ELASTICAS_y_ASTRONOMIA

PRESENTACIÓN

Esta unidad es continuación de la anterior (Trabajo y energía). Las fuerzas centrales provocan diferentes tipos de energías potenciales.

Ahora, en esta unidad se aplican todos los conceptos de energía cinética y energía potencial en determinadas situaciones que merecen un estudio propio:

•   Las fuerzas elásticas que corresponden a un muelle son  fuerzas dirigidas siempre hacia el centro de equilibrio.

•   La fuerza eléctrica es una fuerza central. Se introduce  el concepto de potencial electrostático.

•   La fuerza gravitatoria, que gobierna el movimiento de  planetas y satélites, es también una fuerza central. Se hace  especial insistencia en las velocidades astronómicas. Aplicando el estudio energético a estas fuerzas se cierra el estudio de la energía mecánica y con ella el curso de Física  y Química en 1.º de Bachillerato.

Fuerzas y energía

Fuerza elástica y energía

Fuerza eléctrica y energía

•   Energía potencial elástica. •   Energía cinética.

•   Energía mecánica total. •   Dependencia temporal.

•   Energía potencial electrostática. •   Potencial electrostático. •   Acelerador de partículas.

•   Energía potencial gravitatoria. •   Energía mecánica total.

– Velocidad de escape. – Velocidad en la órbita.

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Fuerza gravitatoria y energía

ACTIVIDADES

1 En un movimiento armónico y simple, ¿qué relación hay entre la energía total y el cuadrado de la amplitud?

Solución: m? v2

3 Supón que un móvil con masa 5 g describe un MAS con amplitud igual a 5 cm y una frecuencia de 0,25 Hz. ¿En qué punto de su trayectoria las energías cinética y potencial son iguales?

Un objeto con masa de 5 kg está unido a un muelle realizando un movimiento armónico simple. La amplitud es de 20 cm; el periodo, de 1 s, y la fase inicial, de p/2 rad.

a) ¿Cuánto vale la frecuencia angular?

b) Determina las ecuaciones de la elongación y de la velocidad del objeto.

c) ¿Cuánto vale la velocidad, la energía cinética y la energía potencial del objeto para t = 1,2 s. a) Teniendo en cuenta que el periodo es de 1 s:

v p p p

T 2

1s 2

2 s rad

6,28 s rad .

= = =

b) La ecuación de la elongación es:

? (v ? f) x=A sen t+ 0 m Sustituyendo los valores conocidos:

? p ?t p

x 0,2 sen 2

2 m

= d + n

La ecuación de la velocidad es:

? v ? (v ? f) x=A cos t+ 0 m/s Sustituyendo los valores conocidos:

? p ? p ? p p ? p ?t p

, t

v 0 2 2 cos 2

2 0,4 cos 2 2 s

m

= d + n= d + n

c) Sustituyendo el valor del tiempo en la expresión de la velocidad, t= 1,2 s:

p ? p ? p p ? p p ? 1,195

s m

( , ) , , , , , ( , )

v t 1 2 0 4 2 1 2

2 0 4 2 9 0 4 0 951

s cos cos

= = d + n= = - =

-La energía cinética será, por tanto:

? ? ? ?

E m v

2 1

2 1

5 kg 0,739 s m

2 2

C= = d- n = 3,57 J

A partir de la energía mecánica máxima de un oscilador:

? ? v ? ? ? ? ? v ?( ) ? ? v ? (v ? ? , p)

E E E E E E m A m v m A v m A A

2 1

2 1

2 1

2 1

2 9 cos

2 2 2 2 2 2 2 2 2

M= C+ P& P= M- C= - = - =

7

A

? ? v ? ?[ , p] ? ? v ? ? , p ? ? p ?( , ) ( ,? )

E m A m A

2 1

1 2 9

2 1

2 9 2 1

5 2 0 2 0 309

cos sen kg

s rad

m

2 2 2 2 2 2

2

2 2

P= - = = e o = 3,57 J

Nombre:

ACTIVIDADES

1 _{En tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se} disponen cargas idénticas de +2 mC. Calcula el potencial electrostático en el cuarto vértice y el trabajo que realiza la fuerza eléctrica de repulsión para llevar una carga de +5 mC desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice. Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_. Solución: 54 000 V; 0,112 J

2 _{Dos cargas puntuales, q1 = +2 nC y q2 = -4 nC,} están fijas y separadas una distancia de 16 cm.

16 cm 4 cm

q2 q1

S

T

Calcula el potencial electrostático en los puntos S y T, y además, el trabajo que realizan las fuerzas eléctricas que participan en el problema para trasladar una carga

q3 = +6 mC desde el punto T al S. Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

Solución: -159,1 V; -225 V; -3,95 ? 10-7 _J

3 _{Dos cargas eléctricas} puntuales de valor

q1 = -9 mC y q2 = +16 mC estan fijas en el espacio ocupando dos vértices de un triangulo rectángulo. Calcula el potencial eléctrico en los puntos A y B. ¿Qué trabajo realizará el campo eléctrico

para llevar una carga puntual de +2 mC desde el punto B hasta el punto A? Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

Solución: 90 000 V; 252 000 V; 0,324 J Calcula el valor del potencial eléctrico en el punto P de coordenadas (0, 0) sabiendo que:

•   q1 = 0,5 C situada en A de coordenas (-2, -1). •   q2 = -2 C situada en B de coordenas (-3, 0). •   q3 = 3 C situada en C de coordenas (2, 3).

Las coordenadas se miden en metros. Si situamos una carga Q = 5 C en el punto P, ¿qué energía potencial tiene? Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

De acuerdo con el principio de superposición:

? ? ? ?

V V V V k

r q

k r q

k r q

k r q

r q

r q

1 2 3

1 1

2 2

3 3

1 1

2 2

3 3

P= + + = + + = e + + o

Falta calcular las diferentes distancias desde la posición de cada carga al punto P:

•   r1= rv1 = AP =

8

B

8

B

8

B

•   r3 r3 CP 0 2 i 0 3 j 2i 3j 2 3 13m

2 2

= v = = _ - iv+_ - iv = - v- v = _-i + -_ i = Ya conocemos todos los valores para sustituir en la expresión del inicio.

Sustituyendo y operando:

? ? ? ? 3,5 10 V?

V k

r q

r q

r q

9 10 C N m

5 m 0,5 C

3 m 2 C

13 m

3 C ₉

1 1

2 2

3

3 9

P ₂

2

= e + + o= f +- + p=

La energía potencial en P se calcula haciendo uso de la definición de potencial electrostático. Despejando, sustituyendo y operando:

,

, ? , ? ? 1,75 10 J?

V Q E

E V Q 3 5 109V 5C 10

P= P E & P E= P = =

d q1

q2 d B

A

30 cm

40 cm Nombre:

Curso: Fecha:

439

ACTIVIDADES

1 Calcula la energía cinética que debría tener una persona de 70 kg para estar dando vueltas alrededor de la Tierra sobre su superficie sin caer. Calcula cuánta energía sería necesaria para elevar a esa persona a una órbita estable de 6370 km de altitud sobre la superficie, suponiendo que parte desde el reposo. Datos: G = 6,67 ? 10-11 _{N ? m}2_/kg2_{; RT = 6,37 ? 10}6 _m; MT = 5,97 ? 1024 _kg.

Solución: 2,19 ? 109 _{J; 2,19 ? 10}9 _J

2 _{Un satélite artificial de 200 kg de masa describe una} órbita circular en torno a la Tierra a 400 km de altura. Calcula:

a) La energía mecánica en su órbita.

3 Se pone en órbita un satélite artificial de 600 kg de masa a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra. Si es lanzado desde el nivel del mar, ¿qué aumento tiene la energía potencial?

Datos: G = 6,67 ? 10-11 _{N ? m}2_/kg2_{; RT = 6,37 ? 10}6 _m; MT = 5,97 ? 1024 _kg.

Solución: 6,94 ? 106 _J

4 _{Suponiendo que la Luna gira alrededor de la Tierra} en una órbita circular a una distancia de 3,8 ? 108 _m del centro de la Tierra, calcula la energía que se necesita para que la Luna se aleje a una distancia infinita de la Tierra.

Datos: G = 6,67 ? 10-11 _{N ? m}2_/kg2_{; RT = 6,37 ? 10}6 _m; La Estación Espacial Internacional, ISS, gira alrededor de la Tierra en una órbita que consideramos circular, a una

altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad lineal de la ISS en su órbita.

b) La energía necesaria para llevar desde la superficie terrestre a la ISS la equipación y alimentación necesarias para la tripulación cada mes, masa = 750 kg.

Datos: G = 6,67 ? 10-11 _{N ? m}2_/kg2_{; R}

T = 6,37 ? 106 m; MT = 5,97 ? 1024 kg.

a) La expresión de la velocidad en la órbita, teniendo en cuenta que r = RT + h:

? ?

? ?

? ? ? ?

7681 s m v

r G M

R h

G M

6,37 10 m 3,80 10 m

6,67 10 kg N m

5,97 10 kg T

T T

6 5

11 2

2

24

= =

+ = + =

-b) La energía mecánica inicial debe ser igual a la energía mecánica final. Antes de despegar, el material solo tiene energía potencial por ocupar la posición que ocupa en la superficie de la Tierra, EP, F . Despejando la energía que es necesario añadir, DE:

D D

EM, 0=EM, F & EP, 0+ E=EM, F & E=EM, F-EP, 0

Ya conocemos todos los valores para sustituir en la expresión del inicio. Sustituyendo y operando:

D ?

? ?

? ? ? ? ?

?

? ? ?

E G

r M m

G R M m

G M m

R R h

2

1 1

kg N m

6,37 10 m 1

6,37 10 m 3,80 10 m

1 ₉

11

T

T T

T

T T

2 2

24

6 6 5

= - - - =

-+

-+

-DE=6 67 10, ? ?5,97 10 kg 750 kg? ? ? =2,64?10 J

e e

f

o o

p Nombre:

Nombre:

Curso: Fecha:

Un cuerpo cuya masa es m = 3 kg está sujeto a un muelle. El sistema oscila con amplitud A = 4 cm y periodo T = 2 s:

a) ¿Cuál es su energía total? b) ¿Cuál es su velocidad máxima?

a) La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 ₂

M=

La constante recuperadora del muelle, k, está relacionada con el periodo según la expresión que sigue, de la que despejamos k:

p ? p ?

T

k m

k

T m

2 4 2

2 &

= =

Sustituyendo en la expresión de la energía total, dando valores a los parámetros y operando:

? p ? ? p ? ? p ? ? 2,37 10 J?

( )

( )

E

T m

A

T m A

2 1

4 2

2 s

2 3 kg 0,04 m ₂

2 2 2 2

M ₂

2 2

= = = =

-2 2

d n

b) En la situación de velocidad máxima toda la energía mecánica es energía cinética:

? ? ? ? ? 0,126

s m

E E m v v

m E

2

1 2

3 kg 2 2,37 10 J 2

M C M

2 &

= = = = =

-EJEMPLO

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Un objeto de 2 kg de masa está ligado a un muelle de constante recuperadora 40 N/m. El sistema tiene velocidad 25 cm/s al pasar por la posición de equilibrio.

a) ¿Cuál es su energía total?

b) ¿Cuál es la amplitud de su movimiento?

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

2 _{Si se triplica la amplitud de un oscilador armónico simple, ¿en qué factor varía su energía?}

3 _{Un objeto de 3 kg que oscila unido a un muelle de constante 2000 N/m tiene una energía total de 0,9 J.}

a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?

b) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?

4 Un objeto de 90 g de masa oscila unido a un muelle. La amplitud de las oscilaciones es de 4,5 cm. La energía

total del sistema oscilante es 1,4 J.

a) ¿Cuál es la constante recuperadora del muelle?

PROBLEMAS PROPUESTOS

5 _{Un niño se columpia de tal manera que al pasar por la posición de equilibrio su velocidad es de 2 m/s. La longitud} del columpio es 1,75 m. ¿Qué ángulo se separa el columpio respecto de la vertical en la máxima amplitud? Dato: g = 9,8 m/s2_.

6 Un muelle de constante recuperadora 250 N/m, y masa despreciable, cuelga en vertical del techo. Del extremo inferior del muelle se cuelga un objeto de masa 1 kg y se deja libre desde una posición en la que el muelle está sin deformar. El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio.

a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de volver a ascender de nuevo?

b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio? c) ¿Cuál es el periodo de la oscilación?

Dato: g = 9,8 m/s2_.

Nombre:

Curso: Fecha:

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

7 Una carga positiva de 3 mC se sitúa en el origen de coordenadas.

a) ¿Cuál es el potencial electostático en un punto sobre el eje OX a 4 m de distancia del origen?

b) ¿Qué trabajo realizan las fuerzas del campo eléctrico para traer desde el infinito hasta una distancia de 4 m un cuerpo

con carga Q =+4 mC? Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

Dos cargas puntuales positivas e iguales de magnitud +3 nC están sobre el eje OX. La primera en el origen de coordenadas,

la segunda en el punto (8 cm, 0 cm). Calcula:

a) El potencial electrostático en el punto A (4 cm, 0 cm). b) El potencial electrostático en el punto B (0 cm, 6 cm). c) Si una carga eléctrica puntual Q =+1,59 mC se traslada

desde A hasta B, ¿qué trabajo realizan las fuerzas electrostáticas sobre esta carga en movimiento?

Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

a) El punto A está a una distancia de 4 cm de cada una de

las cargas, r=r1 =r2 = 0,04 m. Como las dos cargas son idénticas se cumple que q=q1 =q2 = 3 ? 10-9 _C.

? ? ? ? ? ? ? ? 1350 V

V V k

r q

k r q

k r q

2 2 9 10 C N m

0,04 m 3 10 C

A 1 2

1 1

2

2 9

2

2 9

= + = + = = =

-V

b) En el punto B las distancias no son iguales. La distancia a la primera carga, rl1 = 0,06 m. La distancia a la segunda carga,

, , ,

r2l= 0 082+0 062=0 10 m. Como las dos cargas son idénticas se cumple que q=q1 =q2 = 3 ? 10-9 C.

? ? ? ? ? ? ? ? ? 720 V

V V V k

r q

k r q

k q

r r

1 1

9 10 C N m

3 10 C

0,06 m 1

0,10 m 1

B 1 2

1 1

2 2

1 2

9 2

2

9

= _l+ _l= + = + = - + =

l l e l lo e o

c) El trabajo que realizan las fuerzas electrostáticas es el opuesto del incremento de la energía potencial electrostática:

D ? D ? ? ? ? 0,001 J

W= - EP, E= -Q V= -Q V_ B-VAi=Q V_ A-VBi=1,59 10 C 1350 V-6 _ -720 Vi=

EJEMPLO

B (0, 6)

A (4, 0)

+3 nC +3 nC

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

8 _{Cuatro cargas puntuales de 6} mC se sitúan en los vértices de un cuadrado de 12 m de lado. Calcula el potencial electrostático en el centro del cuadrado.

a) Si las cuatro cargas son positivas.

b) Si tres de las cargas son positivas y la cuarta negativa. c) Si dos de las cargas son positivas y las otras dos negativas. Dato: k = 9 ? 109 N ? m2/C2.

9 _{Tres cargas eléctricas están distribuidas en el eje OX. La carga q1}=+2 mC se sitúa en O, el origen de coordenadas. La carga q2=-3 mC se sitúa en A, con x2= 2 m. La carga q3=+4 mC se sitúa en B, con x3= 6 m.

¿Calcula la energía potencial electrostática de esta distribución de cargas en conjunto? Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

10 _{En un acelerador de partículas los iones plata se someten a una diferencia de potencial DV = -25 ? 10}4 _V.

¿Qué velocidad tienen las partículas al salir del acelerador si la velocidad inicial es nula? Datos: q 1 6 10, ? 19C; ,m 1 8?10 kg

Ag+= + - Ag+= -25 .

11 El boro tiene dos isótopos. Un haz de iones boro, B-3_{, todos con velocidad inicial 10}4 _{m/s, se somete a una}

diferencia de potencial de 15 000 V. Una quinta parte de los iones sale con velocidad v1 = 931 312 m/s;

mientras que el resto salen con velocidad v2 = 888 175 m/s. ¿Qué masa le corresponde a cada isótopo?

Datos: q 4 8066 10, ? 19C

B-3= - - .

Un protón tiene una masa de 1,67 ? 10-27 _{kg y una carga de +1,6 ? 10}-16 _{C. Desde el reposo es acelerado hasta}

alcanzar una velocidad de 6,19 ? 103 _{m/s. ¿Qué diferencia de potencial provocó este cambio de velocidad?}

Según el principio de conservación de la energía, el protón gana energía cinética a medida que pierde energía potencial. DEM=0 & DEC+DEP=0 & DEC= -DEP

Como parte del reposo, la variación de energía cinética es:

DE ?m v?

2 1

C= 2

Y la variación de energía potencial electrostática es:

DEP, E=q? DV

Sustituyendo en la expresión del inicio y despejando la diferencia de potencial:

D D ? ? ? D D

? ?

E E m v q V V

m v q

2

1 ₂ 2

2

C= - P & = - & =

-Sustituyendo los valores conocidos y operando queda:

D

? ?

? ?

5 V

V

1,67 10 kg 6190

s m

2 1,6 10 C

27 2

19

= - =

PROBLEMAS PROPUESTOS

12 _{Un electrón con velocidad 6 ? 10}6 _{m/s penetra en una zona del campo eléctrico y se frena hasta anular su velocidad.}

¿Cuál es la diferencia de potencial que frenó al electrón? Datos: q 1 6 10, ? 19C; ,m 9 1 10? 31kg

e= - - e= - .

13 Un electrón con energía cinética 1,6 ? 10-17 _{J penetra en una zona del campo eléctrico y se frena hasta anular}

su velocidad. ¿Cuál es la diferencia de potencial que frenó al electrón? Dato: q 1 6 0, ? 19C

e= - - .

Nombre:

Curso: Fecha:

447

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

14 Calcula la velocidad de escape de Mercurio sabiendo que su masa es M = 3,31 ? 1023 _{kg, y su radio, R = 2,44 ? 10}6 _m.

Dato: G₌6,67 10? -11N m /kg? 2 2_.

Un proyectil se dispara en vertical hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v1= 9 km/s.

Determina la altura máxima que alcanza despreciando el rozamiento con la atmósfera. ¿Es posible con esa velocidad de salida que el proyectil mantuviera una órbita circular alrededor de la Tierra?

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 5,97 10 kg;? R 6,37 10 m?

T 24 T 6

= - = = _.

Usando el principio de conservación de la energía mecánica, inicialmente en la superficie la energía potencial corresponde con su posición frente al centro de la Tierra y la energía cinética corresponde con la velocidad inicial. En el estado final, el proyectil se encuentra a la altura h, con la energía potencial que corresponde con su distancia al centro

de la Tierra, RT + h. La energía cinética final es nula, ya que la velocidad del proyectil se anula en la altura máxima.

? ? ? ? ? ? ? ?

E E m v G

R M m

m v G

R h M m 2 1 2 1 2 2

M, 1 M, 2

T T T T & = - = -+ 1 2

Simplificando la masa y despejando la altura h:

2

? ?

? ? h

G M v R G M R

R 2 2 T T T T T =

- 1

-Sustituyendo en la expresión los valores de los parámetros y operando:

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

? 1,17 10 m?

h

2 6,67 10 kg N m

5,97 10 kg 9000 s m

6,37 10 m 2 6,67 10

kg N m

5,97 10 kg 6,37 10 m

6,37 10 m 7

11 2

2

24 2 6

11 2 2 24 6 6 = -- = -d n

Para saber si es posible mantener una órbita circular alrededor de la Tierra, se debe tomar la energía mecánica total inicial y calcular el radio de la órbita a partir de la energía mecánica en la órbita:

v 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

E E m v G

R M m G r M m r

G M R

G M R 2 1 2 2 , 1 2 M, M T T T T T T T & & = - = - = -1 1 Sustituyendo los valores y operando:

2

? ?

? ? r

G M v R G M R

2 T T

T T = - 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r R

2 6,67 10 kg N m

5,97 10 kg 9000 s m

6,37 10 m 6,67 10

kg N m

5,97 10 kg 6,37 10 m

9,045 10 m 6,37 10 m 11

2 2

24 2 6

11 2 2 24 6 6 6 T 2 = -= = -d n

El radio de la órbita resultante es mayor que el radio terrestre, así que, proporcionando al disparo el ángulo suficiente y despreciando el rozamiento con la atmósfera, el proyectil sí podría orbitar alrededor de la Tierra.

PROBLEMAS PROPUESTOS

15 _{Un satélite de 450 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita aproximadamente circular a una altura media} de 6 ? 106 _{m. Calcula:}

a) La energía potencial del satélite. b) La energía cinética del satélite.

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 5,97 10 kg;? R 6,37 10 m?

T 24 T 6

= - = = _.

16 _{Saturno tiene una masa de 95,2 veces mayor que la Tierra y su radio es 9,47 mayor que el radio terrestre.} ¿Cómo es la velocidad de escape de Saturno comparada con la velocidad de escape de la Tierra?

17 Los dos satélites de Marte, Fobos y Deimos, orbitan en órbitas aproximadamente circulares. El radio de la órbita de Fobos es 9,377 ? 106 _{m, el radio de la órbita de Deimos es 2,346 ? 10}7 _{m. Suponiendo que una nave de 40 t tuviera}

que viajar desde Fobos hasta Deimos, ¿qué energía necesitaría para pasar de una órbita a otra? Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 6 3, 9 10 kg?

M 23

= - = _.

Nombre:

Curso: Fecha:

449

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

18 _{Un satélite geoestacionario de 300 kg de masa, ¿qué energía tiene en su órbita?}

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg? 2 2; ; M 5,97 10 kg? T(día sidéreo) 23 h 56 min 4 s

T 24

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 Un objeto de 2 kg de masa está ligado a un muelle de constante recuperadora 40 N/m. El sistema tiene velocidad 25 cm/s al pasar por la posición de equilibrio.

a) ¿Cuál es su energía total?

b) ¿Cuál es la amplitud de su movimiento?

a) La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 2

M=

Al pasar por la posición de equilibrio la energía mecánica es toda cinética, no hay energía potencial. Por eso la velocidad al pasar por la posición de equilibrio es la velocidad máxima. De las condiciones cinéticas del MAS:

?

v =A v

?

m

k A v _mk

máx

máx

& = =

v

4

Sustituyendo en la expresión de la energía total, dando valores a los parámetros y operando:

? ? ? ? ? ? ? 6,25 10 J?

E k v

k m

m v

2 1

2 1

2 1

2 kg 0,25

s

m 2

2 2

M= f máx p = máx2 = d n =

-b) De la expresión que hemos usado en el apartado anterior:

? ? 55,9 mm

k m

A v 0,25

s m

40 m

2 kg _{0,0559 m}

máx

= = = =

N

Un cuerpo cuya masa es m= 3 kg está sujeto a un muelle. El sistema oscila con amplitud A= 4 cm y periodo T= 2 s:

a) ¿Cuál es su energía total? b) ¿Cuál es su velocidad máxima?

a) La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 ₂

M=

La constante recuperadora del muelle, k, está relacionada con el periodo según la expresión que sigue, de la que despejamos k:

p ? p ?

T

k m

k

T m 2 _& 4 2

= = ₂

Sustituyendo en la expresión de la energía total, dando valores a los parámetros y operando:

? p ? ? p ? ? p ? ? 2,37 10 J? ( )

E A

T m A 2

1 2

4 T m

2 s

2 3 kg (0,04 m) ₂

2 2 2

M 2 ₂

2 2

= = = =

-2 2

d n

b) En la situación de velocidad máxima toda la energía mecánica es energía cinética:

? ? ? ? ? 0,126

s m

E E m v v

m E 2

1 2

3 kg 2 2,37 10 J 2

M C M

2 &

= = = = =

-EJEMPLO

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

2 _{Si se triplica la amplitud de un oscilador armónico simple, ¿en qué factor varía su energía?}

La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 2

M=

Al triplicar la amplitud del oscilador, Tl = 3 ?T, nos queda:

2

? ? ? ?( ? ) ? ? ? ?

E k A k A k A E

2 1

2 1

3 9

2 1

9

2 2

M= l = = = M

l

Por eso su energía se multiplica por el factor 9.

3 Un objeto de 3 kg que oscila unido a un muelle de constante 2000 N/m tiene una energía total de 0,9 J.

a) ¿Cuál es la amplitud del movimiento?

b) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?

a) La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 ₂

M=

Despejando la amplitud, sustituyendo los valores y operando:

? ?

0,3 m A

k E

2

2000 m

N 2 0,9 J

M

= = =

b) La energíatotal es energía cinética cuando la velocidad es máxima:

? ? ? ? 0,77

s m

E E m v v

m E

2

1 2

3 kg 2 0,9 J

2

M= C= & = M = =

4 _{Un objeto de 90 g de masa oscila unido a un muelle. La amplitud de las oscilaciones es de 4,5 cm. La energía total}

del sistema oscilante es 1,4 J.

a) ¿Cuál es la constante recuperadora del muelle?

b) ¿Con qué periodo oscila el objeto?

a) La energía total del oscilador armónico se calcula según la expresión:

? ?

E k A

2

1 2

M=

Despejando la constante recuperadora del muelle, sustituyendo los valores y operando:

? ? ₁₃₈₃

m N

( , )

,

k A

E

2

0 045 2 1 4

m J

2 2

M

= = =

b) La expresión que pone en relación la constante recuperadora con el periodo es: Nombre:

PROBLEMAS PROPUESTOS

5 _{Un niño se columpia de tal manera que al pasar por la posición de equilibrio su velocidad es de 2 m/s. La longitud} del columpio es 1,75 m. ¿Qué ángulo se separa el columpio respecto de la vertical en la máxima amplitud? Dato: g = 9,8 m/s2_.

La energía mecánica en el punto de equilibrio es toda energía cinética. La energía mecánica en la máxima amplitud es toda energía potencial. Por el principio de conservación

de la energía mecánica:

? ? ? ?

E E E E m v m g h 2

1

0= F & C= P, g & 2=

Viendo la figura, la altura que adquiere el columpio es h = L ? (1 - cos

a

? ? a

? ? ?

a

( ) ( )

v

g L

g L v

2 1 cos cos 1 2 1 2 9,8 m/s 1,75 m

2 m/s

0,883 382

2 2

2 2

&

= - = - = - =

Calculando el ángulo:

a=arccos 0,883 382= 27° 56’ 49“

6 Un muelle de constante recuperadora 250 N/m, y masa despreciable, cuelga en vertical del techo. Del extremo inferior

del muelle se cuelga un objeto de masa 1 kg y se deja libre desde una posición en la que el muelle está sin deformar. El sistema oscila alrededor de la posición de equilibrio.

a) ¿Cuánto desciende el objeto antes de volver a ascender de nuevo?

b) ¿A qué distancia por debajo del punto de partida está la posición de equilibrio? c) ¿Cuál es el periodo de la oscilación?

Dato: g= 9,8 m/s2_.

a) La energía inicial es igual a la energía final. En el inicio, la velocidad es nula. En el punto más bajo de la trayectoria también es nula. En este problema se ha de tener en cuenta que además de la fuerza de la gravedad está la fuerza del muelle así que hay dos energías potenciales, la gravitatoria y la elástica:

? ? ? ?

E E E E m g h k h 2

1 2

M, 0= M, F & P, G= P, e & =

Simplificando la igualdad, despejando la altura, sustituyendo los valores y operando:

? ? ? ? _{78,4 mm}

h k m g 2

250 m N 2 1kg 9,8 m/s

0,0784 m

2

= = = =

b) El punto de equilibrio se da cuando el peso está equilibrado por la fuerza recuperadora del muelle. Ambas fuerzas deben tener el mismo módulo:

? ? D D ? ? 39,2 mm

P F m g k x x k m g

250 m N 1kg 9,8 m/s

0,0392 m

e

2

& &

= = = = = =

c) Sustituyendo los valores conocidos en la expresión que pone en relación la constante recuperadora con el periodo:

p ? p ? 0,34 s

T

k m

2 2

250 m N 1 kg

= = =

L a

h L ? cosa

L - L ? cosa Nombre:

Curso: Fecha:

Dos cargas puntuales positivas e iguales de magnitud +3 nC están sobre el eje OX. La primera en el origen de coordenadas,

la segunda en el punto (8 cm, 0 cm). Calcula:

a) El potencial electrostático en el punto A (4 cm, 0 cm). b) El potencial electrostático en el punto B (0 cm, 6 cm). c) Si una carga eléctrica puntual Q =+1,59 mC se traslada

desde A hasta B, ¿qué trabajo realizan las fuerzas electrostáticas sobre esta carga en movimiento? Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

a) El punto A está a una distancia de 4 cm de cada una de las cargas, r=r1 =r2 = 0,04 m. Como las dos cargas son idénticas se cumple que q=q1 =q2 = 3 ? 10-9 _C.

? ? ? ? ? ? ? ? 1350 V

V V k

r q

k r q

k r q

2 2 9 10

C N m

0,04 m 3 10 C A 1 2

1 1

2

2 9

2

2 9

= + = + = = =

-V

b) En el punto B las distancias no son iguales. La distancia a la primera carga, rl1 = 0,06 m. La distancia a la segunda carga,

2 , , ,

r_l= 0 082₊0 062₌0 10 m_{. Como las dos cargas son idénticas se cumple que q=q1 =q2 = 3 ? 10}-9 _C.

1

? ? ? ? ? ? ? ? ? 720 V

V V k

r q

k r q

k q

r r

1 1

9 10 C N m

3 10 C

0,06 m 1

0,10 m 1 B 1 2

1 1

2 2

2

9 2

2

9

= + = + = + = - + =

V l l

l l e l lo e o

c) El trabajo que realizan las fuerzas electrostáticas es el opuesto del incremento de la energía potencial electrostática:

,

D ? D ?( ) ?( ) ? ? 0,001 J W= - EP E= -Q V= -Q VB-VA =Q VB-VA =1,59 10 C 1350 V-6 _ -720 Vi=

EJEMPLO

PROBLEMAS PROPUESTOS

7 Una carga positiva de 3 mC se sitúa en el origen de coordenadas.

a) ¿Cuál es el potencial electostático en un punto sobre el eje OX a 4 m de distancia del origen?

b) ¿Qué trabajo realizan las fuerzas del campo eléctrico para traer desde el infitito hasta una distancia de 4 m un cuerpo con carga Q = +4 mC?

Dato: k = 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

a) Sustituyendo en la expresión del potencial electrostático:

? ? ? ? ? 6,75 10 V? V k

r q

9 10 C N m

4 m

3 10 C 6

9 2

2 3

= = =

-b) El trabajo de las fuerzas del campo es W = -D EP, E = -Q?D V = -Q? (VF - V0) = Q? (V0 - VF). El potencial en el punto

final es el calculado en el apartado anterior, V = 6,75 ? 106 _{V. El potencial en el punto de origen, V, es en el infinito:} Nombre:

Curso: Fecha:

B (0, 6)

A (4, 0)

+3 nC +3 nC

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

8 _{Cuatro cargas puntuales de 6} mC se sitúan en los vértices de un cuadrado de 12 m de lado. Calcula el potencial electrostático en el centro del cuadrado.

a) Si las cuatro cargas son positivas.

b) Si tres de las cargas son positivas y la cuarta negativa. c) Si dos de las cargas son positivas y las otras dos negativas. Dato: k= 9 ? 109 N ? m2/C2.

Por la simetría del cuadrado la distancia desde el vértice al centro es la misma para todos los vértices:

? r r r r r L

2 2

1 2 3 4

= = = = =

Se cumple el principio de superposición y la expresión del potencial queda:

? ? ? ? ? ?( ) ? ?( )

V V V V k r q k r q k r q k r q k

r q q q q k L q q q q

1 2

1 2 3 4

1 1 2 2 3 3 4 4

1 2 3 4 1 2 3 4

centro= + + + = + + + = + + + = + + +

V

a) En este caso, las cuatro cargas son positivas, q=q1=q2=q3=q4= +6 10 C? -6 :

? ?( ) ? ? ? ? ? ? ? ? 2,55 10 V?

k

L q q q q k L q

2 2

4 9 10 C N m

12 m 2

4 6 10 C 4

1 2 3 4

centro 9 ₂

2

6

= + + + = = - =

V

b) En este caso hay tres cargas positivas y una negativa, por ejemplo, q=q1=q2=q3= +6 10 C;? -6 q4= -q.

? ?( ) ? ?( ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1,27 10 V?

k

L q q q q k L q q k L q

2 2

3 2 2 9 10

C N m

12 m 2

2 6 10 C 4

1 2 3 4 9

centro ₂

2

6

= + + + = - = = - =

V

c) En este caso hay dos cargas positivas y dos negativas, por ejemplo, q=q1=q2= +6 10 C? -6 ;q3=q4= -q.

? ?( ) ? ?( ) ? ? 0 V

k

L q q q q k L q q k L

2 2

2 2 2 0

1 2 3 4

centro= + + + = - = =

V

9 Tres cargas eléctricas están distribuidas en el eje OX. La carga q1 = +2 mC se sitúa en O, el origen de coordenadas. La carga q2 = -3 mC se sitúa en A, con x2 = 2 m. La carga q3 = +4 mC se sitúa en B, con x3 = 6 m.

¿Calcula la energía potencial electrostática de esta distribución de cargas en conjunto? Dato: k= 9 ? 109 _{N ? m}2_/C2_.

La energía potencial es la suma de la energía potencial de cada carga por la presencia de las otras dos. EP=E1+E2+E3

Cada una de estas energías es el valor de la carga multiplicado por el potencial electrostático en el punto que ocupa la carga, Ei= qi? Vi.

? ? ?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ?

E q V q V q V

k x q k x q k x q k x x q k x q k x x q x q q x q q x x q q x q q x q q x x q q

O A B

1 2 3

1 2 2 3 3 2 2 1 3 2 3 3 3 1 3 2 2 2 1 2 3 1 3 3 2 2 3 2 1 2 3 1 3 3 2 2 3 P P P = + + + + - + -- + + -? ? ?

E =q +q +q

? ? ? ? ? ? ? ?

E =2 k +2 k +2 k =2 k

e e e

e

o o o

o

Sustituyendo los valores y operando:

? ? ? ? ? ?( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 84 000 J E 2 9 10

C N m

2 m

2 10 C 3 10 C

6 m 2 10 C 4 10 C

6 m 2 m 3 10 C 4 10 C 9

P ₂

2 3 3 3 3 3 3

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

10 En un acelerador de partículas los iones plata se someten a una diferencia de potencial DV = -25 ? 104 _V. ¿Qué velocidad tienen las partículas al salir del acelerador si la velocidad inicial es nula?

Datos: q 1 6 10, ? 19C m; ,1 8 10? 25kg

Ag+= + - Ag+= - .

Sustituyendo y operando en la expresión de la velocidad de salida:

? ? D ?

? ?

? ? 6,67 10?

s m

( )

v

m q

V

2 0 m/s 2

1,8 10 kg 1,6 10 C

25 10 V 3

2

fin 2 ₂₅

19

4

= - = - _- - =

-ini

v _ i

11 _{El boro tiene dos isótopos. Un haz de iones boro, B}-3_{, todos con velocidad inicial 10}4 _{m/s, se somete a una diferencia} de potencial de 15 000 V. Una quinta parte de los iones sale con velocidad v1 = 931 312 m/s; mientras que el resto salen con velocidad v2 = 888 175 m/s. ¿Qué masa le corresponde a cada isótopo? Datos: qB-3= -4 8066 10, ? -19C

De la expresión de la velocidad de salida despejamos la masa:

? ? D ? ? D

v

m q

V m

v v q V

2 2

2

2 2

fin= - & =

-ini

ini fin

v

Sustituyendo la primera velocidad:

?( ? )? ?

2 _-4,8066 10-19C 1,5 10 V4

Un protón tiene una masa de 1,67 ? 10-27 _{kg y una carga de +1,6 ? 10}-16 _{C. Desde el reposo es acelerado hasta} alcanzar una velocidad de 6,19 ? 103 _{m/s. ¿Qué diferencia de potencial provocó este cambio de velocidad?}

Según el principio de conservación de la energía, el protón gana energía cinética a medida que pierde energía potencial. DEM=0 & DEC+DEP=0 & DEC= -DEP

Como parte del reposo, la variación de energía cinética es:

DE ?m v?

2

1 ₂

C=

Y la variación de energía potencial electrostática es:

,

DEP E=q? DV

Sustituyendo en la expresión del inicio y despejando la diferencia de potencial:

D D ? ? ? D D

? ? E E m v q V V

m v q 2

1 ₂ 2

2

C= - P & = - & =

-Sustituyendo los valores conocidos y operando queda:

D

? ?

? ?

5 V

V

1,67 10 kg 6190

s m

2 1,6 10 C

27 2

19

= - =

-d n

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

12 _{Un electrón con velocidad 6} ? 106 _{m/s penetra en una zona del campo eléctrico y se frena hasta anular} su velocidad. ¿Cuál es la diferencia de potencial que frenó al electrón?

Datos: q 1 6 10, ? 19C m 9 1 10, ? kg

e= - - ; e= -31 .

De la expresión de la velocidad de salida despejamos la diferencia de potencial:

? ? D D

? ? ( ) v

m q

V V

q v v m 2

2

2 2 2

fin= - & =

-ini ini fin

v

Sustituyendo los valores conocidos:

D

? ?

? ? ?

3685,5 V

( )

[( ) ( ) ] V

2 1,6 10 C

6 10 m/s 0 m/s 9,1 10 kg 19

6 2 2 31

=

-=

-13 Un electrón con energía cinética 1,6 ? 10-17 _{J penetra en una zona del campo eléctrico y se frena hasta anular} su velocidad. ¿Cuál es la diferencia de potencial que frenó al electrón? Dato: q 1 6 10, ? 19C

e= - - .

Se conserva la energía mecánica, así que no hay pérdida de energía. La energía cinética se transforma en energía potencial.

, ? D D

? ?

100 V

E E E q V V

q E

1,6 10 C 1,6 10 J

C, ini P fin C, ini C, ini ₁₉

17

& &

= = = =

- - =

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

14 Calcula la velocidad de escape de Mercurio sabiendo que su masa es M= 3,31 ? 1023 _{kg, y su radio, R= 2,44 ? 10}6 _m. Dato: G₌6,67 10? -11N m /kg? 2 2_.

La expresión de la velocidad de escape es:

Un proyectil se dispara en vertical hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial v1 = 9 km/s. Determina la altura máxima que alcanza despreciando el rozamiento con la atmósfera. ¿Es posible con esa velocidad de salida que el proyectil mantuviera una órbita circular alrededor de la Tierra?

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 5,97 10 kg;? R 6,37 10 m?

T 24 T 6

= - = = _.

Usando el principio de conservación de la energía mecánica, inicialmente en la superficie la energía potencial corresponde con su posición frente al centro de la Tierra y la energía cinética corresponde con la velocidad inicial. En el estado final, el proyectil se encuentra a la altura h, con la energía potencial que corresponde con su distancia al centro

de la Tierra, RT + h. La energía cinética final es nula, ya que la velocidad del proyectil se anula en la altura máxima.

? ? ? ? ? ? ? ?

E E m v G

R M m

m v G

R h M m 2 1 2 1 2 2

M, 1 M, 2

T T T T & = - = -+ 1 2

Simplificando la masa y despejando la altura h:

2

? ?

? ? h

G M v R G M R

R 2 2 T T T T T =

- 1

-Sustituyendo en la expresión los valores de los parámetros y operando:

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

? 1,17 10 m?

h

2 6,67 10 kg N m

5,97 10 kg 9000 s m

6,37 10 m 2 6,67 10

kg N m

5,97 10 kg 6,37 10 m

6,37 10 m 7 11

2 2

24 2 6

11 2 2 24 6 6 = -- = -d n

Para saber si es posible mantener una órbita circular alrededor de la Tierra, se debe tomar la energía mecánica total inicial y calcular el radio de la órbita a partir de la energía mecánica en la órbita:

v 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

E E m v G

R M m G r M m r

G M R G M R 2 1 2 2 , 1 2 M, M T T T T T T T & & = - = - = -1 1 Sustituyendo los valores y operando:

2

? ?

? ? r

G M v R G M R 2 T T

T T = - 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? r R

2 6,67 10 kg N m

5,97 10 kg 9000 s m

6,37 10 m 6,67 10

kg N m

5,97 10 kg 6,37 10 m

9,045 10 m 6,37 10 m 11

2 2

24 2 6

11 2 2 24 6 6 6 T 2 = -= = -d n

El radio de la órbita resultante es mayor que el radio terrestre, así que, proporcionando al disparo el ángulo suficiente y despreciando el rozamiento con la atmósfera, el proyectil sí podría orbitar alrededor de la Tierra.

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

15 _{Un satélite de 450 kg gira alrededor de la Tierra en una órbita aproximadamente circular a una altura media} de 6 ? 106 _{m. Calcula:}

a) La energía potencial del satélite.

b) La energía cinética del satélite.

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 5,97 10 kg;? R 6,37 10 m? T 24 T 6

= - = = _.

a) La energía potencial del satélite se calcula según la expresión:

? ? ? ? E G r M m G R h M m 2

P, G T

T T

= - =

-+

Sustituyendo los valores y operando:

? ? ?

? ?

? ?

?

1,45 10 J ,

E 6 67 10

kg N m

6,37 10 m 6 10 m

5,97 10 kg 450 kg 10

11 P, G ₂

2 6 6 24 = -+ =

-b) La energía cinética del satélite se calcula a partir de la definición teniendo en cuenta que la velocidad es la de un MCU y que la fuerza centrípeta es la fuerza de gravedad:

? ?

? ? ? ?

?

? ? ? ?

( )

E m v

m r v r M m r

G M E m r

G M G r M m G R h M m 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 C, G

C G T T

C, G T T

T T & = = = = + ? ?

F =F & =G & v =

4

Sustituyendo los valores y operando:

? ? ?

? ? ?

? ?

?

7,24 10 J ,

( )

E 6 67 10

kg N m

2 6,37 10 m 6 10 m

5,97 10 kg 450 kg 9

11 C, G 2

2 6 6 24 = + =

-16 _{Saturno tiene una masa de 95,2 veces mayor que la Tierra y su radio es 9,47 mayor que el radio terrestre.} ¿Cómo es la velocidad de escape de Saturno comparada con la velocidad de escape de la Tierra?

La velocidad de escape de Saturno:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , , , , , , , R G M R G M R G M R G M v 2 9 47 2 95 2

9 47 95 2 2

9 47

95 2 2

3 17 e, S S S T T T T T T e, T = = = = = v

La velocidad de escape en Saturno es 3,17 veces mayor que en la Tierra.

17 Los dos satélites de Marte, Fobos y Deimos, orbitan en órbitas aproximadamente circulares. El radio de la órbita de Fobos es 9,377 ? 106 m, el radio de la órbita de Deimos es 2,346 ? 107 m. Suponiendo que una nave de 40 t tuviera

que viajar desde Fobos hasta Deimos, ¿qué energía necesitaría para pasar de una órbita a otra? Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg ;? 2 2 M 6 3, 9 10 kg?

M 23

= - = _.

La energía total se conserva:

D D

EM, 1=EM, 2 & ETotal en la órbita de Fobos+ E=ETotal en la órbita de Deimos & E=ETotal en la órbita de Deimos-ETotal en la órbita de Fobos

Sustituyendo la expresión de la energía total en la órbita y ordenando la expresión:

D ? ? ? ? ? ? ? ? E G r M m G r

M m G M m

r r

2 2 2

1 1 Deimos M Fobos M M Fobos Deimos

= - - -f p= f - p

Sustituyendo los valores y operando:

D

? ? ? ? ? ?

? ? 5,46 10 J?

E

2 6,67 10

kg N m

6,39 10 kg 4 10 kg

9,377 10 m 1

2,346 10 m

Nombre:

Curso: Fecha:

PROBLEMAS PROPUESTOS

18 _{Un satélite geoestacionario de 300 kg de masa, ¿qué energía tiene en su órbita?}

Datos: G 6 67 10, ? 11N m /kg? 2 2; ; M 5,97 10 kg? T(día sidéreo) 23 h 56 min 4 s

T 24

= - = = _.

La expresión de la energía total en la órbita es:

? ?

?

E G

r M m

2

M= - T

Conocemos todos los datos excepto el radio de la órbita. Suponiendo la órbita circular, la fuerza de la gravedad es la fuerza centrípeta. Simplificando y ordenando la expresión:

? ? ? ?

F F m

r v

G r

M m

r G

v M 2

2 2

C= G & = T & = T

La velocidad en el movimiento circular y uniforme está relacionada con el periodo.

3 2

p ?

?

p ? ? p ?

? p

?

v T

r

r G

T r M

r G M T r G M T

2

2 2 4 4

3

2 2

T T T

& & &

= = = =

2

e o

Sustituyendo en la expresión de la energía mecánica total en la órbita y ordenando:

3

3

?

? ? p

? ?

? p ? ?

E G

G M T

M m

m

T G M

2

4

2

2

2 2

M

T

T T

= - =

-2 e o

Cambiando el dato del periodo a unidades del sistema internacional:

? ?

T 23 h 56 min 4 s 23 h 4 86164 1 h

3600 s

56 min 1 min

60 s

s s = + + = + + = Sustituyendo los valores conocidos:

? p ?

? ? ? ?

? 1,417 10 J

E 30

2 0 kg

86164 s 6,67 10

kg N m

5,97 10 kg

9

2

2

M

11 2

2

24

= - =

-3

CUESTIONES

1 Contesta:

a) ¿Qué fuerza actúa sobre la pelota antes de conectar el circuito?

b) ¿Qué fuerza se añade al conectar los electrodos al generador de corriente continua?

2 ¿Por que la trayectoria es circular?

3 Explica lo que observas en términos de intercambio de energía.

PROCEDIMIENTO

1. La pelota de ping pong debe estar recubierta de pintura metalizada, capaz de conducir la electricidad y de rodar sin dificultad.

2. En el fondo del cuenco debe perforarse un orificio para dejar entrar un polo eléctrico, por ejemplo el positivo. Conectado a este polo se pegan en el interior del cuenco las bandas metálicas en forma de cruz. Por el borde del cuenco se dispone el polo contrario, negativo,

estableciendo las conexiones necesarias para que las bandas metálicas que hacen la función de polo negativo se dispongan en el interior del cuenco en forma de aspa. La construcción del circuito debe hacerse con cuidado para no sufrir un accidente.

3. Introduce la pelota pintada en el cuenco. Pon la tapadera.

4. Conecta los polos que has dispuesto en el cuenco con el generador de corriente continua. ¿Qué ocurre con la pelota de ping pong?

1. La pelota de ping pong, con el recubrimiento metálico, al entrar en contacto con un electrodo negativo recibe electrones. Al tener la misma carga se repelen y la pelota es atraída por un electrodo positivo. Al entrar en contacto con el electrodo positivo, la pelota cede sus electrones. Tantos que la pelota queda con carga eléctrica positiva y es repelida por el electrodo positivo hacia el siguiente electrodo negativo. Y así sucesivamente.

•   Comprobar que la energía potencial  electrostática se intercambia con energía  cinética.

•   Explicar la trayectoria circular del móvil.

OBJETIVO

Simulación de un acelerador de partículas

Material

•   Una pelota de ping pong recubierta de pintura metalizada. •   Un cuenco amplio de metacrilato (o cualquier otro material 

transparente).

•   Tapadera para el cuenco, igualmente transparente. •  Bandas de cobre (electrodos).

•   Generador de corriente continua (del orden de kV).

461

1 Representa gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple.

2 Un resorte vertical se alarga 2 cm cuando se cuelga de su extremo inferior un cuerpo de 10 kg. Se desplaza dicho cuerpo hacia abajo y se suelta, de modo que empieza a oscilar con una amplitud de 3 cm.

a) Calcula la constante recuperadora del resorte y el periodo del movimiento.

b) Calcula el valor de las energías cinética y potencial elástica cuando el desplazamiento es de 1,3 cm. Dato: g = 9,8 m/s2_.

3 Dos cargas eléctricas puntuales, positivas e iguales, están situadas en los puntos A y B de una recta horizontal. ¿Puede ser nulo el potencial en algún punto del espacio que rodea a ambas cargas?

4 _{El satélite de investigación europeo (ERS}

_-

circular y su masa de 1000 kg. Calcula de forma razonada la velocidad orbital del satélite. Datos: RT=6370 km; g=9,8 m s? -2.

5 _{Se quiere lanzar al espacio un objeto de 500 kg y para ello se utiliza un dispositivo que le imprime la velocidad}

necesaria. Se desprecia la fricción con el aire. Explica los cambios energéticos del objeto desde su lanzamiento hasta que alcanza una altura h y calcula su energía mecánica a una órbita de altura de 1000 km.

Datos: G 6,67 10? 11N m kg ;? 2? 2 M 6 10 kg;? R 6370 km

T 24 T

= - - = = _.

Nombre:

1 Haz un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar cuando una partícula realiza un MAS en un ciclo completo. ¿Cuál sería el desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales?

2 Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. Explica cómo varía la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.

3 De dos puntos del espacio conocemos que el potencial en A es mayor que en B. Si el punto A está más alejado que el B de la carga Q que crea el potencial, razona si la carga Q es positiva o negativa.

4 Calcula la velocidad mínima con la que habrá que lanzar un cuerpo desde la superficie de la Tierra para que ascienda hasta una altura de 4000 km. Datos: g 9 8 m, ?s 2; R 6,37 10 m?

T 6

= - = _.

5 _{Un satélite de 200 kg orbita alrededor de la Tierra con un radio de órbita de 8,06} ? 106 _{m. ¿Qué trabajo tendríamos} que realizar para llevar el satélite hasta una órbita de radio doble?

Datos: G 6 67, ?10 11N m kg? 2? M 5,97?10 kg

T 24

= - -2_; = _.

Nombre:

Curso: Fecha:

463

Criterio Estándares de aprendizaje Actividades

Prueba A Prueba B

B8-1. Establecer la ley de conservación de la energía mecánica y aplicarla a la resolución de casos prácticos.

B8-1.1. Aplica el principio de conservación de la energía para resolver problemas mecánicos, determinando valores de velocidad y posición, así como de energía cinética y potencial.

B8-1.2. Relaciona el trabajo que realiza una fuerza sobre un cuerpo con la variación de su energía cinética y determina alguna de las magnitudes implicadas.

1, 4 y 5 1, 4 y 5

B8-2. Reconocer sistemas conservativos como aquellos para los que es posible asociar una energía potencial y representar la relación entre trabajo y energía.

B8-2.1. Clasifica en conservativas y no

conservativas, las fuerzas que intervienen en un supuesto teórico justificando las

transformaciones energéticas que se producen y su relación con el trabajo.

1, 4 y 5 1, 4 y 5

B8-3. Conocer las transformaciones energéticas que tienen lugar en un oscilador armónico.

B8-3.1. Estima la energía almacenada en un resorte en función de la elongación, conocida su constante elástica.

B8-3.2. Calcula las energías cinética, potencial y mecánica de un oscilador armónico aplicando el principio de conservación de la energía y realiza la representación gráfica correspondiente.

1 y 2 1 y 2

B8-4. Vincular la diferencia de potencial eléctrico con el trabajo necesario para transportar una carga entre dos puntos de un campo eléctrico y conocer su unidad en el Sistema Internacional.

B8-4.1. Asocia el trabajo necesario para trasladar una carga entre dos puntos de un campo eléctrico con la diferencia de potencial existente entre ellos permitiendo el la determinación de la energía implicada en el proceso.

3 3

PRUEBA B

1 EM

EC

EP,e

X

x A

-A O

2 a) En el equilibrio:

Fe=P

? D ? 4900

m N

k x=m g & k=

? ? 0,41 J

( ( )

E x 0,013 m) 2 1

4900 N/m 0,013 m

P = = 2=

x A x ? ? ? ? 1,79 J ( ) ( ( [( ) ( ) ]

E k x

E E x 2 1 0,013 m) 2 1

4900 N/m 0,03 m 0,013 m

0,013 m)

C 2 2

C 2 2

C = -= = -= = ( )

3 A la vista de la expresión del potencial en cualquier punto debido a las dos cargas:

? ? ?

( )

V P k r

q _k r

q _{k q} r r

1 1 0

A B A B

!

= + = e + o

Por ser las dos cargas positivas e iguales.

4 Para que un satélite gire en una órbita circular alrededor de la Tierra, debe estar sometido a una fuerza centrípeta. Esta fuerza centrípeta se debe a la atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre el satélite, es decir,

se cumple:

FG=FC

? ? ? G r M m m r v 2 2 T ₌

Donde MT y m representan las masas de la Tierra y del satélite, respectivamente, y r el radio de la trayectoria. De esta igualdad podemos deducir el módulo de la velocidad lineal con que gira el satélite en su órbita:

? v

r G MT

= [1]

Dado que la gravedad se calcula a partir de la expresión:

? g G r M 2 T =

De ahí, ordenando se consigue la expresión:

? ?

g r2 G M T

=

Sustituyendo en la expresión [1], ordenando y sustituyendo los valores: ? ? ? ? ? ( ) ( ) , ( , ) v R h

g R h

g R h

9 8m/s 6 37 10 m 8 10 m

2

T T

T

2 6 5

= + + = + + v= 8380 m/s v=

5 Inicialmente el objeto tiene energía potencial por encontrarse a una cierta distancia del centro de la Tierra y la energía cinética que se le confiere en el lanzamiento. A medida que asciende va disminuyendo su energía cinética y aumentando la potencial, ya que el campo gravitatorio es conservativo. Cuando llegue al punto de máxima altura, su energía cinética será nula y su energía potencial máxima.

?

( )

kg 2 6,37 10 m 10 m

10

M 11 _{2 6 6}

M

+

-? ?

,

E = -6 67 10

? 1,36 10 J E

=-PRUEBA A

1 Podemos suponer que iniciamos el movimiento en el punto de la máxima elongación del muelle.

El bloque parte del punto de máxima elongación ( x=A),

donde la EC= 0 y la E E ?k A?

2 1 ₂

P= P, máx= .

Seguidamente, por la fuerza restauradora que afecta al bloque, este va regresando hacia la posición de equilibrio, disminuyendo su EP y aumentando su EC, hasta llegar

a la misma, donde EP= 0 y la E E ?k A?

2 1 ₂

C= C, máx= .

Posteriormente, el movimiento del bloque continúa hasta llegar al punto de máxima elongación contrario (x=-A),

donde, de nuevo, EC= 0 y la E E ?k A?

2 1 2

P= P, máx= .

El bloque retrocederá hasta llegar de nuevo a la posición

de equilibrio cEP= 0 y la E E ?k A?

2 1 2

C= C, máx= n y de ahí

retorna al punto de máxima elongación inicial (x=A),

donde la EC= 0 y la E E ?k A?

2 1

á 2

P, m x

P= = . Recorriendo

de esta forma un ciclo completo.

Durante todo el ciclo se conserva la energía mecánica de la partícula:

? ?

E E E k A

2

1 ₂

M= C+ P=

EM

EC EP,e

X

x A

-A O

Para calcular el punto en el que las energías cinética y potencial son iguales:

? ?( ? ?

E E k x k x x A

2 1

2 1

2

2 2 2

P

C= & A - )= & =!

465

2 La energía mecánica de la partícula depende del periodo, según la relación:

? ? ? ? v ? ? ? p ?

E k A m A m

T A 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2

2 2

= = = e o

En el caso de tener un periodo diferente, la energía también es diferente:

? ? p ?

p E m T A T 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 = ? ? ?

E= m A

l l e e o o

4

Dividiendo una expresión entre otra se pueden simplificar los términos iguales:

? ?

? ? p ?

? p E E m T A m T A T T 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 = = l l l f f e p p o

Nos dicen que se duplica el periodo de la partícula:

E E T T 2 2 =

E=4E l

l

f p

La energía se reduce a una cuarta parte.

3 Según el enunciado del problema sabemos que VA> VB.

Por tanto: ? ? k r Q k r Q A B 2

Las distancias siempre son positivas, así que ordenando y simplificando la expresión (al simplificar k se mantiene el sentido de la desigualdad, ya que sabemos que se trata de un número positivo):

? ?

Q rB2Q rA

Según el enunciado del problema sabemos que rA>rB.

Para que se mantenga la desigualdad el producto, Q debe ser un número negativo. Al simplificar entre Q (negativo):

rA2rB

4 Planteando el principio de conservación de la energía:

EC1+EP1

h

[2]

[1]

2

?m v? G? ? ? ?

R

M m _G

R h M m 2 1 0 T T T T - = -+ 0 2 ? ? ? ? ? ? ? ? , ( , ) , ,

v G M

R r g R R R h

2 1 1 2 1 1

2 9 8 6 37 10

6 37 10 1

10 37 10 1

0

0 6 2 _{6 6}

0 T

T T T

= - = -+ -T v = 6940 m/s v = e e f o o p

5 El trabajo para cambiarlo de órbita será la diferencia de energías que el satélite tiene en ambas órbitas:

D

? ? ?

?

? ?

? ?

W E E E

r M m r M m r M m

4 2 2

kg N m

2 8,06 10 m

5,97 10 kg 200 kg 9

0 M M, f M,

T T T

11 2 2 6 24 = = -? ? ?

W= -G +G =G

? ? 4,94 10 J?

W=6,67 10 =