Vigilancia por análisis de ruido de los sensores de temperatura

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(1)ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS. Titulación: Ingeniero Técnico de Minas. PROYECTO FIN DE CARRERA. DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A LOS RECURSOS NATURALES. VIGILANCIA POR ANÁLISIS DE RUIDO DE SENSORES DE TEMPERATURA. Elias Martínez Lobelle. Septiembre. 2013.

(2) TITULACIÓN: INGENIERO TÉCNICO DE MINAS ESPECIALIDAD: RECURSOS ENERGÉTICOS, COMBUSTIBLES Y EXPLOSIVOS. Autorizo la presentación del proyecto “Vigilancia por análisis de ruido de sensores de temperatura”. Realizado por Elias Martínez Lobelle. Dirigido por Cristina Montalvo Martín. Firmado: Prof. Cristina Montalvo Martín Fecha:……………………………………………….

(3) ÍNDICE RESUMEN ................................................................................. VII ABSTRACT ............................................................................... VII Documento 1: MEMORIA ............................................................. 1 1 Objetivos y alcance ................................................................... 2 2 Antecedentes ............................................................................. 3 2.1. Sensores de temperatura (TRPs y Termopares) ................................................. 3 2.1.1. Características de las TRPs ......................................................................... 3. 2.1.2. Características de los Termopares .............................................................. 6. 2.2. Sensores de temperatura en centrales nucleares ................................................. 8. 2.3. Señales.............................................................................................................. 12. 2.4. Herramientas .................................................................................................... 12 2.4.1. Autocorrelación ........................................................................................ 12. 2.4.2. Transformada de Laplace.......................................................................... 13. 2.4.3. Transformada de Fourier .......................................................................... 18. 3 Análisis de sistemas ................................................................ 25 3.1. Sistemas de primer orden ................................................................................. 25 3.1.1. 3.2. Obtención del tiempo de respuesta ........................................................... 27. Sistema de segundo orden ................................................................................ 31. 4 Análisis estadístico.................................................................. 37 4.1.1. Desviación típica....................................................................................... 37. 4.1.2. Sesgo ......................................................................................................... 39. 4.1.3. Curtosis ..................................................................................................... 41. 4.1.4. Histogramas de casos anómalos ............................................................... 43. 5 Análisis espectral .................................................................... 45 5.1. Teorema del muestreo ...................................................................................... 45 I.

(4) 5.1.1 5.2. 5.3. Aliaising .................................................................................................... 45. Modelo autorregresivo (AR) ............................................................................ 46 5.2.1. Cálculo de los coeficientes autorregresivos .............................................. 46. 5.2.2. Criterio de información de Akaike ........................................................... 47. Ajuste ............................................................................................................... 48 5.3.1. Estacionariedad de la señal ....................................................................... 49. 5.3.2. Filtro.......................................................................................................... 50. 5.3.3. Remuestreo ............................................................................................... 55. 5.3.4. Proceso de solape ...................................................................................... 55. 5.4. Estimación del tiempo de respuesta por medio de la PSD ............................... 58. 5.5. Calibración cruzada .......................................................................................... 62. 5.6. Cálculo de la incertidumbre ............................................................................. 63. 5.7. Estudio de un caso particular ........................................................................... 65. 6 Conclusiones ........................................................................... 70 7 Bibliografía ............................................................................. 71 7.1. Bibliografía general .......................................................................................... 71. 7.2. Páginas Web ..................................................................................................... 71. Documento 2: ESTUDIO ECONÓMICO .................................... 72 Documento 3: ANEXOS .............................................................. 76 ANEXO A: Ruido ........................................................................ 77 Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ....................................................................................... 78 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre .............................................................. 82 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre .............................................................. 87 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio ...................................................................... 91 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio ...................................................................... 96 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 100 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 103 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 108 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 111 II.

(5) ANEXO B: AIC .......................................................................... 114 Primer ciclo (C1) medidas 4_2 ..................................................................................... 115 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre ............................................................ 118 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre ............................................................ 123 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio .................................................................... 127 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio .................................................................... 132 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 136 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 139 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 144 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 147. ANEXO C: PSD ......................................................................... 150 Primer ciclo (C1) medidas 4_2 (print -dmeta) .............................................................. 151 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de diciembre ............................................................ 155 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de diciembre ............................................................ 159 Segundo ciclo (C2) medidas 4_2 de junio .................................................................... 164 Segundo ciclo (C2) medidas 4_3 de junio .................................................................... 168 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de julio ........................................................................ 173 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de julio ........................................................................ 176 Tercer ciclo (C3) medidas 4_2 de septiembre .............................................................. 180 Tercer ciclo (C3) medidas 4_3 de septiembre .............................................................. 183. III.

(6) ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos materiales de una TRP ...................................................................................................... 4 Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP ....................................................... 5 Figura 3: Ensamblaje de un TRP ...................................................................................... 6 Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar ............................................ 7 Figura 5: Sensor típico de un termopar ............................................................................. 8 Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR 9 Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el reactor ............................................................................................................................. 10 Figura 8: parte imaginaria y parte real de. para una frecuencia de 3 Hz .............. 21. Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos. y. ..... 22. Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1) ..... 26 Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5) ........................ 28 Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10) ..................... 29 Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del régimen permanente ........................................................................................................ 30 Figura 14: Carro .............................................................................................................. 31 Figura 15: Respuestas al escalón .................................................................................... 33 Figura 16: Respuestas a rampa ....................................................................................... 34 Figura 17: Respuestas a delta de Dirac ........................................................................... 35 Figura 18: Respuestas a armónicos ................................................................................. 36 Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre 4_2 .................................................................................................................................. 43 Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3 ........................................................................................................................................ 44 Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre 4_2 .................................................................................................................................. 44 Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1 ............................................ 48 Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media ................................................. 49 Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza ............................................. 50 Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado ........................................................... 51 Figura 26: Modelo AR y PSDy sin solapar .................................................................... 57 IV.

(7) Figura 27: Modelo AR y PSDy solapadas y ajustadas ................................................... 58 Figura 28: Evolución del tiempo de respuesta de los distintos termopares .................... 61 Figura 29: Evolución del tiempo de respuesta de las TRPs ............................................ 62 Figura 30: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (filtradas) ........................................................................................................................................ 66 Figura 31: AIC del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (señal filtrada)............................................................................................................................ 67 Figura 32: PSDy del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 (sin filtrar) ........................................................................................................................................ 68 Figura 33: señal de ruido del termopar CET2 septiembre del tercer ciclo medidas4_2 . 69 Figura 34: respuesta del compensador de atraso-adelanto para una entrada del tipo rampa .............................................................................................................................. 74. V.

(8) ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones ................................................ 15 Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT ................................. 23 Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs .............. 38 Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs .................................................. 40 Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs ............................................... 42 Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a frecuencias de corte de 1,25 Hz y 2,5 Hz ....................................................................... 52 Tabla 7: Ejemplos de la transformada de Fourier de una señal par y otra impar ........... 53 Tabla 8: Transformada de Fourier de señal par e impar filtrada .................................... 54 Tabla 9: Remuestreo de una variable .............................................................................. 55 Tabla 10: Datos del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs ......................... 60 Tabla 11: Media total, valores máximos y mínimos de TRPs y Termopares ................. 63 Tabla 12: Incertidumbre de medida ................................................................................ 64 Tabla 13: Media e incertidumbre del tiempo de respuesta de los termopares y las TRPs ........................................................................................................................................ 65. VI.

(9) RESUMEN En este proyecto se van a aplicar las técnicas de análisis de ruido para caracterizar la respuesta dinámica de varios sensores de temperatura, tanto termorresistencias de platino como de termopares. Estos sensores son imprescindibles para él correcto funcionamiento de las centrales nucleares y requieren vigilancia para garantizar la exactitud de las medidas. Las técnicas de análisis de ruido son técnicas pasivas, es decir, no afectan a la operación de la planta y permiten realizar una vigilancia in situ de los sensores. Para el caso de los sensores de temperatura, dado que se pueden asimilar a sistemas de primer orden, el parámetro fundamental a vigilar es el tiempo de respuesta. Éste puede obtenerse para cada una de las sondas por medio de técnicas en el dominio de la frecuencia (análisis espectral) o por medio de técnicas en el dominio del tiempo (modelos autorregresivos). Además de la estimación del tiempo de respuesta, se realizará una caracterización estadística de las sondas. El objetivo es conocer el comportamiento de los sensores y vigilarlos de manera que se puedan diagnosticar las averías aunque éstas estén en una etapa incipiente.. ABSTRACT In this project we use noise analysis technique to study the dynamic response of RTDs (Resistant temperature detectors) and thermocouples. These sensors are essential for the proper functioning of nuclear power plants and therefore need to be monitored to guarantee accurate measurements. The noise analysis techniques do not affect plant operation and allow in situ monitoring of the sensors. Temperature sensors are equivalent to first order systems. In these systems the main parameter to monitor is the response time which can be obtained by means of techniques in the frequency domain (spectral analysis) as well as time domain (autoregressive models). Besides response time estimation the project will also include a statistical study of the probes. The goal is to understand the behavior of the sensors and monitor them in order to detect any anomalies or malfunctions even if they occur in an early stage. VII.

(10) Vigilancia por análisis de ruido de sensores de temperatura. Documento 1: MEMORIA. 1.

(11) 1 Objetivos y alcance El objetivo que se persigue en el presente proyecto consiste en averiguar el tiempo de respuesta de los instrumentos de medida que controlan la temperatura de entrada y salida del núcleo de una central nuclear, termorresistencias de platino y Termopares respectivamente. Para ello se usan las técnicas de análisis de ruido. Mediante estas técnicas y él estudio estadístico de las señales de los sensores a lo largo de un cierto periodo se lleva a cabo la visualización de los sensores y de su tiempo de respuesta a lo largo del tiempo transcurrido. Gracias a la monitorización y control de la deriva que presentan los sensores es posible identificar problemas en los instrumentos de medida y validar su correcto funcionamiento.. Mediante las técnicas mencionadas se puede realizar un mantenimiento predictivo de toda clase de instrumentos de medida. Para este proyecto se han estudiado las termorresistencias de platino (TRP) o RTDs (resistance temperature detectors) y los termopares de salida del núcleo CETs (core exit thermocouples).. 2.

(12) 2 Antecedentes 2.1 Sensores de temperatura (TRPs y Termopares) 2.1.1 Características de las TRPs Una TRP (Termorresistencia de platino) está compuesta de seis elementos: . Sensor. . Estructura de soporte. . Material aislante. . Cables conectores. . Vaina. . Termopozo. Hoy en día, el elemento sensor de todas las TRPs está hecho de platino. Antes el elemento sensor era níquel o cobre. En la figura 1 se compara la resistencia relativa con la temperatura para el caso del platino, cobre y níquel. El platino es más lineal que el cobre y el níquel además de abarcar mayor rango de temperatura. El cobre y el níquel tienen mayor resistencia relativa de salida pero el cobre solo es útil hasta 250ºC. El níquel no sigue una dinámica lineal. Además de abarcar un amplio rango de temperatura y seguir una dinámica lineal, el platino tiene la ventaja de poderse fabricar en diámetros pequeños. Es un metal noble (químicamente inactivo) que no se oxida y puede hacerse con gran pureza. Los diámetros de cable de platino usados para las TRPs están en un rango entre 0,05-0,5 mm.. 3.

(13) Figura 1: Comparación de resistencia relativa frente a temperatura en distintos materiales de una TRP. Para construir el elemento sensor de una TRP se enrolla el cable de platino alrededor de una estructura soporte. A continuación se conectan cuatro cables de platino a dos puntos del extremo de la estructura soporte tal como se ve en la figura 2. A estos cables se les llama cables conectores. Las TRPs están compuestas de cuatro cables conectores. Dos de ellos se utilizan para medir la resistencia de los cables conectores y restarla al bucle de resistencia. A dos de los cables conectores se les aplica una corriente constante. Los otros dos se usan para medir la caída de potencial en el elemento de platino del cual se resta la resistencia de la TRP.. 4.

(14) Figura 2: Ilustración del elemento sensor de un TRP. La resistencia en el punto de congelación (0ºC) de una TRP industrial es típicamente de 100 ohmios o 200 ohmios. Durante la fabricación del elemento sensor se mide la resistencia del cable de platino en un baño de hielo a su vez ajustando el largo del cable hasta obtener una resistencia de 100 ohmios o 200 ohmios en el punto de congelación del agua. La siguiente ecuación da la resistencia del cable en función de su largo. :. La resistividad del cable (una propiedad intrínseca del elemento metálico) viene dada por la letra griega ro. . El área de la sección del elemento se calcula mediante la. ecuación siguiente:. es el diámetro. La construcción de la TRP se completa cuando se inserta el montaje de la figura 2 en la vaina (figura 3).. 5.

(15) Figura 3: Ensamblaje de un TRP. Se distinguen dos tipos de TRPs: de inmersión directa y montadas dentro de un termopozo. Las TRPs de inmersión directa tienen mejor tiempo de respuesta comparadas con las TRPs de termopozo. Sin embargo, las TRPs de inmersión directa son difíciles de reemplazar. 2.1.2 Características de los Termopares Un termopar está compuesto de dos metales (cables) unidos el uno al otro por un extremo y sin unir por el otro (figura 4). El punto donde se juntan los dos cables se llama unión de medida. Por el otro extremo, en la unión de referencia, los cables están unidos a un indicador de temperatura. Si la unión de medida y la unión de referencia se encuentran a temperaturas diferentes se produce un voltaje llamado fuerza electromagnética (f.e.m.). La magnitud de la f.e.m. depende de las propiedades de ambos metales y la diferencia de temperatura entre la unión de medida y la unión de referencia. Para calibrar termopares se inserta la unión de referencia en un baño de hielo (0ºC).. 6.

(16) Figura 4: Componentes básicos del circuito de un termopar. Para medir en entornos a altas temperaturas se insertan los dos cables dentro de una vaina que aísla eléctricamente (figura 5). Una vez dentro de la vaina, esta se sella herméticamente para proteger de la humedad. Si la humedad lograra entrar dentro del termopar, esté daría una señal ruidosa.. 7.

(17) Figura 5: Sensor típico de un termopar. Si hiciera falta más protección de la que provee la vaina, está puede ser insertada dentro de un termopozo. Este es el caso de termopares usados en entornos con fluidos a alta velocidad o muy reactivos. Además de proteger el sensor, el uso del termopozo hace más fácil reemplazar el termopar.. 2.2 Sensores de temperatura en centrales nucleares La mayoría de temperaturas de procesos críticos en plantas nucleares se miden usando Termorresistencias de platino y termopares. Por ejemplo, en reactores de agua a presión, en inglés, pressurized water reactor (PWR), la temperatura del lazo de refrigeración primaria se mide usando TRPs y la temperatura del agua que sale del núcleo se mide usando termopares. El propósito de los termopares es de control y no se les requiere gran precisión y rendimiento del tiempo de respuesta. Las TRPs relacionadas con la seguridad nuclear deben pasar pruebas ambientales y sísmicas. El Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) establece los requerimientos necesarios para demostrar que pueden sobrevivir un loss of coolant accident (LOCA) y un evento sísmico sin dejar de proveer un servicio fiable.. 8.

(18) Las características más importantes de las TRPs para la seguridad y eficiencia de plantas nucleares son: gran fiabilidad ante accidentes, estar bien calibradas y tener tiempos dinámicos de respuesta pequeños. La figura 6 representa un diagrama simplificado de la rama de refrigeración primaria en una planta PWR.. Figura 6: Diagrama simplificado del lazo de refrigeración primario de una planta PWR. La potencia térmica P es el producto de la diferencia de temperatura ∆T del núcleo y el caudal másico. en la rama de refrigeración primaria. La ∆T es típicamente de 30ºC.. Un error de un grado en la medida de ∆T corresponde con un 3,33 % de potencia de salida. Es importante calibrar bien TRPs para la economía de una planta nuclear. La calibración debe ser de 0,3 ºC o mejor, antes de instalarse.. 9.

(19) Figura 7: Representación de la respuesta de una TRP a un escalón de temperatura en el reactor. En la figura 7 se ilustra la importancia que tiene el tiempo de respuesta de las TRPs en plantas nucleares. En ella está representada la respuesta a un escalón de temperatura del refrigerante primario en una central PWR. Para garantizar que el sistema funcione de forma segura, las TRPs deben de activar de inmediato una acción que mitigue el efecto, y si es necesario, un scram del reactor. Es por eso que los requisitos del tiempo de respuesta de TRPs del refrigerante primario en plantas PWR son tan importantes. Estos requisitos varían de planta a planta. En plantas donde las TRPs se instalan dentro de termopozo en el lazo de refrigeración primaria, el tiempo de respuesta debe de estar en un rango entre 4,0-8,0 s. Hay gran contraste con los 1,0-3,00 s de tiempo de respuesta requerido de las TRPs de inmersión directa instaladas en lazos de bypass. Algunas plantas usan líneas de bypass para ayudar a recoger toda el agua del reactor de los lazos de refrigeración y mezclarla antes de medir la temperatura del refrigerante primario. Las TRPs de los lazos de bypass deben de tener tiempos de respuesta rápidos para compensar el tiempo que tarda el agua desviada del lazo de refrigeración primaria en alcanzar el lugar donde se mide su temperatura.. 10.

(20) Método para detectar problemas con TRPs y termopares de salida del núcleo.. Examinar el tiempo de respuesta de TRPs y termopares in situ (mientras la central está en operación) permite medir el tiempo de respuesta “in service” de los sensores para cumplir los requisitos especificados y pasar regulaciones. Otras ventajas de examinar el tiempo de respuesta in situ son: prever mantenimiento futuro, detectar fallos incipientes y controlar la deriva de los sensores además de planear el reemplazo de los mismos. Finalmente, examinar el tiempo de respuesta permite a las plantas distinguir entre problemas del sensor y problemas del cable o conector y hacer un diagnóstico de anomalías del sensor o proceso.. No se examina el tiempo de respuesta de los termopares en centrales nucleares regularmente como sucede con las TRPs dado que no es tan importante para la planta nuclear. Cuando se examina el tiempo de respuesta de un termopar, las centrales nucleares prefieren usar el método de análisis de ruido. El método de análisis de ruido está basado en el hecho de que la salida de todos los procesos de los sensores de planta nuclear contienen fluctuaciones debidas al flujo neutrónico, transferencia de calor de carácter aleatorio, turbulencias, vibraciones y otros fenómenos mecánicos y termo hidráulicos. Estas fluctuaciones (ruido) se pueden extraer de la salida del sensor y analizar para obtener el tiempo de respuesta del sensor. El método se compone de tres pasos: obtención de la información, cualificar la información y analizar la información. La salida normal de un termopar es una señal DC la cual contiene superpuesta el ruido procesado (señal AC). Durante la obtención de la información, se extrae el ruido de la salida del termopar mediante la extracción de la componente DC de la señal y la amplificación de la componente AC. Esto se consigue con equipos de procesamiento de señal, amplificadores, filtros y otros componentes. La señal AC se digitaliza usando una frecuencia de muestreo alta (e.g. 1kHz) y almacenándola para el análisis. Durante el análisis, la información del ruido se analiza en el dominio de la frecuencia o el tiempo. Para el análisis en el dominio de la frecuencia, se debe obtener la Power Spectral Density (PSD) de la señal del ruido mediante el algoritmo Fast Furier Transform. A continuación se superpone la PSD con un modelo matemático del termopar del cual se calcula el tiempo de respuesta. Las PSDs de las plantas nucleares 11.

(21) tienen diversas formas dependiendo de la planta, la instalación y servicio del termopar, las condiciones de proceso y otros efectos. Para el análisis en el dominio del tiempo, la información del ruido es procesada mediante el modelo autorregresivo (AR). Este modelo proporciona la respuesta al impulso y al escalón de las cuales se calcula el tiempo de respuesta del sistema. Normalmente se analiza el ruido tanto en el dominio de la frecuencia como en el del tiempo y los resultados se promedian para obtener el tiempo de respuesta del sistema.. 2.3 Señales Las señales son las medidas de las TRPs y termopares. Se llama señal a los datos obtenidos de una TRP o un termopar durante el período de tiempo que este se encuentra midiendo sin interrupción. Es decir, si un termopar está tomando medidas entre las 9 am y las 10am del día 26 de marzo de 2011 por ejemplo, esas medidas compondrán una señal.. Hay centrales nucleares que funcionan durante 12 meses pero las hay también que funcionan durante 24 meses o incluso centrales que funcionan indefinidamente. Las centrales que si necesitan hacer paradas cada cierto tiempo, por ejemplo las que funcionan durante 12 meses, el décimo tercer mes se les recarga el combustible gastado y de nuevo se ponen en funcionamiento. Esos períodos de 12 meses que la central está, aportando electricidad a la red, se llaman ciclos.. Las diferentes señales se identificarán por: el ciclo, mes y momento (período del día) que fueron tomadas, además de, el termopar o TRP con que fueron tomadas.. 2.4 Herramientas A continuación se exponen los métodos de cálculo (herramientas) necesarios para el tratamiento de las señales mediante la técnica de análisis de ruido. 2.4.1 Autocorrelación La autocorrelación C se forma hallando el valor medio en todo el proceso del producto del valor de la función en un instante t por el valor de la función en un instante separado del anterior un intervalo . 12.

(22) A continuación se tiene un ejemplo para su cálculo:. El resultado de realizar la autocorrelación de un vector con un número de puntos dado es un vector nuevo cuyo número de puntos equivale a. , siendo. el número de. puntos del vector sin correlacionar. Es importante tener en cuenta esta faceta de la autocorrelación para cálculos posteriores.. 2.4.2 Transformada de Laplace Definición de la transformada de Laplace Sea f (t) una función del tiempo t. La transformada de Laplace de f (t) es la siguiente función de s:. El comportamiento de un termopar se puede aproximar por una función diferencial de primer orden. Esta ecuación representa como responde el sistema (termopar) a diferentes tipos de entradas. Para facilitar el cálculo se usa la transformada de Laplace 13.

(23) tanto de la función de respuesta al impulso del sistema como de las diferentes entradas (escalón, rampa, impulso y aleatoria). Con la transformada de Laplace de estas funciones se puede resolver el cálculo para obtener la respuesta del sistema algebraicamente. Una vez calculada la respuesta se utiliza la transformada inversa de Laplace para ver la respuesta en el dominio t y poder interpretar como responde el sistema.. Transformada inversa de Laplace El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f(t) a partir de su transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La transformada inversa de Laplace se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión:. La integral de inversión es complicada y, por tanto, no se recomienda su uso. Un método conveniente para obtener las transformadas de Laplace es usar una tabla de transformadas de Laplace. En este caso, la transformada de Laplace debe tener una forma que se reconozca de inmediato en tal tabla. Con mucha frecuencia, es posible que la función en cuestión no aparezca en las tablas de transformadas de Laplace. Si una transformada específica F(s) no se encuentra en la tabla, puede expandirse en fracciones parciales y escribirse en términos de funciones simples de s para las cuales ya se conocen las transformadas inversas de Laplace. El método de fracciones parciales se basa en el hecho de que encontrar la transformada de Laplace o su inversa es una operación lineal. Por ello, si una transformada se pudiera descomponer en una suma de transformadas más simples, se podría encontrar la inversa de la transformada global obteniendo por separado la inversa de cada función más simple y luego sumándolas.. Para obtener cada transformada inversa que componen la suma de transformadas simples obtenidas de la descomposición en fracciones parciales, se utiliza una tabla de transformadas de Laplace (tabla 1).. 14.

(24) Tabla 1: Transformadas de Laplace de varias funciones. Transformada de Laplace del escalón La función escalón se define como: ,. para. ,. para. Si. La transformada de Laplace es una integral impropia dado que el límite superior es infinito. Para resolver se sustituye infinito por otra variable, en este caso he escogido w.. Se hace una sustitución en u:. Transformada de Laplace de la rampa La función rampa se define como: ,. para 15.

(25) ,. para. Si. Resolvemos con integración por partes:. Para resolver v, se hace una sustitución por u igual que en el ejemplo de escalón.. L’Hôpital:. Transformada inversa de la respuesta al escalón. El denominador puede escribirse como el producto de dos factores:. Entonces la función puede expresarse en forma de fracciones parciales como la suma de dos términos:. Donde A y B son constantes. 16.

(26) Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.. Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:. Dividimos el nominador y denominador de la segunda fracción por τ:. Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que corresponden y sustituimos.. Transformada inversa de la respuesta a la rampa. Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.. Sustituyendo A en la ecuación obtendremos el otro término, B:. Se multiplica el numerador y denominador de la segunda fracción por s:. La segunda fracción se puede descomponer de nuevo en dos fracciones. 17.

(27) Al hacer s=0 se elimina uno de los términos.. Sustituyendo C en la ecuación obtendremos el otro término, D:. Finalmente nos queda:. Miramos en la tabla de transformadas de Laplace (tabla 1) las fracciones con las que corresponden y sustituimos.. 2.4.3 Transformada de Fourier La transformada de Fourier (continua) La transformada de Fourier cambia la información, del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Esta información puede ser una señal, una función de onda, un voltaje, datos financieros, etc.…. (1). En la ecuación (1) aparece la función. continua en el dominio del tiempo. Una. manera de representar esta función es como suma de amplitudes que ocurren en cada en el tiempo δ(t-t1) es igual a. punto del tiempo. El valor de la función define. para todo el rango del tiempo obteniendo. ,. ,. . Si se , se puede. representar la función como la suma de las amplitudes correspondientes en cada momento del tiempo.. 18.

(28) Cualquier señal en el dominio del tiempo es por lo tanto una suma de números que representan la amplitud de la señal en puntos discretos del tiempo.. Otra manera de representar una señal en el dominio del tiempo es haciendo la suma de funciones que cubren todo el rango del tiempo. Funciones que cubren todo el rango del tiempo son esencialmente ondas. Describimos una onda sinusoidal como la magnitud M de dicha onda por una exponencial. Aplicando el teorema de Euler se puede descomponer dicho producto en una suma de un número real y otro imaginario.. Donde A representa la amplitud de la parte real y B, la amplitud de la parte imaginaria. Se puede reproducir. sumando todas las posibles combinaciones de ondas. sinusoidales que tienen la amplitud correcta.. (2). El proceso de cálculo de la transformada de Fourier se puede resumir en el algoritmo representado a continuación.. 19.

(29) Comienzo. n=. asignar valor. Sumatorio a lo largo de todo t Multiplicar por δt. Incrementar. n?. Ultima. n. Fin. Para entender el algoritmo que sigue el proceso de cálculo de la transformada de Fourier se presenta un ejemplo. Se va a realizar la transformada de Fourier de la siguiente función:. Donde. y. tienen frecuencias de. y. respectivamente.. Lo primero que pide el algoritmo es asignar un valor de omega. Si por ejemplo, el valor asignado de. n,. tiene una frecuencia. de la parte real y la parte imaginaria de representado en la figura 8.. 20. , el resultado. a lo largo de todo el tiempo, es el.

(30) 2 f(t) 1. parte real de ejw t. 0 -1 -2. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 tiempo. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 2 f(t) 1. parte imaginaria de ejw t. 0 -1 -2. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 tiempo. Figura 8: parte imaginaria y parte real de. Se procede a multiplicar el valor de. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. para una frecuencia de 3 Hz. por los valores de la parte real y la parte. imaginaria obtenidos anteriormente para cada instante de tiempo. De esta manera se obtienen dos nuevas funciones (figura 9). Una resultado del producto de la parte real y la función función. y la otra resultado de la parte imaginaria y la. .. A continuación se resuelven las integrales definidas de la ecuación (2). Estas, no son más que los sumatorios de los valores obtenidos de la multiplicación del paso anterior para la parte real y la parte imaginaria respectivamente. El resultado de las dos integrales dará el valor de las dos áreas finales, resultado del sumatorio de las áreas comprendidas entre las nuevas funciones (resultado de la multiplicación anterior) y el eje de abscisas para la parte real y la imaginaria respectivamente.. 21.

(31) a 2 f(t)·ejw t f(t). 1. parte real de ejw t. 0 -1 -2. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 tiempo b. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. 2 f(t)·ejw t f(t). 1. parte imaginaria de ejw t. 0 -1 -2. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5 tiempo. 0.6. 0.7. Figura 9: Nuevas funciones resultado de los productos. 0.8. 0.9. 1. y. En la imagen a de la figura 9, el sumatorio de las áreas coloreadas dará otra área correspondiente al valor de la parte real del número complejo de frecuencia. para. . El sumatorio de las áreas de la imagen b corresponde al valor. de la parte imaginaria para la misma frecuencia.. Se obtiene de esta forma el valor de para. de frecuencia. , transformada de Fourier de la función. .. Para acabar, se incrementa el valor de. . Si se trata del último valor se termina el. algoritmo y se da por concluido el cálculo de la transformada de Fourier.. FFT Fast Fourier transform (FFT) es un algoritmo para calcular eficientemente la transformada de Fourier.. 22.

(32) La Discrete Fourier Transform (DFT) es una operación para evaluar la transformada de Fourier continua de una señal muestreada muestreos. con un número finito de. . Se define como:. Para el análisis espectral y filtrado, computar la DFT supone un gran número de operaciones. Se desarrollan algoritmos eficientes para reducir el número de operaciones. A estos se les llama Fast Fourier Transform Algorithms o Algoritmos FFT.. A continuación vemos el número de cálculos que supone hacer la DFT.. Ejemplo: N=2. Se observa que para cada valor de k hacen falta: N multiplicaciones complejas y N-1 sumas complejas. Dado que hay tantas k igual al valor de N, para cualquier valor de N, se necesitan realizar N2 multiplicaciones complejas y N2-N sumas complejas.. El número de operaciones complejas necesarias para computar DFT tiene un orden de magnitud igual a N2. El número de operaciones complejas de algoritmos FFT es de un orden de magnitud igual a Nlog2N. Supongamos que una operación compleja tarda 1 ns. En la tabla 2 vamos a comparar el tiempo de cálculo entre DFT y FFT para distintos valores de N. Tabla 2: Comparación entre órdenes de magnitud de DFT y FFT. N 1,00E+03 1,00E+06 1,00E+09. DFT: N^2 (ns) FFT: Nlog2N (ns) 1,00E+06 9,97E+03 1,00E+12 1,99E+07 1,00E+18 2,99E+10. Vemos a continuación el ejemplo expuesto en la fila 3 de la tabla 2 23.

(33) Concluimos que sale a cuenta realizar la transformada de Fourier con un algoritmo FFT cuando hay que tratar muchos datos.. El algoritmo FFT usado para el cálculo de las señales en este proyecto es una función integrada del programa MATLAB.. 24.

(34) 3 Análisis de sistemas Se pretende determinar el comportamiento del sensor por medio de la ecuación modelo también llamada función de transferencia que relaciona la señal de entrada al sistema con la de salida. La función de transferencia que se muestra a continuación, se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada.. En lo sucesivo, se analizarán las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón, rampa e impulso. Se supone que las condiciones iniciales son cero.. El proceso de cálculo para la obtención de la respuesta del sensor a una cierta entrada es el que se muestra a continuación.. H(s): función de transferencia e(t): entrada al sistema en el dominio del tiempo s(t): salida del sistema en el dominio del tiempo E(s): transformada de Laplace de la entrada S(s): transformada de Laplace de la salida. A continuación, se explican los sistemas de primer y segundo orden por medio de simulaciones realizadas con MATLAB.. 3.1 Sistemas de primer orden Son aquellos cuya función de transferencia es de la forma:. (3). H1(s): función de transferencia de primer orden. 25.

(35) Respuesta al impulso (delta de Dirac) de un sistema de primer orden. La transformada de Laplace de la entrada impulso es la unidad y la salida será igual a la función de transferencia:. Para simularlo se crea como entrada una matriz fila compuesta de 0 excepto un solo valor igual a la unidad, situado en la mitad de la longitud del vector:. En la figura 10 aparece la salida producto de una entrada tipo función delta de Dirac a un sistema de primer orden. El sistema de primer orden es el modelo matemático que mejor asemeja la respuesta física de un sensor de temperatura. Si un sensor se encuentra en un baño de temperatura constante en el cuál se produce un repentino aumento de temperatura durante un solo instante para luego volver a las condiciones iniciales, se puede intuir, que el sensor medirá igualmente un repentino aumento de temperatura y debido al calentamiento residual, este medirá una bajada residual hasta volver a medir las condiciones iniciales (figura 10). 1 salida entrada. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 28. 28.5. 29. 29.5. 30 t. 30.5. 31. 31.5. 32. Figura 10: Respuesta a una delta de Dirac de un sistema de primer orden (tau=0,1). 26.

(36) 3.1.1 Obtención del tiempo de respuesta De las respuestas de los sistemas de primer orden a las entradas del tipo función escalón y rampa se puede determinar el tiempo de respuesta. Es decir, el tiempo que tarda el sensor en dar la respuesta después de experimentar una entrada simulado mediante la función de transferencia correspondiente.. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función escalón es 1/s, sustituyendo E(s)=1/s en la ecuación (3) y reordenando los términos:. Se obtiene:. A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace: Si hacemos t=τ se obtiene 0,632 lo que indica que cuando han transcurrido τ segundos la salida s(t) alcanza un 63,2% de su amplitud. Para simularlo se crea como entrada una matriz fila cuya primera mitad está compuesta de 0 y la otra mitad es igual a la unidad:. En la figura 11 aparece la salida producto de una entrada tipo función escalón a un sistema de primer orden. Si un sensor se encuentra en un baño de temperatura constante en el cuál se produce un repentino aumento de temperatura la cual mantiene constante, se puede intuir, que el sensor medirá un aumento progresivo hasta que la medida iguala la temperatura real del baño (figura 11).. 27.

(37) 1 salida entrada. 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0. 0. 10. 20. 30 t. 40. 50. 60. Figura 11: Respuesta al escalón de un sistema de primer orden (tau=5). Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la función rampa es 1/s2, sustituyendo E(s)=1/s2 en la ecuación (3) y reordenando los términos:. Se obtiene:. A continuación se aplica la transformada inversa de Laplace:. 28.

(38) Figura 12: Respuesta a la rampa de un sistema de primer orden (tau=10). La respuesta a la rampa, salida del sistema de primer orden, se divide en dos partes. Se puede distinguir el régimen transitorio que corresponde con la parte de la salida en la que domina el término de la exponencial. Por otra parte, el régimen permanente corresponde con la parte de la salida a partir de la cual se aprecia una recta de pendiente constante (. se hace despreciable) (figura 12).. Resulta que la parte de la salida que más se asemeja con una recta, no tiene pendiente constante. El tiempo de respuesta será la diferencia en tiempo entre la entrada y la salida (en régimen permanente). Para determinar el tiempo de respuesta se debe calcular la derivada en cada punto de la salida. La derivada en un punto de una función es por definición la pendiente de esa función en dicho punto. Si se realizan las derivadas en todos los puntos de la función, se obtendrán valores que cada vez se aproximen más al valor de la pendiente de la rampa de entrada.. 29.

(39) Se debe establecer un rango de tolerancia a partir del cual el valor se aproxime lo suficiente al valor de la pendiente de entrada para poder considerarlo régimen permanente. A continuación se aproximan los puntos del régimen permanente por medio de una recta de mínimos cuadrados. La resta del corte de ambas rectas con el eje de abscisas determina el valor del tiempo de respuesta (figura 13).. Figura 13: Obtención de tau mediante el ajuste por una recta de mínimos cuadrados del régimen permanente. 30.

(40) 3.2 Sistema de segundo orden. Figura 14: Carro. El sistema representado en la figura 14 está compuesto por un carro de masa m, conectado a la pared por medio de un muelle o resorte y un amortiguador. El amortiguador es un dispositivo que proporciona fricción viscosa o amortiguamiento. Está formado por un pistón y un cilindro lleno de aceite. El aceite resiste cualquier movimiento relativo entre la varilla del pistón y el cilindro, debido a que el aceite debe fluir alrededor del pistón (o a través de orificios en el pistón) de un lado del pistón al otro. El amortiguador esencialmente absorbe energía que se disipa como calor. En este sistema, m representa la masa, b denota el coeficiente de fricción viscosa y k es la constante del resorte. La segunda ley de Newton establece que. Donde m es la masa, a es la aceleración de la masa y ∑F es la suma de las fuerzas que actúan sobre la masa.. Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados de la ecuación y re ordenando los términos, se obtiene la función de transferencia.. Se define omega y gamma como:. 31.

(41) (1) Sistema subamortiguado o subcrítico. γ<ω Una k más grande significa un muelle más rígido. Un muelle rígido se diferencia de otros muelles porque se contrae y relaja con dificultad. Si la ω crece, la frecuencia natural del muelle fn también crece (directamente proporcional). El muelle oscila a una frecuencia mayor apreciándose mayor vibración. En este tipo de sistema, la mayor parte de la energía es absorbida y se disipa en el muelle y el amortiguador tiene menos efecto dado que tiene un coeficiente de fricción viscosa b pequeño (ejerce menos resistencia). (2) Sistema sobreamortiguado o supercrítico. γ>ω En este caso la constante del muelle es pequeña y con lo cual el muelle será de tipo poco rígido causando mayor oscilación en la salida del sistema. Es un muelle que se deja contraer y relajar con facilidad. La oscilación del sistema viene determinada por el muelle. (3) Sistema crítico. γ=ω (4) Sistema nada amortiguado. k=0 Es un sistema compuesto solamente por el carrito con su masa y un amortiguador. No hay muelle. Debido a la falta de un muelle, este tipo de sistema oscilará hasta estar en reposo.. Como veremos más adelante, si la entrada es un armónico, cuya frecuencia es la frecuencia natural del sistema, este entrará en resonancia.. En la figura 15 se representan las diferentes respuestas que tiene un sistema de segundo orden cuando se le aplica una entrada de tipo escalón.. 32.

(42) respuestas a escalon 3 escalon salida esc10(subamortiguado) 2.5. salida esc20(sobreamortiguado) salida esc30(crítico) salida esc4(nada amortiguado). y. 2. 1.5. 1. 0.5. 0. 0. 50. 100. 150. 200 tiempo(s). 250. 300. 350. 400. Figura 15: Respuestas al escalón. Descripción de las respuestas (figura 15). -. La salida de un sistema tipo subamortiguado a la entrada escalón será una función con oscilación de alta frecuencia al principio pero cuya oscilación disminuirá debido al amortiguamiento hasta que finalmente sea una recta.. -. La entrada escalón del sobreamortiguado produce un gran salto en amplitud que enseguida se ve amortiguado de forma que no da tiempo a oscilar.. -. En el caso de tratarse de un sistema tipo crítico produce la misma respuesta que el sobreamortiguado pero de igual amplitud a la entrada.. -. Cuando el sistema no está amortiguado (solo se compone de muelle), este produce una salida de gran amplitud y oscilación. La función de respuesta a la entrada escalón no se ve reducida como sucede en otros casos debido a que no hay amortiguación con componente de fricción que la afecte.. 33.

(43) En la figura 16 se han simulado las diferentes respuestas de un sistema de segundo orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa. En ella se observa que cuando se trata de un sistema crítico, la salida al sistema se asemeja a la salida de un sistema de primer orden. Es decir, el sistema de segundo orden crítico se comporta como un sistema de primer orden cuando se ve expuesto a las entradas tipo escalón (figura 15) y rampa (figura 16). respuestas a rampa 90 80. rampa salida ram10(subamortiguado). 70. salida ram20(sobreamortiguado) salida ram30(crítico). 60. salida ram4(nada amortiguado). y. 50 40 30 20 10 0 -10 10. 20. 30. 40. 50 60 tiempo(s). 70. 80. 90. 100. 110. Figura 16: Respuestas a rampa. En la simulación representada en la figura 17 aparecen las diferentes respuestas de un sistema de segundo orden cuando se le aplica una entrada de tipo rampa.. 34.

(44) respuestas a Dirac 1.2 d Dirac salida deL1(subamortiguado) salida deL2(sobreamortiguado) salida deL3(crítico) salida deL4(nada amortiguado). 1. 0.8. y. 0.6. 0.4. 0.2. 0. -0.2. 0. 50. 100. 150. 200 tiempo(s). 250. 300. 350. 400. Figura 17: Respuestas a delta de Dirac. Para la simulación representada en la figura 18 se ha usado como entrada un armónico de frecuencia igual a la frecuencia natural del sistema.. 35.

(45) respuesta a armonicos 50 entrada armonico1 entrada armonico2 salida arm1(subamortiguado) salida arm2(nada amortiguado). 40 30 20. y. 10 0 -10 -20 -30 -40 0. 20. 40. 60. 80. 100 120 tiempo(s). 140. 160. 180. 200. Figura 18: Respuestas a armónicos. La frecuencia natural de un objeto es la frecuencia producida de forma natural por el choque de objetos, también se define como la frecuencia a la cual el objeto o sistema entra en resonancia. La salida producida por él sistema es un armónico cuya amplitud crece a medida que aumenta el tiempo. El sistema ha entrado en resonancia. Si el tiempo tiende a infinito, la amplitud de la respuesta del sistema también tiende a infinito. Este fenómeno se conoce como resonancia.. 36.

(46) 4 Análisis estadístico A continuación se van a definir distintos parámetros estadísticos que se calcularan para las señales con el fin distinguir, que señales son válidas y cuáles pueden dar problemas durante el proceso de análisis de ruido. Los parámetros estadísticos se calculan sobre el ruido de la señal, el cual, se va a describir más adelante. 4.1.1 Desviación típica La desviación típica o standard deviation (σ) se define como la raíz cuadrada de la varianza.. Donde n es el nº de puntos de la señal y. la media.. La desviación típica da información de cómo están distribuidos los datos de la señal alrededor de la media. Pueden estar alejados, dispersos o cerca de la media. Informa de dónde están concentrados el mayor número de datos de una señal. Un valor de la desviación típica pequeño indica que los datos están concentrados cerca de la media. Sin embargo, un valor alto de la desviación típica indica que los datos se encuentran desperdigados sobre un amplio rango de valores.. En la tabla 3 aparecen los resultados de las desviaciones típicas de las señales de los termopares y las TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la desviación típica de los termopares y las TRPs se encuentra entre 0,049 – 1,227. y 0,163 – 0,407. respectivamente. Los pocos casos que presentan valores muy dispares en comparación con la gran mayoría de los resultados, se han dejado fuera para los cálculos del promedio de la desviación típica, dado que falsean la estadística. Lo mismo sucede a continuación con los cálculos de sesgo y curtosis. El promedio de los valores de desviación típica de los termopares y las TRPs de la tabla 3 es de 0,241 y 0,248 respectivamente.. 37.

(47) Tabla 3: Resultados de las desviaciones típicas de los termopares y las TRPs. C1mar4_2. C2dic4_2. C2dic4_3. C2jun4_2. C2jun4_3. C3jul4_2. C3jul4_3. C3sep4_2. C3sep4_3. CET1. 0,28882821. 0,34727045. 0,08794702. 0,37711082. 0,37427913. 0,10931744. 0,11245822. 0,10184532. 0,22228868. CET2. 0,22179951. 0,27205186. 0,06883291. 0,23991033. 0,22804508. 0,07552556. 0,07183736. 1755,96663. 1,22660525. CET3. 0,05676165. 874,527005. 0,05975635. 0,20030208. 0,19256168. 0,05948493. 0,05349082. 0,05583127. 1,00375489. CET4. 0. 0,26337967. 0,06879346. 0,24913842. 0,24705945. 0,06585137. 0,05780774. 0,05755699. 0,82173728. CET5. 0. 0,06996416. 0,0655966. 0,07312242. 14,0577819. 0,06438675. 0,05837563. 0,05655923. 1,17319647. CET6. 0,20892225. 0,29771042. 0,05370513. 0,24301035. 0,21807644. 0,05846914. 0,0504135. 0,04941727. 1,14531681. RTD1. 0,23688556. 0,40748861. 0,26449003. 0,28920044. 0,2363748. 0. 0,22651238. 0. 0. RTD2. 0,20102892. 0,28149307. 0,23776076. 0,23865228. 0,17293328. 0. 0,1627493. 0. 0. RTD3. 0,21414744. 0,3108125. 0,29352519. 0,28820607. 0,21410825. 0. 0,18925138. 0. 0. 38.

(48) 4.1.2 Sesgo El sesgo o skewness es una medida de asimetría. Las medidas de asimetría son indicadores que permiten establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una distribución de probabilidad de una variable aleatoria sin tener que hacer su representación gráfica. Como eje de simetría consideramos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la media de la distribución. Si una distribución es simétrica, existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media, por tanto, el mismo número de desviaciones con signo positivo que con signo negativo. El valor del sesgo es nulo. Decimos que hay asimetría positiva (a la derecha) si hay valores más separados de la media a la derecha. Diremos que hay asimetría negativa (a la izquierda), si hay valores más separados de la media a la izquierda.. El sesgo se calcula de la siguiente manera:. En la tabla 4 aparecen los resultados del sesgo de las señales de los termopares y las TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor del sesgo de los termopares y las TRPs se encuentra entre -0,419 – 1,326 y -0,47 – 1,409 respectivamente. El promedio de los valores del sesgo de los termopares y las TRPs de la tabla 4 es 0,237 y 0,44 respectivamente.. 39.

(49) Tabla 4: Datos de Sesgo de los termopares y las TRPs. C1mar4_2. C2dic4_2. C2dic4_3. C2jun4_2. C2jun4_3. C3jul4_2. C3jul4_3. C3sep4_2. C3sep4_3. CET1. 0,59656634. 0,63079244. 0,41261951. 0,98046447. 0,89306728. 0,8759361. 1,32634946. CET2. 0,08965421. 0,29316539 -0,06536201. 0,04410082. 0,05373249. 0,07167538. 0,1347932. 0,80898989. 0,97258124. CET3. 0,31520482 -10,0523898. 0,13176113. 0,14905935. 0,12349422. 0,03013827. 0,17375316. 0,19280529. 0,09312725 -0,00683337 -0,03763377 -0,10376712 -0,22998025 -0,05303558. 0,18806318. CET4. 0. CET5. 0 -0,24364243 -0,23060335 -0,41935115. CET6. 0,08483044. 0,20483522. 0,41969172. 1,08978385 -0,05388855. 0,01623493 -0,16858253. 0,44592745. 0,39206137. 0,95718556. 0,13162503 -0,04445928 -0,10789001 -0,20696758 -0,36862199. -0,0357738. 0,24623772. 1,22672632. RTD1 -0,29374629 -0,47013338 -0,06404375. 0,02655123. 0,17500764. 0 -0,20573943. 0. 0. RTD2. 0,74644793. 0,31195057. 0,63333589. 0,17018619. 0,42327696. 0. 0,8650502. 0. 0. RTD3. 1,09435037. 0,53704037. 0,90585761. 0,47208483. 1,17820498. 0. 1,40883463. 0. 0. 40.

(50) 4.1.3 Curtosis La curtosis es una medida de la tendencia puntiaguda de una distribución de probabilidad. Distribuciones de probabilidad con curtosis. presentan tendencias. más puntiagudas que la distribución normal. Distribuciones de probabilidad con curtosis presentan tendencias menos puntiagudas respecto a la distribución normal.. La curtosis se calcula de la siguiente manera:. En la tabla 5 aparecen los resultados de la curtosis de las señales de los termopares y las TRPs. Salvo algunos casos aislados, el valor de la curtosis de los termopares y las TRPs se encuentra entre 2,716 – 10,75 y 2,459 – 6,213 respectivamente. El promedio de los valores de curtosis de los termopares y las TRPs de la tabla 5 es de 4,668 y 3,512 respectivamente.. 41.

(51) Tabla 5: Datos de curtosis de los termopares y las TRPs. C1mar4_2. C2dic4_2. C2dic4_3. C2jun4_2. C2jun4_3. C3jul4_2. C3jul4_3. C3sep4_2. C3sep4_3. CET1. 4,08680831. 3,93279365. 3,91251708. 5,09732345. 4,34055399. 5,46638551. 8,89160226. 7,87145751. 3,34865347. CET2. 2,85103896. 2,75386992. 4,16424938. 3,00265024. 3,19672178. 3,63078567. 3,24748522. 17,4615071. 3,63443303. CET3. 10,7499782. 773,031556. 9,67541033. 3,17449995. 3,23019591. 5,14129934. 7,83363993. 7,44099486. 3,1317559. CET4. 0. 2,99306596. 2,8253572. 2,96066399. 2,71605869. 5,16598267. 8,39468819. 3,05892282. 3,15559386. CET5. 0. 5,69212032. 4,71493812. 3,59112547. 1,61005805. 4,69864293. 6,54717336. 7,60762431. 4,20910154. CET6. 2,82341313. 2,76502537. 4,68186802. 3,2317193. 3,44753924. 3,31550236. 3,1694111. 8,9462374. 4,197947. RTD1. 3,25724893. 3,48568822. 2,45915824. 2,57888327. 3,39939245. 0. 3,16129929. 0. 0. RTD2. 3,79256797. 2,54590467. 3,73005455. 2,53005681. 3,22172212. 0. 4,85797969. 0. 0. RTD3. 4,60555711. 3,08540024. 3,96334459. 3,04443903. 4,71886001. 0. 6,21308338. 0. 0. 42.

(52) 4.1.4 Histogramas de casos anómalos En las figura 19, 20 y 21 están representados los histogramas de diferentes señales en las que alguno de los histogramas presenta una anormalidad característica respecto a la dinámica normal de los otros histogramas.. Las medias 4_2 del termopar CET3 del segundo ciclo (C2) tomadas en diciembre (figura 19) presentan una desviación típica de 874 (tabla 3) y una curtosis de 773 (tabla 5Tabla 5), muy por encima de las respectivas medias cuyos valores son 0,24 y 4,67. Podemos establecer por lo tanto que las medidas tomadas en esta fecha y hora por el termopar CET3 están fuera de rango. CET1. CET2. 2000. CET3. 1000. 1. 800. 1500. 0.5. 600 1000. 0 400. 500 0 -1. -0.5. 200 -0.5. 0. 0.5. 1. 0 -1. -0.5. CET4. 0. 0.5. 1. -1 -1. -0.5. CET5. 1000. 4000. 800. 0. 0.5. 1. 0.5. 1. CET6 1000 800. 3000. 600. 600 2000. 400. 400 1000. 200 0 -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 0 -1. 200 -0.5. 0. 0.5. 1. 0 -1. -0.5. 0. Figura 19: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de diciembre 4_2. Lo mismo mencionado antes ha sucedido en otros dos casos pero con otros termopares y en distintas ocasiones.. Las medidas 4_3 del termopar CET5 del segundo ciclo (C2) tomadas en junio (figura 20Figura 20) tienen desviación típica de 14 (tabla 3) por encima de la media y curtosis de 1,61 (tabla 5) por debajo de la media.. 43.

(53) CET1. CET2. CET3. 1000. 1000. 1000. 800. 800. 800. 600. 600. 600. 400. 400. 400. 200. 200. 200. 0 -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 0 -1. -0.5. CET4. 0. 0.5. 1. 0 -1. -0.5. CET5. 800. 200. 600. 150. 400. 100. 200. 50. 0. 0.5. 1. 0.5. 1. CET6 1000 800 600 400. 0 -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 200. 0 -1. -0.5. 0. 0.5. 1. 0 -1. -0.5. 0. Figura 20: Histogramas de los termopares del C2 (segundo ciclo) medidas de junio 4_3. Las medidas 4_2 del termopar CET2 del tercer ciclo (C3) tomadas en septiembre (figura 21Figura 21) tienen desviación típica de 1756 (tabla 3) muy por encima de la media y curtosis de 17 (tabla 5) también por encima de la media.. CET1. CET2. 6000. CET3. 1. 6000. 0.5 4000. 4000 0. 2000. 2000 -0.5. 0. -0.2. -0.1. 0. 0.1. 0.2. -1. -0.2. -0.1. CET4. 0. 0.1. 0.2. -0.2. -0.1. CET5. 2500. 0. 0.1. 0.2. 0.1. 0.2. CET6. 6000. 5000. 2000. 4000 4000. 1500 1000. 3000 2000. 2000. 500 0. 0. 1000 -0.2. -0.1. 0. 0.1. 0.2. 0. -0.2. -0.1. 0. 0.1. 0.2. 0. -0.2. -0.1. 0. Figura 21: Histogramas de los termopares del C3 (tercer ciclo) medidas de septiembre 4_2. 44.

(54) 5 Análisis espectral 5.1 Teorema del muestreo El teorema del muestreo permite obtener el eje de frecuencias de las señales para poder pasar del dominio del tiempo al de la frecuencia. Las medidas de este trabajo fueron muestreadas a una frecuencia de 1000 Hz. Es decir, se tomaba una medida cada milésima de segundo, mil medidas en el transcurso de un segundo. Estas medidas se remuestrearon a una frecuencia de 50 Hz. Las formulas necesarias para crear el eje de frecuencias se describen a continuación:. Siendo: : Frecuencia de Nyquist : Frecuencia de muestreo o Sampling frecuency : Número de puntos de la señal. 5.1.1 Aliaising Cuando se obtienen muestras periódicas de una señal sinusoidal, puede ocurrir que se obtengan las mismas muestras que se obtendrían de una señal sinusoidal igualmente pero con frecuencia más baja. Específicamente, si una sinusoide de frecuencia f Hz es muestreada s veces por segundo, y s ≤ 2·f, entonces las muestras resultantes también serán compatibles con una sinusoide de frecuencia fm - f, donde fm es la frecuencia de muestreo. En la jerga inglesa de procesamiento de señales, cada una de las sinusoides se convierte en un "alias" para la otra. Está demostrado rigurosamente que para evitar el aliasing es necesario asegurarse de que en la señal analógica a muestrear con una frecuencia s, no tenga componentes sinusoidales de frecuencia mayor a s/2. Esta condición es llamada el criterio de Nyquist, y es equivalente a decir que la frecuencia de muestreo s debe ser al menos dos veces mayor que el ancho de banda de la señal.. 45.

(55) 5.2 Modelo autorregresivo (AR) 5.2.1 Cálculo de los coeficientes autorregresivos El modelo autorregresivo (AR) es un modelo de serie temporal que permite predecir futuros valores de la serie. Se basa en la hipótesis de que el instante actual, determinado por los instantes anteriores,. , está. .. La ecuación que rige el modelo autorregresivo es la siguiente:. Siendo: : Conjunto de datos estacionarios en el momento actual. : Coeficientes del modelo autorregresivo. : Valor de los datos en k momentos anteriores. : Componente aleatoria sin información (ruido blanco). En este apartado se trata de obtener el modelo autorregresivo con las ecuaciones de Yule-Walker. Para ello se debe determinar el orden del modelo. El orden del modelo AR corresponde con el número de coeficientes autorregresivos del que éste se compondrá. Más adelante, trataremos de determinar cuál es el orden adecuado según el criterio de información de Akaike.. Si a cada punto de la señal, x, se le resta la media de la señal se obtiene la componente de ruido de dicha señal.. Se hace la media:. Se resta la media a cada punto de la señal xi y se obtiene el ruido r.. 46.

(56) Antes de proceder a calcular los coeficientes autorregresivos se debe hacer la autocorrelación del ruido.. Este conjunto de n ecuaciones recibe el nombre de ecuaciones de Yule-Walker, y permiten obtener los coeficientes autorregresivos aj para un modelo de orden n a partir de los n primeros valores de la autocorrelación de la respuesta del sistema.. La matriz Cj-k por su inversa es igual a la matriz identidad. La matriz identidad es una matriz que cumple la propiedad de ser elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad no tiene ningún efecto. La matriz de coeficientes autorregresivos aj queda despejada para su uso.. 5.2.2 Criterio de información de Akaike El criterio de información de Akaike ayuda a elegir el orden del modelo. El orden del modelo da el número de coeficientes autorregresivos. El criterio de información de Akaike da como resultado un valor de amplitud concreto para un cierto número de coeficientes autorregresivos. Estos valores de amplitud se representan en un gráfico en el eje de las ordenadas y a su vez, en el eje de abscisas, irá representados los distintos órdenes del modelo. Un número elevado de coeficientes dará lugar a un buen ajuste pero no es práctico. Un número bajo de coeficientes puede no ser suficiente para representar bien el modelo. La fórmula para calcular el AIC (Akaike information criterion) es como sigue:. Donde N es el número de puntos de la señal y n es el orden del modelo AR. 47.

(57) En la figura 22 se ha representado el AIC del termopar CET4. Como puede verse, en este caso se seleccionarían 4 coeficientes autorregresivos para la representación del modelo. Un solo coeficiente autorregresivo daría un mal ajuste. Dos coeficientes darían un buen ajuste y podría darse por válido el modelo. Incluyendo solamente dos coeficientes más, es decir, con cuatro coeficientes no se complica mucho el cálculo y se obtiene un modelo válido. Si aumentamos el número de coeficientes por encima de cuatro, se complica el cálculo y apenas se mejora el ajuste del modelo. 4. -5.65. CET4. x 10. AIC -5.7. -5.75. AIC. -5.8. -5.85. -5.9. -5.95. -6. 0. 2. 4. 6. 8. 10 ordenn. 12. 14. 16. 18. 20. Figura 22: AIC del termopar CET4 de las medidas del C1. 5.3 Ajuste El proceso de ajuste de una PSDy con el modelo AR requiere seguir los siguientes pasos.. 48.

(58) 5.3.1 Estacionariedad de la señal Primero elegimos el rango de la señal que sea más estacionario. La parte que más interesa de la señal, es la parte que sea estacionaria tanto en media como en varianza. Una señal estacionaria en media se encuentra siempre centrada en torno a una constante. En el caso que vemos a continuación esa constante es el eje de abscisas. Vemos que a partir de la mitad la señal sufre un cambio de amplitud. Esto no afecta a la media sin embargo tendrá efecto sobre la varianza. Valor medio de. :. Varianza: Este es el caso de una señal estacionaria en media, no estacionaria en varianza (figura 23Figura 23). 3. 2. 1. 0. -1. -2. -3. 0. 20. 40. 60. 80 t. 100. 120. 140. 160. Figura 23: Ejemplo de una señal estacionaria en media. En la siguiente gráfica se aprecia la misma amplitud a lo largo de todo el eje de tiempos. Dado que la amplitud no varía tampoco lo hará la varianza. Puede verse un cambio en la media debido a que la señal se sale del eje de abscisas y sufre una translación progresiva. 49.

(59) a lo largo de una recta inclinada. Este es el caso de una señal estacionaria en varianza, no estacionaria en media (figura 24). 120. 100. 80. 60. 40. 20. 0. -20. 0. 20. 40. 60. 80 t. 100. 120. 140. 160. Figura 24: Ejemplo de una señal estacionaria en varianza. 5.3.2 Filtro Una vez que se ha elegido el rango de datos a utilizar, se procede al filtrado de la señal. En la zona de altas frecuencias de una PSDy sin filtrar, aparecen una serie de picos que no se encuentran en la dinámica del sensor (figura 25).. 50.

(60) PSDy & H(modelo AR)CET6 10 PSDy H(w) modeloAR 0. PSD & H(dB). -10. -20. -30. -40. -50 -3 10. -2. 10. -1. 10 Frequency(Hz). 0. 10. 1. 10. Figura 25: Modelo AR y PSDy antes del filtrado. Estos picos son una serie de resonancias que dificultan un buen ajuste del modelo AR por lo que interesa eliminarlos. Dado que estos picos se encuentran en un rango de frecuencias altas donde no hay información relevante, está totalmente justificado el filtrado de esta parte de la señal. No se debe elegir una frecuencia de corte menor a 2,5 Hz dado que alteraría la señal dándo tiempos de respuesta ( ) incongruentes.. A continuación se muestra en la tabla 6 los tiempos de respuesta de los termopares y TRPs del segundo ciclo (C2), medidas4_2 del mes de junio, obtenidos para una frecuencia de corte de 2,5 Hz y 1,25 Hz.. 51.

(61) Tabla 6: Tiempos de respuesta de varios sensores, obtenidos con señales filtradas a frecuencias de corte de 1,25 Hz y 2,5 Hz. CET1 CET2 CET3 CET4 CET5 CET6 RTD1 RTD2 RTD3. f=1,25 Hz 0,20747888 0,12986029 0,17938873 0,24216146 0,2310059 0,24288325 1,2934497 0,74079392 0,93933523. f=2,5 Hz 0,8169156 0,26871337 0,40692799 0,40042914 0,54873623 0,58413857 2,20236029 1,77146371 4,02406572. Se puede observar en la tabla 6 que los valores de tiempos de respuesta para la frecuencia de corte de 1,25 Hz rondan la mitad o menos que los de frecuencia 2,5 Hz. Esto es debido a que el filtro a frecuencias de corte demasiado bajas no solo elimina la parte de frecuencias altas donde se encuentran los picos no deseados si no también parte de la información que contribuye a un cálculo correcto del tiempo de respuesta.. Dado que la frecuencia de corte debe ser un múltiplo de la frecuencia de muestreo anterior, el próximo múltiplo es frecuencia de corte 5 Hz. Esta frecuencia filtra poco para el propósito que se persigue. El criterio a seguir es no coger una frecuencia de corte demasiado baja de manera que se pierda información crucial y se falsee el resultado del tiempo de respuesta ni tampoco demasiado alta de forma que apenas se haya filtrado la parte que se desea eliminar para poder llevar a cabo un buen ajuste con pocos coeficientes autorregresivos.. También se aplica el filtrado a las señales de TRPs.. Los picos aparecen en la zona de frecuencias altas. Para deshacernos de las amplitudes correspondientes a ese rango de frecuencias y mantener el resto de la señal nos crearemos un filtro pasa bajos. La señal se encuentra en él dominio del tiempo. Para identificar las frecuencias donde aparecen los picos correspondientes a resonancias que distorsionan un buen ajuste del modelo AR con la PSDy, hay que pasar la señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia mediante la transformada de Fourier. 52.

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