Funciones lineales:
aplicaciones
5.1 FUNCIONES LINEALES
5.2 OTROS EJEMPLOS DE FUNCIONES LINEALES
5.3 MODELOS BASADOS EN EL PUNTO DE EQUILIBRIO
Términos y conceptos clave
Fórmulas importantes
Ejercicios adicionales
Evaluación del capítulo
◗
Presentar un análisis de las características de las funciones
lineales.
◗
Presentar una amplia variedad de aplicaciones de las funciones
lineales.
En este capítulo ampliamos el material mostrado en los capítulos 2 y 4 al presentar un
aná-lisis de las funciones lineales. Después de revisar la forma y las suposiciones subyacentes
en estas funciones, veremos ejemplos que ilustran las aplicaciones de estos modelos en los
negocios, la economía y otras áreas.
Funciones lineales
Forma general y suposiciones
Debe estar familiarizado con la ecuación (5.1) a partir del capítulo anterior. Además
debe reconocer ésta como la forma de pendiente-intersección de una ecuación lineal con
pendiente
a
1e intersección de
y
que ocurre en (0,
a
0).
Para una función lineal que tiene la
forma de la ecuación (5.1), un cambio en el valor de y es directamente proporcional a un
cambio en el valor de x.
Este índice de cambio es constante y se representa por medio de
la pendiente
a
1.
El ejemplo 1 del capítulo 4 presentó la función lineal del salario
1 0
1 0 1
1 0
1
y⫽f(x)⫽3x⫹25
5.1
En 1990, las tasas federales de impuestos para un matrimonio eran las que se
muestran en la tabla.
Lo que se desea es una fórmula o un conjunto de fórmulas que permitan al
ma-trimonio calcular sus impuestos federales una vez que conozcan su ingreso
gravable. [Ejemplo 10]
ESCENARIO DE
MOTIVACIÓN:
Impuestos
federales sobre
la renta
Ingreso gravable
Mayor que Pero no mayor que Tasa tributaria
$ 0 $ 32 450 15%
32 450 78 400 28
78 400 162 770 33
162 770 28
Definición: Función lineal que incluye una variable independiente
Una
función lineal f
que incluye una variable independiente
x
y una variable
depen-diente
y
tiene la forma general
(5.1)
donde
a
1y
a
0son constantes,
a
10.
donde y se define como el salario semanal en dólares y x representa el número de
unida-des vendidas por semana.
En esta función del salario, se paga al vendedor un salario base
de $25 por semana y una comisión de $3 por unidad vendida. El cambio en el salario
se-manal de la persona es directamente proporcional al cambio en el número de unidades
ven-didas. Es decir, la pendiente de 3 indica el aumento en el salario semanal asociado con cada
unidad adicional vendida. La gráfica de la función del salario aparece en la figura 5.1.
Nótese que esta gráfica se encuentra en el primer cuadrante y restringe
x
y
y
a valores no
negativos. ¿Esto tiene sentido?
x y = 3x + 25
25 50 75 100 125 150
50 100 150 200 250 300 $350 l a n a m e s oi r al a S
Unidades vendidas por semana Salario
base semanal
Figura 5.1 Función lineal del salario.
Para una función lineal con la forma de la ecuación (5.2), la variable
y
depende
con-juntamente de los valores de
x
1y
x
2. El valor de la variable
y
en proporción directa cambia
en los valores de
x
1y
x
2. De modo específico, si
x
1se incrementa 1 unidad,
y
aumentará
a
1unidades. Y si
x
2aumenta 1 unidad,
y
cambiará
a
2unidades.
Suponga que el salario de un vendedor depende del número de unidades vendidas cada semana de cada uno de dos productos. Más específicamente, suponga que la función del salario
es
1 2
1 2 1 1 2 2 0
1 2 0
1 2
1 2 1
1 2 2
XAMPLE
yf(x1,x2)
y5x13x225
1 2
1 2 n
1 2 n
1 1 2 2 n n 0
1 2 n 0
Ejemplo 1
Definición: Función lineal que incluye dos
variables independientes
Una función lineal
f
que incluye dos variables independientes
x
1y
x
2y una variable
de demanda
y
tiene la forma general
(5.2)
donde ysalario semanal, x1número de unidades vendidas del producto 1y x2número de unidades vendidas del producto 2. Esta función del salario sugiere un salario semanal base de $25 y comisiones por unidad vendida de $5 y $3, respectivamente, para los productos 1 y 2. ❑
Funciones lineales del costo
Las organizaciones se interesan en los costos porque reflejan los dólares que salen de la
or-ganización. Estos flujos de egreso con frecuencia se pagan en salarios, materias primas,
provisiones, renta, calefacción, servicios y demás. Como hemos mencionado, los
contado-res y economistas definen a menudo el costo total en términos de dos componentes:
costo
variable total
y
costo fijo total
. Se deben sumar estos dos componentes para determinar el
costo total. La función del costo de posesión y operación del auto patrulla del ejemplo 3
del capítulo 4 es un ejemplo de una función lineal del costo. La función del costo
tenía costos variables que variaban con el número de millas conducidas y costos fijos de
$18 000.
El total de costos variables varía con el nivel de entrada (insumos) y se calcula como
el producto del
costo variable por unidad de salida
y el nivel de salida (producción). En
un escenario de producción, el costo variable por unidad se compone por lo general de los
costos de materia prima y trabajo. En el ejemplo de la patrulla, el costo variable por milla
consistía en los costos de operación por milla como la gasolina, aceite, costos de
manteni-miento y depreciación.
Las funciones lineales de los costos muy a menudo son realistas, aunque ignoran la
po-sibilidad de
economías
o
deseconomías de escala
. Esto es, las funciones lineales del
cos-to implican
rendimientos constantes a escala
. Los rendimientos constantes a escala implican
que no obstante el número de unidades producidas, el costo variable de cada unidad es el
mismo. Esta suposición ignora la posibilidad de que los elementos del proceso de
produc-ción (trabajadores o máquinas) pueden ser más eficientes conforme aumenta el número de
unidades producidas o que la compra de materias primas en grandes cantidades puede dar
como resultado descuentos por cantidad que a su vez pueden reducir el costo variable por
unidad producida (éste es un ejemplo de economías de escala). La función del costo de la
patrulla supone que los costos operativos por milla serán $0.40 sin que tenga importancia
C(x) 0.40x 18 000
Definición: Función lineal de
n
variables independientes
Una función lineal
f
de
n
variables independientes
x
1,
x
2, . . . ,
x
ny una variable
de-pendiente
y
tiene la forma general
o bien
(5.3)
donde
a
1,
a
2, . . . ,
a
nson constantes (diferentes de cero) y
a
0es una constante.
y f(x1,x2, . . . ,xn)el número de millas conducidas. Podríamos esperar que más allá del tiempo de vida de un
equipo, como la patrulla, éste será menos eficiente y requerirá mayor mantenimiento. Esto
se puede traducir en un mayor costo variable por unidad. Algunos modelos de costo
reco-nocen estas “no linealidades” potenciales al utilizar alguna medida del
costo variable
pro-medio por unidad.
En otras situaciones se podría desarrollar un conjunto de funciones
lineales del costo, cada uno más apropiado para ciertos casos dependiendo del nivel de
sali-da seleccionado.
El ejemplo siguiente ilustra la formulación de una función lineal del costo.
Una empresa que fabrica un solo producto se interesa en determinar la función que expresa el costo total anual ycomo una función del número de unidades fabricadas x. Los contadores indican que los gastos fijos cada año son de $50 000. También estiman que los costos de la materia prima para cada unidad producida son $5.50 y los costos de trabajo por unidad son $1.50 en el departamento de en-samble, $0.75 en el cuarto de acabado y $1.25 en el departamento de empaque y distribución.
La función del costo total tendrá la forma
Los costos variables totales dependen de dos componentes: costos de la materia prima y costos del trabajo. Los costos del trabajo se determinan sumando los costos de trabajo respectivos de los tres de-partamentos. Se define el costo total por medio de la función
ycosto total de la materia primacosto total del trabajocosto fijo total
y C(x)
costo variable total costo fijo total
costo total costo del trabajo costo del trabajo costo del trabajo costo de la materia (departamento (cuarto de (departamento fijo
prima de ensamble) acabado) de envíos) total
o
lo que se simplifica como
El 9 representa el costo variable combinado por unidad de $9.00. Es decir, por cada unidad adicional
producida, el costo total aumentará $9. ❑
yf(x)9x50 000
y5.50x(1.50x0.75x1.25x)50 000
Funciones lineales del ingreso
Con frecuencia nos referimos al dinero que fluye hacia una organización ya sea por la
ven-ta de productos o por la presven-tación de servicios como
ingreso
. El modo más fundamental
de calcular el ingreso total de la venta de un producto (o servicio) es
Una suposición en esta relación es que el precio de venta es el mismo para todas las
unida-des vendidas.
Suponga que una empresa fabrica
n
productos. Si
x
ies igual al número de unidades
ven-didas del producto
i
y
p
jes igual al precio del producto
j
, la función que le permite calcular
el ingreso total de la venta de
n
productos es
(5.4)
Esta función de ingreso se puede expresar de modo más conciso usando la
notación de
su-ma
como
(5.5)
Quienes ven por primera vez la notación de suma quizá quieran referirse al apéndice B
don-de encontrarán una introducción don-de este concepto.
Una agencia local de renta de autos, Hurts Renta-Lemon, trata de competir con algunas empresas na-cionales más grandes. La gerencia comprende que a muchos viajeros no les preocupan adornos super-ficiales como ventanas, tapacubos, radios y calentadores. I. T. Hurts, propietario y presidente de Hurts, ha estado reciclando autos usados para que formen parte de su flotilla. Hurts también simplificó la estructura de tasa de renta al cobrar una tarifa sencilla de $9.95 por día por el uso de un automóvil. El ingreso total del año es una función lineal del número de días de renta de autos de la agencia, o si Ringreso anual en dólares y dnúmero de días de renta de autos durante el año,
❑
Funciones lineales de la utilidad
La
utilidad
de una organización es la diferencia entre el ingreso total y el costo total.
Ex-presado en forma de ecuación,
(5.6)
Si
Ingreso total
R
(
x
)
y
Costo total
C
(
x
)
Utilidad ingreso total –costo total
i j
1 1 2 2 3 3 n n
n j1
j j
XAMPLE
Rf(d)9.95d
R
n
j 1
pjxj
R p1x1 p2x2 p3x3 pnxn
Ingreso total (precio)(cantidad vendida)
5.1 Funciones lineales
189
donde
x
representa la cantidad producida y vendida, entonces la utilidad se define como
(5.7)
Cuando el ingreso total excede al costo total, la utilidad es positiva. En dichos casos la
utilidad puede recibir el nombre de
ganancia neta
o
utilidad neta
. Cuando el costo total
excede el ingreso total, la utilidad es negativa. En tales casos, la utilidad puede llamarse
pérdida neta
o
déficit
. Cuando el ingreso y el costo son funciones lineales de la(s)
mis-ma(s) variable(s), la función de la utilidad es una función lineal de la(s) mismis-ma(s)
varia-ble(s).
Una empresa vende un solo producto en $65 por unidad. Los costos variables por unidad son de $20 por materiales y $27.50 por trabajo. Los costos fijos anuales son $100 000. Elabore la función de la utilidad expresada en términos de x, el número de unidades producidas y vendidas. ¿Cuál es la utili-dad si las ventas anuales son 20 000 uniutili-dades?
SOLUCIÓN
Si el producto se vende en $65 por unidad, se calcula el ingreso total utilizando la función lineal
De modo similar, el costo total anual consiste en costos de materiales, costos de trabajo y costos fijos:
que se reduce a la función lineal del costo
Por tanto, es posible calcular la función de la utilidad como
Nótese que P(x) es una función lineal. La pendiente de 17.50 indica que para cada unidad adicional producida y vendida, la utilidad aumenta $17.50. Esto se conoce en los negocios y la economía co-mo utilidad marginal(la suma a la utilidad total de la venta de la unidad siguiente).
Si la empresa vende 20 000 unidades durante el año,
P(20 000) 17.50(20 000) 100 000 350 000 100 000 250 000
XAMPLE
P(x)R(x)C(x)
65x(47.50x100 000)
17.50x100 000
XAMPLE XAMPLE
C(x)47.50x100 000
XAMPLE XAMPLE
C(x)20x27.50x100 000
XAMPLE XAMPLE
R(x)65x
XAMPLE
n j1
j j
XAMPLE
P(x)R(x)C(x)
Ejemplo 4
(Planeación de la agricultura) Una organización agricultora tiene tres granjas diferentes que se uti-lizarán el año próximo. Cada granja tiene características únicas que la hacen ideal sólo para una co-secha. La tabla 5.1 indica la cosecha seleccionada para cada granja, el costo anual de la plantación de 1 acre de cosecha, el ingreso esperado derivado de cada acre y los costos fijos asociados con la operación de cada granja. Además de los costos fijos relacionados con la operación de cada granja, la corporación como un todo tiene costos fijos anuales de $75 000. Determine la función de la utili-dad para la operación de las tres granjas si xjnúmero de acres plantados en la granja j, rj ingre-so por acre en la granja j, cjcosto por acre en la granja jy Fjcosto fijo en la granja j.
Costo/acre Ingreso/acre Costo fijo
Granja Cosecha (cj) (rj) (Fj)
1 Frijol de soya $ 900 $1 300 $150 000
2 Maíz 1 100 1 650 175 000
3 Papa 750 1 200 125 000
SOLUCIÓN
El ingreso total proviene de la venta de las cosechas plantadas en cada una de las tres granjas, o
Los costos totales son la suma de los de las tres granjas más los costos fijos corporativos, o
La utilidad total es una función lineal que se calcula como
❑
Sección 5.1
Ejercicios de seguimiento
1. Escriba la forma general de una función lineal con cinco variables independientes.
2. Suponga que el vendedor del ejemplo 1 (página 185) tiene un objetivo salarial de $800 por sema-na. Si el producto Bno está disponible una semana, ¿cuántas unidades del producto A se deben vender para lograr el objetivo salarial? Si el producto Ano está disponible ¿cuántas unidades se deben vender del producto B?
P(x11,x2,x3) R(x1,x2,x3) C(x1,x2,x3)
1 300x1 1 650x2 1 200x3 (900x1 1 100x2 750x3 525 000) 400x1 550x2 450x3 525 000
C(x11,x2,x3) c1x1 F1 c2x2 F2 c3x3 F3 75 000
900x1 150 000 1 100x2 175 000 750x3 125 000 75 000 900x1 1 100x2 750x3 525 000
R(x11,x2,x3) r1x1 r2x2 r3x3
1 300x1 1 650x2 1 200x3
Ejemplo 5
3. Suponga en el ejemplo 1 (página 185) que el vendedor recibe un bono cuando la venta com-binada de los dos productos es de más de 80 unidades. El bono es de $2.50 por unidad para cada unidad en exceso de las 80. Con este programa de incentivos, la función del salario se debe des-cribir por medio de dos funciones lineales diferentes. ¿Cuáles son y cuándo son válidas?
4. Para el ejemplo 4 (página 189), ¿cuántas unidades se deben producir y vender para a) ganar una utilidad de $1.5 millones, y b) tener una utilidad de cero (equilibrio)?
5. Un fabricante de microcomputadoras produce tres modelos distintos. La tabla siguiente resume los precios de venta al mayoreo, el costo de material por unidad y el costo de trabajo por unidad. Los costos fijos anuales son $25 millones.
Microcomputadora
Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3
Precio de venta al mayoreo/unidad $500 $1 000 $1 500
Costo del material/unidad 175 400 750
Costo del trabajo/unidad 100 150 225
a) Determine la función del ingreso total conjunto de las ventas de los tres modelos diferentes de microcomputadoras.
b) Determine la función del costo total anual de la fabricación de los tres modelos. c) Determine la función de la utilidad de la venta de los tres modelos.
d) ¿Cuál es la utilidad anual si la empresa vende 20 000, 40 000 y 10 000 unidades, respectiva-mente, de los tres modelos?
6. Para el ejemplo 5 (página 190), el consejo de directores votó por el siguiente programa de plan-tación para el próximo año: se plantarán 1 000 acres en la granja 1, 1 600 en la granja 2 y 1 550 en la granja 3.
a) ¿Cuáles son las utilidades esperadas del programa?
b) Una sequía de verano provocó que se redujeran los ingresos por acre en 20, 30 y 10 por cien-to, respectivamente, en las tres granjas. ¿Cuál es la utilidad esperada del programa de plan-tación antes mencionado?
7. Renta de automóviles Una agencia de renta de automóviles compra autos nuevos cada año para usarlos en la agencia. Los autos nuevos cuestan $15 000. Se usan por 3 años, después de los cua-les se venden en $4 500. El propietario de la agencia estima que los costos variabcua-les de la opera-ción de los autos, aparte de la gasolina, son $0.18 por milla. Se rentan los autos a una tarifa sencilla de $0.33 por milla (sin incluir la gasolina).
a) Formule la función del ingreso total asociado con la renta de uno de los autos por un total de xmillas en un periodo de 3 años.
b) Formule la función de costo total asociada con la renta de un auto por un total de xmillas en 3 años.
c) Formule la función de la utilidad.
d) ¿Cuál es la ganancia si se renta el automóvil por 60 000 millas en un periodo de 3 años? e) ¿Qué millaje se requiere para tener una utilidad de cero en 3 años?
8. Una compañía fabrica un producto que vende en $55 por unidad. Para la empresa cada unidad tie-ne un costo de $23 en gastos variables y los costos fijos sobre una base anual son $400 000. Si x es igual al número de unidades producidas y vendidas durante el año: