1. El número de enfermos por gripe en una ciudad a lo largo del pasado mes de Enero viene dado por la función t
e
t
y
(
)
=
100
+
200
⋅
0,2 , donde t representa el número de días transcurridos a partir del 1 de Enero. a) ¿Cuántos enfermos había el citado 1 de Enero?.b) Calcular la expresión de la función que representa la velocidad de evolución del número de enfermos al cabo de t días.
c) Determinar la fecha en la cual la velocidad de evolución del número de enfermos ha sido igual a 803,42 enfermos/día.
300
200
100
·
200
100
)
0
(
)
200
100
)
(
0 · 2 . 0 2 , 0
=
+
=
+
=
⋅
+
=
e
y
a
e
t
y
tt t
e
e
t
y
b
)
(
)
'=
0
+
200
·
0.2··
0
.
2
=
40
·
0.2·( )
(
)
(
)
(
)
dias
Ln
t
Ln
t
Ln
e
Ln
e
e
c
t t t15
2
.
0
08
.
20
08
.
20
·
2
.
0
08
.
20
08
.
20
40
42
.
803
·
40
42
.
803
)
0.2· 0.2· 0.2·=
=
→
=
→
=
→
=
=
→
=
La fecha finales igual a la fecha inicial ( 1 de enero) más 15 días, el 16 de enero.
2. A las 9 de la mañana surge un rumor que se difunde a un ritmo de e2t + 1000 personas/hora.
a) Sabiendo que t representa el número de horas transcurridas desde la aparición del rumor, calcular el número de personas que lo habrán oído entre las diez y las doce de la mañana.
b) Calcular la expresión que representa la velocidad con que se difunde el rumor.
38 . 1007 1000 )
1 ( )
1000 )
(
1 · 2 · 2
= + =
+ =
e y a
e t
y t
( ) ( )
y
personas
y
e
y
396
38
.
1007
42
.
1403
1
3
42
.
1403
1000
)
3
(
2·3=
−
=
−
=
+
=
( )
t te t y e
t y
b) ()= 2· +1000→ '=2· 2·
3. Sean las funciones f(x)=x2−9 ; g(x)=x2−x−6. Calcular sus extremos relativos, sus gráficas y el
) (
) ( lim
3g x x f x→
.
9
9
0
)
0
(
0
2
'
)'
(
,
0
2
0
0
2
)'
(
2
−
=
−
=
>
=
=
=
=
=
f
x
f
x
x
x
f
;
Tiene un mínimo en P
(
0
;
−
9
)
4
25
6
2
1
2
1
)
2
1
(
0
2
1
'
)'
(
,
2
1
1
2
0
1
2
)'
(
2
−
=
−
−
=
>
=
=
→
=
=
−
=
g
x
g
x
x
x
x
g
;
Tiene un mínimo en P
−
4
25
;
2
1
Representamos la Función
f
(
x
)
=
x
2−
9
X
(
)
=
2−
9
x
x
f
Puntos0
(
0
)
=
0
2−
9
=
−
9
f
A
(
0
,
−
9
)
3
0
9
3
)
3
(
=
2−
=
f
B
( )
3
,
0
2
-5
=
−
=
2
9
)
2
(
2f
C
(
2
,
−
5
)
-5
( )
16
9
5
)
5
(
−
=
−
2−
=
f
D
(
−
5
,
16
)
Grafica:
F(X)
-5, 16
-2, -5
0, -9
2, -5 3, 0
5, 16
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Eje X
E
je
Y
Representamos la Función
g
(
x
)
=
x
2−
x
−
6
Tabla de valores: X
6
)
(
x
=
x
2−
x
−
g
Puntos
2
1
4
25
6
2
1
2
1
)
2
1
(
2
−
=
−
−
=
g
−
4
25
;
2
1
A
0
( )
6
6
0
0
)
0
(
=
2−
−
=
−
g
B
(
0
,
−
6
)
2
( )
4
6
2
2
)
2
(
=
2−
−
=
−
g
C
(
2
,
−
4
)
-2
( ) ( )
0
6
2
2
)
2
(
−
=
−
2−
−
−
=
g
D
(
−
2
,
0
)
G(X)
2, -4
5, 14
0, -6 -2, 0
-5, 24
-10 -5 0 5 10 15 20 25 30
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Eje X
E
je
Y
4. Sean las funciones: 4
2 ) ( ; 8 2 ) (
2
2− − =− + +
=x x g x x x
x
f . Calcular
) (
) ( lim
4g x x f x→
. (y representar sus gráficas.)
→
=
+
+
−
−
=
+
+
−
−
=
→ →
0
4
4
2
4
8
4
·
2
4
4
2
8
2
)
(
)
(
2 2
2 2
4
4
lim
lim
x
x
x
x
x
g
x
f
x x
Regla de L´Hopital
( )
2
1
4
6
1
2
4
·
2
2
4
·
2
1
2
·
2
1
2
2
)
(
)
(
lim
lim
4 '
'
4
−
=
+
−
=
+
−
−
=
+
−
−
=
→
→
x
x
x
g
x
f
x x
Representamos la Función
f
(
x
)
=
x
2−
2
x
−
8
Tabla de valores: X
8
2
)
(
x
=
x
2−
x
−
f
Puntos-4
( )
( )
8
4
2
4
)
4
(
−
=
−
2−
−
−
f
A
(
−
4
;
16
)
-2
( )
( )
8
2
2
2
)
2
(
−
=
−
2−
−
−
f
B
(
−
2
;
0
)
0
(
0
)
=
0
2−
2
·
0
−
8
f
C
(
0
,
−
8
)
2
(
2
)
=
2
2−
2
·
2
−
8
f
D
(
2
,
−
8
)
4
8
4
·
2
4
)
4
(
=
2−
−
f
E
( )
4
,
0
G(X)
4, 0
1, -9
6, 16
2, -8 0, -8
-2, 0 -4, 16
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Eje X
E
je
Y
Representamos la Función
4
2
)
(
2
+
+
−
=
x
x
x
g
Tabla de valores: X
4
2
)
(
2
+
+
−
=
x
x
x
g
Puntos
-1
( ) ( )
1
4
2
1
)
1
(
2
+
−
+
−
−
=
−
g
−
2
5
;
1
A
0
4
0
2
0
)
0
(
2
+
+
−
=
g
B
( )
0
,
4
1
4
1
2
1
)
1
(
2
+
+
−
=
g
2
9
,
1
C
-2
( )
4
2
2
2
)
(
2
+
−
−
−
=
−
g
D
(
−
2
,
0
)
2
( )
4
2
2
2
)
2
(
2
+
+
−
=
g
D
( )
2
,
4
F(X)
-1, 2,5
-2, 0
0, 4
1, 4,5
4, 0 2, 4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Eje X
E
je
Y
5. Sea la función
f
(
x
)
=
(
x
2−
1)
2. Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa x=3.2 2
)
1
(
)
(
x
=
x
−
f
enx
=
3
64
8
)
1
3
(
)
3
(
=
2−
2=
2=
f
Hallo la pendiente, a través de su derivada:
f
'(
x
)
=
2
·(
x
2−
1
)·
2
x
=
(
2
x
2−
2
)
·
2
x
=
4
x
3−
4
x
⇒
(
2
·
3
2
)
·
2
·
3
108
12
96
96
)
3
(
2'
=
−
=
→
=
−
=
⇒
=
m
m
m
f
Ecuación de la recta:
y
−
64
=
96
·
(
x
−
3
)
→
y
=
64
+
96
x
−
288
=
96
x
−
224
6. Sea la función f(x)=−(x+2)(x−2)(x−4).Hallar la ecuación de la recta tangente a dicha función en x=0.
)
4
)·(
2
)·(
2
(
)
(
x
=
−
x
+
x
−
x
−
f
( )( )( )
2
·
2
·
4
16
)
4
0
)·(
2
0
)·(
2
0
(
)
0
(
=
−
+
−
−
=
−
−
−
=
−
f
Derivada de F(X)
(
−
)
(
−
)
=
(
−
+
)
(
−
)
→
−
=
−
−
+
−
=
(
2
)·(
2
)·(
4
)
4
·
4
4
·
4
)
(
x
x
x
x
x
2x
x
2x
f
(
−
)(
−
)
+
(
−
+
)
→
=
2
·
4
4
·
1
)
(
'
x
x
x
x
2f
f
'
(
0
)
=
(
−
2
·
0
)(
·
0
−
4
)
+
(
−
0
2+
4
)
·
1
=
4
Ecuación punto-tangente:( )(
·
)
( ) (
16
4
·
0
)
4
16
'
00
=
−
→
−
−
=
−
→
=
−
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
7. Sea la función
1 ) (
2 3
+ =
x x x
f . Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa x=1.
( )
2
1
1
1
1
1
1
)
(
23
2 3
=
+
=
→
+
=
f
x
x
x
f
, Por tanto el punto es:
2
1
;
1
P
Derivada de F(X)
( )
(
)
(
)
(
2)
24 2 4
2 2
3 2
2
2 3
1
2
3
3
1
2
·
1
·
3
'
1
)
(
'
+
−
+
=
+
−
+
=
→
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
( )
( )
1
4
2
3
3
1
1
1
·
2
1
·
3
1
·
3
1
'
2 2
4 2 4
=
−
+
=
+
−
+
=
f
Ecuación punto-tangente:
( )(
)
1
·
(
1
)
2
2
1
0
2
1
·
'
00
=
−
→
−
−
=
−
→
−
=
−
y
f
x
x
x
y
x
x
y
y
8. Sea la función
f
(
x
)
=
x
⋅
e
x
2
. Hallar la ecuación de la recta tangente a f(x) en el punto de abcisa x=1.→
⋅
=
2
)
(
x
x
e
x
f
f
(
1
)
=
1
⋅
e
1
2
=
e
1=
e
→
El punto esP ;
( )
1
e
Derivada de F(X)
( )
1
·
'
2
)
(
x
=
x
⋅
e
x
→
f
x
=
f
e
x
2
+
x
·
e
x
2
·
2
x
( )
1
1
·
'
=
f
1
·
2
1
+
e
e
·
2
·
1
3
e
2
1
=
Ecuación punto-tangente:
( )(
x
x
x
)
y
e
e
(
x
)
y
e
x
e
f
y
y
−
0=
'
·
−
0→
−
=
3
·
−
1
→
=
3
·
−
2
9. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
f
(
x
)
=
e
2−xen el punto donde esta corta al eje de ordenadas.( )
2 0 2 20
)
(
x
e
f
e
e
f
=
−x→
=
−=
,El punto esP
( )
0 e
;
2 Derivada de F(X)( )
2( )
2 0 22
0
'
1
·
)
(
'
x
e
e
f
e
e
f
=
−x−
=
−
−x→
=
−
−=
−
Ecuación punto-tangente:( )(
)
2 2(
)
2 20
0
f
'
x
·
x
x
y
e
e
·
x
0
y
e
·
x
e
y
y
−
=
−
→
−
=
−
−
→
=
−
+
10. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función
> +
−
≤ < +
− ≤ +
=
2 si 15 x
2 x 3 si 9
3 x si 24 x 2
2
x x
) x (
f en x=1.
( )
1
,
10
10
9
)
1
(
x
2P
f
=
+
=
→
( )
1
,
10
10
9
)
1
(
2P
x
f
=
+
=
→
Derivada de F(X)
( )
m
f
x
x
f
'
(
)
=
2
=
10
→
'
1
=
2
·
1
=
2
=
Ecuación punto-tangente:( )(
·
)
10
2
·
(
1
)
2
·
8
'
00
=
−
→
−
=
−
→
=
+
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
11. Sea la curva de ecuación cartesiana y=x2+8x. Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y=2x
2
2
→
=
=
x
m
3
2
8
2
'
8
2
+
→
=
+
=
→
=
−
=
x
x
y
x
x
y
( )
−
3
=
2+
8
=
( )
−
3
2+
8
·
( )
−
3
=
−
15
x
x
y
El punto es:
Pto
(
−
3
,
−
15
)
12. Dada la curva de ecuación
y
=
−
x
3+
26
x
. Hallar sus rectas tangentes que sean paralelas a la recta y=−x.pte
y
x
y
=
−
→
'
=
−
1
=
( )
9
9
3
3
27
27
3
27
3
1
26
3
'
26
2 2 2 23
+
→
=
−
+
=
−
→
−
=
−
→
=
→
=
=
→
=
=
±
−
=
x
x
y
x
x
x
x
x
x
y
( ) ( )
−
3
=
−
−
3
3+
26
·
( )
−
3
=
−
51
y
( ) ( )
3
=
−
3
3+
26
·
( )
3
=
51
y
Los puntos son:
A
(
−
3
,
−
51
)
⇔
B
( )
3
,
51
Para el punto
A
(
−
3
,
−
51
)
la ecuación punto pendiente es: Ecuación punto-tangente:( )(
·
)
( ) ( )
3
1
·
(
( )
51
)
54
'
00
=
−
→
−
−
=
−
−
−
→
=
−
−
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
Para el punto
B
( )
3
,
51
la ecuación punto pendiente es: Ecuación punto-tangente:( )(
·
)
( ) ( )(
51
1
·
3
)
54
'
00
=
−
→
−
=
−
−
→
=
−
+
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
13. Calcular las coordenadas del punto en el que la recta tangente a la curva y=x2es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
La bisectriz el primer cuadrante tiene como ecuación
y
=
x
, cuya pendiente es igual a 1, ya que:y
'
=
1
2
1
1
2
'
2
→
=
=
→
=
=
x
y
x
x
y
4
1
2
1
2
1
2
2=
=
=
x
f
, Por tanto el punto es:
4
1
,
2
1
Pto
14. Hallar las coordenadas del mínimo de la curva y=x2−
4
x−5
. Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX.2
4
2
0
4
2
'
5
4
2
−
−
→
=
−
=
→
=
→
=
=
x
x
y
x
x
x
y
, Lo igualamos a cero porque la recta que es tangente al mínimo de la curva, es del tipoy
=
k
→
y
'
=
0
( )
2
=
2
2−
4
·
2
−
5
=
4
−
8
−
5
=
−
9
y
, el punto esPto
(
2
,
−
9
)
Comprobamos que es un mínimo:y
'
'
=
2
>
0
→
mínimo
( ) ( )
( )
( )
(
)
−
⇒
−
=
−
=
⇒
=
+
=
=
±
=
±
=
+
±
=
−
−
−
±
−
−
=
→
=
−
−
=
0
,
1
1
2
6
4
0
,
5
5
2
6
4
2
6
4
2
36
4
2
20
16
4
1
·
2
5
·
1
·
4
4
4
0
5
4
2 2
1 1
2 2
Pto
x
Pto
x
y
x
x
y
Hallamos las rectas puntos tangentes en los puntos A y B. - Recta tangente en el punto
A
=
Pto
1( )
5
,
0
( )
x
x
x
f
( )
x
x
f
( )
m
f
=
2−
4
−
5
→
'
=
2
−
4
=
0
→
5
=
2
·
5
−
4
=
6
=
Ecuación punto-tangente:
( )(
·
)
0
6
·
(
5
)
6
30
'
00
=
−
→
−
=
−
→
=
−
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
- Recta tangente en el punto
B
=
Pto
2(
−
1
,
0
)
( )
x
x
x
f
( )
x
x
f
( ) ( )
m
f
=
2−
4
−
5
→
'
=
2
−
4
=
0
→
−
1
=
2
·
−
1
−
4
=
−
6
=
Ecuación punto-tangente:
( )(
·
)
0
6
·
(
1
)
6
6
'
00
=
−
→
−
=
−
+
→
=
−
−
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
Hacemos un sistema con las dos rectas tangentes para hallar el punto C
(
)
(
2
,
18
)
18
6
2
·
6
2
12
24
6
6
30
6
6
6
30
6
,
−
⇒
−
=
−
−
=
=
=
→
−
−
=
−
→
−
−
=
−
=
=
PtoC
y
x
x
x
x
y
x
y
Y
X
PtoC
c c15. Sean las funciones
f
(
x
)
=
x
2+
ax
+
b
,
y
g
(
x
)
=
−
x
2+
c
.a) Determinar a, b y c, sabiendo que las gráficas de ambas funciones se cortan en los puntos (-2,-3) y (1,0). b) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de g(x) en el punto (-2,-3).
GRAFICA
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Eje X
E
je
Y
C(2,-18)
A(5,
0)
C(-1,0)
5
4
2
−
−
=
x
x
y
6
6
−
−
=
x
y
30
6
−
=
x
- a)
f
(
x
)
=
x
2+
ax
+
b
( )
2
·
( )
2
3
4
2
2
7
0
3
=
−
2+
−
+
→
−
=
−
+
→
−
+
+
=
−
a
b
a
b
a
b
b
a
b
a
+
→
=
+
+
+
=
1
·
1
0
1
0
2( )
3
7
2
·
2
2
6
0
3
1
7
2
−
=
→
−
=
+
−
⇒
=
→
−
=
+
−
−
−
=
+
−
=
+
−
b
b
a
a
b
a
b
a
c
x
x
g
(
)
=
−
2+
( )
2
4
3
1
3
=
−
−
2+
→
−
=
→
=
−
c
c
c
b)
(
)
( )
2
1
3
3
,
2
)
(
2 2
=
→
+
−
−
=
−
−
−
→
+
−
=
c
c
Pto
c
x
x
g
Derivada de G(X)
( )
x
x
g
( )
( )
m
g
x
x
g
(
)
=
−
2+
1
→
'
=
−
2
→
'
−
2
=
−
2
·
−
2
=
4
=
Ecuación punto-tangente:
( )(
·
)
( )
3
4
·
(
( )
2
)
4
·
5
'
00
=
−
→
−
−
=
−
−
→
=
+
−
y
f
x
x
x
y
x
y
x
y
16. Se considera la función
f
(
x
)
=
x
3+
ax
2+
bx
, a,b ∈ℜ. ¿Qué valores deben tomar a y b para que f tenga un máximo relativo en el punto P=(1,4)?( )
9
3
6
6
6
0
3
3
2
1
4
0
2
3
0
2
3
'
)
(
3 2 2=
→
=
+
−
−
=
→
−
=
+
=
+
−
=
+
⇒
+
+
=
=
+
+
⇒
=
+
+
=
→
+
+
=
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
ax
x
x
f
bx
ax
x
x
f
x
x
x
x
f
(
)
=
3−
6
2+
9
17. La gráfica de la función
f
(
x
)
=ax
3+bx
2+c
, pasa por (0,0) y tiene un máximo local en (1,2). Hallar el valor de los coeficientes a, b y c.Con el Pto (0,0) ---
f
(
x
)
=
ax
3+
bx
2+
c
→
f
(
0
)
=
0
+
0
+
c
→
c
=
0
Con el Pto (1,2) ---
f
(
x
)
=
ax
3+
bx
2+
c
→
2
=
a
+
b
+
c
Con el Pto (1,2) ---
f
'
(
x
)
=
3
ax
2+
2
bx
=
0
→
f
'
(
1
)
=
3
a
+
2
b
=
0
, Como MáximoSistema con las dos ecuaciones con incógnitas a y b:
−
=
→
=
+
=
+
⇒
+
=
+
+
=
b
a
b
a
b
a
b
a
c
b
a
2
2
0
2
3
2
3
0
2
(
2
)
2
0
6
3
2
0
6
0
6
·
4
6
2
2
−
=
−
=
−
=
b
a
La función será:
f
(
x
)
=
−
4
x
3+
6
x
218. La gráfica de la función
f
(
x
)
=
ax
3+
bx
+
c
, pasa por (0,0) y tiene un mínimo local en (1,-1). Hallar el valor de los coeficientes a, b y c.( )
( )
( )
( )
3
( )
1
,
1
'
( )
1
3
0
'
1
1
,
1
0
0
·
0
·
0
0
,
0
)
(
2 3
3
=
+
=
→
−
→
+
=
+
=
−
→
−
→
+
+
=
=
→
+
+
=
→
→
+
+
=
b
a
f
MIN
b
ax
x
f
b
a
Pto
c
bx
ax
x
f
c
c
b
a
Pto
c
bx
ax
x
f
Realizamos el sistema:
=
→
−
=
+
−
=
+
−
=
+
2
1
1
0
2
0
3
1
a
a
b
a
b
a
;
2
3
2
1
1
1
→
=
−
−
=
−
−
=
+
b
b
a
La función es:
f
x
x
x
2
3
2
1
)
(
=
3−
19. El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producción de leche desnatada está determinada por la función:
B
(
x
)
=
−
x
2+
7
x
−
10
, donde x representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana.a) Representa gráficamente la función B(x) con x≥0.
b) Calcular los hectolitros de leche desnatada que debe producir la central lechera para maximizar su beneficio. Calcular dicho beneficio máximo.
c) Calcular las cantidades mínima y máxima de hectolitros de leche desnatada que debe producir la central lechera para no incurrir en pérdidas( es decir, beneficio negativo).
Representamos la Función
4
2
)
(
2
+
+
−
=
x
x
x
g
Tabla de valores: X
4
2
)
(
2
+
+
−
=
x
x
x
g
Puntos
-1
( ) ( )
1
4
2
1
)
1
(
2
+
−
+
−
−
=
−
g
−
2
5
;
1
A
0
4
0
2
0
)
0
(
2
+
+
−
=
g
B
( )
0
,
4
1
4
1
2
1
)
1
(
2
+
+
−
=
g
2
9
,
1
C
-2
( )
4
2
2
2
)
(
2
+
−
−
−
=
−
g
D
(
−
2
,
0
)
2
( )
4
2
2
2
)
2
(
2
+
+
−
=
g
D
( )
2
,
4
F(X)
-1, 2,5
-2, 0
0, 4
1, 4,5
4, 0 2, 4
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Eje X
E
je
Y
20. La función
x x x ) x (
B 9 16
2 + −
−
= representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el nº de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determinar dicho beneficio máximo.
( )
0
'
16
9
)
(
2
=
→
−
+
−
=
B
x
x
x
x
x
B
(
)
(
)
−
=
+
=
→
=
→
→
=
+
−
→
=
+
−
=
−
+
+
−
=
−
+
−
−
+
−
=
4
4
16
0
16
0
16
9
9
2
1
·
16
9
·
9
2
)
(
'
2 1 2
2 2
2
2 2 2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
B
( )
−
+
−
=
=
→
=
1
4
4
4
16
4
·
9
4
)
4
(
2
B
1000€ de Beneficio.21. El número de bacterias (en miles) presentes en un cultivo después de t horas viene dado por la función
50
)
10
(
2
)
(
t
=
t
t
−
2+
N
.a) Calcular la función derivada N ‘(t).
(
)
( )
(
)
=
=
=
=
=
±
=
−
±
=
+
−
±
=
→
=
+
−
→
=
+
−
=
→
+
+
−
=
+
+
−
=
+
−
=
horas
t
horas
t
t
t
t
t
t
t
N
t
t
t
t
t
t
t
t
t
N
3
.
3
6
20
10
6
60
6
20
80
6
1200
1600
80
3
·
2
100
·
3
·
4
40
40
0
100
40
3
0
200
80
6
'
50
200
40
2
50
100
20
·
2
50
)
10
(
2
)
(
2 1 2 2 2 2 3 2 2 Solución:a)N’(t)=6t2-80t+200. b) Máximo en (3,333horas) 3 h y 20’ y mínimo en 10 h
( )
( )
( )
→
<
−
=
−
=
→
>
=
−
=
→
=
−
=
máximo
N
mínimo
N
t
t
N
0
40
80
33
.
3
·
12
33
.
3
''
0
40
80
10
·
12
10
''
0
80
12
''
22. La altura en metros de una planta tropical desde el año en que empieza a germinar (t=0) hasta el año en que se seca (t=4) sigue la ley:
f
(
t
)
=
−
2
t
2+
8
t
.a) Hallar los años en los que la planta alcanza una altura de
6
metros. b) El año en que la planta alcanzará altura máxima y el valor de ésta.a)
(
)
(
)
( )
( ) ( )
=
−
=
=
+
=
±
=
−
−
±
−
−
=
→
=
+
−
→
=
−
+
−
→
=
+
−
→
=
+
−
→
=
+
−
=
1
2
2
4
3
2
2
4
2
2
4
2
3
·
1
·
4
4
4
0
3
4
0
6
8
2
6
8
2
6
8
2
6
8
2
)
(
2 1 2 2 2 2 2 2 2 2t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
Se alcanzará una población de
6
en el primer y tercer año.b)
f
(
t
)
=
−
2
t
2+
8
t
, vida[
−
4
,
0
]
;(
)
2
2
4
0
4
2
0
8
2
4
2
8
4
·
8
2
·
2
1
)
(
'
22
−
+
=
→
−
+
=
→
=
=
+
−
=
+
−
+
−
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
Máxima altura:
f
(
2
)
=
( )
−
2
·
2
2+
8
·
2
=
−
8
+
16
=
8
23. Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión:
108
27
3
)
(
x
=
x
2−
x
+
C
.a) ¿Cuántas unidades hay que producir para minimizar el coste medio
x x C x
M( )= ( )?. b) Justificar que la función de coste medio, M(x), no tiene puntos de inflexión.
108 27 3 )
(x = x2− x+
a)
( )
( )
3
27
108
'
( )
(
6
27
)·
(
3
27
108
)
3
108
0
2 2 2 2=
−
=
+
−
−
−
=
→
+
−
=
=
x
x
x
x
x
x
x
x
M
x
x
x
x
x
C
x
M
( )
3
108
0
3
108
0
3
108
36
6
'
2 2 22 2
±
=
→
=
→
=
→
=
−
→
=
−
=
x
x
x
x
x
x
x
M
c) Si tiene un punto de inflexión, la segunda derivada es distinta de cero.
( )
6
108
''
( )
6
6
·
3
108
90
0
''
x
=
x
−
→
M
=
−
=
−
≠
M
24. Un club deportivo cuenta con un nº de socios que viene dado, en miles de personas, por la función s(x), donde x indica el número de años desde la última remodelación, s(x)=2x3−15x2+24x+26
a) Hallar el año en el que el club ha tenido el mayor número de socios.
b) El cuarto año se remodeló de nuevo. Indicar razonadamente si esta remodelación tuvo éxito o no.
a)
s
(
x
)
=
2
x
3−
15
x
2+
24
x
+
26
→
Hallar su máximo:s
'
(
x
)
=
6
x
2−
30
x
+
24
=
0
→
x
2−
5
x
+
4
=
0
( ) ( )
=
−
=
=
+
=
±
=
−
−
±
−
−
=
1
2
3
5
4
2
3
5
2
3
5
2
4
·
1
·
4
5
5
2 1 2t
t
x
( )
( )
( )
→
>
=
+
−
=
→
<
−
+
−
=
→
=
+
−
=
mínimo
S
máximo
S
x
x
x
S
0
18
4
4
·
5
4
4
'
0
18
4
1
·
5
1
1
'
0
4
5
'
2 2 2En el primer año, el club ha tenido el mayor número de socios.
b)
( )
( )
=
+
−
=
=
+
−
=
1
4
1
·
5
1
1
'
6
4
4
·
5
4
4
'
2 2S
S
Sí tuvo éxito porque la primera derivada de X=4 es mayor que la derivada de X=1.
25. El número de personas, en miles, afectadas por una enfermedad infecciosa viene dado por:
4
2
30
2
−
+
=
t
t
t
)
t
(
f
,donde t es el tiempo transcurrido en días desde que se inició el contagio. a) ¿cuál es el número de personas afectadas el cuarto día?.
b) ¿En qué día se tiene el máximo número de enfermos?, ¿cuántos son estos?.
c) ¿Puede afirmarse que la enfermedad se irá extinguiendo con el transcurso del tiempo?. Razonar la respuesta.
a)
( )
10
12
120
4
4
·
2
4
4
·
30
4
4
2
30
)
(
2 2=
=
+
=
→
+
−
=
f
t
t
t
t
f
, En total 10·1000=10.000 personas afectadas.b)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
30
120
0
120
30
0
4
2
120
30
4
2
60
60
120
60
30
4
2
2
2
·
30
4
2
·
30
)
(
'
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2±
=
=
=
→
=
+
−
→
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
+
−
=
+
−
−
−
+
−
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
f
( )
15
4
60
4
2
·
2
2
2
·
30
2
4
2
30
)
(
2 2=
=
+
=
→
+
−
=
f
t
t
t
t
f
En total 15·1000=15.000 personas afectadasc)
→
→
∞
∞
=
+
−
=
∞ →Hopital
L
t
t
t
Lim
t
´
4
2
30
2
0
30
2
2
30
=
∞
=
−
=
∞→
t
Lim
t
, La enfermadad tiende a extinguirse con el paso del tiempo.
26. El número de individuos, en millones, de una población viene dado por la función
2 2
1 15
) t (
t )
t ( P
+ +
= , donde t mide
los años transcurridos desde t=0. Calcular: a) La población inicial.
b) El año en el que se alcanza la mínima población y el tamaño de ésta. c) ¿Cuál será el tamaño de la población a largo plazo?.
a)
( )
15
1
0
15
0
)
1
(
15
)
(
2 22
=
+
=
→
+
+
=
P
t
t
t
P
En total 15·100.000=15.000.000 personas.b)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)
[
( )
( )
(
)
]
=
→
+
+
−
+
+
=
+
+
+
−
+
=
→
+
+
=
0
1
15
1
·
·
1
·
2
1
1
·
1
·
2
·
15
1
·
2
'
)
1
(
15
)
(
22 2
2 2 2
2 2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
P
t
t
t
P
(
1
) (
·
[
·
1
)
(
15
)
]
0
15
0
15
·
2
+
+
−
+
2=
→
2+
−
−
2=
→
=
=
t
t
t
t
t
t
t
t
Se alcanza a los 15 años.
( ) ( )
0
.
9375
256
240
1
15
15
15
15
)
1
(
15
)
(
22
2 2
=
=
+
+
=
→
+
+
=
P
t
t
t
P
En total 0,9375·1.000.000=937.500 personas
c)
( )
∞
→
→
∞
=
+
+
=
∞ →Hopital
L
t
t
Lim
t
´
1
15
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2
1
2
1
1
15
1
2
15
1
2
15
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
Lim
Lim
Lim
t t
t
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∞ → ∞
→ ∞
→
,
1
0
0
1
1
0
1
2
1
1
15
2 2
=
+
+
+
=
∞
+
∞
+
+
∞
=
∞ →
Lim
t
