Análisis de las respuestas de elementos a flexión con grandes desplazamientos ante cargas seguidoras

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(1)UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID E.T.S. DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS. MÁSTER EN ESTRUCTURAS, CIMENTACIONES Y MATERIALES. ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS DE ELEMENTOS A FLEXIÓN CON GRANDES DESPLAZAMIENTOS ANTE CARGAS SEGUIDORAS. TRABAJO FIN DE MASTER. AUTOR: DANIEL RABASCALL VELASCO TUTOR: D. JUÁN CARLOS MOSQUERA FEIJOO. SEPTIEMBRE 2011.

(2) CONTENIDO PÁG. OBJETIVOS ....................................................................................................... 7 METODOLOGÍA ................................................................................................ 7. CAPITULO I: INTRODUCCIÓN ......................................................................... 8 1.1 RESEÑA HISTÓRICA ......................................................................................... 9 1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ............................................................... 11. CAPITULO II: MARCO TEÓRICO PRELIMINAR. ANTECEDENTES ............. 12 2.1 PROBLEMA DE EULER .................................................................................... 13 2.2 MÉNSULA SOMETIDA A GRANDES DESPLAZAMIENTOS ........................... 16 2.3 MÉTODO DE ANÁLISIS EN SAP2000 PARA CASOS DE SEGUNDO ORDEN NO LINEALES................................................................................................…19 2.4 FUERZAS SEGUIDORAS ................................................................................. 25 2.5 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE SHVARTSMAN ................................... 26 2.6 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE KWASNIEWSKI .................................. 28 2.7 MÉTODO DE CÁLCULO DE UNA MÉNSULA SOMETIDA A FUERZAS SEGUIDORAS ................................................................................................. 31. CAPITULO III: FORMULACIÓN ANÁLITICA DE LAS FUERZAS SEGUIDORAS .......................................................................... 35 3.1 CRITERIOS PARA LA FORMULACIÓN DE LA FUERZA SEGUIDORA .......... 36 3.2 FORMULACIÓN DE LA FUERZA SEGUIDORA ............................................... 37. CAPITULO IV: ANÁLISIS Y RESULTADOS ................................................... 43. CASO 1: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CONSTANTE .......... 44 CASO 2: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS DE CARGA ............................................................................................ 46 CASO 3: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS DE CARGA Y GRANDES DESPLAZAMIENTOS ................................. 48.

(3) CONTENIDO PÁG.. CASO 4: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y VERTICAL Y GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRÍTICA DE PANDEO ............................................................................................... 53 CASO 5: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y AXIAL CON GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRÍTICA DE PANDEO ...... 59 COMPARACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE ESTUDIO Y RESULTADOS CON EL ANÁLISIS DE SHVARTSMAN .......................................................................... 61 COMPARACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE ESTUDIO Y RESULTADOS CON EL ANÁLISIS DE KWASNIEWSKI ......................................................................... 63. ANEXOS .......................................................................................................... 64 CONCLUSIONES ............................................................................................ 71 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................... 73.

(4) LISTA DE FIGURAS PÁG. Figura 1: Representación de la flexión de una ménsula sometida a una fuerza .......... 13 Figura 2: Representación de la deformada y pandeo elástico simple a flexión............ 14 Figura 3: Representación gráfica de los ejes locales en una ménsula sometida a una fuerza axial ..................................................................................................... 17 Figura 4: Método de Newton Raphson ......................................................................... 21 Figura 5: Diagrama Tensión - Deformación.................................................................. 22 Figura 6: Comportamiento lineal y no lineal de un material.......................................... 23 Figura 7: Carga crítica vs Desplazamiento, estado de equilibrio de una ménsula ....... 24 Figura 8: Carga crítica vs Desplazamiento de un material lineal y no lineal ................ 25 Figura 9: Ménsula bajo dos fuerzas seguidoras ........................................................... 26 Figura 10: Configuraciones deformadas de una ménsula cargada por fuerzas normales seguidoras ...................................................................................... 26 Figura 11: Columna sujeta a la combinación de una fuerza muerta FD = (1- ) F y una fuerza seguidora de la fuerza FF =. F en la punta A ........................... 28. Figura 12: Deformación instantánea causada por aleteo o flameo de columna cargada por fuerza puramente seguidora ..................................................................... 29 Figura 13: Representación de la posición inicial de la ménsula ................................... 31 Figura 14: Representación de la ménsula en equilibrio para el paso n ........................ 32 Figura 15: Representación de la ménsula en estado de no equilibrio .......................... 32 Figura 16: Representación de la ménsula en equilibrio para el paso n + 1 .................. 33 Figura 17: Ménsula ....................................................................................................... 37 Figura 18: Radio de curvatura ...................................................................................... 38 Figura 19: Diagrama de cuerpo libre ............................................................................ 38 Figura 20: Sección infinitesimal de la ménsula............................................................. 40 Figura 21: Primer experimento de la ménsula sometida a una fuerza seguidora vertical Beléndez (11) ............................................................................................... 44 Figura 18: Modelo de la ménsula (Caso 1)................................................................... 45 Figura 19: Segundo experimento de la ménsula sometida a una fuerza vertical seguidora. Beléndez (11) ............................................................................. 46 Figura 20: Modelo de la ménsula (Caso 2)................................................................... 47 Figura 21: Modelo de la ménsula (Caso 3.1)................................................................ 48 Figura 22: Modelo de la ménsula (Caso 4)................................................................... 53 Figura 23: Modelo de la ménsula (Caso 5)................................................................... 59.

(5) LISTA DE TABLAS Tabla 1: Fuerzas, pendientes y coordenadas............................................................... 27 Tabla 2: Propiedades de la columna ............................................................................ 29 Tabla 3: Resultados obtenidos usandoel método de anális de valor propio ................ 30 Tabla 4: Propiedades de la ménsula (Caso 1) ............................................................. 44 Tabla 5: Desplazamientos (Caso 1) ............................................................................. 45 Tabla 6: Propiedades de la ménsula (Caso 2) ............................................................. 46 Tabla 7: Propiedades de la ménsula (Caso 3.1) .......................................................... 48 Tabla 8: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.1) ................... 49 Tabla 9: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.2) ................... 50 Tabla 10: Fuerza seguidora vs Pendiente .................................................................... 51 Tabla 11: Propiedades de la ménsula (Caso 4) ........................................................... 53 Tabla 12: Escalón de carga vs Fuerza vertical ............................................................. 54 Tabla 13: Escalón de carga vs Fuerza lateral .............................................................. 55 Tabla 14: Escalón de carga vs Desplazamiento en “x” ................................................ 56 Tabla 15: Escalón de carga vs Desplazamiento en “z” ................................................ 57 Tabla 16: Fuerza vertical vs Desplazamiento en “x”..................................................... 58 Tabla 17: Propiedades de la ménsula (Caso 5) ........................................................... 59 Tabla 18: Desplazamiento en “z” vs Desplazamiento en “x” ........................................ 60. LISTA DE GRÁFICAS Gráfica 1: Desplazamiento de la ménsula (Caso 1) ..................................................... 45 Gráfica 2: Desplazamiento de la ménsula (Caso 2) ..................................................... 47 Gráfica 3: Desplazamiento de la ménsula (Caso 3.1) .................................................. 49 Gráfica 4: Desplazamiento de la ménsula (Caso 3.2) .................................................. 50 Gráfica 5: Pendiente vs Fuerza Seguidora ................................................................... 51 Gráfica 6: Fuerza vertical vs Escalón de carga ............................................................ 54 Gráfica 7: Fuerza lateral vs Escalón de carga .............................................................. 55 Gráfica 8: Desplazamiento en “x” vs Escalón de carga ................................................ 56 Gráfica 9: Desplazamiento en “z” vs Escalón de carga ................................................ 57 Gráfica 10: Desplazamiento en “x” vs Fuerza vertical .................................................. 58 Gráfica 11: Desplazamiento en “z” vs Desplazamiento en “x” Fuerza seguidora ......... 60 Gráfica 12: Desplazamiento en “z” vs Desplazamiento en “x” Fuerza no seguidora y fuerza seguidora ........................................................................................... 61.

(6) SIMBOLOGÍA. ρ = Radio de curvatura. = Esbeltez de la pieza. = Longitud de pandeo. Ángulo constante al cual se aplica la fuerza. Desplazamiento horizontal. Desplazamiento vertical. A = Área transversal b = Ancho de la ménsula. e. Espesor de la ménsula. E = Módulo de elasticidad del material. F = Fuerza. Fx = Fuerza nodal en el eje x. Fy = Fuerza nodal en el eje y. = Fuerza en el escalón de carga.. I = Momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro. Curvatura de la ménsula.. L = longitud de la ménsula. m = Masa. M = Momento flector. Momento de reacción. = Fuerza normal en el punto de aplicación de la carga en el escalón de carga. Fuerza de reacción que actúa sobre el extremo fijo de la ménsula en dirección x. Fuerza de reacción que actúa sobre el extremo fijo de la ménsula en dirección y. = Escalón de carga en el paso n..

(7) = Escalón de carga final = Deformada de la ménsula en. ..

(8) OBJETIVOS . Estudiar el comportamiento de elementos a flexión sometidos a fuerzas seguidoras cuando experimentan grandes desplazamientos.. . Plantear un método simplificado de modelización de la respuesta de elementos a flexión ante fuerzas seguidoras.. . Automatizar el cálculo de fuerzas seguidoras en un programa comercial de elementos finitos.. METODOLOGÍA. PRIMERA FASE: . Se aborda un estudio teórico mediante técnicas analíticas y numéricas para modelizar el comportamiento en grandes desplazamientos de elementos sometidos a flexión. Se compararán diferentes formulaciones.. . Se realiza un estudio de estabilidad para las diferentes formulaciones.. . Se modeliza el fenómeno de las fuerzas seguidoras. Se compararán las respuestas para diferentes formulaciones.. SEGUNDA FASE: . Se analiza diversos modelos de elementos ménsula.. . Se extraen conclusiones sobre la formulación de fuerzas seguidoras, con objetivo de buscar una implementación simple mediante la técnica de elementos finitos.. . Se utiliza el programa SAP2000 como software de modelización de elementos finitos así como técnicas numéricas de optimización.. 7.

(9) CAPITULO I INTRODUCCIÓN.

(10) 1.1. RESEÑA HISTÓRICA. La historia de los sistemas de carga con fuerzas seguidoras se inició en 1928 con las obras de Nikolai (1) en la estabilidad de una ménsula sometida a compresión y torsión. El problema estándar, de una columna con una fuerza puramente seguidora, fue tratado analíticamente por primera vez por von Beck (2) en 1952. El problema de la inestabilidad de las estructuras sometidas a fuerzas puramente no conservadoras, aunque no muy común en la práctica de la ingeniería, ha estado continuamente presente en publicaciones desde los años sesenta. La primera monografía sobre el tema fue publicada por Bolotin (3) en 1963, tratando la estabilidad de cuerpos elásticos sometidos a fuerzas seguidoras, fuerzas que durante el proceso de pérdida de estabilidad siguen una ley particular distinta al de las fuerzas debidas al peso. El problema se estudia para una pieza sometida a una fuerza de compresión, manteniendo una dirección tangencial a la deformada de la pieza. En ese mismo año Timoshenko y Gere (4) estudian el comportamiento de una fuerza no conservadora sobre una columna, donde se asume que la columna está sometida a compresión por una fuerza que genera un pandeo en la dirección tangente a la curva de deflexión en la punta de la columna. Las investigaciones precedentes (1) (2) (3) (4), coinciden en que una fuerza seguidora es aquella que mantiene la dirección siempre tangencial a la curva de deflexión en la parte superior de la columna, no obstante al pasar los años se amplía dicha hipótesis asumiendo que la fuerza puede ser también normal a la curva de deflexión en la parte superior de la columna. Lo cierto es que la fuerza seguidora ocurre en ocasiones especiales, siendo tan particulares, el tratamiento de este fenómeno ha sido muy criticado hasta la actualidad considerándolos puramente académicos y artificiales, no solamente por la poca relevancia de los resultados que se obtienen sino por la necesidad de llevar los ordenadores a los laboratorios, prefiriendo los científicos utilizar los teclados antes que los experimentos. Si bien esta situación particular se ha mantenido durante estas últimas décadas, el problema de la columna de Beck (2) es conocido como un análisis clásico tratado por numerosos investigadores (8) (9) (13) (21), quizás el primer experimento fué la observación del aleteo o flameo, introduciéndole a la columna un cohete sólido con un motor de combustible en su extremo libre. Este experimento permitió demostrar que el método de Euler, es aplicable si las fuerzas son conservadoras, de lo contrario no es aplicable. Sugiyama (8) en 1987 le dio un enfoque mecánico al estudio de la fuerza seguidora al demostrar que una fuerza reut cuasi pura, se lleva acabo por un chorro de aire que incide sobre el modelo y causa inestabilidad por 9.

(11) aleteo o flameo. El estudio concluye que los problemas no conservadores de estabilidad elástica de ninguna manera son artificiales, sino más bien realistas y que el buen desarrollo de la teoría de la estabilidad no conservadora no está asegurada si un investigador procede a su estudio sin combinar la teoría con la parte experimental.. 10.

(12) 1.2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Se parte del ejemplo de una ménsula sometida a una fuerza seguidora en su extremo libre, con la intención de encontrar una ecuación que describa la flecha en el extremo libre. Cuando los desplazamientos son grandes, el ángulo que describe la directriz de la ménsula es grande, por lo que no es posible seguir las mismas hipótesis que describen los libros de resistencia de materiales, siendo ahora el problema más difícil debido a la presencia de un término no lineal en la ecuación de la flecha. El objetivo del presente trabajo se centra en el estudio de grandes desplazamientos en elementos a flexión bajo fuerzas seguidoras, limitado al caso de una ménsula y considerando la no linealidad geométrica. Se orienta hacia una visión más profunda y no tan desarrollada sobre el comportamiento estructural de la ménsula cuando es sometida a una fuerza posterior a la crítica y a estudiar el análisis de las respuestas debido a las fuerzas seguidoras y a los desplazamientos mediante el método de elementos finitos. Se formula una solución analítica exacta, partiendo del método numérico de Euler. Se desarrollan cinco casos de fuerzas seguidoras con distintas hipótesis, debido a que esta investigación se centra en fuerzas que se aplican en sucesivos escalones de carga lo que produce un análisis estático, el análisis dinámico de la ménsula no será considerado. El aporte de este trabajo con respecto a los realizados por las referencias mencionadas anteriormente, es que se comparan distintos casos de fuerzas seguidoras con un ángulo constante de 90º, sometidos a grandes desplazamientos y se comprueban que los ejemplos experimentales pueden ser desarrollados mediante programas de elementos finitos. Se utiliza el programa SAP2000, el cual se basa en el análisis estructural mediante el método de elementos finitos, con técnicas analíticas avanzadas que permiten el análisis paso a paso de pequeños y grandes desplazamientos considerando la no linealidad geométrica de cualquier elemento o estructura.. 11.

(13) CAPITULO II: MARCO TEÓRICO PRELIMINAR. ANTECEDENTES.

(14) 2.1. PROBLEMA DE EULER. Estudio de la flexión de una ménsula Se considera una pieza prismática delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada en un extremo y sometida a una fuerza vertical F en el extremo libre con la intención de determinar la forma de la pieza prismática y las coordenadas xf, yf del extremo libre para grandes flexiones. Hipótesis La pieza prismática tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, la deformación debida a su propio peso es despreciable y se desprecian las deformaciones por cortante, por lo tanto cuando el espesor de la pieza prismática es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco. En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler - Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la pieza prismática deformada.. El radio de curvatura. Ѳ. Ѳ. Figura 1: Representación de la flexión de una ménsula sometida a una fuerza. 13.

(15) El momento flector M en el punto P (x, y) es M =F(. -x). Ѳ Pandeo elástico La teoría de deformación de la ménsula, desarrollada por Leonhard Euler (21) en 1744, para el pandeo elástico se basa en los supuestos de que un elemento inicialmente recto está cargado concéntricamente, y las fibras permanecen en régimen elástico hasta que ocurre la deformación. Cuando la ménsula se deforma, se debe asumir una forma de pandeo simple. El pandeo es un fenómeno de inestabilidad que puede darse en elementos comprimidos esbeltos, y se manifiesta por la aparición de importantes desplazamientos transversales en la dirección principal de compresión. Cuando la carga de compresión aumenta progresivamente llega a un valor en el cual el elemento esbelto, en lugar de limitarse a acortar su altura, curva su eje; una vez que esto ocurre aunque no se incremente el valor de la carga el elemento continúa curvándose hasta el colapso definitivo. El valor de la carga para el cual el elemento puede pandear puede ser sensiblemente inferior a la carga que resiste el material. Ninguna pieza sometida a compresión está exenta de sufrir el pandeo. Se trata de una flexión lateral que está en relación con la esbeltez.. Figura 2: Representación de la deformada y pandeo elástico simple a flexión La carga crítica se puede calcular igualando el momento exterior ocasionado por la fuerza F, con el momento resistente interior que aparece en esa misma sección, de manera que la ménsula pandea manteniéndose en uno de sus planos de simetría, si la existencia de restricciones exteriores o bien si las secciones transversales son de plano medio.. 14.

(16) El siguiente ejemplo evidencia lo enunciado anteriormente: Si la ménsula flecta alrededor de su eje x se tiene que y si se supone que los desplazamientos de su eje son suficientemente pequeños para que la curvatura. pueda considerarse igual a. , se tiene: 0. 1. Donde es la fuerza, es el módulo de elasticidad, de inercia alrededor del eje X y es la flecha máxima.. es el momento. 1 Representa la ecuación de equilibrio de la ménsula ligeramente deformada; su solución proporciona la carga que puede mantenerla en equilibrio en estas condiciones, es decir, la carga crítica de pandeo elástico o carga crítica de Euler.. Pandeo inelástico. La obtención de la fórmula de Euler (19), que permite calcular la carga crítica de piezas rectas comprimidas axialmente, está basada en la suposición fundamental de que la pieza se comporta elásticamente hasta el inicio del pandeo, por lo tanto las ecuaciones no son aplicables a piezas cortas o de longitud intermedia. , es válida únicamente para el intervalo de valores. La fórmula. de la relación de esbeltez a los que corresponden esfuerzos críticos no mayores que el límite de proporcionalidad, de manera que es aplicable hasta que:. Donde proporcionalidad.. es. el. esfuerzo. correspondiente. al. límite. de. 15.

(17) 2.2 MÉNSULA SOMETIDA A GRANDES DESPLAZAMIENTOS Análisis teórico La deflexión de una ménsula bajo carga es conocida por la relación entre la curvatura en cualquier punto de la ménsula y el momento aplicado en ese momento (apartado 2.1). La relación es: 1. Donde. es la curvatura de la ménsula y. el ángulo. Si se define la. ecuación anterior con coordenadas cartesianas, se obtiene;. Donde la curvatura de la deflexión es;. /. 1. En este caso, la relación entre la curvatura , el momento M y las coordenadas cartesianas se definen por la ecuación diferencial:. /. 2. 1. La ecuación 2 amerita una solución algorítmica eficiente para resolver las integrales elípticas, una solución exacta es la del método de Newton Raphson (15), muy usada en modelos de elementos finitos.. 16.

(18) Modelo de elementos finitos La ménsula curvada, se analiza ahora partir de un modelo utilizando el método de elementos finitos como una ménsula recta. La ménsula tiene 2 nodos con tres grados de libertad en cada nodo. Estos se denotan como el desplazamiento de flexión v1,v2 , desplazamiento axial u1,u2 y giros v’1,v’2 , donde la prima (‘) denota diferenciación con respecto a la coordenada x. Para una ménsula Euler la ecuación de la energía elástica potencial Ue viene expresada como: 1 2. 1 2. La ecuación anterior se escribe en forma matricial de la siguiente manera: 1 2 La ménsula curvada obtenida de la teoría de grandes desplazamientos tiene la tensión inicial debido a la carga vertical. 1 2 Donde F es una fuerza axial en la dirección local ,. Figura 3: Representación gráfica de los ejes locales en una ménsula sometida a una fuerza axial. 17.

(19) La fuerza axial F para cada matriz inicial de esfuerzo se obtiene a partir de la siguiente ecuación (figura 3).. Donde Fx y Fy son las fuerzas nodales y se pueden obtener de las fuerzas estáticas. Si la ecuación anterior está escrita en la matriz de la forma: 1 2 Mediante un análisis de elementos finitos, se obtienen la matriz de rigidez elástica ke, la masa de la matriz inicial me y la matriz de esfuerzo . Si estas matrices son transformadas en términos de coordenadas de referencia, se obtiene: T. T. La ecuación de Lagrange (10) que describe el movimiento de la estructura, se puede expresar matricialmente en la forma; 0 Para resolver esta ecuación numéricamente, es necesaria la automatización, usando un código de programación que permita un método iterativo a partir de una estimación inicial de la longitud. Usualmente el error en el cálculo iterativo está en el orden de 10‐3.. 18.

(20) 2.3. MÉTODO DE ANÁLISIS EN SAP2000 PARA CASOS DE SEGUNDO ORDEN NO LINEALES. El cálculo se lleva a cabo asumiendo que la carga se aplica sobre el elemento como suma de un conjunto de incrementos para cada uno de los cuales se obtiene una configuración de equilibrio. Esta representa un estado del elemento, en el que los resultados son compatibles, se encuentran en equilibrio y satisfacen las ecuaciones constitutivas o de comportamiento del material del elemento en estudio. El programa SAP2000 analiza la estructura para el caso de carga impuesta utilizando el método de Newton – Raphson (15), una vez conocido el valor del esfuerzo axial, se puede conocer la rigidez de segundo orden de cada pieza prismática k" y de la estructura K" . " Esto indica que la matriz K”, es una función de las cargas, se asume que el esfuerzo axial es conocido, por ejemplo nulo, a partir del cual la matriz K” es constante e independiente de las cargas. Con estas premisas se aplican los métodos lineales y se obtienen los desplazamientos nodales U y todos los esfuerzos internos. De esta manera el programa sigue los siguientes pasos: 1. Se adopta un valor del esfuerzo axial nulo. 2. Se determinan los coeficientes de estabilidad para cada pieza prismática Ai, Bi, .. 3. Se plantea las ecuaciones de equilibrio. ". 4. Se resuelve el sistema de ecuaciones, determinando el valor de ” 5. Se calculan todos los esfuerzos, incluyendo el valor de los esfuerzos axiales N. 6. Si la diferencia entre los desplazamientos U de dos iteraciones sucesivas es menor que un determinado valor, el proceso se detiene, en caso contrario se continúa en el paso siguiente. 7. Se adopta el valor del esfuerzo axial, determinado en el paso 5. 8. Se vuelve al paso 2, con un valor de Fi mejorado.. 19.

(21) El diagrama de flujo correspondiente es:. Fi. 0. Ai,Bi….. F. K”U. U. K”‐1F. Un – U n‐1. Nn. error. STOP. 0. Fi n 1. Nn. El hecho de comparar los desplazamientos y no los esfuerzos axiales se debe a que las incógnitas del problema son los desplazamientos, a través de los cuales se determinan los demás esfuerzos. En forma gráfica se interpreta este proceso de la siguiente manera: 1. La función U es desconocida y se desea encontrar el punto de correspondencia entre la carga F y U. 2. Resolver un primer valor ds U1. A través de un procedimiento lineal donde asumimos para Fi valores nulos. 3. Con estos desplazamientos se determinan los correspondientes esfuerzos axiales N y a partir de los mismos los coeficientes de estabilidad y la matriz K”. 4. Se obtiene el producto matricial la función desconocida.. ". y se determina un punto de. 5. Una vez determinado el punto anterior, se sigue según el procedimiento elegido. 20.

(22) A partir del desplazamiento hallado el método de Newton – Raphson (15), utiliza la tangente para encontrar un incremento de desplazamiento modificando las rigideces originales y determinando un nuevo valor mejorado y así sucesivamente hasta que la diferencia entre dos procesos iterativos sea menor que un determinado error.. Figura 4: Método de Newton - Raphson Estabilidad del equilibrio – pandeo En nuestro caso la estructura tiene la particularidad de tener un sistema de ecuaciones de equilibrio del tipo: ". 0. Esta ecuación lineal se denomina homogénea y la estructura que posee este sistema cumple los siguientes requisitos: 1. La pieza prismática es indeformable axialmente 2. La estructura es del tipo de nodos desplazables. Las cargas deben ser fuerzas actuando en los nodos de manera de equilibrarse pieza prismática a pieza prismática. Material No lineal Analizaremos el caso en que el material deja de ser lineal y tenemos uno de tipo no lineal, cuya relación σ ‐ ε es del tipo:. 21.

(23) Figura 5: Diagrama Tensión - Deformación En estas estructuras donde se cumple " 0, las piezas prismáticas solo están sometidas a esfuerzos axiales de valor constante en toda su extensión. El valor de estos esfuerzos determinará si las piezas prismáticas se encuentran en la zona elástica o anelástica del material. Por otra parte la ecuación diferencial de la elástica " , a partir de la cual se determinaron los coeficientes de estabilidad, establece una relación entre los esfuerzos y los desplazamientos a través de propiedades mecánicas EI, y estas deben representar la situación en que se encuentra la barra. Se debe utilizar el valor del modulo de elasticidad tangente ET que le corresponde a su nivel de tensión σ a que está sometida. Para tener en cuenta esto último se utiliza ET cuando se determinan los coeficientes de estabilidad. En la determinación de Fcr, se debe incluir un nuevo paso a los ya enumerado anteriormente. 1. Adoptar un valor para las cargas. 2. Determinar el valor de los esfuerzos axiales. 3. Determinar el valor de σ 4. Determinar el valor del ET en función de σ. 5. Determinar los coeficientes de estabilidad. 6. Plantear la matriz K”. 7. Evaluar el valor DK”. 8. Si el mismo es nulo la carga que lo produjo es Fcr. 9. Si no se cumple (7), incrementar las cargas en forma proporcional. 10. Volver a (2). 22.

(24) De esta manera y para el caso en particular que se estudia 0 . Hay que tener en cuenta el comportamiento anelástico del material en el análisis de la estabilidad. Este comportamiento provoca una disminución general de la capacidad de la estructura para soportar cargas y por lo tanto una descenso de la carga crítica de Pandeo.. Figura 6: Comportamiento lineal y no lineal de un material En los sistemas no lineales la recta donde se interceptan las soluciones se transforma en curva y las rigideces kij, que dependen de las cargas F, cambian y se trasladan modificando sus pendientes. Si la estructura y las cargas tienen la posibilidad de alcanzar el estado equilibrio indiferente, las dos rectas deben coincidir y el sistema se hace indeterminado. En el siguiente gráfico se sintetizan los distintos comportamientos.. Figura 7: Carga crítica vs Desplazamiento, estado de equilibrio de una ménsula 23.

(25) La indeterminación se manifiesta en la tendencia hacia la asíntota " 0 . Esta asíntota corresponde a la calculada con los esfuerzos axiales finales, lo cual se debe a que en estas estructuras los esfuerzos axiales no crecen en forma uniforme. En general los Software para resolver estos problemas, adoptan los esfuerzos axiales iniciales que corresponden con la solución lineal, esta aproximación es perfectamente aceptable. En estructuras donde aparecen todas las solicitaciones internas el campo anelástico se manifiesta originándose articulaciones plásticas, provocando una disminución de la rigidez general de la estructura lo que disminuye la capacidad resistente de la estructura y consecuentemente ocasiona un descenso de la carga crítica de pandeo. En el siguiente gráfico se indican todos los comportamientos. Figura 8: Carga crítica vs Desplazamiento de un material lineal y no lineal El cálculo es válido para pequeñas deformaciones, por lo tanto se procede a un cálculo incremental. Es necesario comprobar que el estado deformado esté en equilibrio y limitar el error admisible de iteración. Se disminuye mucho el número de iteraciones necesarias y el cálculo es compatible con grandes movimientos. Una vez estudiado el método de análisis del SAP2000 y realizadas numerosas pruebas, se determina que:  Al ejecutar el análisis no lineal el programa determina la rigidez de la estructura al final de cada caso no lineal y a continuación el programa ejecuta el análisis de pandeo.  En los análisis no lineales P-Delta con grandes desplazamientos, cuando el elemento llega a su capacidad de deformación lo que sucede por lo general es que la solución se encuentra con problemas de convergencia. 24.

(26)  Para los casos lineales en los que se aplica una carga axial puntual o una carga axial puntual y una carga lateral, el análisis lineal de pandeo que se produce es prácticamente el mismo, esto se debe a que la carga lateral en este caso particular no afecta la rigidez geométrica de la estructura, sin embargo, si se ejecuta el análisis no lineal P-Delta con grandes desplazamientos, la relación es lineal al principio, pero la estructura se ablandará en cierto nivel de carga aplicada, considerando el giro de los miembros.  En el modelo se suponen nulas las deformaciones axiales. 2.4. FUERZAS SEGUIDORAS. Esta fuerza puede ser puntual, distribuida o lateral, de la misma manera la combinación de estas fuerzas es también válida. Esta fuerza puede ser aplicada a cualquier tipo de elemento con cualquier condición de contorno. Estudios realizados de fuerzas seguidoras Existen numerosas investigaciones sobre la deformación de una ménsula sometida a una fuerza seguidora. Argyris y Symeonidis (5) realizan un análisis estático no lineal de ménsulas sometidas a fuerzas seguidoras mediante el método de elementos finitos, donde determinan las fuerzas críticas de aleteo o flameo. Saje y Srpcic (6) estudian diferentes métodos para conseguir soluciones a la flexión de grandes ménsulas sometidas tanto a fuerzas seguidoras distribuidas como concentradas en el extremo libre (normal o tangencial al eje deformación), obteniendo un sistema de ecuaciones trascendentes que se pueden resolver sin iteración. Rao (9) estudia grandes desplazamientos en una ménsula uniforme y no uniforme con fuerzas seguidoras en el extremo libre, mediante el método de disparo; en particular, cuando la fuerza mantiene un ángulo constante con el eje de la ménsula. Vitaliani (11) estudia grandes desplazamientos y la estabilidad de ménsulas sometidas a una fuerza seguidora transversal utilizando el método de elementos finitos. Detinko (13) presenta una solución analítica al problema de gran deflexión de arcos circulares de sección uniforme, sometidos a fuerzas seguidoras terminales. Beléndez (14) realiza un análisis experimental y numérico de pequeños y grandes desplazamientos en una ménsula. En la mayoría de estas publicaciones se muestran formulaciones analíticas y los resultados obtenidos, pero no incorporan mayor detalle de programación, propiedades del material, limitaciones del problema, etc. Entre las publicaciones más destacadas en los últimos cinco años y que son objeto de comparación en el presente trabajo se encuentran la de Shvartsman (19)(20) y la de Kwasniewski (21).. 25.

(27) 2.5. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE SHVARTSMAN. Shvartsman (20) analiza una ménsula rectilínea no uniforme, sometida a dos fuerzas concentradas y tangenciales, bajo un análisis estático no lineal usando el método de elementos finitos. La ménsula tiene longitud L y rigidez a flexión EI s , la fuerza F1 se aplica al extremo libre de la ménsula, mientras que F2 se aplica a una distancia “L” del extremo libre. Los ángulos de inclinación de las fuerzas con respecto al eje deformado de la ménsula se mantienen constantes. Los ángulos α1 α2 π/2 corresponden a fuerzas seguidoras que actúan en dirección perpendicular al eje de la deformada de la ménsula y los ángulos α1 α2 0 corresponden a fuerzas seguidoras tangenciales.. Figura 9: Ménsula bajo dos fuerzas seguidoras.. Figura 10: Configuraciones de deformadas de una ménsula cargada por fuerzas normales seguidoras. ,. 2. ,. 0,5, 26.

(28) F. Φ (0). x(0)/L. y(0)/L. 1. 35.43. 0.8935. 0.4124. 3. 98.37. 0.3240. 0.8148. 5. 144.84. −0.1177. 0.7208. 10. 204.58. −0.2922. 0.3194. 12. 216.09. −0.2506. 0.2477. 15. 227.60. −0.1810. 0.1896. 20. 240.11. −0.0863. 0.1506. 25. 249.45. −0.0223. 0.1466. Tabla 1: Fuerzas, pendientes y coordenadas ,. ,. 0,5,. ). Conclusiones La solución del problema propuesto por Shvartsman para las ecuaciones de equilibrio en función a las condiciones de contorno, son únicas para una función continua EI s y para cualquier valor fijo de F1, F2, α1, α2 y . Si 0), el problema tiene una las fuerzas seguidoras son tangenciales ( solución única , lo que significa que la configuración recta es sólo una configuración de equilibrio de la ménsula. Por lo tanto, la ménsula no considera la carga crítica de Euler (divergencia). De ello se deduce que la ménsula no uniforme en cuestión pueden presentar sólo la inestabilidad dinámica por aleteo o flameo. Estas conclusiones generalizan los mismos resultados para ménsulas no uniformes en el marco de una fuerza seguidora concentrada en la punta. Así, en contraste con los sistemas conservadores, los sistemas estudiados no conservadores siempre tienen una solución única (configuración de equilibrio) que se pueden calcular por un método directo. Se ha estudiado el comportamiento de una ménsula sometida a una fuerza seguidora intermedia actuando en la dirección normal al eje deformado de la ménsula ( ), las ecuaciones de equilibrio se integran numéricamente por el método de cuarto orden de Runge - Kutta con un tamaño de paso fijo igual a 0,05L y las integrales se evalúan numéricamente utilizando la regla de Simpson. Los valores de las coordenadas x 0 e y 0 y la pendiente (en grados) en la punta de la ménsula se enumeran en la Tabla 1 para varios valores del parámetro de carga adimensional . Los resultados se comparan para dos modelos desarrollados y se observó que la discrepancia entre estas soluciones se encuentra dentro del 0,1%. En la figura 10 se muestran algunas deformadas típicas de la ménsula. La trayectoria de la punta de la ménsula para el parámetro de carga varía entre 0 y 25, se muestra por una línea discontinua. Estos resultados están en concordancia con las soluciones elípticas. Cabe señalar que las soluciones analíticas necesitan dos ecuaciones no lineales que hay que resolver.. 27.

(29) 2.6. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE KWASNIEWSKI. Kwasniewski (21) estudia la columna de Beck, enfocándose en la verificación y aplicación del análisis dinámico transitorio de elementos finitos basado en la integración de tiempo explícito. La columna tiene una masa (m) y rigidez a flexión EI, donde E es el módulo de elasticidad e I es el momento de inercia. El amortiguamiento interno no se considera y el amortiguamiento externo se considera proporcional a la velocidad (es decir, amortiguamiento viscoso).. Figura 11: Columna sujeta a la combinación de una fuerza muerta FD 1‐ F y una fuerza seguidora de la fuerza FF γ Fγ en la punta A. La carga total F aplicada en la punta A está compuesta de dos fuerzas, una fuerza muerta constante 1 ′ y una fuerza seguidora ′ , definiendo el nivel de carga cuando la columna recta es igual a la fuerza resultante F . El coeficiente “ ” identifica la disposición de la carga para 0, la carga es puramente conservadora, y para 1 es perfectamente seguidora (tangencial). La representación más común de carga, como una sola fuerza Fη actuando en un ángulo de ηα, donde α es la rotación del extremo de la extremidad, es válida sólo para pequeñas rotaciones y no es físicamente significativo para grandes rotaciones. Modelo de elementos finitos Todas las simulaciones se realizan por ordenador, usando el programa LS-DYNA y se conservan las propiedades de la columna de Beck.. 28.

(30) Propiedades. Cantidad. Área transversal, A. 1.2*10−4 m2. Momento de inercia, I. 10−9 m4. Módulo de elasticidad, E. 10 GPa. Rigidez, EI. 10 N m2. Densidad, ρ*. 103 kg m−3. Masa por unidad de logitud, m. 0.12 kg m−1. Largo de la columna, L. 1m. Carga crítica de Euler FE π2EI/ 2L. 2. 24.67 N. Primera frecuencia natural 1.875 2 Carga crítica de Beck. FB 20.05EI/L2. 5.1078 s−1 200.50 N. Tabla 2: Propiedades de la columna. Figura 12: Deformación instantánea causada por aleteo o flameo de la columna cargada por la fuerza puramente seguidora. 29.

(31) Entrada. Resultados Primera frecuencia natural. Factor de amortiguación ζ DG/DGcr. Promedio de decremento logarítmico. Frecuencia dominante. 0.00 0.01. 0.00 3.12*10−4. 0.00063 0.00162. 5.005 5.005. 51.078 51.078. 0.10 1.00 64.186. 1.56*10−3 0.0156 0.10. 0.01066 0.10053 0.64546. 5.005 5.005 4.943. 51.078 51.072 50.821. DG s 1. s. 1. s. 1. Tabla 3: Resultados obtenidos usando el método de análisis de valor propio Conclusiones Las pruebas virtuales del comportamiento estructural de la columna de Beck, en las cuales se aplican fuerzas conservadoras y no conservadoras, se comparan con los resultados disponibles de soluciones analíticas y semi analíticas. Sin embargo, existen algunas limitaciones para los cálculos de elementos finitos. Se determina que la respuesta de los modelos aplicados de elementos finitos depende del número y tipo de elementos. Los modelos con un gran número de pequeños elementos deriva de error para los casos de carga constante. El régimen de tiempo de integración explícita requiere pasos de tiempo muy pequeño y está dedicado a los problemas transitorios que ocurren dentro de los intervalos de tiempo relativamente cortos. Se encontró que para la mayoría de los escenarios los resultados estables se proporcionan para los 70 s. La mayoría de las pruebas numéricas se programaron durante 20 s. Los modelos de elementos finitos también están limitados en cuanto a la deformación, tipos de cepa y niveles de carga. Cuando la columna alcanza la carga crítica de pandeo, el desplazamiento horizontal empieza a crecer, lo que también está indicado en la evolución temporal de la reacción. Aunque la simulación capta el pandeo, es difícil determinar con precisión el momento en que la deformación ocurre, y a su vez el valor real de la carga crítica. Un aleteo o flameo intenso causa grandes deformaciones y por consiguiente la inestabilidad, no obstante cuando ocurren grandes deformaciones, la terminación del análisis es prematuro, por lo que es imposible rastrear el comportamiento de la columna a elevados niveles de carga. Por otro lado, hay muchas ventajas de la técnica de solución presentada. Este enfoque no se limita sólo a la investigación de las oscilaciones de estado de equilibrio en torno a la configuración recta. Los resultados presentados dependen de la variación de la carga en el tiempo y en la instancia de tiempo en el que se rompe la simetría del modelo por parte de la carga de impulso. De esta manera, la estabilidad de una columna bajo cargas específicas puede ser investigada y el comportamiento estructural global puede ser rastreado para aumentar gradualmente la carga.. 30.

(32) 2.7 MÉTODO DE CÁLCULO DE UNA MÉNSULA SOMETIDA A FUERZAS SEGUIDORAS La metodología a utilizar para el cálculo de la fuerza seguidora requiere de algunas adaptaciones al método de análisis desarrollado en el apartado 2.3, para obtener los valores esperados. El cálculo se lleva a cabo suponiendo que la carga se aplica sobre el elemento como suma de un conjunto de incrementos para cada uno de los cuales se obtiene una configuración de equilibrio. Esta representa un estado del elemento, en el que los resultados son compatibles, se encuentran en equilibrio y satisfacen las ecuaciones constitutivas o de comportamiento del material del elemento en estudio. Este análisis se hace en múltiples pasos, y se parte de una carga estática, sobre la posición inicial (configuración recta); se realiza el cálculo considerando el análisis estático no lineal para grandes desplazamientos en “x” e “y” y de esta manera poder obtener la rigidez de segundo orden de la estructura K" y al mismo tiempo una nueva configuración de equilibrio. " Esto indica que la matriz K”, es una función de las cargas, y que supone que el desplazamiento es conocido, por lo tanto el estado de segundo orden será el inicial del siguiente estado a analizar. Con estas premisas se aplican los siguientes análisis estáticos, para obtener los desplazamientos nodales U y todos los esfuerzos internos en los múltiples pasos. De forma general, a continuación se describen los pasos para el caso de una fuerza seguidora puntual y constante en el extremo: 1.- Datos de entrada: Configuración inicial de la ménsula.. Figura 13: Representación de la posición inicial de la ménsula 31.

(33) 2.- Aplicada la fuerza, se obtiene una deformada y al mismo tiempo un nuevo estado de equilibrio.. Figura 14: Representación de la ménsula en equilibrio para el paso n. 3.- Actualización de la fuerza seguidora: Solicitación constante en el intervalo tn a tn 1, para el cual las fuerzas impuestas en el paso anterior dejan de ser las fuerzas de equilibrio.. Figura 15: Representación de la ménsula en estado de no equilibrio. 32.

(34) 4.- Obtención de la configuración de equilibrio: En tn nuevas fuerzas que van a equilibrar la ménsula.. 1. se aplican las. Figura 16: Representación de la ménsula en equilibrio para el paso n 1. Este procedimiento se debe seguir hasta que. 1. Donde; = Escalón de carga en el paso n. = Escalón de carga final = Fuerza en el escalón de carga. = Fuerza normal en el paso n. = Deformada de la ménsula en .. 33.

(35) El diagrama de flujo correspondiente sería: Datos de entrada Configuración inicial de la ménsula. Solución Análisis estático (Grandes desplazamientos). Pre proceso Modelo con actualización geométrica (Actualización del modelo de la ménsula pre esforzada). Solución Análisis modal. Actualización de la fuerza seguidora La fuerza se desplaza respecto al estado de equilibrio anterior de la ménsula y se hace necesario ajustar la nueva dirección de la fuerza, que va a ser normal a la punta en el extremo libre.. Resultado Se obtiene la posición final de equilibrio para las condiciones de contorno y fuerzas impuestas.. No. tn. 1. tf. Si STOP. 34.

(36) CAPITULO III: FORMULACIÓN ANALÍTICA DE LAS FUERZAS SEGUIDORAS.

(37) 3.1. CRITERIOS PARA LA FORMULACIÓN DE LA FUERZA SEGUIDORA.  Se considera que los parámetros que permiten definir las ecuaciones de equilibrio de un elemento sometido a flexión son; el momento flector (M), la fuerza aplicada (F), la curvatura (k), el módulo de elasticidad (E), el momento de inercia (I) y la geometría de la ménsula.  La configuración deformada que se obtiene al acabar cada aumento especificado de la carga, es la geometría de referencia para el siguiente paso. La teoría elástica de segundo orden consiste en resolver una sucesión de análisis de primer orden, de una estructura cuya geometría cambia en cada paso con respecto a los anteriores. Estos cálculos pronto se hacen inabordables a mano y se necesitan programas informáticos.  Es necesario conocer la relación momento - curvatura de las secciones, con el objeto de determinar la capacidad de ductilidad y la máxima capacidad a flexión del elemento para poder comparar estas cantidades con las demandas que se tienen en el diseño.  El análisis de grandes desplazamientos es un caso de no linealidad geométrica.  Se utiliza el SAP2000 para el análisis aprovechando el cálculo avanzado de integración diferencial de la pendiente y curvatura de la ménsula. 3.2. FORMULACIÓN DE LA FUERZA SEGUIDORA. Se considera el caso de una ménsula delgada de sección transversal rectangular hecha de un material elástico lineal. La Figura 17 muestra una ménsula de longitud L con una fuerza F aplicada concentrada en el extremo libre. En esta figura, y son los desplazamientos horizontales y verticales en el extremo libre, respectivamente, y 0 representa la pendiente máxima de la ménsula. El ángulo constante a la cual se aplica la fuerza está representado por α. Hipótesis Para este estudio, se asume que las tensiones axiales son insignificantes, ya que cualquier cambio en la longitud se supone que es una pequeña fracción de la longitud original. También se considera que la sección transversal de la ménsula se mantiene constante a lo largo de la ménsula, lo que significa que el efecto del coeficiente de Poisson, se puede despreciar. A continuación, se asume que el teorema de Euler – Bernoulli es válido y por lo tanto la curvatura de la ménsula es proporcional al momento flector. Por último, se considera que la flecha por el peso de la ménsula es despreciable.. 36.

(38) Figura 17: Ménsula El análisis se inicia con un diagrama de cuerpo libre (figura 19), en la cual se describen las fuerzas que actúan sobre la ménsula deformada en el extremo fijo de la ménsula, llamada s, Mo es el momento de reacción y de Rx y Ry son las fuerzas de reacción que actúa sobre el empotramiento de la ménsula en la direcciones x e y, respectivamente. La fuerza F se descompone en una componente horizontal, Fx, y un componente vertical Fy, sumando fuerzas en X y Y, se tiene: 0. 0. Haciendo sumatoria de momentos en “O” se tiene: 0. La ecuación de Euler Bernoulli para la ecuación de momento - curvatura de una ménsula de sección transversal rectangular uniforme de material elástico lineal es:. 37.

(39) ,. Figura 18: Radio de curvatura Si M x, y es el momento de flexión en función de las distancias “x” e “y”, representa la curvatura en cualquier punto a lo largo de la longitud de la ménsula, E es el módulo de elasticidad e I es el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.. Figura 19: Diagrama de cuerpo libre Para conocer el momento en cualquier punto de la ménsula es necesario hacer un corte de la misma, colocar las fuerzas que se generan y volver a hacer momento.. 38.

(40) 0 ,. 0 ,. Por lo tanto , Derivando respecto a s:. Si L,. y. son constantes,. El lado derecho de la ecuación anterior está escrita en función de “x” e “y”, el lado izquierdo en función del ángulo . La figura 20 representa una sección infinitesimal de la sección, donde el largo del arco es aproximadamente una recta, partiendo de este dato y usando la trigonometría, se tienen las siguientes relaciones:. Sustituyendo se tiene;. Esta ecuación diferencial no lineal es la que describe la deformada de una ménsula de material elástico sometido a una carga concentrada en el extremo de la ménsula (Figura 17).. 39.

(41) Figura 20: Sección infinitesimal de la ménsula Solución analítica La solución debe ser resuelta a partir de la expresión obtenida para las coordenadas “x” e “y” a lo largo de la curvatura de la ménsula, por lo tanto para obtener una solución analítica a la ecuación anteriormente desarrollada, es necesario multiplicar la expresión anterior por . 0 Expresando la ecuación anterior en función de la longitud del arco se tiene: Expresando 1 2. Sustituyendo; 1 2. 0. Partiendo de que la condición de contorno en el extremo de la ménsula es:. Donde es la máxima pendiente desconocida en el extremo de la ménsula, se puede integrar la ecuación anterior y se obtiene: d 1 EI ds 2. F sen. sen. F cos. cos. C. 0. 40.

(42) Despejando C; 1 2 Aplicando la siguiente condición de contorno:. La nueva ecuación para la constante de integración es:. 2. 2. 2. Resolviendo la ecuación: 2. 2. Integrando las ecuaciones en función de dx y dy, se obtienen las expresiones de las deflexiones horizontales y verticales en cualquier punto a lo largo del eje neutro de la ménsula. No existe una solución analítica exacta de las integrales en el lado izquierdo de las ecuaciones, por lo tanto es necesario encontrar una solución numérica de la ecuación para encontrar la forma flectada de la ménsula. Solución numérica Utilizando el método de Euler, la ecuación diferencial no lineal de segundo orden conseguida anteriormente,. 41.

(43) Se puede reducir a dos ecuaciones diferenciales de primer orden no lineal. La curvatura de la ménsula, que se denota como , se puede escribir como. Derivando ambos lados en función a s,. Integrando la ecuación usando el método de Euler ∆ ∆. 3. ∆ ∆. 4. Las ecuaciones 3 y 4 son dos ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser usadas en un programa de cálculo numérico, no obstante como se usará el programa SAP2000, este permite generar estos cálculos mediante la formulación de Euler – Lagrange (10), que describe el movimiento de la ménsula para cada estado. Debido a la no linealidad del sistema de ecuaciones a resolver, precisa el método de Newton - Raphson (15) de múltiples iteraciones para obtener la carga máxima y el desplazamiento del nodo, así el programa calcula la pendiente y la curvatura a lo largo de la ménsula, para los distintos efectos de segundo orden.. 42.

(44) CAPITULO IV: ANÁLISIS Y RESULTADOS.

(45) CASO 1: MÉNSULA CONSTANTE. SOMETIDA. A. FUERZA. SEGUIDORA. Se parte del experimento realizado por Beléndez (14), donde se aplica una fuerza de 3,92 N verticalmente hacia abajo en el extremo de la ménsula. La ménsula se fija a la parte superior de un banco por medio de una abrazadera como se muestra en la Figura 21. Propiedades. Cantidad. Espesor (e. 0,078 m. Ancho b. 3,04 m. Momento de inercia I. 1.2022x10-12 m4. Módulo de elasticidad, E. 2,000E+11 kN/m2. Largo de la ménsula, (L Fuerza Lateral F. 0,30 m 3,92 N. Tabla 4: Propiedades de la ménsula (Caso 1). Figura 21: Primer experimento de la ménsula sometida a una fuerza vertical seguidora. Beléndez (14). 44.

(46) Figura 22: Modelo de la ménsula (Caso 1) Coordenada X (m) Coordenada Z (m) Desplazamiento en x (m) Desplazamiento en Z (m) 0 0 0 0 0 0,03333 0,002321 ‐0,000085 0 0,06667 0,008933 ‐0,000783 0 0,1 0,019246 ‐0,00251 0 0,13333 0,03264 ‐0,005482 0 0,16667 0,048502 ‐0,009741 0 0,2 0,066256 ‐0,015186 0 0,23333 0,085374 ‐0,021608 0 0,26667 0,105372 ‐0,028721 0 0,3 0,1258 ‐0,036192. Tabla 5: Desplazamientos (Caso 1) 0 DESPLAZAMIENTO VERTICAL (m). 0,00. 0,05. 0,10. 0,15. 0,20. 0,25. 0,30. ‐0,02 ‐0,04 ‐0,06 F = 3,92 N ‐0,08 ‐0,1 ‐0,12 ‐0,14. DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL (m). Gráfica 1: Desplazamientos de la ménsula (caso 1) Los valores obtenidos experimentalmente muestran un desplazamiento horizontal de 0,125 m y un desplazamiento vertical de 0,27 m, lo cual muestra un error aproximado del 1 % en el sentido vertical, quizás la diferencia se debe a que el programa considera un empotramiento perfecto o a que la ménsula tiene empotrado un 1 cm dentro del banco. 45.

(47) CASO 2: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA CON INCREMENTOS DE CARGA Se parte del experimento realizado por Beléndez (14), donde se aplica una fuerza de 3,92 N al extremo de la ménsula en un ángulo descendente de 90º medido desde la horizontal como se muestra en la Figura 23. La ménsula se fija a la parte superior de un banco por medio de una abrazadera. Se utiliza un hilo dental ligero para colgar el peso del extremo de la ménsula y se utiliza un gancho de acero con el fin de aplicar la fuerza en el ángulo correcto, simulando así una fuerza aplicada de 90º. Propiedades. Cantidad. Espesor (e. 0,078 m. Ancho b. 3,04 m. Momento de inercia I. 1.2022x10-12 m4. Módulo de elasticidad, E. 2,000E+11 kN/m2. Largo de la ménsula, (L. 0,30 m. Tabla 6: Propiedades de la ménsula (Caso 2). Figura 23: Segundo experimento de la ménsula sometida a una fuerza vertical seguidora. Beléndez (14).. 46.

(48) Figura 24: Modelo de la ménsula (Caso 2) 0 0,00. 0,05. 0,10. 0,15. 0,20. 0,25. 0,30. DESPLAZAMIENTO VERTICAL (m). ‐0,05. F = 3,92 N. ‐0,1. F = 4,92 N F = 5,92 N F = 6,92 N. ‐0,15. F = 7,92 N. ‐0,2. DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL (m) ‐0,25. Gráfica 2: Desplazamientos de la ménsula (caso 2) En la gráfica 2, se observa que la flecha de la ménsula aumenta a medida que la fuerza se incrementa. En el segundo experimento, el desplazamiento vertical máximo alcanzado es de 0,22 m y el horizontal es de 0,17 m, por lo tanto si el desplazamiento vertical obtenido es 0,16 m, el porcentaje (%) de error es de un 4 %, mientras que la diferencia en el desplazamiento horizontal es prácticamente despreciable, posiblemente la diferencia se deba a alguna propiedad específica del material no controlada o al empotramiento de la ménsula. De esta manera se ha demostrado que es posible realizar los experimentos de fuerzas seguidoras utilizando un programa de elementos finitos y sus resultados son altamente confiables con los resultados experimentales obtenidos.. 47.

(49) CASO 3: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZAS SEGUIDORAS CON INCREMENTOS DE CARGA Y GRANDES DESPLAZAMIENTOS En este modelo se analiza una misma ménsula, con distintos intervalos de carga. Propiedades. Cantidad. Área transversal A. 0,01 m2. Momento de inercia, I. 8,33*10−6 m4. Módulo de elasticidad, E. 30000000 kN/m2. Largo de la columna, L Factor por paso Factor de convergencia. 10 m 1,618 0,01 0,5. Tabla 7: Propiedades de la ménsula (Caso 3). Figura 25: Modelo de la ménsula (Caso 3.1). 48.

(50) Grráfica 3: Desplazam D mientos de e la ménsu ula (caso 3 3.1). Desplazam miento en x (m) ( 0 0 0,067931 0 0,157377 ‐0 0,066291 ‐0 0,731065 ‐1 1,171431 ‐1 1,649784 ‐2 2,639103 ‐3 3,583995 ‐4 4,476381. Desplazamiento en e z (m) 0 ‐0,02910 06 ‐0,28457 72 ‐0,74703 35 ‐1,08215 53 ‐1,12219 96 ‐1,06680 08 ‐0,68409 97 ‐0,02359 94 0,77659 92. Radianes (Ѳ) 0 ‐0,029 9106 ‐0,284 4572 ‐0,747 7035 ‐1,082 2153 ‐1,122 2196 ‐1,066 6808 ‐0,684 4097 ‐0,023 3594 0,776 6592. Ta abla 8: Des splazamie entos para a el estado o de carga a F = 25 kN N (Caso 3.1). 49.

(51) 3 DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL (m). 2. DESPLAZAMIENTO VERTICAL (m). 1 0 ‐6. ‐4. ‐2. ‐1. 0. 2. 4. 6. 8. 10. 12. ‐2. F = 1 kN F = 3 kN F = 7 kN F = 15 kN F = 25 kN. ‐3 ‐4 ‐5 ‐6 ‐7 ‐8. Gráfica 4: Desplazamientos de la ménsula (caso 3.2). Desplazamiento en x (m) 0 0,101198 0,291796 0,257215 ‐0,191246 ‐0,557094 ‐0,999606 ‐2,060771 ‐3,266321. Desplazamiento en z (m) 0 ‐0,035833 ‐0,341981 ‐0,971402 ‐1,707888 ‐2,045469 ‐2,344551 ‐2,805019 ‐3,092914. Radianes (Ѳ) 0 0,181443 0,400605 0,614211 0,784839 0,852323 0,912198 1,005885 1,062655. ‐4,532912. ‐3,280117. 1,081608. Tabla 9: Desplazamientos para el estado de carga F = 25 kN (Caso 3.2). 50.

(52) 15. Radianes (Ѳ) 0 14,30245896 56,23649514 127,1340635 147,1716008. 25. 119,4264061. Fuerza (kN) 0 1 3 7. Tabla 10: Fuerza seguidora vs Pendiente. ф0. 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. FUERZA (kN). Gráfica 5: Pendiente vs Fuerza seguidora La ventaja de este enfoque se sustenta en que el problema puede ser resuelto sin iteraciones. Dado que la solución del problema de valor inicial es único, la divergencia no se produce. Por lo tanto, la ménsula en cuestión puede perder la estabilidad sólo por flameo o aleteo, tal y como se expone en el modelo de la columna de Beck (20), por lo tanto la estabilidad de la ménsula debe ser comprobada mediante un análisis dinámico. Es bien sabido que la convergencia del proceso iterativo depende de la proximidad de la estimación inicial de la solución particular buscada. Además, los problemas similares de valores de contorno conservadores (ménsula flexible sometida a fuerzas inclinadas) admiten múltiples soluciones de equilibrio. En esta oportunidad se introducen las cargas a la ménsula ya deformada para los siguientes efectos de segundo orden, de manera manual, para que el programa no haga iteraciones automáticamente, sino deforme la ménsula bajo un comportamiento no lineal y siguiendo la fuerza seguidora impuesta en cada caso, donde el programa determina distintas soluciones y distintos desplazamientos para los casos de carga impuestos en cada paso. 51.

(53) Para obtener una mayor precisión de los distintos puntos de la deformada es necesario discretizar la ménsula en mayor número de elementos, no obstante esto generaría mayor tiempo de cálculo. De las gráficas 3 y 4 se puede observar que existe una solución numérica de equilibrio distinta cuando se incrementan las cargas, siendo bastante coherente que para el caso 3.1, los desplazamientos aumenten. En la gráfica 5, se representan las soluciones numéricas para cada configuración de equilibrio de una ménsula sujeta a dos fuerzas seguidoras normales , , siendo para este caso la pendiente máxima de 147º.. 52.

(54) CASO 4: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA LATERAL Y VERTICAL GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRÍTICA DE PANDEO En este modelo se analiza una ménsula, sometida a una fuerza vertical y lateral constante, utilizando la opción de múltiples pasos o escalones de carga en SAP2000, donde el programa calcula automáticamente distintas ecuaciones de equilibrio hasta alcanzar el pandeo crítico. Propiedades. Cantidad. Área transversal A. 0,01 m2. Momento de inercia, I. 8,33*10−6 m4. Módulo de elasticidad, E. 30000000 kN/m2. Largo de la columna, L Fuerza Axial Fuerza Lateral Factor por paso Factor de convergencia. 10 m 6 0,045 1,618 0,01. Tabla 11: Propiedades de la ménsula (Caso 4). Figura 26: Modelo de la ménsula (Caso 4) Siguiendo la teoría demostrada por Euler;. 6,168 kN ∆. 0,06 m 53.

(55) F1. 0,045 kN, elegido para generar una deformación elástica de 0,06 m.. F2. 6 kN, elegido como factor de carga para alcanzar la carga crítica.. 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. ‐1. FUERZA VERTICAL (kN). ‐2 ‐3 ‐4 ‐5 ‐6 ‐7. ESCALÓN DE CARGA. Gráfica 6: Fuerza vertical (kN) Vs Escalón de carga. ESCALÓN DE CARGA. FVERTICAL (kN). 0. 0. 1. -0,05946. 10. -0,59996. 20. -1,19988. 30. -1,79972. 40. -2,39936. 50. -2,99969. 60. -3,59948. 70. -4,19911. 80. -4,79804. 90. -5,39381. 97. -5,75459. Tabla 12: Escalón de carga vs F. vertical (kN) FUERZA MÁXIMA VERTICAL = ‐5,75459 kN 54.

(56) 0,6 0,5. FUERZA LATERAL (kN). 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. ESCALÓN DE CARGA. Gráfica 7: Fuerza lateral (kN) Vs Escalón de carga. ESCALÓN DE CARGA. FLATERAL (kN). 0. 0. 1. 0,0004498. 10. 0,0049. 20. 0,01078. 30. 0,01805. 40. 0,02736. 50. 0,03985. 60. 0,05769. 70. 0,08564. 80. 0,13647. 90. 0,26067. 97. 0,50228. Tabla 13: Escalón de carga vs F. lateral FUERZA MÁXIMA LATERAL = 0,50228 kN. 55.

(57) 0,9. DESPLAZAMIENTO EN "X" (m). 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. ESCALÓN DE CARGA. Gráfica 8: Desplazamiento en “x” (m) Vs Escalón de carga. NODO EXTREMO LIBRE ESCALÓN DE CARGA. DESP. X (m). 0. 0. 1. 0,0006. 10. 0,00664. 20. 0,01485. 30. 0,02529. 40. 0,039. 50. 0,05782. 60. 0,08526. 70. 0,12892. 80. 0,20935. 90. 0,40779. 97. 0,79471. Tabla 14: Escalón de carga vs Desplazamiento en “x” (m) DESPLAZAMIENTO MÁXIMO EN “X” = 0,79471 kN. 56.

(58) 0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. 90. DESPLAZAMIENTO EN "Z" (m). ‐0,005 ‐0,01 ‐0,015 ‐0,02 ‐0,025 ‐0,03 ‐0,035. ESCALÓN DE CARGA. Gráfica 9: Desplazamiento en “z” (m) Vs Escalón de carga. NODO EXTREMO LIBRE ESCALÓN DE CARGA. DESP. Z (m). 0. 0. 1. -0,000002. 10. -0,0000222. 20. -0,00005103. 30. -0,00009198. 40. -0,000156. 50. -0,0002672. 60. -0,0004834. 70. -0,0009711. 80. -0,00235. 90. -0,0085. 97. -0,03182. Tabla 15: Escalón de carga vs Desplazamiento en “z” (m) DESPLAZAMIENTO MÁXIMO EN “Z”. ‐0,03182 kN 57.

(59) 0,9 0,8. DESPLAZAMIENTO EN "X" (m). 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,00. ‐0,60. ‐1,20. ‐1,80. ‐2,40. ‐3,00. ‐3,60. ‐4,20. ‐4,80. ‐5,39. Fcr. FUERZA VERTICAL (kN). Gráfica 10: Desplazamiento en “x” (m) Vs Fuerza Vertical. ESCALÓN DE CARGA. FVERTICAL (kN). DESP. X (m). 0. 0. 0. 1. -0,05946. 6,00E-04. 10. -0,59996. 0,00664. 20. -1,19988. 0,01485. 30. -1,79972. 0,02529. 40. -2,39936. 0,039. 50. -2,99969. 0,05782. 60. -3,59948. 0,08526. 70. -4,19911. 0,12892. 80. -4,79804. 0,20935. 90. -5,39381. 0,40779. 97. -5,75459. 0,79471. Tabla 16: Fuerza Vertical vs Desplazamiento en “x” (m). FUERZA CRÍTICA DE PANDEO Fcr. ‐5,75459 kN 58.

(60) CASO 5: MÉNSULA SOMETIDA A FUERZA SEGUIDORA LATERAL Y AXIAL CON GRANDES DESPLAZAMIENTOS HASTA LA CARGA CRÍTICA DE PANDEO En este modelo se utilizan las fuerzas correspondientes a los distintos estados de equilibrio calculados automáticamente por el programa en el caso 4, con las mismas fuerzas ahora siendo seguidoras, hasta alcanzar la carga crítica de Euler. Posteriormente se comparan los resultados con el caso anterior para conocer la influencia de una fuerza seguidora respecto a una no seguidora.. Propiedades. Cantidad. Área transversal A. 0,01 m2. Momento de inercia, I. 8,33*10−6 m4. Módulo de elasticidad, E. 30000000 kN/m2. Largo de la columna, L Fuerza Axial Fuerza Lateral Factor por paso Factor de convergencia. 10 m 6 0,045 1,618 0,01. Tabla 17: Propiedades de la ménsula (Caso 5). Figura 27: Modelo de la ménsula (Caso 5). 59.

(61) Coordenada Coordenada Coordenada Coordenada inicial en X inicial en Z final en X final en Z (m) (m) (m) (m) 0 0 0,00 0,00 0 1,25 0,01 1,25 0 2,5 0,04 2,50 0 3,75 0,11 3,75 0 5 0,23 4,99 0 5,625 0,30 5,61 0 6,25 0,38 6,23 0 7,5 0,58 7,47 0 8,75 0,80 8,70 0. 10. 1,04. 9,92. Tabla 18: Desplazamiento en “z” (m) vs Desplazamiento en “x” (m). 12,00 ESCALÓN DE CARGA 1. DESPLAZAMIENTO EN Z (m). 10,00. ESCALÓN DE CARGA 2 ESCALÓN DE CARGA 3. 8,00. ESCALÓN DE CARGA 4 6,00. ESCALÓN DE CARGA 5 ESCALÓN DE CARGA 6. 4,00. ESCALÓN DE CARGA 7 ESCALÓN DE CARGA 8. 2,00. ESCALÓN DE CARGA 9 ESCALÓN DE CARGA 10. 0,00 0. 0,5. 1. 1,5. ESCALÓN DE CARGA 11. DESPLAZAMIENTO EN X (m). Gráfica 11: Desplazamiento en “z” (m) Vs Desplazamiento en “x” (m) Fuerza seguidora. CASO DE CARGA QUE GENERA EL MÁXIMO DESPLAZAMIENTO:. F2. ‐2,99969 kN. F1. 0,03985 kN 60.

(62) Si comparamos los dos casos estudiados, se observa lo siguiente: FUERZAS SEGUIDORAS La solución se encuentra en el paso 55 La carga máxima Axial es: -2,99969 kN. FUERZAS NO SEGUIDORAS La solución se encuentra en el paso 97 La carga máxima Axial es: -5,75459 kN. Estos datos permiten deducir que para el caso de carga estudiado y las condiciones de contorno impuestas, la carga crítica seguidora es aproximadamente el 50 % de la carga crítica del caso 4, por lo tanto se puede determinar: FUERZAS NO SEGUIDORAS: I. 2,35. ,. FUERZAS SEGUIDORAS:. I. 1,20. Es necesario destacar que la convergencia del proceso iterativo depende en la proximidad de la estimación inicial de la solución particular buscada. Por otra parte, cualquier problema con condiciones de contorno similares y fuerzas conservadoras, para ménsula muy flexible admite múltiples soluciones de equilibrio, de esta manera queda demostrado que la carga crítica de pandeo para el caso de fuerzas seguidoras estáticas es mucho menor que para el caso de fuerzas dinámicas.. 12,00 FUERZA NO SEGUIDORA DESPLAZAMIENTO EN Z (m). 10,00 FUERZA SEGUIDORA 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 0. 0,2. 0,4. 0,6. 0,8. 1. 1,2. 1,4. DESPLAZAMIENTO EN X (m). Gráfica 12: Desplazamiento en “z” Vs Desplazamiento en “x” Fuerza no seguidora y Fuerza seguidora. 61.

(63) COMPARACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE ESTUDIO Y RESULTADOS OBTENIDOS EN EL CASO 3 CON LOS ANÁLISIS SHARVTSMAN Semejanzas:. 1. El análisis se limita al estudio de ménsula. 2. No se considera la amortiguación externa debido a que es un análisis estático. 3. En el estudio se comparan dos modelos, sometidos a dos fuerzas puntuales y seguidoras. 4. Se estudia el análisis para grandes desplazamientos. 5. Se hace un análisis estático no lineal. 6. Se sigue el criterio de Euler. 7. El comportamiento de la ménsula se puede obtener con las condiciones de contorno. 8. Ambos casos estudiados llevan a diferentes ecuaciones de equilibrio para una misma ménsula cuando se incrementan las cargas.. Diferencias:. B.S. SHVARTSMAN. DANIEL RABASCALL. Se desconoce.. El análisis se hace mediante elementos finitos utilizando el programa SAP2000 .. Se desconocen los parámetros de entrada.. Se consideran todos los parámetros de elasticidad, rigidez y geometría.. 62.

(64) COMPARACIÓN DE LA METODOLOGÍA DE ESTUDIO Y RESULTADOS OBTENIDOS EN EL CASO 4 Y 5 CON LOS ANÁLISIS DE LESLAW KWASNIEWSKI Semejanzas: 1. El análisis se limita al estudio de ménsula. 2. No se considera la amortiguación externa debido a que es un análisis estático. 3. En el estudio se comparan dos modelos, sometidos a dos fuerzas puntuales y seguidoras. 4. Se estudia el análisis para grandes desplazamientos. 5. Se hace un análisis estático no lineal. 6. Se sigue el criterio de Euler. 7. El comportamiento de la ménsula se puede obtener con las condiciones de contorno. 8. Ambos casos estudiados llevan a diferentes ecuaciones de equilibrio para una misma ménsula cuando se incrementan las cargas. Diferencias:. L. KWASNIEWSKI Se considera el amortiguamiento proporcional a la velocidad (viscosa). DANIEL RABASCALL externo No se considera el amortiguamiento externo debido a que es un análisis estático. Se estudia una fuerza axial seguidora y a una Se estudia una fuerza axial y lateral seguidora en fuerza lateral no seguidora en el extremo con una el extremo fuerza de impulso Se hace un análisis dinámico no lineal. Se hace un análisis estático no lineal. El análisis se hace mediante utilizando el programa El análisis se hace utilizando el programa LS-DYNA SAP2000 Los resultados dependen de la variación de carga en el tiempo y en la instancia de tiempo en el que Los resultados dependen de los casos de carga se rompe la simetría del modelo por parte de la impuestos y de las características del material carga de impulso La ménsula presenta inestabilidad por aleteo o La ménsula no presenta inestabilidad flameo La carga crítica en el análisis dinámico: La carga crítica en el análisis estático: 20,05. 1,20. 63.

(65) ANEXOS.

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