APUNTES Y EJERCICIOS DE GEOMETRIA ANALITICA ALGEBRA SUPERIOR UTS Lhqs.pdf

(1)

APUNTES DOCENTES

GEOMETRIA ANALITICA ALGEBRA

APUNTES DOCENTES

PROFESOR: LUIS HUMBERTO QUINTERO SUAREZ

GEOMETRIA ANALITICA ALGEBRA

SUPERIOR

APUNTES DOCENTES

(2)

GEOMETRIA ANALITICA

LA RECTA

La forma estándar de la ecuación Lineal Ejemplo: =>

x y 1 1/2 2 0 3 -1/2 -1 3/2 -2 2 0 1

Ecuación General de la Línea Recta

=>

Los puntos donde la recta cruza los ejes son los intersectos o puntos de intersección Intersección Con El Eje y

Intersección Con El Eje x

Uso de las intersecciones para graficar la Ecuación General. graficar

=> x y 0 4 0 Ejemplo: graficar:

PENDIENTE de una recta

La pendiente índica la inclinación de la recta está dada por: para la pendiente

>0 + la recta asciende <0 - la recta desciende la recta es horizontal m indefinida la recta es vertical

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos

2 . 2 =

+ y x

c By

Ax+ = y

3 4 3

− = x y

3 4x+

1 2 x

x ≠

m m

0

=

m

1 2

1

2 =

− − = ∆ ∆ =

x x

y y x y m

GEOMETRIA ANALITICA

La forma estándar de la ecuación Lineal A, B y C constantes => y

0

Ecuación General de la Línea Recta

B≠₀

Los puntos donde la recta cruza los ejes son los intersectos o puntos de intersección se hace x=0 y se despeja y

se hace y=0 y se despeja x

Uso de las intersecciones para graficar la Ecuación General. graficar => x y

-3

4 0 -3 y

que pasa por dos puntos y La pendiente índica la inclinación de la recta está dada por:

la pendiente m mide el cambio horizontal para ir de >0 + la recta asciende

la recta desciende la recta es horizontal indefinida la recta es vertical

Ejemplo: Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos

pendiente negativa => recta

C By Ax+ =

2 1 2

2 x

y x

y= − ⇒ = −

B C x B A

+ − =

( )

0,y

( )

x,0

12 4 3x− y=

12

=

y 3y+x−6=0

(

1 1

)

1 x ,y

p p₂

x y

m =

∆ ∆ =

1 p

3 1 6 2 2 4

3

5 ₌ ₋

− = − −

−

3 1

− =

⇒m

GEOMETRIA ANALITICA

constantes A y B ≠ 0

x

Los puntos donde la recta cruza los ejes son los intersectos o puntos de intersección

Uso de las intersecciones para graficar la Ecuación General. graficar

mide el cambio horizontal para ir de a

y

pendiente negativa => recta

12 . 4 .

3x− y =

12

(

2 2

)

2 x ,y

1 2

1 2 var

var

x x

y y iaciónx iacióny

− − = =

1

p p2

(3)

Ejercicios: Calcular la pendiente de las rectas que pasa por los puntos:

a- y d- y

Ecuación de la recta Punto

La ecuación de la recta que pasa por el punto

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta vertical y de la recta horizontal que pasa por

recta vertical m indefinida =>

recta horizontal

En los anteriores ejercicios encontrar la ecuación de la recta (página anterior)

Ecuación de la Recta Pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente punto =>

ó

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente la recta

punto de intersección de la recta el punto seria

Ejercicios:

- Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4 y que corta al eje

- Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene como intersectos 4 con el eje

la recta pasa por los puntos (4,0) y (0,

hallamos la pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto intersección de las rectas

(

6,1

)

1 −

p p₂

( )

2,7

( )

0,1 1

p p₂

(

0,−3

)

1 y

y− =

3

=

m

(

1

)

1 m x x y

y− = −

3 3 − − = x y = m

(

1

)

1 m x x y

y− = −

mx y =

⇒

(

0,−5

)

p m=−

0 10 3

2y+ x+ =

5 5 2x− y+

( )

0,1 p

(

1

)

1 m x x y

y− = −

Calcular la pendiente de las rectas que pasa por los puntos: b - y c -

e - y

Ecuación de la recta Punto-Pendiente

La ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene como pendiente =>

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta vertical y de la recta horizontal que pasa por indefinida =>

=>

En los anteriores ejercicios encontrar la ecuación de la recta (página anterior)

Ecuación de la Recta Pendiente-Intersecto con y que está dado por

=>

Ecuación pendiente-intersecto

Hallar la ecuación de la recta con pendiente y que intersecta al eje y =>

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta con pendiente -2 y que pasa por el punto de intersección de con el eje y

punto de intersección de la recta con y hacemos => => ó

Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4 y que corta al eje

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente -3/4 y como intersecto Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene como intersectos 4 con el eje

la recta pasa por los puntos (4,0) y (0,-5) => hallamos la pendiente conociendo dos puntos hallamos la pendiente

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto intersección de las rectas y

(

2,6

)

1 −

p p₂

(

3,−4

)

p₁

(

3,−2

)

p₁

(

−3,−2

)

p₂

(

−1,0

)

(

x1,y1

)

p

(

x x1

)

m −

=

( )

2,1 p

( )

(

2

)

3 3

(

2

3

3=− − − ⇒ − =− +

− x y x

y

1

=

x

⇒

0 y−y₁ =m

(

x−x₁

)

y+2=0

(

x−1

)

⇒

(

x

)

y b mx y m

b

y− = −0 ⇒ − = ⇒ =

b + 2 3 − = m 2 3

− b=−5

2 3 + − = ⇒ +

=mx b y x y 0 5= 0 5 5 2x− y+ =

b mx

y = + y =−2x+1 y+

4 5 4 5 4 0 0 5 1 2 1 2 = − − = − − − = − − = x x y y m

(

)

5

4 5 4

4 5

0= − ⇒ = −

−

⇒ y x y x

( )

2,2 p 0

4 3 + =

− x

y y+2x−1=0

Calcular la pendiente de las rectas que pasa por los puntos: y

y tiene pendiente m está dada por:

y tiene como pendiente

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta vertical y de la recta horizontal que pasa por

En los anteriores ejercicios encontrar la ecuación de la recta (página anterior) que está dado por

y que intersecta al eje y en el

por el punto de intersección de hacemos

Hallar la ecuación de la recta con pendiente 4 y que corta al eje y en el punto 3/4 y como intersecto

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que tiene como intersectos 4 con el eje x y -5 con el eje y pendiente conociendo dos puntos

y por el punto de

)

2 p₂

(

−1,−2

)

3 3 6

2 ⇒ y− =− x−

( )

1,−2 p

2

− =

⇒ _y

( )

0,b b mx+

( )

5

2 3 5 ⇒ =− −

−

+ y x

1 0⇒ =

= y x

0 1 2x− =

( )

0,3 p

3 2

=

(4)

y punto de intersección de las rectas el sistema 2x2 y la solución es el

puntos hallamos la pendiente y la ecuación de la recta pedida

Rectas Paralelas

Dos rectas no verticales

Rectas Perpendiculares

Dos rectas no verticales es igual a -1

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el pu a- Paralela a la recta

b- Perpendicular a la recta

=>

a- Cualquier recta paralela a ésta recta ha de tener =>- La recta que pasa por el punto

como ecuación

b- Cualquier recta perpendicular a la recta pendiente

la recta que pasa por el punto como ecuación

Distancia Entre Dos Puntos

Sea y

Distancia Entre Un Punto

Punto Medio Entre Dos Puntos

Ejemplo: Demostrar que los 4 puntos

rectángulo. => Hallamos las pendientes

=>

( )

2,2 1

p p2

l

l 1 . ₂ 1m =− m

5 3

2x− y= y=

2 3

− =

m

y−

(

1 1

)

1 x ,y

p p₂

(

x₂,

CD AB

m

=

l₁

1 .

_BC

=

−

AB

m

punto de intersección de las rectas dadas y para hallarlo debemos resolver el sistema 2x2 y la solución es el da como resultado

puntos hallamos la pendiente y la ecuación de la recta pedida

y son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales

y son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto Paralela a la recta

Perpendicular a la recta

=> ésta recta tiene Cualquier recta paralela a ésta recta ha de tener

La recta que pasa por el punto y es paralela a la recta como ecuación _=>

Cualquier recta perpendicular a la recta cuya pendiente es 2/3 ha de tener ( )

la recta que pasa por el punto y es perpendicular a la recta

Distancia Entre Dos Puntos

Distancia Entre Un Punto y la Recta

Punto Medio Entre Dos Puntos y Ejemplo: Demostrar que los 4 puntos , , y

rectángulo. => Hallamos las pendientes , , y

// y => // => y

2

p p2

(

1,−1

⇒

1

l l2

1

l l₂

( )

2,−1 p 5

3 2x− y =

5 3 2x− y =

3 5 3 2

− = x

3 2

=

m

3 2

=

m

( )

2,−1 p

(

1

)

1 m x x y

y− = −

( )

(

2

)

3 2 1 = −

−

− x

y

5 3 2x− y=

2 3 1

3 2 ) 1

. ₂ ₂ ₂

1m =− ⇒ m =− ⇒m =− m

( )

2,−1 p

(

1

)

2 1 m x x

y = −

−

( )

(

2

)

3

2 3

1 =− − =

− −

⇒ y x

)

2

,y ⇒d =

(

x₂ −x₁

) (

2 + y₂ −y₁

)

2

(

1 1

)

1 x ,y

p Ax+By+C =0

(

1 1

)

1 x ,y

p p₂

(

x₂,y₂

)



  +

2 1 x P_M

( )

6,2

A B

( )

8,6 C

( )

4,8 D

( )

2,4

AB

m

_BC

m

_CD

1

l

3

m

BC

=

m

DA

l

2 l4 2

1 l

l ⊥

m

_CD

.

m

_DA

=

−

1 ⇒

l

₃

⊥

l

₄

dadas y para hallarlo debemos resolver y conociendo dos

son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales

son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes

y es:

y es paralela a la recta tiene =>

cuya pendiente es 2/3 ha de tener

y es perpendicular a la recta tiene

son los vértices de un y

)

1

4 3 −

=

⇒ y x

2 1 m

m =

5 3 2x− y =

7 3 2x− y =

5 3 2x− y=

4 2 3x+ y=

2 2

1 1

B A

C By Ax d

+ + + =

  

+

2 , 1 2 2 y y x

)

DA

(5)

El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y el par de lados adyacentes son perpendiculares => el cuadrilátero es un rectángulo y si las distancias son iguales es un cuadrado

Ejercicios:

a- Demuestre que los puntos

rectángulo y calcule su área y su perímetro.

b- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (3,4), hallar el perímetro del triángulo formado por la recta que pasa por el punto (3,4) y es perpendicular a la recta hallada.

c- Hallar la ecuación de la recta con intersectos

triángulo formado por la recta con los ejes x y y. Hallar la distancia desde el punto de origen a la recta.

d- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

que pasa por el punto

formado por las dos rectas y el eje x, Halle la distancia entre el punto de origen y el punto de intersección de las dos rectas

El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y el par de lados adyacentes son perpendiculares el cuadrilátero es un rectángulo y si las distancias son iguales es un cuadrado

Demuestre que los puntos A

( )

3,1 B

( )

6,0 y C

( )

4,4 son los vértices de un triángulo rectángulo y calcule su área y su perímetro.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (3,4), hallar el perímetro del triángulo formado por la recta que pasa por el punto (3,4) y es perpendicular a la recta

lar la ecuación de la recta con intersectos x= −4 y y=7

triángulo formado por la recta con los ejes x y y. Hallar la distancia desde el punto de

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto

(

−2,1

)

y es perpendicular a la recta que pasa por el punto

( )

7,0 y tiene pendiente -1 Halle el área y el perímetro del triángulo formado por las dos rectas y el eje x, Halle la distancia entre el punto de origen y el punto de intersección de las dos rectas

El cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos y el par de lados adyacentes son perpendiculares el cuadrilátero es un rectángulo y si las distancias son iguales es un cuadrado

son los vértices de un triángulo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto (3,4), hallar el perímetro del triángulo formado por la recta que pasa por el punto (3,4) y es perpendicular a la recta

Halle el perímetro del triángulo formado por la recta con los ejes x y y. Hallar la distancia desde el punto de

y es perpendicular a la recta

(6)

LA CIRCUNFERENCIA

Una Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del

constante de un punto fijo llamado Centro; la distancia de cada punto de la Circunferencia al Centro se denomina Radio

Ecuación Canónica o Forma Estándar de la Circunferencia con Radio es:

En particular si el centro está en el punto de origen

Ejemplos:

a- Determinar si el punto (4, Reemplazo el punto

no pertenece a la circunferencia está por fuera porque

debería dar <25 y si perteneciera a la circunferencia debía dar 25=25 b- Determinar si el punto (1,

reemplazo el punto (1,

c- Determinar el radio y el centro de la circunferencia y

d- Determine la ecuación de la circunferencia cuyo radio es como

e- Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y que pasa por el punto (1,4).

y =>

debe satisfacer la ecuación y por tanto podemos hallar el radio de la circunferencia

f- Determine la ecuación de la circunferencia con los puntos extremos de un diám

El centro de la circunferencia está en el punto medio del diámetro que une los puntos

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a uno de los puntos del diámetro

=> ecuación de la circunferencia

( )

a b

c ,

(

x

−

a

) (

2

+

y

2 2 2

r

y

x

+

=

(

4+2

) (

2 + −1−1

)

2

(

1+2

) (

2 + −3−1

)

2

3

=

a b=−2

(

) (

2

y

a

x

−

+

4

=

a b=3

(

1 −

4 ) (

2

+

4 −

3 )

2

=

r

2 1    +

=

=c x x PM

(

)

2 1 2 x x r

d = = −

8 =

r

LA CIRCUNFERENCIA

Una Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano que están a una distancia de un punto fijo llamado Centro; la distancia de cada punto de la Circunferencia al Centro se denomina Radio

Ecuación Canónica o Forma Estándar de la Circunferencia con Radio círculo ≤ 0

En particular si el centro está en el punto de origen => y

Determinar si el punto (4,-1) pertenece o no a la circunferencia Reemplazo el punto en la ecuación de la circunferencia dada

? => ?

no pertenece a la circunferencia está por fuera porque > si estuviera dentro debería dar <25 y si perteneciera a la circunferencia debía dar 25=25

Determinar si el punto (1,-3) pertenece a la circunferencia

l punto (1,-3) en la ecuación de la circunferencia dada

? => => pertenece a la circunferencia Determinar el radio y el centro de la circunferencia

=>

Determine la ecuación de la circunferencia cuyo radio es y su centro =>

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y que pasa por el punto => como el punto (1,4) pasa por la circunferencia debe satisfacer la ecuación y por tanto podemos hallar el radio de la circunferencia

=> la ecuación sería: Determine la ecuación de la circunferencia con los puntos

de un diámetro.

El centro de la circunferencia está en el punto medio del diámetro que une los puntos

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a uno de los puntos del diámetro distancia del centro a uno de los puntos del diámetro => ecuación de la circunferencia

)

2 2

r

b

=

−

( )

0,0

c a=0

( )

4,−1 25

= 62 +

( )

−2 2 =25

25 4 36+ ≠

40 25

(

x+2

25

2 ₌

( )

25 16 9 4

32+ − 2 = + =

(

x−3

) (

2+ y

( )

3,−2

c r2 = 49⇒ r =7

2

)

2 2

r

b

y

−

=

(

x

+

5 ) (

2

+

y

−

5 )

2

=

2 (

) (

2

)

2 2 3

4 y r

x− + − =

10

2 2

_⇒

=

r

(

x

−

4 )

(

2,− A

( )

4, 1 2

1 3 , 2

6 2 2

, 1 2

2 _= −

  



 + − +

=

  

+y

y

₍

, 4− c

(

)

2

1 2 2

y

y −

+

(

x−4

) (

2 + y+1

plano que están a una distancia de un punto fijo llamado Centro; la distancia de cada punto de la Circunferencia al Ecuación Canónica o Forma Estándar de la Circunferencia con Radio r y con centro en el punto

en la ecuación de la circunferencia dada

=> el punto si estuviera dentro debería dar <25 y si perteneciera a la circunferencia debía dar 25=25

3) en la ecuación de la circunferencia dada

=> pertenece a la circunferencia

y su centro

Determine la ecuación de la circunferencia con centro en (4,3) y que pasa por el punto como el punto (1,4) pasa por la circunferencia debe satisfacer la ecuación y por tanto podemos hallar el radio de la circunferencia

y en los

El centro de la circunferencia está en el punto medio del diámetro que une los puntos A y B es el centro

El radio es la distancia desde el centro de la circunferencia a uno de los puntos del diámetro distancia del centro a uno de los puntos del diámetro

0

=

b

(

x+2

) (

2 + y+2

)

2 =25

25

) (

1

)

25 2 2 + y− 2 =

)

49 2 2 =

+

y

(

−5,5

)

) (

2

+

y

−

3 )

2

=

10 )

3

− B

( )

6,1

)

1

−

(7)

Ecuación General de la Circunferencia

g- Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en ( Ecuación canónica

la ecuación general de la circunferencia es:

h- Hallar el radio y el centro de la circunferencia dada por la ecuación

Debemos hallar la ecuación canónica. Asociamos términos de la misma variable

i- Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y cuyo centro está sobre la recta

los puntos deben satisfacer la ecuación de la circunferencia para

para

el centro está sobre la recta

j- Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

en el punto (4,3) primero vemos si el punto pertenece a la circunferencia

La Tangente a una Circunferencia =>si conocemos la

la recta tangente y en consecuencia su ecuación La circunferencia tiene su centro en (1,

pendiente del radio en ese punto => en (4,3) =>

=>La ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto (4,3) es:

k- Resolver el problema:

En un centro recreativo se quiere construir una piscina circular aprovechando tres

10

2 2

+

x

y

x

x x2 +10

⇒

+

( )

2 +

10 x

+

25 +

y

2

x

(

−3,5

)

(

−

(

−5,−1

)

(

−

( )

a,b 0 5 3 2 − + =

⇒ a b

2

25 6

9+ a+a +

⇒

3 2 2

5

3 _⇒

− = −

⇒ b b

(

x+1

) (

2+ y−1

)

2

. 2 1m m

(

4 3 3=− −

− x y

Ecuación General de la Circunferencia

Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro en (-2,1) y con radio Ecuación canónica =>

la ecuación general de la circunferencia es:

Hallar el radio y el centro de la circunferencia dada por la ecuación

allar la ecuación canónica. Asociamos términos de la misma variable completamos cuadrados para x y y

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y cuyo centro está sobre la recta

los puntos deben satisfacer la ecuación de la circunferencia

está sobre la recta debe cumplir con la ecuación

=>

ó

Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

La Tangente a una Circunferencia es la perpendicular al radio en el punto de tangencia

si conocemos la pendiente del radio en el punto dado es posible hallar la recta tangente y en consecuencia su ecuación

La circunferencia tiene su centro en (1,--1) y tenemos el punto (4,3) => podemos hallar la pendiente del radio en ese punto => sea la pendiente de la recta

=>

=>La ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto (4,3) es: =>

Resolver el problema:

0

2

+

=

F

Ey

Dx

y

x

(

x+2

) (

2 + y−1

)

2 =2

x

2

+

4 x

+

4 +

y

2

4

2

+

−

y

x

y

x

0

17

2 +

=

−

y

x

y

2

−

2

=−17

1

25

17

1

2

−

+

=

−

+

y

⇒

(

x+5

) (

2+ y−1

)

0 5 3 2x− y+ =

(

x

) (

2

)

2 2

5

3 −

a

+

−

b

=

r

−

) (

2

)

2 2

1

5 −

a

+

−

b

=

r

−

0 5 3 2x− y+ =

2 5 3 −

=

⇒a b

2 2

2

2 1 10

25

10b+b = + a+a + + b+b

− ⇒

1 1⇒ =−

=

⇒b a

r

=

2

5

20

=

x

2

+

y

2

+

2 x

−

2 y

−

18 =

0

3 4

1 =

m m2

1 2 =−

4 3

2 =−

m

)

4 6

4 3

+ − = x y

2,1) y con radio

Hallar el radio y el centro de la circunferencia dada por la ecuación

allar la ecuación canónica. Asociamos términos de la misma variable completamos cuadrados para x y y

Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos y

debe cumplir con la ecuación

Determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia

es la perpendicular al radio en el punto de tangencia radio en el punto dado es posible hallar la pendiente de 1) y tenemos el punto (4,3) => podemos hallar la

la pendiente de la recta ┴ al radio

=>La ecuación de la recta tangente de la circunferencia en el punto (4,3) es:

2

1

2

−

+

=

y

0

3 =

+

)

2 =9 c

(

−5,1

)

r=3

(

−3,5

)

(

−5,−1

)

) (

2

)

2 2 r b y a

x− + − =

b a=2−3 ⇒

(8)

alcantarillas de desagüe situadas en los siguientes puntos coordenados

(

)

2 . 2 −

y

( )

7 , 5

Si se desea que la circunferencia que rodea la piscina, pase por éstas tres alcantarillas; entonces, ¿Cuál será la ecuación de la circunferencia, su centro, su radio y su gráfica que cumplan las condiciones dadas?

Podemos sustituir las coordenadas dadas en el modelo general de la circunferencia

2

2₊ ₊ ₊ ₊ Ey Dx y x

(

)

0 , 2

− ⇒−2D+F

al resolver el sistema 3x3 tenemos que:

Y sustituimos éstos valores en la ecuación general de la circunferencia

6 4 2 2 + − −

⇒_x _y _x

(

) (

)

3 2 2+ +

+

⇒ x y

l- Demostrar que la recta

y determinar el punto de tangencia.

Si la recta toca ó corta la circunferencia, la ec

de la circunferencia => despejando x de la ecuación de la recta y la sustituimos en la ecuación de la circunferencia =>

=>

0 16 8

2 − + = y y

de acuerdo al resultado queda comprobado que la recta es tangente a la circunferencia Porque sólo tiene un punto común (2,4) que es el punto de tangencia.

Si hubiese dado dos puntos comunes a la recta y circunferencia, la recta cortaría a la circunferencia y si no hubiese dado respuesta alguna la recta e

circunferencia.

m- Una circunferencia es tangente al eje de las x y pasa por el punto A(1,1) y tiene su centro sobre la recta y=x-1 Obtener la ecuación de la circunferencia.

graficamos los datos que nos dan: para que la circunferencia sea tangente al eje de las x se necesita que la ordenada (b) del centro sea igual al radio. => b=r

Las coordenadas del punto A deben satisfacer la ecuación de la circunferencia => (1-a)² +(1-b)² =b²

Las coordenadas del centro deben satisfacer la ecuación de la recta => b=a reemplazando en (1

(2-a)² =0 => a=2 y reemplaz seria: (x-2)² +(y-1)²=1

Si se desea que la circunferencia que rodea la piscina, pase por éstas tres alcantarillas; entonces, ¿Cuál será la ecuación de la circunferencia, su centro, su radio y su gráfica que cumplan las condiciones dadas?

Podemos sustituir las coordenadas dadas en el modelo general de la circunferencia

0

= +F

formando así un sistema lineal con tres incógnitas:

4

− =

F

,

(

)

2 ,

2− ⇒2D−2E+F=−8

y

(

, 5

al resolver el sistema 3x3 tenemos que:

4 −

=

D

,

6

− =

E

y Y sustituimos éstos valores en la ecuación general de la circunferencia

0 12 6y− =

y hallamos la ecuación canónica de la circunferencia

)

2 =25

de donde centro

( )

3 , 2

y radio 5 graficar…

Demostrar que la recta

10 2 =

+ y x

es tangente a la circunferencia y determinar el punto de tangencia.

Si la recta toca ó corta la circunferencia, la ecuación de la recta debe satisfacer la ecuación de la circunferencia => despejando x de la ecuación de la recta y la sustituimos en la ecuación de la circunferencia =>

y x=10−2

=>

(

)

2 10− y 2 +y

0

=> resolviendo => y=4 y sustituyendo => x=2

Si hubiese dado dos puntos comunes a la recta y circunferencia, la recta cortaría a la circunferencia y si no hubiese dado respuesta alguna la recta estaría por fuera de la

Una circunferencia es tangente al eje de las x y pasa por el punto A(1,1) y tiene su centro 1 Obtener la ecuación de la circunferencia.

tos que nos dan: para que la circunferencia sea tangente al eje de las x se necesita que la ordenada (b) del centro sea igual al radio. => b=r

Las coordenadas del punto A deben satisfacer la ecuación de la circunferencia b)² =b²

Las coordenadas del centro deben satisfacer la ecuación de la recta => b=a reemplazando en (1-a)² +(1-b)²=b² => (1-a)² +(1-a+1)² =(a-1)² =(1

a)² =0 => a=2 y reemplazando => b=1 => r=1 => la ecuación de la circunferencia 1)²=1

(

)

0 , 2

−

, Si se desea que la circunferencia que rodea la piscina, pase por éstas tres alcantarillas; entonces, ¿Cuál será la ecuación de la circunferencia, su centro, su radio Podemos sustituir las coordenadas dadas en el modelo general de la circunferencia

formando así un sistema lineal con tres incógnitas:

)

7 ,

74 7

5 + + =−

⇒ D E F

y

12 −

=

F

Y sustituimos éstos valores en la ecuación general de la circunferencia

y hallamos la ecuación canónica de la circunferencia y radio 5 graficar…

es tangente a la circunferencia

0 4 2 2

2+ − − = y x y x

uación de la recta debe satisfacer la ecuación de la circunferencia => despejando x de la ecuación de la recta y la sustituimos en la

(

10 2

)

4 0 2

2− − − = y y y

=> resolviendo => y=4 y sustituyendo => x=2

Si hubiese dado dos puntos comunes a la recta y circunferencia, la recta cortaría a la staría por fuera de la

Una circunferencia es tangente al eje de las x y pasa por el punto A(1,1) y tiene su centro tos que nos dan: para que la circunferencia sea tangente al eje de las x se necesita que la ordenada (b) del centro sea igual al radio. => b=r

Las coordenadas del punto A deben satisfacer la ecuación de la circunferencia Las coordenadas del centro deben satisfacer la ecuación de la recta => b=a-1

(9)

n- Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:

16 2 2

2 ₊ ₋ ₊ ₊ y x y x

(

2 −16 +64−64

) (

+ 2

⇒ x x y

por tanto el centro y el radio son:

Como el radio es cero, la circunferencia se reduce a un punto que es el mismo centro.

Ejercicios:

a- En la circunferencia x

ecuaciones de las rectas tangentes a dicha circunferencia en los puntos

determinar si esas dos rectas tangentes son perpendiculares entre si. Hallar la distancia del centro de la circunferencia a punto de corte de las dos rectas tangentes.

b- Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto do

0 5 3 2x− y+ =

corta al eje x y que pasa por el punto donde la recta corta el eje y.

c- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

sobre la recta 3x−y

d- Encuentre los puntos de corte de la recta

e- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

f- Determinar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto es concéntrica a la representada por la ecuación:

anillo formado por las dos circunferencias.

g- Determinar los puntos donde la circunferencia cuya ecuación es a los ejes coordenados.

Sugerencia: para encontrar los puntos de intersección con el eje de las x hacemos

resolvemos la ecuación resultante, si da un solo valor quiere decir que la circunferencia es tangente al eje x en ese punto, si dan dos valores la circunferencia corta al eje x en dos puntos. Lo mismo para los puntos de intersección con el eje y hacemos

h- Encontrar los puntos de intersección de las circu x2+y2−2x+4y=0

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:

0 65=

+

)

65 0 1

1 2

2 + + − + =

y ⇒

(

x−8

) (

2 + y+1

)

2 por tanto el centro y el radio son: C

( )

8,−1 y r=0

0 23 2 2

2

2 + + + − =

y x y x

encontrar su centro y el radio

determinar si esas dos rectas tangentes son perpendiculares entre si. Hallar la distancia del centro de la circunferencia a punto de corte de las dos rectas tangentes.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto do

corta al eje x y que pasa por el punto donde la recta

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

(

1 , 3

2

=

.

Encuentre los puntos de corte de la recta

1

= + y x

y la circunferencia

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P

(

0

Determinar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto

es concéntrica a la representada por la ecuación: x2+y2−2x−8y anillo formado por las dos circunferencias.

Determinar los puntos donde la circunferencia cuya ecuación es 2 x a los ejes coordenados.

Sugerencia: para encontrar los puntos de intersección con el eje de las x hacemos

resolvemos la ecuación resultante, si da un solo valor quiere decir que la circunferencia es tangente al eje x en ese punto, si dan dos valores la circunferencia corta al eje x en dos puntos. Lo mismo para los puntos de intersección con el eje y hacemos x=

Encontrar los puntos de intersección de las circunferencias representadas por las ecuaciones: 0 y x2+y2 +2x+8y=0

Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación:

0

=

encontrar su centro y el radio, hallar las

( )

5 , 4

y

(

)

3 , 4−

y determinar si esas dos rectas tangentes son perpendiculares entre si. Hallar la distancia del centro de la circunferencia a punto de corte de las dos rectas tangentes.

Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto donde la recta

corta al eje x y que pasa por el punto donde la recta

0 2 5x−y+ =

)

1

y

(

)

3 , 1

−

y su centro está

y la circunferencia

4 2 2 + =

y x

)

0 ,

0 _,Q

(

−6,2

)

_yR

(

−6,6

)

Determinar la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto P

( )

1,0 sabiendo que

0 13=

+ y hallar el área del

0 1 4 2 − + =

+

+y x y corta

Sugerencia: para encontrar los puntos de intersección con el eje de las x hacemos y=0y resolvemos la ecuación resultante, si da un solo valor quiere decir que la circunferencia es

tangente al eje x en ese punto, si dan dos valores la circunferencia corta al eje x en dos puntos. 0 …..

(10)

LA PARABOLA

La Parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a una recta fija (directriz) es la misma que su

V=Vértice punto de intersección de la parábola con el eje L=eje de simetría o eje focal

F=foco punto sobre el eje de simetría que está separado del vértice por una distancia igual a la que separa al vértice de la directriz d(v,direct)=d(V,F)

y la directriz.

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en (0,0)

- Eje de simetría en el eje x

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en V(0,0) simetría en el eje x entonces las coordenadas del foco son F(P,0)

La ecuación de la Directriz es

- Eje de simetría en el eje y

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice enV(0,0) y el eje de simetría en el eje y entonces las coordenadas del foco son F(0,P)

Ejemplos:

a- Determinar los elementos de la parábola Eje de simetría en el eje x,

como Directriz

b- Determinar los elementos de la parábola =>

eje de simetría eje y vértice en (0,0) foco (0,P) (0,1/4) Directriz

c- Encontrar la ecuación de la parábola con foco F(0,3) y directriz Tenemos que

Vértice eje de simetría

d- Encuentre la ecuación de la parábola con directriz

Graficamos la directriz y el foco y vemos su colocación, que nos dá la forma de la ecuación

e- Encuentre el Foco el Vértice. la Directriz y el Eje de la parábola

Px

y

2

=

4 ⇒

P

Py

x

2

=

4 ⇒

6

=

⇒P

P x=−

y

x

=

⇒

2

y =

P

( )

0,0

( )

x

2

=

4 −

2 ⇒

La Parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a una recta fija (directriz) es la misma que su distancia a un punto fijo F llamado foco

V=Vértice punto de intersección de la parábola con el eje L=eje de simetría o eje focal

F=foco punto sobre el eje de simetría que está separado del vértice por una distancia igual a la a directriz d(v,direct)=d(V,F). El vértice es el punto medio que une al foco

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en (0,0)

Eje de simetría en el eje x

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en V(0,0) simetría en el eje x entonces las coordenadas del foco son F(P,0)

Eje de simetría en el eje y

Determinar los elementos de la parábola

Eje de simetría en el eje x, vértice en (0,0) Para determinar como P>0 => foco F(P,0) F(6,0)

=>

Determinar los elementos de la parábola

=> => =>

eje de simetría eje y vértice en (0,0) foco (0,P) (0,1/4) =>

Encontrar la ecuación de la parábola con foco F(0,3) y directriz => eje de simetría

Encuentre la ecuación de la parábola con directriz y Foco

Graficamos la directriz y el foco y vemos su colocación, que nos dá la forma de la ecuación =>

=>

Encuentre el Foco el Vértice. la Directriz y el Eje de la parábola

P x=− 0

> ⊂ P<0 ⊃

P y =− 0

>

P ∪ P<0 ∩

x

y

2

=

24

⊂

P x=−6

2

x

y

=

y Py = 4

4 1

=

P P>0 ∪

P

− =

4 1

− =

y

3

=

P

x

2

=

4 ( )

3 y

⇒

x

2

=

12 y

P>0

y

2

=

y

Py

x

2

=

4

V =

( )

0,0

P

=

−

2

∩

)

y

x

2

=

−

8 y

La Parábola es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que su distancia a una recta fija

F=foco punto sobre el eje de simetría que está separado del vértice por una distancia igual a la punto medio que une al foco

Si P es la distancia del vértice al foco de una parábola con vértice en V(0,0) y el eje de simetría en el eje x entonces las coordenadas del foco son F(P,0)

vértice en (0,0) Para determinar P

eje de simetría eje y vértice en (0,0) foco (0,P) (0,1/4)

Encontrar la ecuación de la parábola con foco F(0,3) y directriz

y Foco

Graficamos la directriz y el foco y vemos su colocación, que nos dá la forma

Encuentre el Foco el Vértice. la Directriz y el Eje de la parábola

x

Px 24

4 = ⇒

3

− =

y

∪

(

0,−2

)

(11)

La ecuación es de la forma

=>El Foco es

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en Eje de simetría paralelo al eje

- Sea la distancia del vértice al foco

- La directriz está dada por

- La ecuación del eje de simetría es

-- Eje de simetría paralelo al eje

- Sea la distancia del vértice al foco - La directriz está dada por

- La ecuación del eje de simetría es -

f- Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en

- La parábola tiene vértice en - Pasa por el punto

- Tiene eje paralelo al eje - Por la posición de - =>

- =>

- => - =>

- Directriz de la parábola - Eje de simetría

g- Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en

6 4 =− ⇒ P

P

(

y−b

)

= P

⇒ 2 ₄_.

P

(

x−a

)

= P

⇒ 2 4.

     

−

2 3 , 5 Q

(

x−a

)

(

x−2

)

(

5−2

(

x−2

La ecuación es de la forma el eje es el eje =>

=>El Foco es y la Directriz

Ecuación Canónica de la Parábola con Vértice en diferente al punto de origen

Eje de simetría paralelo al eje

la distancia del vértice al foco La directriz está dada por

La ecuación del eje de simetría es

_y

Eje de simetría paralelo al eje

la distancia del vértice al foco La directriz está dada por

La ecuación del eje de simetría es

_y

ar la ecuación de la parábola con vértice en y pasa por el punto

La parábola tiene vértice en Pasa por el punto

Tiene eje paralelo al eje

Por la posición de los puntos dados la gráfica es: =>

el punto satisface la ecuación

=>

Directriz de la parábola

Eje de simetría foco

Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en

Px

y

2

=

4

⇒v=

( )

0,0

0 2

3

<

⇒

− =

⇒ P P ⊃ 

    

− .0 2 3

2 3

− =

x

( )

a,b x

(

a+P,b

)

P a

x= −

b y=

(

x a

)

P − P>0 ⊂ P<0 ⊃

y

(

a,b+P

)

P b y = −

a x=

(

y b

)

P − P>0 ∪ P<0 ∩

(

2,−3

)

(

2,−3

)

     

−

2 3 , 5 Q

y

∪

)

2 =4P

(

y−b

)

v=

(

2,−3

)

a=2

)

2 =4P

(

y−

( )

−3

)

     

−

2 3 , 5 Q

)

(

)

2 3 3

5 4 2

=

⇒

+

= P P

(

)

2 3 4 2 2 

 

= −

x

)

6

(

3

)

2 2 = y+

2 9 2 3 3− =−

− = − =a P y

2

=

⇒

=a x

x

(

)



  ⇒

+ 2

,b P f a

el eje es el eje

diferente al punto de origen

y pasa por el punto

y

satisface la ecuación

Encuentre la ecuación estándar de la parábola con vértice en y

x

( )

0,0

3

− =

b

(

+3

)

  

y

  

−

2 3 , 2

(12)

directriz

Localizamos el vértice y la directriz y como el vértice está localizado 3 unidades por debajo de la directriz

=> =>

h- Determine la ecuación canónica de la parábola de vértice como el eje de la parábola es vertical

=>

Ecuación General de la Parábola co

Eje paralelo al eje Eje paralelo al eje

i- Encontrar los elementos de la parábola

Transponiendo términos y completando cuadrados =>

=>

Distancia del vértice al foco Foco

Directriz

Eje de simetría

j- Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos y cuyo eje focal es paralelo al eje

Las coordenadas de cada punto satisfacen la ecuación de la forma:

Para Para Para

La ecuación general de la parábola es: La reducimos a la forma canónica => Vértice

2

=

y

(

x−a

)

2

(

x+3

)

2

(

x−a

)

2 =

( )

2,4 ⇒ f f

(

x−2

)

2 =4

3

2

+

−

x

y

x

=       − 2 3 2 x

(

_a_,_b₊_P

)

⇒

− =b y

(

4,−4

)

R

2 +_Dx+_EY

x

P Q R

( )

,

= a b v

Localizamos el vértice y la directriz y como el vértice está localizado 3 unidades por debajo de la directriz

y

uación canónica de la parábola de vértice como el eje de la parábola es vertical

y

=>

Ecuación General de la Parábola con vértice y con distancia

Eje paralelo al eje

Encontrar los elementos de la parábola

Transponiendo términos y completando cuadrados

Distancia del vértice al foco

Eje de simetría

Hallar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos cuyo eje focal es paralelo al eje

Las coordenadas de cada punto satisfacen la ecuación de la forma: asi:

=>

=> => =>

a ecuación general de la parábola es:

La reducimos a la forma canónica => => Foco

3

− =

P

(

y b

)

P − =4 2 3 − =

a b=−1

(

1

)

12 +

− = y

(

2

(

y b

)

P −

=4 v

( )

2,1 a=2 b=1

(

a,b+P

)

⇒P=3 f

( )(

3 1

)

4 y−

(

x−2

)

2 =12

(

y−1

)

( )

a,b x

y

2

+

Dx

+

Ey

+

F

=

0 y

x2 +Dx+EY +F =0

0

5

3

2

+

−

+

=

x

y

x

0

5 =

+

x

4 9 5 2 4 9 3

2 − + = − − +

⇒ x x y

      + − = 8 11

2 y 

     − = 8 11 , 2 3 v 2 1 2

4P =− ⇒ P =−       − ⇒ 8 15 , 2 3 f 8 7 2 1 8

11 ₌₋

      − − − = ⇒

−P y

2 3

=

⇒

= a x x P

y

0 = +F EY

(

8,−2

)

P 8D−2E+F =−64

(

0,−2

)

Q −2E+F =0 D=

(

4,−4

)

R 4D−4E+ f = −16

16

8

2

−

=

y

x

(

x

−

4 )

2

=

8 (

y

+

2 )

) (

= 4,−2

)

f =

(

a,b+P

) ( )

= 4,0

Localizamos el vértice y la directriz y como el vértice está localizado

y foco

y con distancia del foco al vértice

, Las coordenadas de cada punto satisfacen la ecuación de la forma:

)

1 ,

2

( )

2,4

P

(

8,−2

)

Q

(

0,−2

)

8

−

= E=−8 F =−16

0

2 8

4P= ⇒P=

(13)

Directriz

Eje de simetría

LA ELIPSE

La Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos denominados focos

Ecuación Canónica de la Elipse con Centro en

- Eje Focal en x

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos

Distancia de vértice a vértice

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse longitud del eje

Intersectos en y Los vértices y

Excentricidad

- Eje Focal en y

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos Distancia de vértice a vértice

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la elipse longitud del eje normal

Intersectos en x Los vértices y

Excentricidad

Ecuación canónica de la elipse con centro en

- Eje focal paralelo al eje

Focos y Intersectos en y

Ejemplos:

− =b y

2 2 ⇒

a x

b 2

=

(

B₁ =

1

v v₂

(

,0

)

2 a

v = −

2 2 2

c b a = +

2 2 ⇒

b x

b 2

=

(

1

B =

1

v v₂

(

a

)

v2 = 0,−

2 2 2

c b a = +

(

h c k

)

F₁ = − ,

(

h B₁ =

=> Eje de simetría

La Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos denominados focos y es constante.

Ecuación Canónica de la Elipse con Centro en

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos longitud del eje focal Distancia de vértice a vértice

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la longitud del eje normal

y

son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son:

Excentricidad Lado Recto

Eje focal o eje principal recta que pasa por los focos longitud del eje focal Distancia de vértice a vértice

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la longitud del eje normal

y

son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son

Excentricidad Lado Recto

Ecuación canónica de la elipse con centro en

Eje focal paralelo al eje x

y Vértices y

4 2 2− =−

− =

−P y =−4 4

=

⇒

=b x x

1

F F₂

( )

0,0 1

2 2

= +

b y

b a>

a 2

=

a d d1+ 2 =2.

( )

0,b B₂ =

(

0,−b

)

a c

e= LR=

1 2 2

2 2

= +

a y

b a<

a 2

=

a d d1+ 2 =2.

( )

b,0 B2 =

(

−b,0

)

a c e=

a b LR

2 2

=

( )

h,k a>b

(

) (

)

₁

2 2

= − + −

b k y a

h x

(

h c k

)

F₂ = + , V₁ =

(

h−a,k

)

b k

h, − B₂ =

(

h,k+b

)

La Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos

longitud del eje focal

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la

son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son: y

longitud del eje focal

Eje normal o secundario es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la

son los puntos en que la elipse corta al eje focal y son y

y

( )

,0 1 a

v =

a b2 2

=

( )

a v₁ = 0,

(14)

a- Para la elipse

b- Encuentre la ecuación de la elipse con vértices en

=>

c- Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto y el

Dada la posición del centro y de uno de sus vértices se deduce que el eje focal de la elipse es paralelo al eje

=>

Ecuación General de la Elipse

d- Identificar los elementos de la elipse => debemos llevarla a la forma canónica =>

=>

centro vértices focos

25 2 x

5

=

a b=4 c

(

,0

) (

3,0 1 = −c = − F

( ) ( )

0, 0,4 1 = b = B

5

=

a c=2 ⇒

1 21 25

2 2

= + y

x

(

−2,−6

)

LR

(

,

) (

1 = h k−a = V

(

₊

)

⇒

= h k a

V₂ ,

4 2 2 ₌

=

⇒

a b LR

(

) (

10

2 2 ₊

+ y x

(

2, 1 15 1 = − − − F

2

+

=

F

Ey

Dx

Cy

Ax

(

8

16 )

16 x

2

−

x

+

(

4

)

25 16 x− 2+

(

) (

16 25

4 2 +

+ −

⇒ x y

(

4,−2

)

c

( )

1, 2 1 − F

determine los elementos Eje focal Eje normal

la ecuación de la elipse con vértices en y focos en focos en x centro en =>

podemos dar los otros puntos y el LR Hallar la ecuación de la elipse cuyo centro es el punto

Dada la posición del centro y de uno de sus vértices se deduce que el eje focal de la alelo al eje y como

Ecuación General de la Elipse

y mismo signo

Identificar los elementos de la elipse => debemos llevarla a la forma canónica

eje focal paralelo al eje x vértices

1 16 25

2

= + y

3

= =2a=10 =

)

0 F₂ =

( ) ( )

c,0 = 3,0 V₁ =

( ) ( )

a,0 = 5,0 V

(

0,

) (

0, 4

)

2 = −b = − B

5 32 2 2

= =

a b LR

(

±5,0

)

21

=

⇒_b

( )

₀_,₀

(

−2,−1

4 =

(

) (

)

₁

2 2

= − + −

⇒

a k y b

h x

(

−2,−6

)

5 6

1

6⇒− − =− ⇒ =

− =

−a a a

k ⇒V

10

4⇒b=

c

=

a

2

−

b

2

⇒

c

=

15 )

₁ 25

12 ₌

+

y

₍

₎

c k h

F1 = , − F2 =

(

h,k+c

)

15 F₂ =

(

−2,−1+ 15

)

0 =

A≠C

100

128

25

16 x

2

+

y

2

−

x

+

) (

+

25 y

2

+

4 y

+

4 )

=

44 +

256 +

100 =

400 (

2

)

400 25 y+ 2 =

)

₁ 16

2 2

=

(

1, 2

)

1 − −

V V₂

(

9,−2

)

B₁

(

4,−6

)

B

( )

7,2 2

F

LR

=

e=

y focos en =>

uno de sus vértices es Dada la posición del centro y de uno de sus vértices se deduce que el eje focal de la

como y

8 2 =

= b

(

,0

) (

5,0

)

2 = −a = − V

(

±2,0

)

1 2 2

2 2

= +

b y a x

)

1

(

−2,−1

)

c

(

2,4

)

2 = − V

15

0

44

100 y

−

=

(15)

LA HIPERBOLA

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

IDENTIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS EN LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

_Ax2 +_Bxy+_Cy2 +

Si B2 −4AC <0 => es una Elipse Si B2 −4AC =0 => es una Parábola Si B2 −4AC>0 =>

Si B =0 A y C ≠ 0

Si A=C es una Circunferencia Si A=0 ó C

Si A≠ 0 y A

Si A y C tienen diferente signo

Las ecuaciones de la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y la Hipérbola son ecuaciones de segundo grado en x ó en y

se obtienen por cortes en un cono con un plano

LA HIPERBOLA

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

IDENTIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS EN LA ECUACION GENERAL

0

= + +Ey f

Dx

A, B

y C≠ 0 Discriminante

=> es una Elipse => es una Parábola => es una Hipérbola

≠ 0 _⇒ _Ax2 +_Cy2 +_Dx+_Ey+_F =0 es una Circunferencia

0

=

C A.C =0 es una Parábola

A y C tienen el mismo signo A.C>0 es una Elipse tienen diferente signo A.C<0 es una Hipérbola

Las ecuaciones de la Circunferencia, la Parábola, la Elipse y la Hipérbola son ecuaciones de y ó en ambas Son conocidas como secciones CONICAS porque se obtienen por cortes en un cono con un plano

LA ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO

IDENTIFICACION DE LAS SECCIONES CONICAS EN LA ECUACION GENERAL

≠ 0 Discriminante B2 −4A.C

es una Elipse es una Hipérbola