Descargar fichero de ejercicios

INDICE ALGEBRA 1.-POLINOMIOS

División de polinomios: 2.-METODO DE RUFFINI

3.-PROBLEMAS SOBRE RUFFINI

4.-FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:

Descompón en factores y simplifica las siguientes fracciones 5a.-OPERA Y SIMPLIFICA I:

5b.-OPERA Y SIMPLIFICA II: 5c.-OPERA Y SIMPLIFICA III: 6.-ECUACIONES CON RADICALES:

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales I: Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales II: 7.-ECUACIONES BICUADRADAS

8a.-INECUACIONES I 8b.-INECUACIONES II 9.-METODO DE GAUSS

ALGEBRA 1.-POLINOMIOS

División de polinomios:

(

3x4 −x2 −1

)

:

(

x−1

)

(

5x4 −3x3−4x+2

) (

: x2−1

)

2.-METODO DE RUFFINI

2.-

(

x4 +8x3 −12x2 −3x+10

)

:

(

x+3

)

3.-

(

x5 −32

)

:

(

x−2

)

3.-PROBLEMAS SOBRE RUFFINI

Calcula el resto, sin efectuar la división, de los siguientes ejercicios:

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

1 1 1 11·

( )

1 10 1 1 11 10 23 1

: 10 11

2 3

2 3

− = − − − − = − − + − − − = −

→ + −

+ −

P

x x

x x

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2 2 2 11·

( )

2 10 16 8 22 10 24 2

: 8 11 2

3 4

3 4

− = − − − = − − + − − − = −

→ + −

+ −

P

x x

x x

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

1 1 1 11·

( )

1 10 1 1 11 10 23 1

: 10 11

2 3

2 3

− = − − − − = − − + − − − = −

→ + −

+ −

P

x x

x x

(

)

(

)

( )

4 2·4 9·4 2·4 0 128 144 8 0 8 0 8

4 : 2

9 2

2 3 2 3

= → = − − → = − + − → = + + − =

→ − +

+ −

m m

m m

P

x m x x x

(

)

(

)

( )

1 1 3·1 6·1 0 1 3 6 0 4 0 4

1 : 6

3

2 3

3 4

= → = − − → = − + − → = + + − =

→ − +

+ +

m m

m m

P

x m x x x

(

)

(

)

( ) ( )

3 4· 3 3·

( )

3 2 5 0 108 27 2 5 0 140 2 0 70 3

: 5 2 3 4

2 3

2 3

= → = − − → = − + − − → = − + − − − = −

→ + −

+ −

m m

m m

P

x m

x x

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x2-kx+2 por (x-2) dé de resto 6.

( )

x =2x2 −kx+2→P

( )

2 =2·22 −k·2+2=6→10−2k =6→k =2

P

Determinar el valor de m para que 3x2+mx+4 tenga como una de sus raíces x=1.

( )

x =2x2 +mx+4→P

( )

1 =2·12 +m·1+4=0→2+m+4=0→m=−6

P

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x2-4 y se anule para x=3 y x=-1.

( )

(

)

(

)(

)

(

)(

)

12 8 7 2

12 8 4 3 2 3

2 · 4 1

· 3 · 4

2 3 4

2 2 3 4 2

2 2

+ + − − =

= + + − − − = − − −

= + − − =

x x x x

x x x x x x

x x

x x x

x P

Calcular el valor de a para que el polinomio x3-ax+4x tenga la raíz x=-1 y calcular las otras raíces.

( )

x =x3 −ax2 +4→P

( ) ( )

−1 = −13−a·

( )

−12 +4·

( )

−1 =0→−1−a−4=0→a=−5

P

(

)

(

)(

)

    

− = − − =

− = + − = =→ ± − = − ± − = −

± − = → = + +

+ − = + + =

+ +

∗

∗

4 ´ 2

3 5

1 2

3 5 2

3 5 2

16 25 5 1

· 2

4 · 1 · 4 5 5 0

4 5

4 · 1 · 4 5 · 4 5

2 1 2

2

2 2

3

x x x

x x

x x x x

x x x x x

Polinomio: =

(

x3 +5x2 +4x

)

= x·

(

x−1

)(

· x+4

)

y las raíces son: x = -1 y x = -4

Calcula a y b para que P(x)= 4x3+2x2+bx+a sea divisible por x+3 y por x-1.

( )

x =4x3 +2x2 +bx+a→P

( ) ( )

−3 =4·−3 3 +2·

( ) ( )

−3 2 + −3·b+a=0→−108+18−3b+a =0

P

( )

x =4x3 +2x2 +bx+a→P

( ) ( )

1 =4·13+2·

( ) ( )

12 + 1·b+a=0→4+2+b+a=0→6+b+a=0

      

− = → =

− = +

= +

43 84

2

6 90 3

b b

a b

a b

49 6

43+ =− → =−

→ a a

4.-FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS: Descompón en factores los siguientes polinomios:

(

x a

)

x ax

x4 −5 2 = 2· 2 −5

(

2 3

)(

·2 3

)

9

4x2 − = x− x+

(

3 1

)

·

3 3

9x3 − x= x x2 −

(

2 2

)(

2 2

)

4

4

·x y y

x y

x − = − +

(

x4 −3x3 +6x−4

)

→Ruffini

Divisores posibles: 1, (-1), 2, (-2), 4, (-4).

Saca factor común y utiliza los productos notables para factorizar los polinomios siguientes:

(

1

)

·

(

1

)(

· 1

)

· 2

3_{− = − = − +}

x x x x

x x x

(

4 16

)

·

(

2 4

)(

·2 4

)

·

16

4x4 − x2 =x2 x2 − =x2 x− x+

(

9

)

5 ·

(

3

)(

· 3

)

·

5 45

(

)

(

)

( ) ( )

5 2

0 10 2

100 100 10

1 · 2

25 · 1 · 4 10 10

0 25 10

5 · 3 25 10 ·

3 75 30 3

2 2

2 2

2

= ± = − ±

= −

− ± − − = → = + −

− = + − =

+ +

∗

∗

x x

x

x x

x x

x

(

_{3 2}

)

(

)

2

2 3

4

2 3 · 2 18 18 ·

2 18 18

2

2x − x − x + x= x x −x − x+ ∗ = x x−

(

2 −18

)

=0→ 2 =18→ = 18→ = 2·32 =3 2

∗ _{x x x x}

(

10 16

)

·

(

8

)(

· 2

)

·

16

10 2 2

3− + = − + ∗ = − −

x x x x

x x x x

x

( ) ( )

2 3 5

8 3 5

3 5 2

6 10 2

36 10 2

64 100 10

1 · 2

16 · 1 · 4 10 10

0 16 10

2 1

2 2

= − =

= + = =→

= ± = ± = ± = − ±

= −

− ± − − = → = + −

∗

x x

x x

x

(

16

) (

· 4

)(

· 4

)

·

(

4

)(

· 4

)

·

(

4

)

·

16 4 2 2 2

5 − = − = − + = − + +

x x x x x

x x x

x x x

Descompón en factores y simplifica las siguientes fracciones

(

)(

)

(

)

1

2 1

1 1 1 · 1

1 1

1 _{= +} −

+ = − +

− =

− −

x x

x x

x x

x

(

)(

)

(

)

2

2 2

2 · 2 4

4 2 4

4 4

2 2

2 2

2 2

+ − = +

+ − = + +

− =

+ +

−

x x x

x x x

x x x

x x

(

)

(

1

)

1

1 · 1

2 2

2 2

+ = +

+ = + +

+

x x x

x x x

x

x x

(

)(

_{) ( )}

₃

2 3 · 2 2

6 2

6 2

2

+ = −

+ − = −

− + = −

−

+ ∗

x x

x x x

x x x

x x

( ) ( )

( )

2 2

5 1

3 2

5 1 2

5 1 2

25 1 2

24 1 1 1

· 2

1 · 6 · 4 1 1 0

6

2 1 2

2

= − − =

− = + − = =→ ± − = ± − = + ± − = − − ± − = → = − +

∗

x x x

x x

ya x xya

a x

3 12

4 2 2

=

(

)

x b a

b a x b a

bx ax

= −

− = −

(

)

(

)

a

m y x a

y x m ay ax

my mx

= − − = − −

· ·

(

)

(

)

(

)(

)

a b

b a b a b a

b a b

a b a

+ − = + −

− =

− −

· 2

2 2

2

(

)(

)

(

) (

2

)

(

)

1

3 2

1 1

1 2 · 1 ·

1 · 2 2

3 4

5 −

∗ ∗

∗

− = − = + −

− + = + −

+ −

x x

x x

x x x

x x x

( ) ( )

2 2

3 1

1 2

3 1 2

3 1 2

9 1 2

16 25 1 1

· 2

1 · 4 · 4 5 5

0 4 5

2 1 2

2

− = − − =

= + − = =→ ± − = ± − = − ± − = − − ± − − = → = + −

∗

x x x

x x

(

)

(

1

)

1

1 · 1

2 2

2 2

+ = +

+ = + +

+

x x x

x x x

x

x x

5a.-OPERA Y SIMPLIFICA I:

(

)

3

3 3 ·

· 3 3 : 3

− = − = −

x x

x x x

x x

(

)

(

)(

)

1

5 1 · 1 · 3

1 · 15 1

15 · 3

1

2 − + = −

+ =

− +

x x

x x x

x

(

)

(

2

)

2

· · 2 2

: 2

2 2 2

− = − − =       − −

x x x

x x x x

x x x

(

)(

)

(

(

)(

)

)

(

)(

)

( )(

x

(

x

)(

)(

x

)

)

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 · 1 · 1 · 1 · 1 1 : 1 · 1 1 1 : 1 · 1 2 1 1 : 1 · 1 2 1 1 1 : 1 2 1 1 2 − = + − + − − = + + − + − = +       + − − + = +       + − − − = +       − − −

(

)

(

)

( )

(

)

_{( )( )}

( )

( )

1 · 1 1 · 1 · · 1 1 : · 1 1 : 1 : 1 1 : 1 1 : 1

1 2 2 ₂ 2 ₂

+ = = + − − = −       − = −       − + = −             +       − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )( )

( )( )

1 1 · 1 · 2 1 · 1 · 2 1 · 1 2 : 1 · 1 2 1 · 1 1 1 : 1 · 1 1 1 1 · 1 1 1 : 1 · 1 1 1 1 1 1 1 : 1 1 1 1 − = + − + − − =       + −       + − − = =       + − + − +       + − − − − =       + − − − +       + − + − − =       + + −       − − + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(

) (

)

(

)(

)

(

(

) (

)(

)

)

(

) (

)

(

)

(

(

)(

)

)

(

) (

)

(

2 3

)

·

(

(

3

)(

· 2

)

)

1

2 · 3 · 3 2 2 · 3 3 2 : 2 · 3 3 2 2 1 3 1 : 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =       − − − − − − − − − − = =         − − − − −         − − − − − =       − + −       − − − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

5c.-OPERA Y SIMPLIFICA III:

(

)( )

(

)

( )

( )

( )

2

( )

2

2 2 2 2 2 2 1 2 7 · 2 5 1 8 2 1 11 3 3 3 2 2 1 11 3 1 · 3 2 +       +       − = + − + = + − − − + + + = + + + − + + ∗ x x x x x x x x x x x x x x x x x

( )

2 7 2 6 1 2 5 2 6 1 2 6 1 2 36 1 2 32 4 1 1 · 2 1 · 8 · 4 2 2 0 8 2 2 1 2 2 − = − − = = + − = =→ ± − = ± − = + ± − = − − ± − = → = − + ∗ x x x x x

(

)( )

(

)

( )

( )

( )

2

(

)

(

)

(

)

( )

(

(

₂

)

2

)

2 2 2 2 4 2 2 4 2 4 2 2 3 2 2 1 3 · 1 3 1 2 3 3 1 2 · 1 · 3 + + = + + = + − + = + − + x x x x x x x x x x x x x x x

6.-ECUACIONES CON RADICALES:

Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales I:

(

)

(

)

( )

4 3 1 0 4 3 · 1 0 3 7 4 0 6 5 9 12 4 4 12 9 6 5 2 3 6 5 2 3 6 5 2 1 2 2 2 2 2 = = → =       − − → = − − − = + + − − − → + + = + → + = + → + = + ∗ x x x x x x x x x x x x x x x x

( ) ( )

( )( )

( )

₁

8 1 7 4 3 8 1 7 8 1 7 8 1 7 8 48 49 7 4 · 2 3 · 4 · 4 7 7 0 3 7 4 2 1 2 2 = − − − = = − + − = =→ − ± − = − ± − = − − ± − = − − − − − ± − − = → = − − − ∗ x x x x x

(

)

( )

(

)(

)

3 2 0 3 · 2 0 6 0 7 3 1 2 2 1 3 7 1 3 7 1 3 7 2 1 2 2 2 2 2 − = = → = + − → = + − − = + − − + − → + − = − → − = − → = − + ∗ x x x x x x x x x x x x x x x x

( ) ( )

( )

2 2 5 1 3 2 5 1 2 5 1 2 25 1 2 24 1 1 1 · 2 1 · 6 · 4 1 1 0 6 2 1 2 2 = − − = − = + − = =→ ± − = ± − = + ± − = − − ± − = → = − + ∗ x x x x x

(

)

(

)

(

)

4 3 4 0 4 · 4 3 0 12 19 4 0 4 3 16 16 4 4 16 16 4 3 2 4 4 3 0 4 2 4 3 2 1 2 2 2 2 2 − = − = → = +       + → = − + − = + + − + − → + − = + → − = + → = − + + ∗ x x x x x x x x x x x x x x x x

( ) ( )

( )( )

( )

4 3 8 6 8 13 19 4 8 13 19 8 13 19 8 169 19 4 · 2 12 · 4 · 4 19 19 0 12 19 4 2 1 2 2 − = − = − − = − = − + = =→ − ± = − ± = − − − − ± − = → = − + − ∗ x x x x x

(

) ( )

( )

3 2 1 0 1 · 3 2 0 2 5 3 3 5 2 3 5 2 0 3 5 2 2 1 2 2 2 2 = − = → = +       − → = − + − → = − → − = − → = + − ∗ x x x x x x x x x x x x

( )

( )( )

( )

₁

( ) ( )

(

)

3 1 3 1 3

1 9 1 9 1 9

1 9

1 18

2 18

44 46

5 5 4

5 5

18 90 18

44 46

18 44 46 18

1936 46

18 180 2116 46

9 · 2

5 · 9 · 4 46 46

0 5 46 9 0

5 46 9

4 3 2

2

2 1 2

2 1

2 2

2 2

4

= − = → ± = ± = ± = → = → = = − =

+ =

− = =→ ±

= → = → = → = = + = → ± = ±

=

= − ±

= − − ± − − = → = + − → = → = + −

x x x

x y

x x x

x y x y

y y

y y x x

x

8a.-INECUACIONES I

( )

1

10 10 10

10 5 5 10 5 2

··

5 +x >− x→ + x>− x→ x>− →x>− →x>−

( )

1;+∞

:

Solución

( )( )

  

> > → > − − → = + − → > + −

1 4 0

1 · 4 0

4 5 0

4

5 2

2

x x x

x x

x x

x

( ) ( )

1 2 2 2

3 5

4 2 8 2

3 5 2

3 5 2

9 5 2

16 25 5 1

· 2

4 · 1 · 4 5 5

2 1 2

= = − =

= = + = → ± = ± = − ± = − − ± − − =

x x x

(

−∞;1

] [ )

∪4;+∞

:

Solución

1.-2 2 2

4 4

3 1 0

4 0 1 3 0 4 1 3 0 4 1 3

3 2 2

2 2

2

= − = → ± = ± = → =

= 

 

→ → = −

= − → = − − → ≥ −

−

x x x

x

x

x x x

x x

x

( )( )

      

− ≥ → ≥ +

≥ → ≥ −

≥ → ≥ − → ≥ + −

     

− → ≥ − −

2 0

2

2 0

2

3 1 0

3 1 0

2 · 2

3 1 0

4 1 3

2

x x

x x

x x

x x

x

x x

[ )

+∞ ∪      

− 2; 3 1 : 2 :

Solución

2.-

(

)(

)

(

)( )

(

(

)(

)( )

)

        

− = → = +

= → = −

− = → = +

= → = − → = + −

+ − → ≤ + −

+ −

2 0

2

2 3 0

3 2

3 1 0

1 3

4 3 0

3 4

0 2 · 3 2

1 3 · 3 4 0 2 · 3 2

1 3 · 3 4

4 3 2 1

x x

x x

x x

x x

x x

x x x

x x

x _x

(

)(

)

(

)( )

_{( )}

        

− ≤

≤ − ≤

≤ → ≤ +      

−

     

+      

− → ≤ + −

+ −

2 2 3 3 1 4 3

0 2 · 2 3

3 1 · 4 3 0

2 · 3 2

1 3 · 3 4

4 3 2

1

x x x

x

x x

x x

x x

(

]

     

+∞ ∪       − ∪ − ∞

− ;

4 3 2 3 ; 3 1 2 ; :

Solución

3.-

(

)(

)

(

)(

)

0 8 7 1 0

2

2 1 2 4 8 0 1 2

1 2 · 1 4 1 2

1 2 · 1

4 2

2

= − − → = +

− − + − − → = − +

− − → ≤ +

− −

x x x

x x x x x

x x x

x x

( ) ( )

( )

8 1 16

2 16

9 7

1 16 16 16

9 7 16

9 7 16

81 7 16

32 49 7 8

· 2

1 · 8 · 4 7 7

2 1 2

− = − = − =

= = + = → ± = ± = + ± = − − − ± − − = →

x x x

(

)(

)

( )

( )

      

− ≤ → ≥ +

≤ → ≥ −

− ≤ → ≤ + → ≤ +

     

+ − → ≤ +

− −

2 0

2

1 0

1

8 1 0

8 1 0

2 8 1 · 1 1

2 1 2 · 1 4

x x

x x

x x

x x x

x x x

(

−∞−

]

∪_− ;1_

8 1 2 ; :

9.-METODO DE GAUSS

I.-Resuelve estos sistemas de ecuaciones mediante el método de Gauss.

.) . . .( min .. .. 2 1 1 1 3 3 3 1 · 4 2 3 1 2 3 3 2 3 4 3 3 0 2 0 0 3 4 3 7 1 5 1 21 7 7 0 10 5 0 0 3 4 3 3 6 2 10 5 0 0 3 4 3 3 6 2 8 3 3 3 4 3 · 2 1 6 2 16 2 6 6 3 4 3 ) 3 3 2 2 1 3 3 1 2 2 2 2 D C S ado Deter Compatible Sistema z y x x z y z z y x z y x z y x z y x E E E E z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x E E z y x z y x z y x c ⇒      − = = − =        − = − = − − = →                   = − = + = − = = − + → = − + − = + + = − + = − = → = − + = − + = − +           → − = − = + − = − ++ − = − = → − = + − − = + −+ − =        → = − = + − − = + − = − + .) . . .( min det .. .. 10 2 2 0 6 10 2 2 0 10 2 2 0 6 3 8 3 10 2 2 0 6 8 3 4 6 ) 1 3 3 1 2 2 I C S ado er In Compatible Sistema z y x z y x z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x d ⇒    − = − − = + +           → − = − − − = − −+ + = − = → = + + − = − −+ + =      → − = = + + − = − − = + +

Tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, el sistema tendrá infinitas soluciones.

.) . .( min det .. 5 3 3 0 2 7 9 0 2 7 5 3 2 3 2 9 0 2 7 2 5 3 2 3 2 1 2 4 3 ) 3 2 2 3 1 1 I S ado er In Sistema z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x E E E z y x z y x z y x e ⇒          = + − − = + − − + + =− − − = → = + − = + − − + + =− −      → − = = + − = + − − = + −

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. Si se cumple la primera ecuación, no se puede cumplir la segunda.

( )

.) . . .( min ..

.. 6

4 2

6 2 4 4

4 2

4 4 2 2

2

4 2 2

4 0

2 0

6 0 0 3

5

4 0

2 5

16 0 5 2 3 1

4 0

6 0 3 3

16 0 5 2 2

4 0

2 2 3

16 0 5 2 )

2 1 1 2

2 3

2 2

D C S ado Deter

Compatible Sistema

z y x

x z

y x

z x y

x

z x

y x

x

z y x

z y x

z y x

E E E

z y x

z y x

z y x E E

z y x

z y x

z y x E E E

z y x

z y x

z y x g

⇒ 

   

= = − =

    

= − − = − =

= − = →

    

    

    

= +

= + =

− = →

= +

= +

− = → = + +

= + +

= + + −

      

    

→ − = =

+ +

= − + + = +

= → = + +

= + + + = +

    

→ + = =

+ +

− = − +

= + +

10.-PROBLEMAS CON SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCOGNITAS.

1.-En cierta estantería hay libros de texto, novelas y cuentos. Hay tantas novelas como libros de texto y de cuentos juntos y el número de cuentos es el triple que los de teatro.

Si en total hay en la estantería 176 libros. ¿Cuántos son de cada clase?

    

= = =

cuentos z

novelas y

texto de libros

x . .

66 22 · 3 3

88 22 · 4 4

22 176

8 176 4 4 176 4

4 176

3 3 176

3

= = =

= = =

  

  

= → = → = + → = +

= → = + +

+ = 

   

→ = + +

= + =

y z

y x

y y

y y y

x

y x y

y x

y y x

z y x

y z

z y x

En total hay 88 libros de texto, 22 novelas y 66 cuentos.

2.-Halla un número de tres cifras sabiendo que estas suman 9, si del número dado se le resta el que le resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198, y que la cifra de las decenas es media aritmética de las otras dos.

    

= = =

centenas z

decenas y

(

)

    

    

= = = → = − =

= =

→ 

   

− =

= − =

= →

      

      

= + −

− =

= = → = + +

= + +

= + + − + = → 

   

= + −

= + +

= + + −       

      

= → = + −

= + +

= + + − + = → 

   

= + −

= + +

= + + − + = → = + −

= + +

= + + −

↔ → 

   

= + −

= + + −

= + + → 

  

 

    

+ =

= + −

= + + → +

=

= +

+ − + +

= + + ⇒

4 3 2

2 2 4

3 4

2 3 4 · 2 11

4

2 2 11

4 3 12

12 3 0 0

11 2 0

2 0

1 0

11 2 0

2 0

· 2 1

0 2 2 0

11 2 0

2 0

0 2

11 2 0

2 0

0 2

9 2 0

0 2

2 0

9

2

198 99 99

9

2

98 100 10 100

10

9

2 3 3

3 3 1

3 3 1

2 2

2 1

z y x

x y z

z x y

z

z x

z y

z

z y x

z y x

z y x E E E

z y x

z y x

z y x

E E

z y x

z y x

z y x E E E

z y x

z y x

z y x E E E

z y x

z y x

z y x

E E

z y x

z y x

z y x

z x y

z x

z y x

z x y

x y z z y x

z y x

⇒ 

   

= =

= =

= =

4 3 2

centenas z

decenas y

unidades x

El número es 432.

3.-Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total de 2000€. Si el número de billetes de 10€ es el doble que el número de billetes de 20€, averigua cuántos billetes hay de cada tipo

    

= = =

€ 50 .

€ 20 .

€ 10 .

billete z

billete y

(

)

    

= = = ⇒ = = = → 

   

=

= − = − = =

→ − =

=

= − − = → − = − → = − + → = − +

   

  

  

→ − = → = +

= + → = + +

= + + →

=

= + ++ + = 

   

→ =

= + +

= + +

€ 50 . . . 20

€ 20 . . . 25

€ 10 . . . 50

50 25 · 2 2 2

20 75 95 25 · 3 95 2

3 95

25

25 11 275 275

11 200 15 475 4

200 3

95 · 5 4

3 95 200

5 4

95 3

200 5 2 2

95 2

2

200 5 2

95

2

2000 50

20 10

95

de billetes z

de billetes y

de billetes x

y x y

x z

y x

y z

y

y y

y y

y y

y z

z y

z y z

y y

z y y

y x

z y x

z y x

y x

z y x