 2008) [4]. El modelo bi-objetivo propuesto fue implementado en el software XPRESS, versión profesional, utilizando el solver CPLEX.. Una dificultad en el desarrollo del estudio fue la estimación del horizonte de planeación o tiempo máximo, en el cual, todas las tareas deben ser asignadas. De acuerdo con políticas definidas por el DPF de la Universidad de los Andes, este horizonte debe ser definido por el planificador de la operación, según el tamaño de la instancia analizada..

(9) 1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. El mantenimiento consume mensualmente entre el 20% y el 30% (PDF, 2008) [4]de los centros de costo dedicados a trabajos que se realizan en el campus de la Universidad de los Andes (excluyendo las obras mayores). Una forma de minimizar el impacto en costos asociados al mantenimiento es usando eficientemente los recursos de contratación con agentes externos destinados para tal fin.. Tomando como referencia el trabajo realizado por Johnny Tascón Valencia (Tascón, 2006) [6] “M odelo para la optimización del proceso de mantenimiento de infraestructura física en la Universidad de los Andes”, agosto de 2006 se evidenció lo siguiente:. •. El mantenimiento del campus es un proceso de soporte a muchos otros procesos vitales de la Universidad, sin el cual estos se verían seriamente afectados.. •. La coordinación óptima de los recursos para el mantenimiento (agentes y contratistas, tiempo disponible, espacio disponible) implica ejecutar los trabajos correctamente y en el menor tiempo posible, sin interferir con las actividades centrales de cada espacio, soportando de manera eficiente los procesos que se llevan a cabo en dichos espacios y evitando mayores deterioros por retrasos en el cumplimiento de las tareas.. •. El principal impedimento para llevar a cabo una coordinación eficiente es la dificultad de los coordinadores para considerar todas las variables que se debería tener en cuenta durante la asignación.. •. Altos costos económicos por contratación de terceros para realización de trabajos de mantenimiento del Campus.. Por lo anterior, se ve la necesidad de aplicar un modelo bi-objetivo de programación de asignación de tareas para determinar el balance de carga a los agentes contratistas del mantenimiento de la Universidad de los Andes y minimizar los costos de asignación..

(10) 1.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.. El modelo. bi-objetivo de asignación de. tareas permite determinar las cargas laborales de forma eficiente y optimizar los costos de contratación de terceros..

(11) 2. OBJETIVOS .. 2.1 OBJETIVO GEN ERAL. 2.1.1 M inimizar la carga máxima de trabajo que se pueda asignar a cada uno de los agentes contratistas del mantenimiento de un Campus Universitario. 2.1.2 M inimizar el costo total en que se incurre cuando se asignan las tareas a los agentes contratistas mediante la aplicación de un modelo bi-objetivo de asignación de tareas.. 2.2 OBJETIVOS ES PECÍFICOS 2.2.1 Recopilar la información necesaria de estudios previos relacionados con los modelos de asignación de tareas y análisis de cargas. 2.2.2 Analizar la información seleccionada para determinar el modelo más eficiente. 2.2.3 Diseñar el modelo aplicable a la distribución de cargas laborales. 2.2.4 Realizar instancias computacionales y análisis de resultados. 2.2.5 Determinar las diferentes fronteras eficientes que arroja el modelo bi-objetivo. 2.2.6 Aplicar el modelo a la Universidad de los Andes de Bogotá Colombia..

(12) 3. JUS TIFICAC IÓN.. El programa de desarrollo integral (PDI) (PDI, 2006-2010) [8] es el documento guía de las actividades de la Universidad de los Andes y permite armonizar intereses y orientar los recursos. En este PDI están definidos los ejes fundamentales: Calidad y diferenciación, estructura y recursos y relación con el entorno. Cada uno de ellos, tiene asociados unos objetivos y sub-objetivos. Para estructura y recursos, formuló el objetivo 5: “Administrar y planear financieramente los recursos, asegurando la sostenibilidad económica en el corto plazo y la viabilidad en el largo plazo, garantizando los recursos adecuados para cada una de las actividades de la institución y mejorando los servicios de bienestar y apoyo académico”. Para planta física determina que para alcanzar el sub-objetivo 5.3 “Conservar y mantener los espacios físicos”, se deben implementar las siguientes estrategias: a). Consolidar el plan de mantenimiento; b). cumplir los estándares de calidad establecidos por la Universidad; c). Optimizar la capacidad de los espacios físicos y administrativos y d). M antener las condiciones estéticas y ambientales del campus. Gran parte del recurso económico se invierte en este ámbito, lo que implica la búsqueda permanente de optimización de costos y repuesta inmediata con calidad a las necesidades. Es así, como el modelo bi-objetivo de asignación de tareas de mantenimiento se puede utilizar como una herramienta viable para apoyar al logro de este objetivo y alcance de los resultados esperados por las directivas de la Universidad. La aplicación de un modelo bi-objetivo para el balance de carga, facilita la distribución equitativa y suficiente a los diferentes agentes contratistas, incrementando la productividad y competitividad en el proceso de mantenimiento de instalaciones e infraestructura del campus..

(13) 4. MARCOS DE REFERENCIA. 4.1 MARCO INS TITUCIONAL. La Universidad de los Andes, es la única universidad privada del país que ha recibido Acreditación Institucional por nueve años, otorgada en junio de 2005 por el M inisterio de Educación Nacional. Además, los Andes ha recibido acreditaciones internacionales, como la de la Facultad de Ingeniería en 1992 entregada por la Accreditation Board of Engineering y las de la Facultad de Administración, los programas de M agíster de Administración, otorgadas por la European Foundation for M anagement Development (EQUIIS) y la Asociación de M BA (AM BA), respectivamente (Acreditación, 2004) [1]. Dentro de los procesos de apoyo de la Universidad, se encuentra el de Gestión de recursos físicos, el cual, busca responder a las necesidades de conservar y mantener los espacios de la universidad en excelente estado y comprende los procesos de mantenimiento de las áreas académicas, administrativas y de servicios que forman el campus. Para cubrir estas necesidades de mantenimiento, la Universidad cuenta además del personal de planta, con varias empresas contratista bajo la modalidad de contratación externa, para establecer contratos de suministro de bienes y prestación de servicios. Con el apoyo de estas empresas, se cubren los trabajos que requieran competencias especializadas o técnicas en las que el personal de planta no es competente. Igualmente, cumplen la labor de soporte cuando se saturan las capacidades de carga laboral de los agentes de planta. La figura 1 muestra el mapa de procesos de la Universidad de los Andes en el que se puede evidenciar el proceso de apoyo Gestión de recursos físicos (Acreditación, 2004) [1]..

(14) Figura 1: Fuente: http://procesos.uniandes.edu.co/cadena.php En la actualidad las necesidades de mantenimiento de la Universidad según datos obtenidos de la dirección de la planta física se atienden con 15 operarios de planta y 57 contratistas. Ellos refuerzan y cubren las deficiencias en cuanto a personal capacitado para las labores especializadas. No obstante, el modelo de atención utilizado con contratistas no es sostenible en términos económicos. A partir de la información suministrada por DPF, se puede observar que el número de contratistas es cuatro veces mayor que el personal de planta. El presupuesto asignado a este ámbito es invertido más en los trabajos con externos. Como consecuencia de ello, esto implica que es necesario optimizar estos los costos a.

(15) terceros y balancear las cargas entre ellos para cumplir con los objetivos de eficiencia y efectividad.. 4.2 MARCO TEÓRICO.. 4.2.1 Definición Modelo de asignación. El problema general de asignación (Larry J & Col, 1999) [3] es un problema de optimización combinatoria. Este problema es una generalización del problema de asignación, en donde tanto tareas como agentes tiene un tamaño definido. Además que la cantidad de tareas varía de un agente a otro. Hay un número de agentes y un número de tareas. Cada agente puede ser asignado para desarrollar cualquier tarea, incurriendo en algún costo y beneficio dependiendo del agente al que se le asigne la tarea. Además cada agente tiene una capacidad, la cual, no puede ser excedida por la suma de los costos de las tareas que se le asignen. Esto es necesario para encontrar la mejor asignación que maximice los beneficios.. 4.2.2 Problema general de asignación (Generalized assignment problem GAP). El problema de asignación (AP) es un modelo clásico de investigación de operaciones. Dado un conjunto de tareas para ser asignadas a un grupo de agentes y el costo de desarrollar cada tarea por cada agente. El modelo busca asignar cada tarea a un agente. Cada agente desarrolla una tarea y el costo total es minimizado. (Hillier and Lieberman, 1980). Una extensión de este problema, se conoce como el problema general de asignación (GAP) (Pasquini, 1999) [5] el cual, permite asignar múltiples tareas a cada agente, sujeto a la disponibilidad de un tipo de recurso, que es consumido por los agentes al desarrollar estas tareas (Ross and Soland, 1975). Este modelo puede ser extendido al caso en el que los agentes consumen múltiples tipos de recursos durante el desarrollo de las tareas. La.

(16) disponibilidad de cada tipo de recurso es limitada. Lo anterior se conoce como el problema general de asignación multi-recursos.. 4.2.3 Programación por metas (Goal Programming). Goal programming (GA) (Charnes and Cooper, 1961) [2] es en la actualidad una importante área de la optimización por múltiples criterios. La idea de la programación por metas es establecerle un nivel para alcanzarla según el criterio. GP es ideal para criterios relacionados con valores objetivos que tengan significancia específica. La programación por metas se diferencia de la programación lineal en: 1. La conceptualización de objetivos como metas. 2. La asignación de prioridades y/o pesos para alcanzar las metas. 3. La minimización de la suma de la desviación de los pesos de las variables para encontrar la mejor solución para satisfacer las metas.. Lo que intenta la programación por metas es encontrar puntos factibles que alcancen las metas lo más cerca posible. Una programación bi-objetivo puede tener 4 tipos de criterios por metas que son: 1. M ayor o igual que. 2. M enor o igual que. 3. Igualdad. 4. Rango. 4.2.4 Simanto Es una herramienta Web (Tascón, 2007) [7] que permite reportar los problemas y trabajos de mantenimiento que afectan a las instalaciones físicas de la Universidad de los Andes. Tiene la capacidad de medir y parametrizar los reportes que se atienden, apoyarse en la información recolectada para generar políticas de mantenimiento o fortalecer las existentes y establecer un único canal de comunicación entre los usuarios del Campus y los profesionales de la Dirección de Planta Física..

(17) La aplicación consiste en una base de datos (M YSQL®), que permite inicialmente almacenar los reportes de mantenimiento que elaboran los usuarios de las distintas unidades de la Universidad, y en una segunda instancia, permite a los coordinadores de mantenimiento hacer seguimiento y modificar los distintos atributos que compone cada caso especifico. La unidad principal de esta base de datos es el “CASO” de mantenimiento y entre las características que se le pueden parametrizar desde el sistema están entre otras su ubicación geográfica específica, sus fechas de control (Inicio, Cierre, M odificación, etc.), las personas que intervienen (Remitente, Interventor, Operario Asignado) y los distintos procedimientos que pueden llevarse a cabo durante la ejecución. A esta base de datos se puede acceder desde tres interfaces de usuario. La interfaz de administración permite a los coordinadores y administradores del sistema asignar los agentes a cada tarea, las fechas, y los procedimientos a los que haya lugar durante la ejecución de la misma.. En la actualidad la coordinación de mantenimiento cuenta con 57 firmas contratistas entre personas naturales y jurídicas, registradas ante la Universidad para prestar los diferentes servicios que se requieren en el área de mantenimiento mediante la suscripción de órdenes de trabajo y órdenes de compra según sea el caso. Estas firmas normalmente atienden garantías de proyectos en los que han participado, o suplen la demanda de personal cuando los picos de trabajo son muy elevados, es decir cuando la cantidad de reportes de mantenimiento implica una carga laboral mayor de la que los agentes pueden atender. Los servicios para las especialidades que no se cuenta con personal de planta calificado es adquirido por contratación externa, como es el caso de CORTINERÍA (5 de cada 6 trabajos se contrataron con externos), PINTURA (todos los trabajos se contratan con externos) y SEÑALIZACIÓN (de 140 trabajos sólo 3 se hicieron con personal interno.

(18) 5. METODOLOGÍA. 5.1 DELIMITACIÓN DE LA IN VES TIGACIÓN Espacial. Universidad de los Andes Cronológica. Año 2008 Poblacional. Agentes contratistas de mantenimiento. 5.2 DIS EÑO METODOLÓGICO. 5.2.1 Tipo de investigación.. Es una investigación. aplicada de tipo descriptivo. Su. propósito es la delimitación de hechos que conforman el problema de investigación. Se establecen las características para las variables investigadas y número de variables. Se identifican formas numéricas y nivel de aceptación de las observaciones. 5.2.2 M étodos de investigación. El método empleado en el diseño de la investigación es deductivo. Permite que verdades universales se vuelvan evidentes, es decir, que a partir de situaciones de carácter general se llegue a identificar explicaciones de carácter particular. Es así, como de la teoría de modelos de balance de cargas (Tascón, 2006) [6] y del modelo de costos (Larry J & Col, 1999) [3], se pretende establecer el estudio para la aplicación y combinación de un modelo bi-objetivo. 5.2.3 Fuentes de información. - Fuentes Primarias. Observación, Prueba piloto (instancias computacionales y análisis de resultados. - Fuentes Secundarias. Recopilación de la información e informes de proyectos y estudios realizados sobre el tema..

(19) 6. APLICACIÓN DEL MODELO. 6.1 FORMULACIÓN DEL MODELO DE AS IGNACIÓN.. El problema de asignación de tareas, objeto de este estudio, puede ser expresado a través de tres formulaciones de optimización: 1. Balance de la carga de trabajo de los operarios (Tascón, 2006) [6]. 2. M inimización de costos de operación (Larry J & Col, 1999) [3]. 3. Balance de carga de trabajo con minimización simultanea de costos de operación (enfoque bi-objetivo). A continuación, se presenta la formulación de cada uno de los tres modelos:. J= Conjunto de las tareas que no se han asignado (=1,…, m). I= Conjunto de agentes contratistas (=1,…, n). =Tiempo esperado de realización de la tarea j.. =Costo en el que se incurre cuando el agente i realiza la tarea j.. = Habilidades requeridas del agente i para realizar la tarea j. {0,1}. =. Carga previa del agente i. = Carga máxima (constante).. =. =Rango de presupuesto máximo (constante). Variable de decisión. Esta toma el valor de 1 si la tarea j se asigna al agente i y 0 de lo. contrario. En estas formulaciones se pueden encontrar la descripción de los conjuntos y arreglos que se van a requerir como parámetros. Los cuales son:.

(20) Jobs (): Conjunto de tareas pendientes por asignación de agentes, es decir, los trabajos de mantenimiento que recién ingresan al sistema.. Agents (): Conjunto de agentes contratistas habilitados para cumplir con las tareas que ingresan a la Dirección de Planta Física de la Universidad de los Andes. Timejob (): Arreglo de números enteros indexado al conjunto de tareas J que describen el tiempo esperado requerido para realizar la tarea j. Esta información es basada en datos históricos que se encuentran registrados en la base de datos Simanto.. Costjob ( ): M atriz de datos indexada al conjunto de agentes contratistas I y tareas J que representa el costo en el que se incurre cuando un agente i realiza una tarea j.. Habilidades ( ): M atriz binaria de datos indexada al conjunto de agentes contratistas I y. tareas J en donde cada elemento de la matriz toma el valor de 1 si un agente i está. habilitado para realizar un tarea j y 0 de lo contrario.. Charge (. ): Arreglo. de datos indexado al conjunto de agentes contratistas I que representa. la carga previa en tiempo que tiene cada agente i, antes de la asignación de las nuevas tareas. De una u otra manera la Universidad contrata con un tercero para beneficiarse de la disponibilidad inmediata que estos deben tener. Por eso, la carga previa de los agentes externos que se contratan es “0”. La naturaleza de los contratos es usar eficientemente los recursos de contratación para minimizar el impacto en los costos asociados al mantenimiento.. El principio básico en optimización de recursos cuando se contrata. externamente es disponer de los contratos con los agentes externos. Así, la Universidad mantiene recursos propios disponibles para cubrir las eventualidades que los agentes.

(21) externos no pueden satisfacer. La Universidad no puede afectar su normal funcionamiento por el hecho que un proveedor vea comprometida su disponibilidad al 100%. Carga máxima (Cmax): Constante que representa el límite superior de carga de cada uno de los agentes después de la asignación de las tareas. Esta constante representa la longitud del horizonte de planeación en el cual se tienen que realizar la totalidad de las tareas j. Presupuesto máximo (Tmax): Constante que representa el rango del presupuesto que se encontró con las pruebas individuales de los modelos de carga (Tascón, 2006) [6] y costos (Larry J & Col, 1999) [3].. El horizonte de planeación de las tareas asignadas es producto de novedades que se generan en la planta física de la Universidad y que requieren de una acción inmediata de mantenimiento. Existen tareas de mantenimiento eléctrico, hidráulico, estructurales y acabados entre otras. El problema que afronta este tipo de tareas, es que en algunas oportunidades, no es posible determinar el daño sin hacer mantenimientos mayores. Por ejemplo una avería en una instalación sanitaria requeriría que se tenga que romper pisos y paredes para poder determinar a ciencia cierta la causa. Lo anterior refleja la dificultad de la predicción de un horizonte de planeación para las tareas de contratación externa, debido a que estas tareas implican en muchos casos la importación de insumos para reparar o hacer el mantenimiento. Además con la información que se tiene actualmente en la base de datos SIM ANTO, los tiempos estimados para las tareas externas no han sido estandarizados. Por lo que la variabilidad es alta y no se sabe con exactitud cómo definir este horizonte. El modelo bi-objetivo propuesto para este estudio fue implementado en un computador de 512 GB-RAM. con el software Xpress-M P, versión profesional, utilizando el solver. CPLEX. Este es una herramienta matemática usada para modelar y optimizar problemas de programación lineal y entera..

(22) 6.1.1 Modelo de balanceo de carga máxima (Tascón, 2006) [6]. El modelo busca hacer una asignación que balancee la carga total de las tareas a los agentes. La formulación matemática es la siguiente: Sujeto a: . . . . . . ! . . " . . . . #. $ . % &' ( ) ' * ' ) ' * '. +. La función objetivo (1) muestra el valor mínimo posible que la carga máxima z debe tomar. La restricción (2) es la carga de trabajo asignada al agente i. La restricción (3) certifica que cada tarea j debe ser realizada por un sólo agente i. La restricción (4) está relacionada con la capacidad de cada agente i. Esta muestra el límite superior de la carga de cada uno de los agentes i después de la asignación de las tareas j. Por último, la restricción (5) muestra los valores que puede tomar la variable de decisión..

(23) 6.1.2 Modelo de costos Este modelo busca hacer la asignación de las tareas a los agentes a un costo mínimo. Está basado en el modelo GAP (Larry J & Col, 1999) [3]. Su formulación matemática es el siguiente: . . . . . Sujeto a: . . . . . . " . . #. ! . % &' ( ) ' * ' ) ' * '. $. La función objetivo (1) muestra el valor mínimo posible que la sumatoria de los costos de las asignaciones puede tomar. La restricción (2) certifica que cada tarea debe ser realizada por un sólo agente. La restricción (3) está relacionada con la capacidad de cada agente i. Esta muestra el límite superior de la carga de cada uno de los agentes i después de la asignación de las tareas j. Por último, la restricción (4) muestra los valores que puede tomar la variable de decisión..

(24) 6.1.3 Modelo bi-objetivo. La siguiente formulación busca integrar los modelos anteriores (Tascón, 2006) [6] y (Larry J & Col, 1999) [3] con el fin de encontrar una frontera eficiente que relacione la carga con los costos y proporcione puntos de Pareto de asignación para cada una de las instancias.. Sujeto a: . . . . . . . ! . " . . , . . . #. #. $ +. . -. % &' ( ) ' * ' ) ' * '. .. La función objetivo (1) muestra el valor mínimo posible que la carga máxima z debe tomar. La restricción (2) es la carga de trabajo asignada al agente i. La restricción (3) certifica que cada tarea debe ser realizada por un sólo agente. La restricción (4) está relacionada con la.

(25) capacidad de cada agente i. Esta restricción representa el límite superior de la carga de cada uno de los agentes después de la asignación de las tareas. La restricción (5) representa el segundo objetivo (Larry J & Col, 1999) [3] como restricción en el modelo de balance de carga (Tascón, 2006) [6]. El efecto principal de esta restricción es limitar la búsqueda de la asignación óptima en carga a un presupuesto variable. La restricción (6) certifica que sólo los agentes con las habilidades requeridas puedan realizar las tareas. Por último, la restricción (7) muestra los valores que puede tomar la variable de decisión.. 6.2 INS TANCIAS COMPUTACIONALES Y ANÁLIS IS DE RES ULTADOS . Las instancias que se desarrollan en este estudio se pueden clasificar en 4 categorías: 1. 8 agentes y 6 tareas para la instancia menor. 2. 5 agentes y 15 tareas para la instancia intermedia. 3. 12 agentes y 80 tareas, con simulación de costos para la instancia grande. 4. Instancia real.. 6.2.1 Prueba con la instancia 1 y análisis de resultados.. Este experimento busca asignar 6 tareas a 8 agentes. Se hace el supuesto que los 8 agentes tienen las mismas habilidades para desarrollar las tareas. En esta instancia los valores de los tiempos y los costos de las tareas se generaron aleatoriamente en una hoja de cálculo de Excel, aproximándolos al entero más cercano. Los resultados obtenidos son los siguientes:. Resultados Modelo de costos Costos (pesos) Carga (días). Modelo de carga. Modelo Bi-objetivo. $ 16012. $ 30411. $ 16758. 18. 15. 15.

(26) Tabla 1. Resultados simulación modelos. Frontera eficiente Costo vs Carga 33000 Costos (pesos). 15, 30411 Frontera Eficiente. 28000. Valor Bi-objetivo 23000. Optimo en costos. 18000. Óptimo en Carga 18, 16012. 15, 16758 13000 14. 16. 18. 20. Carga (días). Gráfica 1. Frontera eficiente modelo bi-objetivo.. Análisis de Resultados Los resultados del modelo bi-objetivo de la instancia anteriormente expuesta para 6 tareas y 8 agentes contratistas, muestran como principal resultado dos puntos de Pareto. En primer lugar, el punto verde representa el valor obtenido con el desarrollo individual del modelo de costos (Larry J & Col, 1999) [3]. El punto no tiene en cuenta el balance de carga y solo busca reducir el costo total de la asignación. Por otro lado, el punto amarillo representa el valor óptimo en carga al más bajo costo posible. Este punto simboliza el valor no dominado de la serie de puntos azules. Éstos tienen el mismo valor de la función objetivo de carga pero diferentes valores en costo. (Gráfica1). En la tabla 1 se evidencia un ahorro de los costos de la asignación del modelo bi-objetivo con respecto al modelo de balance de carga, manteniendo el valor de la función objetivo de carga..

(27) 6.2.2 Prueba con la instancia 2 y análisis de resultados. Siguiendo con los experimentos y basándose en los resultados de la anterior instancia, respecto a los ahorros, se desarrolló la instancia de 15 tareas y 5 agentes contratistas. Esta instancia es mediana y representa el estado típico del problema de asignación, debido a que, hay más tareas que agentes a quienes asignárselas. En esta instancia, al igual que la anterior, se generaron los valores de los tiempos y los costos de las tareas aleatoriamente en una hoja de cálculo de Excel, aproximándolos al entero más cercano. Los resultados son los siguientes:. Resultados Modelo de costos Modelo de carga. Modelo Bi-objetivo. Costos (pesos). $ 32123. $ 76010. $ 45934. Carga (días). 23. 20. 20. Tabla 2. Resultados simulación modelos. Frontera eficiente Costo vs Carga Costos (pesos colombianos). 80000 20, 76010 70000 60000. Frontera Eficiente. 50000. Óptimo en Costos Punto no dominado. 20, 45934. 40000. 23;32123. 30000. Punto no dominado Valor Bi-objetivo. 20000. Óptimo en Carga 19. 20. 21. 22. 23. Carga (días). Gráfica 2. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. 24.

(28) Análisis de Resultados El modelo bi-objetivo de la instancia anteriormente expuesta para 15 tareas y 5 agentes contratistas, concuerda con el mismo resultado respecto a los ahorros en los costos totales de la asignación. En primer lugar, el punto rojo representa el valor obtenido con el desarrollo individual del modelo de costos (Larry J & Col, 1999) [3]. Este punto, no tiene en cuenta el balance de carga y sólo busca reducir el costo total de la asignación. El punto verde, representa el óptimo en carga encontrado con el modelo de de balanceo de carga (Tascón, 2006) [6]. Por último, el punto amarillo representa el valor óptimo en carga al más bajo costo posible. En la frontera eficiente del modelo bi-objetivo, se aprecia más variabilidad en los valores del eje x, es decir, los valores de la función objetivo de carga. Además, aparecen puntos no dominados que representan el desplazamiento de los valores de las dos funciones objetivo (Gráfica 2). En este estudio, la función objetivo de carga, es la principal prioridad del modelo biobjetivo. Los puntos azul y naranja (no dominados), representan el desplazamiento en la función objetivo de carga, buscando el mejor el valor de costo posible. Esto muestra la mayor propiedad de la programación por metas, la cual es encontrar valores para las funciones objetivos de acuerdo a prioridades previamente definidas por el programador. Finalmente, en la tabla 2 se evidencia un ahorro de los costos de la asignación del modelo bi-objetivo con respecto al modelo de balance de carga.. 6.2.3 Prueba con la instancia 3 y análisis de resultados. El modelo bi-objetivo se corrió con una instancia de 80 tareas y 12 agentes. Se generó aleatoriamente basada en los datos históricos de la Dirección de Planta Física de la Universidad de los Andes. Teniendo en cuenta que el tamaño de la instancia concordase.

(29) con los tamaños promedios reales de tareas y agentes contratistas disponibles en las operaciones de la Universidad. En primer lugar se generaron los tiempos esperados de las tareas en una tabla de cálculo, usando una distribución uniforme entre 1 y 13 días. Según el análisis de la base de datos disponible y aproximando los valores al entero más cercano. Este proceso se hizo para las 80 tareas. Después se generaron los costos para cada una de las combinaciones entre agentes y tareas, con base en una tabla que define tres posibles salarios diarios dependiendo de la especialidad del agente contratista para realizar la tarea. Por último, la carga previa de los agentes en modalidad de subcontratación se tomó como cero (0), debido a que los agentes contratistas son un recurso externo a la Universidad. Ellos deben tener siempre la disponibilidad de empezar una tarea en el instante en que se les asigne. Resultados Modelo de costos. Modelo de carga. Modelo Bi-objetivo. Costos (pesos). $ 1816800. $ 2706480. $ 1837460. Carga (días). 45. 40. 40. Tabla 3. Resultados simulación modelos. Gráfica 3. Frontera eficiente modelo bi-objetivo.

(30) Análisis de Resultados El principal resultado que arrojó el modelo bi-objetivo para la instancia estudiada es una frontera eficiente de Costos vs. Carga, que muestra una asignación (punto amarillo) con el mismo valor óptimo del modelo de balance de carga (Tascón, 2006) [6], a un menor costo (ver gráfica 3). Este punto está caracterizado por una disminución del 32% en los costos obtenidos con el modelo individual de carga (Tascón, 2006) [6] (tabla 3). Teniendo en cuenta que el balance de la carga total asignada a cada agente contratista es el mayor interés que tiene el DPF. En la instancia estudiada, el modelo bi-objetivo permitió obtener fácilmente una frontera eficiente de óptimos de Pareto, es decir, puntos en donde no se puede mejorar un objetivo sin desmejorar el otro (Gráfica 3).. 6.2.4 Prueba con la instancia real y análisis de resultados. El modelo bi-objetivo se corrió con una instancia basada en datos reales de 51 tareas y 30 agentes, los cuales fueron obtenidos de la base de datos SIM ANTO, para el presente año. En primer lugar, los valores de los tiempos de las tareas fueron calculados como el promedio de la resta de los tiempos de finalización e inicio de la tarea. Teniendo en cuenta que los tiempos mayores a 30 días se descartan, debido a que son valores muy altos y poco probables. Lo anterior por sugerencia del DPF.. En segunda medida, para desarrollar la matriz de habilidades de los agentes contratistas se analizó la base de datos de SIM ANTO, sólo para cada una de las especialidades de las tareas, con el fin de saber cuáles podía hacer cada uno de los 30 agentes.. Por último, se generaron los costos para cada una de las combinaciones entre agentes-tareas y carga previa, en la misma forma que en la instancia anterior..

(31) Resultados Modelo de costos. Modelo de carga. Costos (pesos) $ 1284060 $ 1620260 Carga (días) 131 53 Tabla 4. Resultados simulación modelos.. Modelo Bi-objetivo $ 1458570 53. Gráfica 4. Frontera eficiente modelo bi-objetivo. Análisis de Resultados El principal resultado que arrojó el modelo, como que en las otras instancias, es que presenta un ahorro en los costos totales de la asignación de las tareas al aplicar el modelo bi-objetivo, manteniendo siempre el interés que tiene el DPF. Es decir, el balance de la carga total asignada a cada agente contratista..

(32) El modelo bi-objetivo permite definir para la instancia analizada una solución particular (punto amarillo de la gráfica 4), caracterizada por una disminución del 10% en los costos obtenidos con el modelo individual de balance de carga (primer objetivo).. En la instancia estudiada, el modelo permitió obtener una frontera eficiente compuesta por 1700 puntos, que permite analizar el supuesto: si por ejemplo, se dejara de lado la necesidad del balanceo óptimo de la carga, se podrían obtener valores cercanos a un costo inferior. Lo anterior se ve reflejado en los valores de carga de 54 y 57 que no están alejados del óptimo alcanzado (53), con una reducción en los costos del 13% y 15% respectivamente (Gráfica 4).. 6.2.5 Análisis Comparativo La tabla de comparación que se mostrará a continuación refleja una síntesis de las cuatro instancias estudiadas en el trabajo. En primera medida, se muestran las características de cada una de ellas, desde el tamaño de la instancia hasta la explicación de cómo se generaron los datos de entrada al modelo. Por otra parte, se realiza una comparación de los costos que arrojan cada uno de los modelos, con el fin de mostrar el ahorro que se logra con la aplicación del modelo bi-objetivo. Finalmente, se exhibe los tiempos computacionales en los que se incurrió en el desarrollo de cada una de las instancias, que es directamente proporcional al número de puntos que se quieran tener en la frontera eficiente, resultante del modelo bi-objetivo..

(33) 5. 12. 30. 2. 3. 4. 51. 80. 15. 6. 135. 45. 25. 20. 200. 1700. Generados aleatoriamente con la Todos los distribucion agentes pueden unifor me y hacer todas las aprox im ando al tareas. entero m as cercano. Matriz binaria Tomados de la tom ana de la base de datos base de datos SIMANTO para SIMANTO. las 51 tareas Teniendo en (Datos cuenta las historicos). habilidades de cada agente.. Basados en una tabla de sueldos, multiplos de SMDLV.. 36. 32. Basados en una tabla de sueldos, multiplos de SMDLV.. Generados Generados aleatoriamente aleatoriamente con la con la Todos los distr ibucion distribucion agentes pueden uniforme y unifor me y hacer todas las aprox im ando al aprox im ando al tareas. entero m as entero m as cercano. cercano.. Generados Generados aleatoriamente aleatoriamente con la con la Todos los distr ibucion distribucion agentes pueden uniforme y unifor me y hacer todas las aprox im ando al aprox im ando al tareas. entero m as entero m as cercano. cercano.. * Costo dado en pesos colombianos ($). * Carga dada en días (d).. 8. 1. TAMAÑO. 53. 40. 20. 15. $ 1.620.260. $ 2.706.480. $ 76.010. $ 30.411. 113. 45. 23. 18. $ 1.284.060. $ 1.816.800. $ 32.123. $ 16.012. 53. 40. 20. 15. $ 1.458.570. $ 1.837.460. $ 45.934. $ 16.758. TABLA COMPARATIV A DE LAS INSTANCIAS Y SUS FRONTERAS EFICIENTE S S UPUESTOS (DATOS DE E NTRADA) RE SULTADOS DE LSO MODELOS TIEMP OS HABILIDADES # PUNTOS MODELO CARGA MODE LO COSTOS MODE LO BI- OBJE TIV O # INS AGENTES TARE AS H.Plan COSTOS ($) TAREAS T ARE AS FRONTE RA CARGA (d) COS TOS ($) CARGA (d) COSTOS ($) CARGA (d) COSTOS ($). Tabla 5. Tabla comparati va.. 10%. 32%. 40%. 45%. % AHORRO ($). 7s. 5,4. TIE COM. $ 336.200 240. $ 889.680 120. $ 47.018. $ 14.399. RANGO.

(34) CONCLUS IONES Y RECOMENDACIONES. -. El modelo bi-objetivo, permite definir para la instancia real analizada una solución. particular (punto amarillo de la gráfica 4) caracterizada por el valor mínimo posible de carga de trabajo máxima (solución balanceada en carga) con una disminución del 10% en los costos obtenidos con el modelo individual de balance de carga (primer objetivo). - En la instancias estudiadas, el modelo permitió obtener fácilmente una frontera eficiente de óptimos de Pareto, es decir, puntos en donde no se puede mejorar un objetivo sin desmejorar el otro.. -. El modelo bi-objetivo, garantiza un resultado óptimo que puede ser usado en la. planeación real de la operación de asignación de tareas. Encuentra el mismo valor del modelo de balance de carga a un menor costo. -. El estudio del horizonte de planeación, debe ser analizado con más detenimiento debido. a que este parámetro del modelo influye de forma directa en la búsqueda del óptimo del mismo. Lo anterior es porque este horizonte define el rango en el cual se puede restringir la carga que se les asignará a los agentes contratistas.. -. Es necesario estudiar el efecto del horizonte de planeación sobre los resultados de la. asignación obtenida en el modelo bi-objetivo en diferentes instancias. El problema de asignación de tareas es un problema compuesto de muchas variables y restricciones de acuerdo al tamaño de la instancia. - Se requiere hacer un indicador de gestión que mida el servicio prestado por los agentes contratistas, en la medida en que sea posible relacionarlo con cantidad, calidad,.

(35) oportunidad y productividad, con el fin de aplicar el modelo bi-objetivo en comparación con otros objetivos diferentes al de costos. Como por ejemplo:. •. Indicador de rendimiento: Cociente entre producción real y la esperada.. Nivel de cumplimiento: Consiste en conocer el nivel de efectividad de la realización de las tareas para los contratistas en cuanto a los trabajos asignados en un período determinado. /0123425678307029:; . <42:=>2=?>2=30@=4=?46>=9:223A;>0@;9:24283=92=50B9 D EFF <42:=>2=?:;:=32?=?0C9=4=?46>=9:223A;>0@;9:24283=92=50B9. O puede ser: /0123425678307029:; . <42:=>2=?5678304=? D EFF <:;:=342:=>2=?>2G62>04=?.

(36) BIBLIOGRAFÍA [1] Acreditación. [onlíne]. Bogotá: Universidad de los Andes, mayo 20 de 2004. Internet. http://procesos.uniandes.edu.co/cadena.php [2] Charnes, A. and Cooper, W. W. (1961). M anagement models and industrial applications of linear programming. New York: Wiley [3] European Journal of Operational Research 112 (1999) 54-80. Larry J. LeBlanc a, Avraham Shtub b, G. Anandalingam. Formulating and solving production planning problems. [4]Información obtenida del comité de de Planta Física de 2008. Los datos exactos de esta información no puede ser ampliados en el presente informe por disposición de la Rectoría de la Universidad. [5] PASQUINI, Diego (PAS_SF) Asignación de Tareas utilizando Algoritmos Genéticos, Bogotá, UNIVERSIDAD DE LOS ANDES, Facultad de Ingeniería, 1999 [6] TASCÓN. Valencia Johnny M odelo para la optimización del proceso de mantenimiento de infraestructura física en la Universidad de los Andes, agosto de 2006 [7] TASCÓN. Valencia Johnny Informe del Primer año de Funcionamiento del Servicio Web Para Reporte de Trabajos de M antenimiento de la Dirección de Planta Física, SIM ANTO [8] Universidad de los Andes. Programa de desarrollo integral. 2006-2010.

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